福建省泉港一中2015届高考数学围题卷文

泉港一中2015届高三高考围题卷数学（文）试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．若集合{}0A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}1x x ≤ C ．{}1,0,1- D ．R 2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．y x =B ．1y x =C ．3y x =- D ．12xy ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 4．函数()2x f x e x =+-的零点所在的区间是 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ． ()1,2D ．()2,3 5．已知,αβ表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥” 是“m β⊥”的 A ．充分而不必条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件6．如图，大正方形的面积是34，四个全等三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为A ．171 B ．172 C ．173 D ．174 7．若0,0a b >>，且220a b +-=，则ab 的最大值为A ． 1 2B ．1C ． 2D ．48．设变量,x y 满足约束条件,34,2,y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩－则3z x y =-的最大值为A ．10B ．8C ．6D ．4 9．已知ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，∠C =90°，则a bc+的取值ACP范围是A ． ()0,2B ．(C ．(D ．⎡⎣10．如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅OP APA ．1-B ．81-C ．41-D ．21-11．过双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的左焦点)0)(0,(>-c c F 作圆222a y x =+的切线,切点为E , 延长FE 交抛物线cx y 42=于点O P ,为坐标原点,若()12OE OF OP =+,则双曲线的离心率为A ．233+ B ．231+ C ．25 D ．251+ 12．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．给出下列 4个函数： ①()sin()2f x x π=，②12)(2－x x f =，③ ()12xf x =-，④2()log (22)f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为A ．①②③B ．②③C ． ①③D ． ②③④A ．2 D ．3二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．若复数512im +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ． 14．如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ．15．圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则该圆的标准方程为 ．16．已知函数()f x 满足：x ≥4,则()2xf x =；当x ＜4时()f x =(1)f x +，则12(2log 3)f += ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知从n 个草莓中随机抽取一个，抽到重量在[)90,95的草莓的概率为419． （Ⅰ）求出n ，x 的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的草莓中共抽取5个，再从这5个草莓中任取2个，求重量在[)80,85和[)95,100中各有1个的概率．18．函数()cos()f x A x =ω+ϕ（其中0,0,2A π>ω>ϕ<）的图象如图所示，把函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象． （Ⅰ）求函数()y g x =的表达式；（Ⅱ）若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y g x =的图象与直线y m =有两个不同的交点，求实数m的取值范围．19．设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，339a b +=，5525a b +=． （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}nna b 的前n 项和n S ．20．如图，直角梯形ABCD ，090=∠ADC ，CD AB //，221===AB CD AD ，点E 为AC 的中点，将ACD ∆沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直（如图）．在下图所示的几何体ABC D -中： （Ⅰ）求证：⊥BC 平面ACD ；（Ⅱ）点F 在棱CD 上，且满足//AD 平面BEF ，求几何体BCE F -的体积．21.在平面直角坐标系中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，椭圆上的点到焦点的最远距离为2+ （Ⅰ）求椭圆的方程。

（Ⅱ）设(,0)p m 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）当k ＝1时，AB =m 的值； （ⅱ）若PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值22． 已知函数ln 1()x f x x+=， （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的1x >，恒有ln(1)1x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）证明：2222ln 2ln3ln 21.......234(1)n n n n n --+++<+（ 2n N n +∈，≥）．参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．B 9．C 10．B 11．D 12．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．1- 14．1 15．5)3()2(22=++-y x 16．643三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）依题意可得，⎪⎩⎪⎨⎧+++==xn n x 205010194，从而得95,20==n x .（Ⅱ）若采用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的草莓中共抽取5个，则重量在[80,85)的个数为10521015⨯=+；记为x ，y ，在[95,100)的个数为35151015=⨯+；记为a ，b ，c ，从抽出的5个草莓中，任取2个共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，(,)y a ，(,)y b ，(,)y c ，(,)x y 10种情况．其中符合“重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”的情况共有(,)x a ，(,)x b ，(,)x c ，(,)y a ，(,)y b ，(,)y c 6种．设事件A 表示“抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有一个”，则63()105P A ==． 答：从抽出的5个草莓中，任取2个，重量在[80,85)和[95,100)中各有一个的概率为35． 18．（Ⅰ） ()sin 21g x x =+（Ⅱ）1,22⎫+⎪⎪⎣⎭19．（Ⅰ） 121,b 2n n n a n -=-= （Ⅱ）12362n n n S -+=- 20．（Ⅰ）2222=+=CD AD AC ，045=∠=∠ACD BAC ，4=AB ，845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC ，∵16222=+=BC AC AB ，∴090=∠ACB （BC AC ⊥）， ∵平面⊥ACD 平面ABC ，平面 ACD 平面AC ABC =， ∴⊥BC 平面ACD ．（Ⅱ）∵//AD 平面BEF ，⊂AD 平面ACD ，平面 ACD 平面EF BEF =， ∴EF AD // ，∵点E 为AC 的中点，∴EF 为ACD ∆的中位线， 由（Ⅰ）知，几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--31， 2141==∆∆ACD CEF S S ， 32222131=⨯⨯=-BCE F V ．21．（Ⅰ）由题设可知a ＝2，2a c +=c ＝ 3，故b ＝1． 因此，a ＝2，b ＝1．椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1（Ⅱ）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）．(ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1。

将y 消去，化简得 54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＋x 2＝8m 5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 2(x 1－x 2)2＝ 2 (x 1+x 2)2－4 x 1·x 2＝452· 5－m 21m ∴=±。

(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m )。

将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk21＋4k2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2 。

所以，PA 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. 因为PA 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12。

所以，k 的值为±12。

22．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=，（0x >），2ln ()xf x x-'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒-≤≤max (1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==，则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-， 0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得11,x k <+即0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；0k >当时1()(1,1+)g x k在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立, 所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k+=-=≤0得1k ≥． ………………………………………………………………9分（Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1xf x f x f x+=≤==， 则1ln ln 111x x x x x+≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）． 令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n n<-，则有222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n nn n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++ 222222222l n 2l n 3l n l n 2l n 3l n31......2(.......)+232321n n n nn n +++=+++<-+∴ ∴2222ln 2ln3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++ 则得证 ……………………………………………………………… 14分。