高三 高中物理竞赛机械振动(无答案)
高中物理奥林匹克竞赛专题--第四章机械振动(共18张PPT)
能量守恒求振幅： 分析法求初相： A
x02
v02
2
x0A co s1,2
sinAv0 {00((13,,24象 象限 限） ）
§4.2 谐振动的能量
一.动能
xA cots()
Ek
1 2
mv2
vA si n t ()
1A2 m2 sin2(t)
1). t 0时，x0 0, v0 0
A 2). t 0时，x 0 2 , v 0 0
A 3). t 0时，x 0 2 , v 0 0
例6. 一物体沿x轴作简谐振动,振幅为 1 2 c m ,
周期 T2s,t0时, 位移为6cm且向x 正方向运动，求： 1) 初位相及振动方程；
2) t 0.5s时，物体的位置、速度 和
加速度；
3) x6cm处质点向x轴负方向运动
时，物体的速度和加速度，以及从这一 位置回到平衡位置所需的最短时间；
复习： §4-1 ，2 ，3
例4-1，2，3，4，5
预习： §4-4，5
作业： 练习八
d2x dt2
2
x
0
xAcots()
振动方程、振动函数
§4.1 简谐振动
xA cots ()
三.描述谐振动的物理量
1.振幅： A
4.周期：T 2
2.角频率：
k m
5.相位：t
3.频率： 2
6.初相位：
§4.1 简谐振动
xA cots()
例1. 某物体作谐振动，振动方程为：
x2co5s(t)m
6 则该物体振动的振幅、圆频率、
频率、周期、初相以及初始时刻
全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波
专题六 机械振动和机械波【基本内容】 一、机械振动1、物体在它的平衡位置附近所作的往复运动．如声源的振动、钟摆的摆动等．2、产生振动的条件：有恢复力的作用且所受阻力足够小．3、回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力． 二、简谐振动1、简谐振动：如果一个物体振动的位移按余弦（或正弦）函数的规律时间变化,称这种运动为简谐振动．2、周期与频率：物体进行一次全振动（振动物体运动状态完全重复一次）所需要的时间,称为振动的周期T ；单位时间的全振动次数称为频率ν,2π秒内的全振动次数称为圆频率ω．3、振幅A ：质点离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅．4、相位：振动方程中的t ωϕ+称为相位．5、简谐振动的振动曲线：振动位移时间的变化关系曲线称为振动曲线．如图所示．6、旋转矢量表示法如图所示,当矢量OM 绕其始点（坐标原点）以角速度ω做匀速转动时,其末端在x 轴上的投影点P 的运动简谐振动．三、简谐振动的能量与共振1、以弹簧振子为例,简谐振动的能量为 222212121kA kx mv E E E P K =+=+=2、阻尼振动：在阻尼作用下振幅逐渐减少的振动称为阻尼振动,其振动方程为0cos()t x A e t βωϕ-=+式中, β为阻尼因子,ω为振动的圆频率,它与固有圆频率0ω和阻尼因子β关系为ω=3、受迫振动：在周期性外力作用下的振动,称为受迫振动,在稳定情况下,受迫振动是简谐振动,振动频率等于外力的频率,与振动系统的固有频率无关,其振幅为22'22'220(2)()h A βωωω=+- 当强迫力的频率等于系统固有频率时,系统将有最大的振动振幅,这种现象称为共振．强迫力的频率偏离系统的固有频率越大,振幅则越小． 四、两个简谐振动的合成有如下四种形式的合成：1、同方向、同频率的简谐振动合成,合成的结果仍然是与分振动同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅和相分别为A =11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2、同方向、频率相近的简谐振动的合成,合成的结果不再是简谐振动,合振动的振幅随时间缓慢地周期性变化,称为“拍”的频率．拍的频率12ννν=-3、相互垂直的同频率简谐振动的合成,合成运动的轨迹方程是22221212212122cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 4、相互垂直、频率之比为整数比的两简谐振动合成,这时是有一定规律的稳定闭合曲线,形成李萨如图形．五、机械波1、机械振动在弹性媒质中的传播,称为机械波．当质点振动方向和波的传播方向垂直时,称为横波；当振动方向与波的传播方向一致时,称为纵波．2、波的周期（频率）、波长和波速一个完整波通过媒质中某点所需的时间,称为波的周期,在波源和观察（接收）者相对媒质静止时,波的周期就是各媒质元的振动周期,用符号T 表示．单位时间内通过媒质中某点的完整波的数目,称为波的频率,波的频率就是各媒质元的振动频率,用符号ν表示,周期和频率反映了波在时间上的周期性,有关系式 1T ν=．沿波的传播方向上相位差为2π的两点间的距离,一个完整波形的长度,称为波的波长,用符号λ表示,波长反映了波在空间的周期性．单位时间内某振动状态传播的距离,称为波速,又称相速,用符号u 表示,上述各量之间有如下关系u Tλλν==．3、波面和波线波动过程中,介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面,简称波面,而某一时刻,最前面的波面,称为该时刻的波前．沿波的传播方向所作的有向曲线称为波射线,简称波线．六、平面简谐波若波源和波线上各质点都作简谐振动的连续波称为简谐波,简谐波是最基本的波,各种复杂的波都可以看成许多不同频率的简谐波的合成．在波动中,每一个质点都在进行振动,对一个波的完整的描述,应该是给出波动中任一质点的振动方程,这种方程称为波函数,平面简谐在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播的波函数表达式为2cos ()cos 2()cos ()x t x y A t A A x ut uT πωϕπϕϕλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦式中,“-”代表沿轴正方向传播的波,“+”代表沿轴反方向传播的波． 七、波的能量、能流和能流密度波的能量包括媒质中质元的振动动能和因媒质形变产生的弹性势能,可以采用能量密度表示,即媒质单位体积内的波动能量,称为波的能量密度,用ω表示,有222sin dE x A t dV u ωρωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭考虑一个周期内能量的平均值,称为平均能量,用ω表示,则有220112T dt A T ωωρω==⎰伴随波的传播,波的能量也在传播,将单位时间通过传播方向上单位面积的(平均)能量,称为平均能流密度,又称波的强度．用符号I 表示,有 I u ω= 八、波的干涉和衍射1、惠更斯原理在波的传播过程中,波阵面上的一点都可以看做是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就成为新的波阵面,这就是惠更斯原理．2、波的叠加原理几列波在同一介质空间相遇时,每一列波都将独立地保持自已原有的特性,并不会因其他波的存在而改变,在它们重叠区域内,一点的振动是各列单独在该点引起振动的矢量和,波的这种性质称为波的叠加原理．3、波的干涉满足相干条件的波在空间相遇叠加时,某些点的振动始终加强,另一些点的振动始终减弱,在空间形成一个稳定的分布,这种现象称为波的干涉,两束相干波的合振幅为A =其中21212()r r πϕϕϕλ∆=---4、波的衍射波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,传到障碍“阴影”区域的现象叫做波的衍射．发生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多． 九、驻波由两列同振幅,相向传播的相干波叠加而成的波,称为驻波,相应的驻波方程为 22cos cos 2y A x ππνλ=十、声波弹性媒质中,各质点振动的传播过程称为“声波”,它是一种机械波．起源于发声体的、振动频率在2020000Hz 的声波能引起人的听觉,又称可听声波,频率在41020Hz - 的机械波称为次声波,频率在48210210Hz ⨯⨯ 的机械波称为超声波．1、声波的反射、干涉和衍射声波遇到障碍物而改变原来传播方向的现象称为声波的反射．围绕发生的音叉转一周听到忽强忽弱的声音,这种现象实际上就是声波的干涉． 由于声波的波长在17cm 17m 之间,声波很容易绕过障碍物进行传播．我们把这一现象叫声波的衍射．2、声音的共鸣共鸣就声音的共振现象． 3乐音与噪音好听、悦耳的声音叫乐音,是由周期性振动的声源发出的．嘈杂刺耳的声音为噪音,是由非周期性振动的声源产生的．4、音调、响度和音品是乐音的三要素 音调：基音频率的高低,基频高则称音调高．响度：声音强弱的主观描述,跟人、声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）等有关．音品：俗称音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色,音品由声音所包含的语言的强弱和频率决定． 十一、多普勒效应当波源、观察者相对传播波的介质运动时,观察接受到的频率偏离波源频率的现象,称为多普勒现象,有如下关系RR sR u u νννν±=式中,R ν为观察接收的频率,依赖于观察者相对于媒质的速率(R v )和波源相对于媒质的速率(s v ),s v 为波源的频率,u 为波速．【例题】例1 如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为1m 的A 物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a 。
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x，且其所受合力kk2???xx?a???0)kx??(k?F满足，故得，F mm则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，111?222??kx??mkAE即222?F??kx，那么这个物体⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力?m2?2??T，式中m一定做简谐运动，而且振动的周期是振动物体的质量。
?k⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m和k都相同，则弹簧振子的振动周期T就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．5⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于l?l和0时可近似地看做是一个简谐运动，振g2T?的含义及值会发生变化。
，在一些“异型单摆”中，动的周期为g（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率??，则它们的运动学方程分别为和和都是ω，振幅分别为AA，初相分别为2121??)cos(A?t?x111??)cos(A?t?x222x仍应在同一直线因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x?x?x上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即21??)tAcos(?x?由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为22??)Acos(?AA?A?2A?121122??sinsinA?A?2211?tan合振动的初相满足??cosA?Acos2112 2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acosωt，?，那么在离振源x波的传播速度为远处一个质点的振动方程便是x???(t??Acos)y，在此方程中有两个自变量：t和x，当t不变时，这个方程描写?????某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波ox xyo?轴正方向传播，振沿平面内，以波速叫做平面简谐波。
人教版高中物理竞赛课件 第4章 机械振动 (共133张PPT)
t0
初始时刻 作圆周运动的质点的 径矢与 轴的夹角 就是振动的初相。
x
O
x
x
26
简谐振动的速度
☆ 5
叫做振动的角频率 ， 或 T 都表示简谐运动的周期性。
在 A 和 已知的条件下， 决定于质点在时刻 t 0 时的位置。
x A cos(t )
一个简谐运动的物理特征在于其振幅和周期。 对于一个振幅和周期已定的简谐运动， 用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同， 值就不同。Leabharlann x ☆
16
A
O
x
17
A
O
x
18
A
x
O
19
A
O
x
20
A
O
x
21
O
A
x
22
O
x
A
23
O
A
x
24
以圆心 O 为原点，设质点的径矢经过与 x 轴夹角为
的位置时开始计时，
则在任意时刻 t ，
此径矢与 x 轴的夹角为
t
t A
O
t0
也就是全部掌握该简谐运动的特征了。
因此，这三个量叫做描述简谐振动的特征量。
7
三 简谐振动的速度和加速度 任意时刻质点的速度
x A cos(t )
dx v A sin( t ) A cos( t ) dt 2
任意时刻质点的加速度 dv d 2 x a 2 2 A cos(t ) 2 A cos(t ) dt dt
物理竞赛(机械振动及机械波)
线如图所示。已知图中P点坐标xP＝20cm，振动量
ξ P＝4cm，振动速度vP＝12π cm/s，则可解得波动
振幅A＝
。x＝0点振动初相位Φ 0＝
。
u T 0.5s 2 4
T
u
T
设P点振动方程：
ξ
u
p Acos(t P ) vp Asin(t P )
z (a)
z (b)
z (c)
z (a)
z (b)
z (c)
7.一波脉冲在弦上向x正方向传播，t=0时刻的波形图如 下所示，画出自t=0时刻起，P点的位移与时间的关系 曲线
y
t
8.飞机在空中以速度u=200m/s作水平飞行，它发出频
率为 0 2000Hz 的声波，静止在地面上的观察者在飞机 飞越过其上空时，测定飞机发出声波的频率，他在4s
发射波长为λ 电磁波的射电星位于地平线上方Φ 角
时，图中所示的直射波线1与反射波线2之间的波程
差Δ＝
。已知h＝0.5m,λ=21cm,在Φ 从接
近零度开始增大的过程中，P接受到的信号第一次达
到极大值时，Φ ＝
。
分析：1. 求波程差，从2向1作 垂线，注意角度值。 有半波损失。
2. 信号第一次达到极大 值时，相干加强，波 程差等于波长的整数 倍，k＝1
x
)
2. 有一半球形光滑的碗，小球Ⅰ在碗的球心处， 小球Ⅱ 在碗壁离底部中心A点很近的地方，如图
所示。现同时从静止释放两个小球，所有阻力均
不计，则小球Ⅰ与Ⅱ到达碗底A点所需时间之比
为。 I
t1
2R g
A II
t2
T 4
全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波训练题答案
1一根未被固定的质量为m 的匀质弹簧,在作用其一端的恒力F 作用下沿光滑水平面运动．若将此弹簧一端固定在天花板上悬挂起来,则弹簧此时长度比运动时短．如图所示,为使弹簧长度与恒力F 作用下水平运动时相等,问在弹簧下端应挂质量M 为多少的重物？解：因弹簧有质量,在恒力作用下,虽一端未被固定,仍会有伸长．但由于弹簧各处张力不同,伸长也不均匀．因匀质弹簧质量均匀变化,张力也均匀变化（线性变化）,其总伸长量相当于弹簧受到平均张力2F时的伸长量：2Fk l =∆ （1） 弹簧竖直悬挂时,由于自身有质量,将有伸长．弹簧在自身重力作用下,弹簧中的张力时均匀变化的,各部分伸长也将均匀变化．同样可以利用平均张力12mg ⎛⎫⎪⎝⎭作用下计算伸长量：'12mg k l =∆ 依题意,'l l ∆<∆,再加质量为M 的物体后,如果伸长量变为l ∆,则有关系： 12mg Mg k l +=∆ （2） 式（1）、（2）联立,得()12M F mg g=-2、悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳,绳长均为l ,下面挂一质量为M 的光滑匀质薄平板．平板中央有一质量为m 的光滑小木块．开始系统处于静止悬挂状态,两绳互相平行．如图（a ）所示,而后在两绳平面内给平板一个小的水平速度0v ,此板即做小角摆动．求小摆动的周期．（提示,当θ很小时,有近似式21sin ,cos 12θθθθ≈≈-）FM图（b ）图（a ）解：此系统在运动中,除重力做功外,气体外力均不做功,m 和M 间的内力也不做功,所以系统是一个机械能守恒的保守系统．又因为m 和M 间无水平力,所以M 在摆动时,m 只作上、下运动,而且m 的上下运动速度与M 的竖直运动速度分量相等．M 在摆动中,由于绳长相等,M 只作平动,M 的运动可用M 上的一点代表（刚体平动时,刚体上所有质点的运动状态相同）．利用图（b ）写出系统在运动中的动能和势能．系统动能为()22222222111111sin 222222k E Mv m v Mv mv Mv Ml t θθθ∆⎛⎫=+≈+≈= ⎪∆⎝⎭此处由于摆动的角θ为小角度,所以略去2θ项．系统势能为 ()()()211cos 2p E M m gl M m gl θθ=+-≈+ 系统的机械能E 守恒()2221122E Ml M m gl t θθ∆⎛⎫=++ ⎪∆⎝⎭这个表达式与简谐振子的能量表达式相同,因此系统的小角度摆动是一个简谐振动．而且振动角频率ω满足：()22M m gl M m g Ml Mlω++==系统振动周期为2T π=3、如图所示,弹簧振子系统中2kg,100N m,0M k t ===时,0010cm,0x v ==,在1cm h =高处有一质量为0.4kg m =的小物体下落,当M 沿x轴负向通过平衡位置时,小物体刚好落在M 上,且无反弹,试求此后两物体一起运动的规律．解：此题涉及的知识内容主要是动量守恒和简谐运动,而mOx xkmMk从高h 处下落到与M 发生碰撞的过程,在该题中可以忽略不计．因为粘合以后弹簧的组合总是提供给物体系指向平衡位置的力,所以我们可以判断两物体一起运动的规律是简谐运动,简谐运动的频率、初相我们可以较方便地得出,解此问题关键在于粘合后的振幅的确定,这一点则可以借助于动量守恒和能量守恒求解．两物体粘合后仍做简谐运动,从此时开始计时,设其运动方程为 ()=cos x A t ωϕ+ 其中简谐运动的角频率为)rad s ω==设粘合前瞬间,M 至平衡位置速度为m v ,则()22011222m k x Mv = 解得()1m m v ===设两物体粘合后的共同速度为'0v ,则由动量守恒定律有()'0m Mv M m v -=+解得 ()'0251m s 2.46v =⨯= 又因为 ()()2'2011222k A M m v =+解得)'05m 660A === 又由题意可知,初始位移,初相,所以粘合以后两物体一起运动的规律为()m 2x π⎫=+⎪⎪⎝⎭4、如图（a ）所示,U 形槽置于光滑水平面上,其质量为M ,一质量为m 的物块用两根劲图（b ）图（a ）度系数均为k 的轻弹簧与U 形槽相连接,系统初始静止,现作用一水平恒力F 于U 形槽后,试求物块相对于槽的运动规律．解：因为M 和m 为连接体而且涉及到两根弹簧的组合,因为m 的运动是较为复杂的运动．当然,我们可以初步想象到m 的运动可能为简谐运动,因此我们必须为此设想而开拓思路．首先我们可以确定一下m 静平衡的位置；然后以此位置来建立坐标,看其回复力或者加速度的表达式是否与简谐运动的回复力和加速的的表达式相符；最后,确定初始条件A 、ϕ和ω．1） 先求振动体相对平衡的位置．设在力F 作用下,m 与M 无相对运动时,m 离槽中央的距离为0x ,此时对整体,有m M Fa a M m==+ （1）对m 有 02m kx ma = 所以,有 ()02Fmx M m k=+ （2）2） 判断m 相对运动为简谐运动．以相对平衡位置为坐标原点,建立图示x 坐标,m 在任意x 位置时,受力m 、M 如图（b ）所示．对M ()02M F k x x Ma +-= 所以 ()22M F k x F ma M M M M m=+-+ （3） 对于m ,设m 相对滑槽加速度为r a ,则()()02M r k x x m a a --=+ （4） 由（2）、（3）、（4）可得2r M mma k x M+=- 令'2M mk k M+=,故m 相对滑槽的运动为简谐运动． 3） 设运动方程()cos x A t ωϕ=+,下面确定初始条件． 由0t =时,0x x =,即m 相对于槽未动,因而可得()0,02FmA x M m kϕω===+==因此,可得m 相对于槽的运动方程 ()cos 2Fm x M m k ⎫=⎪⎪+⎭5、如图（a ）所示,在水平桌面上的中心有一光滑小孔O ,一条劲度系数为k 的轻而细的弹性绳穿过小孔O ,绳的一段系一质量为m 的质点,弹性绳自然长度等于OA ．现将质点沿桌面拉至B 处（设OB l =）,并将质点沿垂直于OB 的方向以速度0v 沿桌面抛出,试求：1）质点绕O 点转过090至C 点所需的时间． 2）质点到达C 点时的速度及C 点至O 点的距离．解：沿OB 、OC 方向建立直角坐标系,设质点运动至任意位置(),r θ时,加速度及受力如图（b ）所示．由牛顿定律,有cos sin x y ma f kx ma f kyθθ=-=-=-=-可见,质点在x y 、两个方向均做简谐运动,平衡位置均为O ．两者的周期均为2T =1） 质点从B 到C ,质点在x 方向运动的时间为4T ,有4T t ==2） 因质点到达C 点时在y 方向的速度为零,因此C 点的速度就是它在x 方向做简谐运动的最大速度,即图（a ）CB图（b ）max C v v l ω===又因为B C 、两处机械能守恒,设OC y =,因而有 0222211112222C mv ky mv kl +=+ 解得y v =6、如图所示,质量为M 的箱内悬一弹性系数为k 的弹簧,弹簧下端系一质量为m 的小球,弹簧原长为0l ,箱内上下底间距为l ．初始时箱底离地面高度为h ,并静止．小球在弹力和重力作用下达平衡．某时,箱子自由下落,落地时与地作完全非弹性碰撞．设箱着地时,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等．求1）h 的最小值为多大？2）在1）的条件下,当箱子着地后,小球不会与箱底碰撞的最小l 值．题中设m M =．解：箱子未下落时,弹簧伸长量1l ∆满足1mgl k∆=（1） 当箱子自由下落时,系统质心将作加速度为g 的自由落体运动．由于箱子与小球质量相等,即m M =,可以认为质心始终处于弹簧中点．在质心系中由于质心加速引起的惯性力与重力平衡,因此m 和M 均在质心系中只受弹簧弹力作用．m 和M 均在半根弹簧作用下相对质心做简谐振动,对应得弹性系数均为12k k = （2） 振动周期均为222T πω=== （3） 这里已利用式（1）．箱子着地时,弹簧长度正好与初始未下落时的弹簧长度相等,说明下落过程中,m 和M 均经历了n （自然数）个振动周期,即M,(1,2,)n t nT n == （4） 1） h 的最小值为2222111122mg h gt gT l kππ===∆=2） 一旦箱子着地并处于静止,小球将在整个弹簧的弹力和重力共同作用下作简谐振动,即在弹力与重力作用的静平衡位置附近作简谐振动．由于箱子刚着地时弹簧长度与箱子未下落时相等,因此,箱子刚着地时,小球正好于此平衡位置．但此时小球的速度为2v gT π== 则小球振动的振幅2l ∆满足()2221122k l mv ∆= 得21l l ∆∆ 当小球刚接触箱底而未发生碰撞时,l 应满足()()01201011mgl l l l l l l k=+∆+∆=+∆+=++7、单摆由一根长为2l 的轻质杆和杆段质量为m 的重物组成,若在杆中某点处另加一质量为m 的重物,试求摆的运动周期最多改变百分之几？解：设想有一个摆长为3l 的辅助摆,摆角也为α,此辅助摆在偏离竖直方向同角度时,与异形摆有同样的角速度,即两者有相同的周期．现在原摆杆上固定一质量为m 的重物,它离摆动轴的距离为1l ,则有()()()()122212cos cos cos cos 1122mgl mgl m l m l βαβαωω-+-=+解得()()1222122cos cos g l l l l ωβα+=-+ 同理对3l 列出能量关系式后可得()32cos cos gl ωβα=- 由此当2212312l l l l l +=+时两摆周期相等．此时的周期为32T = 而原摆周期为22T =两式相比,令32T k T =,则有 ()2223122212l l l k l l l l +==+即 22222121220l l k l l k l --+=要保证1l 有解,须使0∆≥,即 ()()222222410l kk l +-≥ 即 42440k k --≥ 解得 0.91k ≥因此,在杆上加一等质量重物时,它的摆动周期最多改变9%．8、一根劲度系数为k 的轻弹簧水平放置,一端固定,另一端连接一个质量为m 的物块,放在水平桌面上,现将物块沿弹簧长度方向拉离平衡位置O ,使它到O 点的距离为0x 时静止释放,此后物体在平衡位置附近来回运动,由于摩擦,振动不断衰减,当物块第n 次速度为零时,恰好停在平衡位置处,求物体与桌面间的动摩擦因数．解：由于摩擦阻力的存在,物体的振动为阻尼振动,不过它的阻力大小却保持不变,属常量阻力下的振动．因最后物体静止于平衡位置处,若动摩擦因数已知,则第()1n -次速度为零的位置确定,以此从后往前推,可确定出释放的初始位置,从而想到用逆推法解本题．设物块从距平衡位置为0x 处从静止开始运动,以后各次速度为零时到平衡位置的距离分别为1221n n x x x x -- 、、、、（0n x =为已知）,逐次应用动能定理有()()()22010122121222212121111221122112212n n n n n n kx kx mg x x kx kx mg x x kx kx mg x x kx mgx μμμμ-------=+-=+-=+=从以上方程分别可得01122112222n n n mg x x k mgx x kmg x x kmg x kμμμμ---=+=+=+=各项相加得()01221n mg n mgx x n k kμμ-=+-= 即 02kx nmgμ=9、如图所示,两质量同为m 的薄木板,用一条质量可以忽略、劲度系数为k 的弹簧相连,置于靠墙光滑的水平地面上．若先把弹簧压缩0d ,然后释放,1）试论述木块B 离墙后两木块相对于它们的中心C 将作什么运动：2）试求出反映出此运动特征的主要物理量．解：1）木块B 离墙后两木块相对于它们的中心C 将作同频率、同振幅的简谐运动． 2）设弹簧恢复原长时右侧物体的速度为0v ,则22001122kd mv =得0v d = 当两物速度相同（为v 共）时,弹簧形变量'd 最大,满足022'202111222222mv mv mv mv kd ==⨯+⨯⨯共共 解得'0d =故该简谐运动的振幅同为04d ,角频率为ω=若取木块B 离墙的最初瞬间（弹簧处于自由状态）为计时原点,在C 点参照系来看,取A B 、平衡位置A B O O 、分别为A B 、的坐标原点,坐标'x 为正向水平向右的坐标,A B 、两振子作余弦简谐运动的初相位A B ϕϕ、可由参考圆定出,分别为31,22A B ϕπϕπ==10、如图所示,一水平横杆MN 距水平地面高为1米,横杆下用细线悬挂一小球A ,A 通过一根轻弹簧与另一相同的小球B 相连．静止不动时,弹簧伸长3cm,今将悬线球A 的细线烧断,A B 、便与弹簧一起往下运动．假设已经知道,在重力作用下A B 、与弹簧合成的系统的重心作自由落体运动,而且发现当B 触及地面上的橡皮泥时,弹簧的伸长刚好为3cm ．然后B 与橡皮泥发生完全非弹性碰撞,试求弹簧相对其自由长度的最大压缩量．解：设A B 、各自质量为m ,弹簧的倔强系数为k ,细线被烧断前弹簧伸长量为1l ∆,则有1mg k l =∆细线烧断后系统下落,系统的重心自由下落,由于A B 、等质量,故系统重心始终位于弹簧的中点C ．取随C 一起自由下落的非惯性系'S ,在此非惯性系中,等价于A B 、都只受半根弹簧的作用力,对应得倔强系数为'2k k =M在这种情形下,A B 、均作简谐振动．振动的角频率为ω==振动周期为22T πω== 由于B 触地时,弹簧的伸长刚好为初态,即伸长3cm,这表明系统下落的时间为弹簧振动周期的整数倍,即(1,2,3)n t n T n == 重心下落距离为222211122n n h gt n gT n h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭其中2110.3m 2h gT ==．很容易发现,2n ≥时,n h 超过1米,不合题意．所以B 触地时,弹簧的弹性势能为2112k l ∆,A B 、相对地面的动能值各为1mghB 球与橡皮泥接触后,其动能为零．而后弹簧被压缩的过程中,A 的动能、重力势能与弹簧弹性势能之和为一恒量．设弹簧相对自由长度的最大压缩量为l ∆,则有()221111122mgh k l mg l l k l +∆+∆+∆=∆ 将111, 3.0cm,30cm mgk l h l =∆==∆代入上式,得 18cm l ∆=11、如图所示,一手电筒和屏幕组成的系统,质量均为m ,被倔强系数均为k 的弹簧悬挂在同一水平面上,当平衡时手电筒的光恰好照在屏幕的中心．已知屏幕和手电筒相对于地面的上下振动表达式分别为()()1122cos cos x A t x A t ωϕωϕ=+=+问：1）在屏幕上的光点相对于屏静止不动； 2）在屏上的光点相对于屏幕作振幅12A A =的振动．初相位12ϕϕ、应满足什么条件？用何种方式让它们启动,才能得到上述结果． 解：光点相对于光屏的运动实际上就是手电筒和屏幕的振动的合成． ()()1212cos cos x x x A t A t ωϕωϕ=-=+-+, 即得12122sinsin 22x A t ϕϕϕϕω-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （1）1）光点相对于屏静止不动,即0x = 由（1）式得 12sin 02ϕϕ-=即12ϕϕ=2）当光点相对于屏幕振幅为2A 时,由（1）式得 12sin12ϕϕ-=故12ϕϕπ-=±由以上讨论可知,若想使光点相对于屏不动,要求12ϕϕ=,即初位相相同,可以把它们同时往下拉（或往上托）A 位移后再同时放手即可办到．同理,若要求光点对屏有2A 的振幅,12ϕϕ、必须满足初位相相反,这可以让手电筒在相对平衡点()A -处,屏在相对平衡点()A +处,而后放手即可办到．12、 如图（a ）所示,质量为m 的圆盘,悬于劲度系数为k 的弹簧下端,在盘上方高h mg k =处有一质量也为m 的圆环,由静止开始自由下落,并与盘发生完全非弹性碰撞,碰撞时间很短,求圆环开始下落到圆盘向下运动至最低点共经历多少时间？解：圆环下落后,与圆盘作完全非弹性碰撞,共同以一定的初速向最低点运动．值得注意的是,振子的质量为2m ,所以未碰前圆盘静止位置并非为振动系统的平衡位置．环自由下落至盘面时的速度为1v ==图（a ）环与盘碰撞,动量守恒,有 122mv mv = 环与盘共同初速为211122m v v v m === 环与盘一起作简谐振动的周期为2T π=未碰之前,弹簧的形变1x 为 1mgx k=碰后振动系统的平衡位置形变为 22mgx k =可见初始位置离平衡位置的距离为 21mgx x k-=图（b ）是简谐振动过程的参考图,环与盘的运动可以看作从图中M 到N 的过程,N 对于最低点,OM mg k =,它对应的圆运动时质点从P 沿PAN 弧运动到N ,对应半径转过()πϕ-．由机械能守恒得2222111222222mg mg mg mv mg A k k A k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得振幅A = 由图中几何关系有cos 2OM OP ϕ===所以初相ϕ为 4πϕ=则 34πϕπ-= 于是从振动开始到最低点的时间为1328t T T πϕπ-===自由落体时间为2t ==总运动时间为图（b ）12314t t t π⎛=+=+ ⎝13、如图（a ）所示,劲度系数为k 的轻弹簧竖直悬挂,下端与一质量为M 的圆柱体（不能转动）相连,不可伸长的细绳跨过圆柱体,两端分别系有质量为1m 和2m 的重物．细绳与圆柱体之间的摩擦力可忽略不计．试求当两重物同时运动时,圆柱体的振动周期．解：取圆柱体为研究对象,它的受力如图所示,其中kx 为弹簧对它作用的向上的弹力,Mg 为其自身重力,两边的T 是两条绳对它的拉力,圆柱体就是在这几个力的作用下而运动,两边的重物1m 、2m 和圆柱体三者的运动是想关联的,由其运动学关系和牛顿第二定律可列出方程,找出圆柱体运动中的受力特征或者是其运动学特征,如其满足简谐运动的判据,便可根据简谐运动的规律求出圆柱体的振动周期．取弹簧为原长时圆柱体的中心位置为坐标原点,竖直向下为x 轴,当圆柱体中心位于任意位置x 时,受向上的弹簧力kx -,向下的重力Mg 及两绳的拉力2T ,由牛顿第二定律,对于圆柱体有2T Mg kx Ma +-= （1） 上式中a 为此刻圆柱体的加速度,又设此刻物块1m 相对于圆柱体的加速度为'a （设其方向为向下）,则此刻物块2m 相对于圆柱体的加速度则为'a -,故此刻1m 和2m 两物块的加速度1a 和2a 分别为'1a a a =+ （2）1m 2M图（a ）Mg图（b ）'2a a a =- （3） 同样根据牛顿第二定律对物块1m 和2m 可分别列出方程为111m a m g T =- （4） 222m a m g T=- （5） 由（2）-（5）式解得()12122m m T g a m m =-+ （6）（6）式代入（1）式中有1212121244m m m m g a Mg kx Ma m m m m -+-=++ （7）整理上式得1212121244m m m m M g kx M a m m m m ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故得圆柱体的加速度为1212121244m m m m ka x g m m k M m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪=-- ⎪+ ⎪+⎝⎭引入一个新的变量'x ,令12'124m m m m x x g k+=- 则前式变为'12124ka x m m Mm m =-++由上式可见,对于新变量'x 来说,圆柱体将作简谐运动,其振动的角频率为ω=因x 与'x 只差一个常量,故对于x 来说,圆柱体也是作简谐运动,其振动的角频率也就是上面的ω,故得圆柱体作简谐运动的周期为22T πω==讨论：以上结果与一个劲度系数为k ,质量为12124m m M m m ⎛⎫+⎪+⎝⎭的弹簧振子的振动周期相同,故对于图（b ）中M 、1m 、2m 三者组成的系统,它们可等效为一个总质量为12124m m Mm m ++的物体,由此有时也将12124m m M m m ++称为这一系统的等效质量（也有称之为折合质量的）．14、沿x +方向传播的简谐波在0t =时刻的波形如图所示,已知该波的振幅为A ,波速为u ,波长为λ．试写出该波的波动表达式．解：原点O 的振动表达式为：()0(0,)cos y t A t ωϕ=+原点O 处质点振动的初始条件为：0t =时,002,0y A v =<．故有 00cos 2y A A ϕ== 即 03ϕπ=于是,原点O 的振动表达式为()(0,)cos 3y t A t ωπ=+ 在x 轴上任取一点P ,其坐标为x ,则P 点的振动表达式为()()(,)cos 22cos 3y x t A t x A ut x ωππλππλ=+-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦其中用到22uωπγπλ==15、同一媒质中有两个平面简谐波,波源作同频率、同方向、同振幅的振动．两波相对传播,波长为8m ,波传播方向上A B 、两点相距20m ,一波在A 处为波峰时,另一波在B 处位相为2π-,求连线上因干涉而静止的各点的位置．解：由已知条件知,此两平面简谐波为相干波,在两波平面的连线上形成驻波．如果以A 为原点建立Ox 坐标轴,如图所示,以甲波在A 点的位相为零的时刻作为计时起点．在A B 、间,甲波的方程为2cos y A t x πωλ⎛⎫=- ⎪⎝⎭甲 乙波的方程为2cos y A t x πωϕλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭乙 当甲波使A 质元位移最大正值时,乙波在B 点的相位为2π-,因0t =时,B 处20m x =．2,211.2t x ππωϕλϕπ++=-=-当AB 间的点因干涉为静止时,甲、乙两波在该点的位相差满足()()21,2221,A B n t x t x n ϕϕπππωϕωπλλ-=+⎛⎫++--=+ ⎪⎝⎭得 413x n =+当3,2,1,0,1n =---时,1,5,9,13,17m x =． 这就是AB 连线上因干涉而静止的各点的位置坐标．16、一个人站在广场中央,对着甲、乙、丙三个伙伴吹哨子（频率1200Hz ν=）．甲、O乙、丙距广场中央都是100m 远,且分别在广场中央的南东北面．第四个伙伴丁则从西面乘车以40m 的速度赶来,忽然又一阵稳定的风由南向北吹过来,速度为10m ,如图所示,求甲、乙、丙、丁四个人听到哨声的频率各是多少？已知当时声速为320m ．解：由于风吹动引起介质相对声源和观察者以速度Fv 运动,即F u u v ==观源,应用多普勒效应公式',1200H z v uv uννν+==- 对甲： ,,F F v v u v =-= 则 '1200Hz FFv v v v νν-==-甲 对乙：由于F v 在东西方向无速度分量,故0v u ==,所以 '1200Hz 0v v νν+==-乙 对丙：,,F F v v u v ==- '1200Hz FFv v v v νν+==+丙 对丁：0,40m s,u v == '3204012001350H z0320v u v νν++==⨯=-丁 17、一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动,其表达式分别为()2cos 22sin x t y tωψω=+=设2πψ=,试求质点的轨道方程,并在x y -平面上给出其曲线；若ψπ=,轨道曲线怎么变化？解：1）2πψ=时,Fv 丙 北乙 东南 甲西丁图（a ）()()222cos 22cos 212sin 42x t t t x y ωπωω=+=-=--=-这里,x 和y 的变化范围为 22,11x y -≤≤-≤≤由轨道方程242x y =-给出曲线如图（a ）所示． 2）ψπ=时,()()222cos 222cos 212sin 24x t t t x yωπωω=+==-=-x 和y 的变化范围同前,轨道曲线如图（b ）所示．18、沿X -方向传播的简谐波在0t =时刻的波形如图（a ）所示,该波的振幅为A ,波速u 和波长λ均已知．1）试写出该波的波动表达式． 2）试画出2Tt =时刻的波形图,其中T 是周期． 解：1）设坐标原点O 点的振动为()()0,cos y t A t ωψ=+ 初始条件0t =时,y A =-,()cos A t A ωψ+=- 则 ψπ=于是O 点的振动为 ()()0,c o s y t A t ωπ=+ 在X +轴上任取一点P ,其坐标为x ,因波沿X -方向传播,因而P 点的相位比O 点超前2x πλ,于是P 点的振动为()()2,cos 2cos y x t A t x A ut x πωπλππλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦此即波动表达式．2）如图（b ）所示,与0t =时刻的波形（图中虚线）图（b ）图（a ）图（b ）相比,2T t =时刻的波形应向X -方向传播了2λ的距离,如图中实线所示．19、一个质点同时参与两个方向的振动．振动方程分别为 11223c o s 10,c o s 1044y x A t x A t ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．设12A A = 试求：1）当1y =时合振动的振幅和初位相；2）当y 为何值时,合振动的振幅最大？y 为何值时振幅为最小？解：1）当1y =时,1231,44ϕπϕπ==,如图所示,用合成法可求出合振动振幅的大小和初相位值,即1212,24A AOA ϕϕπ-=∠==；合振动的相位相222AOA πϕϕ=+∠= 2）由合成振幅公式可知,当()21cos 1ϕϕ-=时,12A A =达到最大． 即 ()2120,2,3K K ϕϕπ-==±±3244yK πππ-= 所以 ()380,1,2y K K =-=±±()21cos 1ϕϕ-=-时,0A =,达到最小,即 ()()21210,1,2K K ϕϕπ-=+=±±()32144yK πππ-=+ 所以 ()180,1,2y K K =--=±±20、在图中O 处为波源,向左右两边发射振幅为A 、频率为ν的简谐波,波长为λ．当波遇到波密介质界面时将发生全反射,反射面与波源O 之间的距离为54d λ=,试求波源O 两边合成波的波函数．解：设波源的振动方程为()0cos 2y A t πν= 波源在0x >区域产生波函数为1A 波密cos 2x y A t u πν⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦入波源在0d x -<<区域产生波函数为cos 2x y A t u πν⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦入 在x d =-处,入射波所引起的振动为(),cos 2cos 22A d y d t A t u A t πνππν⎡-⎤⎛⎫-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭入由于反射波存在有半波损失,即有π相应的突变,所以反射波在x d =-处引起的振动为 cos 22A y A t ππν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭反 反射波的波函数为0cos 2254cos 22cos 2x x y A t u x A t u x A t u ππνλππνπν⎡-⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪=-+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦反 在504x λ-<<区域合成波为()cos 2cos 222cos cos 2y y y x x A t A t u u xA t πνπνππνλ=+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=入反即在此区域内合成波为驻波． 在0x >的区域合成波为 ()2cos 2y y y A t πν=+=入反21、试以弦上传播的脉冲波为例,导出弦上的波速表达式．解：当弦上脉冲以速度u 向右传播时,在以u 向右运动的参考系上看来,波形不动,但弦上的每个质元均以u 沿弦向左运动,如图所示．取脉冲顶部长为l ∆的一小段弦（质元）作研究对象,在该时,此质元近似做匀速率圆周运动．设圆心为O 、曲率半径为R 、l ∆所对应圆中心角为θ、弦上l ∆两边拉力为T ,则对应长度为l ∆的质元的质量为l η∆（η为单位弦长所对应质量即弦线密度）上所受的向心力2sin 2f T θ=当θ很小时sin22θθ≈,故 f T θ≈根据牛顿运动定理得 2u T l Rθη=∆但l R θ∆=,由上式得u =22、两个扬声器X Y 、相距3.0m ,如图所示,令它们同相位地发出频率为660Hz 的相同音调,取声速为330m ,计算能产生多少个干涉极大：1）沿XY 连线；2）沿''X Y 连线,''X Y 平行于XY ,XY 与相距4.0m ．（计算时应包括线段两端可能有的极大值．） 解：依题意设波长为λ,则有 0.5m cfλ== 1） 沿XY 连线时,设由X 发出的声波运动到离X 为m x 处．则波程差为 ()332s x x x ∆=--=- 当波程差为波长的整数倍时有干涉极大,即 32x n λ-=X'X Y解得 32n x =-显然n 最大只能取6n =,因此在连线上包含端点在内共有13个干涉极大．2） 设'P 为''X Y 连线上的某一点,它距'X 为x ,则'Y 距为()3x -,因而有''XP YP ==由题设数据可知,波程差的范围为22λλ- 之间,即在''X Y 连线上包括端点在内共有5个干涉极大．23、飞机在上空以速度200m v =做水平飞行,发出频率为02000Hz f =的声波．静止在地面上的观察者测定,当飞机越过观察者上空时,观察者4s 内测出的频率从12400Hz f =降为21600Hz f =．已知声波在空气中传播的速度为330m v =声,试求飞机的飞行高度．解：观察者在时间4s 内从A 点飞行到B 点,航线高度为h ,地面观察者在M 点接收到从A 点发出的声波频率设为1f ,从B 点发出的声波频率设为2f ．声源沿声线AM 向M 接近的速度cos A u v α= ．沿声线BM 远离M 的速度co s B u v β= ,则由多普勒效应公式有1011,cos .cos 40v f f v v αα==-2033,cos .cos 80v f f v v ββ==+又由几何关系易得 ()cot cot h vt αβ+= 则 cot cot vth αβ=+将200m s,4s,cot v t αβ====1096m h ≈．Au。
机械振动(原卷版)—三年(2022-2024)高考物理真题汇编(全国通用)
机械振动考点01 简谐运动1. . （2024年高考辽宁卷）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。
若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为1r和2r，地球半径是该天体半径的n倍。
12r r 的值为（ ）A. 2n B. 2n C. 2n D. 12n2. （2024年高考江苏卷）如图所示，水面上有O 、A 、B 三点共线，OA =2AB ，0=t 时刻在O 点的水面给一个扰动，t 1时刻A 开始振动，则B 振动的时刻为（ ）A. t 1B. 132t C. 2t 1 D. 152t 3．（2024年高考北京卷）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置．手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示．下列说法正确的是（ ）A ．0t =时，弹簧弹力为0B ．1 6.2s =时，手机位于平衡位置上方C ．从0t =至0.2s t =，手机的动能增大D ．a 随t 变化的关系式为24sin(2.5π)m /s a t=4. （2022高考湖北物理）如图所示，质量分别为m 和2m 的小物块Р和Q ，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。
P 的下表面光滑，Q 与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
用水平拉力将Q 向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q 恰好能保持静止。
弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k ，重力加速度大小为g 。
若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为（ ）A. mgkm B. 2mg k m C. 4mgk m D.6mg k m 5. （2023学业水平等级考试上海卷）真空中有一点P ，微粒Q 在运动过程中受到方向指向P 且大小与Q 离开P 的位移成正比的回复力，给在P 点的微粒Q 一微小速度后，则在接下来的短时间内，Q 的A. 速度增大，加速度增大B. 速度减小，加速度增大C. 速度增大， 加速度不变D. 速度减小，加速度不变6. （2023高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L 的A 、B 两点。
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解
高中物理竞赛机械振动和机械波知识点讲解知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，k mω= 则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22mT kππω==，式中m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2lT gπ=，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
（6）同方向、同频率简谐振动的合成：若有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这表明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为221212212cos()A A A A A ϕϕ=++-合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：（1）机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．（2）简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
2020年南师附中高中物理竞赛辅导课件15机械振动
高中物理学奥林匹克竞赛
考前辅导
2020 江苏南京
阻尼振动受迫振动共振
§15-1 机械振动的一般概念
机械振动：物 体在一定位置的 附近作来回往复 的运动(周期性 或非周期性)
成因：物体的惯性和所受的回复力
§15-2 简谐振动
一.简谐振动的特征 简谐振动:物体距平衡位
置的位移(或角位移)随时 间按余弦(或正弦)函数变 化
即有 a2x
----简谐振动的运动学特征 说明：
A----简谐振动的振幅，为物体离开
平衡位置最大位移的绝对值
----圆频率(2秒内的振动次数)
t ----简谐振动的相位
----简谐振动的初相位
讨论：
由初始条件可确定A和 ： 设 t =0 时， x x0 v v0
x0 Acos v0Asin
可得
x x0
x
参考圆
[例1]用旋转矢量法讨论质点初始时
刻位移为以下情况时谐振动的初相位
： A； -A； 0，且向负方向运
动； -A/2，且向正方向运动
解： 0
A
2
2
4 或 2 A
4 32
O
3
3
Hale Waihona Puke AxTHE END 祝大家竞赛顺利、学业有成
谢谢观看！
真正的圣者的信条是善用生命，充分地利用生命。 既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 我总觉得，生命本身应该有一种意义，我们绝不是白白来一场的。 你接受比抱怨还要好，对于不可改变的事实，你除了接受以外，没有更好的办法了。 如果一个人没有苦难的感受，就不容易对他人给予同情。你要学救苦救难的精神，就得先受苦受难。 一个人的个人能力再强也无法战胜一个团队。 只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼罗兰 人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执著。万物皆为我所用，但非我所属。 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。——苏轼 未经一番寒彻骨，哪得梅花扑鼻香。
高考物理机械振动试题经典
高考物理机械振动试题经典一、机械振动选择题1．如图所示，固定的光滑圆弧形轨道半径R＝0.2m，B是轨道的最低点，在轨道上的A点（弧AB所对的圆心角小于10°）和轨道的圆心O处各有一可视为质点的静止小球，若将它们同时由静止开始释放，则（）A．两小球同时到达B点B．A点释放的小球先到达B点C．O点释放的小球先到达B点D．不能确定2．下列说法中不正确的是( )A．将单摆从地球赤道移到南(北)极,振动频率将变大B．将单摆从地面移至距地面高度为地球半径的高度时,则其振动周期将变到原来的2倍C．将单摆移至绕地球运转的人造卫星中,其振动频率将不变D．在摆角很小的情况下,将单摆的振幅增大或减小,单摆的振动周期保持不变3．如图为某简谐运动图象，若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是()A．质点在0.7 s时的位移方向向左，且正在远离平衡位置运动B．质点在1.5 s时的位移最大，方向向左，在1.75 s时，位移为1 cmC．质点在1.2 s到1.4 s过程中，质点的位移在增加，方向向左D．质点从1.6 s到1.8 s时间内，质点的位移正在增大，方向向右4．如图所示,甲、乙两物块在两根相同的弹簧和一根张紧的细线作用下静止在光滑水平面上,已知甲的质量小于乙的质量．当细线突然断开斤两物块都开始做简谐运动,在运动过程中（）A．甲的最大速度大于乙的最大速度B．甲的最大速度小于乙的最大速度C．甲的振幅大于乙的振幅D．甲的振幅小于乙的振幅5．甲、乙两单摆的振动图像如图所示，由图像可知A ．甲、乙两单摆的周期之比是3:2B ．甲、乙两单摆的摆长之比是2:3C ．t b 时刻甲、乙两摆球的速度相同D ．t a 时刻甲、乙两单摆的摆角不等6．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l ，引力常量为G ，地球质量为M ，摆球到地心的距离为r ，则单摆振动周期T 与距离r 的关系式为( ) A ．T =2πrGMlB ．T =2πrl GM C ．T =2πGMr lD ．T =2πlr GM7．如图所示，一端固定于天花板上的一轻弹簧，下端悬挂了质量均为m 的A 、B 两物体，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 将做简谐运动。
高二物理竞赛机械振动习题课PPT(课件)
1. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线
机运转与的频竖率接直近车身方的固向有频成率，车一身也微会产小生 角度，然后由静止放手使其振
共振现象在实际中有着广泛的应用：
动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示运动方程， (4) 曲线2,3,1分别表示x,v,a曲线
(4) 曲线2,3,1分别表示x,v,a曲线 钢琴、小提琴等乐器的木制琴身，利用共振现象使
知识点：简谐振动的初始条件
知识点：两个简谐振动步调的比较
4. 图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移x，速度v
和加速度a，下列说法正确的是：
(1) 曲线3,2,1分别表示x,v,a曲线 (2) 曲线2,1,3分别表示x,v,a曲线
x, v, a
32 1
(3) 曲线1,3,2分别表示x,v,a曲线
t
(4) 曲线2,3,1分别表示x,v,a曲线
2 2 设备等就会受到严重的损坏；
一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的
3 共振现象也有其危害性：
x Acost ( ) xA co t s( ) (3)
2 (4)
曲 曲线线122,,33,,21分分别别表表示示xx,,vv,,aa曲曲线线
2
一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能的
谐装置也利用了共振现象（电磁共振）选台；原子 核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊
共振现象也有其危害性：
核内的核磁共振用来进行物质结构的研究及医疗诊 强烈的共振而受到损坏。
一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的
断等。 知识点：谐振系统总能量守恒，谐振系统势能公式
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机械振动
振动类型：机械振动，交流电中电流和电压的振动，电磁学中电场和磁场的振动等。
这些振的物理本质不同，但遵守的基本规律相同。
机械振动形象直观，最简单的机械振动是简谐运动。
1．简谐运动物体的受力特征：
质点离开平衡位置后所受合力是线性回复力 kx F -= 式中 x 为质点相对于平衡位置的位移，k 为力常数。
2．简谐运动的矢量图示分析法：
如图所示，矢量OP 绕x 轴上的坐标原点O 沿逆时针方向匀速转动，则P 做匀速圆周运动，P 在x 轴上的投影点Q 的运动就
是简谐运动，O 为平衡位置，OP 的长为振幅值。
简谐运动的周
期等于圆周运动的周期。
这种用旋转矢量表示简谐运动的方法称为矢量图示法。
P 通过的圆为参考圆。
3．简谐运动的位移、速度和加速度方程 如图，令OP 长为A ，其旋转角速度为ω，在t=0时矢量OP
与x 夹角为φ0，则经过时间t ，P 在x 轴上投影点Q 的位移为()0cos φω+==t A OQ x ，此方程即为简谐运动的位移方程。
参考圆上参考点P 的线速度v P 在x 轴上的投影就等于Q 点作简谐运动的速度⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=2cos 0πφωt v v P ，式中A v P ω=为速度的幅值。
参考圆上参考点P 的向心加速度a P 在x 轴上的投影就等于Q 点做简谐运动的加速度()0cos φω+-=t a a P 。
其中A a P 2ω=为加速度的幅值。
4．简谐运动的图象
图象是从另一角度来描述物体的运动特征的，它与方程相比
较具有形象直观的特点。
如下图中的甲、乙、丙三图分别表示简谐运动物体的位移——时间，速度——时间，加速度——时间图象。
2π（或者说落后2
），加速度相位比位移相位超前π（或者说落后π）。
5．简谐运动的固有周期和频率
由牛顿第二定律和简谐运动的受力特征有 x m
k m F a -==回
………………① 由位移方程)c o s (0ϕω+=t A x 和加速度方程)c o s (02ϕωω+-=t A a 可得
x a 2ω-= ……………②
联立①②两式可得m k =2ω，又T πω2=代入可得k
m T π2=其固有周期由系统本身的特性决定，与其他外部因素无关。
单摆的周期g
l T π2=，要注意在实际问题中l 和g 的含义。
在具体问题中要能准确地求出其等效摆长和等效重力加速度。
（1）等效摆长的确定：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。
（2）等效重力加速度的确定：通常情况下先确定摆球在系统中相对于悬点静止时的位置，再找出此状态下摆线的拉力F′，则等效重力加速度m
F g '='，特殊情况下，如所受其他外力始终沿绳所在直线方向，如带电粒子所受洛仑兹力，则该力不会改变其振动周期。
6．简谐运动的能量 动能：)(sin 2
1)(sin 212102202222ϕωϕωω+=+==
t kA t A m mv E k 势能：)(cos 2
1210222ϕω+==t kA kx E P 总能量：221kA E E E k P =+= 7．阻尼振动
振动系统在阻尼介质中振动时，由于阻力的作用，振幅逐渐减小，这种振动称为阻尼振动，对于一定的振动物体，有阻尼比无阻尼时的周期要长些。
且阻尼越大，其周期越长。
8．受迫振动与共振
振动系统在周期性外力（该外力可称为策动力或驱动力）作用下的振动叫受迫振动。
受迫振动的频率等于驱动力频率，与物体的固有频率无关，但其振幅由固有频率和驱动力频率的关系来确定。
驱动力频率与物体固有频率相差越大，振幅越小；两者越接近振幅越大；当外界驱动力频率与系统自身的固有频率相等时，受迫振动的振幅达最大值，这种现象称为共振。
【例题1】三根长均为L=2m ，质量均匀的直杆，构成一个正三角形框架ABC ，C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动。
杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示。
现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动
是一种什么样的运动。
【例题2】半径为R 的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同的小重物相比可以忽略不计。
在环上与两个小重物等距外钻一个小孔O ，如下图所示，
将孔穿过墙壁上的钉子而把
A B
环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小的简谐运动，两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表示。
求此装置的振动周期，摆长L 为多少的单摆自由振动的周期和图示的摆相同。
【例题3】如图所示是一种记录地震装置的一种摆，质量为m 的摆球固定在边长为L ，质量可以忽略不计的等边三角形的顶点A 上，其对边BC 跟竖直线成α角，摆球可绕固定轴BC 摆转，求摆球作微小振动的周期。
【例题4】如图所示，在劲度系数为K 的弹簧下面悬挂一质量为M 的盘。
盘不动时，一个质量为m 的质点自高h 处落入盘中，与盘发生完全非弹性碰撞，以碰后瞬时为计时起点，求盘子的振动方程。
【例题5】如图所示，A 、B 两物叠放在光滑的水平面上，弹簧一端固定，另一端与物体B 连接，O 是平衡位置，用力把物体拉离平衡位置后无初速度释放，物体将在水平面内作简谐运动。
已知物体A 的质量m=50g ，物体B 的质量M=100g ，A 与B 间最大静摩擦力f m =0.32N ，弹簧劲度系数K 0=9.6N/m ，不计弹簧质量和空气阻力，求：
（1）要使A 、B 间在振动中不发生相对滑动，振幅最大为多少？
（2）若使两物体以最大的振幅运动，取水平向右为位移x 的正方向，从物体位移大小为振幅一半并指向平衡位置沿x 轴正方向运动时开始计时。
求初相、振动圆频率、振动方程。
《机械振动》专题练习
1．如图所示，将质量为m 的木块向右拉开一定距离后释放，木块在有摩擦的水平地面做减幅振动。
弹簧第一次恢复原长时木块速率为v 0，则木块在整个振动过程中出现速率为v 0的位置有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 2．如图所示，在质量为M 的无下底的木箱顶部，用一轻弹
簧悬挂一质量均为m （M ＞＞ m ）的A 、B 两物体，箱子放于水平地面
上，平衡后剪断A 、B 间细线，此后A 作简谐运动，当A 运动到最高
点时，木箱对地面的压力为（ ）
A 、Mg
B 、（M-m ）g
C 、（M+m ）g
D 、（M+2m ）g 3．摆钟摆锤的运动可以近似看成简谐运动。
如果摆长为L 1的摆
钟在一段时间内快了△t ，另一摆长为L 2的摆钟在相同时间内慢了
△t ，则准确钟的摆长L 应为多少？
4．如图所示，在两个向相反方向转动的小轴上水平地放一均匀木板，木板质量为m ，两个轴心间距离为2L ，木板与两轴间的摩擦因素均为μ。
木板最初位置是其重心偏离中线OO′的右边x 的位置处。
试证明木板在轴产生的摩擦力的作用下的运动是简谐运动。
5．一质量为100g的单摆作简谐运动，其振幅为10cm，周期为4s，当t=0时，位移为正10cm，求：（1）在t=1s时物体所在的位置；（2）在t=1s时物体所受力的大小；
（3）由起始位置运动到第一次位于x = 5cm处所需时间
6．如图所示，在光滑水平面的两端对立着两堵竖直的墙M和N，把一劲度系数为k的弹簧的左端固定于墙M上，在弹簧右端系一质量为m的物体A。
用外力压弹簧使物体A从平衡位置向左移动距离s0，紧靠A放一个质量也是m的物体B，使弹簧、A和B均处于静止状态。
然后撤去外力，由于弹簧的弹力作用，物体开始向右滑动。
（1）在什么位置物体A和B分离？分离时物体B的速率多大？
（2）物体B离开A后继续向右滑动，与墙N发生完全弹性碰撞，N和O之间距离x应满足什么条件，才能使B在返回时恰好在O点与A相遇？
7．一单摆由一根长为L的刚性轻杆和杆端重物组成，做振幅较小的振动。
若在杆上某一点再固定一个和杆端重物相同的重物，使单摆变成一复摆，求摆的振动周期最多能改变百分之几？
8、如图所示，弹簧和细绳质量可忽略，不计摩擦，m 1、m 2、M 及k 均为已知。
设细绳较长，能使滑轮上下振动，求滑轮振动周期。
9．一大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为ρ1和ρ2（ρ1＜ρ2），现让一长为L ，密度为
)(2121ρρ+的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为L 4
3，由静止开始下落，试计算木棍到达最低处所需的时间。
假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器底相碰。
2 m。