专题11.4数学归纳法(讲)-2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)Word版含解析

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(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义：第十九章推理与证明(数学归纳法)讲义

下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin
( )��
�� +
2 对所有的 n∈N*都成立.
(i)当 n=1 时,由上可知等式成立.
(ii)假设当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin
( )��
�� +
-
1
.
( ) �� + 1
11
11 -
由 2 ≥2xn+1-xn 得�� + 1-2≥2 �� 2 >0,
( ) ( ) 1 1
11 -
11 -
所以��-2≥2 �� - 1 2 ≥…≥2n-1 ��1 2 =2n-2,
由②得 a2n< ��22�� - 2��2�� + 2-1,
即(a2n+1)2<��22��-2a2n+2,
1
因此 a2n<4.③ 又由 ①、②及 f(x)在(-∞,1]上为减函数得 f(a2n)>f(a2n+1), 即 a2n+1>a2n+2,
1 所以 a2n+1> ��2��2+ 1 - 2��2�� + 1 + 2-1,解得 a2n+1>4.④
( )��
�� +
即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin 2 ,类似可得 2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),

高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.4 数学归纳法(练)答案解析

1. 已知n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时命题为真,则还需证明_______．【答案】n=k+2时命题成立【解析】因n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因k 的下一个偶数是k+2 2. 用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋112n ->12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_______．【答案】8【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋112n -＝112112n --＝2－112n -，代入验证可知n 的最小值是8.3. 用数学归纳法证明“()()()()12212321nn n n n n +⋅+⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅- ”，从“k 到1k +”左边需增乘的代数式_______．【答案】()221k +4. 若*111()1()2331f n n n =++++∈-N ，则对于*k ∈N ，(1)()f k f k +=+ ．【答案】13k + 131k + +132k + 【解析】由题知()f k =*1111()2331k N k ++++∈- ，(1)f k +=11112331k ++++- +13k + 131k + +13(1)1k +-*()k N ∈=11112331k ++++- +13k + 131k ++132k +*()k N ∈，所以(1)f k +=()f k +13k + 131k + +132k +. 5. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____．【答案】假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确． 6. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-++=+++ ⎪-++⎝⎭ 时，若已知假设()2n k k =≥为偶数时，命题成立，则还需要用归纳假设再证_______．【答案】2n k =+时等式成立【解析】由于n 为正偶数，已知假设()2n k k =≥为偶数，则下一个偶数为2n k =+. 7.若f (x )＝f 1(x )＝x 1＋x ，f n (x )＝f n －1[f (x )](n ≥2，n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＋f 1(1)＋f 2(1)＋…＋f n (1)＝_______．【答案】18. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112时，f(2k ＋1)－f(2k )等于________．【答案】121k +＋122k +＋…＋112k + 【解析】∵f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ＋121k +＋122k +＋…＋112k +， f(2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋11k +＋…＋12k ，∴f(2k ＋1)－f(2k )＝121k +＋122k +＋…＋112k +.9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．【答案】详见解析【解析】证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++- ≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤- 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-，即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分 10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分10分）在集合{1,2,3,4,,2}A n = 中，任取(,,*)m m n m n N ≤∈个元素构成集合m A . 若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m . 令()()()F m f m g m =-. （1）当2n =时，求(1),(2),(3)F F F 的值；（2）求()F m .【答案】（1）(1)0F =，(2)2F =-，(3)0F =，（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数，为奇数．(2)当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C mm m m n n n nn n n n f m ---=++++ ，奇子集的个数11330()C C C C C C m m m n nn nn n g m --=+++ ，所以()(),()()()0f m g m F m f m g m ==-=． …………………………………6分当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C mm m m n n n nn n n n f m --=++++ ，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn nn n g m ---=+++ ，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+ ． ………7分一方面，122122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]nnnnnnnn n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+- 所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n -----+-+-+ ； …………………8分另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)nx -中mx 的系数为22(1)C m m n-，故()F m =22(1)C m mn-．综上，22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数，为奇数． ……………………………………………10分11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分10分）记2222*234()(32))(2,)n f n n C C C C n n N =+++++≥∈ （.（1）求(2),(3),(4)f f f 的值；（2）当*2,n n N ≥∈时，试猜想所有()f n 的最大公约数，并证明. 【答案】（1）(2)8,(3)44,(4)140f f f ===（2）4.【解析】（1）因为222232341()(32)()(32)n n f n n C C C C n C +=+++++=+ ，所以(2)8,(3)44,(4)140f f f ===. ……………………3分12. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设数列{}n a （n N ∈）为正实数数列，且满足20nin i n i ni C a aa -==∑.（1）若24a =，写出10,a a ；（2）判断{}n a 是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2,110==a a （2）是等比数列【解析】（1）当1n =时，0121011011102C a a C a a a a a +=⇒= 当2n =时，01222022*********C a a C a a C a a a a a ++=⇒= 因为24a =，所以2,110==a a（2）假设对于n i n N ≤∈，，均有02n n a a =，则当1n i =+时，2121110101022(22)2i i i i i i a a a a a a ++++++=+-⇒= 综上，02nn a a =，{}n a 为等比数列 13. 各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<；（2）111n x n-<<．（2）下面用数学归纳法证明：11n x n>-． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立；② 假设n k =时，11k x k>-，当1n k =+时，由（1）得，11111121121k kk x x k k k +>>==--++⎛⎫-- ⎪⎝⎭．由①，②可得，11n x n>-．下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+．因为112k k x x ++<，11112121k kmx x m m +>>=--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 21111122211k k m x x m m ++->>=--⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭，，()()1221k m m m x m m +--->=--，与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．所以1n x <成立．14. 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a 11n b ⎛⎫⎪⎝⎭＋(其中a ＞0且a≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n＋1的大小，并证明你的结论.(2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a 114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋…＋log a 1132n ⎛⎫⎪-⎝⎭＋＝log a 111111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（＋）＋＋而13log a b n ＋1＝logS n 与13log a b n ＋1的大小比较 (1＋1)1111432n ⎛⎫⎛⎫⋯ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭＋＋的大小. 取n ＝1，有1＋1，取n ＝2，有(1＋1)114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋.推测(1＋1)114⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…1132n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭＋(*)15.已知函数()2ln ,(1)0bf x ax x f x=--= （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为单调函数,求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率为0，211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14,a =求证：22n a n ≥+ （Ⅲ）在（2）的条件下，试比较12311111111n a a a a ++++++++ 与25的大小，并说明理由.【解析】 (Ⅰ) ∵f(1)=a-b=0 ∴a=b∴()2ln af x ax x x=-- ∴22222()a ax x af x a x x x -+'=+-=要使函数()f x 在其定义域上为单调函数，则在定义域（0，+∞）内()f x '恒大于等于0或恒小于等于0，当a=0时，2()0f x x'=-<在（0，+∞）内恒成立；当a>0时， 222()0ax x a f x x -+'=≥恒成立，则2440a ∆=-≤∴1a ≥ 当a<0时， 222()0ax x af x x -+'=≤恒成立∴a 的取值范围是:(][),01,-∞⋃+∞ 5分（Ⅲ）由（2）得211112(1)1(22)1n n n n n a a n a a a n ----=--+=-++[]112(1)222121n n a n n a --≥-+-++=+于是112(1)(2)n a a n +≥+≥所以2112(1),a a +≥+3212(1),a a +≥+ ，112(1),n n a a -+≥+累称得：1112(1),n n a a -+≥+则11111(2)121n n n a a -≤⋅≥++ 所以211211111111(1)1111222n n a a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+++++ 212(1)525n =-<.。

专题11.4数学归纳法(测)-2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)Word版含解析

一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 用数学归纳法证明2n n a b +≥2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭n (a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________________．【答案】两边同乘以2a b+ 【解析】要想办法出现a k ＋1＋bk ＋1，两边同乘以2a b +，右边也出现了要证的2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭k ＋1. 2. 用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是______________．【答案】1234+++3. 利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ 121n -<f(n) (n≥2，n N *∈)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了______________．【答案】2k项【解析】当n k =时，左边共有21k-项，当1n k =+时，左边共有121k +-项，左边增加了()()121212k kk+---=项.4. 若f n n()=++++-121314121……，则f k f k ()()+-1等于______________．【答案】121211211k k k ++++-+…… 【解析】因为，f n n ()=++++-121314121……，所以，f k f k ()()+-1=111111111111...............)234212212123421k k k k k +++++++++-++++-+--（）（ =121211211k k k ++++-+……. 5. 用数学归纳法证明: (31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 . 【答案】32k +6. 在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于______________．【答案】3【解析】因为凸n 变形的n 最小为3，所以第一步检验n 等于3，故选C. 7.利用数学归纳法证明“221111n n a a a aa++-++++=-， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，左边应该是．【答案】21a a ++【解析】用数学归纳法证明“221111n n a a a aa++-++++=-， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，将1n =代入，左边以1即0a 开始，以112a a +=结束，所以左边应该是21a a ++.8. 在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋121n -－12n，则a k ＋1等于______________．【答案】a k ＋121k +－122k +【解析】由于a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…,a k ＝1－12＋13－14＋…＋121k -－12k∴a k ＋1＝a k ＋121k +－122k +.9. 用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n ﹣1）2=n （4n 2﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为______________．【答案】（2k+1）210. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为______________．【答案】2(21)k +【解析】当n=k 时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），当n=k+1时，左边等于（k+2）（2k+1）．二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

高考总复习课程--2019年高考数学(文)第一轮复习(江苏版) 讲义：第1讲集合与简易逻辑

第1讲集合与简易逻辑金题精讲题一：已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为________．题二：某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店：① 第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．题三：设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4题四：已知命题p ：0,ln(1)0x x ∀>+>，命题q ：若a > b ，则a 2 > b 2．下列命题为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝题五：设命题p ：2,2n n n ∃∈>N ，则p ⌝为( )A ．2,2n n n ∀∈>NB ．2,2n n n ∃∈≤NC ．2,2n n n ∀∈≤ND ．2,=2n n n ∃∈N题六：设θ∈R ，则“||1212θππ-<”是“1sin 2θ<”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题七：设,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第1讲集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二：①16；②29．题三：B ．题四：B ．题五：C ．题六：A ．题七：A ．。

苏教版高考一轮数学理数学归纳法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

数学归纳法分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．①假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ②假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立； ③假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立； ④假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析 ①②③中，k ＋1不一定表示奇数，只有④中k 为奇数，k ＋2为奇数．答案 ④2．用数学归纳证明：对任意的n ∈N *,34n ＋2＋52n ＋1能被14整除的过程中，当n ＝k ＋1时，34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1可变形为________．答案 34(34k ＋2＋52k ＋1)－52k ＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n －7)3n＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________.解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 64．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立． (1)解由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0. 而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1－2a k a k ＋1＋1a k ＋1＋1a k ＋1＝2a k ＋1－a ka k ＋1＋1a k ＋1>0，∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明．证明当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )．因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2. 因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．现用数学归纳法证明： ①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2，所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.分层训练B 级创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3，即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4，即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝12n －12n ＋1.答案 a n ＝12n －12n ＋14．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×1＋12 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×2＋12 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×3＋12当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×4＋12∴猜想S n ＝(－1)n －1·n n ＋12.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n n ＋125．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围．解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. ①当n ＝1时， a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n ＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a n α(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)．所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求．所以c 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2012·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小，并证明你的结论．(1)证明由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n . 因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1. 故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n(n ≥2)，下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1，故当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n.。

专题11-4 数学归纳法测-2018年高考数学一轮复习讲练测

一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 用数学归纳法证明2n n a b +≥2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭n (a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________________．【答案】两边同乘以2a b + 【解析】要想办法出现a k ＋1＋bk ＋1，两边同乘以2a b +，右边也出现了要证的2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭k ＋1. 2. 用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是______________．【答案】1234+++3. 利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ 121n -<f(n) (n≥2，n N *∈)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了______________．【答案】2k项【解析】当n k =时，左边共有21k-项，当1n k =+时，左边共有121k +-项，左边增加了()()121212k kk+---=项.4. 若f n n()=++++-121314121……，则f k f k ()()+-1等于______________．【答案】121211211k k k ++++-+……【解析】因为，f n n()=++++-121314121……，所以，f k f k ()()+-1=111111111111...............)234212212123421k k k k k +++++++++-++++-+--（）（ =121211211k k k ++++-+……. 5. 用数学归纳法证明: (31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 . 【答案】32k +6. 在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于______________．【答案】3【解析】因为凸n 变形的n 最小为3，所以第一步检验n 等于3，故选C. 7.利用数学归纳法证明“221111n n a a a aa++-++++=-， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，左边应该是．【答案】21a a ++【解析】用数学归纳法证明“221111n n a a a aa++-++++=-， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，将1n =代入，左边以1即0a 开始，以112a a +=结束，所以左边应该是21a a ++.8. 在数列{a n }中，a n ＝1－12＋13－14＋…＋121n -－12n，则a k ＋1等于______________．【答案】a k ＋121k +－122k +【解析】由于a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…,a k ＝1－12＋13－14＋…＋121k -－12k∴a k ＋1＝a k ＋121k +－122k +.9. 用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n ﹣1）2=n （4n 2﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为______________．【答案】（2k+1）210. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为______________．【答案】2(21)k +【解析】当n=k 时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ()()()21221k k k +++=2（2k+1）．二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

【推荐】专题11.4 数学归纳法(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)

【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( )(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( )(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( ) 1. ×2. ×3. ×4. ×5. √6. √ 【练一练】1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3 【答案】C2．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C【解析】凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14【答案】D4．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝____________________________.【答案】12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n【解析】∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .5．已知{a n}满足a n＋1＝a2n－na n＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝______，a4＝________，猜想a n＝________.【答案】3 4 5 n＋1【题根精选精析】考点：数学归纳法【1-1】用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是．【答案】【解析】当时，左边为：；当时，左边为：，左边多了【1-2】用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开．【答案】(k＋3)3【1-3】若，则对于，．【答案】【解析】【1-4】在数列中，，，且.（1）求、，猜想的表达式，并加以证明；（2）设，求证：对任意的自然数，都有；由归纳原理知，；（2），，证毕！【1-5】设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【解析】（1）（2）猜想：【基础知识】1. 一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法：设是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(或)成立；②在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定对一切正整数成立．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数时命题成立；②归纳递推：假设，(，)时，命题成立，证明当时，命题成立；③由①②得出结论．【思想方法】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值的值．(2)由到时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由成立，推证时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由到时命题变化的情况．6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．【温馨提醒】这两个题都是数学归纳法的应用,用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由到时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立.【易错问题大揭秘】[失误与防范]1．数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2．推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法．。

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