复变函数与积分变换1.5-初等解析函数

b b 1
(单值分支)
四. 三角函数
由指数函数的定义 : e iy cos y i sin y 当x 0时, iy , 从 而 得 到: e cos y i sin y e e e e sin y cos y 2i 2 推广到复变数情形
iy iy iy iy
三角函数 , 双 曲 函 数 均 是 由 复 指函 数数 定义的 ,且 是 周 期 函 数 ， 故 它反 的函 数 一定是多值函数 .
本章内容总结
连续
复 变 函 数
可导
解析
判 别 方 法 指数函数 对数函数
初等解析函数
幂 函 数 三角函数
y R ( 2 )
定义
eiz - e- iz sin z = 2i
eiz + e- iz , cos z = (3) 2
正弦与余弦函数的性质
1) sinz及 cos z是T 2 周期函数
[cos( z 2 )
e
ห้องสมุดไป่ตู้
i ( z 2 )
e 2
i ( z 2 )

e e
Ln( 1) ( 2k 1)i
1)w Lnz不仅对正数有意义 ,对一切非零
复数都有意义 .(负数也有对数)
2) 指数函数的周期性导致 了对数函数的 多值性, 这与实函数不同 .
(2) 对数函数的性质
z1 1) Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , Ln Lnz1 Lnz2 z2 2)连续性: ln z在除去原点与负实轴外 处处连续 .
x
x iy
性质：
(1) e z定义在全平面上，且 e z 0， e z e x
(2) e 在全平面解析，且 e e z z1 z2 z1 z2 z1, z2 (3)加法定理：e e e
z z
Arg(e ) = y + 2kp
z
k = 0, 北 1,

2,L
(4) e z是以2 i为基本周期的周期函数
由加法定理可推得 f ( z ) e z的周期性 :
f ( z T ) f ( z ), T 2ki , k Z
事实上 , f ( z 2ki ) e
z
z 2 ki
e e
z 2 ki z
e (cos2k i si n2k ) e f ( z ) T 2ki k为 任 意 整 数 .
e
(ln z i arg z 2 ki ) n
e
ln z n
e
2 k i arg zn
由于Lnz的解析性除原点与负实轴外处处 解析.
③一般而论, w z b 除去b为正整数外，为多值函数，
当b为无理数或复数时，无穷多值。
w z b除原点与负实轴外处处 解析, 且 ( z )' bz
即, w Lnz是z的无穷多值函数
当k=0时， 为Lnz的一单值函数，称为Lnz的主值。
故
例 如 当z a 0
Lnz的 主 值ln z lna
Lnz lna 2ik k Z 当z a(a 0) Lnz的主值ln z lna i Lnz lna (2k 1)i 特别 a 1 l n ( 1) l n1 i i
3) sinz是奇函数 , cos z是偶函数 .
e iz e iz sin( z ) sin z; 同理 cos( z ) cos z 2i
4）欧拉（Euler）公式对任意复数成立
e = cos z + i sin z
iz
思考题
sinz , cos z作 为 复 变 函 数 ,是 否 与 实 变 函 数 有类似的结果 : sinz 1, cos z 1.
其它三角函数的定义 sinz cos z 1 1 tan z cot z secz csc z cos z sinz cos z sinz
6) sinz的零点 ,即方程sinz 0的根为 z k (k Z )
cos z的 零 点 为 z

2
k
kZ
7 ) 由(4)式 知 当y e y e y si niy shy 2i
5) 由正弦和余弦函数定义及指数函数 的加法定理可推知一些三角公式
cos(z1 z 2 ) cos z1 cos z 2 si nz1 si nz 2 z1 z 2 ) si nz1 cos z 2 cos z1 si nz 2 si n ( 2 2 si n z cos z 1
e u iv re i u ln r , v 2k ( k Z )
这说明一个复数 z( z 0)的 对 数 仍 为 复 数 ,它 的 实部是 z的 模 的 实 自 然 对 数 ； 的 它虚 部 是 z的 幅 角的一般值 ,即 虚 部 无 穷 多 ,其任意两个相异值 相 差2的 一 个 整 数 倍 .
主值: ln z ln z i arg z,
其中 ln z 除原点外在其它点均连 续;
而 arg z在原点与负实轴上都不 连续.
除原点及负实轴外 , ln z在复平面内处处连续 .
3)解析性: ln z在除去原点与负实轴的 平面内解析 . d 1 1 1 (ln z )' z e (e )' e 0 dz
0

z
这个性质是实变指数函数所没有的。
z z
又e e
e
x x
(cos(y y ) i sin(y y )) e 1 1
1 e z e
e z1 z 2 e z1 z 2 e
(1)e 仅仅是个符号 ,它的定义为
z
e x (cos y i sin y ) ， 没有幂的意义.
iz 2i
e e 2
iz 2i
e iz e iz cos z ] 2 2) 在 复 平 面 上 处 处 解 析 ,且 (sinz )' cos z (cosz )' sinz
1 iz 1 iz iz (sin z )' (e e )' (e e iz ) cos z 2i 2
例1 求 Im(e zi )
例2 求 e
1 1 i 4
e y sin x
2 2
1 e4
1 i
k 0 , 1 , 2,
例3 解方程e 1
z
z 2k i
二. 对数函数
(1) 对数的定义
定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，
把满足 e w z( z 0)的函数 w f (z) 称为对数函数 , 记作w Lnz 令w u iv z re i 那么
cos(x iy ) cos x cos iy sin x siniy sin(x iy ) sin x cos iy cos x siniy
由正弦和余弦函数的定义得
e y e y cos iy chy 2 ( 4) y y si niy e e ishy 2i cos(x iy ) cos xchy i sinxshy sin(x iy ) sinxchy i cos xshy
ln z除原点及负实轴外是解 析的 .
1 即 (l nz )' z
dz
d
e
z
Lnz的 每 个 分 支 除 了 原 点 负 和实 轴 外 均 是 解 析 的 ， 1 且( Lnz)' z
例4 设e 2i , 求 z. z ln 2
z

2
i 2ki
k 0,1,
2)chz 偶函数 , shz 奇函数
3) (chz)' shz ( shz )' chz shz和chz在 整 个 复 平 面 内 处 处 析 解
4) 由定义 shiy i sin y chiy cos y ch ( x iy ) chx cos y ishx sin y
e
( 2 k ) 2
i e
2 3
2 Lni 3
e
2 (ln 3
i i 2 ki ) 2
e
i2 ( 2 k ) 3 2
4 k 4 k cos( 3 ) i sin( 3 )
( k 0,1,2)
幂函数z
b
定义 在乘幂 a b中，取 z为复变数 , 得w z b ,
cos iy chy
在复数范围内 cos z 1, sinz 1不再成立 .
双曲函数
定义
ez ez shz 2
ez ez chz 2
—称为双曲正弦和双曲余弦函数 shz 1 ( thz cthz ) chz thz
双曲正弦和双曲余弦函数的性质
1)shz、chz都是以 2i为周期的函数
三. 乘幂
乘幂a
a
b
b
与幂函数 z
b
定义 设a, b为复数 , 且a 0, 定义乘幂 a b e bLna .

实变数情形 , a 0, b为实数.
—多值 —一般为多值
① 当b为 整 数
b为整数时, 它是单值函数 . p ② 当b ( p, q为 互 质 的 整 数 , 且q 0) q
称为幂函数。
①当b = n (正整数) w=z n 在整个复平面上是单值解析函数 1 ② b ( n为 正 整 数 ） n 1 1 1 1
zn e
n
Lnz n