2018届高三数学上学期开学摸底考试试题
江西省南昌市2018届高三上开学摸底考试数学试题(理)含答案
C83 56
C83 56
C138 56
分
∴ X 的分布列如下：
X
0
1
2
20
30
P
56
56
∴ E( X ) 0 20 1 30 2 6 3 . 56 56 56 4
19.【解析】（1）证明：∵ M , N 分别为 PD, AD 的中点，
则 MN ∥ PA .又∵ MN 平面 PAB ， PA 平面 PAB ，
又∵ a1 2 21 ， ∴ an 2n .
………………6 分
（2）由（1）知， bn anSn 2 4n 2n1 ，
∴ Tn b1 b2 b3 bn 2(41 42 43 4n ) (22 23 2n1)
（2）若直线 C2 与曲线 C1 交于 P, Q 两点，求| OP | | OQ | 的值.
23．[选修 4—5：不等式选讲](10 分)
设函数 f (x) | 2x 3 | . （1）求不等式 f (x) 5 | x 2 | 的解集； （2）若 g(x) f (x m) f (x m) 的最小值为 4 ，求实数 m 的值.
A． 2
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
11. 已知动直线 l 与圆 O : x2 y2 4 相交于 A, B 两点，且满足| AB | 2 ，点 C 为直线 l 上
一点，
且满足
uur CB
5 2
uur CA
，若
M
是线段
AB
的中点，则 OC
OM
的值为
A． 3
B． 2 3
0.05
k
安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三数学上学期第二次模拟试题理(含解析)
临泉一中高三年级上学期数学第二次模拟考试（理科）本试卷分为必考部分和选考部分.满分150分，考试时间120分钟必考部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将所选答案标记在题后答题框内.1. 设集合2 [「：•，二：一 .，.，• 4 I ,若口厂1「则卜1 （）A. :'-1：B. '■）.：C. 二；D.【答案】C【解析】•••集合二| I .'】；•，二：+ Ill HL, - f '丨丨；••• •丨是方程. Ill匚的解，即丨丨I •]]••• I - 7•二：一、+ III 川■；■ ■■■ -4- + ■!.：■；■■]丄.：■•；•，故选C2. 命题"若a > b,则a丰c > b + c”的否命题是（）A.若丨•，则.1 | I；i ■B.若「i「I；i ■U 和二「C.若，则「： I.D. 若■: - I，则门-I： li -【答案】A【解析】命题"若a > b，则a十c》b + L的否命题是"若a<b，贝ija + c< b + c",故选A3. 已知点-■ :：H'： I..-.III'c在第三象限，则角IJ的终边在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：点MU-在第三象限可知；；：；；：；，所以角"的终边位置在第二象限考点：四个象限三角函数值的正负问题A. 'B. '■.:,C. 「ID.;丨；i4.若：.■-）；!"L “门，贝y '的大小关系（【答案】D【解析】T、；一「、|「• J二 c 二^(-cosx) Q二-^(COSTI-COS O)二扌.•7 1._ I 一 -,门-I己，故选D5. 已知I I [ ' 口，；'. II ：： I 一'.：■■■'；. I, h，：，“11=( )A. B. C. D.4 32【答案】C【解析】IT E - C. ,.J、11=2cosa • ：：；I「I门〔贝VCDSH二-3• r ¥；F Hl 二：■■.：■ ■■;：］= '，故选C6. 下列函数中，在丨丨|上与函数一二.：n 的单调性和奇偶性都相同的是( )A. < 「八B. ■■■ - 1 1C. ■ ■■:■：.D. : - -J ―【答案】D【解析】-一；-…r在-■ '■上递增，在d「上递减，且¥为偶函数，而：「- / - ■｛也具有相同的奇偶性和单调性•本题选择D选项•7. 已知T\ -:■ ='；in - .■:|r i= in ?'-，则下列结论中正确的是( )A. 函数1 1〔m：的周期为"B. 将li「的图像向左平移"个单位后得到NI -'：的图像C. 函数I'： - - '；'：■：的最大值为ID. . I ■[I一：的一个对称中心是：.、【答案】Dn 1【解析】选项A:. “ …I rill ：|一・]dr ■ ■. i；in.'-，则周期丨'兀，故A不对；选项B:将|的图像向左平移’「个单位后得到的函数解析式为■w ＜- ' - : ；in；.-. - ：i i --JII ■，得不到‘乂的图像，故B不对；1 a .选项C ：由A可得f(x)，g(x) = 2sin2x ,因为sin2x的最大值为1 T所以朋)* 泊大值为指故C不对;选项D:+ g(x) = sin(x + ；) + sin(n-x)二sinx + cosx 二\J2sin(x +》根据正弦函数的对称性，令• - b II ■ •「，得• | 11- I- ■..'，当•.-丨时,＞：=.'，故D正确.故选D8. 已知「:，-■：.，函数f 门［二Mi .：.：＞■'在-二Y内单调递减，则‘::‘的取值范围是( )A.(斶B.開］。
【高三数学试题精选】2018届高三上册摸底考试文科数学试卷(附答案)
2018届高三上册摸底考试文科数学试卷（附答案）
5 吴川四中-------------------2分
(1) 当时, , ， ,
所以函数的图像在处的切线方程为 ,即 ------------4分
(2) 存在 ,使得 ,
，，
当且仅当时，所以的最大值为--------------- -----------------9分
f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增
(3) 当时，的变化情况如下表
----11分
的极大值，
的极小值
又，
所以函数在区间内各有一个零点，
故函数共有三个零点。
--------------------14分
注①证明的极小值也可这样进行
设，
则
当时, ,当时, ,
函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
故函数在区间上的最大值为 ,
从而的极小值
②证明函数共有三个零点。
也可这样进行的极大值，。
18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案
南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。
2018年上海市杨浦区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝.3.(4分)已知,则＝.4.(4分)若行列式,则x＝.5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y ＝.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于.7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝.9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x ＋α)为奇函数,则α的值为.12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO 与PA 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B ＝(a,a ＋1),且B ⊆A.(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l 与抛物线Ω：y 2＝4x 相交于不同两点A 、B,O 为坐标原点. (1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l 又与圆C ：(x ﹣5)2＋y 2＝16相切于点M,且M 为线段AB 的中点,求直线l 的方程； (3)若,点Q 在线段AB 上,满足OQ ⊥AB,求点Q 的轨迹方程.21.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,a n 中,a 1＝1,a n ＝2017,求n 的最大值；(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U ﹣数列”A ：a 1,a 2,…,,记,其中max {x1,x 2,…,x s }表示x 1,x 2,…,x s 这s 个数中最大的数,求M 的最小值.2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)计算的结果是1.【试题解答】解：当n→＋∞,→0,∴＝1,故答案为：1.2.(4分)已知集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},若A∩B＝{3},则实数m＝3.【试题解答】解：∵集合A＝{1,2,m},B＝{3,4},A∩B＝{3},∴实数m＝3.故答案为：3.3.(4分)已知,则＝﹣.【试题解答】解：∵,∴＝.故答案为：﹣.4.(4分)若行列式,则x＝2.【试题解答】解：∵,∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：25.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x＋y＝6.【试题解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式,解得x＝4,y＝2,∴x＋y＝6.故答案为：6.6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于﹣160.【试题解答】解：展开式的通项为T r＝x6﹣r(﹣)r＝(﹣2)r x6﹣2r＋1令6﹣2r＝0可得r＝3常数项为(﹣2)3＝﹣160故答案为：﹣1607.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是.【试题解答】解：基本事件共6×6个,点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,故P＝＝.故答案为：.8.(5分)数列{a n}的前n项和为S n,若点(n,S n)(n∈N*)在函数y＝log2(x＋1)的反函数的图象上,则a n＝2n﹣1.【试题解答】解：由题意得n＝log2(S n＋1)⇒s n＝2n﹣1.n≥2时,a n＝s n﹣s n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1,当n＝1时,a1＝s1＝21﹣1＝1也适合上式,∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；故答案为：2n﹣19.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为.【试题解答】解：∵在△ABC中,sinA、sinB、sinC依次成等比数列,∴sin2B＝sinAsinC,利用正弦定理化简得：b2＝ac,由余弦定理得：cosB＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号),则B的范围为(0,],即角B的最大值为.故答案为：.10.(5分)抛物线y2＝﹣8x的焦点与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为.【试题解答】解：∵抛物线y2＝﹣8x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2＝1的左焦点重合,∴a2＋1＝4,解得a＝,∴双曲线的渐近线方程为y＝,∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为,故答案为：.11.(5分)已知函数,x∈R,设a＞0,若函数g(x)＝f(x＋α)为奇函数,则α的值为.【试题解答】解：函数,＝,＝s,函数g(x)＝f(x＋α)＝为奇函数,则：(k∈Z),解得：,故答案为：12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为.【试题解答】解：假设CD的斜率存在时,设过点M(0,2)得直线方程为y＝kx＋2,联立方程,整理可得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0,设C(x1,y1),N(x2,y2),则△＝(16k)2﹣4×(1＋4k2)×12≥0,整理得k2≥,x1＋x2＝﹣,x1x2＝,(*)由,可得,x1＝λx2代入到(*)式整理可得＝＝,由k2≥,可得4≤≤,解可得＜λ＜3且λ≠1,当M和N点重合时,λ＝1,当斜率不存在时,则D(0,1),C(0,﹣1),或D(0,1),C(0,﹣1),则λ＝或λ＝3∴实数λ的取值范围.故答案为：.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【试题解答】解：∵＝,∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2),位于第三象限.故选：C.14.(5分)给出下列函数：①y＝log2x；②y＝x2；③y＝2|x|；④y＝arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是()A.①②B.②③C.①③D.②④【试题解答】解：①y＝log2x的定义域为(0,＋∞),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数；②y＝x2；是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.③y＝2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.④y＝arcsinx是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,故选：B.15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：t≥0⇒△＝t2＋4t≥0⇒函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点,函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点⇒△＝t2＋4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4.∴“t≥0”是“函数f(x)＝x2＋tx﹣t在(﹣∞,＋∞)内存在零点”的充分非必要条件.故选：A.16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•＝0,•＝0,•＝0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1＋S2＋S3的最大值是()A. B.2 C.4 D.8【试题解答】解：设AB＝a,AC＝b,AD＝c,因为AB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2＋b2＋c2＝4R2＝4所以S△ABC ＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc )≤(a2＋b2＋c2)＝2即最大值为：2故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域；(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【试题解答】解：(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,它的面积y＝x(l﹣3x)；由x＞0,且l﹣3x＞0,可得函数的定义域为(0,l)；(2)y＝x(l﹣3x)＝×3x(1﹣3x)≤×()2＝,当x＝时,这块长方形场地的面积最大,这时的长为l﹣3x＝l,最大面积为.18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA＝3,P 是母线BS的中点.(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)【试题解答】(本题满分(14分),第1小题满分(7分),第2小题满分7分)解：(1)由题意,π•OA•SB＝15π,解得BS＝5,…(2分)故…(4分)从而体积.…(7分)(2)如图,取OB中点H,连结PH、AH.由P是SB的中点知PH∥SO,则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.…(10分)∵SO⊥平面OAB,∴PH⊥平面OAB,∴PH⊥AH.在△OAH中,由OA⊥OB,得,…(11分)在Rt△APH中,∠AHP＝90 O,,…(12分)则,∴异面直线SO与PA所成角的大小.…(14分)19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B＝(a,a＋1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：函数f(x)是奇函数但不是偶函数.【试题解答】解：(1)令,解得﹣1＜x＜1,所以A＝(﹣1,1),因为B⊆A,所以,解得﹣1≤a≤0,即实数a的取值范围是[﹣1,0]；(2)证明：函数f(x)的定义域A＝(﹣1,1),定义域关于原点对称,f(﹣x)＝ln＝ln()﹣1＝﹣ln＝﹣f(x),而,,所以,所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数.20.(16分)设直线l与抛物线Ω：y2＝4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离；(2)若直线l又与圆C：(x﹣5)2＋y2＝16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程；(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.【试题解答】解：(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y2＝4x,则p＝2,故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；(2)设直线l：x＝my＋b当m ＝0时,x ＝1和x ＝9符合题意；当m ≠0时,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2. △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m, 所以,所以线段AB 的中点M(2m 2＋b,2m)因为k AB •k CM ＝﹣1,,所以,得b ＝3﹣2m 2所以△＝16(m 2＋b)＝16(3﹣m 2)＞0,得0＜m 2＜3 因为,所以m 2＝3(舍去)综上所述,直线l 的方程为：x ＝1,x ＝9(3)设直线AB ：x ＝my ＋b,A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)的坐标满足方程组,所以y 2﹣4my ﹣4b ＝0的两根为y 1、y 2 △＝16(m 2＋b)＞0,y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝﹣4b 所以,得b ＝0或b ＝4b ＝0时,直线AB 过原点,所以Q(0,0)； b ＝4时,直线AB 过定点P(4,0) 设Q(x,y),因为OQ ⊥AB, 所以(x ≠0),综上,点Q 的轨迹方程为x 2﹣4x ＋y 2＝021.(18分)若数列A ：a 1,a 2,…,a n (n ≥3)中(1≤i ≤n)且对任意的2≤k ≤n ﹣1,a k＋1＋a k ﹣1＞2a k 恒成立,则称数列A 为“U ﹣数列”.(1)若数列1,x,y,7为“U ﹣数列”,写出所有可能的x 、y ；(2)若“U﹣数列”A：a1,a2,…,a n中,a1＝1,a n＝2017,求n的最大值；(3)设n为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A：a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,x s}表示x1,x2,…,x s这s个数中最大的数,求M的最小值.【试题解答】解：(1)x＝1时,,所以y＝2或3；x＝2时,,所以y＝4；x≥3时,,无整数解；所以所有可能的x,y为,或.(2)n的最大值为65,理由如下：一方面,注意到：a k＋1＋a k﹣1＞2a k⇔a k＋1﹣a k＞a k﹣a k﹣1.对任意的1≤i≤n﹣1,令b i＝a i＋1﹣a i,则b i∈Z且b k＞b k﹣1(2≤k≤n﹣1),故b k≥b k﹣1＋1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(*)当a1＝1,a n＝2017时,注意到b1＝a2﹣a1≥1﹣1＝0,得(2≤i≤n﹣1)即b i≥i﹣1,此时a n﹣a1＝(a n﹣a n﹣1)＋(a n﹣1﹣a n﹣2)＋…＋(a2﹣a1)＝b n﹣1＋b n﹣2＋…＋b1≥0＋1＋2＋…＋(n﹣2)＝,(**)即,解得：﹣62≤n≤65,故n≤65.另一方面,为使(**)取到等号,所以取b i＝i﹣1(1≤i≤64),则对任意的2≤k≤64,b k＞b k﹣1,故数列{a n}为“U﹣数列”,此时由(**)式得,所以a65＝2017,即n＝65符合题意. 综上,n的最大值为65.(3)M的最小值为,证明如下：当n0＝2m(m≥2,m∈N*)时,一方面：由(*)式,b k＋1﹣b k≥1,b m＋k﹣b k＝(b m＋k﹣b m＋k﹣1)＋(b m＋k﹣1﹣b m＋k﹣2)＋…＋(b k＋1﹣b k)≥m.此时有：(a1＋a2m)﹣(a m＋a m＋1)＝(a2m﹣a m＋1)﹣(a m﹣a1)＝(b m＋1＋b m＋2＋…＋b2m﹣1)﹣(b1＋b2＋…＋b m﹣1)＝(b m＋1﹣b1)＋(b m＋2﹣b2)＋…＋(b2m＋1﹣b m﹣1)≥m＋m＋…＋m＝m(m﹣1).即(a1＋a2m)≥(a m＋a m＋1)＋m(m﹣1)故因为,所以,另一方面,当b1＝1﹣m,b2＝2﹣m,…,b m﹣1＝﹣1,b m＝0,b m＋1＝1,b2m﹣1＝m﹣1时,a k＋1＋a k﹣1﹣2a k＝(a k＋1﹣a k)﹣(a k﹣a k﹣1)＝b k﹣b k﹣1＝1＞0取a m＝1,则a m＋1＝1,a1＞a2＞a3＞…＞a m,a m＋1＜a m＋2＜…＜a2m,且此时.综上,M的最小值为.。
2018届高三上学期百校开学摸底联考数学(文)试题(Ⅰ卷,pdf版,无答案)
, k ](k Z ) 4 4
6
, k
2 ](k Z ) 3
1 ，则 C 的离心率为 3
C． [k C． 5 D． 6
12
, k
7 ](k Z ) 12
D． [k
5 , k ](k Z ) 12 12
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16．如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以 O1 为圆心，半径 为1 km 的半圆面.公路 l 经过点 O ， 且与直径 OA 垂直.现计划修建一条与半 圆相切的公路 PQ (点 P 在直径 OA 的延长线上，点 Q 在公路 l 上)， T 为切 点,那么 OPQ 的面积 S 的最小值是 .
( ) D．(0,
）
PF1 PF2 c 2 ，则此椭圆离心率的取值范围是
D ．1 A．[
1 4
C．
1 16
3 ,1) 3
B．[ , ]
1 1 3 2
C．[
3 2 , ] 3 2
2 ] 2
5 6． 已知命题 p ： 使 sin x0 ； 命题 q ： x (0, ), x sin x ， x0 R ， 2 2
2018
ik ，则实数 k 等于（ ki 1
C ．1 D． 1
2
9． 函数 f ( x) cos(x
6
) 的最小正周期是 ，则其图象向右平移
） B． [k
4
个
A ．2
B ．0
x2 y 2 15.设 A 、B 分别是椭圆 2 2 1 (a b 0) 的左、右顶点，点 P 在 C 上 a b
且异于 A, B 两点，若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 __________.
江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试
江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.若集合A={-2,1}，B={x|x^2>1}，则集合A∩B={1}．2.命题“∃x∈[0,1]，x^2-1≥0”是真命题．3.若复数z满足z·2i=|z|^2+1(其中i为虚数单位)，则|z|=2．4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为2．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6.函数f(x)=lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为1/2．7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为3．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4=a2+a3+a4，则a3的最小值为3．9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x+y+1=0与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,√2)．10.已知实数x，y满足2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，则x+y的取值范围是[2,∞)．11.已知函数f(x)=bx+lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y=f(x)相切，则k-b的值为1/e．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA+OC=2OB，则φ=π/3．13.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP=4BA+λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围为[25/4,35/4]．二、解答题：共计90分．14.已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈[0,π/2]，则f(x)的最小值是√2-1．15.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)在[-2,2]上的最大值是4．16.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且满足BE=CF=AD.若BE=CF=AD=1，AB=2，AC=√5，则三角形AEF的面积为(√5-1)/2．17.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则g(x)在[-2,2]上的最小值是-5．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，E(2,0)，F(0,2)，G(-2,0)，H(0,-2).若点P(x,y)满足PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=PE^2+PF^2+PG^2+PH^2，则点P的坐标为(0,0)．19.已知函数f(x)=ln(1+2x)-ax，其中a为常数，f(x)在[0,1]上取得最大值，且f(1/2)=0，则a=1/2．20.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则当g(x)在[1,3]上单调递增时，x的取值范围是[1,3]．已知在三角形ABC中，AB=AC=3，存在点P在三角形ABC所在平面内，使得PB²+PC²=3PA²=3，则三角形ABC的面积最大值为______。
广西南宁市2018届高三数学上学期摸底试卷理有答案
广西南宁市2018届高三数学上学期摸底试卷（理有答案）2018届高三毕业班摸底联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．2．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．等差数列中，，则的前9项和等于（）A．B．27C．18D．4．的展开式中项的系数为（）A．80B．C．D．485．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．6．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，那么输出的的值是（）A．B．C．2D．18．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．9．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．11．已知是内部一点，，且，则的面积为（）A．B．C．D．12．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知满足约束条件，则的最大值为．14．在等比数列中，，，则．15．已知函数，，则的取值范围是．16．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是（将符合题意的选项序号填到横线上）．①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，的面积为，求.18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？注：，其中.（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值20．已知抛物线上一点到焦点的距离为．（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值．21．设.（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为．（l）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（l）求的解集；（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.2018届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1-5:AABBD6-10:BCBCC11、12：AD 二、填空题13．614．115．16．①③④三、解答题17．解：（1）∵.∴由正弦定理可得：，可得：，∴.∴.（2）∵，的面积为，∴∴.∵由余弦定理可得：.∵，∴可得：，解得：.18．解：（1）完成列联表，如下：代入公式，得观测值：.∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，的可能取值为0，1，2，3.，，，.∴的分布列为：.19．解：（1）在上取一点，使，连接，，∵，，∴，，，.∴，.∴为平行四边形.即.又平面，∴直线平面.（2）取中点，底面是菱形，，∴.∵，∴，即.又平面，∴.又，∴直线平面.故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，，.易知平面的法向量，设面的法向量，由，得.∴.故二面角的余弦值为.20．解：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，∴，则，由，则，∴抛物线的方程.（2）∵点在抛物线上，且.∴∴，设过点的直线的方程为，即，代入得，设，，则，，所以.21．解：（1）∵，∴，∵，的解为.∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴.（2）设，则，令得.在时，递减；在时，递增.∴最小值为，故，取，，得，即.累加得.∴.故存在正整数，使得.当时，取，有，不符合.故.22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），极坐标方程为，∵直线的直角坐标方程为，故直线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为，将代入的极坐标方程得，将代入的极坐标方程得，∴.23．解：（1）∵函数，故，等价于. 等价于①，或②，或③.解①求得，解②求得，解③求得.综上可得，不等式的解集为.（2）若对任意的，，都有，可得. ∵函数，∴.∵，故.∴，∴，或，求得或.故要求的的范围为或.。
山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题+Word版含答案【KS5U+高考】
吕梁市2017-2018学年度高三年级第一次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合8}64{2，，，=A ，7}x 2|{x ≤<=B ，则=B A （ ） A ．}4,2{ B ．}6,4{ C ．}8,6{ D ．}8,2{2.已知i 是虚数单位，复数i-12的虚部为（ ） A ． 1 B ．i C ． -1 D ．i -3.若1||=，2||=，且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A ．3πB ．3π-C ．32πD ． 32π或3π-4. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6=a ，3=c ，32cos =A ，则=b （ ）A ． 3B ． 1 C.1或3 D ．无解 5.如图为几何体的三视图，则其体积为（ ）A ．432+π B ．342+π C. 43+π D ．34+π 6.函数)(x f 在),0(+∞单调递增，且)2(+x f 关于2-=x 对称，若1)2(=-f ，则1)2(≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A ． ]2,2[-B ． ),2[]2,(+∞--∞ C. ),4[]0,(+∞-∞ D ．]4,0[7. F 为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右焦点，N M ,为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ． 22 C. 2 D ．38.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≥+-022042y x x y x ，则21++x y 的取值范围是（ ）A ．]23,1[ B ．]23,41[ C. ]1,41[ D ．),23[]41,(+∞-∞9. 世界数学名题“13+x 问题”：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此问题设计一个程序框图如下图，执行该程序框图，若输入的3=N ，则输出=i （ ）A ．5B ． 7 C. 8 D ．910.函数xe x xf 1)(2-=的图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．11.将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图像向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到)(x g 的图像，若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ）A ．1255π B ．1253π C. 625πD ．417π12. 已知点D C B A ,,,在同一个球的球面上，2==BC AB ，2=AC ，若四面体ABCD的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．425πB ．π4 C. π8 D ．π16 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知3)4tan(-=+πα，则=αtan ．14.从圆422=+y x 内任意一点P ，则P 到直线1=+y x 的距离小于22的概率为 ．15.已知函数)(x f )(R x ∈满足1)1(=f 且)(x f 的导数21)('<x f ，则不等式212)(22+<x x f 的解集为 ．16.已知抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点为F ，点)22,(0x M )2(0px >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为3||MA ，若2||||=AF MA ，则=||AF ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知}{n a 是首项为1的等比数列，数列}{n b 满足21=b ，52=b ，且11+++=n n n n n a b a b a .（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和.18. 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，得到如图的频率分布直方图（图1）.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数； （2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到图2中数据，根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？19. 在如图所示的多面体ABCDE 中，已知DE AB //，AD AB ⊥，ACD ∆是正三角形，22===AB DE AD ，5=BC ，F 是CD 的中点.（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面⊥BCE 平面CDE ；（3）求D 到平面BCE 的距离.20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过)23,1(E ，且离心率为21=e .（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点F 的直线l 与椭圆交于B A ,两点，D 点坐标为)3,4(，求直线DB DA ,的斜率之和.21. 已知函数)1(ln )(--=x a x x x f . （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）若0)(≥x f 恒成立，求a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x （α为参数），曲线13:222=+y x C .（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求21,C C 的极坐标方程； （2）射线)0(3≥=ρπθ与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB .23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|)(-=x x f ，m x x g ++-=|2|)(.（1）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}04|{≤≤-x x ，求实数m 的值； （2）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、 1-5 BACCD 6-10 DBBCA 11-12 AD4.【解析】由余弦定理得cos a b c bc A =+-2222，即b b -+=2430，所以b =1或3.选C5.【解析】几何体形状如图所示：是由半个圆柱和一个四棱锥的组合体，所以选D6.【解析】.由()f x 为偶函数，所以(||)(||)f x f -≤-22，又()f x 在(,)+∞0单调递增，所以||x -≤22，即x ≤≤04.选D7.【解析】设()00 M x y ，，x 0>0,y 0>0.∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02cx =，∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴ 2c M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入双曲线方程得2114e -=， ∵1e >，∴e = B.10.【解析】函数21()x x f x e -=不是偶函数，可以排除C,D ，又令221'()0xx x f x e-++==得极值点为1211x x ==B ，选A 11. 【解析】由题意得()2sin[2()]1126g x x ππ=++-，故max ()1g x =，min ()3g x =-，由12()()9g x g x =，得12()3()3g x g x =-⎧⎨=-⎩，由()2sin(2)133g x x π=+-=-得22,32x k k Z πππ+=-∈即5,12x k k Z ππ=-∈,由12,[2,2]x x ππ∈-，得12175719,,,,12121212x x ππππ=-- 故当121917,1212x x ππ==-时122x x -最大，即1255212x x π-=，故选A.12. 【解析】如图所示，设AC 的中点为M ，由已知AB ⊥BC 所以底面三角形ABC 外接圆的圆心为M ，所以OM ⊥平面ABC ,又OM //DC,所以DC ⊥平面ABC ，由四面体的体积为233，得DC =23所以DA =4，球的半径为2,由球的表面积公式得球的表面积为16π.选Ｄ二、选择题 13. 2 14.ππ+24 【解析】如图所示满足条件的点P 构成阴影部分区域，由一个直角边为2的等腰直角三角形和两个圆心角为45°的扇形组成．这是一个几何概型，不难求得P 到直线x +y =1的距离小于22的概率为ππ+24.15.{x |x >1或x <－1}【解析】令g (x )=f (x )－x 2－12，则()(),()g x f x g ''=-<=10102，所以g (x )在R 上为减函数，不等式等价于g (x 2)<0, 则x 2>1,得x >1或x <－1．16.1三．解答题17.解：（Ⅰ）把n =1代入已知等式得a b a b a =+12112， 所以a a b a b a =-=2121113 所以{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，即n n a -=13（Ⅱ）由已知得n n n na b b a ++-==113， 所以{}n b 是首项为2公差为3的等差数列，其通项公式为n b n =-31()()n n n b b n n n nS ++-+===21231322218．解（Ⅰ）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 设后四组的频数构成的等差数列的公差为d, 则（27-d ）+(27-2d )+(27-3d )=63，解得d =3所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为1000×82100＝820(人)（Ⅱ）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. 19. 解：（Ⅰ）取CE 的中点M ，连接,BM MF ，因F 为CD 的中点， 所以1//2MF ED ，又AB //ED 21,所以//MF AB ，四边形ABMF 为平行四边形， 所以MB//AF , 因为BM ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，所以//AF 平面.BCE （Ⅱ）因为ACD ∆是正三角形，所以2AC AD CD ===,在ABC ∆中，1,2,AB AC BC ===所以222AB AC BC +=，故AB AC ⊥， ∴DE ⊥AC ，又DE ⊥AD ,AC∩AD=A ∴DE ⊥平面ACD∴DE ⊥AF,又AF ⊥CD ，由（Ⅰ）得BM ∥AF ∴DE ⊥BM, BM ⊥CD ，DE ∩CD=D ∴BM ⊥平面CDE ，BM ⊂平面BCE∴平面BCE ⊥平面CDE （Ⅲ）连接DM ，由于DE =DC ∴DM ⊥CE由（Ⅱ）知，平面BCE ⊥平面CDE ，∴DM ⊥平面BCE 所以DM 为D 到平面BCE 的距离，DM =2所以D 到平面BCE 的距离为220.（Ⅰ）解：由已知得222221911,,24c a b c a a b+===+ 解之得，a =2，b =3，c =1 所以椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由(1)得(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-与椭圆联立得22143x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得22222(34)84120k x k x k +-+-=， 所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++ 所以1212121233334444DA DB y y kx k kx k k k x x x x ------+=+=+---- 1212122222222(33)(8)33332244(4)(4)3(1)(83224)3(1)(2424)224124816(43)36362k x x k k k k x x x x k k k k k k k k k k k -+---=++=+----------=+=+--⨯+++=当直线l 斜率不存在时，A (1, －32)，B (1, 32)，2DA DB k k += 所以,DA DB 的斜率之和为221.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)+∞0'()ln f x x a =+-1由'()f x =0得，e a x -=1 当(,e)a x -∈10时，'()f x <0；当(e ,)a x -∈+∞1时，'()f x >0.所以()f x 在(,e )a -10单调递减，()f x 在(e ,)a -+∞1单调递增（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x 在e a x -=1时有极小值，也就是最小值. 所以(e )a f -≥1即()e(e )a a a a -----≥11110也就是e a a -≥1设()e x g x x -=-1，'()ex g x -=-11由'()g x =0得，x =1.当(,)x ∈01时，'()g x >0；当(,)x ∈+∞1时，'()g x <0.所以()g x 在(,)01单调递增，()g x 在(,)+∞1单调递减. 所以()g x 的最大值为max ()()g x g ==10.所以e a a -≤1又e a a -≥1，所以e a a -=1即a =122.解：（Ⅰ）曲线C 1:cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩1（α为参数）化为普通方程为x y x +=222， 所以曲线C 1的极坐标方程为cos ρθ=2，曲线C 2的极坐标方程为(sin )ρθ+=22123. （Ⅱ）射线()πθρ=≥03与曲线C 1的交点的极径为cos πρ==1213， 射线()πθρ=≥03与曲线C 2的交点的极径满足(sin )πρ+=2221233，解得ρ=25，所以||||AB ρρ=-=-1215 23.解：（Ⅰ）由()||g x x m =-++≥20，可得||x m +≤2， 所以m x m --≤≤-22，由题意得m m --=-⎧⎨-=⎩2420， 所以m =2.（Ⅱ）若()()f x g x >恒成立，则有||||x x m -++>12恒成立， 因为||||||x x x x -++≥---=12123，当且仅当()()x x -+≤120时取等号，所以m <3。
2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试数学试题卷
2018届吉林省长春市普通高中高三一模考试题数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设为虚数单位，则(?1+2i)(2?i)=（）A. 5iB. ?5iC. 5D. -5【答案】A【解析】由题意可得：(?1+2i)(2?i)=?2+4i+i?2i2=5i.本题选择A选项.2. 集合{a,b,c}的子集的个数为（）A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合{a,b,c}含有3个元素，则其子集的个数为23=8.本题选择C选项.3. 若图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4. 等差数列{a n}中，已知|a6|=|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.故选C......................5. 已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为（）A. 95，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.6. 若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y=?√3x上，则角α的取值集合是（）A. {α|α=2kπ?π3,k∈Z} B. {α|α=2kπ+2π3,k∈Z}C. {α|α=kπ?2π3,k∈Z} D. {α|α=kπ?π3,k∈Z}【答案】D【解析】因为直线y=?√3x的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y=?√3x上的角的取值集合为{α|α=kπ?π3,k∈Z}或者{α|α=kπ+2π3,k∈Z}.故选D.7. 已知x>0,y>0，且4x+y=xy，则x+y的最小值为（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得：4y +1x=1，则：x+y=(x+y)(4y +1x)=5+4xy+yx≥5+2√4xy×yx=9，当且仅当x=3,y=6时等号成立，综上可得：则x+y的最小值为9.本题选择B选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.9. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6,BC=2√3，且四棱锥O?ABCD的体积为8√3，则R等于（）A. 4B. 2√3C. 4√7D. √139【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的距离 2，矩形ABCD所在圆的半径为2√3，从而球的半径R=4.故选A.10. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知S=1+5+9+?+4033，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 已知O为坐标原点，设F1,F2分别是双曲线x2?y2=1的左、右焦点，点P为双曲线上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（）A. 1B. 2C. 4D. 12【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.故选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+π)=f(?x)，当x∈[0,π2]时，f(x)=√x，则函数g(x)=(x?π)f(x)?1在区间[?3π2,3π]上所有零点之和为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π【答案】D【解析】f(x+π)=f(−x)=?f(x)?T=2π,g(x)=(x−π)f(x)−1=0?f(x)=1x?π作图如下：，四个交点分别关于(π,0)对称，所以零点之和为2×2π=4π，选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角α,β满足?π2<α?β<π2，0<α+β<π，则3α?β的取值范围是__________．【答案】(?π,2π)【解析】结合题意可知：3α?β=2(α?β)+(α+β)，且：2(α?β)∈(?π,π),(α+β)∈(0,π)，利用不等式的性质可知：3α−β的取值范围是(−π,2π).点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．14. 已知平面内三个不共线向量a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑两两夹角相等，且|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1，|c ⃑|=3，则|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|=__________． 【答案】2【解析】因为平面内三个不共线向量a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑两两夹角相等，所以由题意可知，a ⃑,b ⃑⃑,c ⃑的夹角为120°，又知|a ⃑|=|b ⃑⃑|=1，|c ⃑|=3，所以a ⃑.b ⃑⃑=?12 ，a ⃑?c ⃑=b ⃑⃑?c ⃑=?32，|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|= √1+1+9+2×(?12)+2×(?32)+2×(?32)=2 故答案为2.15. 在ΔABC 中，三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若(12b?sinC)cosA =sinAcosC ，且a =2√3，ΔABC 面积的最大值为__________． 【答案】3√3【解析】由(12b −sinC)cosA =sinAcosC 可得12bcosA =sin (A +C )=sinB ，cosA2=sinB b=sinA a，得 tanA =√3,A =π3，由余弦定理12=b 2+c 2?bc ≥2bc?bc =bc ， ΔABC 面积的最大值为12×12×√32=3√3，当且仅当b =c 时取到最大值，故答案为3√3.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及b 2 、a 2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 16. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则圆锥体积的最大值为__________． 【答案】2√3π【解析】设圆锥的底面半径为R ，由题意可得其体积为：V =13Sℎ=13×πR 2×√9?R 2=2π×√R 2×R 2×(9?R 2)=23π×3√3=2√3π.当且仅当R =√6时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为2√3π.三、解答题:共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1+n?2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n?1)，求证：1b1b2+1b2b3+1b3b4+?+1b n b n+1<1．【答案】(Ⅰ)a n=2n+1；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简b n=log2(a n?1)=log22n=n，则1b n b n+1=1n−1n+1，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由{S n=2n+1+n−2S n−1=2n+(n−1)−2(n≥2)，则a n=2n+1(n≥2). 当n=1时，a1=S1=3，综上a n=2n+1.（Ⅱ）由b n=log2(a n−1)=log22n=n.1 b1b2+1b2b3+1b3b4+...+1b n b n+1=11×2+12×3+13×4+...+1n(n+1)=(1−12)+(12−13)+(13−14)+...+(1n−1n+1)=1−1n+1<1. 得证.18. 长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：（Ⅰ）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．（Ⅱ）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1000]内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1000,3000]内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（Ⅰ）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)2；（Ⅱ）1003.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以12节应选出12×636=2节；（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000. （Ⅱ）X的可能取值为0，20，40，60P(X=0)=1C62=115P(X=20)=C31C21C62=615=25P(X=40)=C21+C32C62=515=13P(X=60)=C31C62=315=15则X的分布列为0 20 40 60即EX=1003.19. 如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设PA=1,∠ABC=60°，三棱锥E?ACD的体积为√38，求二面角D?AE?C的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）√1313.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接BD交AC于点O，连接OE，根据中位线定理可得PB//OE，由线面平行的判定定理即可证明PB//平面AEC；（Ⅱ）以点A为原点，以AM方向为x轴，以AD方向为y轴，以AP方向为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE与平面DAE的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接BD交AC于点O，连接OE在△PBD中，PE =DEBO =DO }?PB//OE OE?平面ACE PB?平面ACE}?PB//平面ACE（Ⅱ）V P−ABCD =2V P−ACD =4V E−ACD =√32，设菱形ABCD 的边长为aV P−ABCD =13S ?ABCD ?PA =13×(2×√34a 2)×1=√32，则a =√3.取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立如图所示坐标系.D(0,√3,0)，A(0,0,0)，E(0,√32,12)，C(32,√32,0) AE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,√32,12)，AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(32,√32,0)， n 1⃑⃑⃑⃑⃑=(1,−√3,3)，n 2⃑⃑⃑⃑⃑=(1,0,0) cosθ=|n1⃑⃑⃑⃑⃑⃑?n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑||n 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑|?|n 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=√1+3+9=√1313， 即二面角D −AE −C 的余弦值为√1313.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20. 已知椭圆C 的两个焦点为F 1(?1,0),F 2(1,0)，且经过点E(√3,√32)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线与椭圆C 交于A,B 两点（点A 位于x 轴上方），若AF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λF 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，且2≤λ<3，求直线的斜率k 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1；（Ⅱ）0<k ≤√52. 【解析】试题分析：(1)由题意可得a =2，c =1，b =√3，则椭圆方程为x 24+y 23=1. (2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k 的不等式，求解不等式可得直线的斜率k 的取值范围是k=√52. 试题解析：(1)由椭圆定义2a =|EF 1|+|EF 2|=4，有a =2，c =1，b =√3，从而x 24+y 23=1.(2)设直线l:y =k (x +1)(k >0)，有{y =k (x +1)x 24+y 23=1 ，整理得(3k 2+4)y 2−6k y −9=0， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有y 1=−λy 2，y 1y 2=−λ(1−λ)2(y 1+y 2)2，(1−λ)2λ=43+4k 2，λ+1λ−2=43+4k 2， 由于2≤λ<3，所以12≤λ+1λ−2<43，12≤43+4k 2<43，解得0<k ≤√52. 3+4k 2=8，k =±√52，由已知k =√52.21. 已知函数f (x )=e x ，g (x )=ln (x +a )+b ．（Ⅰ）若函数f (x )与g (x )的图像在点(0,1)处有相同的切线，求a,b 的值； （Ⅱ）当b =0时，f (x )?g (x )>0恒成立，求整数a 的最大值；（Ⅲ）证明：ln2+(ln3?ln2)2+(ln4?ln3)3 +?+[ln(n +1)?lnn]n <ee?1． 【答案】(Ⅰ)1,1；（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出f′(x )与g′(x )，由f(1)=g(1)且f ′(1)=g ′(1)解方程组可求a,b 的值；（Ⅱ）f (x )−g (x )>0恒成立等价于e x ≥ln(x +a)恒成立，先证明当a ≤2时恒成立，再证明a ≥3时不恒成立，进而可得结果；（Ⅲ））由e x >ln(x +2)，令x =−n+1n，即e−n+1n>ln(−n+1n+2)，即e −n+1>ln n (−n+1n+2)，令n =1,2,3,4... ，各式相加即可得结果.试题解析：(Ⅰ)由题意可知，f(x)和g(x)在(0,1)处有相同的切线， 即在(0,1)处f(1)=g(1)且f ′(1)=g ′(1)， 解得a =1,b =1.（Ⅱ）现证明e x ≥x +1，设F(x)=e x −x −1， 令F ′(x)=e x −1=0，即x =0，因此F(x)min =F(0)=0，即F(x)≥0恒成立， 即e x ≥x +1， 同理可证lnx ≤x −1.由题意，当a ≤2时，e x ≥x +1且ln(x +2)≤x +1，即e x ≥x +1≥ln(x +2)， 即a =2时，f(x)−g(x)>0成立.当a ≥3时，e 0<lna ，即e x ≥ln(x +a)不恒成立. 因此整数a 的最大值为2. （Ⅲ）由e x >ln(x +2)，令x =−n+1n，即e−n+1n>ln(−n+1n+2)，即e −n+1>ln n (−n+1n+2)由此可知，当n =1时，e 0>ln2， 当n =2时，e −1>(ln3−ln2)2， 当n =3时，e −2>(ln4−ln3)3， ……当n =n 时，e −n+1>[ln(n +1)−lnn]n .综上：e 0+e −1+e −2+...+e −n+1>ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln(n +1)−lnn]n11−1e>e 0+e −1+e −2+...+e −n+1>ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln (n +1)−lnn ]n .即ln2+(ln3−ln2)2+(ln4−ln3)3+...+[ln(n +1)−lnn]n <ee−1.（二）选考题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,π2)，若直线过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以M 圆心，3为半径． （Ⅰ）求直线的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线与圆C 相交于A,B 两点，求|PA|?|PB|． 【答案】(Ⅰ){x =1+√32ty =2+12t(t 为参数），ρ=6sinθ；（Ⅱ）7. 【解析】试题分析：（1）根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得ρ=6sinθ，即为圆C 的极坐标方程（2）利用ρsinθ=y,x 2+y 2=ρ2将圆C 的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|PA |?|PB |=|t 1t 2|=7 试题解析：（Ⅰ）直线的参数方程为{x =1+√32t,y =2+12t, （t 为参数）， 圆的极坐标方程为ρ=6sinθ .（Ⅱ）把{x =1+√32t,y =2+12t,代入x 2+(y −3)2=9，得t 2+(√3−1)t −7=0， ∴t 1t 2=−7，设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2，则|PA |=|t 1|,|PB |=|t 2|,|PA |?|PB |=7. 23. 选修4-5：不等式选讲设不等式||x +1|?|x?1||<2的解集为A ．（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）若a,b,c ∈A ，求证：|1?abcab?c |>1．【答案】(Ⅰ){x|?1<x <1}；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用分析法证明，将所求不等式转化为(1−a 2b 2)(1−c 2)>0，再根据a,b,c ∈A ，证明(1−a 2b 2)(1−c 2)>0试题解析：（1）由已知，令f(x)=|x +1|−|x −1|={2(x ≥1)2x(−1<x <1)−2(x ≤−1)由|f(x)|<2得A ={x|−1<x <1}.（2）要证|1−abcab−c |>1，只需证|1−abc|>|ab −c|，只需证1+a 2b 2c 2>a 2b 2+c 2，只需证1−a 2b 2>c 2(1−a 2b 2)只需证(1−a 2b 2)(1−c 2)>0，由a,b,c ∈A ，则(1−a 2b 2)(1−c 2)>0恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.。
2017-2018学年安徽省合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)〖详解wor
百度文库一一让每个人平等地提升自我2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷〔理科〕、选择题：本大题共 12个小题,每题 5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只 有一项为哪一项符合题目要求的1. (5 分)设集合 A={x|x2 —4x+3<0}, B = {x|3x―6>0},那么 AAB=()A . (-2, 1)B. (-2, 3)C. (1, 2)D, (2, 3)2. (5分)i 是虚数单位,假设复数(1-mi) (1 + i)的实部与虚部相等,那么实数m=()A . - 1B. 0C. 1D. 23. (5分)向量□= (3, -2), b= (1, -4),假设向量4^+b 与a -止平行,那么实数 入中生有一颗类似芦苇的植物,露出水面一尺,假设把它引向岸边,正好与岸边齐〔如图所 示〕,问水有多深,该植物有多长？其中一丈为十尺.假设从该葭上随机取一点,那么该点取 自水下的概率为〔〕“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何.〞其意思是：有一水池一丈见方,池 5. 〔5分〕?九章算术?勾股章有一 “引葭赴岸〞问题:那么 f (iog25)=()L1B.二(5分)函数 =3 x+0 ) (A>0, 3>.,假设将函数f 〔x 〕的图象向左平移 g-个单位,那么所得图象对应的函数可以为〔6. 102〔5分〕函数1+工 ,|X |<1,其中 a>0 且 awl,假设 f ( — 1) =f (2),7. 8. 〔5分〕执行如下图的程序框图,那么输出的〔5分〕假设实数x, yi 的值为〔C. 6击的最小值是〔D -1D. 79.10的图象如下图,»A • 尸-2si 门〔2x1 J ： 〕 B- 尸2sin ⑵।手 〕4冗 耳冗C.二 一 ,n ：二门,'D. 一「一 一 1 门 i 一 二H:—:10. 〔5分〕假设两个正实数 x, y 满足/L ■+ :=1,且 4+去-6冗恒成立,那么实数 m 的取值范围是〔 〕 A. 〔-8, 2〕 B.〔-巴 8〕 U 〔 2, +8〕 C. 〔-2, 8〕D. 〔-8, - 2〕 U 〔8, +8〕11. 〔5分〕在平面直角坐标系 xOy 中,点A 〔-1, 1〕在抛物线 C: x 2= ay 〔aw0〕上,抛 物线C 上异于点A 的两点P, Q 满足的二黑赢〔入<0〕,直线OP 与QA 交于点R, △ PQR 和△ PAR 的面积满足Sh PQR = 3S APAR ,那么点P 的横坐标为〔 〕 A.-4B. - 2C. 2D. 412. 〔5分〕函数f 〔x 〕 = 〔 1+ax+x 2〕 e x -x 2,假设存在正数x0,使得f〔x0〕< 0,那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. [e- 2, +8〕B, 〔-8, e- 2]C. [—-2,D. 〔-co,工-2]ee二、填空题〔每题 5分,,茜分20分,将答案填在做题纸上〕13. 〔5分〕在〔x-2〕 8 〔x+1〕的展开式中,x7的系数为 .〔用数字作答〕 14. 〔5分〕k 可-2, - 1],那么双曲线x 2+ky 2=1的离心率的取值范围是15. 〔5分〕某三棱锥的三视图如下图,那么该三棱锥的四个面中最大的面积为俯视图一*、一一、八一、、“一… ,,」a1,a2,…,an 〔nC N 〕满足 an+an+1 = an+2+an+3,就称该数列为相侧视图16. 〔5分〕假设有穷数列邻等和数列〞,各项都为正整数的数列 ｛an ｝是项数为8的“相邻等和数列〞 =8, a2+a3=9,那么满足条件的数列｛an ｝有 个.三、解做题〔本大题共 6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤 .〕17. 〔10分〕递增的等比数列 ｛an ｝和等差数列｛bn ｝,满足ai+a4=18, a2a3=32, b2是 ai 和a2的等差中项,且b3=a3- 3.〔I 〕求数列｛an ｝和｛bn ｝的通项公式;(I )求AC, CD 的长;[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90 , 100]分组,得到如下图的频率分布直方图.〔I 〕假设同一组数据用该组区间的中点值代表,估计参加这次知识竞赛的学生的平均成 绩；〔n 〕估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数〔结果保存一位小数〕；〔出〕假设规定80分以上〔含80分〕为优秀,用频率估计概率,从全体参赛学生中随机 抽取3名,记其中成绩优秀的人数为E,求E 的分布列与期望.,且 ai+a2(□)假设 ,求数列｛Cn ｝的前n 项和Sn.18. (12 分)如图,在^ ABC 中,C= — 456,COS -ZADB=-Z -. 、J 5 ,不•西=48,点D 在BC 边上,且 AD =19. 〔12分〕2021年?诗词大会?火爆荧屏,某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国〞 的诗词知识竞赛,从参赛的全体学生中抽出60人的成绩作为样本.对这 60名学生的成绩进行统计,并按[40, 50〕, [50, 60〕, (n)求 cos/ BAD 的值.20. (12分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,AC=AB, PA ,平面 ABCD ,E, F 分别是AB, PD 的中点.(n)假设 AB=2AP=2,求平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值.21. (12分)椭圆Ci ：(a>b>O )的离心率为—,椭圆Ci 截直线y=x 所得的b 22弦长为织〞.过椭圆Ci 的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点 M,直线l 与圆C2： (x5-4) 2+y 2=r 2 (r>0)相切于点 N. (I )求椭圆C1的方程；(n)右AN=^MN ,求直线।的方程和圆C2的半径r. 22. (12 分)设函数 f(K )=-^^-+x-a+2(a6R) .(I)当曲线y = f (x)在点(1, f (, 1))处的切线与直线 y=x 垂直时,求a 的值; (n)假设函数尸(力二£(*)记一有两个零点,求实数 a 的取值范围.成绩(I )求证:AF//平面 PCE;4x2021-2021学年安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等十校联考高三第一学期摸底数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .【解答】解：求解不等式可得：A={x|1<x<3}, B={x|x>2},A n B= {x|2v xv 3},写为区间的形式即(2, 3).应选：D.2 .【解答】解：♦「( 1-mi) (1 + i) = 1 + m+ (1 - m) i的实部与虚部相等,-- 1 + m= 1 - m,解得m=0.应选：B.3 .【解答］解：4 为+b=4 (3, — 2) + (1, — 4) = (13, —12),己一入b= (3—入,—2+4 X),;向量4a+b与0—北平行,13 (—2+4 A +12 (3— X) =0,解得上一工.4应选：C.4 .【解答】解：由题意知,函数f (x)的定义域为(-8, 0) U (0, +8),:•一_「,,.Jn Jk A L Jite -e e -e・♦・函数f (x)是偶函数,排除C、D;又f(l)二一排除B,e-e应选：A.5 .【解答】解：设水深为x尺,那么(x+1) 2=x2+52,解得x=12,即水深12尺.又葭长13尺,…_ 一一1 2那么所求概率：,6 .【解答】解：:函数f(x)=,1+工,其中a>0且aw 1,.••f ( - 1) = ----------- W ----- =且,f (2) = a2,1+ C-l)2 2•••f (― 1) =f (2), •••包工〞,2 S解得a= ',2log14"f (log25) = (1) 1.叼5=普)2 =±应选：D.7 .【解答] 解：当S= 0, i=1时,不满足S> 1,那么S=9, i = 2; -w-当S= —, i= 2 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 3;2 4当S= —, i= 3 时,不满足S> 1,那么S= —, i = 4;4 12当S=HL, i = 4时,不满足S> 1,那么S=筌,i = 5;12 24当S=2», i=5 时,满足S>1,24故输出的i值为5,应选：B.8 .【解答】解：作出实数x, y满足〞对应的平面区域如图：L设z=3±£=1+X二二,那么z的几何意义为过Q ( - 1, 1)的直线的斜率加1;z+1 x+1由图象可知当直线经过点A时,直线QBA的斜率最小,G二1 1 91q由, ,解得A (1, 3),此时QA的斜率k=-7—= 4,[x=2y 2 1+1 4应选：C.根据余弦函数图象：工卫2" 8' B 2解得：T=兀. 利用周期公式：- ,■ 3解得：3=2.根据函数的图象,当 x='L 时,二o ,8 8贝u ： 2?工f K kn+三〔k Cz 〕,82解得：氏kn+W-〔k &〕. 4由于回|<-^-, 解得0=21, 4 那么：., 「ill.,将函数f 〔X 〕的图象向左平移 三个单位,2得到। ,,整理得：g 〔i 〕=-2sin 〔2x-4^〕. 应选：A.【解答】解：：Vx+Wy=〔Vx+Wy 〕〕〔JL+3〕 当x=4y,即x=36且y=9时,虫后取最小值16. <4+4>々>3-6口恒成立,贝U 16>m 2-6m,解关于m 的不等式可得-2vmv8, 应选：C.11 .【解答】解：,一点A (― 1, 1)在抛物线 C: x 2= ay (aw0)上,,a= 19. 10 【解答】 解：根据余弦函数的图象的对称性求得： A=2,>16,••・抛物线方程为：x2=y.•••抛物线C上异于点A的两点P, Q满足而工£了(入<0),直线OP与QA交于点R,可得图形如下,且OA//PQ, (P在第二象限).,「koA=-1,可设PQ 的方程为：y= - x+b, P (x1, y1), Q (x2, y2)OA II PQ, S AF AQ=S；A POQ, ? S A PAR= S A ORQ•--S APQR=3S A PRA,'-S A PQR=3S A ORQ••.PR: OR=3: 1? OA： PQ = 1： 3PQ= 30A = 3&由,r= *+b得x% b=o,JX可x1+x2= — 1, x1x2= - bPQ=<1 + 1 ./"])2_4"卜’=3,厄,解得b= 2可得P ( - 2, 4)12 .【解答】解：当a=- 2 时,函数f (x) = ( 1 - 2x+x2) ex-x2,显然x=1 时,f (1)=-1<0,满足题意,排除选项A, C.当2 = 3- 2 时,函数 f (x) = ( ex+1 — 2x+x2) e' — x2= (1—x) 2ex+ e^〔x — x2= (1—x)2ex+x (ex+1- x),x>0时,(1-x) 2ex>0, x (e x+1-x) >0,所以不存在满足题意的正数xo,使得f (xo) <0,排除选项B.应选：D.填空题〔每题 5分,？茜分20分,将答案填在做题纸上〕「2?22-「1?2=96. 故答案为：96.其焦点在x 轴上,2其标准方程为 箕2茎「二1, k 、21其离心率e 2= £—2a又由 kq-2, - 1], 那么有 Wwe 2w2, 2 即丞wg 加,2故答案为： 曲,收•【解答】解：由题意知,该三棱锥的直观图如图中的A- BCD 所示,那么$ABCD 至黑1 X 2二1,江的而乂近X 2=V^,①好匚至乂在X 1=^故其四个面中最大的面积为可得：a2= 8 - a, a3=1+a, a4=7—a, a5=2+a, a6= 6- a, a7= 3+a, as= 5 - a. :数歹U {an}各项都为正整数,13 【解答】解：〔x — 2〕 8=C?x8-；x 7?2+/?22-.x ?27i?28,(x-2) 8 (x+1)的展开式中,x 7的系数为14 【解答】解：根据题意,双曲线的方程为x 2+ky 2=1,且 kC[ —2, - 1],L I -I ,k15 ,△ABD =V * 近又^[2 _3那么有离心率eC16故答案为:,设 a1 = a,-,I _ *解得：1 w aw 4, a CN ,那么满足条件的数列｛an｝有4个.故答案为：4.三、解做题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)a [ + 3, a 二1817 .【解答】(I)由题意知,〞已1%二行2%二32%<为’七二2解得1 1,射16设等比数列｛an｝的公比为q,111q = 2,由题意知,•. I :,那么等差数列｛bn｝的公差d=2,'1• bn= b2+ ( n - 2) d = 3+2 (n - 2) = 2n - 1.(n) r ---------- ------- -<-- ----- -% (2n-D(2n+l) 2 ^2n-l 2n+l)4吟(*i)+…4易r忌T)__ 之18 .【斛答】斛：(I )在^ ABD 中,.8S NADB==",5. 4sinN ADB 5sin / CAD = sin (/ ADB - / ACD& 乂返也乂返必--- A-■—A ".5 2 5 2 10在4ADC中,由正弦定理得——芈——二sinZADC AC_CD〞一返一叵,5 10 2解得：AC=8,CD=^.(n) CA,CB：48, C=—.4V2•・一’・,1：, )sinz_ADBcQs -cusz_ADBsin—£5 ________ AL, sinZCAD sinZACD解得：口二6b,二-1 : 1,在△ ABC 中,：叱2_2XgX6&X *二2疝, 〔2715产+ 〔5料〕2-〔研〕* /2X2后 X5VS 节19 .【解答】解：〔I 〕 设样本数据的平均数为：X , 那么 三二45 乂0. 05+55X0. 15+65 乂0.2+75X0.3+85X0. 2+95 乂0. 1=72. .,估计参赛学生的平均成绩为 72.5分.〔n 〕设样本数据的中位数为 a,由0.05+0.15+0.2+0.3 >0.5知aC 〔70, 80〕. • ・0.05+0.15+0.2+ 〔a — 70〕 X 0.03 = 0.5,解得 ^^^^73,3, 故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.〔出〕由题意知,样本中 80分以上〔包括80分〕的概率为 旦, 10 那么随机抽取一名学生的成绩是优秀的概率为 旦,,hB 〔3,旦〕.1010・"需=.〕=喘〕3裁,p 〔a=i 〕=c ；x 磊X 〔4〕2二就；P02〕pX 扁号掇;pg 步号尸后a［〔.二3X 卷号.20.【解答】 证实：〔I 〕取PC 中点H,连接EH 、FH.・•.E 为AB 的中点,ABCD 是菱形,,AE//CD,且AE 』CD, 2又F 为PD 的中点,H 为PC 的中点,,FH // CD,且FHh^CD , AE// FH ,且AE=FH,那么四边形 AEHF 是平行四边形, AF // EH .又 AF?平面 PCE, EH?面 PCE,・•.AF//平面 PCE.解：〔n 〕取BC 的中点为 O, ABCD 是菱形,AC=AB,第12页〔共18页〕在4ABD 中,由余弦定理可得:G 口 s/BAD=令y=- 1,那么丑=2, .•・平面PCE 的一个法向量为 7=〔我,-L 2〕, 又平面PAD 的一个法向量为ir= 〔1, 0, 0〕..一,-一、—m *n cosv ip,门〉 ~I m I , I n |Vo V【解答】解：〔I 〕由题意知, 工妾,即一 / 4, •- a 2=4b 2, a / a "•.・由椭圆C1截直线y=x 所得的弦长为 丝°,5AO± BC,AO, AD , AP 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系 A - xyz,B (V5, -i, o), c(V5,i, o), D (O ,PCO, 0, 1), E 除卷,0), T), EC=(淬,y* 0),访二(泥,2, 0).〕,设平面的法向量为7=21即平面PAD 与平面PCE 所成锐二面角的余弦值为・♦.弦在第一象限的端点的坐标为(2杏,等),—^―-I一=1,将a2=4b2代入上式,解得a=2, b=1.5a2 5b22.♦・椭圆Ci的方程为：+/二i；(n)由(I)知, A (― 2, 0),设M (xi, yi), N(X2, y2),• -* 4 —,, • -• 1 -r 40 .. 」一- AN=yMN,一姗万视,倚y2=4yi,设直线l的方程为x= ?y- 2 (入W 0),s= X y-2联立* 丫？9,得〔 ,+4〕 y2-4'=0, v 二―—全+ /=1 1联立*町,得〔？+1〕 y2— 12 少+36 — r2= 0,&-4产+/二产..A n . 2 36 口6 入• △= 0,• • r =_G—,且疗_$—X 2+12 X 2+1••• 6｝二4・4：,解得了工得x2+l X 2+452 r2 = 2 0,,直线I的方程为：5K ±2浜片10二0,圆C2的半径r= 2泥.22.【解答】解：(I)由题意知,函数f(x)的定义域为(0, +8),£'〔¥〕二.〔1口：_]〕+], f 〔1〕 = 1 - a= - 1,解得a=2. x2(n)假设函数卜6)二£@)+^—有两个零点,4z那么方程且皿^F+240—二0恰有两个不相等的正实根,x 4x2即方程-皂1口工+ x ^―(a_2) x+~~二0恰有两个不相等的正实根.4x2设函数晨K)=-&lnx+ J-Ca-2)工+^■,.』,％口 / 力、a_ 2s2-(a-2)x-a (2x-a) (x+1)g lx)=2K-(a-2) x------- ----------------- 二 ------------当aw.时,g' (x) >0恒成立,那么函数g (x)在(0, +°0)上是增函数,・♦・函数g (x)最多一个零点,不合题意,舍去;当a>0时,令g' (x) >0,解得x>—,令g' (x) < 0,解得.<算<且,2 2那么函数g (x)在(0, 内单调递减,在伊 +8)上单调递增.易知x—0时,g 〔x〕 >0恒成立,要使函数g 〔x〕有2个正零点, 2 2贝U g〔x〕的取小值名瑞.〕<o,即一皂］—〔0一2〕义"^"+今一<0, 即Flrr1+a<0,丁a> 0,1 成?1,解得a>2e,即实数a的取值范围为〔2e, +8〕■ ■>_>|, Z" .♦y ( 1—一"x2+(——— 5 0y -♦_x+y ~>一»♦_♦_■6—,第17页〔共18页〕'Ll - -一I,“1. ■■ ,■I a-i—IIS ■" .■■■I ,,"。
2018年上海市普陀区高考高三数学一模试卷及解析
2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝.2.(4分)若,则＝.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为.5.(4分)不等式的解集为.6.(4分)函数的值域为.7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为.12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm216.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长. 20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.21.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.(4分)设全集U＝{1,2,3,4,5},若集合A＝{3,4,5},则∁U A＝{1,2} .【试题解答】解：∵全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{3,4,5},∴∁U A＝{1,2}.故答案为：{1,2}.2.(4分)若,则＝.【试题解答】解：,∴＝.故答案为：.3.(4分)方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212的解x＝﹣1.【试题解答】解：∵方程log2(2﹣x)＋log2(3﹣x)＝log212,∴,即,解得x＝﹣1.故答案为：﹣1.4.(4分)的二项展开式中的常数项的值为﹣84.【试题解答】解：二项展开式的通项＝,由,得r＝3.∴的二项展开式中的常数项为.故答案为：﹣84.5.(4分)不等式的解集为[0,1)∪(1,2] .【试题解答】解：由题意得：,解得：0≤x＜1或1＜x≤2,故答案为：[0,1)∪(1,2].6.(4分)函数的值域为[﹣1,3] .【试题解答】解：∵＝sinx＋cosx＋1＝2sin(x＋)＋1,∵sin(x＋)∈[﹣1,1],∴f(x)＝2sin(x＋)＋1∈[﹣1,3].故答案为：[﹣1,3].7.(5分)已知i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若,则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限.【试题解答】解：,设z＝a＋bi,则z×2i﹣(1＋i)＝0,即(a＋bi)×2i﹣1﹣i＝0,则2ai﹣2b﹣1﹣i＝0,∴﹣2b﹣1＋(2a﹣1)i＝0,则,则,∴z＝﹣i,则＝＋i,∴则在复平面内所对应的点位于第一象限,故答案为：一.8.(5分)若数列{a n}的前n项和(n∈N*),则＝﹣2.【试题解答】解：数列{a n}的前n项和(n∈N*),可得n＝1时,a1＝S1＝﹣3＋2＋1＝0；当n≥2时,a n＝S n﹣S n＝﹣3n2＋2n＋1＋3(n﹣1)2﹣2n＋2﹣1﹣1＝﹣6n＋5,则＝＝(﹣2＋)＝﹣2＋0＝﹣2.故答案为：﹣2.9.(5分)若直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2＋x2y1的值为16.【试题解答】解：直线l：x＋y＝5与曲线C：x2＋y2＝16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则：,所以：2x2﹣10x＋9＝0,则：x1＋x2＝5,,则：x1y2＋x2y1＝x1(5﹣x2)＋x2(5﹣x1),＝5(x1＋x2)﹣2x1x2,＝25﹣9,＝16.故答案为：16.10.(5分)设a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,若至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则满足此条件的不同排列的个数为15.【试题解答】解：根据题意,a1、a2、a3、a4是1,2,3,4的一个排列,则所有的排列有A44＝24个,假设不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立,则a1可以在第2、3、4位置,有3种情况,假设a1在第二个位置,则a1可以在第1、3、4位置,也有3种情况,此时a3、a4只有1种排法,剩余的两个数在其余两个位置,有1种情况,则不存在i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立的情况有3×3＝9种,则至少有一个i(i＝1,2,3,4)使得a i＝i成立排列数有24﹣9＝15个；故答案为：15.11.(5分)已知正三角形ABC的边长为,点M是△ABC所在平面内的任一动点,若,则的取值范围为[0,6] .【试题解答】解：以A点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),C(,),∵,不妨设M(cosθ,sinθ),∴＋＋＝(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＋(﹣cosθ,﹣sinθ)＝(﹣3cosθ,﹣3sinθ),∴|＋＋|2＝(﹣3cosθ)2＋(﹣3sinθ)2＝9(2﹣cosθ﹣sinθ)＝18﹣18sin(θ＋),∵﹣1≤sin(θ＋)≤1,∴0≤18﹣18sin(θ＋)≤36,∴的取值范围为[0,6],故答案为：[0,6]12.(5分)双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f(x)的图象,关于此函数f(x)有如下四个命题：①f(x)是奇函数；②f(x)的图象过点或；③f(x)的值域是；④函数y＝f(x)﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②.【试题解答】解：双曲线关于坐标原点对称,可得旋转后得到的函数f(x)的图象关于原点对称,即有f(x)为奇函数,故①对；由双曲线的顶点为(±,0),渐近线方程为y＝±x,可得f(x)的图象的渐近线为x＝0和y＝±x,图象关于直线y＝x对称,可得f(x)的图象过点,或,由对称性可得f(x)的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f(x)的图象按逆时针旋转60°位于一三象限,由图象可得顶点为点,或,不是极值点,则f(x)的值域不是；f(x)的图象按顺时针旋转60°位于二四象限,由对称性可得f(x)的值域也不是.故③不对；当f(x)的图象位于一三象限时,f(x)的图象与直线y＝x有两个交点,函数y＝f(x)﹣x有两个零点；当f(x)的图象位于二四象限时,f(x)的图象与直线y＝x没有交点,函数y＝f(x)﹣x没有零点.故④错.故答案为：①②.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)若数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则矩阵所表示方程组的解的个数是()A.0个B.1个C.无数个D.不确定【试题解答】解：根据题意,矩阵所表示方程组为,又由数列{a n}(n∈N*)是等比数列,则有＝＝＝,则方程组的解有无数个；故选：C.14.(5分)“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【试题解答】解：∵m＞0,∴函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|,∵f(0)＝0,∴f(x)在区间(0,＋∞)上为增函数”；∵函数f(x)＝|x(mx＋2)|＝|mx2＋2x|在区间(0,＋∞)上为增函数,f(0)＝0,∴m∈R,∴“m＞0”是“函数f(x)＝|x(mx＋2)|在区间(0,＋∞)上为增函数”的充分非必要条件.故选：A.15.(5分)用长度分别为2、3、5、6、9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接,不允许折断),组成共顶点的长方体的三条棱,则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258cm2B.414cm2C.416cm2D.418cm2【试题解答】解：设长方体的三条棱分别为a,b,c,则长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)≤(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2,当且仅当a＝b＝c时上式“＝”成立.由题意可知,a,b,c不可能相等,故考虑当a,b,c三边长最接近时面积最大,此时三边长为8,8,9,用2、6连接,3、5连接各为一条棱,第三条棱为9组成长方体,此时能够得到的长方体的最大表面积为2(8×8＋8×9＋8×9)＝416(cm2).故选：C.16.(5分)定义在R上的函数f(x)满足,且f(x﹣1)＝f(x＋1),则函数在区间[﹣1,5]上的所有零点之和为()A.4B.5C.7D.8【试题解答】解：∵函数,且f(x﹣1)＝f(x＋1),函数的周期为2,函数,的零点,就是y＝f(x)与y＝图象的交点的横坐标,∴y＝f(x)关于点(0,3)中心对称,将函数两次向右平移2个单位,得到函数y＝f(x)在[﹣1,5]上的图象,每段曲线不包含右端点(如下图),去掉端点后关于(2,3)中心对称.又∵y＝＝3＋关于(2,3)中心对称,故方程f(x)＝g(x)在区间[﹣1,5]上的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)的交点横坐标,共有三个交点,自左向右横坐标分别为x1,x2,x3,其中x1和x3关于(2,3)中心对称,∴x1＋x3＝4,x2＝1,故x1＋x2＋x3＝5.故选：B.三.解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图所示的圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积；(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.【试题解答】解：(1)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,∴,解得PO＝,∴PA＝＝2,∴该圆锥的侧面积S＝πrl＝π×1×2＝2π.(2)∵圆锥的体积为,底面直径AB＝2,点C是弧的中点,点D是母线PA的中点.∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,﹣1,0),P(0,0,),D(0,﹣,),B(0,1,0),C(1,0,0),＝(0,1,﹣),＝(﹣1,﹣,),设异面直线PB与CD所成角为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝.∴异面直线PB与CD所成角为.18.(14分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)＝＋x＋150万元.(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【试题解答】解：(1)由总成本p(x)＝＋x＋150万元,可得每台机器人的平均成本y＝＝2.当且仅当,即x＝300时,上式等号成立.∴若使每台机器人的平均成本最低,应买300台；(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)＝,当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60﹣m)＝﹣160m2＋9600m,∴当m＝30时,日平均分拣量有最大值144000.当m＞30时,日平均分拣量为480×300＝144000.∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件.若传统人工分拣144000件,则需要人数为人.∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少＝75%.19.(14分)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,),已知角φ的终边经过点,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)已知△ABC面积为,角C所对的边,,求△ABC的周长.【试题解答】解：(1)已知角φ的终边经过点,且,则：φ＝﹣,点M(x1,y1)、N(x2,y2)是函数f(x)图象上的任意两点,当|f(x1)﹣f(x2)|＝2时,|x1﹣x2|的最小值是.所以：ω＝,所以：；(2)由于：＝sin()＝,且0＜C＜π,解得：C＝,△ABC面积为,所以：,解得：ab＝20.由于：c2＝a2＋b2﹣2abcosC,c＝2,所以：20＝(a＋b)2﹣3ab,解得：a＋b＝4,所以：.20.(16分)设点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,且向量与向量平行.(1)求椭圆C的方程；(2)当时,求△F1MN的面积；(3)当时,求直线F2N的方程.【试题解答】解：(1)点F1、F2分别是椭圆(t＞0)的左、右焦点,∴a＝t,c＝t,∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为,∴a﹣c＝t﹣t＝2﹣2,∴椭圆的方程为＋＝1,(2)由(1)可得F1(﹣2,0),F2(2,0),点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点,可设N(2cosθ,2sinθ),∴＝(2cosθ＋2,2sinθ),＝(2cosθ﹣2,2sinθ),∵,∴(2cosθ＋2)(2cosθ﹣2)＋4sin2θ＝0,解得cosθ＝0,sinθ＝1,∴N(0,2),∴＝(﹣2,2),∴k＝＝﹣1,∵向量与向量平行,∴直线F1M的斜率为﹣1,∴直线方程为y＝﹣x﹣2,联立方程组,解得x＝0,y＝﹣2(舍去),或x＝﹣,y＝,∴M(﹣,),∴|F1M|＝＝,点N到直线直线y＝﹣x﹣2的距离为d＝＝2,∴△F1MN的面积＝|F1M|•d＝××2＝,(3)∵向量与向量平行,∴λ＝,∴,∴(λ﹣1)||＝,即λ＞1,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴λ(x1＋2)＝x2﹣2,y2＝λy1,∴x2＝λx1＋2(λ＋1)∵＋＝1,∴x22＋2y22＝8,∴[λx1＋2(λ＋1)]2＋2λ2y12＝12λ2＋8λ＋4＋4λ(λ＋1)x1＝8,∴4λ(λ＋1)x1＝(1﹣3λ)(λ＋1),∴x1＝＝﹣3,∴y12＝4﹣,∴||2＝(x1＋2)2＋y12＝(﹣3＋2)2＋4﹣＝,∴||＝,∴(λ﹣1)•＝,∴λ2﹣2λ﹣1＝0解得λ＝2＋,或λ＝2﹣(舍去)∴x1＝﹣3＝﹣3＝﹣1﹣,∴y12＝4﹣＝2﹣＝＝,∴y1＝,∴k＝＝﹣,∴直线F2N的方程为y﹣0＝﹣(x﹣2),即为x＋y﹣2＝021.(18分)设d为等差数列{a n}的公差,数列{b n}的前n项和T n,满足(n∈N*),且d＝a5＝b2,若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k ≥3),则称m具有性质P k.(1)请判断b1、b2是否具有性质P6,并说明理由；(2)设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,求证：对任意的k(k ∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,求所有满足条件的k的值.【试题解答】解：(1)(n∈N*),可得n＝1时,T1＋＝﹣b1＝﹣T1,解得b1＝﹣,T2＋＝b2＝﹣＋b2＋＝b2,T3＋＝﹣b3＝﹣＋b2＋b3＋,即b2＋2b3＝,T4＋＝b4＝﹣＋b2＋b3＋b4＋,即b2＋b3＝,解得b2＝,b3＝﹣,同理可得b4＝,b5＝﹣,b6＝,b7＝﹣,…,b2n﹣1＝﹣,d＝a5＝b2,可得d＝a1＋4d＝,解得a1＝﹣,d＝,a n＝,P6＝{x|a4＜x＜a9}(k∈N*,k≥3)＝{x|0＜x＜},则b1不具有性质P6,b2具有性质P6；(2)证明：设S n为数列{a n}的前n项和,若{S n﹣2λa n}是单调递增数列,可得S n＋1﹣2λa n＋1≥S n﹣2λa n,即为≥,化为4λ＋6≤2n对n为一切自然数成立,即有4λ＋6≤2,可得λ≤﹣1,又P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k＋3}(k∈N*,k≥3),且a1＝﹣,d＞0,可得P k中的元素大于﹣1,则对任意的k(k∈N*,k≥3),实数λ都不具有性质P k；(3)设H n是数列{T n}的前n项和,若对任意的n∈N*,H2n﹣1都具有性质P k,由于H1＝T1＝b1＝﹣,H3＝T1＋T2＋T3＝﹣,H5＝T1＋T2＋T3＋T4＋T5＝﹣, H7＝﹣＋0﹣＝﹣,…,H2n﹣1＝H2n﹣3＋b2n﹣1,(n≥2),当k＝3时,P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜},当k＝4时,P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜},当k＝5时,P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1},当k＝6时,P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜},显然k＝5,6不成立,故所有满足条件的k的值为3,4.。
2018届高三毕业班开学摸底考试原创卷文数(A卷)(考试版)
文科数学试题 第1页（共4页） 文科数学试题 第2页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________2018届高三摸底考试原创卷A 卷文科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|560}A x x x =-+≥，集合{|3}B x x =≤，则()A B =RA ．{|3}x x <B ．{|3}x x ≤C ．{|23}x x <<D ．{|23}x x <≤2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z -=+，则复数z 的共轭复数为 A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．某种商品广告投入x 万元与收益y 万元的关系如下表所示，已知y 与x 具有线性相关关系，且求得它们的回归直线的斜率为6.5，当投入9万元时，预测收益可达到x2 4 5 6 8 y304060 50 70A ．71万元4．在区间[2,2]-内任取两个不同的整数m ，n ，则0m n +≥的概率是 A ．15B ．34C ．35D ．12255．下列命题正确的是 A ．2, 10x x ∃∈+=RB ．(0,), sin 02x x x π∀∈-> C ．, sin cos 2x x x ∃∈+=RD ．2, 210x x x ∀∈-+>R6．已知等差数列{}n a 中，0n a >，9101121a a a ++=，且812,,a T a 成等比数列，则T 的最大值为 A ．5B ．6C ．7D ．497．已知函数11()sin()cos()(0,||)332f x x x ωϕωϕωϕπ=+++><满足()()f x f x =-，且在[0,]2π上是减函数，则ω的取值范围为 A ．(0,6]B ．[6,)+∞C ．1(,]6-∞D ．1[,)6+∞8．当输入4n =时，执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为 A ．6 B ．14 C ．30D ．629．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π10．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与双曲线2218y x -=的一条渐近线平行，并交抛物线于A ，B 两点，若||||AF BF >，且||3AF =，则抛物线方程为A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =11．已知实数x ，y 满足2220x y x y y +≤+≥≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z ax y =+的最小值为1，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．412．已知e 是自然对数的底数，若对任意的1[0,1]x ∈，总存在唯一的2[1,1]x ∈-，使得2212e 0xx x a +-=成立，则实数a 的取值范围为 A ．[1,e]B ．(1,e)C ．1(1]e,e +D ．1[1]e,e +第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知角4απ+的终边上一点的坐标为(3,1)-，则tan()απ+=_______________． 14．已知向量(2,1)=a ，(4,3)=b ，若向量λμ+a b 与向量(1,1)=-c 垂直，则λμ+=_____________．文科数学试题 第3页（共4页） 文科数学试题 第4页（共4页）………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………此卷只装订不密封………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………15．已知圆O ：2210x y +=，过点(34)P --，的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，若AOB △的面积为5，则直线l 的斜率为_______________．16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B c b C -+=-，若3a =，则22b c +的取值范围为_____________．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*11(n n a S n λ+=+∈N ，1)λ≠-，且1a ，22a ，33a +为等差数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）“累计净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累计净化量(单位：克)．根据国家标准，对空气净化器的累计净化量(CCM)有如下等级划分：累计净化量（克）(3,5] (5,8] (8,12]12以上等级P1 P2 P3 P4已知某批空气净化器共2000台，其累计净化量都分布在区间(4,14]内，为了解其质量，随机抽取了n 台净化器作为样本进行估计，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累计净化量在(4,6]的所有数据有：4.5，4.6，5.2，5.3，5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图． （1）求n 的值及频率分布直方图中x 的值；（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共2000台）中等级为P2的空气净化器有多少台？（3）从累计净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率． 19．（本小题满分12分）如图1，在等腰梯形ABCE 中，AB EC ∥，142AB BC EC ===，D 是EC 的中点．将ADE △沿AD 折起，构成四棱锥P ABCD -，如图2所示，其中M ，N 分别是BC ，PC 的中点． （1）求证：AD ⊥平面DMN ；（2）当平面PAD ⊥平面ABCD 时，求点C 到平面PAB 的距离．20．（本小题满分12分）已知函数12l ))(n (f x x ax a x=++∈R 的图象在2x =处的切线经过点(4,2ln 2)-． （1）判断函数()f x 的单调性； （2）若不等式1()x f m x≤+恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）已知12F F ，是椭圆222210()x y a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点2(1)2P -，在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点为M ，且2PM F M +=0． （1）求椭圆的标准方程；（2）圆O 是以12F F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A ，B ，当OA OB λ⋅=，且满足2334λ≤≤时，求OAB △的面积S 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2+cos 6sin 0m ρρθρθ-+=，直线l 的参数方程2515(51x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程，并求当曲线C 表示圆时实数m 的取值范围； （2）若P 的坐标为(1,1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AOB △的面积为35，求||||PA PB ⋅的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||3|f x a x x =-+-，且不等式2()45f x x ≤+的解集为{|05}x x ≤≤． （1）求实数a 的值；（2）若对任意[1,4]x ∈-，不等式2()m x f m <-恒成立，求实数m 的取值范围．。
江苏省南通市2018届高三数学上学期开学考试试卷
江苏省南通市2018届高三数学上学期开学考试试卷I 卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答． 卷．相应位置上．．．．．．） 1. 已知集合A ＝{－2，－1，3，4}，B ＝{－1，2，3}，则A∩B＝_ ▲ ． 【答案】{－1，3}2.命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是_ ▲ ． 【答案】∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －13.若复数z 满足(z －1)i ＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模是_ ▲ ． 【答案】 54.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为_ ▲ ． 【答案】45. 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：10辆．则z 的值为_ ▲ ． 【答案】4006.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan(π4－α)＝_ ▲ ． 【答案】177.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋m(m 为常数)，则f(－1)的值为_ ▲ ．【答案】－38.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为_ ▲ ．【答案】1－π6 解析：半径为1的球的体积是43π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－4π38＝1－π69. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x（x ＜0），（a －3）x ＋4a （x≥0）满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是_ ▲【答案】0<a ≤14 解析：由题意知，f(x)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥（a －3）×0＋4a.解得0<a≤14. 10如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若各条棱长均为2，且M 为A 1C 1的中点，则三棱锥MAB 1C 的体积是_ ▲ ．【答案】233 解析：在正三棱锥中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，则AA 1⊥B 1M.因为B 1M 是正三角形的中线，所以B 1M ⊥A 1C 1.所以B 1M ⊥平面ACC 1A 1，则VM AB 1C ＝VB 1ACM ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×AC×AA 1×B 1M ＝13×12×2×2×3＝233.11.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是_ ▲ ．【答案】(1，2) 解析：由题意易得点F 的坐标为(－c ，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，E(a ，0)．∵ △ABE 是锐角三角形，∴ EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c －a ，－b 2a ＞0.整理，得3e 2＋2e>e 4.∴ e(e 3－3e －3＋1)<0.∴ e(e＋1)2(e －2)<0.解得e∈(0，2)．又e>1，∴ e ∈(1，2)．12. 已知三次函数f(x)＝a 3x 3＋b 2x 2＋cx ＋d(a<b)在R 上单调递增，则a ＋b ＋c b －a 的最小值为_ ▲ ．【答案】3 解析：由题意，f ′(x)＝ax 2＋bx ＋c≥0在R 上恒成立，则a>0，Δ＝b 2－4ac≤0.∴ a ＋b ＋c b －a ≥a ＋b ＋b 24a b －a ＝1＋b a ＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2ba －1. 令t ＝b a (t>1)，则a ＋b ＋c b －a ≥1＋t ＋14t 2t －1＝14·（t ＋2）2t －1＝14·（t －1＋3）2t －1＝14(t －1＋9t －1＋6)≥3(当且仅当t ＝4，即b ＝4a 时，等号成立)．13. 已知函数，若函数有 个不同的零点，则实数 的取值范围是_ ▲ ．【答案】 【解析】当 时，，此时 ，当 时，，此时 ，当时，，此时，函数 ，函数 的图象如下：结合图象可得若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是．14. 已知是非零不共线的向量，设，定义点集(K不在是直线AB上)当时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_ ▲．,解析由知三点共线，且．由知，即．由角平分线性质知，设，，，则，化简得，即，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．由已知，，在圆上，所以，又，所以，在上单调递增，所以所以故实数的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答．卷．指．定区域内作答．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1＝AB.求证：(1) AB∥平面D1DCC1；(2) AB1⊥平面A1BC.【答案】证明：(1) 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊄平面D1DCC1，CD⊂平面D1DCC1，所以AB∥平面D 1DCC 1.(2) 在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，四边形A 1ABB 1为平行四边形，又AA 1＝AB ，故四边形A 1ABB 1为菱形．从而AB 1⊥A 1B.又AB 1⊥BC ，而A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC.16. 已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且m⊥n .(1) 求cos 2α的值；(2) 若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β.【答案】解：(1) (解法1)由m⊥n 得，2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，(2分)代入cos 2α＋sin 2α＝1，5cos 2α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，(4分)则cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.(6分)(解法2)由m⊥n 得，2cos α－sin α＝0，tan α＝2，(2分)故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35.(6分)(2) 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2得，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.因sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.(9分)则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.(12分)因β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得β＝π4.(14分)17.如图所示，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为π6.设S 的眼睛到地面的距离为3米． (1) 求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为π3的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【答案】解：(1) 如图，作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB＝π6，∠ASB ＝π3.又SA ＝3，故在Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝π6，在Rt △SCO 中，可求得OC ＝ 3. 因为BC ＝SA ＝3，故OB ＝23，即立柱高为23米．(2) 如图，连结SM ，SN.设SN ＝a ，SM ＝b.由(1)知SO ＝23，在△SOM 和△SON 中，cos ∠SOM ＝－cos ∠SON ，即（23）2＋1－b 22×23×1＝－（23）2＋1－a 22×23×1，可得a 2＋b 2＝26.在△MSN 中，cos ∠MSN ＝a 2＋b 2－222ab ＝11ab ≥22a 2＋b 2＝1113>12，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 又∠MSN∈(0，π)，则0<∠MSN<π3. 故摄影爱好者S 可以将彩杆全部摄入画面．18.已知函数 ．（1）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ；（2）若 ，求的极值；（3）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】（1） 因为，曲线 在点 处的切线的斜率 ，（2） 当时，，．所以 的极大值为， 的极小值为（3） ，．令 ，得，，），（）上单调递减，在（）上单调递增． 当 时，有，所以 在上的最大值为．又因为，所以在上的最小值为． 所以 ，所以在上的最大值为 ．19.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F 2(1，0)，点H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上． (1) 求椭圆的方程；(2) 点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且点M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．【答案】解：(1) 设椭圆的左焦点为F 1.根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，c ＝1，∵ H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上，∴ 2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝（2＋1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21032＋（2－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21032＝6.∴ a ＝3，b ＝2 2.故椭圆的方程是x 29＋y 28＝1. (2) 证明：设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 219＋y 218＝1，|PF 2|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13－32. ∵ 0<x 1<3，∴ |PF 2|＝3－13x 1.在圆中，M 是切点，∴ |PM|＝|OP|2－|OM|2＝x 21＋y 21－8＝x 21＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8＝13x 1.∴ |PF 2|＋|PM|＝3－13x 1＋13x 1＝3. 同理，|QF 2|＋|QM|＝3，∴ |F 2P|＋|F 2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6. 因此，△PF 2Q 的周长是定值6.20 . 设数列是各项均为正数的等比数列，其前 项和为，若，．（1）求数列 的通项公式；（2）对于正整数，求证：“且 ” 是“ 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设数列 满足：对任意的正整数 ，都有 ，且集合中有且仅有 个元素，试求 的取值范围． 【答案】（1） 数列 是各项均为正数的等比数列，，，又，，，（2） （i ）必要性：设 这三项经适当排序后能构成等差数列， ①若 ，则 ，，，，．②若 ，则 ，，左边为偶数，等式不成立，③若，同理也不成立，综合①②③，得，所以必要性成立．（ii）充分性：设，，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立．综合（i）（ii），充要性得证．（3）因为，即，当时，，则式两边同乘以，得，，得，即，又当时，，即，适合，．，，时，，即；时，，此时单调递减，又，，，，(法二：两边同除以2n+1)II卷（本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答．卷．指定．．．．．，解答时应写出文字说明、．．区域内作答证明过程或演算步骤．）21(B).已知矩阵，若，求矩阵的特征值．【答案】因为，所以解得，．所以矩阵的特征多项式为令，解得矩阵的特征值为．21(D). 在平面直角坐标系中，已知直线（为参数）相交于，两点，求线段的长．【答案】方法一：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线得，，解得，．则．所以线段的长为．方法二：将曲线（为参数）化为普通方程为．将直线，由得，或所以的长为．22. 某乐队参加一户外音乐节，准备从首原创新曲和首经典歌曲中随机选择首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为．求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望．【答案】（1）设“至少演唱首原创新曲”为事件，则事件的对立事件为：“没有首原创新曲被演唱”．所以．答：该乐队至少演唱首原创新曲的概率为．（2）设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，则的所有可能值为，，，．依题意，，故的所有可能值依次为，，，．则，，，．从而的概率分布为：所以的数学期望．23. 已知函数，设数列满足：，．（1）用数学归纳法证明：，都有；（2）求证：【答案】（1）①当时，，有所以时，不等式成立．②假设当时，不等式成立，即则当时，，于是 .因为，所以所以当时，不等式也成立．由①②，可知，对任意的正整数，都有（2）由（1）可得 .两边同时取为底的对数，可得，化简为 .所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，化简求得：，所以 .因为时，，时， .所以时，，所以 .，所以 .。
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2017-2018学年度第一学期高三摸底考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合 }03|{, } 6 | { 2>-∈=≤∈=x x R x B x N x A ，则=B A （ ）
A.{} 5 ,4 ,3
B. {} 6 ,5 ,4
C. {} 63 | ≤<x x
D.{} 63 | <≤x x
2．已知复数z 满足（3+i ）z=4﹣2i ，则复数z=（ ）
A ．1﹣i
B ．1+i
C ．2+i
D ．2﹣i
3.下列选项中，说法正确的是（ ）
A. 命题“0 , 2≤-∈∃x x R x ”的否定是“0 , 2>-∈∃x x R x ”
B. 命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件
C. 命题“若22 m b m a ≤，则b a ≤”是假命题
D. 命题“在ABC ∆中，若21
sin <A ,则6 π<A ”的逆否命题为真命题
4.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积是（ ）
12 . +πA 32
. +π
B 123 . +π
C 32
3 . +πD
5.设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， 则f （﹣1）=（ ）
A ．3
B ．1
C ．﹣1
D ．﹣3 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=﹣2，S 6=12，则a 6的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
7．圆C ：x 2+y 2﹣4x+8y ﹣5=0被抛物线y 2=4x 的准线截得的弦长为（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
8．执行右边的程序框图，则输出的m 的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．5
D ．11
, )1,2( 9.-=→a 已知向量的值为则实数若 , // , )3,(λλ→→→-=b a b ( )
A ．
B ．
C ．6
D ．﹣6
10．已知函数f （x ）=2cos （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）的部分图象如下图所示，其中（，
y 1）与（，y 2）分别为函数f （x ）图象的一个最高点和最低点，则函数f （x ）的一个单调
增区间为（ ）
A ．（0，）
B ．（，）
C ．（﹣，0）
D ．（﹣，﹣）
11．已知双曲线C ：（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 是双曲线右支上一点，且MF 1⊥MF 2，延长MF 2交双曲线C 于点P ，若|MF 1|=|PF 2|，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．
12．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）＞1﹣f′（x ），f （0）=4，则不等式f （x ）＞1+e ln3﹣x 的解集为（ ）。