例谈函数性质的恒成立性羊兆刚
“接地气”──例析“恒成立与存在性问题”的教、学、考
８・
中 学教 研 （ 数 学）
“ 接地气 ＂ 一一 例析“ 恒 成 立 与 存 在 性 问题 ＂的教 、 学、 考
●李 兆江 （ 曹甸高级中学 江苏宝应 ２ ２ ５ ８ ０ ３ ）
新 一 轮课 程 改 革 ， 新教材在 “ 常 用 逻 辑用 语 ”
一
此 案例 另一分 析视 角将在 下 面谈 到 ．
） ＝ 詈 一 号 ＋ ・ ≥ ０ ，
则 从 而实 数 的值 为 ４ ． ｎ ＞４ Ｉ ，
实质上 ， 中学 的数 学概 念 中 ， 与全称 量词 、 存 在
量词相 关 的概 念 比 比皆是． 如 Ａｃ ， 是指 Ｖ ∈Ａ， 则 ∈Ｂ， 且 ］ ‰Ｅ Ｂ但 ‰ 隹Ａ ． 函数 是 用 全称 量 词 与存 在量词 来定 义 ， 在 下 述 案 例 中将 提 及． 单 调 增
值， 而不 是求 参数 范围 ， 设 问新 颖 ， 赢 得 一线 教师 一 片赞誉 ． 考后 ， 笔者 私下 和部分 考 生交 流后发 现 ， 在
１ 回归本 源 ， 遵 循课 改理 念“ 接地 气 ”
限时作答的高考考场上 ， 能做出答案 的大多数学生 的思维模模糊糊 ， 在区间［一 １ ， １ ］ 上赋多个值 ， 夹 出实数 ． 应 当说 ， 学生 的解法 是悟 到 了恒 成 立 问题 的本 质， 是对常规解法进行合理优化而得 ， 是“ 接地气 ”
立．
值取向也各不相同． 大多是结合其他省份高考试题 中出 现的恒 成 立 与 存 在性 问题 （ 此处不再 罗列） ， 对参变量 ｎ 进行分类讨论 ， 求 ） 最小值． 更风靡 的解 法是 实施 变量 分离 ， 将 问题 转化 为 ｎ ≥ｇ（ ） 恒
成立 ， 求解 ｎ ≥ｇ （ ） ， 若 是 存 在 性 问题 ， 则 求 解
恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
对于二次函数)0(0)(2≠>++=a c bx ax x f 有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a（3）当0>a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⇔若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（4）当0<a 时，若],[0)(βα在>x f 上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f若],[0)(βα在<x f 上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 例2若关于x 的二次不等式：01)1(2<-+-+a x a ax 的解集为R ，求a 的取值范围.解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数x 原不等式都成立。
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略
高中数学解题方法系列：函数中“恒成立问题”的类型及策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立。
某函数地定义域为全体实数R 。
●某不等式地解为一切实数。
❍某表达式地值恒大于a 等等…恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数地性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生地综合解题能力,在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了积极地作用.因此也成为历年高考地一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数地奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数地图象.二、恒成立问题解决地基本策略<一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min)]([)(x f m D x x f m≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x>地最大值或者最小值问题,我们可以通过习题地实际,采取合理有效地方法进行求解,通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f<x）地最值.这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛,在处理上也有许多特殊性,也是近年来高考中频频出现地试卷类型,希望同学们在日常学习中注意积累.(二>、赋值型——利用特殊值求解等式中地恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4=(x+1>4+b 1(x+1>3+b 2(x+1>2+b 3(x+1>+b 4定义映射f：(a 1,a 2,a 3,a 4>→b 1+b 2+b 3+b 4,则f：(4,3,2,1>→(>A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0,则a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4=0,故选D例2．如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线x=8π-对称,那么a=<）.A .1B .-1C .2D .-2.略解：取x=0及x=4π-,则f(0>=f(4π->,即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三）分清基本类型,运用相关基本知识,把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x>=ax+b(a≠0>,若y=f(x>在[m,n]内恒有f(x>>0,则根据函数地图象<直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理,若在[m,n]内恒有f(x><0,则有)(0)(<<n f m f 例2．对于满足|a|≤2地所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立地x 地取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将a 视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于a 地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a>=(x-1>a+x 2-2x+1,则f(a>在[-2,2]上恒大于0,故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.即x∈(－∞,－1>∪(3,+∞>此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上地图象是一线段,故只需保证该线段两端点均在x 轴上方<或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点,同学们要加强学习、归纳、总结,提炼出一些具体地方法,在今后地解题中自觉运用.<1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0>大于0恒成立,则有00<∆>且a <2）若是二次函数在指定区间上地恒成立问题,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解.例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 地定义域为R,求实数a 地取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题,并且注意对二次项系数地讨论.解：依题意,当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立,所以,①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述,f(x>地定义域为R 时,]9,1[∈a 例4.已知函数2()3f x x ax a =++-,在R 上()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：()y f x =地函数图像都在X 轴及其上方,如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求a 地取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时,()0f x ≥恒成立,只需)(x f 地最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭,令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .⑴当22a -<-,即4a >时,()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤又4a> a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤,即44a -≤≤时,2()(3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->,即4a <-时,()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥-又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述,72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时,()2f x ≥恒成立,求a 地取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立,若把2移到等号地左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥,即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述,2225-≤≤-a .解法二：<运用根地分布）2—2⑴当-<-2,即a >4时,g (a )=f (-2)=7-3a ≥2∴a ≤2a ∉(4,+∞)∴a 不存53在.⑵当-2≤-≤22a,即-4≤a ≤4时,2g (a )=f (a 2)=--a +3≥24a ,2-22-2≤a ≤2－22-2∴-4≤a ≤2⑶当->2,即a <-4时,g (a )=f (2)=7+a ≥2,2a∴a ≥-5∴-5≤a <-4综上所述-5≤a ≤22-2.此题属于含参数二次函数,求最值时,轴变区间定地情形,对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地,轴动区间定,方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5）,而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量地范围已知,另一个变量地范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边,则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立,则g(a><f(x>min 。
方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题
方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题在数学中，函数是一种描述两个集合之间的对应关系的工具。
函数中的公式通常包含变量，通过给定变量的值，可以计算出函数的值。
然而，在函数的研究和应用中，我们会遇到一些函数恒成立与存在性的问题。
首先，函数中的恒成立问题是指函数中一些等式对于所有变量的取值都成立。
这意味着，无论我们取函数中的任意变量值，方程都会成立。
如果我们证明了一些等式在整个定义域上都成立，那么我们就称它为函数中的恒成立等式。
例如，对于任意实数x，函数f(x)=x^2-x+6中的等式f(x)=f(2)始终成立。
我们可以验证当x取任意实数时，等式都成立。
这说明f(x)=f(2)是这个函数中的恒成立等式。
其次，函数中的存在性问题是指函数是否存在合适的定义域和值域。
函数的定义域是指所有可能的输入值，而值域是指函数输出的所有值。
在研究函数时，有时候我们需要确定一个函数是否存在，并找到合适的定义域和值域。
例如，考虑函数f(x)=1/x，在x=0时，函数的定义域不存在，因为0作为除数是不合法的。
然而，在其他任意实数x上，函数都有定义，并且值域是实数集合。
因此，函数f(x)=1/x在定义域上存在，并且值域为实数。
解决函数中恒成立与存在性问题的方法和技巧如下：1.使用代数方法：我们可以通过代数运算和等式推导来证明函数中的恒成立等式。
根据等式的性质和规律，我们可以对等式进行变形和化简，证明等式在所有变量取值下都成立。
2.使用图形方法：对于一些函数，我们可以通过绘制图形来分析函数的行为和性质。
通过观察函数的图形，我们可以判断函数是否存在，以及函数中是否存在一些等式。
3.使用定义和性质：函数的定义和性质是解决函数恒成立与存在性问题的重要依据。
我们可以运用函数的定义和性质，结合数学推理和逻辑推导，来证明函数中的恒成立等式和存在性问题。
4.使用反证法：当我们无法通过直接证明函数的恒成立等式或存在性问题时，可以尝试使用反证法。
高一函数恒成立与存在性问题
① ' . _ 1 ^ -■二 5. 解决数学恒成立与存在性问题的方法:函数恒成立与存在性问题 沈阳市第十一中学 赵拥权 基础知识: 1. 1. 恒成立问题： ① =■ I -I ■ ; ' - ' ■'. ② 江忑 < 贬〕恒威亶丄也c 心；沙 ③ v x e iXg(x) A rto 恒成立•记 F(X) - gbc) - r(x)> 几则(曲)-f«)伽 > o ④ 刊E D 尼3 < f(x)恒成立値F00 = g(x)-心)< ①则(曲)-1W)仙< 0 e D lt x 2e/)£r f(x l )>g(x 2)恒成立"则巧)》9(七〉 ⑤ ⑥■: ■'•■■■ ' 2. 2. 3. 3. 存在性问题： ① 环 fta > fW 成立厠0 > f(x)mtft ② 1 ③ 办 e D 屯仗)>『仗)成立尼F(X) = g(x) - f(x) > 0刚(g(x) - f(x)> 顷“ > 0 ④ 朝 E 氏g(x) < 血)成立.足F(X) = g(x) - f(x) < 0刚 <g(x) - f(x)> 顶"< 0 3^1eD 1^€D 2/(x 1)>ff (x 2)成立"则ft-Xi) >ff(x 2y ⑤ ⑥刃［ED ］叫€"諾(巧)V 讥可)成立■则『(冇)品V®伍)g 恒成立与存在性混合不等式问题： ①vxED r 3^en JJ /(x 1)>tf (x 2)成立■则r(^)m .n >^(x 2)二恒成立与存在性混合等式问题：若 f(x),g(x)的值域分别为A,B,则4. 4.①函数性质法；②参数分离(主参分离)法；③主参互换法；④数形结合法；典例分析：例一：(1).已知询怎［-1」〕时不等式尤三+(肚-4)丈+ 4-2口A0恒成立，则x的取值范围为__⑵.不等式血> - 1)对满足Iml <2的一切实数m都成立，则x的取值范围为—;(3) __ .已知a是实数，函数:二"—曲:八-心彳在」上恒小于零，则实数a的取值范围;⑷•若关于x的不等式ax2-2A + 2> €■在区间(1,4)上恒成立，则实数a的取值范围 _____ ;(5) .已知a是实数，函数f(^) = x +2(a - 2)x丰4在x E ［- I i］|上张)A u恒成立，则实数a的取值范围_____ ;2(6) .不等式+JMJT-KO对于任意xE［gm + l］都成立，贝y m的取值范围为—;.(7) .已知函数一咦；：二一厂Hi，当时，恒有f(x)'，则a的取值范围_____(8) .已知函数| 当心丄厂时，恒有f(x)二‘ I ,则a的取值范围_______(9) 已知一次函数：:' J■ - 当……时，恒有f(x) ，贝U m的取值范围_____例二：(1) •若存在实数x,使关于x的不等式ax2-4x + d- 3<0成立,则实数a的取值范围__________(2) ____________________________________________________________________ .关于x 的不等式-V2+UX-2>0在区间［1,引上和斛,则实数a的取值范围_______________________ ;(3) 关于x的二次方程+ -l)x + l =°在区间［0,2］上冇解，则实数m的取值范围 _2(4) •不等式上+吋-丄U0对于xE(23fj解，则m的取值范围为_;.1* 丘(°・R 斗"=Jog x(5) .当2时,不等式武有解|牙德敬1的取值范围;1 z l(x) = -x_+ 工占(尤)=ln(x+ 1)- a;例三：已知函数亠①"巧€ 七w I也rb J a刈(勺)*te成立"求实数晟的取值范围•②€ (o,2Lax2€>期(七)成立"求实数日的取值范围•③兀E ［0.2皿严［沏他(x J ^区)成丸求咒数彳的取值范围•④女代［0.21少严［0.2］”便鮒（巧）（切，求实数日|的取值范围；⑤汰代［0盘叫门02］的帥何）=曲）求实数殳的取值范围；⑥兀€血2估七定［0・乳便得八珀）=/勺），求实数日的取值范围；例四：（1•当K E （1,2）时,不等式（兀7）‘他/恒成立求丈数日的取值范围；1⑵.当”（°吃）时，不等式* cog/恒成立』求实血的取值范围；⑶•已知->-I：.-.-. -：-■ .■- ■■<■.' L. - - -•若泾 G订淇：订「或g（x），则m的取值范围习题：2 耳，#1.当=2「册「I时，不等式「恒成立療覧昱血的取值范围；2.已知函数f（x）」°弘XE(2x-a)12U,恒有fi>）AO则实数a|的取值范围；3.已知函数f(x)=h +此+ 3,VX E：1 - 2,21，恒有f（x）> d.则实的取值范围；1 + 2' + 4X4.已知函数f(x)=lg (3H；・XE（-8. 1）时，恒有『（X恒仃点:文，则宾数2的取值范围；5. 已知函数f（x）=：卜，；i：二一,恒有込讥戈•豹江的取值范围；1 亠6. 已知證二°11-』土1*函数f（x）=H “口，当"（-1,1 HJ ,恒有 2 '的取值范围；X + 17. 已知函数血）〕吧R'Xi + E,恒有mi +忆也-i）m则文如的取值范围；8. 已知函数f（x）»- ■"—…，恒有I—；-*.：.」：■ '■ ■■- 1-的取值范围；29. 已知函数f（x）=mx - J人吻辰杠3 ,恒有f（x）J m + 5.则宾数m的取值范围；。
函数导数中的恒成立问题解题技巧
临沂市高三二轮会材料函数导数中的恒成立问题解题技巧函数导数中的恒成立问题解题技巧新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.一、利用函数的性质解决恒成立问题例1 已知函数32=+--++(,)()(1)(2)f x x a x a a x ba b∈R．(1)若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；(2)若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解：(1)由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a (2)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a所以a 的取值范围是{}15-<<-a a .【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.二、利用数形结合思想解决恒成立问题例2 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点．（1）求a ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围．【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a 的值；（2）求函数的单调区间借助()0f x '>可以求出单调递增区间，()0f x '<可以求出单调递减区间；（3）根据函数()f x 的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b 的取值范围.解：（1）因为()'2101a f x x x =+-+，所以()'361004a f =+-=，因此16a =． （2）由（1）知，()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞，()()2'2431x x f x x -+=+ 当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x >；当()1,3x ∈时，()'0f x <．所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3．（3）由（2）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29=-f ，极小值为()332ln 221f =-因此()()21616101616ln291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln221,16ln29--．【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.三、分离参数解决恒成立问题例3 已知函数()ln a f x x x=-， (1)当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性；(2)若2()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．解：(1)由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x+'=+=． 0,()0a f x '>∴>，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数． (2)322ln ,0.ln ,)(x x x a x x x a x x x f ->∴><-∴<又 令232116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x-''=-==+-=-=， ()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<，()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．令1a ≥-得()a g x >，∴当2()f x x <在(1,)+∞恒成立时，a 的取值范围是{}1-≥a a ．【方法点评】分离参数是恒成立问题中的一种重要解题方法，分离参数后，构造新函数，求新函数的最值即可解决恒成立问题中的参数取值范围.四、利用两个函数的最值解决恒成立问题例4 [2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a e x ln x ＋b e x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )>1.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，所以当x ∈)1,0(e 时，g ′(x )<0；当x ∈),1(+∞e时，g ′(x )>0. 故g (x )在)1,0(e 上单调递减，在),1(+∞e上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为)1(eg ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x )．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .因为g min (x )＝)1(eg ＝h (1)＝h max (x )， 所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.五、不等式中的恒成立问题例5 (2016•山东)已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈恒成立． 解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，223322(2)(1)()a ax x f x a x x x x --'=--+= 当0a ≤时，若(0,1)x ∈，则()0,()f x f x '>单调递增，若(1,)x ∈+∞，则()0,()f x f x '<单调递减．当0a >时，3(1)()(a x f x x x x -'=-+.(i)当02a <<1>.当(0,1)x ∈或)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增．当x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减．(ii)当2a =1=，在区间(0,)+∞内，()0,()f x f x '≥单调递增．(iii)当2a >时，01<<.当x ∈或(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，当x ∈时，()0,()f x f x '<单调递减． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；当02a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在上单调递减，在)+∞上单调递增；当2a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在（0，2a ）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：由(1)知，当1a =时，22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x -'-=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，[1,2]x ∈ 设()ln ,()g x x x h x =-=233121,[1,2]x x x x=+--∈，则()()()()f x f x g x h x '-=+．由1()0x g x x-'=≥，可得()(1)1g x g ≥=，当且仅当1x =时取得等号． 又24326()x x h x x--+'=.设2()326x x x ϕ=--+，则()x ϕ在[1,2]上单调递减． 因为(1)1,(2)10ϕϕ==-，所以0(1,2)x ∃∈，使得当0(1,)x x ∈时，()0x ϕ>，0(,2)x x ∈时，()0x ϕ<.所以()h x h (x )在0(1,)x 上单调递增，在0(,2)x 上单调递减． 由1(1)1,(2)2h h ==，可得1()(2)2h x h ≥=， 当且仅当2x =时取得等号． 所以3()()(1)(2)2f x f xgh '-=+=， 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． 六、利用恒成立问题求参数的取值范围 例6 (2015·北京)已知函数 。
函数的恒成立问题
函数的恒成立问题函数的恒成立问题是一个重要的数学概念，它涉及到函数的性质和不等式的解法。
这类问题在数学高考和数学竞赛中经常出现，是考察学生数学思维和解题能力的重要题型。
函数的恒成立问题是指对于某个区间内的所有x值，函数f(x)都满足某个条件或不等式，即f(x)恒成立。
解决这类问题通常需要运用函数的性质、导数、参数分离等多种方法。
具体来说，解决函数的恒成立问题可以通过以下几种方法：1. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来证明函数恒成立。
2. 导数法：通过求函数的导数，研究函数的单调性和最值，进而证明函数恒成立。
3. 参数分离法：将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题，再证明该最值满足条件。
4. 数形结合法：将函数与图形结合，通过观察图形的性质来证明函数恒成立。
举个例子，假设我们要求证函数f(x) = x^2 - 2x在区间[0,3]上恒成立。
我们可以采用以下步骤：1. 首先求出函数f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 2x - 2。
2. 然后通过分析f'(x)的符号，确定函数的单调性。
当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。
由此可知，f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增。
3. 接下来求出函数在区间端点的值，即f(0)、f(1)、f(3)。
计算得到f(0) = 0，f(1) = -1，f(3) = 3。
4. 最后比较这些值，发现f(0)、f(1)、f(3)都满足条件，因此可以证明函数f(x)在区间[0,3]上恒成立。
以上是解决函数恒成立问题的一种基本思路和方法，当然具体的解题过程可能因题目的不同而有所差异。
在解决这类问题时，需要灵活运用数学知识，注重思维方法的训练和解题技巧的提升。
解决高中数学函数的存在性与恒成立问题的几种方法（建议收藏）
解决⾼中数学函数的存在性与恒成⽴问题的⼏种⽅法（建议收藏）函数内容作为⾼中数学知识体系的核⼼也是历年⾼考的⼀个热点.在新课标下的⾼考越来越注重对学⽣的综合素质的考察恒成⽴问题便是⼀个考察学⽣综合素质的很好途径它主要涉及到⼀次函数、⼆次函数、三⾓函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质渗透着换元、化归、数形结合、函数与⽅程等思想⽅法在培养思维的灵活性、创造性等⽅⾯起到了积极的作⽤.近⼏年的数学⾼考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成⽴问题其形式逐渐多样化但它们⼤都与函数、导数知识密不可分.解决⾼中数学函数的存在性与恒成⽴问题常⽤以下⼏种⽅法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.⼀、函数性质法即构造函数⼀种最重要的思想⽅法就是构造适当的函数即构造函数在解决函数存在性与恒成⽴问题时在解决函数存在性与恒成⽴问题时⼀种最重要的思想⽅法就是构造适当的函数需要同时注意在⼀个含多个变量的数学问题中需要法然后利⽤相关函数的图象和性质解决问题然后利⽤相关函数的图象和性质解决问题同时注意在⼀个含多个变量的数学问题中⼀般来说已知存在已知存在使问题更加⾯⽬更加清晰明了⼀般来说确定合适的变量和参数从⽽揭⽰函数关系从⽽揭⽰函数关系使问题更加⾯⽬更加清晰明了确定合适的变量和参数此法关键在函数的构造上常见于两种⽽待求范围的量视为参数.此法关键在函数的构造上常见于两种----⼀分为范围的量视为变量⽽待求范围的量视为参数范围的量视为变量即体现数形结合思想另⼀点充分利⽤函数的图象来分析即体现数形结合思想⼆或和⽽为⼀另⼀点充分利⽤函数的图象来分析⼆或和⽽为⼀⼆、分离参数法主参换位法三、三、主参换位法当分离参数会遇到讨论的⿇烦或者即使能容易分离出参数某些函数存在性与恒成⽴问题中当分离参数会遇到讨论的⿇烦或者即使能容易分离出参数某些函数存在性与恒成⽴问题中可考虑变换思维⾓度.即把主元与参数换个位置再结合其即把主元与参数换个位置再结合其但函数的最值却难以求出时可考虑变换思维⾓度与变量与变量但函数的最值却难以求出时易把它看成关此类问题的难点常常因为学⽣的思维定势易把它看成关它知识往往会取得出奇制胜的效果往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学⽣的思维定势它知识从⽽因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换⼀下思路把待求的把待求的x为参的不等式讨论从⽽因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换⼀下思路于X的不等式讨论构造新的关于参数的函数再来求解参数再来求解参数x应满⾜的条件这样问题就轻⽽易举的数以m为变量为变量构造新的关于参数的函数得到解决了.数形结合法四、数形结合法四、往往可通过图象、图形的位置关系建如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时往往可通过图象、图形的位置关系建如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时利选择适当的两个函数利解决此类问题经常要结合函数的图象选择适当的两个函数⽴不等式从⽽求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象⽤函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利⽤数形结合解决不等式问题关键是构造准确做出函数的图象函数函数准确做出函数的图象由于试题只能通过图⽚形式呈现，需要下载电⼦版本请按留⾔或私信。
(高一用)函数中的恒成立存在性问题精品PPT课件
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
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高一上学期专题5--函数的恒成立问题
高一上学期专题5 函数的恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量别离型；⑤数形结合型. 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题. 策略一、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,那么f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0 例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π- 对称，那么a=〔 〕.A .1B .-1C .2D . -2.策略二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),假设y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，那么根据函数的图象〔线段〕〔如下列图〕 可得上述结论等价于ⅰ〕⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ〕⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，假设在[m,n]内恒有f(x)<0，那么有⎨⎧<0)(m f例3a,x 的取值范围.策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 f(x)>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f(x)<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.例4． 假设函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例5.函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式1：假设[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 变式2：假设[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.策略四、变量别离型——别离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：假设对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，那么g(a)<f(x)min ;假设对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，那么g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值例6.三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例7. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，假设12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .策略五、数形结合——直观求解例8. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围. 解不等式恒成立的四种方法 1 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
恒成立与存在性问题
01
总结词
一次函数性质简单，常用于基础问 题。
总结词
一次函数在定义域内单调，不存在 极值点。
03
02
总结词
一次函数图像为直线，单调性明显。
总结词
一次函数在定义域内单调，恒成立 与存在性问题较易解决。
04
二次函数的恒成立与存在性问题实例
总结词
二次函数开口方向由二次项系数决定。
总结词
二次函数在区间$[-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-
利用三角函数的周期性、对称性、数形结合 等方法，判断三角函数在某个区间内是否存 在极值点或零点。
三角函数存在性问题的应 用
在解决实际问题中，如物理、工程等领域， 常常需要判断某个三角函数是否满足某些条
件，如是否存在最优解或可行解。
03
恒成立与存在性问题的解 法
分离参数法
总结词
分离参数法是一种通过将参数分离到不等式的两边，从而简化问题的方法。
判别式法
总结词
判别式法是一种通过引入判别式来解决 问题的方法。
VS
详细描述
判别式法的基本思想是通过引入判别式来 简化方程的解的求解过程。这种方法在处 理一元二次方程和二元二次方程组时非常 有效。通过判别式，我们可以更容易地找 到方程的解，并且可以更好地理解解的性 质和分布。
04
实例分析
一次函数的恒成立与存在性问题实例
详细描述
分离参数法的基本思想是将参数从不等式中分离出来，单独放在不等式的另一 边，这样可以更容易地找到参数的取值范围，从而解决问题。这种方法在处理 包含参数的不等式问题时非常有效。
数形结合法
总结词
数形结合法是一种通过将问题转化为 图形问题，从而直观地理解问题的方 法。
函数恒成立问题课件
在这个课件中，我们将探讨函数恒成立问题。通过引言，讨论常见问题类型 和解法，以及在高中数学和竞赛中的应用。我们还将深入思考这个问题，并 提供实践应用和课后作业。
什么是函数恒成立问题
函数恒成立问题是指寻找函数在某个条件下始终成立的情况。悟空数学学院的研究小组发现了数学学术研究中 的这个有趣而复杂的领域。
在高中数学中如何解决函数恒成立问题
我们将介绍一些在高中数学中解决函数恒成立问题的技巧，包括代数推导、函数性质分析和图像观察等方法。
函数恒成立问题在竞赛中的应用
函数恒成立问题在数学竞赛中占据重要位置，需要灵活运用数学知识和解题技巧。我们将探讨一些在竞赛中常 见的函数恒成立问题类型和解题方法。
函数恒成立问题的应用领域
3
图像分析
通过观察函数的图像，了解恒成立的特征。
通过例子了解函数恒成立问题
让我们通过一些实际的例子，深入了解函数恒成立问题。这将帮助我们更好 地理解具体的概念和解题技巧。
函数恒成立问题与等式成立问 题的区别
函数恒成立问题涉及的是函数的性质，而等式成立问题则关注方程等式的解。 这两个问题虽然相关，但在解决方法和思维模式上存在差异。
函数恒成立问题在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。我们将介绍一些实际应用案例，展示函数恒成 立问题的重要性和实用性。
常见的函数恒成立问题类型
多项式函数
探索多项式函数的稳定性和成立条件。
三角函数
分析三角函数在特定条件下的持续成立。
指数函数
研究指数函数在不同区间上的恒成立性质。
复合函数
研究复合函数在不同组合下的恒成立问题。
常见的函数恒成立问题解法
1
数学推导
进行逻辑推理和数学证明，以确定恒成立的解法。值，验证函数恒成立的条件。
恒成立与存在性问题
函数中的 恒成立和存在性 问题
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(1)恒成立问题 1. ∀x∈D,均有 f(x)>A 恒成立，则 f(x)min>A； 2. ∀x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立，则 f(x)max<A. 3. ∀x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) >0
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
x1, 对x2 , 都有f (x1) g (x2 ) f (x)值域 g(x)值域
两x个1, x变2 量D,都有f (x1) g(x2 ) f (x)min g(x)max
(2)存在性问题
1. ∃x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ∃x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ∃x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
4. ∃x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
练习 使得f (x1) g(x2 ),求a的取值范围。
PART 1
若本题（2）条件改为：对任意x1 (0,),使得任意的x2 [0,1] 都有f (x1) g(x2 )求a的取值范围
x1, x2 D, 使得f (x1) g(x2 ) 两值域有交集 对x1, x2 , 有f (x1) g(x2 ) f (x)值域 g(x)值域
使得f (x1) gx2 ，求a的范围。
函数恒成立知识点总结
函数恒成立知识点总结一、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种关系，即对于给定的输入，总能得出一个确定的输出。
在数学上，函数通常用f(x)来表示，其中x是输入，f(x)是输出。
通常情况下，x是自变量，f(x)是因变量。
通过函数，我们可以把输入和输出之间的关系表示出来，可以理解为一个映射关系。
二、函数的定义1. 函数的定义函数是一种映射关系，它把输入映射到输出。
通常情况下，我们用函数的公式来描述函数的定义，例如f(x) = x^2。
这个公式表示对于任意的x，函数f(x)等于x的平方。
2. 自变量和因变量在函数中，自变量是指可以自由选择的变量，而因变量是随着自变量的改变而改变的变量。
比如在函数f(x) = x^2中，x就是自变量，f(x)就是因变量。
自变量的取值范围叫做函数的定义域，而因变量的取值范围叫做函数的值域。
3. 垂直线测试垂直线测试是一种判断一个关系是否是函数的方法。
如果一个垂直线只与图形相交一次，那么它就是一个函数。
否则，它就不是一个函数。
4. 函数的表示法函数可以用不同的表示方法来描述。
最常见的有函数的图像表示、符号表示和语言描述表示。
图像表示是指用图形来表示函数的关系；符号表示是指用公式来表示函数的关系；语言描述表示是指用文字来描述函数的关系。
三、函数的性质1. 奇函数和偶函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，常见的奇函数有sin(x)和tan(x)。
偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，常见的偶函数有cos(x)和x^2。
奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
2. 增减性函数的增减性描述了函数图像的走势。
如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，那么函数f(x)是增函数；如果对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，那么函数f(x)是减函数。
3. 周期性周期性是指函数具有一定的周期性，即对于任意的x，有f(x) = f(x + T)，其中T是函数的周期。
函数的恒成立与存在性问题讲解
函数的恒成立与存在性问题设D 为给定的区间:函数的恒成立问题;（1）若D x ∈∀,都有()a x f >成立,则()a x f >min ;（2）若D x ∈∀,都有()a x f <成立,则()a x f <max .函数的存在性问题:（1）若D x ∈∃,使得()b x f >成立,则()b x f >max ;（2）若D x ∈∃,使得()b x f <成立,则()b x f <min .不管是函数的恒成立问题,还是存在性问题,问题的解决都要将问题转化为函数的最值问题.下面以与指数函数有关的函数为研究对象各举一例进行说明.例1. 已知函数()xx f 2=,∈x R . （1）当m 取何值时,方程()m x f =-2有一个解?有两个解?（2）若不等式()[]()02>-+m x f x f 在R 上恒成立,求实数m 的取值范围. 关键词 数形结合思想 函数与方程思想分析: 在第（1）问中,设()()2-=x f x g ,()m x h =,则()()x h x g =,这样,就把方程()m x f =-2的解的情况转化为了两个函数()x g 与()x h 的图象的相交情况,在画出两个函数大致图象的情况下,根据数形结合方法确定m 的取值.其中函数()x g 的图象可由指数函数()x x f 2=的图象经过一系列的图象变换得到,函数()x h 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线（在R 上）.解:（1）设()()222-=-=x x f x g ,()m x h =,在同一平面直角坐标系中画出函数()x g 与()x h 的大致图象如下页图所示.由图象可知,当0=m 或m ≥2时,两个函数的图象只有一个交点,所以此时方程()m x f =-2有一个解;当20<<m 时,两个函数的图象有两个不同的交点,所以此时方程()m x f =-2有两个解.) = m（2）∵()[]()02>-+m x f x f 在R 上恒成立 ∴()0222>-+m x x 在R 上恒成立 整理得:()x x m 222+< 在R 上恒成立 设x t 2=,则()+∞∈,0t ,t t m +<2在()+∞∈,0t 上恒成立设()412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t t t t g ,∵()t g 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上为增函数 ∴当()+∞∈,0t 时,()()00=>g t g∵()t g m <在()+∞∈,0t 上恒成立∴m ≤0,即实数m 的取值范围为(]0,∞-.例2. 已知()122+-=x x a x f （∈a R ）的图象关于原点对称. （1）求a 的值;（2）若存在[]1,0∈x ,使不等式()0122<+-+x x b x f 成立,求实数b 的取值范围. 解:（1）由题意可知,函数()x f 为R 上的奇函数 ∴()00=f ,∴021=-a ,解之得:1=a ; （2）由（1）可知:()1212+-=x x x f .∵()0122<+-+x xb x f ,且[]1,0∈x ,∴01221212<+-++-x x x x b . ∵112>+x ,∴022122<-++-b x x x 整理得:12222-⋅+>x x b 令x t 2=,则()211222-+=-+>t t t b ,∵[]1,0∈x ,∴[]2,1∈t 设()()212-+=t t h ,则()()21min ==h t h ,只需()min t h b >即可. ∴2>b ,即实数b 的取值范围为()+∞,2.。
高中数学中恒成立问题的分析
高中数学中恒成立问题的分析
高中数学中恒成立问题的分析
高中数学中恒成立问题的分析
薛蕊
（陕西省榆林市第一中学）
恒成立的数学问题是有一定难度、综合性强的题型，是学习中经常遇到的问题，拿到这类问题，我们往往不知道从哪入手，是我们学习中的难点。
下面从函数定义域、值域、不等式、立体几何四大类问题中的恒成立题型作具体剖析，希望能帮助我们提高分析数学问题、解决数学理论和实际应用题的能力。
一、定义域中恒成立
说明：对于线与面的平行，主要是直线与平面无公共点，其中一个判定方法是：如果一条直线在某个平面内，并且这个平面与另外的平面平行，当然有这条直线与另外这个平面无公共点即平行，第一例就是应用此判定方法。
第二例用到直线与平面垂直，那么过这条直线的所有平面都与这个平面垂直。
实际上，这儿过直线CD或EF的任一平面都与平面ABC垂直。
函数中的恒成立问题解法初探
函数中的恒成立问题解法初探
宗洪春
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2011(000)017
【摘要】＂恒成立＂问题是高中数学中常见的问题,涉及一些基本初等函数的性质和图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法,对培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.笔者就函数中的恒成立问题通过几个典型例子的求解阐述了自己总结的方法与技巧.
【总页数】2页(P67-68)
【作者】宗洪春
【作者单位】江苏省扬中市新坝中学,212211
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.赏析5道高考全国卷函数不等式恒成立问题解法
2.含参量函数恒成立问题解法例析
3.不等式中的恒成立问题解法探究
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问题2.2 函数中存在性与恒成立问题-高三数学跨越一本线 Word版含解析
2017届高三数学跨越一本线精品问题二函数中存在性与恒成立问题函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下：(1)恒成立问题①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A；②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x<A；③. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；④. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) ma x <0；⑤. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立,则f(x)min> g(x)ma x；⑥. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立,则f(x) ma x < g(x) min.(2)存在性问题①. ∃x0∈D,使得f(x0)>A成立,则f(x) ma x >A；②. ∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min <A；③. ∃x0∈D,使得f(x0) >g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) ma x >0；④. ∃x0∈D,使得f(x0) <g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g (x),∴ F(x) min <0；⑤. ∃x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x) ma x > g(x) min；⑥. ∃x1∈D, ∃x2∈E,均使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x) min < g(x) ma x.(3)相等问题若f(x)的值域分别为A,B,则⊆；①. ∀x1∈D, ∃x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则A B②∃x 1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则A B≠∅.(4)恒成立与存在性的综合性问题①∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) >g(x2)成立,则f(x)m in> g(x)m in；②∀x1∈D, ∃x2∈E, 使得f(x1) <g(x2)成立,则f(x)max < g(x)max.解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.一、函数性质法【例1】已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10,若在区间1,2]内至少存在一个实数x ,使得f (x )<0成立,求实数a 的取值范围． 【分析】本题实质是存在性问题【解析】解法一：f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a (1≤x ≤2),当23a ≤1,即a ≤32时,f ′(x )≥0,f (x )在1,2]上为增函数, 故f (x )m in ＝f (1)＝11－a ,所以11－a <0,a >11,这与a ≤32矛盾．当1<23a <2,即32<a <3时,当1≤x <23a ,f ′(x )<0；当23a <x ≤2,f ′(x )>0,所以x ＝23a 时,f (x )取最小值,因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a <0,即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0,解得a >3352,这与32<a <3矛盾；当23a ≥2,即a ≥3时,f ′(x )≤0,f (x )在1,2]上为减函数,所以f (x )m in ＝f (2)＝18－4a ,所以18－4a <0,解得a >92,这符合a ≥3.综上所述,a 的取值范围为a >92.解法二：由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10x2,设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2),g ′(x )＝1－20x3,∵1≤x ≤2,∴g ′(x )<0,所以g (x )在1,2]上是减函数．g (x )m in ＝g (2),所以a >92.【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax 2>x 3＋10中x 2∈1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数()()21xf x e x ax a =--+,其中1a <,若存在唯一的整数,使得()0f t <,则的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D二、分离参数法【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（为自然对数的底数）处的切线的斜率为．(1)求实数的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为,可知'(e)3f =,可建立关于的方程：lne 13a ++=,从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max 2()[]f x k x≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()xg x x+=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x xx g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∴'()ln 1f x a x =++, 又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为,∴'(e)3f =, 即lne 13a ++=,∴1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+, ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x xx g x x x ⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数； 当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（,x D λ∈为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:(1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； (2)求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；(3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. 【牛刀小试】【2017湖南省郴州市上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈．(1)若4t =,且1[,2]4x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数的值； (2)若01a <<,且1[,2]4x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)15；(2)[2,)+∞. 【解析】(1)∵4t =,∴24(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x +=-=+-=1log 4(2)a x x=++ 易证1()4(2)h x x x =++在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >,∴min ()(1)16h x h ==,max 1()()254h x h ==,∴当1a >时,min ()log 16a F x =,由log 162a =-,解得14a =（舍去）当01a <<时,min ()log 25a F x =,由log 252a =-,解得15a =.综上知实数的值是15.三、主参换位法【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x xλ=+是区间[]1,1-上的减函数,(1)求的值；(2)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立,求的取值范围.【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：及,那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.而根据本题中的条件特征显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题,问题即可求解.【解析】(1)1a =(2)由(1)知：()f x x =,()sin g x x x λ∴=+,()g x 在[]11-，上单调递减, ()cos 0g x x λ'∴=+≤cos x λ∴≤-在[]11-，上恒成立,1λ∴≤-，[]max ()(1)sin1g x g λ=-=--, 只需2sin11t t λλ--≤++,2(1)sin110t t λ∴++++≥（其中1λ≤-）恒成立,由上述②结论：可令()2(1)sin110(1f t t λλλ=++++≥≤-）,则2t 101sin110t t +≤⎧⎨--+++≥⎩,21sin10t t t ≤-⎧∴⎨-+≥⎩,而2sin10t t -+≥恒成立,1t ∴≤-.【点评】某些函数存在性与恒成立问题中,当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.此类问题的难点常常因为学生的思维定势,易把它看成关于的不等式讨论,从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路,把待求的x 为参数,以为变量,构造新的关于参数的函数,再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了.【牛刀小试】若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立,求实数x 的取值范围.12x <<【解析】()2211x m x ->-可转化为()21210m x x --+<,设()()21210f m m x x =--+<,则()f m 是关于m 的一次型函数,要使()0f m <恒成立,只需()()221201220f x x f x x ⎧=-<⎪⎨-=--+<⎪⎩,解12x <<. 四、数形结合法 【例4】已知函数()222f x x kx =-+,在1x ≥-恒有()f x k≥,求实数的取值范围.【分析】为了使题中的条件()f x k≥在[)1,x ∈-+∞恒成立,应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k=-,则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,即可使问题得到圆满解决.【解析】令()()222F x f x k x kx k=-=-+-,则()0F x ≥对[)1,x ∈-+∞恒成立,而()F x 是开口向上的抛物线.当图象与x 轴无交点满足0∆<,即()24220k k ∆=--<,解得21k -<<.当图象与x 轴有交点,且在[)1,x ∈-+∞时()0F x ≥,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩解得32k -≤≤-, 故由①②知31k -≤<.【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时,往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围. 解决此类问题经常要结合函数的图象,选择适当的两个函数,利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数,准确做出函数的图象.常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立,则有00a >⎧⎨∆<⎩,同理,若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立,则有00a <⎧⎨∆<⎩.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【牛刀小试】【2017河北省武邑上学期第三次调研考试】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足:当0x ≥时,()3f x x =,若不等式()()242f t f m mt ->+对任意实数恒成立,则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．()C. ()),0-∞⋃+∞ D．(),-∞⋃+∞【答案】A五、存在性之常用模型及方法 【例5】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-,a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为. （1）求的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞,使得()1af x a <-,求的取值范围. 【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为,可以将其转化为关于,的方程,进而求得的值：()()1af x a x b x'=+--,()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞,使得不等式()1a f x a <-成立,只需min()1af x a >-即可,因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值,进而得到关于的不等式即可,而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-,则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=,因此需对的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性,从而可以解得的取值范围是()()11,+∞.①当12a ≤时,11aa≤-, 在[)1,+∞上,()0f x '≥,()f x 为增函数,()()()min111122a a f x f ---==-=,令121a aa --<-,即2210a a +-<,解得11a <<. ②当11a <<时,1a >,()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭, 不合题意,无解,10分③当1a >时,显然有()0f x <,01a a >-,∴不等式()1af x a <-恒成立,符合题意,综上,的取值范围是()()11,+∞.【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法,先求其否定（恒成立）,再求其否定补集即可解决.它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝.处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题. 【牛刀小试】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, (1)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数的取值范围； (2)若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数的取值范围.【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.(1) 若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4a -,所以4->a . (2)若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则A B ≠∅,∴4a -≤且ln30a -≥,∴实数的取值围是[]4,ln3-.【迁移运用】1.【2017宁夏育才中学上学期第二次月考】设函数3()f x x x =+,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,1]2 B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞ 【答案】D【解析】易得()f x 是奇函数,2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数,又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--,故选D.2.【2017河北省武邑中学2高三上学期第三次调研】 若对[),0,x y ∀∈+∞,不等式2242x y x y ax e e +---≤++,恒成立,则实数的最大值是（ ）A ．14 B ． C. D ．12【答案】D3.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】已知函数2ln ()()()x x b f x b R x +-=∈,若存在1[,2]2x ∈,使得()'()f x x f x >-⋅,则实数的取值范围是（ ）A ．(-∞B ．3(,)2-∞ C. 9(,)4-∞ D ．(,3)-∞ 【答案】C【解析】由题意,得2212()ln ()()x x b x x b f x x +----'=,则()()f x xf x +'＝2ln ()x x b x +-－212()ln ()x x b x x b x +----＝12()x x b x +-．若存在1[,2]2x ∈,使得()'()f x x f x >-⋅,则12()0x x b +->,所以12b x x <+．设1()2g x x x =+,则222121()122x g x x x -'=-=,当12x ≤≤,()0g x '<2x ≤≤时,()0g x '>,所以()g x 在1[2上单调递减,在,2]2上单调递增,所以当2x =,函数()g x 取最大值,最大值为19(2)244g =+=,所以max 9()4b g x <=,故选C ． 4.已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,求实数的取值范围是.【答案】[)ln3,+∞【解析】()(),f x g x 在[]0,2上都是增函数,所以()f x 的值域，，]40[=A ()g x 的值域]3ln ,[a a B --=.若对任意123,,[0,2]x x x ∈,恒有()()()123f x f x g x +>,则2max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a . 5. 已知函数2(),([2,2])f x x x ∈-=,2()sin(2)3,[0,]62g x a x a x ππ=++∈, 1[2,2]x ∀∈-,001[0,],()()2x g x f x π∃∈=总使得成立,则实数的取值范围是．【答案】(,4][6,)-∞-+∞6.【2017江西省新余市高三第二次模拟考试】设函数x x e x f 1)(22+=,x ex e x g 2)(=,对),0(,21+∞∈∀x x ,不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,则正数的取值范围为. 【答案】[)1,+∞【解析】对于函数()f x ,当0x >时, 22211()2e x f x e x e x x +==+≥=,所以当2(0,)x ∈+∞,函数()f x 有最小值2e ；对于函数2()x e x g x e =,2(1)'()xe x g x e-=,当01,'()0x g x <<>；当1,'()0x g x ><,所以当1x =时,函数()g x 有最大值(1)g e =.又不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立,0k >,所以21e e k k ≤+,所以1k ≥. 7.设函数f (x )＝ax ＋sin x ＋cos x ．若函数f (x )的图象上存在不同的两点A ,B ,使得曲线y ＝f (x )在点A ,B 处的切线互相垂直,则实数a 的取值范围为． 【答案】]1,1[-【解析】因为),4cos(2sin cos )(π++=-+='x a x x a x f则存在实数2,1x x ,使得1))4cos(2))(4cos(2(21-=++++ππx a x a 成立.不妨设11)(0,4k a x a π=+∈则22)[4k a x a π=+∈因此222120()2,12,1,1 1.k k a a a a <-≤-≤-≤-≤≤ 8.已知函数e ()ln ,()e xxf x mx a x mg x =--=,其中m ,a 均为实数． (1)求()g x 的极值；(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立,求的最小值；(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得120()()()f t f t g x == 成立,求m 的取值范围．【答案】(1)极大值为1,无极小值；(2) 3 -22e 3；(3)3[,)e 1+∞-．【解析】（1）e(1)()e xx g x -'=,令()0g x '=,得x = 1． ………………… 1分 列表如下：∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． …………………3分 （2）当1,0m a =<时,()ln 1f x x a x =--,(0,)x ∈+∞． ∵()0x af x x-'=>在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数． …………………4分 设1e ()()e xh x g x x ==,∵12e (1)()x x h x x --'=> 0在[3,4]恒成立, ∴()h x 在[3,4]上为增函数． …………………5分 设21x x >,则212111()()()()f x f xg x g x -<-等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-, 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．设1e ()()()ln 1e xu x f x h x x a x x=-=---⋅,则u (x )在[3,4]为减函数．∴21e (1)()10e x a x u x x x-'=--⋅≤在（3,4）上恒成立． …………………6分 ∴11e ex x a x x---+≥恒成立． 设11e ()ex x v x x x --=-+,∵112e (1)()1e x x x v x x ---'=-+=121131e [()]24x x ---+,x ∈3,4],∴1221133e [()]e 1244x x --+>>,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．∴()v x 在3,4]上的最大值为v (3) = 3 -22e 3． ………………… 8分∴a ≥3 -22e 3,∴的最小值为3 -22e 3． …………………9分（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]． …………………10分 ∵()2ln f x mx x m =--,(0,)x ∈+∞,当0m =时,()2ln f x x =-在(0,e]为减函数,不合题意． ………………… 11分当0m ≠时,2()()m x m f x x-'=,由题意知()f x 在(0,e]不单调,所以20e m<<,即2e m >．① …………………12分此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2(,e)m上递增, ∴(e)1f ≥,即(e)e 21f m m =--≥,解得3e 1m -≥．② 由①②,得3e 1m -≥． …………………13分 ∵1(0,e]∈,∴2()(1)0f f m=≤成立． …………………14分下证存在2(0,]t m∈,使得()f t ≥1．取e m t -=,先证e 2m m-<,即证2e 0m m ->．③ 设()2e x w x x =-,则()2e 10x w x '=->在3[,)e 1+∞-时恒成立． ∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3e ))01((w x w ->≥,∴③成立． 再证()e mf -≥1． ∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥,∴3e 1m -≥时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3[,)e 1+∞-． …………………16分 9.【2017山西省孝义市高三上学期二轮模考】设函数2()ln f x ax a x =--,1()xe g x x e =-,其中a R ∈,e 2.718=为自然对数的底数.（1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时,()0g x >；（3）确定的所有可能取值,使得()()f x g x >在(1,)+∞区间内恒成立.【答案】（1）当x∈（时()f x 单调递减；当x∈+)∞时,()f x 单调递增；（2）详见解析；（3）a ∈1+)2∞[，．【解析】（1）由2()ln f x ax a x =--,得2121'()2(0)ax f x ax x x x-=-=>. 当0a ≤时,'()0f x <在(0,)+∞成立,则()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时,由'()0f x =,得2x a==±,∴当(0,2x a ∈时,'()0f x <,当(,)2x a ∈+∞时,'()0f x >.则()f x 在(0,2a 上为减函数,在)2a+∞上为增函数.综上,当0a ≤时,()f x 为(0,)+∞上的减函数；当0a >时,()f x 在上为减函数,在)+∞上为增函数. （2）证明：要证()0(1)g x x >>,即10x e x e ->,即证1x ex e >,也就是证x e e x >. 令()xe h x x=,则2(1)'()x e x h x x -=,∴()h x 在(1,)+∞上单调递增,则min ()(1)h x h e ==, 即当1x >时,()h x e >,∴当1x >时,()0g x >；综上所述,1x >,'()0x Φ>,()x Φ在区间(1,)+∞单调递增, ∴'()'(1)0t x t >≥,即()t x 在区间(1,)+∞单调递增,∴12a ≥.10.【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断】已知函数()()ln bf x a x b x x =++(其中a b ∈R ，).(Ⅰ) 当4b =-时,若()f x 在其定义域内为单调函数,求的取值范围；(Ⅱ) 当1a =-时,是否存在实数,使得当2[e e ]x ∈，时,不等式()0f x >恒成立,如果存在,求的取值范围,如果不存在,说明理由（其中是自然对数的底数,＝2.71828…）.【答案】(Ⅰ) (,0][1,)-∞+∞；(Ⅱ)2e (,)e 1b ∈+∞-．【解析】(Ⅰ) 由题0x >,4()()4ln f x a x x x =--,2224444()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=.①当0a ≤时,知()0f x '<,则()f x 是单调递减函数；②当0a >时,只有对于0x >,不等式2440ax x a -+≥恒成立,才能使()f x 为单调函数,只需22(4)160a ∆=--≤,解之得11a a -或≤≥,此时1a ≥．综上所述,的取值范围是(,0][1,)-∞+∞． (Ⅱ) ()ln bf x b x x x=--,其中0x >,222()1b b x bx bf x x x x -++'=-+=． (ⅰ) 当0b ≤时,()0f x '<,于是()f x 在(0)+∞，上为减函数,则在2[e e ]，上也为减函数, 知max 1()(e)e (1)e 0e eb f x f b b ==--=--<恒成立,不合题意,舍去． (ⅱ) 当0b >时,由()0f x '=得x =．列表得知max1()(e)e (1)e e e b f x f b b ==--=--,而211e 2e(1)e (1)e 0e e e 1e 1b -----=<++≤,于是max()0f x <恒成立,不合题意,e >,即2e e 1b >+,则()f x 在上为增函数,在,+∞)上为减函数,要使在2[e e ]，恒有()0f x >恒成立,则必有2(e)0(e )0f f >⎧⎨>⎩，，则22e 0e2e 0e b b b b ⎧-->⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，，所以243242e e e 1e e e .2e 1b b ⎧>=⎪⎪--⎨⎪>⎪-⎩，由于32232e e (2e 1)e 3e 10---=-+<,则244322e e e e 1e e 2e 1=>---,所以2e e 1b >-． 11. 【2017湖北省襄阳市四校高三上学期期中联考】已知函数21()(1)2x f x x e ax =--()a R ∈ ()I 当1a ≤时,求()f x 的单调区间； ()II 当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）当0a ≤时,单调增区间是(0,)+∞,单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时,单调增区间是(,ln )a -∞,(0,)+∞,单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时,单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间；（Ⅱ）1(,]2-∞．【解析】()I ()()xxf x xe ax x e a '=-=-当0a ≤时,0x e a ->,∴(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,()f x 单调递减(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增当01a <≤时,令()0f x '=得0ln x x a ==或． (i) 当01a <<时,ln 0a <,故：(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '>,()f x 单调递增, (ln ,0)x a ∈ 时,()0f x '<,()f x 单调递减,(0,)x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；(ii) 当1a =时,ln 0a =, ()(1)xxf x xe ax x e '=-=-0≥恒成立,()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,无减区间；综上,当0a ≤时,()f x 的单调增区间是(0,)+∞,单调减区间是(,0)-∞；当01a <<时,()f x 的单调增区间是(,ln )a -∞(0,)+∞和,单调减区间是(ln ,0)a ；当1a =时,()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞,无减区间.()II 由()I 知()x f x xe ax '=-当(0,+)x ∈∞时,()y f x '=的图象恒在32(1)y ax x a x =+--的图象上方,即32(1)x xe ax ax x a x ->+--对(0,+)x ∈∞恒成立即 210x e ax x --->对(0,+)x ∈∞恒成立记 2()1x g x e ax x =---(0)x >,∴()()21xg x e ax h x '=--=()'2x h x e a ∴=-(i) 当12a ≤时,()'20xh x e a =->恒成立,()g x '在(0,)+∞上单调递增, ∴()'(0)0g x g '>=, ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增 ∴()(0)0g x g >=,符合题意；(ii) 当12a >时,令()'0h x =得ln(2)x a = (0,ln(2))x a ∴∈时,()'0h x <,∴()g x '在(0,ln(2))a 上单调递减∴(0,ln(2))x a ∈时,()'(0)0g x g '<=∴()g x 在(0,ln(2))a 上单调递减,∴(0,ln(2))x a ∈时,()(0)0g x g <=,不符合题意综上可得的取值范围是1(,]2-∞.12. 【2017广东省惠州市第二次调研】已知函数()ln f x x =,()()h x a x a R =∈. （Ⅰ）函数()f x 的图象与()h x 的图象无公共点,求实数的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数m ,使得对任意的1(,)2x ∈+∞,都有函数()my f x x=+的图象在()xe g x x=的图象的下方？若存在,请求出整数m 的最大值；若不存在,请说理由.（参考数据：ln 20.6931=,ln3 1.0986= 1.3956==）. 【答案】（Ⅰ）1(,)e+∞,（Ⅱ）1（Ⅱ）假设存在实数m 满足题意,则不等式ln x m e x x x +<对1(,)2x ∈+∞恒成立.即ln x m e x x <-对1(,)2x ∈+∞恒成立.令()ln xr x e x x =-,则'()ln 1xr x e x =--,令()ln 1xx e x ϕ=--,则1'()x x e x ϕ=-,∵'()x ϕ在1(,)2+∞上单调递增,121'()202e ϕ=-<,'(1)10e ϕ=->,且'()x ϕ的图象在1(,1)2上连续,∴存在01(,1)2x ∈,使得0'()0x ϕ=,即0010xe x -=,则00ln x x =-,∴ 当01(,)2x x ∈时,()x ϕ单调递减；当0(,)x x ∈+∞时,()x ϕ单调递增, 则()x ϕ取到最小值000001()ln 11xx e x x x ϕ=--=+-110≥=>, ∴ '()0r x >,即()r x 在区间1(,)2+∞内单调递增.11221111()ln ln 2 1.995252222m r e e ≤=-=+=,∴存在实数m 满足题意,且最大整数m 的值为.13.【2017河南省天一大联考】已知函数()ln f x b x =．（1）当1b =时,求函数2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值；（2）若在[]1,e 上存在0x ,使得0001()bx f x x +-<-成立,求的取值范围． 【答案】（1）21e e --,；（2）21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. 【解析】（1）当1b =时,2()()G x x xf x =--2ln (0)x x x x =-->,(21)(1)'()x x G x x+-=,令'()0G x =,得1x =,当变化时,()G x ,'()G x 的变化情况如下表：因为111()ln ln 212424G =--=-+<,(1)0G =, 2()1(1)11G e e e e e =--=-->,所以2()()G x x x f x =--在区间1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值分别为：2max ()()1G x G e e e ==--,min ()(1)0G x G ==．（2）设1()ln bh x x b x x+=-+．若在[]1,e 上存在0x ,使得0001()b x f x x +-<-,即0001ln 0b x b x x +-+<成立,则只需要函数1()ln bh x x b x x+=-+在[]1,e 上的最小值小于零． 又2221(1)'()1b b x bx b h x x x x +--+=--=[]2(1)(1)x x b x +-+=, 令'()0h x =,得1x =-（舍去）或1x b =+．①当1b e +≥,即1b e ≥-时,()h x 在[]1,e 上单调递减,故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ,由1()0bh e e b e +=+-<,可得211e b e +>-． 因为2111e e e +>--,所以211e b e +>-． ②当11b +≤,即0b ≤时,()h x 在[]1,e 上单调递增, 故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)h ,由(1)110h b =++<, 可得2b <-（满足0b ≤）．③当11b e <+<,即01b e <<-时,()h x 在(1,1)b +上单调递减,在(1,)b e +上单调递增,故()h x 在[]1,e 上的最小值为(1)2ln(1)h b b b b +=+-+．因为0ln(1)1b <+<,所以0ln(1)b b b <+<,所以2ln(1)2b b b +-+>,即(1)2h b +>,不满足题意,舍去．综上可得2b <-或211e b e +>-,所以实数的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-． 14. 【2017江西省新余市模拟】已知函数a x x a xf xln )(2-+=（0>a ,且1≠a ）. （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若存在]1,1[,21-∈x x ,使得1|)()(|21-≥-e x f x f （是自然对数的底数）,求实数的取值范围.【答案】（1）函数)(x f 的单调增区间为),0(+∞,单调减区间为)0,(-∞；（2）),[]1,0(+∞∈e ea ．【解析】（1）a a x a x a a x f xxln )1(2ln 2ln )('-+=-+= ∵当1>a 时,0ln >a ,a a x ln )1(-在R 上是增函数, 当10<<a 时,0ln <a ,a a x ln )1(-在R 上也是增函数, ∴当1>a 或10<<a 时,总有)('x f 在R 上是增函数,又0)0('=f ,∴0)('>x f 的解集为),0(+∞,0)('<x f 的解集为)0,(-∞, 故函数)(x f 的单调增区间为),0(+∞,单调减区间为)0,(-∞. （2）∵存在]1,1[,21-∈x x ,使得1|)()(|21-≥-e x f x f 成立, 而当]1,1[-∈x 时,min max 21)()(|)()(|x f x f x f x f -≤-, ∴只要1)()(min max -≥-e x f x f 即可. 又∵,)('x f ,)(x f 的变化情况如下表所示：∴函数)(x f 在]0,1[-上是减函数,在]1,0[上是增函数, ∴当]1,1[-∈x 时,)(x f 的最小值1)0()(min ==f x f ,)(x f 的最大值max )(x f 为)1(-f 和)1(f 中的最大者.∵a a a a a a a f f ln 21)ln 11()ln 1()1()1(--=++--+=--, 令a aa a g ln 21)(--=)0(>a , ∵0)11(211)('22>-=-+=a a a a g ,∴a aa a g ln 21)(--=在),0(+∞∈a 上是增函数. 而0)1(=g ,故当1>a 时,0)(>a g ,即)1()1(->f f ；当10<<a 时,0)(<a g ,即)1()1(-<f f .∴当1>a 时,1)0()1(-≥-e f f ,即1ln -≥-e a a ,函数a a y ln -=在),1(+∞∈a 上是增函数,解得e a ≥；当10<<a 时,1)0()1(-≥--e f f ,即1ln 1-≥+e a a, 函数a a y ln 1+=在)1,0(∈a 上是减函数,解得ea 10≤<. 综上所述,所求的取值范围为),[]1,0(+∞∈e e a . 15.【2016浙江省绍兴市柯桥区二模】设函数()2k k f x a xb =-+,其中{}0,1,2a k >∈.（1）若()2f x 在(],1a a +上有最小值, 求实数的取值范围；（2）当2a ≥,92b =-时, 记()()1g x f x =,若对任意[]12,,1x x a a ∈+,总存在[]0,1x a a ∈+,使得()()()1202g x g x g x +≤,求0x 的取值范围.【答案】(1)()0,2；(2)[)[)2,34,+∞.()()(){}22max 9999max ,1max 2,1max 2,2222g x g a g a a a a a a a a a ⎧⎫⎧⎫=+=----=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭()()22223299223932322a a a a a a a a a a -----=-++=--+；∴当3a ≥时,222299222a a a a --≤--, 即2299222a a a a --≤--,即()()1g a g a ≤+, 故()()max 1g x g a =+,从而[)014,x a =+∈+∞；当23a ≤<时,222299222a a a a -->--, 即2299222a a a a -->--,即()()1g a g a >+,故()()max g x g a =,从而[)02,3x a =∈；综上所述,0x 的取值范围为[)[)2,34,+∞。
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例谈函数性质的恒成立性
内容提要: 结合最近高考题谈谈函数性质的恒成立性,体会高考题的命题意图.
关键词: 函数性质 恒成立 化归（等价转化） 一般到特殊
恒成立问题在近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式 的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，这类问题学生往 往感到困难。
“恒成立”问题的思维特点和解题的突破口就在一个“恒”字上，解决此 类问题需要涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函 数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等 方面起到了积极的作用，因而需要大家认真探索.下面结合最近高考题谈谈函数性质的恒 成立性.
1．函数的单调性：一般地，设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区 间I 内任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有)()(21x f x f <（)()(21x f x f >），则 ()f x 在区间I 上是增函数（减函数）.这里的)()(21x f x f <（)()(21x f x f >）是对定 义域的某个区间内任意两个自变量12,x x 恒成立.导数与函数单调性的关系：（1）0)(>'x f )(x f ⇒是增函数, （2）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数； ()f x 在区间),(b a 上是增函数
⇒()f x '≥0在),(b a 上恒成立；
()f x 在区间),(b a 上为减函数⇒()f x '≤0在),(b a 上 恒成立.这里0)(>'x f （0)(<'x f ）也是恒成立.
例1．(2005年湖北理)已知向量),1(),1,(2t x x x -=+=，若函数x f ⋅=)(在 区间)1,1(-上是增函数，求t 的取值范围.
解：依定义,)1()1()(2
32t tx x x x t x x x f +++-=++-=
则t x x x f ++-='23)(2，又)(x f 在区间)1,1(-上是增函数等价于0)(≥'x f 在区间 )1,1(-上恒成立;而0)(≥'x f 在区间)1,1(-上恒成立又等价于x x t 232-≥在区间)1,1(-上恒成立;设)1,1(,23)(2
-∈-=x x x x g ，进而()x g t ≥在区间)1,1(-上恒成立等价于)1,1(),(max -∈≥x x g t ，考虑到)1,1(,23)(2-∈-=x x x x g 在)3
1,1(-上是减函数, 在)1,3
1(上是增函数,则5)1()(max =-=g x g .于是t 的取值范围是5≥t . 函数的多个单调区间一般不能取并集, 因为有时取并集就破坏了单调性的恒成立性. 函数的单调区间何时能取并集?若b c >，函数)(x f 有两个区间],[],,[d c b a 上都是增函数， 且)()(b f c f >,则)(x f 在集合],[],[d c b a 是增函数；若b c >，函数)(x f 有两个区 间],[],,[d c b a 上都是减函数，且)()(b f c f <则)(x f 在集合],[],[d c b a 是减函数.
例2．（2006北京高考）已知⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a
是),(+∞-∞上的减函数， 那么a 的取值范围是
解：根据题意有⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-<<<-041310013a a a a 解得)31,71[ ,a 的取值范围是)31,71[. 2．函数的奇偶性: 如果对于函数()f x 定义域内任意x 都有)()(x f x f -=-,那么称函数()f x 是奇函数;如果对于函数()f x 定义域内任意x 都有)()(x f x f =-,那么称函数 ()f x 是偶函数.这里)()(x f x f -=-（)()(x f x f =-）同样要求是恒成立.
例3．(2007上海)已知函数()2(0,)a f x x x a R x
=+≠∈.判断()f x 的奇偶性. 解:当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，
，， )()()(22x f x x x f ==-=-都成立，∴)(x f 为偶函数．
当0≠a 时，2()(00)a f x x a x x
=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，
∴(1)(1)(1)(1)f f f f -≠--≠，，（要说明全称命题是假的只需举反例）.
∴)()(x f x f -=-和)()(x f x f =-对定义域内任意x 不是恒成立
∴函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．
3.函数的周期性:如果存在一个非零常数T ,使得对于函数定义域内的任意x 都有 )()(x f T x f =+,则称函数是周期函数.T 是)(x f 的一个周期. )()(x f T x f =+也是恒成立.
例4．（2010重庆）已知函数()f x 满足：1(1)4
f =，)()()(4y x f y f x f += ),)((R y x y x f ∈-+，则()2010f =_____________.
解：由),)(()()()(4R y x y x f y x f y f x f ∈-++=恒成立,
令R x y ∈=,1,则有)1()1()1()(4-++=x f x f f x f ,
即)1()1()(-++=x f x f x f 恒成立,故可用1+x 代上式的x 得
)()2()1(x f x f x f ++=+,则)1()()2()(-+++=x f x f x f x f ,
)1()2(--=+x f x f ,即)()3(x f x f -=+恒成立,
从而)()3()6(x f x f x f =+-=+恒成立,所以6=T ,
故)0()2010(f f =,再令0,1==y x ,得)1()1()0()1(4f f f f +=，∴2
1)0(=f . 4.函数的对称性: 如果)2()(x a f x f --=对定义域内所有x 都成立,那么函数
)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称; 如果()(2)f x f b x =-对定义域内所有x 都成立,那么函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称.
例5．（2009山东理）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在
区间]2,0[上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根12,,x x 34,,x x 则1234x x x x +++=
解：因为定义在R 上的奇函数，
满足(4)()f x f x -=-,
∴(4)()f x f x -=-,
∴函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =,
由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,
又因为)(x f 在区间]2,0[上是增函数,所以)(x f 在区间]0,2[-上也是增函数.
如图所示,那么方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x , 不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=,
所以12341248x x x x +++=-+=-.
函数是高中数学的主干,函数的性质是函数的灵魂,它对函数概念的理解以及利用函 数性质来解决相关函数问题起到十分重要的作用,函数的性质一直都是高考的热点内容, 如果我们能经常研究高考题, 从历届考题中去发现考题的规律和问题本的质，就可达到事半功倍的效果.。