2021新高考数学二轮总复习课件：专题三 3.3 三角大题 三角变换与解三角形
高考数学二轮复习专题三三角函数32三角变换与解三角形课件文
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
2π
3
(2)在△ABC 中,A= ,a= 3c,则 =
)
.
-7-
答案： (1)B (2)1
解析： (1)由 bcos C+ccos B=asin A 结合正弦定理,得 sin Bcos C+sin
1
2
BD= 22 + 42 -2 × 2 × 4 × =2 3.
在△BCD 中,因为∠BCD=120°,所以当 BC=CD 时,∠CBD=∠
CDB=30°,
·sin30°
=2,CD=2.
sin120°
根据正弦定理可得 BC=
1
2
1
2
故△BCD 的面积 S= BC·
CD·
sin∠BCD= ×2×2×
sin +
π
6
4
5
=- .
π
6
4
5
= ,
-24-
2
3
2.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A 等于(
A.
5
3
C.
15
3
5
3
B.-
5
3
D.-
)
-25-
答案：A
解析： ∵sin
2
2A= ,∴2sin
3
Acos
2
A= ,
3
即 sin A,cos A 同号.
∴A 为锐角,
sin
B=
3
=
【高考数学热点小专题】三角大题 三角变换与解三角形
3.3三角大题三角变换与解三角形必备知识精要梳理1.三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan 45°等.(2)角的配凑:如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β);α=12[(α+β)+(α-β)].(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化:一般是切化弦.2.解三角形的公式变形(1)正弦定理asinA =bsinB=csinC的一些变式:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②sinA=a2R ,sin B=b2R,sin C=c2R;③a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C.其中R是△ABC外接圆的半径.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A的变形为cos A=b2+c2-a22bc.当b2+c2-a2>0(=0,<0)时,角A为锐角(直角,钝角).3.三个等价关系在△ABC中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.关键能力学案突破热点一三角函数与三角变换的综合【例1】(2020北京海淀二模,17)已知函数f(x)=2cos2ω1x+sin ω2x.(1)求f(0)的值;(2)从①ω1=1,ω2=2;②ω1=1,ω2=1这两个条件中任选一个,作为题目的已知条件,求函数f(x)在[-π2,π6]上的最小值,并直接写出函数f(x)的一个周期.解题心得1.解决三角变换在三角函数图象与性质中的应用的基本思路是:通过变换把函数化为y=A sin(ωx+φ)的形式再研究其性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.2.三角变换的总体思路是化异为同,目的是通过消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、同次,或把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变换化成已知角.【对点训练1】(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=a sin2x-π6-2cos 2x+π6(a>0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,求实数m的取值范围.从①f(x)的最大值为1,②f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于π,③f(x)的图象过点(π6,0)这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.热点二利用正弦定理、余弦定理解三角形【例2】(2020山东,17)在①ac=√3,②c sin A=3,③c=√3b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=√3sinB,C=π,?6解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形,正弦定理的形式多样,其中a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为三角形外接圆的半径)能够实现边角互化.2.已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.,②a=2,③b cos A+a cos B=√3+1这【对点训练2】(2020山东菏泽一模,17)在①B=π3三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解决相应问题.已知在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若4S=b2+c2-a2,b=√6且,求△ABC的面积S的大小.热点三三角函数与解三角形的综合【例3】(2020山东聊城二模,18)在①a cos B+b cos A=2c cos C,②2a sin A cos B+b sin 2A=√3a,③△ABC的面积为S,且4S=√3(a2+b2-c2),这三个条件中任意选择一个,填入下面的问题中,并求解.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,函数f(x)=2√3sin ωx cos ωx+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,c为f(x)在[0,π]上的最大值,且,求a-b2的取值范围.解题心得对于在三角形中求解有关三角函数的图象和性质的题目,时刻不要忘记对角的范围的限制,特别是求三角函数值的范围或最值时,先要把自变量的取值范围求出来,再利用三角函数的单调性或利用三角函数线确定函数值的范围.【对点训练3】(2020山东烟台模拟,17)已知函数f(x)=1-2√3sin x cos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;(2)若在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且f(A)=0,求b的取值范围.c热点四三角变换与解三角形的综合【例4】(2020天津,16)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.(1)求角C的大小;(2)求sin A的值;(3)求sin(2A+π)的值.4解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2R sin A,b=2R sinB,c=2R sin C,R为三角形外接圆的半径,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注理的变形如cos A=b2+c2-a22bc意角的范围的限制,还有隐含条件:A+B+C=π,使用这个隐含条件可以减少未知数的个数.【对点训练4】(2020全国Ⅰ,文18)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.(1)若a=√3c,b=2√7,求△ABC的面积;(2)若sin A+√3sin C=√22,求C.热点五三角函数、三角变换与解三角形的综合【例5】(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin B sin C.(1)求A;(2)若BC=3,求△ABC周长的最大值.解题心得关于三角函数、三角变换与解三角形的综合题的解题思路,一般是由正弦定理、余弦定理求出某个量作为下面问题的已知量,然后利用三角变换,将所求的量化为f(x)=A sin(ωx+φ)或f(x)=A cos(ωx+φ)的形式,最终求出结果.【对点训练5】(2020浙江,18)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2b sin A-√3a=0.(1)求角B的大小;(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.核心素养微专题(三)核心素养在三角应用和三角综合题中的考查【例1】(多选)(2020山东济南三模,10)台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球,如图,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,假设和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.若球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,则tan α的值为()A.16B.12C.1D.32核心素养分析本例考查考生多个核心素养,首先需要考生在读懂题意的基础上,通过“直观想象”得到两种不同的碰撞情况;然后利用物理学中光的反射定律,通过“数学抽象”得到关于角α所在的直角三角形;再通过“数学建模”将问题转化为三角函数的模型;最后通过“数学运算”得出答案.【例2】(2020山东淄博4月模拟,18)已知A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;(2)若c=√3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.核心素养分析本例题是一道跨章节的综合题,在解三角形的题境下,将等差数列与余弦定理的知识相结合,将函数和正弦定理的知识相结合,应用到一个问题中.使三角形的周长的最值问题通过建立三角函数模型得到解决.考查了“数学建模”“数学运算”素养和知识的应用能力、迁移能力,同时也考查了方程与函数的思想.3.3 三角大题三角变换与解三角形关键能力·学案突破【例1】解(1)f(0)=2cos20+sin 0=2.(2)方案一:选条件①.f(x)的一个周期为π.f(x)=2cos2x+sin 2x=(cos 2x+1)+sin 2x=√2√22sin 2x+√22cos 2x+1=√2sin2x+π4+1.因为x∈[-π2,π6 ],所以2x+π4∈[-3π4,7π12].所以-1≤sin(2x+π)≤1.所以1-√2≤f(x)≤1+√2.当2x+π4=-π2,即x=-3π8时,f(x)在-π2,π6上取得最小值1-√2.方案二:选条件②.f(x)的一个周期为2π.f(x)=2cos2x+sin x=2(1-sin2x)+sin x=-2(sinx-14)2+178.因为x∈[-π2,π6 ],所以sin x∈[-1,1].所以-1≤f(x)≤17.当sin x=-1,即x=-π2时,f(x)在[-π2,π6]上取得最小值-1.对点训练1解(1)因为f(x)=a sin2x-π6-cos 2(x+π6)-1=a sin2x-π6-cos2x+π3-1=a sin2x-π6-cos2x-π6+π2-1=(a+1)sin2x-π6-1,所以函数f(x)的最小正周期T=π.因为a>0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.若选①,则a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1;若选②,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin(2x-π6)-1;若选③,则(a+1)sin2×π6−π6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-π6-1.(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.因为关于x的方程f(x)=1在区间[0,m]上有两个不同解,当x∈[0,m]时,2x-π6∈-π6,2m-π6,所以5π2≤2m-π6<9π2,解得4π3≤m<7π3.所以实数m的取值范围是4π3,7π3.【例2】解方案一:选条件①.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是2222√3b2=√32,由此可得b=c.由①ac=√3,解得a=√3,b=c=1.因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1.方案二:选条件②.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.所以B=C=π6.由A+B+C=π,得A=π-π6−π6=2π3.由②c sin A=3,即c sin2π3=3,所以c=b=2√3,a=6.因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2√3.方案三:选条件③.由C=π6和余弦定理,得a2+b2-c22ab=√32.由sin A=√3sin B及正弦定理,得a=√3b.于是3b2+b2-c22√3b2=√32,由此可得b=c.由③c=√3b,与b=c矛盾.因此,选条件③时,问题中的三角形不存在.对点训练2解因为4S=b2+c2-a2,cos A=b2+c2-a22bc ,S=12bc sin A,所以2bc sin A=2bc cos A.显然cos A≠0,所以tan A=1.又因为A∈(0,π2),所以A=π4.若选①B=π3,由asinA=bsinB,得a=bsinAsinB=√6×√2232=2.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选②a=2,由asinA =bsinB,得sin B=bsinAa=√32,因为B∈(0,π2),所以cos B=12.又因为sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=√6+√24,所以S=12ab sin C=3+√32.若选③b cos A+a cos B=√3+1,所以a cos B=1,即a ·a 2+c 2-62ac=1,所以a 2=6+2c-c 2.又因为a 2=6+c 2-2√6c ·√22=6+c 2-2√3c ,所以6+2c-c 2=6+c 2-2√3c ,解得c=√3+1. 所以S=12bc sin A=3+√32.【例3】 解 f (x )=2√3sin ωx cos ωx+2cos 2ωx=√3sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin 2ωx+π6+1.因为T=2π2ω=π,所以ω=1,f (x )=2sin (2x +π6)+1.因为0≤x ≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6,所以-12≤sin (2x +π6)≤1. 所以f (x )的最大值为3,即c=3.若选①,由a cos B+b cos A=2c cos C 及正弦定理可得sin A cos B+sin B cosA=2sin C cos C ,即sin(A+B )=2sin C cos C ,所以cos C=12,C为三角形内角,所以C=π3.若选②,由2a sin A cos B+b sin 2A=√3a 及正弦定理得2sin 2A cos B+2sinB sin A cos A=√3sin A.因为sin A ≠0,所以sin A cos B+sin B cos A=√32, 所以sin(A+B )=√32, 所以sin C=√32.因为C 为锐角,所以C=π.若选③,由4S=√3(a 2+b 2-c 2),得2ab sin C=√3(a 2+b 2-c 2),即sinC=√3(a 2+b 2-c 2)2ab ,所以sin C=√3cos C ,即tan C=√3,所以C=π3.因为c=3,C=π3,所以A+B=23π,csinC =2√3.a-b=2√3(sin A-sin B )=2√3sin A-sin 23π-A=2√3sin A-π3.因为π6<A<π2,所以-π6<A-π3<π6,所以-√3<2√3sin A-π3<√3.所以a-b 的取值范围为(-√3,√3).对点训练3 解 (1)f (x )=1-2√3sin x cos x-2cos 2x+m=-(√3sin 2x+cos 2x )+m=-2sin (2x +π6)+m ,由已知2+m=3,得m=1, 所以f (x )=-2sin 2x+π6+1.令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2,k ∈Z ,得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z , 所以函数f (x )的单调递增区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z . (2)由(1)知-2sin 2A+π6+1=0,所以sin 2A+π6=12, 由0<A<π2得π6<2A+π6<7π6, 所以2A+π6=5π6,解得A=π3.b c =sinBsinC=sin (π3+C )sinC=√32cosC +12sinC sinC=√32tanC+12.因为三角形ABC 为锐角三角形, 所以{ 0<C <π2,0<B =2π3-C <π2,解得π6<C<π2.所以tan C>√33,所以12<bc <2, 即bc 的取值范围为12,2.【例4】解(1)在△ABC中,由余弦定理及a=2√2,b=5,c=√13,可得cosC=a2+b2-c22ab =√22.又因为C∈(0,π),所以C=π4.(2)在△ABC中,由正弦定理及C=π4,a=2√2,c=√13,可得sin A=asinCc=2√1313.(3)由a<c及sin A=2√1313,可得cos A=√1−sin2A=3√1313,进而sin 2A=2sinA cos A=1213,cos 2A=2cos2A-1=513.所以sin(2A+π4)=sin 2A cosπ4+cos2A sinπ4=1213×√22+513×√22=17√226.对点训练4解(1)由题设及余弦定理得28=3c2+c2-2×√3c2×cos 150°,解得c=-2(舍去),c=2.从而a=2√3.△ABC的面积为12×2√3×2×sin 150°=√3.(2)在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C,所以sin A+√3sin C=sin(30°-C)+√3sin C=sin(30°+C).故sin(30°+C)=√22.而0°<C<30°,所以30°+C=45°,故C=15°.【例5】解(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=AC·AB.①由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB cos A.②由①②得cos A=-12.因为0<A<π,所以A=2π3.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB =ABsinC=BCsinA=2√3,从而AC=2√3sinB,AB=2√3sin(π-A-B)=3cos B-√3sin B.故BC+AC+AB=3+√3sin B+3cos B=3+2√3sin(B+π3).又因为0<B<π3,所以当B=π6时,△ABC周长取得最大值3+2√3.对点训练5解(1)由正弦定理, 得2sin B sin A=√3sin A,故sin B=√32,由题意,得B=π3.(2)由A+B+C=π,得C=2π3-A,由△ABC是锐角三角形,得A∈(π6,π2).由cos C=cos(2π3-A)=-12cos A+√32sinA,得cos A+cos B+cos C=√32sin A+12cos A+12=sin(A+π6)+12∈(√3+12,32].故cos A+cos B+cos C的取值范围是(√3+12,3 2 ].核心素养微专题(三)【例1】AD解析因为AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台边框后恰好进入角落C的球袋中,有两种情况,一种是球先和球台边框DC碰撞,另一种是球先和球台边框BC碰撞,第一种情况如图,A关于DC的对称点为E,C关于AB的对称点为F.根据直线的对称性可得tan α=EGGF =3AD2AD=32.第二种情况如图,A关于BC的对称点为G,C关于AD的对称点为E.根据直线的对称性可得tan α=EFFG =AD6AD=16.故选AD.【例2】解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cos C=-12,由余弦定理可得a2+b2-c22ab =-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,∴AC sinθ=BCsin(π3-θ)=√3sin2π3,即AC=2sin θ,BC=2sin(π3-θ).∴△ABC的周长f(θ)=AC+BC+AB=2sin θ+2sin(π3-θ)+√3=212sin θ+√32cos θ+√3=2sinθ+π3+√3.又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+√3.。
2021高考数学二轮专题复习2.3三角函数与解三角形课件.ppt
∴函数 f(x)在[0,2π]上的单调递减区间为6π，23π，67π，53π.
研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为 y＝Asin(ωx＋ φ)＋B 或(y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数 的性质求解.
＝sin 2x－ 3cos 2x＝2sin2x－π3 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
∵y＝sin x 的减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π，k∈Z， 由 2kπ＋2π≤2x－π3≤2kπ＋32π，k∈Z， 得 kπ＋152π≤x≤kπ＋1112π，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递减区间为kπ＋51π2，kπ＋1112π，k∈Z.
＝cos
ωxsin
ωxcosπ6＋cos
ωxsinπ6－14
＝
3 2 sin
ωxcos
x＋12cos2ωx－14＝
3 4 sin
2ωx＋14cos
2ωx
＝12
3 2 sin
2ωx＋12cos
2ωx＝12sin2ωx＋π6，
又 T＝22ωπ ＝π，∴ω＝1，
∴f(x)＝12sin2x＋6π，
(1)∵0<θ<2π，sin θ＝ 22，∴θ＝π4，
(2)由2π＋2kπ≤2x＋6π≤32π＋2kπ，k∈Z，得6π＋kπ≤x≤23π＋kπ， k∈Z，
令 k＝0，得6π≤x≤23π， 令 k＝1，得76π≤x≤53π， ∴函数 f(x)在[0,2π]上的单调递减区间为6π，23π，67π，53π.
2021年高考数学大二轮复习专题三三角函数3.2三角变换与解三角形练习
3.2 三角变换与解三角形【课时作业】A 级1．(2021·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，那么AB ＝( )A ．4 2B ．30 C.29D ．2 5解析： ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝32＝4 2. 应选A. 答案： A2．(2021·山东菏泽2月联考)α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，那么tan(π＋2α)＝( )A.427B ．±225C ．±427D ．225解析： ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，∴cos α＝13，sin α＝－223，由同角三角函数的商数关系知tan α＝sin αcos α＝－2 2.∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－421－－222＝427，应选A. 答案： A3．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，假设A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，那么△ABC 的面积等于( )A.32B ．34C.36D ．38解析： 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3＝B ，那么△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案： B4．假设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，且3cos 2α＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，那么sin 2α的值为( ) A.79 B ．－79C ．－19D ．19解析： 3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，π，所以cosα－sin α≠0，所以3(cos α＋sin α)＝22，即cos α＋sin α＝223，两边平方可得1＋sin 2α＝89⇒sin 2α＝－19.答案： C5．(2021·南昌市第一次模拟测试卷)台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以vA 西偏北β(β为锐角)的200千米处，假设cos α＝34cos β，那么v ＝( )A ．60B ．80C ．100D ．125解析： 如图，台风中心为B,C ，那么在△ABC 中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β.∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β， ∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，应选C.答案： C6．化简：2sin π－α＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.答案： 4sin α7．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，那么sin 2Asin C＝________.解析： sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46·25＋36－162×5×6＝1.答案： 18．(2021·开封市高三定位考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tanB ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，那么b ＋c 的值为________．解析： 由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin Acos A ＝2sin C ·sin Bcos B ，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.答案： 79．(2021·浙江卷)角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)假设角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解析： (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．(2021·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解析： (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314， 所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.B 级1．(2021·河南濮阳一模)△ABC 中，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，那么sin 2Bsin B ＋cos B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，22 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C ．(－1，2)D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，3－32解析： 由sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，知a ，b ，c ，成等比数列，即b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c 2a －12≥2a 2c ·c 2a －12＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立，可知B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，设y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin B cos B sin B ＋cos B ，设sin B ＋cos B ＝t ，那么2sin B cos B ＝t 2－1.由于t ＝sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4，B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，所以t ∈(1，2]，故y ＝sin 2B sin B ＋cos B ＝2sin B cos B sin B ＋cos B ＝t 2－1t ＝t －1t ，t ∈(1，2]，因为y ＝t －1t 在t ∈(1，2]上是增函数，所以y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22.应选B. 答案： B2．(2021·石家庄质量检测(一))如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析： 设∠ABC ＝θ，θ∈(0，π)，那么由余弦定理得AC 2＝3－22cos θ，由正弦定理得1sin ∠ACB ＝AC sin θ，得sin ∠ACB ＝sin θAC.在△DCB 中，由余弦定理可得，BD 2＝CD2＋2－22CD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝AC 2＋2＋22AC sin ∠ACB ＝3－22cos θ＋2＋22AC ×sin θAC ＝5＋22(sin θ－cos θ)＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，当θ＝3π4时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4max＝1，∴BD 2max ＝9，∴BD max ＝3. 答案： 33．向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x ，3sin x )，f (x )＝a ·b . (1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求△ABC 面积的最大值．解析： (1)易得a ＝(－sin x ，cos x )， 那么f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )时，f (x )取最大值是32.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12⇒A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以12＝b 2＋c 2－bc ， 所以b 2＋c 2＝bc ＋12≥2bc ，所以bc ≤12(当且仅当b ＝c 时等号成立)， 所以S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.所以当△ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3.4．如图，在一条海防戒备线上的点A 、B 、C 处各有一个水声检测点，B 、C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A 、B 同时接收到该声波信号，声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防戒备线AC 的距离．解析： (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－x －1222x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防戒备线AC 的距离为421千米．。
高考二轮复习数学课件(新高考新教材)第2讲三角恒等变换与解三角形
cos
β=1+sin
=
sin
,
cos
∴cos αcos β=sin β+sin αsin β,
即 sin β=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β).
∵α, ∈
π
0,2
,∴sin β>0,∴cos(α+β)>0,∴α+ ∈
∴sin(α+2β)=1.
π
0,2
π
,∴β+(α+β)=2,
2
2
2
关键能力•学案突破
突破点一 三角恒等变换及其应用
sin(1+sin2)
[例 1—1](2021·新高考Ⅰ,6)若 tan θ=-2,则 sin+cos =(
6
A.5
2
B.5
Hale Waihona Puke 2C.5)
6
D.
5
答案 C
解析
sin(1+sin2)
sin+cos
sin2 +sincos
= 2
=
[例 3—2]小明同学为了估算某建筑物的高度,在建筑物的正东方向找
到一座楼房 AB,高为(15 3-15)m,在它们之间的地面上的点 M(B,M,D
三点共线)处测得楼顶A、建筑物顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测
得建筑物顶C的仰角为30°,则小明估算该建筑物的高度为(
A.20 m
B.30 m
对点练2
(1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 A=3,b=4,△ABC 的面积为
3 3,则 sin B=(
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质课件
例 1 若 sin θ＝－54，tan θ＞0，则 cos θ＝________． 解析：由已知 sin θ＝－45，tan θ＞0，知 θ 在第三象限， ∴cos θ＝－ 1－sin2 θ ＝－ 1－－452＝－35. 答案：－35
(1)三角函数线是研究三角函数性质的主要依据，在函 数值大小比较时经常运用．
则 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝ccooss22θθ＋－ssiinn22θθ＝11＋－ttaann22θθ
＝－35.
例 2 设向量 a＝sin2π＋4 2x，cos x＋sin x，b＝(4sin x，cos x－sin x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)的解析式； (2)已知常数 ω>0，若 y＝f(ωx)在区间－π2 ，23π上是增函 数，求 ω 的取值范围；
(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的 化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式及公式的 应用条件．
1．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重
合，终边在直线 y＝2x 上，则 cos 2θ＝(B)
A．－45
B．－53
3
4
C.5
D.5
解析：∵角 θ 的终边在直线 y＝2x 上，∴tan θ(x)＝Asin(ωx ＋φ)的解析式．
解析：由图象，知最大值为 3.则 A＝ 3.12T＝21π，故 ω
＝2.所求解析式为 y＝ 3sin(2x＋φ)．
∵点 Mπ3 ，0在图象上，∴φ＝－23π＋2kπ(k∈Z)．
取 φ＝－23π，∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
根据三角函数的图象特征转化为求函数的周期、最值、 单调区间问题，并且用代数式表示．
2．已知 ω>0，0＜φ＜π，直线 x＝π4 和 x＝5π 4 是函数 f(x)＝sin(ωx
高考数学新课标全国二轮复习课件3.三角函数、解三角形及平面向量2
2������-������ = 0, ������ 2 + ������ 2 = 0, ������ = ������ =
5 5 或 2 5 5
解得
,
������ = ������ = -
5
5 2 5 5
, ,
所以|x+2y|= 5.
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)(a+b)· a=0,所以 a· b=-a2,设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|������ |· =- ,所以夹角为 120°. |������ | 2 答案:(1) 5 (2)120°
考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2 向量的模及夹角问题
(1)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|= (2)向量(a+b)与a垂直,且|b|=2|a|,则a与b的夹角为 解析:(1)因为m⊥b,所以m· b=2x-y=0. 又m为单位向量,所以x2+y2=1. . .
由
①a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0. ②a⊥b⇔a· b=0⇔x1x2+y1y2=0.
③向量的夹角 cos θ=|������ ||������ | =
������ · ������
������ 1 ������ 2 +������1 ������2
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
系.
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
平面向量的概念与运算 (1)要准确理解平面向量的概念 ①零向量的模为 0,方向是任意的,它与任何非零向量都共线;② 与 a 共线的单位向量为±|������ |;③方向相同或相反的向量叫做共线向量 (或平行向量);④向量的夹角:已知非零向量 a 与 b,作������������=a,������������=b,则 ∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫向量 a 与 b 的夹角;⑤向量的投影:设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影. (2)平面向量数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹 角为 θ,则 a· b=|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积).规定 0· a=0.
2021年高考数学二轮复习专题3三角3三角变换与解三角形课件理
cos∠
BDC=25+8-2×5×2 2 ×
所以 BC=5.
2
=25.
5
-13考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得在三角形中,两角一边能应用正弦定理求其余的边;两
边及其夹角求夹角的对边或两边及一边的对角求另一边都能直接
利用余弦定理来解决.
-14考向一
考向二
考向三
考向四
对点训练 2(2018 山东济宁一模,文 17)在△ABC 中,角 A,B,C 所
3.三个等价关系:在△ABC 中,a>b⇔sin A>sin B⇔A>B.
-7考向一
考向二
考向三
考向四
三角式中的化简与求值
4
5
例 1(2018 江苏卷,16)已知 α,β 为锐角,tan α=3,cos(α+β)=- 5 .
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
-8考向一
考向二
对的边分别为 a,b,c,a= 3b,且 sin B=sin C.
(1)求角 A 的大小;
(2)若 a=2 3,角 B 的平分线交 AC 于点 D,求线段 BD 的长度.
-15考向一
考向二
考向三
考向四
解: (1)由 sin B=sin C 及正弦定理知 b=c.
又 a= 3b,由余弦定理得 cos
-9考向一
考向二
考向三
考向四
解题心得解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为
同,目的是消元减少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异
角、异次化为同名、同角、同次;如在三角函数求值中,把未知角
用角表示,或把未知角通过三角变换化成角;对于三角函数式中既
高考数学二轮复习课件专题三三角变换与解三角形
=
15 4
3.故选
A.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-15-
解三角形 【例 3】(2019 广东揭阳一模)在△ABC 中,AC=4 2,∠C=π,点 D 在
6
BC 上,cos∠ADC=-13. (1)求AD的长. (2)若△ABD的面积为2 2 ,求AB的长. 分析推理(1)先根据同角三角函数关系得sin∠ADC,再根据正弦定
=-
1100,故选
C.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-10-
(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,
由 则题∠B意A知C=∠αB+Aπ4D. =π4.设∠DAC=α, ∵BC=3AD,BD=AD,
∴DC=2AD,AC= 5AD.
∴sin α= 2 = 2 5,cos α= 1 = 5.
高频考点•探究突破
-6-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
即时巩固1(1)已知sin θ+cos θ=2sin α,sin 2θ=2sin2β,则( C )
A.cos β=2cos α B.cos2β=2cos2α
C.cos 2β=2cos 2α D.cos 2β=-2cos 2α
(2)(2019
π
4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出 最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内 角).
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-13-
即时巩固 2(1)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的
高三数学二轮复习 3.2三角变换及解三角形课件
55，∵α∈(0，π)，∴sinα＝2
5 5.
∴csions2ππ4－＋α2α＋－ccooss23π4π＋－αα2
＝cos2π4s＋in2αα－－csoins2απ4＋2α
＝scinoαs－π2＋coαsα＝sin－α－sincαosα＝－23.
(2)∵cosα＝－
5 5
，sinα＝
2 5
5
⇒sin2α＝－
(2011·大纲全国文，18)△ABC的内角A、B、C的对 边分别为a、b、c，asinA＋csinC－ 2asinC＝bsinB.
(1)求B； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解析] (1)∵asinA＋csinC－ 2asinC＝bsinB
∴a2＋c2－ 2ac＝b2
∴a2＋c2－b2＝ 2ac
[评析] 利用两角和与差的三角函数及倍半公式进行恒等变 式时，要合理地应用公式，注意角的变化，函数名的变化 和函数结构的变化．
(2011·哈尔滨质检)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝ ( 2， 2)，若a·b＝85，且4π<x<π2.
(1)求cosx－π4和tanx－π4的值； (2)求sin21x－1t＋antxanx的值．
∴sinα＋π4＝－45，
从而cos2α＝sin2α＋π2 ＝2sinα＋π4cosα＋π4 ＝2×－45×35＝－2245. sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4 ＝1－2×352＝275. ∴cos2α＋4π＝ 22(cos2α－sin2α) ＝ 22×－2245－275＝－3510 2.
6．面积公式 S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.
7．解三角形 (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解； (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解， 解的情况可能不唯一；