广东省执信中学高三下学期模拟试题(三) 数学(理)
2020届广东省广州市执信中学高三年级下学期2月第三次质量检测数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省广州市执信中学2020届高三毕业班下学期2月第三次质量检测数学(理)试题(解析版)2020年2月一、选择题（共12题，每题5分，共60分，每道题有且只有一个选项是正确的）1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =（ ）A. {2,4}B. {2}C. {2,4,6}D. {5,3,2,4}-- 【答案】A【解析】【分析】计算出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：{}2|log 2A x x =≤，{}|04A x x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--，{}2,4A B ∴=.故选：A .【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算,属于基础题.2.若复数z 满足()12z i i +=,其中i 为虚数单位,则z =（ ）A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法,求出复数z 即可.【详解】复数z 满足()12z i i +=,211i z i i∴==++, 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算,要求掌握复数的除法运算,比较基础.3.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈”,其意思为：现一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的步（不变的常量）,第1天织了五尺,一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈,一丈=十尺）,则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（ ）A. 16B. 17C. 19D. 21【答案】A【解析】【分析】设该女子第一天织布为1a ,利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ,则1303030()3902a a S +==,13026a a +=,则3021a =,30116a a -=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列的计算,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用,属于基础题．4.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是（ ）A. 56110x y +-=B. 6510x y --=C. 65110x y +-=D. 5610x y -+=【答案】B【解析】【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和,可得两圆外离,把两个圆的方程相减可得。
广东执信、中山纪念、深圳外国语三校高三下期模拟联考数学理科试题
广东执信、中山纪念、深圳外国语三校2009届高三下期模拟联考数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共 40 分)一. 选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.计算()41i +的结果是.A 4 i B 4. 4.-C i D 4.-2.函数()x x a x f +=ln 在1=x 处取到极值，则a 的值为21.A 1.-B 0.C 21.-D 3.定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则()()()741f f f ++等于1.-A 0.B 1.C 4.D4．“3πθ-=”是“)2cos(2tan θπθ-=”的充分而不必要条件.A 必要而不充分条件.B充分必要条件.C 既不充分也不必要条件.D5.若点y)x,（在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x t -=的取值范围是]1,2.[--A ]1,2.[-B ]2,1.[-C ]2,1.[D6. 如图，设平面ααβα⊥⊥=CD AB EF ,, ，垂足分别为D B ,，若增加一个条件，就能推出EF BD ⊥.βαAEFB DC现有①;β⊥AC ②AC 与βα,所成的角相等;③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上;④AC ∥EF . 那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个.7.若直线1=+bya x 通过点)sin ,cos αα（M ,则 A .122≤+b a 1.22≥+b a B 111.22≤+b a C 111.22≥+ba D8.设][x 表示不超过x 的最大整数(如2]2[=,1]45[=),对于给定的*N n ∈,定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ,),1[+∞∈x ,则当)3,23[∈x 时,函数x C 8的值域是]28,316.[A )56,316.[B )56,28[)328,4.(⋃C ]28,328(]316,4.(⋃D第二部分非选择题(共 110 分)二．填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每题5分,共30.其中13-15题是选做题,考生只能选做两题,三题全答的，只计算前两题得分. 9.()21210=+⎰dx xk,则=k _______________;10.621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项是_______________;(用数字作答)11.已知正方形ABCD ,则以B A ,为焦点,且过D C ,两点的椭圆的离心率为_____; 12.用流程线将下列图形符号:连接成一个求实数x 的绝对值的程序框图.则所求框图为_______________;13.(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为θρcos 2=和θρsin =的两个圆的圆心距为____________；14.(不等式选讲选做题)若不等式121+-≥+a xx 对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是__________________；?0≥x15.(几何证明选讲选做题)如图,PT 切圆O 于点T , PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，6,3,2===BD AD CD ，则=PB ______.三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答需写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知向量()()()0,1,cos ,cos ,sin ,cos -=-==x x x x . (1)若6π=x ,求向量,的夹角;(2)已知(),12+⋅=b a x f 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈89,2ππx ,当()22=x f 时，求x 的值.17.(本小题满分12分)如图,B A ,两点有5条连线并联,它们在单位时间能通过的信息量依次为2,3,4,3,2.现从中任取三条线且记在单位时间内通过的信息总量为ξ.(1)写出信息总量ξ的分布列; (2)求信息总量ξ的数学期望.18. (本小题满分14分)已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 211-=n b ()*∈N n (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S .19. (本小题满分14分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===,60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上.(1)求证:⊥BC 平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论;(3)求二面角D EF B --的平面角的余弦值.20．(本小题满分14分)已知定点()0,1F 和定直线1-=x ，N M ,是定直线1-=x 上的两个动点且3 3 22 4 ABMFE CD BA满足FN FM ⊥,动点P 满足MP ∥OF ，NO ∥OP （其中O 为坐标原点）. (1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点F 的直线l 与C 相交于B A ,两点 ①求OB OA ⋅的值;②设FB AF λ=,当三角形OAB 的面积[]5,2∈S 时,求λ的取值范围.21．(本小题满分14分)设函数()()()x x x f +-+=1ln 212.(1)求()x f 的单调区间;(2)若当⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈1,11e e x 时,(其中 718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2在区间[]2,0上的根的个数.2009届高三级政治科试题参考答案(执信中学、中山纪念中学、深圳外语）三校联考 09.02一．选择题：CBDD CBBA ;二．填空题：9.1; 10.15; 11.12-13.25; 14.3;三.解答题:16.(1)=()22221sin cos cos +-+-xx x=x cos - 2分=6cosπ-=65cosπ4分 π≤≤0 65π= 6分 (2)()12+⋅=x f =()1cos sin cos 22++-x x x =()1cos 2cos sin 22--x x x=x x 2cos 2sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-42sin 2πx 9分 由()22=x f ，得2142sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈89,2ππx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-∴πππ2,4342x 11分∴当6542ππ=-x , 即2413π=x 时,()22=x f 12分17.(1)由已知,ξ的取值为10,9,8,7 . 2分()517352212===C C C P ξ , ()10383511222212=+==C C C C C P ξ, ()52935111212===C C C C P ξ, ()10110351112===C C C P ξ 8分 ξ∴的分布列为:9分(2)()101019528103751⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 11分 4.8542==12分 18.(1)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a 2分2325=-=∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 4分 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -11211---=n n b T ,两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n 6分 ()*-∈=⎪⎭⎫⎝⎛=∴N n b n n n 3231321. 8分 (2)()nn n n n c 3243212-=⋅-=, 9分 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++=∴n n n S 312353331232 ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++=+132312332333123n nn n n S , 10分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=∴+132312313131231232n n n n S =2⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫⎝⎛-⨯++-1131231131191231n n n=11344343123131312+++-=⎪⎭⎫⎝⎛---+n n n n n , 13分 nn n S 3222+-=∴ 14分 19、（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，︒=∠===60,ABC a CB DC AD ∴四边形ABCD 是等腰梯形，且︒︒=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA︒=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB BC AC ⊥∴ 2分又 平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ， ⊥∴BC 平面ACFE 4分 （Ⅱ）解法一、当a EM 33=时，//AM 平面BDF ， 5分 在梯形ABCD 中，设N BD AC =⋂，连接FN ，则2:1:=NA CN 6分a EM 33=，而a AC EF 3==2:1:=∴MF EM ， 7分 AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴ 8分又⊂NF 平面BDF ，⊄AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 9分 解法二：当a EM 33=时，//AM 平面BDF ，由（Ⅰ）知，以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 5分则)0,0,0(C ，)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -， ),0,0(a F ，),0,3(a a E ⊄AM 平面BDF ，∴//AM 平面BDF ⇔→AM 与→FB 、→FD 共面，也等价于存在实数m 、n ，使→→→+=FD n FB m AM ，B设→→=EF t EM .)0,0,3(a EF -=→ ，)0,0,3(at EM -=→),0,3(a at EM AE AM -=+=∴→→→又),21,23(a a a FD --=→，),,0(a a FB -=→， 6分从而要使得：),21,23(),,0(),0,3(a a a n a a m a at --+-=-成立， 需⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-==-an am a an m a an at 210233，解得31=t 8分∴当a EM 33=时，//AM 平面BDF 9分 （Ⅲ）解法一、取EF 中点G ，EB 中点H ，连结DG ，GH ，DHEF DG DF DE ⊥∴=, ⊥BC 平面ACFE EF BC ⊥∴又FC EF ⊥ ，FB EF ⊥∴，又FB GH // ，GH EF ⊥∴222DB DE BE +=∴DGH ∠∴是二面角D EF B --的平面角. 6分在BDE ∆中,a AB AE BE a DB a DE 5,3,222=+===︒=∠∴90EDB ,a DH 25=∴. 7分 又a GH a DG 22,25==. 8分 ∴在DGH ∆中，由余弦定理得1010cos =∠DGH , 9分 即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010. 解法二:由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,,所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系,则)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，)0,21,23(a a D -，),0,0(a F ，),0,3(a a E 过D 作EF DG ⊥, 垂足为G . 令)0,0,3()0,0,3(a a FE FG λλλ===→→,),0,3(a a FG CF CG λ=+=→→→, ),21,233(a a a a CD CG DG -=-=→→→λ 由→→⊥EF DG 得,0=⋅→→EF DG ,21=∴λ),21,0(a a DG =∴→,即),21,0(a a GD --=→ 11分,//,EF AC AC BC ⊥ EF BC ⊥∴,EF BF ⊥∴∴二面角D EF B --的大小就是向量→GD 与向量→FB 所夹的角. 12分),,0(a a FB -=→13分→→→→→→⋅⋅>=<FBGD FB GD FB GD ,cos 1010=即二面角D EF B --的平面角的余弦值为1010. 14分20.(1)设()()()21,1,,1,,y N y M y x P -- (21,y y 均不为0), 由 ∥ 得y y =1,即()y E ,1- 2分 由∥OP 得x y y -=2,即⎪⎭⎫ ⎝⎛--x y N ,1 2分 ⊥ 得 ()()40,2,202121-=⋅⇒=-⋅-⇒=⋅y y y y ()042≠=∴x x y∴动点P 的轨迹C 的方程为()042≠=x x y 6分（2）①由（1）得P 的轨迹C 的方程为()042≠=x x y ，()0,1F ,设直线l 的方程为1+=my x ,将其与C 的方程联立,消去x 得0442=--my y . 8分设B A ,的坐标分别为()()4433,,,y x y x ,则443-=y y . 1161242343==∴y y x x , 9分 故.34343-=+=⋅y y x x OB OA 10分②解法一：()()4433,1,1,y x y x -=--∴=λλ ， 即⎩⎨⎧=--=-，4343,1y y x x λλλ又3234x y = , 4244x y = . ∴可得.2,234λλ=-=y y 11分故三角形OAB 的面积λλ12143+=-⋅=y y OF S , 12分 因为21≥+λλ恒成立，所以只要解51≤+λλ. 即可解得253253+≤≤-λ. 14分解法二：()()4433,1,1,y x y x FB AF -=--∴=λλ ，∴43y y λ=-，43y y λ=∴（注意到0>λ）又由①有443-=y y ，434y y =∴，λ24=∴y 三角形OAB 的面积λλλλ1)22(21)(2143+=+=+=y y OF S （以下解法同解法一）21.（1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1221112++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上递增, 6分由,21112+=⎪⎭⎫⎝⎛-ee f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立. 9分(3)方程(),2a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则()11121+-=+-='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以()x g 在[]1,0上递减;在[]2,1上递增.而()()()3ln 232,2ln 221,10-=-==g g g ,()()()120g g g >>∴ 10分 所以,当1>a 时,方程无解;当13ln 23≤<-a 时，方程有一个解;当3ln 232ln 22-≤<-a 时,方程有两个解;当2ln 22-=a 时,方程有一个解;当2ln 22-<a 时,方程无解. 13分 综上所述,()()2ln 22,,1-∞-+∞∈ a 时,方程无解;(]1,3ln 23-∈a 或2ln 22-=a 时,方程有唯一解;]3ln 23,2ln 2(--∈a 时,方程有两个不等的解.14分。
广州执信中学-度第二学期高三数学(理科)第三次统一考试试卷
2007-2008学年度第一学期高三级数学（理科）第三次统一考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题部分（共40分）一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．集合{}1,2,3A =的真子集的个数为 （ ）A ．8B ．7C ．16D ．15 2．复数(1)i i +（其中i 为虚数单位）的虚部等于 （ ）A ．－iB ．1C ．－1D ．03．设条件p ：x x =||；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 4．方程03241＝--+x x的解是（ ）A ．0或2log 3B ．2log 3C ．3log 2D ．3log 2或15．已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．22 6．下列命题中正确的是 （ ）A ．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面B ．经过两条异面直线外一点，有且只有一个平面平行于这两条异面直线C ．如果两条平行线中有一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面D ．经过已知平面的一条斜线且垂直于已知平面的平面有且只有一个 7．定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的 导函数，已知函数)(x f y '=的图象如右图所示.若两正数b a , 满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值范围是（ ） A.11(,32 B.()1(,)3,2-∞+∞ C.1(,3)2D.(,3)-∞-8．已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，如果直线y x a =+与曲线()y f x =恰有两个交点，则实数a 的值是 （ ）A. 0B. 2()a k k Z =∈.C. 2a k =或12()4a k k Z =-∈ D. 以上答案都不对第二部分非选择题(共110分)二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填写在答卷的横线上）.9．已知点()3,7A 沿向量a =（1，2）平移后所得的点是 . 10．实数,x y 满足tan ,tan x x y y ==，且x y ≠，则sin()sin()x y x y x y x y+--=+-11. 若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记12()2(1)(1)(1)n f n a a a =--⋅⋅⋅- 试通过计算(1)f ，(2)f ，(3)f 的值，推测出()f n ＝12．已知表中的对数值有且只有两个是错误的．指出错误的是 和 .▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分13．过点A(2,3)的直线的参数方程()232x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数，若此直线与直线30x y -+= 相交于点B ，则AB ＝14．在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-＝的对称中心的极坐标是15．如图, ⊙O 和⊙'O 都经过A 、B 两点，AC 是⊙'O 的切线， 交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙'O 于点D ，若BC= 2， BD=6，则AB 的长为三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 、C 为三角形的三个内角，且A<B<C ，54sin =B ,54)2cos(-=+C A ,求cos(A+C)和cos2A 的值。
广州市执信中学高三数学考试试卷含答案
F广州市执信中学高三年级第三次月考数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}1A y y x ==+，111B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ）A ．(]1,1-B ．[)1,1-C ．()0,+∞D ．[]0,12．若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．23．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a =，223a b +=，则b =（ ） A ．3 B ．1 C ．4 D ．3 5．古希腊时期，人们把宽与长之比为51-（510.618-≈） 的矩形称为黄金矩形，把这个比值51-称为黄金分割比例．右上图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD ，EBCF ， FGHC ，FGJI ，LGJK ，MNJK 均为黄金矩形，若M 与 K 间的距离超过1.7m ，C 与F 间的距离小于12m ，则该古建筑中A 与B 间的距离可能是（ ）（参考数据：20.6180.382≈，30.6180.236≈，40.6180.146≈，50.6180.090≈，60.6180.056≈，70.6180.034≈）A ．28mB ．29.2mC ．30.8mD ．32.5m 6．函数()211sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．7．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，把AEF ∆，CBE ∆，CFD ∆折起构成一个三棱锥P CEF -（A ，B ，C 重合于P 点），则三棱锥P CEF -的外接球与内切球的半径之比是（ ）A ．2B ．22C ．6D ．26 8．过点()1,1P -作抛物线2y ax =（0a >）的两条切线PA ，PB ，且PA PB ⊥，则a =（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号1的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计表可以看出，这连续14天内（ ）A ．周末日均的票房和观影人次高于非周末B ．影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C ．观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D ．第一周每天的平均单场门票价格都高于20元10．已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．b c a a <B ．c c a b b a +>+C ．log log b c a a <D ．b c b a c a>++ 11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下面结论正确的是（ ）A ．()f x 为偶函数B ． ()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在324ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增12．如图，点M 是正方体1111ABCD A B C D -中的侧面11ADD A上的一个动点， 则下列结论正确的是（ ）A ．点M 存在无数个位置满足1CM AD ⊥B ．若正方体的棱长为1，三棱锥1BC MD -的体积最大值为13C ．在线段1AD 上存在点M ，使异面直线1B M 与CD 所成的角是30︒ D ．点M 存在无数个位置满足到直线AD 和直线11C D 的距离相等第二部分非选择题 (共 90 分)二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东高三三模数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，若，则（ ） {}{}1,2,3,,5A a B a =+=A B A ⋃==a A ． B ．C ．2D ．301【答案】C【分析】根据并集的知识求得.a 【详解】由于，所以， A B A ⋃=35,2a a +==此时，满足. {}{}1,2,5,2,5A B ==A B A ⋃=故选：C2．“”是“”的（ ） 12a b +>-a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】，123a b a b +>-⇔>-所以，3a b >-⇒3a b a b a b ⎧>⎪⎨>⇒>-⎪⎩所以“”是“”的必要不充分条件. 12a b +>-a b >故选：B3．在梯形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，，则（ ）34BC AD = DC =A ．B ．34OB OC +34OB OC -C ．D ．34OB OC + 34OB OC - 【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】如图，由，可得（利用平行关系求得线段比）， 34BC AD = 34DO AD OB BC ==则，所以， 34DO OB =34DC DO OC OB OC =+=+故选：A ．4．在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是12312i,12i,z z z =-=+=P P （ ）A ．B ． i z =+1z =C ．D ．z =23i z =-【答案】C【分析】根据题意，由条件可得123,,z z z 结果.【详解】因为，11z =-21z =+即，所以 123z z z ==123,,z z z且只有选项C ，所以其在圆上， P 故选：C5．已知函数在处取得极大值4，则（ ）()3f x ax bx =+1x =a b -=A ．8 B ．C ．2D ．8-2-【答案】B【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.,a b a b -【详解】因为，所以，()3f x ax bx =+()23f x ax b '=+所以，解得， ()()130,14f a b f a b '=+==+=2,6a b =-=经检验，符合题意，所以. 8a b -=-故选：B6．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO 给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线LOGO ，以下4个函数中 最能拟合该曲线的是（ ）JA ．B ．ln y x x =2ln y x x =C ．D ．1ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据偶函数，排除B 项；由，排除C 项，由当时，函数2ln ||y x x =11e g ⎛⎫<- ⎪⎝⎭(0,1)x ∈，可排除D ，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数1ln 0y x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()ln x x x ϕ=0x >的单调性，结合，得到A 符合题意，即可求解.()10ϕ=【详解】由函数，其定义域为，关于原点对称，()2ln ||f x x x =()(),00,-∞⋃+∞可得，()()22()ln ||ln ||f x x x x x f x -=--==所以函数为偶函数，所以排除B ；2ln ||y x x =由函数，可得，故排除C ；1()ln ||g x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11e 1e e g ⎛⎫⎛⎫=-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由函数，当时，可得且，则，1()ln ||h x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0,1)x ∈10x x -<ln ||0x <()0h x >故排除D ．由函数的定义域为 ，关于原点对称，()ln x x x ϕ=()(),00,∞-+∞U 且，所以为奇函数，图象关于原点对称， ()()ln ln x x x x x x ϕϕ-=--=-=-()x ϕ由时，，可得， 0x >()ln x x x ϕ=()ln 1x x ϕ'=+当时，，单调递减；1(0,)ex ∈()0x ϕ'<()x ϕ当时，，单调递增，且，所以A 项符合题意.1(,)e x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ()10ϕ=故选：A.7．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，24x y =F l ,N M FN FM =则的面积为（ ）FMNA ．4B ．C ．D ．2【答案】D【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解. 【详解】由， 24x y =得，2p =则，2FN FM ==根据抛物线的定义知2， 12M M pMF y y =+=+=解得， 1=M y 代入， 24x y =得，2M x =±所以的面积为.FMN 12222⨯⨯=故选：D.8．已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为（ ）4π3A ．B ．C ．D ．8π314π32π4π【答案】A【分析】根据题意，做出其轴截面的图形，结合相似以及基本不等式即可得到结果.【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示，点为球心，为切点，设内切球的半径为， O ,D E R 圆锥的底面圆的半径为，高为，所以，则， r h 34π4π33R =1R =易知，所以，即，ADO AEB ∽AO DO AB EB =1r=22h r h =-圆锥的体积，当且仅当时，等号成立.221ππ48ππ24332323h V r h h h h ⎛⎫==⋅=-++≥ ⎪--⎝⎭4h =故选:A二、多选题9．2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（ ）A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1% 【答案】BC【分析】利用折线图的特点及方差的意义，结合中位数及第百分位数的定义即可求解.p 【详解】对于A ，2022年我国对外经济进口总值累计增长率逐月下降，并不能说明对外经济进口总值逐月下降，故A 不正确.对于B ，由图可知，2022我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的波动较大，故B 正确. 对于C ，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，得中位数为1(5.3% 5.7%) 5.5%2⨯+=，故C 正确.对于D ，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，由，可知80%分位数为80%129.6⨯=第10个数据，即9.6%，故D 不正确. 故选：BC.10．已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） ,m n ,αβA ．若是异面直线，，则. m n ､,//,,//m m n n αββα⊂⊂//αβB ．若，则 ,m n m β⊥⊥//n βC ．若，则 //,n n αβ⊥αβ⊥D ．若，则 ,//,//m n αβαβ⊥m n ⊥【答案】ACD【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.【详解】对于A ，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且 ， ,//m m αβ⊂β'm '//m m '//m α同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是α'n '//n n '//n α,m n m 'n相交的，n 与也是相交的，'m 即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确； αβ//αβ∴设，并且，则有，显然是相交的，错误； l αβ= //,//m l n l //,//m n βα,αβ对于B ，若，则不成立，错误；n β⊂//n β对于C ，若，则平面上必然存在一条直线l 与n 平行，，即，正确； //n ααl β∴⊥αβ⊥对于D ，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又//n βγγ⊂n //γβ//γα∴，正确；,,m m m n αγ⊥∴⊥⊥故选:ACD.11．已知函数，下列说法正确的有（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．在上单调递增()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．若，则()()1212f x f x ==21π,Z 3k x x k -=∈C ．函数的图象可以由向右平移个单位得到 ()f x cos2y x =π3D ．若函数在上恰有两个极大值点，则 (0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭(]7,13ω∈【答案】BD【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解. 【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不πππ2262x -<+<ππ36x -<<()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调，故选项错误； A 令，则或，即或， 1()2f x =ππ22π66+=+x k π5π22π66x k +=+πx k =ππ,3k k +∈Z 由，则或，，即或，故选项正121()()2f x f x ==21ππ3x x k -=+πk k ∈Z ()2131π3k x x +-=3π3k B 确；向右平移个单位变为故选项错cos2y x =π3()π2ππcos2cos 2sin 2,336y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 误；对于，， D ππsin ,0263x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在上恰有两个极大值点，即，()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ππππ5π9π,ππ66362362x ωωω<+<+<+≤即，故选项正确. 713ω<≤D 故选：BD12．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）221:9C x y +=222:(3)(4)16C x y -+-=A ．与的公切线恰有4条1C 2C B ．与相交弦的方程为 1C 2C 3490x y +-=C ．与相交弦的弦长为1C 2C 125D ．若分别是圆上的动点，则 ,P Q 12,C C max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆的圆心，半径， 1C ()10,0C 13r =圆的圆心，半径，2C ()23,4C 24r =，1221125,C C r r d r r ==-<<+故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A 错误； 1C 2C 做差可得与相交弦的方程为1C 2C 3490,x y +-=到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C 错误； 1C 95245=若分别是圆上的动点，则，故D 正确. ,P Q 12,C C max 1212||12PQ C C r r =++=故选：BD三、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________（结果用一般式表示）.()31xf x xe x =-+()0,1【答案】210x y +-=【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程.【详解】,所以，所以由点斜式可得切线方程为，即()()1e 3xf x x '=+-()02f '=-12y x -=-，210x y +-=故答案为：210x y +-=14．如图，三个相同的正方形相接，则__________.tan FAD ∠=【答案】/ 340.75【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答. 【详解】依题意，， 1tan ,tan 22DC FBDAC FAB AC AB∠==∠==所以. ()12tan tan 32tan tan 11tan tan 4122FAB DAC FAD FAB DAC FAB DAC -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯故答案为：3415．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】24【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，2232C A 6=当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，122332C C A 18=由分类加法原理可知共有种， 61824+=故答案为：2416．已知数列的前n 项和为，，且，则______． {}n a n S 23S =11,21,N 21,2,N n n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈=⎨+=∈⎩16S =【答案】2000【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公()212N n n n n b a a *-∈=+()1525n n b b ++=+式，然后可算出答案.【详解】令，()212N n n n n b a a *-∈=+因为，且， 23S =11,21,N 21,2,N n n na n k k a a n k k *+*⎧+=-∈=⎨+=∈⎩所以，， 13b =()1212222121221121121125n n n n n n n n b a a a a a a b ++++-=+=+++=+++++=+所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列， ()1525n n b b ++=+{}5n b +所以，即，125822n n n b -++=⋅=225n n b +=-所以，()3834101612821225+252540200012S b b b -=++=--++-=-=- 故答案为：2000四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为的内角A ，B ，C 的对边，，且．ABC 2π3B =sin cos cos sin a c A c AC C +=(1)求角的大小；C (2)若的外接圆面积为，求边上的中线长． ABC 3πBC 【答案】(1) π6【分析】（1）利用正弦定理边化角，从而得到，再逆用和角余弦公式，sin cos cos sin sin A C A C A =-即可求解；（2）先求得的外接圆半径，再根据正弦定理求得，最后利用余弦定理即可求解. ABC ,AB BC 【详解】（1）因为，sin cos cos sin a c A c AC C+=根据正弦定理可得：，sin sin sin sinCcos cos sin A C A AC C+=所以， sin cos cos sin sin A C A C A =-所以， ()π1sin cos()cos πcos 32A C AB =+=-==因为，所以.π03A <<π6A =故. ππ6C A B =--=（2）如图，取中点，连接，BC D AD 记的外接圆的半径为，则，解得ABC r 2π3πr=r =根据正弦定理可得 2sin AB r C =因为，所以π6A C ==BC AB ==BD =根据余弦定理可得：222221212cos 224AD AB BD AB BD B ⎛⎫=+-⋅⋅=+--= ⎪⎝⎭所以 AD =故 BC 18．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.n S {}n a n {}11,2n na a =(1)求的通项公式； {}n a (2)证明：. 4n S <【答案】(1) 12n n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算求解可得； （2）应用错位相减法计算即可.【详解】（1）因为，所以，11a =122a =因为是公差为2的等差数列，所以，{}2nn a ()22212n n a n n =+-=所以. 1222n n n n n a -==（2），① 01211232222n n n S -++++=所以，②121112122222n n n n nS --=++++ ① -②则，2111111122121222222212n n n n n nn n n S --+=++++-=-=--所以. 12442n n n S -+=-<19．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下： 行驶里程/万km0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相y bx a =+关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；附：相关系数nnx y r =(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得12ln(1)y c c x =++经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型ˆ10.11 3.75ln(1)yx =-+20.998R =为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？ˆ9.158 1.149yx =-并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.22R r =【答案】(1)，相关性较强0.96r =-(2)答案见解析【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；0.96r =-（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模2220.922R r =≈型的拟合度更高.【详解】（1）由题意，115.109 2.57 6.2028.3060.9629.4629.46n nxy r -⨯⨯-====-，∵，∴，0.960r =-<||0.960.75r =>∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.（2）由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.由题（1）得线性回归模型的相关系数， ˆ9.158 1.149yx =-0.96r =-决定系数，2222(0.96)0.922R r ==≈由题意，对数回归模型的决定系数，10.11 3.75ln(1)y x =-+20.998R =∵，∴对数回归模型的拟合度更高.0.9980.922>20．如图，正方体中，直线平面，，. 1111ABCD A B C D -l ⊂1111D C B A 11l AC E ⋂=113AE EC=(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；11l B C P = 11l C D Q ⋂=l l CE ⊥(2)设点A 与（1）中所作直线确定平面.l α①求平面与平面ABCD 的夹角的余弦值；α②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.α1111ABCD A B C D -【答案】(1)答案见解析；(2)②答案见解析.【分析】（1）取和中点分别为P 、Q ，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得11B C 11C D 平面，进而即得；PQ ⊥11A C CA （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交于，连接分PQ 1111,A B A D ,G H ,AG AH 别交于，进而可得截面.11,BB DD ,M N 【详解】（1）由题意，P 、Q 分别为和的中点吋，有，11B C 11C D l CE ⊥证明过程如下：连接，取和中点分别为P 、Q ，连接，11B D 11B C 11C D PQ∵，∴一定过经过点E ,∴PQ 即为所求作的l .113A E EC =PQ ∵P 、Q 分别为和的中点，∴P 、Q 为的中位线，11B C 11C D 11B C D ∴，且PQ 过经过点E ，11PQ B D ∥∵正方体的的上底面为正方形.1111ABCD A B C D -1111D C B A ∴，∵，∴， 111B D AC ⊥11//PQ BD 11PQ A C ⊥又∵正方体的侧棱垂直底面，，1111ABCD A B C D -1CC 1111D C B A 1111PQ A B C D ⊂∴，又∵，平面，. 1PQ CC ⊥11A C 1CC ⊂11A C CA 1111AC CC C =∴平面，∵平面，PQ ⊥11A C CA CE ⊂11A C CA ∴，即；PQ CE ⊥l CE ⊥（2）①连接AP ，AQ ，∵正方体中，有AD ，DC ，DD 两两垂直，以D 点为坐标111ABCD A B C D -原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，则有，，，，，(0,0,0)D 1(0,0,2)D (2,0,0)A (1,2,2)P (0,1,2)Q 所以，，(1,2,2)AP =- (2,1,2)AQ =- ∵正方体的侧棱垂直底面ABCD ，∴为平面ABCD 的法向量.1DD 1(0,0,2)DD = 设平面，即平面APQ 的法向量，则，.α(),,n x y z = n AP ⊥ n AQ ⊥ ∴，，即0n AP ⋅= 0n AQ ⋅= 令，则，. 220,220x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩2x ==2y -3z =∴平面APQ 的一个法向量.()2,2,3n =-，，=1(0,0,2)DD =12DD = 设平面与平面ABCD 的夹角的平面角为，αθ则； cos θ②设直线交于，连接分别交于，连接，则平面PQ 1111,A B A D ,G H ,AG AH 11,BB DD ,M N ,MP NQ 即为平面截正方体所得的截面，如图所示.AMPQN α1111ABCD A B C D -21．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积()2,0A -()2,0B P PA PB 等于，记动点的轨迹为． 14P E (1)求的方程；E (2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，()4,0C l E M N AM BN Q 求出这条直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1) 2214x y -=()2x ≠±(2)点在直线上Q 1x =【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；(),P x y ()2x ≠±（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直MN 0MN 4x my =+11(,)M x y 22(,)N x y 线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，AM BN AM BN 的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从00(,)Q x y 210012(2)2(2)(2)y x x x y x ++=⋅--2112(2)(2)y x y x +-0x 而得解. 【详解】（1）解：设，则，得，即(),P x y ()2x ≠±1224y y x x ⋅=+-2244y x =-2214x y -=()2x ≠±，故轨迹的方程为：． E 2214x y -=()2x ≠±（2）解：根据题意，直线的斜率不为，MN 0设直线的方程为，MN 4x my =+由，消去并整理得， 22414x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩x ()2248120m y my -++=其中，则2226448(4)161920m m m ∆=-+=->m >m <-设，，则，． 11(,)M x y 22(,)N x y 12284m y y m +=--122124y y m =-显然，12,2x x ≠±从而可设直线的方程为①， AM 11(2)2y y x x =++直线的方程为②，BN 22(2)2y y x x =--所以直线，的交点的坐标满足：．AM BN 00(,)Q x y 210012(2)2(2)(2)y x x x y x ++=⋅--而 ()21211221212121(2)(6)6(2)22y x y my my y y y x y my my y y +++==-++， 2122121121286366(4)44312122(4)24m m y m m y m m m m m y y m +----=⎛⎫ ⎪---⎝⎭-==-++-因此，，即点在直线上．01x =Q 1x =22．已知函数．()22e x f x x =(1)求的最小值；()f x (2)若对，恒成立，求实数的取值范围．0x ∀>()()()1ln 2f x ax ax x ≥+-a 【答案】(1)1e-(2)(]0,2e【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+()e x g x x x =+性转化为研究恒成立，再求函数最小值即2ln()0x ax -≥()2ln()h x x ax =-1()1ln 022a h x h ⎛⎫≥=-≥ ⎪⎝⎭可.【详解】（1）函数的定义域为，，()f x R ()22e (21)x f x x =+'所以，当时，，单调递减， 1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 当时，，单调递增， 1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 所以，函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值. ()f x 12x =-11()2ef -=-所以，的最小值为.()f x 1e-（2）因为对，恒成立，0x ∀>()()()1ln 2f x ax ax x ≥+-所以，即恒成立，22e 2ln()ln()x x x ax ax ax +≥+2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+令， ()()e ,e (1)1x x g x x x g x x =+=++'所以，当时，单调递增，()0,x ∈+∞()0,()g x g x '>因为 []2ln()(2)220,ln()ln()eln()x ax g x xe x g ax ax ax =+>=+所以，当时，，ln()0ax ≤[]ln()ln()ln()e ln()0ax g ax ax ax =+≤恒成立，2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+当时，由得，即恒成立， ln()0ax >[](2)ln()g x g ax ≥2ln()x ax ≥2ln()0x ax -≥设， 1()2ln(),()2h x x ax h x x'=-=-所以，当时，单调递减，当时单调递增， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,()h x h x <'1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0,()h x h x >'所以，， 1()1ln 22a h x h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭所以，要使恒成立，只需，解得， 2ln()0x ax -≥1ln02a -≥2e a ≤因为，由题可知，，0a >所以，实数的取值范围为 a (]0,2e 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+。
广州市执信中学2020年3月高三级第三次模拟考试理科数学试题-含答案
20．（本小题满分 12 分）某省 2020 年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由 3 门统一高考科目成绩和自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考 试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语、数、 外三科各占 150 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数 在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门 等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为 、 、 、 、 、 、 、 共 8 个等 级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为 、 、 、 、 、 、
2、选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再 写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5．如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新
几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为
A．8π－ 16 3
பைடு நூலகம்C．8π－4
B．4π－
16 3
D．4π＋ 8 3
6．若 (ax 1 )6 的展开式中常数项等于 20 ，则 a x
1
A．
2
B． 1 2
C．1
7．如图为函数 y f x 的图象，则该函数可能为
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
2020届广东省广州市广东实验中学高三第三次阶段考试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省广州市广东实验中学高三第三次阶段考试数学（理）试题一、单选题1．集合{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A ．()2,3-B ．(),3-∞C ．()2,2-D ．()0,2【答案】A【解析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,则{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,故选:A. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考查了集合并集的运算，属基础题.2．己知i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，则z 的模是( )A ．1B ．12C D【答案】C【解析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出． 【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ，∴z 1(1)11222i i i i i ===++-，∴|z |2==，故选：C ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．3．若2,a ln =125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则,,a b c 的大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】D【解析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比较即可. 【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型. 4．若2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则cos2x =（ ） A ．89-B ．79-C ．79D ．-1【答案】C【解析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，属于基础题.5．(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论． 【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．点P 是ABC △所在平面上一点，若2355AP AB AC =+，则ABP △与ACP △的面积之比是（ ） A ．35B ．52C ．32D ．23【答案】C【解析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解. 【详解】解：因为点P 是ABC △所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ，则点P 在线段BC 上，且32=BP PC , 又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠, 又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题.7．已知()121sin 221x x f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()4421(08221f x πππ-=-<+， 即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 8．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12【答案】B【解析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。
执信中学2018-2019学年高三三模理数试题
执信中学2018-2019学年高三三模理数试题一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.21•已知全集U=R ,则正确表示集合 M= ｛— 1, 0, -2｝和N= ｛ x |x +2x>0｝关系的韦恩（Venn ）2. 下列n 的取值中，使i n=-1（i 是虚数单位）的是A. n=3 B . n=4 C . n=5 D. n=6 3. 给定下列四个命题：① 若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ② 若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行； ③ 垂直于同一平面的两条直线相互平行； 一④ 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中，为真命题的是A .①和② B.②和③ C.③和④D .②和④4. “ a =tb ”是“ a,b 共线”的 （）A .充分非必要条件B. 必要非充分条件:::n的图象经过点（0,），则该简谐运动的最小2正周期T 和初相分别为（）C. T=6n , ^=nD. T=6 n ,6 36.若函数 y =f(x)是函数 y=log a X(a>0, 且a = 1）的反函数，且 f （1） = 2，则f（x ）=1 ,A . log 2 xB . -x C. log 1 x D .2 2C.非充分非必要条件D .充要条件n5.已知简谐运动 f(x) =2cos x14nA. T =8，二一B . T =8,62x7.记等差数列｛a n｝的前n项和为S,若S7=56,则a4=___________________________________数学试卷A.5B.6C.7D.88•在棱锥P-ABC中，侧棱PA PB、PC两两垂直, Q为底面ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5,则以线段PQ为直径的球的表面积为(A. 100 二B. 50 ■:C. 25 二D. 5、、2二开始二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.(1) 9-13为必做题9•已知2C： +22C；+…+2nJL Cn」+2n =80，贝y n = ___________210抛物线y =4x的焦点是_____________111.程序框图如图所示，现输入如下四个函数： f (x)=xf (x) =x4, f (x) = 2x, f (x)二sin x ,则可以输出的函数是/输入函数/(小/第11题图•112.如图是函数f(x) sinx ( [0,二])的图像，其中B为顶点,2若在f (x)的图像与X轴所围成的区域内任意投进一个点P,则点P落第12题图在"ABO内的概率为 __________13.若关于x的不等式x2 -4x空m对任意x・[0,3]恒成立，则实数m的取值范围是 ___________ (2) 14、15选做一题14.(几何证明选讲选做题)过半径为2的O O外一点A作一条直线与O O交于C, D两点，AB切O O 于B,弦MN 过CD 的中点P.已知AC=4, AB=4-、2，则tan. DAB 二 ________________ 15.(几何证明选讲选做题) 已知曲线M : 「2-2Tcosr-4「si nrj=0,x = 4t + 3则圆心M至煩线'(t为参数)的距离为 ______________ .l y = 3t+1,三、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题12分)已知函数f(x)h』3sinx •cosx—1cos2x(x€ R). (I) 求函数f(x)的最小值和最小正周期；(II)设二ABC的内角A、B、C的对边分别a、b、c,且c - .3, f (C) =1，求三角形ABC 的外接圆面积•17.(本小题14分)甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得120万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金。
广东省广州执信中学三模理科数学试题
1 / 2－高三级数学（理科）综合试卷 .5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．复数(3)(2)i m i +-+对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 23m <B ． 1m <C ． 213m <<D ． 1m >2．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(1,2)-3．函数32()2f x x x =-的图象与x 轴的交点个数是（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相 距40米的C 、D 两点，测得060ACB ∠=，045BCD ∠=，060ADB ∠=，030ADC ∠=，则AB 的距离是 （ ）A ．202B ．203C ．402D ．2065．某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的产量y 与时间t 的函数图像可能是（ ）6．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查 了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）A ． 0．6 小时B ． 0．9 小时C ． 1．0 小时D ． 1．5 小时7．若不等式组0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是（ ）Ａ．0s <≤2或≥s 4 Ｂ．0s <≤2Ｃ．≤≤2s 4Ｄ．≥s 48．设A 、B 是非空集合，定义{}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，已知A=2{|2}x y x x =-，B={|2,0}xy y x =>，则A ×B 等于 （ ） A ．[)0,+∞ B ．[][)0,12,+∞ C ．[)[)0,12,+∞ D ．[]0,1(2,)+∞二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题（9~ 12题）9．曲线31y x =-在1x =处的切线方程为___________________． 10．给出一个算法：Input xIf x≤0 Then f (x)= 4x Elsef (x)=2 x End ifPrint f (x) End根据以上算法，可求得f (－3)+f (2 )的值为 ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,55S S ==，则过点(,)n P n a 和2(2,)n Q n a ++(n ∈N *)的直线的斜率是 ．12．观察上面的图形中小正方形的个数，则第6个图中有 个小正方形，第n 个图中有 个小正方形．48yot48yo t4 8y o t4 8y o tC DA B 人数(人)0 0.5 1.0 1.5 2.0时间(小时)515102 / 2★（请考生在以下三个小题中任选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．）13．（不等式选讲选做题）设25x y z ++=2222m x y z =++的最小值为_____________．14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=，则圆心到直线距离为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的 射影为D , 4,8CD BD ==, 则圆O 的半径等于 ．三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）16．（本小题满分12分）已知点A （2，0）、B （0，2）、C （cos α，sin α），O 为坐标原点，且0απ<<．（I ）若AC BC ⊥，求sin 2α的值； （II ）若||7OA OC +=OB 与OC 的夹角．17、（本小题满分12分）已知||2,||2x y ≤≤，点P 的坐标为(,)x y ． （I ）求当,x y R ∈时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率； （II ）求当,x y Z ∈时，P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率．18．（本小题满分14分）已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆222:()()C x a y b r -+-=及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆C 的方程．(Ⅱ)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,.A B 满足CA CB ⊥,求直线l 的方程．19．(本题满分14分)已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，1n n a a +<． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 的最大值及相应的n 值．20．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，AD ABE ⊥平面，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ACE ⊥平面，ACBD G =．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求证：//AE 平面BFD ； （Ⅲ）求三棱锥C BGF -的体积．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x =，()()()g x f x f m x =+-，m 为正的常数． （Ⅰ）求函数()g x 的定义域；（Ⅱ）求()g x 的单调区间，并指明单调性；（Ⅲ）若0a >，0b >，证明：()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-．（第15题图） ABDCOABCDEFG。
广东省广州市执信中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析
广东省广州市执信中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知公差不为0的等差数列{}的前n项和为S n，S3＝a4＋6，且成等比数列，则a10＝A、19B、20C、21D、22参考答案：C2. 函数在内有极小值，则( )A． B． C．D．参考答案：C．，令，则或，是极小值点，，3. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（）参考答案：C4. 已知函数是偶函数，在内单调递减，则实数=（）A.2 B. C.D. 0参考答案：B略5. 椭圆的两个焦点为，椭圆上两动点总使为平行四边形，若平行四边形的周长和最大面积分别为8和，则椭圆的标准方程可能为（）A．B．C. D．参考答案：C6.直线xsinβ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是( )A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能参考答案：答案:B7. 已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（）参考答案：B因为，所以在为增函数,又时，为增函数, 所以图象越来越陡峭，时，为减函数, 所以图象越来越平缓。
8. 设，，若3是与的等比中项，则的最小值为（）A. 25B. 36C. 12D. 24参考答案：C【分析】根据等比中项的定义与指数运算可得出，即，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由题意可得，即，得，所以，，，，由基本不等式得，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了等比中项的性质以及指数运算，考查计算能力，属于中等题. 9. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）．A．B．C．D．参考答案：D解：函数的图象，如图，不妨设，则，关于直线对称，故，且满足；则的取值范围是：，即．故选．10. 阅读如图所示的程序框图．若输入a=6，b=1，则输出的结果是（）A ．1B ．2C ．3D ．4参考答案：B【考点】程序框图． 【专题】常规题型．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当x=2时跳出循环，输出结果． 【解答】解：当输入a=6，b=1时， x=5＞2，进入循环得a=4，b=6， 此时x=2，退出循环， 输出的结果为2． 故选B【点评】本题考查程序框图，按照程序框图的顺序进行执行求解，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数满足,当时, ，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是参考答案：12.参考答案：答案：解析：表示所围成图形的面积。
广东省广州执信中学三模理科数学答题纸,答案
－高三级数学（理科）综合试卷 .5答题卷题 次 一 （1－8）二 （9－15）三 （16－21） 总 分得 分一．选择题：二．填空题：9.___________ 10._____________ 11.__________ 12._____、____13.___________ 14.______________ 15.__________三．解答题：18．20．1234567816、（本小题满分12分）17、（本小题满分12分）18、（本小题满分14分）19、（本小题满分14分）20、（本小题满分14分） ABCDEFG21、（本小题满分14分）－高三级数学（理科）综合试卷参考答案及评分标准 .5一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B BAD解答提示：1、(3)(2)i m i +-+＝(32)(1)m m i -+-，∵点在第三象限内∴32010m m -<-<且，∴23m <，∴选A ．2、1322-a b ＝13(11)(11)22--，，＝(1,2)-∴选D ．3、由()2340f x x x '=-=,得1240,3x x ==。
可知有两个零点，∴选B ．4、由已知知△BDC 为等腰直角三角形，∴DB=40； 由∠ACB=60°和∠ADB=60°知ABCD 四点共圆， 所以∠BAD ＝∠BCD=45°；在△BDA 中， 运用正弦定理可得AB=206，∴选D ．5、前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，∴选B ． 6、由条形图知时间总数为45小时， ∴平均时间为45÷50＝0.9．∴选B ． 7、由图知选A ．8、22002x x x -≥⇒≤≤，∴A=[0，2]，021x x >⇒>，∴B=（1，＋∞），∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]， 则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． ㈠必做题（9～12题） 9、33y x =- 、－8 11、4 12、28，(1)(2)2n n ++㈡选做题（13~15题是选做题，考生只能从中选做两题）13、8 14、85515、5 解答提示：9、321'3y x y x =-⇒=，∴切线的斜率为3，又∵切线过点（1，0），∴切线方程为33y x =-．10、由算法语句知4(0)()2(0)xx x f x x ≤⎧=⎨>⎩，∴ f (－3)+f (2 )＝－12＋4＝－8． 11、5S －2S ＝3454434515a a a a a ++==⇒=1315a d ⇒+=，又12110210a a a d +=⇒+=，∴4d =； ∴斜率k=22422n n a a dd n n +-===+-．12、根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28． 第n 个图形中有1＋2＋……＋(n ＋1)＝(1)(2)2n n ++．13、(2222x y z ++)(1112++)≥2)x y z ++，则2222x y z ++≥4552⨯＝8． 14、由22cos 2cos ρθρρθ=⇒=222220(1)1x y x x y ⇒+-=⇒-+=，cos 2sin 70270x y ρθρθ-+=⇒-+=，∴22120785512d -⨯+==+． 15、由射影定理有CD 2=BD ×AD ，∴16＝8×AD ，∴AD ＝2，∴半径＝822+＝5． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）(cos 2,sin ),(cos ,sin 2)AC BC αααα=-=-． …………………（2分）,0AC BC AC BC ⊥∴⋅=，1cos sin 2αα∴+=． ……………………………（4分） 642-2-651015oyx2442∴213(cos sin ),2sin cos ,44αααα+==-即∴3sin 24α=-． …………………（6分）（Ⅱ）221||7,(2cos )sin 7,cos ,2OA OC ααα+=∴++==解得 …………………（8分） (0,),,3AOC παπα∈∴=∠=………………………………………………（10分）,26AOB OB OC ππ∠=∴又与的夹角为． ……………………………………（12分）17、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）点P 所在的区域为正方形ABCD 的内部（含边界），满足22(2)(2)4x y -+-≤的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面（含边界）． ………………………………………（3分）∴所求的概率211244416P ππ⨯==⨯． …………………………………………………（5分） （II ）满足,x y ∈Z ，且||2,||2x y ≤≤的点有25个， ………………………………（8分） 满足,x y ∈Z ，且22(2)(2)4x y -+-≤的点有6个， ………………………………（11分）∴所求的概率2625P =． …………………………………………………………………（12分）18、（本小题满分14分）解:(Ⅰ)由题意知此平面区域表示的是以(0,0),(4,0),(0,2)O P Q 构成的三角形及其内部,且△OPQ 是直角三角形,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),5所以圆C 的方程是22(2)(1)5x y -+-=．…………………………………………………（7分）(Ⅱ)设直线l 的方程是:y x b =+．因为CA CB ⊥,所以圆心C 到直线l 10,即221011=+解得:15b =- ………………………………………………（12分） 所以直线l 的方程是:15y x =-±． ……………………………………………（14分） 19、（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 由6821123264a q a ===，1n n a a +<，所以 12q =． ……………………（3分）以21326412a a q===． …………………………………………………………（5分） 所以 通项公式为：17164()2()2n n n a n N --*=⋅=∈． ……………………………（7分）(Ⅱ)设2log n n b a =，则72log 27nn b n -==-． …………………………………（8分） 所以，{}n b 是首项为6，公差为1-的等差数列． ………………………………（10分）(1)6(1)2n n n T n -=+-=22113113169()22228n n n -+=--+． ………………………（12分）因为n 是自然数，所以，6n =或7n =时，n T 最大，其最值是 67T T ==21． …（14分）20、(本题满分14分)解：（Ⅰ）证明：AD ⊥平面ABE ，//AD BC ． ∴BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥． …… (2分)又BF ⊥平面ACE ，则AE BF⊥． ∴AE ⊥平面BCE ． ……………… (4分) （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点． BF ⊥平面ACE ，则CE BF ⊥，而BC BE =．∴F 是AC 中点．……………………………………………………………………………(6分)在AEC ∆中，//FG AE ，∴//AE 平面BFD ． …………………………………(8分) （Ⅲ）解法一：//AE 平面BFD ，∴//AE FG ，而AE ⊥平面BCE ．∴FG ⊥平面BCE ，∴FG ⊥平面BCF ． ………………………………………(９分) G 是AC 中点，∴F 是CE 中点．∴FG //AE 且112FG AE ==．BF ⊥平面ACE ，∴BF CE ⊥． …………………………………………(10分)∴Rt BCE ∆中，122BF CF CE ===12212CFB S ∆==． ……(11分)∴1133C BFG G BCF CFB V V S FG --∆==⋅⋅=． ………………………………………(12分)解法二：111111444323C BFG C ABE A BCE V V V BC BE AE ---==⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=． ……(12分)21、（本小题满分14分）A BCDEFG解：（Ⅰ）∵()f x 的定义域为{0}x x >， ………………………………………………（1分）()g x 有意义，则0x m x >⎧⎨->⎩，那么()g x 的定义域为{0}x x m <<． …………………（3分）（Ⅱ）()()()ln ()ln()g x f x f m x x x m x m x =+-=+--，则()ln 1ln()1ln xg x x m x m x'=+---=-， …………………………………（5分） 由()0g x '>，得1x m x >-，解得2m x m <<，由()0g x '<，得01xm x <<-，解得02mx <<，∴()g x 在[,)2m m 上为增函数，在(0,]2m上为减函数． …………………………………（7分）（Ⅲ）要证()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-， 只须证()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．而在（2）中，取m a b =+，则()()()g x f x f a b x =++-， …………………………（9分）则()g x 在[,)2a b a b ++上为增函数，在(0,]2a b+上为减函数． ∴()g x 的最小值为()()()2()2222a b a b a b a bg f f a b f ++++=++-=()ln ()ln()()ln 22a ba b a b a b a b +=+=++-+． ……………………………………（12分）那么()()2a bg a g +≥，得： ()()()ln()()ln 2()()ln 2f a f a b a a b a b a b f a b a b ++-≥++-+=+-+，即()()ln 2()()f a a b f a b f b ++≥+-． ……………………………………………（14分）。
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(三)数学试题
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测（三）数学试题一、单选题1．已知集合{}R 33A x x =∈-≤≤，{}2R 4B x x =∈>，则A B =I （ ）A ．(]2,3B ．[)3,∞-+C ．[)(]3,22,3--UD ．()(),22,∞∞--⋃+2．设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知圆22:210C x x y ++-=，直线()10mx n y +-=与圆C 交于A ，B 两点.若ABC V 为直角三角形，则（ ） A ．0mn = B ．0-=m n C ．0m n +=D ．2230m n -=4．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（ ） A ．120种B ．180种C ．240种D ．300种5．已知{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，n S 为其前n 项和.若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（ ） A ．{}n a 是递增数列 B ．{}n a 是递减数列 C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列6．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成.设1BC =，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈o ，则上顶的面积为（ ）（参考数据：1cos 3θ=-，tan 2θ=A ．BC D7．ABC V 中，4AB ACB π∠=，O 是ABC V 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．3D ．58．椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为-与椭圆交于A ，B 两点（A 在B 左侧），若()11220F A F F AF +⋅=u u u r u u u u r u u u u r，则C 的离心率为（ ）A ．25B ．35C ．27D ．37二、多选题9．设z ，1z ，2z 为复数，且12z z ≠，下列命题中正确的是（ ） A ．若12z z =，则12z z =B ．若1212z z z z -=+，则120z z =C ．若12zz zz =，则0z =D ．若12z z z z -=-，则z 在复平面对应的点在一条直线上10．已知函数21()e 12x f x x =--，对于任意的实数a ，b ，下列结论一定成立的有（ ）A ．若0a b +>，则()()0f a f b +>B ．若0a b +>，则()()0f a f b -->C ．若()()0f a f b +>，则0a b +>D ．若()()0f a f b +<，则0a b +<11．抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为(0,1)F ，经过点F 且倾斜角为α的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过点A 、点B 作抛物线C 的切线，两切线相交于点E ，则（ ）A ．当16AB =时，π3α=B ．AOB V 面积的最大值为2C ．点E 在一条定直线上D ．设直线EF 倾斜角为β，αβ-为定值三、填空题12．已知函数()3f x x x =-有2个极值点1x ，2x ，则()()1212x x f x f x +++=．13．某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标()2800,X N σ~，且()8010.6P X <=，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记Y 表示800801X ≤<的瓷砖片数，则()E Y =． 14．剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为222333(0)x y a a +=>的曲线C （称为星形线），则曲线C 的内切圆半径为；以曲线C 上点(,)(0)m n mn ≠为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．四、解答题15．如图，在以P ，A ，B ，C ，D 为顶点的五面体中，平面ABCD 为等腰梯形，1//,2AB CD AD CD AB ==，平面P AD ⊥平面P AB ，PA PB ⊥.(1)求证：△P AD 为直角三角形；(2)若AD PB =，求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值.16．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()2230x y λλ-=>的左、右焦点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．当l 与x 轴垂直时，1ABF V 面积为12． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)当l 与x 轴不垂直时，作线段AB 的中垂线，交x 轴于点D ．试判断2DF AB是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．17．已知函数()2122x xe xf x e a-+=+.其中e 为自然对数的底数. (1)当12a =-时，求()f x 的单调区间：(2)当0a >时，若()f x 有两个极值点12,x x ，且()()122lna f x f x k f ⎛⎫+>⋅ ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大值.18．已知数列{}n a 的首项不为0，前n 项的和为n S ，满足*()n a c n =+∈N ． (1)证明：1c ≤；(2)若0c =，证明：()21n S n ≥+；(3)是否存在常数c ，使得{}n a 为等比数列?若存在，求出c 的所有可能值；若不存在，说明理由．19．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有n 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为p 和13，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜. (1)若3n =，12p =，求甲获胜的概率； (2)若20n =，设甲第i 题的得分为随机变量i X ，一次比赛中得到i X 的一组观测值()1,2,,20i x i =L ，如下表.现利用统计方法来估计p 的值：①设随机变量11ni i X X n ==∑，若以观测值()1,2,,20i x i =L 的均值x 作为X 的数学期望，请以此求出p 的估计值µ1p ；②设随机变量i X 取到观测值()1,2,,20i x i =L 的概率为()L p ，即()L p ()11222020,,,P X x X x X x ====L ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着p 的变化，用使得()L p 达到最大时p 的取值µ2p 作为参数p 的一个估计值.求µ2p .表1：甲得分的一组观测值.附：若随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 都存在，则()()()E X Y E X E Y +=+.。
广东省广州市执信中学2021届高三数学三模试题 理
广州市执信中学2021届高三数学（理）三模一、选择题：1.已知全集U=R ，那么正确表示集合M= { x |x 2+2x>0}和 N= {-2，－1，0}关系的韦恩（Venn ）图是（ ）2. 已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 3. 对任意的实数k ，直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系是（ ）相离 B.相切 C.相交 D.随k 的转变而转变 4.复数21z i=-+的共轭复数．．．．对应的点在（ ） A.第一象限 .B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5. 若log 1m n =-，则3m n +的最小值为( )A. B. 2 C. D. 526. 已知数列{}n a 知足()1112,1n n a a n N a +-==∈+,那么2014a = ( ) A. 2 B. 13- C. 32-D. 237. 用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，那么球的体积为( ) A.38πB. 328πC. π28D. 332π8. 假设函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 那么()f x 能够是( )A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1xf x e =- D. ()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分．9. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率散布直方图.假设第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，那么n 等于 * .10.从5男4女当选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分派到四个不同的工厂调查，不同的分派方式有 * .11.函数1()sin 2f x x =([0,]x π∈)的图像如图，其中B在()f x 的图像与x 轴所围成的区域内任意投进一个点P ，那么点P 在⊿ABO 内的概率为 * .假设双曲线22116y x m-=的离心率e=2，那么它的核心坐标为 * . 13．不等式组2230204x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩所确信的平面区域D 的面积是 * .（二）选做题（14～15题，考生从当选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线1C ：cos sin ρθθ+（）=1与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，那么a = * .15. （几何证明选讲选做题）过半径为2的⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ．已知AC =4，AB =tan DAB ∠= * .三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤．16．（本小题12分） 已知函数1()cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边别离a 、b 、c ，且()1c f C ==， 求三角形ABC 的外接圆面积.17．（本小题总分值13分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题13分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 别离是CC 1，BC 的中点，点P 在线段A 1B 1上，且A 1P →＝λA 1B 1→（1）证明：不管λ取何值，总有AM ⊥PN ；（2）当λ＝12时，求直线PN 与平面ABC 所成角的余弦值．19．（本小题总分值14分）甲乙两人进行围棋竞赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，竞赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局输赢彼此独立．已知第二局竞赛终止时竞赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示竞赛停止时已竞赛的局数，求随机变量ξ的散布列和数学期望E ξ．20. (本小题总分值14分)已知点F 是椭圆22211x y a +=+(0a >)的右核心，，动点P 到点F 的距离等于到直线x a =-的距离．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x a =-别离交于点S 、T （O 为坐标原点），试判定FS FT ⋅是不是为定值？假设是，求出那个定值；假设不是，请说明理由． 21．(本小题总分值14分)已知'''*010211(),()(),()(),,()(),x n n f x xe f x f x f x f x f x f x n N -====∈(1)请写出()n f x 的表达式(不需要证明)，并求()n f x 的极小值；(2)设2()2(1)88n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，证明：4a b e --≥；（3）设20()|ln[()]1|,(0)x x a f x x a ϕ=+-->，若3(),[1,)2x a x ϕ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围. 广州市执信中学2021届高三数学三模参考答案1-8．CACB CABA 9. 60；10. 2400；11.4π；12.±（0，8）；13.2π；14. 1；15. 4. 1. C 【解析】解得M={}02x x x ><-或，M N ⋂=Φ,因此选C2. A 【解析】“2k =-”能够推导出 “,a b 共线”，但反之不成立， 2k =±3.C 【解析】直线1y kx =+过圆内必然点(0,1)因此相交.4. B 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12)1(2)1)(1()1(212，共轭复数为i z +-=1，所对应的点在第二象限.5. C 【解析】log 11m n mn =-⇒=，则3m n +≥=6. A 【解析】123420141132,,,2,232a a a a a a ==-=-=∴==7. B 【解析】用与球心距离为1的平面去截球，截面半径为1，体积为 328π8. A 【解析】()41f x x =-的零点为x=41,()2(1)f x x =-的零点为x=1, ()1x f x e =-的零点为x=0, ()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23.此刻咱们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)= -1,g(21)=1,因此g(x)的零点x ∈(0,21),又函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，只有()41f x x =-的零点适合，应选A.9. 60【解析】设第一组至第六组数据的频率别离为2,3,4,6,4,x x x x x x ，那么234641x x x x x x +++++=，解得120x =，因此前三组数据的频率别离是234,,202020， 故前三组数据的频数之和等于234202020n n n++=27，解得n=60.10. 2400 【解析】2231454544()2400C C C C A +=11.4π【解析】11224ABOS ππ=⋅⋅=, 设()f x 的图像与x 轴所围成的区域为S,那么S=01sin 12xdx π=⎰4P π∴=12. ±（0，8）【解析】依照双曲线方程：12222=-bx a y 知， m b a ==22,16， 在双曲线中有：222c b a =+，∴离心率e=a c =2⇒422=a c =1616m+⇒m=48，因此双曲线的核心坐标为±（0，8）13.2π 【解析】D 是圆心角为4π，半径为2的扇形，故面积为22=82ππ⋅ 14. 1 【解析】曲线1C 的直角坐标方程是x+y=1，曲线2C 的一般方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，因此1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y=0得x=1，知a =1.15.4【解析】由切割线定理232484AB AC AD AD AD CD =⋅∴=⨯∴=∴=, CD ∴是直径，过O做AB 的垂线，垂足为B，tan tan 4DAB OAB ∴∠=∠==16.解：(1)11()cos cos 22cos 22f x x x x x x=⋅-=- =sin(2)6x π- ………2分 1sin(2)16x R x π∈∴-≤-≤()f x ∴的最小值是-1 ………4分22T ππ∴==，故其最小正周期是π ………6分(2)()1sin(2)00222662f C C C C ππππ=∴-=<<∴-=且,3C π∴= ………9分由正弦定理取得：2R=2sin c C ==(R 为外接圆半径)，1R ∴= ………11分 设三角形ABC 的外接圆面积为S,∴S=π ………12分 17.（1）2112122(1)(1),02a q q q a a a q a +=+>⇒== ………2分 22263351564(1)(1)64a q q q q a a a q a ++=++⇒== ………4分 11,2a q ∴==⇒12n n a -= ………6分(2) 1211111(2)4224n n n n n b ----=+=++, ………8分 2121111(1444)(1)2444n n n T n --=++++++++++ ………9分………11 ………12分 ………13分………4分………6分 ………8分………12分直线PN 与平面ABC 513分 19.（Ⅰ）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局竞赛终止时竞赛终止．∴有95)1(22=-+p p ． 解得32=p 或31=p ． …………6分 21>p ， 32=∴p ． …………7分（Ⅱ）依题意知，依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，8． ………… 8分 设每两局竞赛为一轮，那么该轮终止时竞赛停止的概率为95．假设该轮终止时竞赛还将继续，那么甲、乙在该轮中必是各得一分，现在，该轮竞赛结果对下轮竞赛是不是停止没有阻碍．从而有5(2)9P ξ==， 5520(4)(1)9981P ξ==-=， 55580(6)(1)(1)999729P ξ==--⋅=，55564(8)(1)(1)(1)1999729P ξ==---=．………12分 ∴随机变量ξ的散布列为： ………… 12分 故520806425222468981729729729E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………… 14分 20、解：（1） 椭圆22211x y a+=+右核心F 的坐标为(,0)a ，………………1分 由抛物线概念知，点P 的轨迹C 是以点F 为核心、直线x a =-为准线的抛物线，……3分C 的方程为24y ax =． ………5分（2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，211(,)4y A y a 、222(,)4y B y a， 则x y a y l OA 14:=，x y ay l OB 24:=．…………6分 由⎪⎩⎪⎨⎧-==ax x y a y ,41，得214(,)a S a y --， 同理得224(,)a T a y --．…………………………8分214(2,)a FS a y ∴=--，224(2,)a FT a y =--，那么4212164a FS FT a y y ⋅=+． ………9分 由⎩⎨⎧=+=axy a ty x 4,2，得04422=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分 则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当AB x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，那么:2OA l y x =， :2OB l y x =-． 由2,y x x a=⎧⎨=-⎩ 得点S 的坐标为(,2)S a a --，那么(2,2)FS a a =--．由2,y x x a =-⎧⎨=-⎩得点T 的坐标为(,2)T a a -，那么(2,2)FT a a =-．(2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴⋅=-⨯-+-⨯=． ………………………………………7分②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(121y a y A 、),4(222y ayB ，同解法一，得4212164a FS FT a y y ⋅=+． …………………………………10分 由2(),4y k x a y ax=-⎧⎨=⎩，得22440ky ay ka --=，2124y y a ∴=-．……………………11分则044)4(16422242=-=-+=⋅a a a a a FT FS ． …………………………13分 因此，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 21.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x (n ∈N *)． …………2分 因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，因此f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x .因为x ＞－(n ＋1)时，f ′n (x )＞0；x ＜－(n ＋1)时，f ′n (x )＜0， …………3分 因此当x ＝－(n ＋1)时，f n (x )取得极小值f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1) ． ………4分 (2)由题意 b ＝f n (－(n ＋1))＝－e －(n ＋1)，又a ＝g n (－n ＋1)＝(n －3)2，………5分 因此a －b ＝(n －3)2＋e －(n ＋1)．令h (x )＝(x －3)2＋e －(x ＋1)(x ≥0)， 则h ′(x )＝2(x －3)－e －(x ＋1)，又h ′(x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 因此h ′(x )≥h ′(0)＝－6－e －1.又h ′(3)＝－e －4＜0，h ′(4)＝2－e －5＞0，因此存在x 0∈(3，4)使得h ′(x 0)＝0. …………6分因此当0≤x ＜x 0时，h ′(x )＜0；当x ＞x 0时，h ′(x )＞0.即h (x )在区间[x 0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x 0)上单调递减，………7分 因此h (x )min ＝h (x 0)．又h (3)＝e －4，h (4)＝1＋e －5，h (4)＞h (3)，因此当n ＝3时，a －b 取得最小值e －4，即a －b ≥e －4. …………8分 （3）.由条件可得2()|ln 1|x x a x ϕ=+-,【以下所有f 换成ϕ】 ①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立, )(x f ∴在),[+∞e 上增函数,故当e x =时，2min )(e e f y == …………9分②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-='， （i ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，因此)(x f 在区间),1[e 上为增函数,故当1=x 时，a y +=1min ，且现在)()1(e f f <2=e …………10分(ii)当e a <<21,即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e a x ∈ 时为正数,因此)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a上为增函数,故当2a x =时，2ln 223min aa a y -=，且现在)()2(e f af <2=e …………11分 (iii)当e a≥2,即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，因此)(x f 在区间[1,e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y == …………12分综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1e a e e a aa a a a y …………13分 因此当312a a +≥时,得02a <≤; 当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时,无解； 当232e a ≥（22a e ≥）时,得a ≤不成立. 综上,所求a 的取值范围是02a <≤. ………14分。
广东省执信中学届高三模拟试题数学理
高三数学（理科）综合测试 2012.5.17 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分 1．已知集合{35}{55}M x|x ,N x|x ,x ,=-<≤=<->或则MN =（ ）A ．{53}x|x x <->-，或B ．{55}x|x -<<C ．{35}x|x -<<D ．{35}x|x x <->，或 2．复数31()i i-等于（ ）A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为（ ）A ．01=-+y xB ．03=--y xC ．01=--y xD ．03=-+y x4．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）5．—个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（ ） A ．12π B ．15π C ．24π D ．36π6．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本11221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有：（ ）A ．3个B ． 2 个C ．1 个D ．0个8．设实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++0201053x y x y x ，则yx z 42+=的最小值是（ ）A ．41B ．21C ．1D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．不等式|3||3|3x x +-->的解集是 ．11．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =， 则10S 等于_______.12．已知向量(,1)a x =与(4,)b x =，且a 与b 的夹角为π，则x = .13．由5个元素构成的集合{4,3,1,0,1}M =-，记M 的所有非空子集为1M ，2M ，，31M ，每一个(1,2,31)i M i =中所有元素的积为i m ，则1231m m m +++= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的 切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠= ．三、解答题：16．(本题满分12分) 已知函数2()cos 2sin 333x x xf x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，且2b ac =，求sin A 的值17．(本题满分12分) 李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.（Ⅰ）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18．（本题满分14分）如图（1），矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60，如图（2）（Ⅰ）求证：BO DO ⊥；（Ⅱ）求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.12 D19．（本题满分14分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233312n n S a a a =+++；（I ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出通项公式； （II ）设211(1)(1)n n nb a a a =---，若1n n b b +>对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省执信中学2012届高三下学期模拟试题（三）数学（理科）综合测试 2012.5.17一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分1．已知集合{35}{55}M x |x ,N x |x ,x ,=-<≤=<->或则M N =U （ ） A ．{53}x |x x <->-，或 B ．{55}x|x -<<C ．{35}x|x -<<D ．{35}x |x x <->，或 2．复数31()i i-等于（ ）A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为（ ）A ．01=-+y xB ．03=--y xC ．01=--y xD ．03=-+y x4．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（ ）5．—个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（ ） A ．12π B ．15π C ．24π D ．36π6．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（ ）A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两xy 1－1 xy 1－1 (A )xy 1－1 xy 1－1 (D )个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本11221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑L 若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有：（ ）A ．3个B ． 2 个C ．1 个D ．0个8．设实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++0201053x y x y x ，则yx z 42+=的最小值是（ ）A ．41B ．21C ．1D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．不等式|3||3|3x x +-->的解集是 ．11．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =， 则10S 等于_______.12．已知向量(,1)a x =r 与(4,)b x =r ，且a r 与b r的夹角为π，则x = .13．由5个元素构成的集合{4,3,1,0,1}M =-，记M 的所有非空子集为1M ，2M ，L ，31M ，每一个(1,2,31)i M i =L 中所有元素的积为i m ，则1231m m m +++=L .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的 切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠= ．三、解答题：16．(本题满分12分) 已知函数2()23sin cos 2sin 333x x xf x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，且2b ac =，求sin A 的值17．(本题满分12分) 李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.（Ⅰ）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18．（本题满分14分）如图（1），矩形ABCD 中，已知2AB =，22AD =, MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面HCA 1 A 2B 1BL 1 L 2A 3ABNM 与平面MNCD 所成角为60o ，如图（2）（Ⅰ）求证：BO DO ⊥；（Ⅱ）求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.19．（本题满分14分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233312n n S a a a =+++L ； （I ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出通项公式； （II ）设211(1)(1)n n nb a a a =---，若1n n b b +>对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
20．（本题满分14分）如图，已知1F 、2F 分别为椭圆22122:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点，其中1F 也是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且153MF = （I ）求椭圆1C 的方程；（II ）已知点(1,3)P 和圆222:O x y b +=，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ，B ，在线段AB 上取一点Q ，满足：AP PB λ=-u u u r u u u r ，AQ QB λ=u u u r u u u r（0λ≠且1λ≠±），求证：点Q 总在某条定直线上。
21．（本题满分14分）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （Ⅰ）求实数m 的值；OA BDCMNAB DCMNO图1 图2（Ⅱ）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-。
试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（Ⅲ）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .高三数学综合测试卷答案一、选择题：ABDDCBCB二、填空题：9、3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； 10、220-； 11、60； 12、2-； 13、1-14、32,4π⎛⎫⎪⎝⎭； 15、45︒16、解：（1）22()cos 133x x f x =+-22sin()136x π=+- …………………………………3分 ∵x R ∈，∴21sin()136x π-≤+≤ …………………………………………………………4分∴232sin()1136x π-≤+-≤ ……………………………………………………5分∴函数()f x 的值域为[3,1]- ………………………………………………………6分（2）2()2sin()1136C f C π=+-=，………………………………………………………7分 ∴2sin()136C π+=，而(0,)C π∈， ∴2C π=. …………………………………………8分在Rt ABC∆中，2b ac=，222c a b =+， ………………………………………………9分∴22c a ac=+， 得2()10a ac c+-= ………………………………………………10分 解得a c = ……………………………………………………………11分 ∵0sin 1A <<，∴1sin 2a A c ==. …………………………………12分17、解：（Ⅰ）设“走1L 路线最多遇到1次红灯”为事件A ， ……………1分则 0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=， ……………3分 所以走1L 路线，最多遇到1次红灯的概率为12. ……………4分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2. ……………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=，339(=2)=4520P X ⨯=. …………8分 随机变量X 的分布列为：所以1992701210202020EX =⨯+⨯+⨯=. ……………10分 （Ⅲ）设选择1L 路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，1(3,)2Y B :，所以13322EY =⨯=. 因为EX EY <，所以选择2L 路线上班最好. ……………12分18、解：（1）由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN, BC ⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD=60o ，………………………………………………………………………………………………………２分由AM=DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD 中，AB=2,AD=所以，，由题可知BOD 是直角三角形，所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分解（２）设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD, OF ⊥CD, 所以，CD ⊥面OEF, OE CD ⊥ 又BO=OD ，所以OE ⊥BD, OE ⊥面ABCD, OE ⊂面BOD , 平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理,可得AH ⊥平面BOD ，连结OH ，…………………… 8分 所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角,即AO 与平面BOD 所成角。