2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2019年湖南省衡阳市中考数学试题
绝密★启用前湖南省衡阳市2019年中考数学试题第I 卷（选择题)评卷人得分一、单选题1． 的相反数是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】【详解】-的相反数是；故选B.【点睛】考点：相反数.2．如果分式11x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A.1x ≠- B.1x >- C.全体实数D.1x =-【答案】A 【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：10x +≠，1x ≠-，故选：A．【点睛】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A.50.6510⨯ B.36510⨯ C.46.510⨯ D.56.510⨯【答案】C 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【详解】解：科学记数法表示65000公里为46.510⨯公里．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5．下列各式中，计算正确的是（）A.835a b ab -=B.352()a a =C.842a a a ÷= D.23a a a ⋅=【答案】D 【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【详解】解：A、8a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；B、()326a a =，故选项B 不合题意；C、844a a a ÷=，故选项C 不符合题意；D、23a a a ⋅=，故选项D 符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（）A.40︒B.50︒C.80︒D.90︒【答案】B 【解析】【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选：B．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键．7．某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97B．90C．95D．88【答案】B 【解析】【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【详解】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，故选：B．【点睛】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8．下列命题是假命题的是（）A.n 边形（3n ≥）的外角和是360︒B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C.相等的角是对顶角D.矩形的对角线互相平分且相等【答案】C 【解析】【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【详解】解：A、n 边形（3n ≥）的外角和是360︒，是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．不等式组2342x xx >⎧⎨+>⎩的整数解是（）A.0 B.1- C.2- D.1【答案】B 【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．【详解】解：2342x x x >⎧⎨+>⎩①②解不等式①得：0x <，解不等式②得：2x >-，∴不等式组的解集为20x -<<，∴不等式组2342x xx >⎧⎨+>⎩的整数解是1-，故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（）A.()9121x -=B.()2911x -= C.()9121x += D.()2911x +=【答案】B【解析】【分析】等量关系为：2016年贫困人口()212018⨯-=下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：()2911x -=，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．11．如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x =（m 为常数且0m ≠）的图象都经过()()1,2,2,1A B --，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集是（）A.1x <- B.10x -<<C.1x <-或02x << D.10x -<<或2x >【答案】C 【解析】【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x 的取值范围便是不等式m kx b x+>的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数()10y kx b k =+≠的图象在反比例函数2m y x=（m 为常数且0m ≠）的图象上方时，x 的取值范围是：1x <-或02x <<，∴不等式mkx b x+>的解集是1x <-或02x <<.故选：C．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．12．如图，在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与ABC ∆的重叠部分面积为S ．则S 关于t 的函数图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件得到ABC ∆是等腰直角三角形，推出四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，当移动的距离a <时，如图1，221ΔEE'H 2S a t =-=-正方形的面积的面积；当移动的距离a >时，如图2，()222'1122222AC H S S a t t at a ∆==-=-+，根据函数关系式即可得到结论；【详解】解：∵在直角三角形ABC 中，90,C AC BC ∠=︒=，∴ABC ∆是等腰直角三角形，∵,EF BC ED AC ⊥⊥，∴四边形EFCD 是矩形，∵E 是AB 的中点，∴11,22EF AC DE BC ==，∴EF ED =，∴四边形EFCD 是正方形，设正方形的边长为a ，如图1当移动的距离a <时，221ΔEE'H 2S a t =-=-正方形的面积的面积；当移动的距离a >时，如图2，()222'1122222AC H S S a t t at a ∆==-=-+，∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项，故选：C．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．第II卷（非选择题)评卷人得分二、填空题13．因式分解：2a2﹣8=．【答案】2（a+2）（a-2）.【解析】【详解】2a2-8=2（a2-4）=2（a+2）（a-2）.故答案为：2（a+2）（a-2）【点睛】考点：因式分解.14．在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为12，则a等于_____．【答案】5【解析】【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．【详解】解：根据题意知1 322aa=++，解得5a=，经检验：5a=是原分式方程的解，∴5a=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．15．计算： ＝_____．【答案】【解析】【详解】解：原式= ．故答案为： ．16．计算：111x x x+=--_____．【答案】1【解析】【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【详解】解：原式111x x x =---11x x -=-1=．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．【答案】【解析】【分析】易得正三角形的中心角为120︒，那么中心角的一半为60︒，利用60︒的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【详解】解：如图，圆半径为6，求AB 长．3603120AOB ∠=︒÷=︒连接,OA OB ，作OC AB ⊥于点C ，∵OA OB =，∴2,60AB AC AOC =∠=︒，∴sin6062AC OA =⨯︒=⨯=，∴2AB AC ==故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC 的值是解决本题的关键．18．在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．【答案】2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩，∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．评卷人得分三、解答题19．3012tan 60(2019)2-⎛⎫-+︒-- ⎪⎝⎭【答案】9【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【详解】解：原式821=+9=．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？【答案】（1）40人；（2）见解析；（3）100人.【解析】【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．【详解】÷=（人），解：（1）这次学校抽查的学生人数是1230%40故答案为：40人；---=（人）（2）C项目的人数为401214410条形统计图补充为：（3）估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=（人）．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，求此时m 的值．【答案】（1）94k ≤；（2）m 的值为32．【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到()2340k ∆=--≥，然后解不等式即可；（2）利用（1）中的结论得到k 的最大整数为2，解方程2320x x -+=解得121,2x x ==，把1x =和2x =分别代入一元二次方程()2130m x x m -++-=求出对应的m ，同时满足10m -≠．【详解】解：（1）根据题意得()2340k ∆=--≥，解得94k ≤；（2）k 的最大整数为2，方程230x x k -+=变形为2320x x -+=，解得121,2x x ==，∵一元二次方程()2130m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根，∴当1x =时，1130m m -++-=，解得32m =；当2x =时，()41230m m -++-=，解得1m =，而10m -≠，∴m 的值为32．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根．22．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60︒．已知坡面10CD =米，山坡的坡度i =i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB 高度．（结果精确到0.1米） 1.73≈ 1.41≈）【答案】楼房AB 高度约为23.7米【解析】【分析】过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，则DG FP BH ==，DF GP =，求出30DCG ∠=︒，得出152FP DG CD ===，CG ==103DF GP ==+，证出30DAF ADF ∠=︒=∠，得出103AF DF ==+，得出1523FH AF ==+，因此10AH ==+【详解】解：过D 作DG BC ⊥于G ，DH AB ⊥于H ，交AE 于F ，作FP BC ⊥于P ，如图所示：则,DG FP BH DF GP ===，∵坡面10CD =米，山坡的坡度1:i =，∴30DCG ∠=︒，∴152FP DG CD ===，∴CG ==∵60FEP ∠=︒，∴5FP ==，∴3EP =，∴101033DF GP ==++=+，∵60AEB ∠=︒，∴30EAB ∠=︒，∵30ADH ∠=︒，∴60DAH ∠=︒，∴30DAF ADF ∠=︒=∠，∴203103AF DF ==+，∴1523FH AF ==+，∴10AH ==+∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=++⨯≈（米），答：楼房AB 高度约为23.7米．【点睛】此题是解直角三角形的应用--仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．23．如图，点A B C 、、在半径为8的O 上，过点B 作BD AC ∕∕，交OA 延长线于点D ．连接BC ，且30BCA OAC ∠=∠=︒．（1）求证：BD 是O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）323π-.【解析】【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理求出BOA ∠，根据三角形内角和定理求出OAC ∠，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到30D ∠=︒，解直角三角形求出BD ，分别求出BOD ∆的面积和扇形AOB 的面积，即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OB ，交CA 于E ，∵30C ∠=︒，12C BOA ∠=∠，∴60BOA ∠=︒，∵30BCA OAC ∠=∠=︒，∴90AEO ∠=︒，即OB AC ⊥，∵BD AC ∕∕，∴90DBE AEO ∠=∠=︒，∴BD 是O 的切线；（2）解：∵，∴30D CAO ∠=∠=︒，∵，∴BD ==，∴2160832823603BDO AOBS S S ππ∆⋅⨯=-=⨯⨯=阴影扇形．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．24．某商店购进A 、B 两种商品，购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等．（1）求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；（2）商店准备购买A 、B 两种商品共80个，若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍，并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【答案】（1）购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元；（2）商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．【解析】【分析】（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，根据A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍并且购买A 、B 商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数即可找出各购买方案．【详解】解：（1）设购买一个B 商品需要x 元，则购买一个A 商品需要()10x +元，依题意，得：30010010x x=+，解得：5x =，经检验，5x =是原方程的解，且符合题意，∴1015x +=．答：购买一个A 商品需要15元，购买一个B 商品需要5元．（2）设购买B 商品m 个，则购买A 商品()80m -个，依题意，得：()()804158051000158051050m m m m m m ⎧-≥⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，解得：1516m ≤≤．∵m 为整数，∴15m =或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．25．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O B 、重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN MB 、．请问：MBN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916；（3）32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为()()22232x x -=+．【解析】【分析】（1）将点A B 、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OP x =，则3PB x =-，由POE CBP ∆~∆得出比例线段，可表示OE 的长，利用二次函数的性质可求出线段OE 的最大值；（3）过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，由12MNB BMH MNH S S S MH OB ∆∆∆=+=⋅即可求解．【详解】解：（1））∵抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，把A B 、两点坐标代入上式，10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；（2）∵()1,0A -，点()3,0B ，∴134AB OA OB =+=+=，∵正方形ABCD 中，90,ABC PC BE ∠=︒⊥，∴90OPE CPB ∠+∠=︒，90CPB PCB ∠+∠=︒，∴OPE PCB ∠=∠，又∵90EOP PBC ∠=∠=︒，∴POE CBP ∆~∆，∴BC OP PB OE=，设OP x =，则3PB x =-，∴43x x OE =-，∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵03x <<，∴32x =时，线段OE 长有最大值，最大值为916．即32OP =时，线段OE 有最大值．最大值是916．（3）存在．如图，过点M 作MH y ∕∕轴交BN 于点H ，∵抛物线的解析式为223y x x =--，∴0,3x y ==-，∴N 点坐标为()0,3-，设直线BN 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，∴13k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为3y x =-，设()2,23M a a a --，则(),3H a a -，∴()223233MH a a a a a =----=-+，∴()221113273322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ∆∆∆⎛⎫=+=⋅=⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭，∵102-<，∴32a =时，MBN ∆的面积有最大值，最大值是278，此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．26．如图，在等边ABC ∆中，6AB cm =，动点P 从点A 出发以1/cm s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B 时，点P Q 、同时停止运动．设运动时间为以()t s ．过点P 作PE AC ⊥于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ CE 、为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，BPQ ∆为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在ABC ∠的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将BPM ∆沿直线PM 翻折，得B PM ∆'，连接AB '，当t 为何值时，'AB 的值最小？并求出最小值．【答案】（1）3t =时，BPQ ∆是直角三角形；（2）3t =，存在，见解析；（3）3；（4）AB '的最小值为3．【解析】【分析】（1）当2BQ BP =时，90BPQ ∠=︒，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF 交AC 于M ．证明2EF EM =，由此构建方程即可解决问题．（3）证明12DE AC =即可解决问题．（4）如图3中，连接,'AM AB ．根据''AB AM MB ≥-求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵ABC ∆是等边三角形，∴60B ∠=︒，∴当2BQ BP =时，90BPQ ∠=︒，∴()626t t +=-，∴3t =，∴3t =时，BPQ ∆是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF 交AC 于M ．∵BF 平分,ABC BA BC ∠=，∴BF AC ⊥，3AM CM cm ==，∵EF BQ ∕∕，∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒，∴2EF EM =，∴1232t t ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭，解得3t =．（3）如图2中，作PK BC ∕∕交AC 于K ．∵ABC ∆是等边三角形，∴60B A ∠=∠=︒，∵PK BC ∕∕，∴60APK B ∠=∠=︒，∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒，∴APK ∆是等边三角形，∴PA PK =，∵PE AK ⊥，∴AE EK =，∵AP CQ PK ==，,PKD DCQ PDK QDC ∠=∠∠=∠，∴()PKD QCD AAS ∆∆≌，∴DK DC =，∴()()11322DE EK DK AK CK AC cm =+=+==．（4）如图3中，连接,'AM AB∵3,BM CM AB AC ===，∴AM BC ⊥，∴2233AM AB BM =-=，∵''AB AM MB ≥-，AB≥-，∴'3AB的最小值为3．∴'【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷以及解析版
与点 A 重合时停止运动，设运动时间为 t ，运动过程中四边形 CDEF 与 ABC 的重叠部分面
积为 S ．则 S 关于 t 的函数图象大致为 (
)
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A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分 .)
13．（ 3 分）因式分解： 2a2 8
【点评】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
a 10n 的形式，其中
1, | a | 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4．（ 3 分） 【分析】 直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】 解： A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
．
18．（ 3 分）在平面直角坐标系中，抛物线
y x2 的图象如图所示．已知 A 点坐标为 (1,1)，
过点 A 作 AA1 / / x 轴交抛物线于点 A1 ，过点 A1 作 A1 A2 / /OA 交抛物线于点 A2 ，过点 A2 作
A2 A3 / / x 轴交抛物线于点 A3 ，过点 A3 作 A3 A4 / /OA 交抛物线于点 A4
26．（ 12 分）如图，在等边 ABC 中， AB 6cm ，动点 P 从点 A 出发以 lcm / s 的速度沿 AB 匀速运动． 动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动， 当点 P 到达
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点 B 时，点 P 、 Q 同时停止运动．设运动时间为以 t(s) ．过点 P 作 PE AC 于 E ，连接 PQ 交 AC 边于 D ．以 CQ 、 CE 为边作平行四边形 CQFE ． （1）当 t 为何值时， BPQ 为直角三角形； （2）是否存在某一时刻 t ，使点 F 在 ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在， 请说明理由； （3）求 DE 的长； （4）取线段 BC 的中点 M ，连接 PM ，将 BPM 沿直线 PM 翻折， 得△ B PM ，连接 AB ， 当 t 为何值时， AB 的值最小？并求出最小值．
2019年湖南省衡阳市中考数学试题及答案及答案【Word版】
2019年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数 学一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
） 01．2-的倒数是【 B 】A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 02．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】 A ． B ． C ． D ．03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。
我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了 2.5PM 监测指标，“ 2.5PM ”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。
2.5微米即0.0000025米。
用科学记数法表示0.0000025为【 C 】A ．52.510-⨯B ．52.510⨯C ．62.510-⨯D ．62.510⨯04．若一个多边形的内角和是900o ，则这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．805．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。
如图描述了小明在散步过程中离家的距离S （米）与散步所用的时间t （分）之间的函数关系。
根据图象，下列信息错误的是【 A 】A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟06．下列运算结果正确的是【 D 】A ．235x x x +=B ．326x x x =gC ．55x x x ÷=D ．()23539x x x =g 07．不等式组10840x x -⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示为【 A 】 A ． B ． C ．D ．08．下列因式分解中正确的个数为【 C 】 ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()22442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+-。
A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 B 】A ．B ．C ．D ．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为【 D 】A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米11．圆心角为120o ，弧长为12π的扇形半径为【 C 】A ．6B ．9C ．18D ．3612．下列命题是真命题的是【 D 】A ．四条边都相等的四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分。
2019年湖南省衡阳市中考数学试题及答案及答案【Word版】
2019年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数 学一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
） 01．2-的倒数是【 B 】A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 02．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】 A ． B ． C ． D ．03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。
我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了 2.5PM 监测指标，“ 2.5PM ”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。
2.5微米即0.0000025米。
用科学记数法表示0.0000025为【 C 】A ．52.510-⨯B ．52.510⨯C ．62.510-⨯D ．62.510⨯04．若一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为【 C 】A ．5B ．6C ．7D ．805．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。
如图描述了小明在散步过程中离家的距离S （米）与散步所用的时间t （分）之间的函数关系。
根据图象，下列信息错误的是【 A 】A ．小明看报用时8分钟B ．公共阅报栏距小明家200米C ．小明离家最远的距离为400米D ．小明从出发到回家共用时16分钟06．下列运算结果正确的是【 D 】A ．235x x x +=B ．326x x x =C ．55x x x ÷=D ．()23539x x x =07．不等式组10840x x -⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示为【 A 】 A ． B ． C ．D ．08．下列因式分解中正确的个数为【 C 】 ①()3222x xy x x x y ++=+； ②()22442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+-。
A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 B 】A ．B ．C ．D ．10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为【 D 】A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米11．圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为【 C 】A ．6B ．9C ．18D ．3612．下列命题是真命题的是【 D 】A ．四条边都相等的四边形是矩形B ．菱形的对角线相等C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷附分析答案
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1．（3 分） 的绝对值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）如果分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣1
B．x＞﹣1
A．0.65×105
B．65×103
C．6.5×104
D．6.5×105
【解答】解：科学记数法表示 65000 公里为 6.5×104 公里．
故选：C．
4．（3 分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
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2019 年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 3 分,满分 36 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1．（3 分） 的绝对值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：| | ，故选：B．
2．（3 分）如果分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
＞
9．（3 分）不等式组
的整数解是（ ）
＞
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．1
＞ 【解答】解：
＞
解不等式 得：x＜0， 解不等式 得：x＞﹣2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，
＞
∴不等式组
的整数解是﹣1，
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(附解析答案)
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. （3分）的绝对值是 A.B.C.D.2. （3分）如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 A.B. C. 全体实数 D.3. （3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日点使命轨道，成为世界首颗运行在地月点轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为 公里.A.B.C.D.4. （3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A. B.C. D.5. （3分）下列各式中，计算正确的是 A.B. C. D.6. （3分）如图，已知，交于点，且，，则的度数是A.B. C. D.7. （3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是A. 97B. 90C. 95D. 888. （3分）下列命题是假命题的是 A. 边形的外角和是B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等34-()34-3443-4311x +x ()1x ≠-1x >-1x =-2L Halo 2L Halo ()50.6510⨯36510⨯46.510⨯56.510⨯()()835a b ab -=235()a a =842a a a ÷=23a a a =//AB CD AF CD E BE AF ⊥40BED ∠=︒A ∠()40︒50︒80︒90︒()()n (3)n 360︒C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等 9. （3分）不等式组的整数解是A. 0B. C. D. 110. （3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路. 某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人. 设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得A.B.C.D.11. （3分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是A.B.C. 或D. 或12. （3分）如图，在直角三角形中，，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为.则关于的函数图象大致为A. B.2342x xx >⎧⎨+>⎩()1-2-x ()9(12)1x -=29(1)1x -=9(12)1x +=29(1)1x +=1(0)y kx b k =+≠2(my m x=0)m ≠(1,2)A -(2,1)B -mkx b x+>()1x <-10x -<<1x <-02x <<10x -<<2x >ABC 90C ∠=︒AC BC =E AB E AC BC D F CDEF CA C A t CDEF ABC ∆S S t ()C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.) 13. （3分）因式分解： .14. （3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别. 若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于 .15. （3. 16. （3分）计算：. 17. （3分）已知圆半径为6，求该圆内接正三角形的边长为 .18. （3分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示. 已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 .三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案解析)
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(含答案解析)一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣13．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×1054．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a36．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97B．90C．95D．888．（3分）下列命题是假命题的是（）A．n边形（n≥3）的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等9．（3分）不等式组的整数解是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．110．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1 11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞212．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E 作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．15．（3分）﹣＝．16．（3分）计算：+＝．17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案
.
18.在平面直角坐标系中,抛物线 y x2 的图象如图所示.已知 A 点坐标为 (1,1) ,过点 A 作
AA1∥x 轴交抛物线于点 A1,过点 A1 作 A1 A2∥OA 交抛物线于点 A2,过点 A2 作 A2 A3∥x
数学试卷 第 3 页（共 26 页）
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5.【答案】D 【解析】A、8a 与 3b 不是同类项,故不能合并,故选项 A 不合题意；B、 (a2 )3 a5 ,故选
项 B 不合题意；C、 a3 a4 a4 ,故选项 C 不符合题意；D、 a2 ga a3 ,故选项 D 符
合题意.故选：D.
【考点】整式的运算.
6.【答案】B
【 解 析 】 解 ： ∵ BE AF , BED 40 , ∴ FED 50 , ∵ AB∥CD , ∴
C. 4 3
பைடு நூலகம்
2.如果分式 1 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 x 1
A. x 1
B. x＞1
C.全体实数
D. 4 3
D. x 1
() ()
3.2018 年 6 月 14 日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进
上
入环绕距月球 65 000 公里的地月拉格朗日 L2 点 Halo 使命轨道,成为世界首颗运行在
分别是 86,95,97,90,88,这组数据的中位数是
()
A.97
B.90
C.95
D.88
8.下列命题是假命题的是
()
A.n 边形( n≥3 )的外角和是 360
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(解析版)
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2.如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．全体实数D．x＝﹣13.2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×1054.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5.下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a36.如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°7.某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97 B．90 C．95 D．888.下列命题是假命题的是（）A．n边形（n≥3）的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等9.不等式组的整数解是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．110.国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1 B．9（1﹣x）2＝1 C．9（1+2x）＝1 D．9（1+x）2＝111.如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞212.如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）13.因式分解：2a2﹣8＝﹣．14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．15.﹣＝．16.计算：+＝．17.已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．18.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为﹣．三、解答题（共8小题）19.（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）020.进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21.关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．22.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB 高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）23.如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24.某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？25.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．2019年湖南省衡阳市中考数学试卷（解析版）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．【知识点】绝对值2.【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x+1≠0，x≠﹣1，故选：A．【知识点】分式有意义的条件3.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：科学记数法表示65000公里为6.5×104公里．故选：C．【知识点】科学记数法—表示较大的数4.【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【知识点】轴对称图形、中心对称图形5.【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【解答】解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．故选：D．【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法6.【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，∴∠FED＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝50°．故选：B．【知识点】平行线的性质、垂线7.【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，故选：B．【知识点】中位数8.【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A、n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选：C．【知识点】命题与定理9.【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．【解答】解：解不等式①得：x＜0，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，∴不等式组的整数解是﹣1，故选：B．【知识点】一元一次不等式组的整数解10.【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故选：B．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程11.【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题12.【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【知识点】动点问题的函数图象二、填空题（共6小题）13.【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用14.【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知＝，解得a＝5，经检验：a＝5是原分式方程的解，∴a＝5，故答案为：5．【知识点】概率公式15.【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．【知识点】二次根式的加减法16.【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣＝＝1．故答案为：1．【知识点】分式的加减法17.【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【知识点】三角形的外接圆与外心18.【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．【知识点】二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征三、解答题（共8小题）19.【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．【解答】解：原式＝8+2﹣+﹣1＝9．【知识点】负整数指数幂、特殊角的三角函数值、实数的运算、零指数幂20.【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出C项目的人数后补全条形统计图即可；（3）用总人数乘以样本中该校报D的学生数占被调查学生数的比例即可得．【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是12÷30%＝40（人），故答案为：40人；（2）C项目的人数为40﹣12﹣14﹣4＝10（人）条形统计图补充为：（3）估计全校报名军事竞技的学生有1000×＝100（人）．【知识点】条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图、全面调查与抽样调查21.【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；‘（2）利用（1）中的结论得到k的最大整数为2，解方程x2﹣3x+2＝0解得x1＝1，x2＝2，把x＝1和x＝2分别代入一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0求出对应的m，同时满足m﹣1≠0．【解答】解：（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）k的最大整数为2，方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m＝；当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，而m﹣1≠0，∴m的值为．【知识点】一元二次方程的定义、根的判别式22.【分析】过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG＝FP＝BH，DF＝GP，求出∠DCG＝30°，得出FP＝DG＝CD＝5，CG＝DG＝5，求出DF＝GP＝+10，证出∠DAF＝30°＝∠ADF，得出AF＝DF＝+10，得出FH＝AF＝+5，因此AH＝FH＝10+5，即可得出答案．【解答】解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题、解直角三角形的应用-坡度坡角问题23.【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得到∠＝30°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵∠BCA＝∠OAC＝30°，∴∠AEO＝90°，即OB⊥AC，∵BD∥AC，∴∠DBE＝∠AEO＝90°，∴BD是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，∴∠D＝∠CAO＝30°，∵∠OBD＝90°，OB＝8，∴BD＝OB＝8，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣．【知识点】扇形面积的计算、切线的判定与性质、圆周角定理24.【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．【知识点】一元一次不等式组的应用、分式方程的应用25.【分析】（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设OP＝x，则PB＝3﹣x，由△POE∽△CBP得出比例线段，可表示OE的长，利用二次函数的性质可求出线段OE的最大值；（3）过点M作MH∥y轴交BN于点H，由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即可求解．【解答】解：（1））∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），把A、B两点坐标代入上式，，解得：，故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵A（﹣1，0），点B（3，0），∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，∴△POE∽△CBP，∴，设OP＝x，则PB＝3﹣x，∴，∴OE＝，∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．即OP＝时，线段OE有最大值．最大值是．（3）存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3，∴N点坐标为（0，﹣3），设直线BN的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，设M（a，a2﹣2a﹣3），则H（a，a﹣3），∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝＝＝，∵，∴a＝时，△MBN的面积有最大值，最大值是，此时M点的坐标为（）．【知识点】二次函数综合题26.【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．（3）证明DE＝AC即可解决问题．（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，∴6+t＝2（6﹣t），∴t＝2，∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．∵BF平分∠ABC，BA＝BC，∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，∵EF∥BQ，∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，∴EF＝2EM，∴t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝60°，∵PK∥BC，∴∠APK＝∠B＝60°，∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，∴△APK是等边三角形，∴P A＝PK，∵PE⊥AK，∴AE＝EK，∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，∴△PKD≌△QCD（AAS），∴DK＝DC，∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′∵BM＝CM＝3，AB＝AC，∴AM⊥BC，∴AM＝＝3，∵AB′≥AM﹣MB′，∴AB′≥3﹣3，∴AB′的最小值为3﹣3．【知识点】四边形综合题。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）湖南省衡阳市2019年初中毕业学业水平考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.34-的相反数是( )A .34-B .34C .43-D .43 2.如果分式11x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( )A .1x ≠-B .1x -＞C .全体实数D .1x =-3.2018年6月14日,探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制,进入环绕距月球65 000公里的地月拉格朗日L2点Halo 使命轨道,成为世界首颗运行在地月L2点Halo 轨道的卫星,用科学记数法表示65 000公里为 公里 ( ) A .50.6510⨯B .36510⨯C .46.510⨯D .56.510⨯ 4.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )AB CD5.下列各式中,计算正确的是( )A .835a b ab -=B .235()a a =C .842a a a ÷=D .23a a a =g6.如图,已知AB CD ∥,AF 交CD 于点E ,且BE AF ⊥,40BED ∠=︒,则A ∠的度数是( )A .40︒B .50︒C .80︒D .90︒7.某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中,成绩(单位：分)分别是86,95,97,90,88,这组数据的中位数是 ( )A .97B .90C .95D .88 8.下列命题是假命题的是( )A .n 边形(3n ≥)的外角和是360︒B .线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C .相等的角是对顶角D .矩形的对角线互相平分且相等9.不等式组23,42x x x ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是( )A .0B .1-C .2-D .110.国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路.某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力.2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意列方程得 ( ) A .9(1 2 )1x -=B .29(1 )1x -=C .9(1 2 )1x +=D .29(1 )1x +=11.如图,一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2my x =(m 为常数且0m ≠)的图象都经过(1,2),(2,1)A B --,结合图象,则不等式mkx b x+＞的解集是 ( )A .1x -＜B .10x -＜＜C .1x -＜或02x ＜＜D .10x -＜＜或2x ＞毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）12.如图,在直角三角形ABC 中,90C ∠=︒,AC BC =,E 是AB 的中点,过点作AC 和BC 的垂线,垂足分别为点D 和点F ,四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动,点C 与点A 重合时停止运动,设运动时间为t ,运动过程中四边形CDEF 与ABC △的重叠部分面积为S .则S 关于t 的函数图象大致为( )ABCD第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.因式分解：228a -= .14.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a 个黄球,这些球除颜色不同其它没有任何区别.若从该布袋里任意摸出1个球,该球是黄球的概率为12,则a 等于 .15.273-= .16.计算：111x x x+=-- . 17.已知圆的半径是6,则圆内接正三角形的边长是 .18.在平面直角坐标系中,抛物线2y x =的图象如图所示.已知A 点坐标为(1,1),过点A 作1AA x ∥轴交抛物线于点A 1,过点A 1作12A A OA ∥交抛物线于点A 2,过点A 2作23A A x∥轴交抛物线于点A 3,过点A 3作34A A OA ∥交抛物线于点A 4,……,依次进行下去,则点2 019A 的坐标为 .三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)31|32|tan60(2019)2-⎛⎫+-+︒-- ⎪⎝⎭.20.(本小题满分6分)某学校为了丰富学生课余生活,开展了“第二课堂”的活动,推出了以下四种选修课程：A .绘画；B .唱歌；C .演讲；D .十字锈.学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程.学校随机抽查了部分学生,对他们选择的课程情况进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合统计图中的信息,解决下列问题：课程选择情况的条形统计图课程选择情况的扇形统计图(1)这次学校抽查的学生人数是 ； (2)将条形统计图补充完整；(3)如果该校共有1 000名学生,请你估计该校报D 的学生约有多少人？21.(本小题满分8分)关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根. (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,求此时m 的值.数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）22.(本小题满分8分)如图,在一次综合实践活动中,小亮要测量一楼房的高度,先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30︒,沿坡面向下走到坡脚C 处,然后向楼房方向继续行走10米到达E 处,测得楼房顶部A 的仰角为60︒.已知坡面10CD =米,山坡的坡度i =坡度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求楼房AB 高度.(结果精确到0.1米)(参考数1.73≈1.41≈)23.(本小题满分8分)如图,点A ,B ,C 在半径为8的O e 上.过点B 作BD AC ∥,交OA 延长线于点D .连接BC ,且30BCA OAC ∠=∠=︒. (1)求证：BD 是O e 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.24.(本小题满分8分)某商店购进A ,B 两种商品,购买1个A 商品比购买1个B 商品多花10元,并且花费300元购买A 商品和花费100元购买B 商品的数量相等. (1)求购买一个A 商品和一个B 商品各需要多少元；(2)商店准备购买A ,B 两种商品共80个,若A 商品的数量不少于B 商品数量的4倍,并且购买A ,B 商品的总费用不低于1 000元且不高于1 050元.那么商店有哪几种购买方案？25.(本小题满分10分)如图,二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ,与y 轴交于点N ,以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ,点P 是x 轴上一动点,连接CP ,过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E . (1)求该抛物线的函数关系表达式；(2)当点P 在线段OB (点P 不与O ,B 重合)上运动至何处时,线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；(3)在第四象限的抛物线上任取一点M ,连接MN ,MB .请问：MBN △的面积是否存在最大值？若存在,求出此时点M 的坐标；若不存在,请说明理由.26.(本小题满分12分)如图,在等边ABC △中,6AB = cm ,动点P 从点A 出发以1 cm/s 的速度沿AB 匀速运动.动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动,当点P 到达点B 时,点P ,Q 同时停止运动.设运动时间为t (s ),过点P 作PE AC ⊥于E ,连接PQ 交AC 边于D .以CQ ,CE 为边作平行四边形CQFE .. (1)当t 为何值时,BPQ △为直角三角形；(2)是否存在某一时刻t ,使点F 在ABC ∠的平分线上？若存在,求出t 的值；若不存在,请说明理由； (3)求DE 的长；(4)取线段BC 的中点M ,连接PM ,将BPM △沿直线PM 翻折,得B PM '△,连接AB ',当t 为何值时,AB '的值最小？并求出最小值.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________湖南省衡阳市2019年初中毕业学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】34的相反数是34；故选：B.数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）【考点】绝对值的概念.2.【答案】A【解析】解：由题意可知：10x +≠,1x ≠-,故选：A . 【考点】分式有意义的条件.3.【答案】C【解析】解：科学记数法表示65 000公里为46.510⨯公里.故选：C . 【考点】科学记数法表示数.4.【答案】D【解析】A 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B 、不是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误；C 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；D 、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选：D . 【考点】轴对称图形和中心对称图形. 5.【答案】D【解析】A 、8a 与3b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、235()a a =,故选项B 不合题意；C 、344a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、23a a a =g ,故选项D 符合题意.故选：D . 【考点】整式的运算. 6.【答案】B【解析】解：∵BE AF ⊥,40BED ∠=︒,∴50FED ∠=︒,∵AB CD ∥,∴50A FED ∠=∠=︒.故选：B .【考点】平行线的性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.7.【答案】B【解析】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97,所以这组数据的中位数为90分,故选：B . 【考点】中位数.8.【答案】C【解析】A 、n 边形(3n ≥)的外角和是360︒,是真命题；B 、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角,是假命题；D 、矩形的对角线互相平分且相等,是真命题；故选：C . 【考点】判断命题的真假,多边形的外角和,垂直平分线的性质,对顶角的概念,矩形的性质.9.【答案】B【解析】2342x xx ⎧⎨+⎩＞①＞②解不等式①得：0x ＜, 解不等式②得：2x ＞-,∴不等式组的解集为20x -＜＜,∴不等式组2342x xx ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是1-,故选：B .【考点】解不等式组,求整数解.10.【答案】B【解析】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意得：29(1)1x -=,故选：B . 【考点】一元二次方程解应用题. 11.【答案】C【解析】解：由函数图象可知,当一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象在反比例函数2m y x=(m 为常数且0m ≠)的图象上方时,x 的取值范围是：1x -＜或02x ＜＜, ∴不等式mkx b x+＞的解集是1x -＜或02x ＜＜. 故选：C .【考点】函数图象与不等式的关系.12.【答案】C【解析】解：∵在直角三角形90C ∠=︒,AC BC =, ∴ABC △是等腰直角三角形, ∵EF BC ⊥,ED AC ⊥, ∴四边形EFCD 是矩形, ∵E 是AB 的中点,∴12EF AC =,12DE BC =, ∴EF ED =,∴四边形EFCD 是正方形, 设正方形的边长为A ,如图1当移动的距离a ＜时,数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）图12212S EE H a t ='--正方形得面积△的面积；当移动的距离a ＞时,如图2,图222211(2)2222ACH S S a t t at a ==-=-+△,∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项,故选：C .【考点】等腰直角三角形的性质,正方形的性质,求图形的面积.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2(2)(2)a a +-【解析】22282(4)2(2)(2)a a a a -=-=+-. 【考点】因式分解. 14.【答案】5【解析】解：根据题意知1322a a =++,解得 5a =,经检验： 5a =是原分式方程的解, ∴ 5a =, 故答案为：5.【考点】频率与概率的关系,解分式方程.15.【答案】【解析】原式==故答案为：. 【考点】二次根式的计算.16.【答案】1 【解析】解：原式111x x x =--- 11x x -=- 1=.故答案为：1. 【考点】分式的计算.17.【答案】【解析】如图,圆半径为6,求AB 长.3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ,OB ,作OC AB ⊥于点C , ∵OA OB =,∴2AB AC =,60AOC ∠=︒,∴sin606AC OA =⨯︒==,∴2AB AC ==,故答案为：【考点】圆内接三角形的定义,等边三角形的性质,垂径定理,特殊角的锐角三角函数值. 18.【答案】21010,(1010)-【解析】解：∵A 点坐标为(1,1), ∴直线OA 为y x =,1(1,1)A -, ∵12A A OA ∥,∴直线A 1A 2为2y x =+, 解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩,∴2(2,4)A , ∴3(2,4)A -,数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）∵34A A OA ∥,∴直线34A A 为6y x =+, 解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩,∴4(3,9)A , ∴5A (3,9)- …,∴220191010,10()10A -,故答案为21010,(1010)-.【考点】探索规律,一次函数和二次函数的图象性质,函数图象的平移. 三、解答题19.【答案】解：原式821=+9=【考点】实数的运算.20.【答案】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人) 条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人), 故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人) 条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【考点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体. 21.【答案】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【解析】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥,解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =, 而10m -≠,∴m 的值为32.【考点】一元二次方程根的判别式,不等式的解法.22.【答案】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i = ∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD ===,∴CG == ∵60FEP ∠=︒,∴5FP ==,∴EP ,∴1010DF GP ==+=, ∵60AEB ∠=︒, ∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF ==+,∴15FH AF ==+,∴10AH ==+∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=++⨯≈(米),答：楼房AB 高度约为23.7米.【解析】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP=,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i = ∴30DCG ∠=︒,∴152FP DG CD===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP ==,∴EP=,∴1010DF GP ==+=+, ∵60AEB ∠=︒,∴30EAB ∠=︒, ∵30ADH ∠=︒, ∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴103AF DF ==+, ∴15FH AF ==+,∴10AH ==+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=+≈+⨯≈(米), 答：楼房AB 高度约为23.7米.【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,扇形的面积公式.23.【答案】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠, ∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒,∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥,数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O e 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯-==-=g △阴影扇形. 【解析】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒, ∴90AEO ∠=︒, 即OB AC ⊥, ∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒, ∴BD 是O e 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒, ∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD =∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯-==-=g △阴影扇形. 【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形公式,扇形的面积公式.24.【答案】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意, ∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元. (2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤. ∵m 为整数, ∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【解析】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意, ∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元. (2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤. ∵m 为整数, ∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用.25.【答案】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得：23b c =-⎧⎨=-⎩,故抛物线函数关系表达式为223y x x =--； (2)∵(1,0)A -,点(3,0)B , ∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥, ∴90OPE CPB ∠+∠=︒, 90CPB PCB ∠+∠=︒, ∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）∴~POE CBP △△,∴BC OPPB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916.(3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--, ∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b =⎧⎨=-⎩,∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -, ∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNHS S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭g △△△, ∵102-＜,∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩,解得：23b c =-⎧⎨=-⎩,故抛物线函数关系表达式为223y x x =--； (2)∵(1,0)A -,点(3,0)B , ∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥, ∴90OPE CPB ∠+∠=︒, 90CPB PCB ∠+∠=︒, ∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒, ∴~POE CBP △△,∴BC OPPB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916.(3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∵抛物线的解析式为223y x x =--, ∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b =⎧⎨=-⎩,∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -, ∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭g △△△, ∵102-＜, ∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【考点】待定系数法求二次函数的表达式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式.26.【答案】解：(1)∵ABC △是等边三角形, ∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒, ∴62(6)t t +=-, ∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形. (2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==, ∵EF BQ ∥,∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒, ∴2EF EM =,∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g ,解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形, ∴60B A ∠=∠=︒, ∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒, ∴APK △是等边三角形, ∴PA PK =, ∵PE AK ⊥, ∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠, ∴(AAS)PKD QCD ≅△△, ∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）图3∵3BM CM ==,AB AC =, ∴AM BC ⊥,∴AM ==, ∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3-.【解析】解：(1)∵ABC △是等边三角形, ∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒, ∴62(6)t t +=-, ∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形. (2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==, ∵EF BQ ∥,∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒, ∴2EF EM =,∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g ,解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形, ∴60B A ∠=∠=︒, ∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒, ∴APK △是等边三角形, ∴PA PK =, ∵PE AK ⊥, ∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠, ∴(AAS)PKD QCD ≅△△, ∴DK DC =,∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =, ∴AM BC ⊥,∴AM == ∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【考点】二次函数的图象与性质,勾股定理,三角形的面积,矩形的性质,平行四边形的性质.数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷-答案
湖南省衡阳市2019年初中毕业学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】B【解析】34-的相反数是34；故选：B . 【考点】绝对值的概念.2.【答案】A【解析】解：由题意可知：10x +≠,1x ≠-,故选：A .【考点】分式有意义的条件.3.【答案】C【解析】解：科学记数法表示65 000公里为46.510⨯公里.故选：C .【考点】科学记数法表示数.4.【答案】D【解析】A 、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误；B 、不是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项错误；C 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；D 、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确.故选：D .【考点】轴对称图形和中心对称图形.5.【答案】D【解析】A 、8a 与3b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、235()a a =,故选项B 不合题意；C 、344a a a ÷=,故选项C 不符合题意；D 、23a a a =,故选项D 符合题意.故选：D .【考点】整式的运算.6.【答案】B【解析】解：∵BE AF ⊥,40BED ∠=︒,∴50FED ∠=︒,∵AB CD ∥,∴50A FED ∠=∠=︒.故选：B .【考点】平行线的性质,垂直的定义,三角形的内角和定理.7.【答案】B【解析】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97,所以这组数据的中位数为90分,故选：B .【考点】中位数.8.【答案】C【解析】A 、n 边形(3n ≥)的外角和是360︒,是真命题；B 、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题；C 、相等的角不一定是对顶角,是假命题；D 、矩形的对角线互相平分且相等,是真命题；故选：C .【考点】判断命题的真假,多边形的外角和,垂直平分线的性质,对顶角的概念,矩形的性质.9.【答案】B【解析】2342x x x ⎧⎨+⎩＞①＞②解不等式①得：0x ＜,解不等式②得：2x ＞-,∴不等式组的解集为20x -＜＜,∴不等式组2342x x x ⎧⎨+⎩＞＞的整数解是1-, 故选：B .【考点】解不等式组,求整数解.10.【答案】B【解析】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ,根据题意得：29(1)1x -=,故选：B .【考点】一元二次方程解应用题.11.【答案】C【解析】解：由函数图象可知,当一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象在反比例函数2m y x =(m 为常数且0m ≠)的图象上方时,x 的取值范围是：1x -＜或02x ＜＜, ∴不等式m kx b x+＞的解集是1x -＜或02x ＜＜. 故选：C .【考点】函数图象与不等式的关系.12.【答案】C【解析】解：∵在直角三角形90C ∠=︒,AC BC =,∴ABC △是等腰直角三角形,∵EF BC ⊥,ED AC ⊥,∴四边形EFCD 是矩形,∵E 是AB 的中点,∴12EF AC =,12DE BC =, ∴EF ED =,∴四边形EFCD 是正方形,设正方形的边长为A ,如图1当移动的距离a ＜时,图12212S EE H a t ='--正方形得面积△的面积； 当移动的距离a ＞时,如图2,图222211(2)2222ACH S S a t t at a ==-=-+△, ∴S 关于t 的函数图象大致为C 选项,故选：C .【考点】等腰直角三角形的性质,正方形的性质,求图形的面积.第Ⅱ卷二、填空题13.【答案】2(2)(2)a a +-【解析】22282(4)2(2)(2)a a a a -=-=+-.【考点】因式分解.14.【答案】5【解析】解：根据题意知1322a a =++, 解得 5a =, 经检验： 5a =是原分式方程的解,∴ 5a =,故答案为：5.【考点】频率与概率的关系,解分式方程.15.【答案】【解析】原式=故答案为：.【考点】二次根式的计算.16.【答案】1 【解析】解：原式111x x x =--- 11x x -=- 1=.故答案为：1.【考点】分式的计算.17.【答案】【解析】如图,圆半径为6,求AB 长.3603120AOB ∠=︒÷=︒连接OA ,OB ,作OC AB ⊥于点C ,∵OA OB =,∴2AB AC =,60AOC ∠=︒,∴sin606AC OA =⨯︒==,∴2AB AC ==,故答案为：【考点】圆内接三角形的定义,等边三角形的性质,垂径定理,特殊角的锐角三角函数值.18.【答案】21010,(1010)-【解析】解：∵A 点坐标为(1,1),∴直线OA 为y x =,1(1,1)A -,∵12A A OA ∥,∴直线A 1A 2为2y x =+,解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩, ∴2(2,4)A ,∴3(2,4)A -,∵34A A OA ∥,∴直线34A A 为6y x =+,解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩, ∴4(3,9)A ,∴5A (3,9)-…,∴220191010,10()10A -,故答案为21010,(1010)-.【考点】探索规律,一次函数和二次函数的图象性质,函数图象的平移.三、解答题19.【答案】解：原式821=+9=【考点】实数的运算.20.【答案】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人),故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【解析】解：(1)这次学校抽查的学生人数是1230%40÷=(人),故答案为：40人；(2)C 项目的人数为401214 4 =10---(人)条形统计图补充为：(3)估计全校报名军事竞技的学生有4100010040⨯=(人). 【考点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体.21.【答案】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥, 解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =,而10m -≠,∴m 的值为32. 【解析】解：(1)根据题意得2(3)40k ∆=--≥, 解得94k ≤；(2)k 的最大整数为2,方程230x x k -+=变形为2320x x -+=,解得11x =,22x =∵一元二次方程2(1)30m x x m -++-=与方程230x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,1130m m -++-=,解得32m =； 当2x =时,4(1)230m m -++-=,解得1m =,而10m -≠,∴m 的值为32. 【考点】一元二次方程根的判别式,不等式的解法.22.【答案】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i =∴30DCG ∠=︒, ∴152FP DG CD ===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP ==,∴EP =,∴1010DF GP ==+=+,∴30EAB ∠=︒,∵30ADH ∠=︒,∴60DAH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF =+,∴152FH AF ==+,∴10AH =+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=+≈+⨯≈(米),答：楼房AB 高度约为23.7米.【解析】解：过D 作DG BC ⊥于G ,DH AB ⊥于H ,交AE 于F ,作FP BC ⊥于P ,如图所示：则DG FP BH ==,DF GP =,∵坡面10CD =米,山坡的坡度i =∴30DCG ∠=︒, ∴152FP DG CD ===,∴CG ==∵60FEP ∠=︒,∴5FP ==,∴EP =,∴101033DF GP ==+=+, ∵60AEB ∠=︒,∴30EAB ∠=︒,∵30ADH ∠=︒,∴30DAF ADF ∠=︒=∠,∴10AF DF =+,∴152FH AF ==+,∴10AH =+,∴10515155 1.7323.7AB AH BH =+=+=+≈+⨯≈(米),答：楼房AB 高度约为23.7米.【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形面积公式,扇形的面积公式.23.【答案】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒,∴90AEO ∠=︒,即OB AC ⊥,∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒,∴BD 是O 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒,∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD ==,∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯==-=△阴影扇形. 【解析】(1)证明：连接OB ,交CA 于E ,∵30C ∠=︒,12C BOA ∠=∠,∴60BOA ∠=︒,∵30BCA OAC ∠=∠=︒,∴90AEO ∠=︒,即OB AC ⊥,∵BD AC ∥,∴90DBE AEO ∠=∠=︒,∴BD 是O 的切线；(2)解：∵AC BD ∥,90OCA ∠=︒,∴30D CAO ∠=∠=︒,∵90OBD ∠=︒,8OB =,∴BD ==,∴2160π832π823603BDO AOB S S S ⨯⨯⨯==-=△阴影扇形. 【考点】切线的判定,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形公式,扇形的面积公式.24.【答案】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元, 依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意,∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元.(2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤.∵m 为整数,∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【解析】解：(1)设购买一个B 商品需要x 元,则购买一个A 商品需要(10)x +元,依题意,得：30010010x x=+, 解得：5x =,经检验,5x =是原方程的解,且符合题意,∴1015x +=.答：购买一个A 商品需要15元,购买一个B 商品需要5元.(2)设购买B 商品m 个,则购买A 商品(80)m -个,依题意,得：80415(80)5100015(80)51050m m m m m m -⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≤,解得：1516m ≤≤.∵m 为整数,∴15m =或16.∴商店有2种购买方案,方案①：购进A 商品65个、B 商品15个；方案②：购进A 商品64个、B 商品16个.【考点】分式方程的实际应用,一元一次不等式组的实际应用.25.【答案】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩, 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩, 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；(2)∵(1,0)A -,点(3,0)B ,∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥,∴90OPE CPB ∠+∠=︒,90CPB PCB ∠+∠=︒,∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,∴~POE CBP △△, ∴BC OPPB OE =,设OP x =,则3PB x =-, ∴43xx OE =-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭,∵03x ＜＜, ∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916.(3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--,∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,∴13k b=⎧⎨=-⎩, ∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -,∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭△△△, ∵102-＜, ∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】解：(1))∵抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A -,(3,0)B ,把A 、B 两点坐标代入上式,10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩, 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩, 故抛物线函数关系表达式为223y x x =--；(2)∵(1,0)A -,点(3,0)B ,∴134AB OA OB =+=+=,∵正方形ABCD 中,90ABC ∠=︒,PC BE ⊥,∴90OPE CPB ∠+∠=︒,90CPB PCB ∠+∠=︒,∴OPE PCB ∠=∠,又∵90EOP PBC ∠=∠=︒,∴~POE CBP △△,∴BC OP PB OE=, 设OP x =,则3PB x =-,∴43x x OE=-, ∴()221139344216OE x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭, ∵03x ＜＜,∴32x =时,线段OE 长有最大值,最大值为916.即32OP =时,线段OE 有最大值.最大值是916. (3)存在.如图,过点M 作MH y ∥轴交BN 于点H ,∵抛物线的解析式为223y x x =--,∴0x =,3y =-,∴N 点坐标(0,3)-,设直线BN 的解析式为y kx b =+,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩, ∴13k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线BN 的解析式为3y x =-,设2(,23)M a a a --,则(,3)H a a -,∴223(23)3MH a a a a a =----=-+, ∴22111327(3)322228MNB BMH MNH S S S MH OB a a a ⎛⎫=+==⨯-+⨯=--+ ⎪⎝⎭△△△, ∵102-＜, ∴32a =时,MBN △的面积有最大值,最大值是278,此时M 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【考点】待定系数法求二次函数的表达式,二次函数的图象与性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积公式.26.【答案】解：(1)∵ABC △是等边三角形,∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒,∴62(6)t t +=-,∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==,∵EF BQ ∥, ∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒,∴2EF EM =, ∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形,∴60B A ∠=∠=︒,∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒,∴APK △是等边三角形,∴PA PK =,∵PE AK ⊥,∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠,∴(AAS)PKD QCD ≅△△,∴DK DC =, ∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =,∴AM BC ⊥,∴AM ==∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【解析】解：(1)∵ABC △是等边三角形,∴60B ∠=︒,∴当2BQ BP =时,90BPQ ∠=︒,∴62(6)t t +=-,∴2t =,∴2t =时,BPQ △是直角三角形.(2)存在.理由：如图1中,连接BF 交AC 于M .图1∵BF 平分ABC ∠,BA BC =∴BF AC ⊥,3cm AM CM ==,∵EF BQ ∥, ∴1302EFM FBC ABC ∠=∠=∠=︒,∴2EF EM =, ∴1232t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 解得3t =.(3)如图2中,作PK BC ∥交AC 于K .图2∵ABC △是等边三角形,∴60B A ∠=∠=︒,∵PK BC ∥,∴60APK B ∠=∠=︒,∴60A APK AKP ∠=∠=∠=︒,∴APK △是等边三角形,∴PA PK =,∵PE AK ⊥,∴AE EK =,∵AP CQ PK ==,PKD DCQ ∠=∠,PDK QDC ∠=∠,∴(AAS)PKD QCD ≅△△,∴DK DC =, ∴11()3(cm)22DE EK DK AK CK AC =+=+==. (4)如图3中,连接AM ,AM '图3∵3BM CM ==,AB AC =,∴AM BC ⊥,∴AM ==∵AB AM MB ''-≥,∴3AB '≥,∴AB '的最小值为3.【考点】二次函数的图象与性质,勾股定理,三角形的面积,矩形的性质,平行四边形的性质.。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣13．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×1054．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a36．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97B．90C．95D．888．（3分）下列命题是假命题的是（）A．n边形（n≥3）的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等9．（3分）不等式组的整数解是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．110．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝111．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞212．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．15．（3分）﹣＝．16．（3分）计算：+＝．17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷长郡中学 史李东一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）（2019•衡阳）34-的绝对值是( ) A ．34-B ．34C ．43-D ．432．（3分）（2019•衡阳）如果分式11x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．1x ≠-B ．1x >-C ．全体实数D ．1x =-3．（3分）（2019•衡阳）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日2L 点Halo 使命轨道，成为世界首颗运行在地月2L 点Halo 轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为( )公里． A ．50.6510⨯B ．36510⨯C ．46.510⨯D ．56.510⨯4．（3分）（2019•衡阳）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是)A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2019•衡阳）下列各式中，计算正确的是( ) A ．835a b ab -= B ．235()a a = C ．842a a a ÷= D ．错误!未指定书签。
6．（3分）（2019•衡阳）如图，已知//AB CD ，AF 交CD 于点E ，且BE AF ⊥，40BED ∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．错误!未找到引用源。
7．（3分）（2019•衡阳）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是( ) A ．97B ．90C ．95D ．888．（3分）（2019•衡阳）下列命题是假命题的是 ) A ．n 边形(3)n 的外角和是360︒B ．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C ．相等的角是对顶角D ．矩形的对角线互相平分且相等 9．（3分）（2019•衡阳）不等式组2342x xx >⎧⎨+>⎩的整数解是( )A ．0B ．1-C ．2-D ．110．（3分）（2019•衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得( ) A ．9(12)1x -=B ．29(1)1x -=C ．9(12)1x +=D ．29(1)1x +=11．（3分）（2019•衡阳）如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数2(my m x=为常数且0)m ≠的图象都经过(1,2)A -，(2,1)B -，结合图象，则不等式mkx b x+>的解集 是( )A．1xx>x-<<或2<<D．10 x<-B．10x-<<C．1x<-或0212．（3分）（2019•衡阳）如图，在直角三角形ABC中，90=，E∠=︒，AC BCC是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF 沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与ABC∆的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为()A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13．（3分）（2019•衡阳）因式分解：228a-=．14．（3分）（2019•衡阳）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为1，则a等于．215．（3分）（2019•273．16．（3分）（2019•衡阳）计算：111x x x+=-- ． 17．（3分）（2019•衡阳）已知圆半径为6，求该圆内接正三角形的边长为 ． 18．（3分）（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ⋯⋯，依次进行下去，则点2019A 的坐标为 ．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。
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2019年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣13．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×1054．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a36．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97B．90C．95D．888．（3分）下列命题是假命题的是（）A．n边形（n≥3）的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等9．（3分）不等式组的整数解是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．110．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1 11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞212．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E 作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝．14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于．15．（3分）﹣＝．16．（3分）计算：+＝．17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是．18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)19．（6分）（）﹣3+|﹣2|+tan60°﹣（﹣2019）020．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：（1）这次学校抽查的学生人数是；（2）将条形统计图补充完整；（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报D的学生约有多少人？21．（8分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）23．（8分）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（8分）某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？25．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．2019年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）﹣的绝对值是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．【解答】解：|﹣|＝，故选：B．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．全体实数D．x＝﹣1【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x+1≠0，x≠﹣1，故选：A．【点评】本题考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日L2点Halo使命轨道，成为世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为（）公里．A．0.65×105B．65×103C．6.5×104D．6.5×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：科学记数法表示65000公里为6.5×104公里．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5．（3分）下列各式中，计算正确的是（）A．8a﹣3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a8÷a4＝a2D．a2•a＝a3【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．【解答】解：A、8a与3b不是同类项，故不能合并，故选项A不合题意；B、（a2）3＝a6，故选项B不合题意；C、a8÷a4＝a4，故选项C不符合题意；D、a2•a＝a3，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵BE⊥AF，∠BED＝40°，∴∠FED＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝50°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出∠FED的度数是解题关键．7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是（）A．97B．90C．95D．88【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，所以这组数据的中位数为90分，故选：B．【点评】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．8．（3分）下列命题是假命题的是（）A．n边形（n≥3）的外角和是360°B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C．相等的角是对顶角D．矩形的对角线互相平分且相等【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A、n边形（n≥3）的外角和是360°，是真命题；B、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；C、相等的角不一定是对顶角，是假命题；D、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3分）不等式组的整数解是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．1【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．【解答】解：解不等式①得：x＜0，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，∴不等式组的整数解是﹣1，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（）A．9（1﹣2x）＝1B．9（1﹣x）2＝1C．9（1+2x）＝1D．9（1+x）2＝1【分析】等量关系为：2016年贫困人口×（1﹣下降率）2＝2018年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得：9（1﹣x）2＝1，故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．11．（3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m ≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E 作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵EF⊥BC，ED⊥AC，∴四边形EFCD是矩形，∵E是AB的中点，∴EF＝AC，DE＝BC，∴EF＝ED，∴四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a，如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣t2；当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝（2a﹣t）2＝t2﹣2at+2a2，∴S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)13．（3分）因式分解：2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）．【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．故答案为：2（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和a个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则a等于5．【分析】根据概率公式列出关于a的方程，解之可得．【解答】解：根据题意知＝，解得a＝5，经检验：a＝5是原分式方程的解，∴a＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（3分）﹣＝．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．16．（3分）计算：+＝1．【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝﹣＝＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（3分）已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是6．【分析】易得正三角形的中心角为120°，那么中心角的一半为60°，利用60°的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．【解答】解：如图，圆半径为6，求AB长．∠AOB＝360°÷3＝120°连接OA，OB，作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∴AC＝OA×sin60°＝6×＝3，∴AB＝2AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9）…，∴A2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。