广东省深圳高级中学高二下学期第一次月考(数学)

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广东省深圳市深圳中学2018-2019高二第二学期第一次月考试理科数学试题(解析版)

深圳市深圳中学2018—2019学年度第二学期第一学月教学质量检测高二年级理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选C.考点：集合的运算.2.在等差数列中，若前项的和，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：.考点：等差数列的基本概念.3.已知f(x)＝x2＋，则f ′(0)等于( )A. 0B. －4C. －2D. 1【答案】D【解析】【分析】先求得函数导数，然后令求得相应导数的值.【详解】依题意，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该几何体的体积为，故选A.考点：1.三视图；2.组合体的体积5.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )．A. f(x)＝sin 2xB. f(x)＝x e xC. f(x)＝x3－xD. f(x)＝－x＋ln x【答案】B【解析】【分析】分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项.【详解】由于，对于选项，，，不符合题意；对于选项，，符合题意；对于选项，，，不符合题意；对于选项，，不符合题意.综上所述，本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题.6.已知tan θ＝2，θ为第三象项角，则sin θ＝( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值.【详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选B.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题.7.设f（x）=|x﹣1|，则=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值.【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A.B.C.和D. 和【答案】C【解析】【分析】求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.【详解】.依题意令，解得，，故点的坐标为，故选C.【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题.9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0），双曲线的焦点坐标为（±，0）由题意，∴椭圆的方程为考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质10.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11.若函数在处取得极大值10，则的值为（）A. B. C.或 D. 不存在【答案】A【解析】【分析】利用当时导数为零列方程，求得的关系式，并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的值.【详解】依题意，①，结合②，解得或.当时，函数在两侧左减右增，取得极小值，不符合题意，舍去.当时，，函数在两侧左增右减取得极大值，符合题意，故，故选A.【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值.12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结合函数的零点求得不等式的解集.【详解】构造函数，故，故函数为奇函数，图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增.根据函数为奇函数可知函数在时递增，且，，，画出函数的大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

深圳中学2018-2019高二第二学期第一次月考理科数学试题及答案解析

1
深圳中学 2018-2019 高二第二学期第一次月考理科数学试题及答案解析
A.
B.
C.
D.
11.若函数 fx = x3 + ax2 + bx − a2 − 7a 在 x = 1 处取得极大值 10，则ab的值为（）
A.
−
2 3
B. − 2
C.
−
2
或−
2 3
D. 不存在
12.设 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且f′(x),g′(x)分别是 f(x),g(x)的导数，当 x < 0 时，f′(x)g(x) + f(x)g′(x) > 0,且 g(6) = 0，则不等式 f(x)g(x) < 0 的解集是（） A. ( − 6,0) ∪ (6, + ∞) B. ( − ∞, − 6) ∪ (0,6) C. ( − 6,0) ∪ (0,6) D. ( − ∞, − 6) ∪ (6, + ∞)
试题分析：由题意得，B
=
{x|y
=
lg(2x
+
1)}
=
{x|x
>−
1 2
}，所以
A
∩
B
=
{0,1,2}，故选
C.
考点：集合的运算. 2.在等差数列{an}中，若前 10 项的和S10 = 60，a7 = 7，则a4 =( ) A. 4 B. − 4 C. 5 D. − 5 【答案】C 【解析】
试题分析：S10
第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数 fx = x3 − 3x 在[0,3]上的最小值为_______. 14.曲线 y=x2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为______．

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高一上学期第一次月考试数学试卷一、单选题 1．命题“210,0x x x∃>-<”的否定为（） A ．210,0x x x ∃>-≥ B ．210,0x x x ∃≤-≥ C ．210,0x x x∀>-≥ D ．210,0x x x∀≤-≥ 2．从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.0612m f m <>⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（元）决定，其中0m >，m <>是不小于m 的最小整数（如：33<>=， 3.84<>=， 5.16<>=），则从甲地到乙地通话时间为7.3分钟的电话费为（） A ．4.24元B ．4.77元C ．5.30元D ．4.93元3．若函数()f x 的定义域为R ，则“(2)(3)f f <”是“()f x 是增函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．甲、乙两人解关于x 的不等式20x bx c ++<，甲写错了常数b ，得到的解集为{}6<<1x x -；乙写错了常数c ，得到的解集为{}1<<4x x ．那么原不等式的解集为（） A ．{}1<<6x xB ．{}1<<4x x -C ．{}4<<1x x -D ．{}1<<6x x -5．函数[)2235,4,22x y x x +=∈---的值域为（）.A ．5317,142⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5317,142⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5317,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5317,142⎛⎤ ⎥⎝⎦6．已知不等式2320ax x -+>的解集为(,1)(,)b -∞+∞U ，则,a b 的取值分别为（） A ．3，1-B ．2，1C ．1-，3D ．1，27．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上递减，且(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（）A ．{|30x x -<<或3}x >B ．{|3x x <-或3}x >C ．{|3x x <-或03}x <<D ．{|30x x -<<或03}x <<8．对于集合M ，N ，定义{},M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=--U ，设94A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}0B y y =<，则A B ⊕=A ．9,04⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．9,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[)9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UD ．()9,0,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U二、多选题9．下表表示y 是x 的函数，则（）A ．函数的定义域是(0,20]B ．函数的值域是[2,5]C ．函数的值域是{}2,3,4,5D ．函数是增函数10．已知243fx =-，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．2()21f x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 有唯一零点11．给出以下四个命题，其中为真命题的是（）A ．函数y yB ．若函数(2)f x 的定义域为[0,2]，则函数()f x 的定义域为[0,4]C ．若函数()y f x =是奇函数，则函数()()y f x f x =--也是奇函数D ．函数1y x=-在(,0)(0,)-∞+∞U 上是单调增函数12．下列命题正确的是（）A ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则函数y =f x 在R 上是增函数B ．若对于1x ∀，2x ∈R ，12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->--，则函数()y f x x =+在R 上是增函数C ．若对于x ∀∈R ，都有()()1f x f x +<成立，则函数y =f x 在R 上是增函数D ．若对于x ∀∈R ，都有()f x ，()g x 为增函数，则函数()()y f x g x =⋅在R 上也是增函数三、填空题13．A ={}|03x x << ，{}|24B x x =<<，则A B ⋃=.14．若“2,1000x mx mx ∀∈++>R ”是真命题，则m 的取值范围是. 15．已知函数()()11xf x x x =>-，())2g x x ≥，若存在函数()(),F x G x 满足：()()()()()(),G x F x f x g x g x f x =⋅=，学生甲认为函数()(),F x G x 一定是同一函数，乙认为函数()(),F x G x 一定不是同一函数，丙认为函数()(),F x G x 不一定是同一函数，观点正确的学生是.16．已知函数()2cos ,,22f x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则满足()06f x f π⎛⎫> ⎪⎝⎭的0x 的取值范围为．四、解答题17．（1）设0x y <<，试比较22()()x y x y +-与22()()x y x y -+的大小；（2）已知a ，b ，x ，(0,)∈+∞y 且11,x y a b>>，求证：x y x a y b >++．18．求下列不等式的解集. (1)202735x x <---<； (2)1123x x +≤- 19．冰墩墩（BingDwenDwen ）、雪容融（ShueyRhonRhon ）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？20．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*N x x ∈名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 21．已知函数()2f x x x=+. (1)判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)用函数单调性的定义证明函数()f x 在)+∞上是增函数； (3)当[]1,3x ∈时，求函数()f x 的值域.22．某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋8,()x x x N ≥∈层，每层2800平方米的楼房.经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为56570x +(单位：元). (1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少?最少为多少元?(2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，则该楼房最多建多少层?（注：综合费用=建筑费用＋购地费用）。

广东省深圳市高级中学2024-2025学年高三上学期10月第一次诊断测试数学(含答案)

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数学（本试卷共3页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

） 2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合，，，则（）A ．B ．C ．D ．2．，是平面内不共线两向量，已知，，，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（）A ．B ．2C ．D ．33．若是第三象限角，且，则的值为（）A ．B ．5C ．D ．4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数在上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．7．已知关于x 不等式的解集为，则（）A ．B ．点在第二象限C ．的最大值为D ．关于x 的不等式的解集为{}2,1,0,1,2,3U =--{}1,2A ={}1,0,1B =-()U A B = ð{}2,3-{}2,2,3-{}2,1,0,3--{}2,1,0,2,3--1e 2e 12AB e ke =- 122CB e e =+ 123CD e e =-2-3-α()()5sin cos cos sin 13αββαββ+-+=-tan 2α5-513-513()f x []2,2-()()1f x F x x+=[]1,3-[]3,1-[)(]1,00,3- [)(]3,00,1- ()()22ln 3f x x ax a=--+[)1,+∞(],1-∞-(),1-∞-(],2-∞()2,+∞1e 2e 2122e e ==2e 1e 1e - 1e 2e 212e -12-214e -2e - ()()20x ax b x c-+≥-(](],21,2-∞- 2c =(),a b 22y ax bx a =+-3a20ax ax b +-≥[]2,1-8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（）A ．2B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题

广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．33B ．63C ．6D ．8．已知双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴为12A A ，虚轴为12B B ，直线线22B F 相交于点D .若223DF DB =，则C 的离心率等于（）A ．5B ．3C ．3D ．二、多选题9．已知双曲线方程C ：22197x y -=，则在该双曲线中下列结论中正确的是（A ．实轴长为6B ．渐近线方程为73y =±C ．焦距是4D ．焦点到渐近线的距离是10．已知数列{}n a 的前n 项和为210n S n n =-，则下列结论正确的有（A ．{}n a 是递减数列B ．60a >C ．110S >D ．当n S 最小时，5n =三、填空题15．若数列1,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数，为偶数16．过双曲线Γ：222x y a b-两点，设Γ的右焦点为2F 是.四、解答题17．ABC 的内角A ，B ，(1)若4a =，求ABC 的周长；(2)若1cos 7B =，求ABC 18．等比数列{}n a 中，1a (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列211log log n n b a +=⋅19．如图，在多面体ABCDE 22AB AD AE BC ====(1)证明：//BF 平面CDE ；(2)求点F 到平面CDE 的距离．20．已知O 为坐标原点，抛物线内的一点，PF 与x 轴垂直，OP (1)求C 的方程；(2)经过点F 的直线l 与C 交于异于点的方程．21．如图1，在直角三角形ABC 作DE AB ⊥于E ，将ADE V 沿直线2.(1)若平面PDE ⊥平面BCDE ，求证:BE PD ⊥；(2)若二面角P DE A --为锐角，且二面角P BC E --的正切值为269，求PB 22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴为双曲线22184x y -=的实轴，点()2,1P ．(1)求椭圆C 的标准方程：(2)设点A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两个不同的点，直线PA 与PB 的斜率均存在，分别记为1k ，2k ，若1212k k =，试问直线AB 是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．。

广东省深圳市高级中学(集团)2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题及答案

深圳市高级中学（集团）2022-2023学年第二学期期中测试高二数学（满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22A x xx =+≤，{}1,B a =，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为（）A.{}2,1,0−−B.{}21x x −≤≤C.{}21x x −≤<D.{}2,1,0,1−−2.函数()y f x =的图象如图所示，它的导函数为()y f x ′=，下列导数值排序正确的是（）A.()()()1230f f f ′′′>>>B.()()()1230f f f ′′′<<<C.()()()0123f f f ′′′<<<D.()()()1203f f f ′′′>>>3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（） A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1 4.已知等差数列{}n a 中，35a =，109a =−，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（） A.4 B.5C.6D.75.已知1x =是函数()332f x x ax =−+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（） A.1−B.1C.2D.46.有2男2女共4名大学毕业生被分配到A ，B ，C 三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A 工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A.12B.14C.36D.72 7.若曲线()e xxf x =有三条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围为（） A.210,e B.240,eC.10,eD.40,e8.已知随机变量ξ的分布列为：ξ x yPyx则下列说法正确的是（） A.存在x ，()0,1y ∈，()12E ξ>B.对任意x ，()0,1y ∈，()14E ξ≤ C.对任意x ，()0,1y ∈，()()D E ξξ≤D.存在x ，()0,1y ∈，()14D ξ>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X 即为优秀，已知优秀学生有80人，则（）A.0.008a =B.120X =C.70分以下的人数约为6人D.本次考试的平均分约为93.610.已知数列n a 的前n 项和为n S ，()7213,1631,6n n n n a n −−≤≤ = −−> ，若32k S =−，则k 可能为（） A.4 B.8 C.9 D.1211.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件1A ：第一次取出的是红球；事件2A ：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（） A.事件1A ，2A 为互斥事件 B.事件B ，C 为独立事件 C.()25P B =D.()234P C A =12.已知函数()1sin 2cos 2f x x x =，则下列结论正确的是（） A.()f x 的图象关于点,02π对称 B.()f x 在区间,66ππ−上单调递增C.()f x 在区间[]1,10内有7个零点D.()f x 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若nx+的展开式中含有常数项，则正整数n 的一个取值为______.14.大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，21Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()m h 的变化规律是0e kh p p −=，其中0p 是海平面大气压强，10.000126m k −=.梧桐山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln 3 1.1≈）15.设函数()1ln f x x k x x=−−，若函数()f x 在()0,+∞上是单调减函数，则k 的取值范围是______.16.已知函数()e e xxf x x x −−的两个零点为1x ，2x ，函数()ln lng x x x x x =−−的两个零点为3x ，4x ，则12341111x x x x +++=______. 四、解答题：本题共6小题，共70分。

广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（） A. 432×× B. 34C. 43D. 32×【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得4名学生，每人有3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则每人有3种可选方案，则4人共有433333×××=种分式，故选：C ．2. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，()102(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=−≥=.故选：B3.二项式62x展开式的常数项为（）A. 160−B. 60C. 120D. 240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k k T x x −−−+ ==⋅⋅−⋅ ，令3602k −=得4k =，所以展开式的常数项为()2644C 2160××−=，故选：B ．4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（） A.35B.115C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】记抽取黄球的个数为X ，则由题意可得X 服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为()237210C C C k k P X k −==，0k =，1，2．所以，()()()11203737221010C C C C 8112C C 15P X P X P X ≥==+==+=．或()()0237210C C 81101C 15P X P X ≥=−==−=．故选：D ．5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A 、B 、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150【答案】D 【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，第一类：各组人数分别为1，1，3，共有35C 种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有12254222C C C A 种分法，再将三组人员分配到A 、B 、C 三个乡村学校去，共有33A 种，所以不同的选派方法共有122335425322C C C C A 150A +=种. 故选：D6. 已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥−P ABC 外接球的体积为（）A 10πB.C.53πD.【答案】D 【解析】【分析】由ABC 为直角三角形，可知BC 中点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC ，所以球心在过M 与平面ABC 垂直的直线上，且球心为PBC 的外心.利用正余弦定理求出PBC 外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC 中点M ，过点M 做直线l 垂直BC ，因为ABC 为直角三角形，所以点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC ⊥平面ABC ，所以l ⊂平面ABC ，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，且球心为PBC 的外心.在PBC中，222cos 2PB BC PC PBC PB BC+−∠==⋅所以sin PBC ∠，则PBC 外接圆半径为12.的V =. 故选：D7. 过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =−的图象相切，则（）A. 312a b <−B. 312a b >−C. 32a b<−D. 32a b>−【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b −−=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =−的图象切于点()3,2Q t t−，()26f x x ′=−，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t ′==−，切线方程为()3226y t t x t +=−−，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=−−，整理得32460t at b −−=，设()3246g t t at b =−−，则问题转化为()g t 有3个零点，因为()21212g t t at =−′，由()0g t ′=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t ′≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意. 当0a >时，()0g t ′>解得0t <或t a >，()0g t ′<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t ′>解得t a <或0t >，()0g t ′<解得0a t <<，此时()g t 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =−−−<，所以()320b a b +<，得332210a b a b b +=+<，所以312a b <−.故选：A8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，右焦点2F 到渐近线的距离为31F 作圆222:C x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若121cos 2F MF ∠=，则圆C 的面积为（） A. 9π B. 8πC. 6πD. 4π【答案】A 【解析】b ，可得b ，结合双曲线定义与121cos 2F MF ∠=可得a ，即可得圆C 的面积.【详解】如图，因为右焦点2F 到渐近线的距离为3，故3b = 作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222:C x y a +=相切，所以21,22,2OA a F B OA a F B b ====，因为121cos 2F MF ∠=，即1260F MF ∠=，在直角2F MB 中，2tan 60F B MB M === ，又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：121222F M F M F B MB F M b a −=+−=−=，整理得b =，因为3b =3a =，圆C 的面积22ππ9πS r a ===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a ，即可得圆C 的面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和24nS n n =−，则（） A. {}n a 不是等差数列 B. 25na n =− C. 数列n S n是等差数列 D. 121067a a a +++=【答案】BC 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 即可求出数列{}n a 的通项，再根据等差数列的定义和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】由24nS n n =−，当1n =时，11143a S ==−=−，当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=−，当1n =时，上式也成立，所以25na n =−，故B 正确；因为()()1215252n na a n n +−=+−−−=，所以{}n a 是等差数列，故A 错误；对于C ，244n S n nn n n−==−，因为()114411n n S S n n n n +−=+−−−=+，所以数列n S n是等差数列，故C 正确；对于D ，令250n a n −≥，则52n ≥，所以当3n ≥时，0n a >，当2n ≤时，0n a <，故312101211200260868a a a a a a a S S +++−+++=−=+=−= ，故D 错误. 故选：BC.10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（） A. 13()5P A =B. 11()50P B =C. ()1950P B A = D. 22()11P A B =【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==，所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，故A 正确、B 正确、C 错误； ()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ×====，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（） A. ()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,+∞ B. ()f x 的值域为RC ()()20232024log 2024log 20231f f +=.D. 若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到函数的值域；C 选项，计算出()10f f x x +=，结合202320241log 2024log 2023=得到C 正确；D 选项，利用同构变换得到()1e bf a f=，结合()0,1a ∈，()0,b ∞∈+得到1e ba =，D 正确. 【详解】A 选项，()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞∪+， ()()21201f x x x =−′+>在定义域上恒成立，故()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,∞+，A 正确；B 选项，当x 趋向于0时，()f x 趋向于−∞，当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞，故()f x 的值域为R ，B 正确；C 选项，0x >，()1221ln 122011x f f x x x x x x+−−++−−=−+=−−，又202320241log 2024log 2023=，所以()()20232024log 2024log 20230f f +=，C 错误； D 选项，()e 1e 122121ln e ln 12e 1e 1e 1e e 1b b b b b b b b f a b b +−+=−=−=+−=−++ −−−−12e 121211111e e 1e e 11ln ln l e n e b b b b b b b=−+=−+=−−−−−，又()2ln 11f x x x =−−−，故121ln 11e e 1eb b b f−−=−，故()1e b f a f =，因为()0,b ∞∈+，所以()10,1e b∈，又()0,1a ∈，故1eb a =，即e 1b a =，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是D 选项变形得到()12ln11e 1e bbf a =−−−，得到()1e b f a f= ，从而进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 由样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)得到的回归方程为y ＝56x ＋a ，已知5112ii x==∑，5122i i y ==∑，则实数a 的值为________．【答案】2.4 【解析】【详解】由题表得x ＝2.4，y ＝4.4，代入回归方程，解得a ＝2.4. 13. 已知随机变量的ξ分布列为则x y +=________；若(2)1E ξ=，则()D ξ=_______．【答案】 ①. 12②.2312【解析】【分析】由概率和等于1，可求出x y +的值，然后根据(2)1E ξ=，可求出()E ξ，进而由数学期望的计算公式可求出,x y 的值，然后计算()D ξ即可. 【详解】由题意得，11136x y +++=，则12x y +=. 因为(2)1E ξ=，所以1()2E ξ=，则112262x y −++=，即16x y −+=，又12x y +=，解得11,63x y ==，所以22221111111123()20122623262312D ξ =−−×+−×+−×+−×=．故答案为：12；2312. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14. 若函数()ln e ln e xxa xf x x x a x=+−−（R a ∈）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()()0,11,+∞ 【解析】【分析】化简函数()()ln e xa f x x x x=+−，得到()ln g x x x =+和()e x h x x =在()0,∞+上单增，结合存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，且存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，结合12x x =，进而得到实数a 的取值范围．【详解】由函数()()()ln e ln 1ln e ,(0)xxx a f x x x a x x x x x=+−+=+−>，设()ln g x x x =+，可得()110g x x+′=>，()g x 单调递增，且11ln 2022g=−+<，()1010g =+>，所以存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，令e 0xax−=，即e x a x =，设()e xh x x =，可得()(1)e 0xh x x =+>′，则()h x 在()0,∞+上单增，又由()00h =且x →+∞时，()h x ∞→+，所以当()0,a ∞∈+时，存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，即22e xa x =，若12x x =时，可得1111ln 0ex x x a x += = ，则11ln x x =−，可得11e x x −=，所以11e 1xx =，所以1a =，综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,∞∪+．故答案为：()()0,11,∞∪+．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e xg x x =； ②e e ln ln e ln a a a b b a b b<⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x =； ③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S −=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S n +的前n 项和为n T ．【答案】（1）31na n =− （2）()231n n T n =+ 【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可；（2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n =− ++，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=，又63312S S −=，即()1161533312a d a d +−+=，即124d a =+，解得123a d = = 或140a d =− =（舍去），所以()23131n a n n =+−=−；【小问2详解】由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+−×=+，所以()312n S n n n +=+，所以()1212113131n S n n n n n =×=− +++，所以()21111121211322313131n n T n n n n =−+−++−=−= +++ ． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）727（2）分布列见解析，()53E ξ=【解析】【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记至少两次试验成功为事件A ，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C 1C 33327P A ××−+= = . 【小问2详解】由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以()0222212110C C 3329P ξ ==⋅= ， ()112021110012222121121111C C C C 33233223P ξ ==⋅+⋅=⋅⋅⋅， ()202112022201102222222121121121132C C C C C C 33233233236P ξ ==⋅⋅+⋅= + ， ()2021122112222212112113C C C C 3323326P ξ ==⋅+⋅= ， ()202222212114C C 33236P ξ ==⋅= ，故ξ的分布列为所以()11131150123493366363E ξ=×+×+×+×+×=. 17. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN ．（1）求证：GN ∥平面PAC ；（2）设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【小问1详解】证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ∩=，所以G 为PAB 的重心，所以2BG GM=，又2NB CN=，所以GN MC ∥，又GN 平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．【小问2详解】连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．的则)()(,0,1,0,,C B P G ，所以(),0,CB BG − ．设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y z ⋅+= ⋅=−+=令1x =，解得3y z =，所以平面BGN的一个法向量()n = ，(()111333NP CP CN CP CB =−=−=−=− ．设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NP n NP θ⋅===⋅ ，即直线PN 与平面BGN． 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m−为C 上一点，且32MF . （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB 面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q −；（ii）【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；的（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y −，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】由题意可得322924p m pm += = ，解得32p =，所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+，代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my −−=，方程23120y my −−=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==−, 所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +−=−−，即121112()()y y y y x x m y y +−=−− 即()11123y y x x y y −=−−，令0y =，可得()()212113y y y x y −⋅−=−，所以()()2121112312x y y y y y y =−⋅−+==−，所以4x =−所以(4,0)Q −；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=××= ， 121211442222OAB S y y y y =××+××=+ ，所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y −=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立，所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。

广东省高二下学期第一次月考数学试题(解析版)

高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1．一质点的运动方程为（位移单位：m ，时间单位：s ），则该质点在时的瞬时速度223S t =+3t =为（） A ．4 B ．12C ．15D ．21【答案】B【分析】由瞬时变化率的定义，代入公式求解计算. 【详解】由题意，该质点在时的瞬时速度为3t =. ()()()()()22000023323333lim lim lim lim 12212t t t t t S t S S t t t t∆→∆→∆→∆→⨯+∆+-⨯++∆-∆===+∆=∆∆∆故选：B2．已知定义域为R 的函数（为的导函数），则（）()()sin 0f x x xf '=-()f x '()f x 2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭A ．B ．0C ．D ．114π-12-【答案】C【分析】先求出，即可得到，直接求出.()102f '=()1cos 2f x x '=-2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭【详解】因为，所以，所以，解得：()()sin 0f x x xf '=-()()cos 0f x x f ''=-()()0cos 00f f ''=-，所以，所以.()102f '=()1cos 2f x x '=-11cos 2222f ππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选：C3．在的展开式中，的系数为（） 6(1)(1)x x +-3x A ． B ．5 C ． D ．205-20-【答案】A【分析】由，根据单项式和多项式的乘法法则结合二项式定理求展666(1)(1)(1)(1)x x x x x +--=+-开式中的系数.3x 【详解】，666(1)(1)(1)(1)x x x x x +---=+ 的展开式中含的项为，其系数为，6(1)x x ∴-3x ()4426C 1x -()446C 115-=的展开式中含的项为，其系数为，6(1)x -3x ()3336C 1x -()336C 120-=-的展开式中，的系数为. 6(1)(1)x x ∴+-3x 15205-=-故选：A.4．已知函数在上的最大值为1，则函数的图像在处的切线方程为()e -=+x f x x a [1,0]-()f x (0,(0))f （） A ． B ． C ． D ．1y x =+32y x =+21y x =+2y x =+【答案】A【分析】先对进行求导确定单调性，结合最大值求出参数的值，再利用在点处的切线方程求出()f x 答案.【详解】由题意，，当时，，所以在上单调递增，所()(1)e x f x x -'=-[1,0]x ∈-()0f x '>()f x [1,0]-以在上的最大值为，又，所以的图像在处的切线方程为()f x [1,0]-(0)1f a ==(0)1f '=()f x (0,(0))f .1y x =+故选：A.5．从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成多少个无重复数字的三位偶数（） A ．36 B ．48 C ．52 D ．72【答案】C【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目，②若0不在个位，此时0可能在首位，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有个没有重复数字的三位偶数；25A 20=②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法， 0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有个没有重复数字的三位偶数. 24432⨯⨯=综合可得，共有20 + 32=52个没有重复数字的三位偶数. 故选：C. 6．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（） ()21ln 2f x x x a x =-+aA ．B ．C ．D ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， (0,)+∞因为函数有两个不同的极值点， ()21ln 2f x x x a x =-+所以有两个不同正根，()210a x x ax f x x x -+'=-+==即有两个不同正根，20x x a -+=所以解得，1212Δ140100a x x x x a =->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩10a 4<<故答案为:A.7．除以88的余数是（）12233101010101010190909090C C C C -+-++ A ．2 B ．1 C ．86 D ．87【答案】B【解析】根据二项式定理，将原式化为，即可得出结果.()122391010101010188888888C C C C +++++ 【详解】因为122331010101010101010190909090(190)(188)C C C C -+-++=-=+12233101010101010188888888C C C C =+++++ ，()122391010101010188888888C C C C =+++++ 所以除以88的余数是1.12233101010101010190909090C C C C -+-++ 故选：B .【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于将所给式子看作二项展开式的形式，利用二项式定理，将原式化为，10(188)+再由二项展开式，即可求解出结果.8．已知函数，若函数的零点有两个或三个，则实数a 的取值()()1,0ln ,0x x e x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()()g x f x a =-范围为（）A ．B ．C ．D ．211,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭211,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】B【分析】将问题转化为直线与函数的图象有个或个交点的问题，利用导数分析函y a =()y f x =23数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得出实数的取值范围.()y f x =()y f x =a 【详解】时，，则，0x ≤()()1xf x x e =+()()2x f x x e '=+当时，，函数递增；()2,0x ∈-()0f x ¢>()y f x =当时，，函数递减，且此时. (),2x ∞∈--()0f x '<()y f x =()0f x <时，，，令，可得.0x >()ln x f x x=()21ln xf x x -'=()0f x '=x e =当时，，函数递增；()0,x e ∈()0f x ¢>()y f x =当时，，函数递减，且此时； (),x e ∞∈+()0f x '<()y f x =()0f x >所以极小值，极大值，， ()f x ()212f e =-=-()f x ()1f e e ==()01f =在且时，， 0x >0x →()f x →-∞函数的示意图如图所示，()y f x =所以当它与有个或个交点时，. y a =23211a e e-≤≤故选：B.二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（） ()ln xf x x=A ．在处的切线方程为B ．单调递增区间为()f x 1x =1y x =-(),e -∞C ．的极大值为D ．方程有两个不同的解()f x 1e ()2f x =-【答案】AC【分析】先求得（），然后分别求得曲线在处的切线方程、函数()21ln xf x x -'=0x >()f x 1x =的单调区间和极值，方程即解的个数问题可转化为函数与函数()f x ()2f x =-ln 2x x =-ln y x =的图象交点个数问题，据此可以作出判断.2y x =-【详解】（）， ()21ln xf x x -'=0x >因为，，所以在处的切线方程为，故A 正确； ()11f '=()10f =()f x 1x =1y x =-令，即，解之得，又因为， ()21ln 0xf x x-'=>1ln 0x ->x e <0x >所以的单调递增区间为，故B 错误； ()f x ()0,e 再令，即，解之得，所以的单调递减区间为，所以()21ln 0xf x x '-=<1ln 0x -<>x e ()f x (),e +∞在处取得极大值，极大值为，故C 正确；()f x x e =1()f e e=方程即，也即，函数与函数的图象只有一个交点，所()2f x =-ln 2xx=-ln 2x x =-ln y x =2y x =-以方程有一个解，故D 错误. ()2f x =-故选：AC .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数与方程的关系，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 10．已知，则（）()82801282x a a x a x a x -=++++ A ．B ． 802a =1281a a a +++= C ．D ．812383a a a a ++++= 12382388a a a a ++++=- 【答案】AD【分析】结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由，()82801282x a a x a x a x -=++++ 令得，A 选项正确.0x =802a =令得，B 选项错误.1x =801281281,12a a a a a a a ++++=+++=- 二项式展开式的通项公式为， ()82x -()()8888C 212C r rr r r r r x x --⋅⋅-=-⋅⋅⋅由此可知是负数，为正数，1357,,,a a a a 2468,,,a a a a 所以令得，=1x -80123456783a a a a a a a a a -+-+-+-+=，881234567832a a a a a a a a -+-+-+-+=-即，C 选项错误88123823a a a a +++=-+ 由，()82801282x a a x a x a x -=++++ 两边求导得， ()727123882238x a a x a x a x --=++++ 令得，所以D 选项正确. 1x =12382388a a a a ++++=- 故选：AD11．已知（e 为自然对数的底数），则（） 1e a b <<<A ． B ．C ．D ．b a a b <e e aba b >e e ba a a >e e bb a a <【答案】AD【分析】利用指数函数的单调性，可比较大小，然后将，，变形并构造函数,b a a a b a a b e e ab，利用导数判断其单调性，进而比较出，，的大小关系，由此可判断A ，B ，()ln xf x x=b a a b e e ab C ，D.【详解】因为，所以，，．1e a b <<<01b a a a a >>=01a b b >=10log log b b a b <=<对，，这三个数先取自然对数再除以，则，，ba ab ee abab ln ln ln b a b a a ab ab a==ln ln ln a b a b bab ab b ==,eln e 1ln e e e abab ==设，则，由，解得， ()ln x f x x=()21ln xf x x -'=()0f x ¢>0e x <<所以在上单调递增，故， ()f x ()0,e ()()()e f a f b f <<即，则，故， ln ln ln eea b a b <<e e ab b a a b <<e e ab a b a a a b <<<故选：AD ．12．已知函数，下列说法正确的是（） ()e xf x =()1ln22x g x =+A ．存在直线与，的图像分别交于A ，B 两点，使得在A 处的切线与在y m =()f x ()g x ()f x ()g x B 处的切线平行B ．若，恒成立，则正实数a 的最小值为1x ∀>()()122f ax ax xg x -≥-+1e C ．若，图像与直线分别交于A ，B 两点，则的最小值为 ()f x ()g x y m =AB 2ln 2+D ．对于，都存在零点 m R ∀∈()()()h x f x g x m =-+【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线平行可求出m ,判断A ，利用同构转化为，分离参数后求最值即可得解,判断B ，曲线上两点间距离，ln ax x ≥()ln x t x x=122e ln m AB m -=-构造函数求最小值可判断C ，利用导数判断函数的单调性得出极值，根据极()1n2e l 2xx h x m =--+值的正负可判断D.【详解】对于A ，假设存在满足题意，可，，，y m =()ln ,A m m 122e ,m B m -⎛⎫ ⎪⎝⎭()e xf x '=，，因为在在A 处与在B 处的切线平行所()()ln e 1ln mg x f m m x ='=='121212e 2e m m g --⎛⎫'= ⎪⎝⎭()f x ()g x 以有，即，得，故存在m 符合题意，故A 正确;1212em m -=122e 1m m -=12m =对于B ，不等式化为，令，则，所以在ln e ln e ln ax x ax x x x -≥-=-e x y x =-e1xy '=-e x y x =-上递增，故同构可得：，即的最大值，令，则，()0,∞+ln ax x ≥ln x a x≥()ln x t x x=()21ln xt x x-'=所以时，当时，所以，所以成立，故B()0,e x ∈()0t x '>()e,x ∈+∞()0t x <()()max 1e e t x t ==1e a ≥正确;对于C ，可知，，，令()ln ,A m m 122e ,m B m -⎛⎫ ⎪⎝⎭122e ln m AB m -=-()122ln e x x x -=-ϕ在上递增，且，当，，()12e12x x x -=-'ϕ()0,∞+102ϕ⎛⎫'= ⎪⎝⎭10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0x ϕ'<当，，所以，故C 正确;1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>()min 12ln 22x ϕϕ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭对于D ，因为，所以，令，存在使得()1n 2e l 2x x h x m =--+()1e xh x x ='-()10e x h x x=-='0x ，故在单调递减，在区间单调递增，的最小值为001e x x =()h x ()00,x ()0,x +∞()h x ，当时，不存在零点，故D 错误. ()0001ln 22e x x h x m =--+00e 1ln 22x x m >+-()h x 故选：ABC三、填空题13．函数的减区间是___． x y x e =-【答案】（或）()0,∞+[0,)+∞【分析】求解导函数，并求出与的解集，从而得函数的单调区间.0'>y 0'<y 【详解】由题意，函数的定义域为，，得，当时，；当R 10x y e '=-=0x =10x y e '=->0x <时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 10x y e '=-<0x >(),0∞-()0,∞+故答案为：.（或）()0,∞+[0,)+∞14．已知直线与曲线相切，则___________. 1y ax =-ln 2y a x =+=a 【答案】3【分析】设切点为，则，即求.()00,x y 0000012a a x y ax y alnx ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩【详解】对求导，得， ln 2y a x =+ay x'=设切点为，则，解得，()00,x y 0000012a a x y ax y alnx ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=+⎪⎪⎩00123x y a =⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：3.15．中国新冠疫苗研究路径有两种技术路线：一个是灭活疫苗，一个是腺病毒载体疫苗，其中在腺病毒载体疫苗研制过程中，科研者要依次完成七项不同的任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务D 、E 必须排在一起，则这七项任务的安排方案共有______种（用数字作答）【答案】624【分析】分三种情况：任务分别排在首位，第二位和第三位，再结合捆绑法与加法计数原理，得A 解.【详解】分三种情况：（1）任务排在首位，将捆绑在一起，与剩下任务全排列，有种排法；A DE 5252A A 240⋅=（2）任务排在第二位，先从除的任务中选一个安排在首位，再将捆绑在一起，与剩下任A DE DE务全排列，有种排法；142442A A A 192⋅⋅=（3）任务排在第三位，分两类：①在之前，有种；②在之后，有A DE A 4242A A 48⋅=DE A 种，共有48＋144=192种；232432A A A 144⋅⋅=由分类加法计数原理知，共有240+192+192=624种不同的排法. 故答案为：624.16．已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式()f x ()f x '()()0f x f x +'>R 的解集是____________． ()2e 21x f x +>()2e 3x f x --【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】构造函数，再将转化为，进而()()e x g x f x =()2e 21xf x +>()2e 3x f x --()()213g x g x +>-根据的单调性求解即可.()g x 【详解】令，则，所以在上单调递增，()()e xg x f x =()()()e 0x g x f x f x ''+>⎡⎤⎣⎦=()g x R 由，得，即，()2e 21xf x +>()2e 3x f x --()()213e 21e 3x x f x f x +-+>-()()213g x g x +>-所以，解得. 213x x +>-23x >所以不等式的解集是.()2e 21xf x +>()2e 3x f x --2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故答案为：.2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动． (1)共有多少种不同的选择方法？(2)如果至少有1位女生入选，且选出的这3位学生，分别去3个不同地方进行宣传，共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)20 (2)96【分析】（1）根据题意，利用组合数公式计算可得答案；（2）根据题意，利用间接法分析，计算选出的3人中没有女生的数目，然后再排序即可得答案.【详解】（1）根据题意，从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，是组合问题，其选择方法数为；36C 20=（2）根据题意，从6人中选出3人，其中没有女生入选的选择方法数为，34C 4=所以至少有1位女生入选的选择方法数为，20416-=再分别去3个不同地方进行宣传总的方法数为.3316A 96=18．已知函数的图象在点处的切线方程为()()322,f x x ax bx a b R =+++∈()()1,1M f 1230x y +-=．求a 、b 的值；()1求函数的单调区间； ()2()f x 求在的最值．()3()f x []2,4-【答案】（1），3a =-9b =-（2）增区间为，，减区间为； (),1-∞-()3,+∞()1,3-（3）最小值为，最大值为7．25-【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a ，b 的方程组，解方程可得a ，()1()f x b ；求得的导数，令导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；求得的()2()f x ()3()f x 极值和端点处的函数值，即可得到所求最值．【详解】函数的导数为，()1()322f x x ax bx =+++()2'32f x x ax b =++图象在点处的切线方程为， ()()1,1M f 1230x y +-=可得，， 3212a b ++=-39a b ++=-解得，；3a =-9b =-由的导数为，()2()32392f x x x x =--+()2'369f x x x =--可令，可得或；，可得， ()'0f x >3x >1x <-()'0f x <13x -<<则增区间为，，减区间为；(),1-∞-()3,+∞()1,3-由，可得，或，()3()'0f x =1x =-3x =则，，，，()17f -=()325f =-()20f -=()418f =-可得在的最小值为，最大值为7．()f x []2,4-25-【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查化简运算能力，属于中档题．19．在①第三项的二项式系数与第六项的二项式系数相等；②展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为；③、、的绝对值之和为；这三个条件中任选一个，补充在下面的问1270a 1a 2a 99题中，并作答.已知.()201221nn n x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+（1）求；n （2）求的值； 312232222n n a a a a +++⋅⋅⋅+（3）求的值；12323n a a a na +++⋅⋅⋅+【答案】条件选择见解析：（1）；（2）；（3）.7n =114【分析】设.()()21n f x x =-选①：（1）利用二项式系数的对称性可求得；7n =选②：（1）利用展开式中二项式系数的和与所有项的系数和差为可求得；1277n =选③：（1）求出，可得出关于的方程，即可解得；012a a a ++n 7n =（2）利用赋值法可得； ()312231022222n n a a a a f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭（3）求得，利用赋值法可得；()f x '()123231n a a a na f '+++⋅⋅⋅+=【详解】设.()()21nf x x =-选①：（1）由，则； 25n n C C =7n =选②：（1）由题知二项式系数和为，所有项系数和为，2n 1所以，所以；21127n -=7n =选③：（1）展开式通项为， ()()()12121n k k kk k n k n k k n n T C x C x ---+=⋅⋅-=⋅⋅-故，，，则，01a =12a n =()221a n n =-20121299a a a n ++=+=，所以；n N *∈ 7n =（2）， ()001a f ==- 712027102222a a a f a ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+= ⎪⎝⎭所以； ()371223*********a a a a f f ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-= ⎪⎝⎭（3）因为，()()727012721f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+故，()()62612372371421a a x a x a x f x x '+++⋅⋅⋅+==-因此，.()1237237114a a a a f '+++⋅⋅⋅+==20．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1) 求的值；(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【答案】(1)因为时，所以；(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：； 222()(3)[10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-，令得函数在(3,4)上递增，/2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----/()0f x =4x =在(4,6)上递减，所以当时函数取得最大值答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a 的方程即可求a..(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.⨯21．已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )－ax 2＋1，在其定义域上g (x )≤0恒成立，求实数a 的最小值；(2)若当a ＞0时，f (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求实数a 的取值范围.【答案】(1)-1(2)[)1,+∞【分析】（1）由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的最小值.()0g x ≤a a （2）先求得，然后对进行分类讨论，结合在区间上的最小值求得的取值范围.()'f x a ()f x []1,e a【详解】（1）在上恒成立，()()ln 210g x x a x =-++≤()0,∞+即在上恒成立， ln 12x a x+≥-()0,∞+设，， ()()ln 120x h x x x +=->()()'221ln 1ln x x h x x x-+==-所以在递增；在递减.()h x ()()()'0,1,0,h x h x >()()()'1,,0,h x h x +∞<，所以，即的最小值为.()()max 11h x h ==-1a ≥-a 1-（2）， ()()()()()'1211220,0ax x f x ax a x a x x --=-++=>>当时，在递增， 101,1a a<≤≥()f x []()()'1,e ,0,f x f x ≥所以，符合题意.()()min 12f x f ==-当，即时，在递减；在，递增. 11e a <<11e a <<()f x ()()'11,,0,f x f x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()'0,f x f x >所以，不符合题意. ()()min 112f x f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭当，即时，在递减， 1e a ≥10ea <≤()f x []()()'1,e ,0,f x f x ≤所以，不符合题意.()()()min e 12f x f f =<=-综上所述，的取值范围是.a [)1,+∞22．已知函数.()ln 1g x x mx =--（1）讨论的单调性；()g x （2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.()()f x xg x =(0,)+∞1x 2x 12x x <12ln ln 2x x +>【答案】（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在0m ≤()g x 0m >()g x 10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减（2）证明见解析 1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1），分，讨论即可； 1()mx g x x-='0m ≤0m >（2）由题可得到，故只需证，121212121212ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-====+-121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理. ()12x x <1121221ln 21x x x x x x -<⋅+【详解】由已知，， '1()mx g x x-=若，则在定义域内递增；0m ≤()g x若，则在上单调递增，在上单调递减. 0m >()g x 10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由题意，2()ln f x x x mx x =--0x >对求导可得()f x '()ln 2,0f x x mx x =->从而，是的两个变号零点，因此1x 2x ()f x ' 121212121212ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-====+-下证：， 121212ln ln 2x x x x x x ->-+()12x x <即证 1121221ln 21x x x x x x -<⋅+令，即证：， 12x t x =()(1)ln 22h t t t t =+-+(0,1)t ∈对求导可得，，，因为 ()h t '1()ln 1h t t t=+-(0,1)t ∈21()t h t t -''=01t <<故，所以在上单调递减，而，从而''()0h t <'()h t (0,1)'(1)0h ='()0h t >所以在单调递增，所以，即()h t (0,1)()(1)0h t h <=()0h t <于是12ln ln 2x x +>【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.。

高二数学第一次月考试卷及答案

高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。

广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷

广东省深圳市高级中学高中园2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．下列说法命题正确的是（）13．若()()1,0,1,0,2,2a b ==r r ，则14．圆224x y +=与圆22+4x y -方程为 .四、解答题15．在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()140,a x y a a +-+=ÎR .(1)若1a =，求过点()1,0且与直线l 平行的直线方程；(2)若直线l 与圆22:(2)(2)8C x y -++=相切，求a 的值.16．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，1190,60,BAD DAA BAA M Ð=°Ð=Ð=°为11A C 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c===uuu r uuu r uuur r r r .则1A P PB +的最小值为212+对于B ，当1m =时，BP BC l =uuu r uuu r 11//C 面1A BC ,故P 到平面1A BC 对于C ，当1l =时，1BP BC =uuu r uuu10,,2BP m æö=-ç÷èøuuu r ，1A P BP ×uuur uuu 对于D ，当12m =时，BP uuu r 所以P点轨迹为线段MN．设明；（2）先分别求解出平面AEC 和平面ABC 的一个法向量，然后根据法向量夹角的余弦值确定出法向量的夹角，再结合图形求解出二面角的大小.【详解】（1）法一：PA ^平面ABCD 且AC Ì平面,ABCD PA AC \^，又因为AB AC ^且,,PA AB A PA AB Ç=Ì平面P AB ，AC \^平面PAB ，PB ÌQ 平面,PAB AC PB \^.法二：由题意可知,AB AC PA ^^平面ABCD ，以A 为坐标原点，以AC 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，因为1P A AB AC ===，所以()()()()0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,1A B C P ，所以()()1,0,0,0,1,1AC PB ==-uuu r uuu r，即()1010010AC PB ×=´+´+´-=uuu r uuu r，因此AC PB ^uuu r uuu r，故可知AC PB ^.（2）因为底面ABCD 为平行四边形，所以,AB CD AC CD =^，故()1,1,0D -，设平面1A BD的法向量为n=令1x=，则2,1y z==-，所以设直线1AC和平面1A BD所成的角为。

广东省深圳市高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

广东省深圳市高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．（0，±2）D．（±2，0）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点位置以及c的值，由此可得其焦点坐标．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其焦点在y轴上，且c==2；则其焦点坐标为（0，±2），故选：C．2. 下列各式中，最小值等于2的是（）A. B. C. D.参考答案：D略3. 下列说法错误的是（）．A．平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；B．一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行；C．一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

D．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行。

参考答案：C 4. 将点M的极坐标化成直角坐标是( )A. B. C. (5,5) D. (－5,－5)参考答案：A本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A5. 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数参考答案：C6. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．3 B．C．D．2参考答案：D【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值=1=rd（d是切线长）∴d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故选D．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．7. 如下分组正整数对:第1组为第2组为第3组为第4组为依此规律,则第30组的第20个数对是( )A. (12,20)B. (20,10)C. (21,11)D. (20,12)参考答案：C【分析】本题首先可根据题意找出每一组以及每一个数对所对应的规律，要注意区分偶数组与奇数组的不同，然后根据规律即可得出第组的第个数对。

2023-2024学年广东省深圳高二下册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年广东省深圳高二下册第一次月考数学试题一、单选题1．设函数()f x 在1x =处的导数为2，则0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆（）A ．2-B ．2C ．23D ．6【正确答案】B【分析】根据导数的定义即可.【详解】()0(1)(1)lim 21x f x f f x∆→'+∆-==∆;故选：B.2．某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（）A ．7种B ．12种C ．4种D ．3种【正确答案】A【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.【详解】解:由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A3．抛物线24y x =的准线方程为A ．1x =B ．2x =C ．=1x -D ．2x =-【正确答案】C【分析】由抛物线标准方程知p ＝2，可得抛物线准线方程．【详解】抛物线y 2＝4x 的焦点在x 轴上，且2p=4,2p=1，∴抛物线的准线方程是x ＝﹣1．故选C ．本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．4．函数()25ln 4f x x x =--的单调递增区间是（）A ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-和5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0,3【正确答案】A【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.【详解】函数()25ln 4f x x x =--的定义域为(0,)+∞，()5252,0x f x x x x -'=-=>，当()250x f x x-'=>时，解得52x >，故函数()25ln 4f x x x =--的单调递增区间是5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选：A5．函数3()1216f x x x =--的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】C求出函数的单调区间得到函数的极值，即得解.【详解】由题得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，令()0f x '>得2x >或<2x -，令()0f x '<得22x -<<，所以函数的单调递增区间为(,2),(2,)-∞-+∞，减区间为(2,2)-.所以函数的极大值为(2)0f -=，极小值为(2)32f =-，当x →-∞时，0,y <当x →+∞时，0,y >所以函数的零点个数为2.故选：C方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接研究函数的性质画出函数的图象得解）；（3）方程+图象法“（令()=0f x 重新构造函数()()g x h x =，画出两个函数的图象得解）”6．已知正项数列{}n a 满足22n S n n =+，若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前n 项的和为（）A ．163n n -+B ．2263n n -+C ．69n n +D ．263n n +【正确答案】C【分析】由n a 和n S 的关系，利用公式()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩求出数列{}n a 的通项公式，可得到数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法求前n 项的和.【详解】22n S n n =+，当1n =时，113a S ==，当2n ≥时，221(2)(1)2(1)21n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，当1n =时，也满足，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，12311111111123557792123n b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111.232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭故选：C7．已知R 上的函数()f x 满足()13f =，且()2f x '<，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(,1)-∞B ．()3,+∞C ．()1,+∞D ．(2,)+∞【正确答案】C【分析】令()()21F x f x x =--，从而求导可判断导数()0F x '<恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当1x >时，()()10F x F <=，从而得到不等式()21f x x <+的解集．【详解】解：令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又()f x 的导数()f x '在R 上恒有()2f x '<，()()20F x f x ''∴=-<恒成立，()()21F x f x x ∴=--是R 上的减函数，又()()11210F f =--= ，∴当1x >时，()()10F x F <=，即()210f x x --<，即不等式()21f x x <+的解集为(1,)+∞；故选：C ．8．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则ab的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．[]1,0-【正确答案】A【分析】利用导数的几何意义可求得在(),ln t t t 处的切线方程，由此可用t 表示,a b ，得到ln 1a t b t +=-，设()()ln 10t g t t t+=->，利用导数可求得()g t 的值域，由此可得所求范围.【详解】设切点坐标为()(),ln 0t t t t >，()ln 1f x x '=+ ，()ln 1a f t t '∴==+，又()ln f t t t =，ln b t t at t ∴=-=-，ln 1ln 1a t t b t t++∴==--，令()()ln 10t g t t t +=->，则()2ln tg t t'=，则当()0,1t ∈时，()0g t '<；当()1,t ∈+∞时，()0g t '>；()g t ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()11g t g ∴≥=-，又当0t →时，()g t ∞→+，()[)1,g t ∴∈-+∞，即ab的取值范围为[)1,-+∞.故选：A.二、多选题9．函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的有（）A ．2x =-为函数()f x 的一个零点B ．12x =为函数()f x 的一个极大值点C ．函数()f x 在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()1f -是函数()f x 的最大值【正确答案】BC【分析】利用导函数的图象分析函数()f x 的单调性，由此可判断各选项的正误.【详解】由()f x 的导函数()f x '的图象可知，函数在(),2-∞-、1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、()2,+∞上单调递增，故当2x =-或2x =时，()f x 取得极小值；当12x =时，()f x 取得极大值，故BC 正确，AD 错误.故选：BC.10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（）A ．AB 与CD 平行B ．CD 与GH 是异面直线C ．EF 与GH 成60︒角D ．CD 与EF 平行【正确答案】CD【分析】根据正方体的平面展开图得到直观图，然后判断即可.【详解】该正方体的直观图如下：AB 与CD 是异面直线，故A 错；CD 与GH 相交，故B 错；因为该几何体为正方体，所以EF CD ，三角形GHD 为正三角形，直线GH 与直线GD 所成角为60︒，则EF 与GH 所成角为60︒，故CD 正确.故选：CD.11．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，第一轮被传染的0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数04R =，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（）A ．第三轮被传染人数为16人B ．前三轮被传染人数累计为80人C ．每一轮被传染的人数组成一个等比数列D ．被传染人数累计达到1000人大约需要35天【正确答案】CD【分析】根据已知条件，可转化为等比数列问题，结合等比数列前n 项和公式，即可求解．【详解】由题意，设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是首项14a =，公比4q =的等比数列，故C 正确；所以4nn a =，当3n =时，33464a ==，故A 错误；前三轮被传染人数累计为334(14)118514S ⨯-+=+=-，故B 错误；当4n =时，444(14)1134114S ⨯-+=+=-，当3557n ==时，由554(14)111365100014S ⨯-+=+=>-，故D 正确.故选：CD12．对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f f f <<D ．若()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【正确答案】ACD【分析】根据导函数确定()f x 的单调性极值及最值情况，就能确定ABC 的正误，对于D ，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A 选项，()2ln x f x x =，定义域为()0,∞+，()312ln xf x x -'∴=，令()0f x '=，解得x当0x <<()0f x ¢>，∴函数()f x在(上单调递增，当x >()0f x '<，∴函数()f x在)+∞上单调递减，∴函数在x =12fe =，故A 对，B 选项，01x <<Q 时()0f x <，()10f =，max 0(2)1f ef x ==>，当1x >时()0f x >，如下图所示：∴函数()f x 有且只有唯一一个零点，故B 错，C 选项，当x >()f x为单调递减函数，f f ∴<，ln 2(2)(24ff f ===<，f f f ∴<<，故C 对，D 选项，()21f x k x <-，故()221ln 1x k f x x x +>+=，由于函数在()0,∞+上恒成立，2maxln 1x k x +⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，设()2ln 1x g x x +=，定义域为()0,∞+，则()32ln 1x g x x --'=，设()0g x '=，解得x =()0,()x g x g x '∴∈>单调递增，()),0,()x g x g x '∈+∞<单调递减，()max 22e e g x g e ∴==-=，故2ek >，故D 对.故选：ACD.三、填空题13．函数()af x x x=-在1x =处的切线与直线2y x =平行，则a ＝______．【正确答案】1【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.【详解】因为()a f x x x=-，所以()2a f x x =1+'，所以函数()a f x x x=-在1x =处的切线斜率为()11'=+f a ，因为该切线与直线2y x =平行，故12a +=，解得1a =故114．函数()cos sin f x x x x =-在区间[]π,0-上的最大值为______．【正确答案】π【分析】利用导数，判断函数()f x 的单调性，可得结果.【详解】由()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-，当[]π,0x ∈-时，sin 0x ≤，所以()sin 0f x x x =-≤，则()f x 在[]π,0-单调递减，所以()max ()ππf x f =-=.故答案为.π15．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点，点P 为C 的上顶点，且123F PF π∠=，12F PF S=C 的方程是______．【正确答案】22143x y +=【分析】根据椭圆的性质，即可求解.【详解】解：123F PF π∠=⇒2,a c =12122F PF Sc b =⨯⨯=b =，又222a b c =+，即22234c c c=+，解得：21c =，故224,3a b ==，所以C 的方程是22143x y +=，故22143x y +=16．已知函数()22e xf x x a =-（0a >且1a ≠）的极大值和极小值分别为()1f x ，()2f x ，且12x x <，则a 的取值范围是______．【正确答案】21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由()0f x '=有两个根，转化为函数14e y x =和2ln x y a a =的图象有两个不同的交点，结合切线以及导数求得a 的取值范围.【详解】()4e ln x f x x a a '=-，所以方程4e ln 0x x a a -=的两个根为1x ，2x ，即函数14e y x =和2ln x y a a =的图象有两个不同的交点，因为()f x 的极大值和极小值分别为1()f x ，2()f x ，故当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，1y 的图象在2y 的下方，当1(,)x x ∈-∞、2(,)x +∞时，()0f x '>，1y 的图象在2y 的上方；易知01a <<，设过原点且与2y 图象相切的直线l 斜率为k ，则4e k <，设l 与2ln xy a a =切于点()0,ln x x a a ，而22ln x y a a '=，所以002ln ln x x a ak a a x ==，解得01ln x a=，所以12ln ln 4e a k a a =⨯<，因为1ln e a a =，即2ln 4a <，又01a <<，所以2ln 0a -<<，所以21,1e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．故21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭求解与曲线的切线有关问题，易错点是没有分清已知点是曲线上的点还是曲线外的点.两种情况下，切线都可以通过导数求得，关注点有切点和斜率两个.极值点的导数为0，反之却不成立.四、解答题17．已知函数()2ln f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求函数()f x 在(()0,0a a ⎤>⎦上的最大值.【正确答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）答案见解析.【分析】（1）利用导数'()0f x >，直接解得()f x 的单调递增区间；（2）分类讨论：当02a <<时，()f x 在(]0,a 上单调递增，此时()2max ()ln f x f a a a ==-；当2a ≥时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，可以求出最大值.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，2112'()2xf x x x x-=-=，令'()0f x >，得2120x x ->，∵0x >，∴0x <故()f x 的单调递增区间为⎛⎝⎭.（2）由（1）知，()f x 在⎛ ⎝⎭上是增函数，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上是减函数.∴当02a <<时，()f x 在(]0,a 上单调递增，此时()2max ()ln f x f a a a ==-；当2a ≥时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，此时max 111ln ln 222222()f f x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=.综上所述，当02a <<()f x 的最大值为2max ()ln f x a a =-；当2a ≥时，()f x 的最大值为11ln 2222f ⎛=-- ⎝⎭.18．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()4011035C x x x =≤≤+，设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求()f x 的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．【正确答案】(1)800()635f x x x =++()110x ≤≤(2)当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；（2）利用导数求得最小值．【详解】（1）每年能源消耗费用为40()35C x x =+，建造费用为6x ，()()800206635f x C x x x x ∴=+=++．()110x ≤≤．（2）()()22400'635f x x =-+，令()0f x '=得5x =或253x =-（舍)．∴当15x ≤<时，()0f x '<，当510x <≤时，()0f x '>．()f x ∴在[1，5)上单调递减，在[5，10]上单调递增．∴当5x =时，()f x 取得最小值f （5）70=．∴当隔热层修建5cm 厚时，总费用最小，最小值为70万元．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB 为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，PM MD =．(1)求证：PB ∥平面ACM ；(2)求平面MBC 与平面DBC 的夹角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）连接BD ，借助三角形中位线可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.【详解】（1）连接BD ，与AC 交于点O ，在PBD △中，因为O ，M 分别为BD ，PD 的中点，则BP OM ∥，又BP ⊄平面ACM ，OM ⊂平面ACM ，所以BP ∥平面ACM .（2）设E 是AB 的中点，连接PE ，因为PAB 为正三角形，则PE AB ⊥，又因为平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，则PE ⊥平面ABCD ，过点E 作EF 平行于CB ，与CD 交于点F ，以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0E ，()1,0,0B，(P ，()1,2,0C ，()1,2,0D -，122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,2⎛=-- ⎝⎭ CM ，()0,2,0BC =uu u r ，设平面CBM 的法向量为(),,n x y z =，则30,2220,n CM x y n BC y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令1x =，则(n = ，因为PE ⊥平面ABCD ，则平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = ，所以||cos ,2n m m n n m⋅== ，所以平面MBC 与平面DBC 所成角的大小为30°．20．已知数列{}n a 是等差数列，且12312a a a ++=，816a =.(1)若数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n 项，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，试求出数列{}n b 的通项公式；(2)令3n n n c b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .【正确答案】(1)4n b n =，*n ∈N ；(2)()12133n n S n +=-⋅+.【分析】(1)利用等差数列性质求出数列{}n a 公差及通项公式，由2n n b a =求解作答.(2)由(1)的结论求出n c ，再用错位相减法计算作答.【详解】（1）等差数列{}n a 中，2123312a a a a =++=，解得24a =，公差28282a d a -==-，则()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=，因此，2224n a n n =⨯=，依题意，24n n b a n ==，所以数列{}n b 的通项公式4n b n =，*n ∈N .（2）由(1)知，343n n n n c b n =⋅=⋅，则()21438344343n n n S n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，因此，()2313438344343n n n S n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，()()231113243333434(13)413363143n n n n n n n S n n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⋅-⋅=--⋅=⨯-1(42)36n n +=--⋅-，所以()12133n n S n +=-+.21．点P 到定点()1,0F 的距离和它到定直线4x =的距离之比为1:2.(1)求点P 的轨迹方程.(2)记点P 的轨迹为曲线C ,若过点P 的动直线l 与C 的另一个交点为Q ,并且满足:原点O 到l 的距离为32,弦长2PQ =,求直线l 的方程.【正确答案】(1)22143x y +=.(2)32y =±.【分析】(1)利用直译法即可求解轨迹方程；(2)先设出直线方程,利用弦长2PQ =及点到直线l 的距离为32两个条件即可解出直线方程.【详解】（1）设(),P x y ,点P 到定直线4x =的距离为d .由题意可得:12PF d =,即12=,整理化简得:22143x y +=.即点P 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,P x y Q x y .当直线l 的斜率不存在时,由原点O 到l 的距离为32,由对称性不妨设直线l :32x =.所以()()1122,,,P x y Q x y 满足2232143x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:33,,2424P Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,所以2PQ =2≠（舍去）.当直线l 的斜率存在时,可设:l y kx m =+.因为原点O 到l 的距离为32,32=,即()22491m k =+,则()()1122,,,P x y Q x y 满足22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 可得:()2223484120k x kmx m +++-=,()()2222223442412644481914k m k m k m +-∆=-=++,因为()22491m k =+,所以22481921440m k ∆=-++>恒成立.则21122228412,3434km m x x x x k k --+=⋅=++.所以12PQ x -==因为()22491m k =+,所以2P Q ==.化简得:42560k k +=,解得:0k =,所以32m =±,直线l 的方程为:32y =±.综上所述:直线l 的方程为:32y =±.方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；(3)求证.2021202020202021>【正确答案】(1)()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减(2)12ea ≥(3)证明见解析【分析】（1）求导数，根据导数的正负性分类讨论进行求解即可；（2）利用常变量分离法，构造新函数，结合导数的性质、函数的最值进行求解即可；（3）利用分析法，结合（2）中函数ln ()x g x x =的单调性进行证明即可.【详解】（1）()1122ax f x a x x -'=-=.当0a ≤时，()120ax f x x-'=>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，令()120ax f x x '-==，解得12x a =，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()120ax f x x -'=>；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()120ax f x x -'=<；所以()f x 10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，若()0f x ≤恒成立，则ln 20x ax -≤恒成立，即ln 2x a x≥恒成立，令ln ()x g x x =，只需max 2()a g x ≥，又22(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==，令()0g x '=得e x =，(0,e)x ∈时，()0g x '>，则ln ()x g x x=单调递增；(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，则ln ()x g x x=单调递减；所以max 12()(e)e a g x g ≥==，解得：12ea ≥；（3）要证明2021202020202021>，只需证明20212020ln 2020ln 2021>，即2021ln 20202020ln 2021>，即只需证明ln 2020ln 202120202021>，由（2）可知：ln ()x g x x=在(e,)x ∈+∞单调递减，所以(2020)(2021)g g >，故ln 2020ln 202120202021>得证.从而2021202020202021>得证.关键点点睛：利用常变量分离法，结合构造函数法进行求解证明是解题的关键.。

广东省深圳市数学高二下学期理数第一次月考模拟卷

广东省深圳市数学高二下学期理数第一次月考模拟卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·东莞模拟) 若集合A={x|x＞1}，B={x|x（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A . [3，+∞）B . （0，3）C . （1，3）D . （0，1）2. （2分）若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A . -1B . 0C . 1D . 23. （2分）下列各式中正确的个数为（）①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=②sin220°+cos250°+sin20°cos50°=③sin215°+cos245°+sin15°cos45°=④sin280°+cos270°-sin80°cos70°=A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）(2017·资阳模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·太原模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A .B .C .D .6. （2分）数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（）A . -7B . -8C . -22D . 277. （2分） (2017·乌鲁木齐模拟) 先把函数y=sin（x+φ）的图象上个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数关于y轴对称，则φ的值可以是（）A .B .C . -D . -8. （2分） (2018高二上·南阳月考) 过点的直线与抛物线相交于两点，且，则点到原点的距离为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·延安期中) 设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11 ，则a0+a1+a2+…+a11的值为（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 210. （2分）(2015高三上·唐山期末) 已知集合M={（x，y）|x+y﹣2≤0，x≥0，y≥0}，集合N={ }，若点P∈M，则P∈M∩N的概率为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·山东模拟) 已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF=θ且，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B .C .D . （2，+∞）12. （2分）命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（）A . 无解B . 两解C . 至少两解D . 无解或至少两解二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）(2018·河北模拟) 已知，则 ________．14. （1分）(2017·青浦模拟) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是________．15. （2分） (2019高一下·大庆月考) 中，、、成等差数列，∠B=30°，，那么b =________.16. （2分）已知轴截面为正方形 EFGH 的圆柱的体积为2π，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点 G的最短距离是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高三上·大连期末) 设函数 .（1）求函数在上的单调递增区间；（2）设的三个角所对的边分别为，且，成公差大于零的等差数列，求的值.18. （15分）(2017·上饶模拟) 水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），[1，1.5），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；（2）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为[1，1.5）和[1.5，2）之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设X为用水量吨数在[1，1.5）中的获奖的家庭数，Y为用水量吨数在[1.5，2）中的获奖家庭数，记随机变量Z=|X﹣Y|，求Z的分布列和数学期望．19. （15分）如图，矩形ABCD和△ABP所在的平面互相垂直，AB=2AD=2，PA=PB．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若多面体ABCDP的体积是，求直线PD与平面ABCD所成的角．20. （5分） (2020高二上·吉林期末) 已知椭圆C：的左焦点为F（﹣1，0），离心率为，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G 横坐标的取值范围．21. （10分）(2013·浙江理) 已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．22. （5分）(2013·江苏理) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．23. （10分）(2018·雅安模拟) 已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

广东深圳盐田高级中学2024年高二10月月考数学试题+答案

一、单选题（共40分，每题5分）12024年10月深圳市盐田高级中学高二年级月考数学试卷．在空间直角坐标系中，点-2,1,4)(关于y 轴对称的点坐标是（） A ．-2,1,4)(B ．--2,1,4)(C ．---2,1,4)(D ．-2,1,4)(2．已知正方体''''-ABCD A B C D 的棱长为1，且AB a =，AD b =，AA c '=，则)()4+223a b c a b c -⋅-+=(（） A ．1B ．2C ．3D ．-13．平行六面体-ABCD A B C D 1111中，O 为AC 11与B D 11的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c 表示BO ，则（） A ．12BO a b c =-+B ．12BO a b c =+-C ． 1BO a b c =-++2D ．1122BO a b c =-++4．若平面αβ,的法向量分别为()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则α与β的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定5．已知()()(1,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=123)，若{},,n n n 123不能构成空间的一个基底，则=m （） A ．1B ．3C ．5D ．76．已知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，则b a-的最小值是（）A ．1BC D 7．四棱锥-P ABCD ，底面是平行四边形，(2,1,3),(2,1,0),(3,1,4)AB AD AP =-=-=-，则这个四棱锥的底面积为（） AB ．C ．25 D ．58．已知直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，倾斜角分别为α1，α2，则“->ααcos 012()”是“120k k >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共18分，每题6分）9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（） A ．向量a 与向量b 的夹角为π6B ．()c a b ⊥-C ．向量a 在向量b 上的投影向量为110,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b 共面 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项一定正确的是（）A ．132k k k <<B ．321ααα<<C ．231cos s c s co o ααα<<D ．321sin n s n si i ααα<<11．下列命题正确的是（）A ．若p 是平面α的一个法向量，,AB 是直线b 上不同的两点，则b α的充要条件是0p AB ⋅=B ．已知,,A BC 三点不共线，对于空间中任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知()()1,1,2,0,2,3a b =-=，若ka b +与2a b -垂直，则34k =-D ．已知ABC 的顶点分别为()()()1,1,2,4,1,4,3,2,2A B C --，则AC 边上的高BD 的三、填空题（共15分，每题5分）12. 已知空间中的单位向量,,a b c ，其两两夹角均为60︒，则2a b c +-=_______ 13.如图,在平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC 将△ACD 折起, 当二面角B-AC-D 的大小是600时，则B 、D 的两点间距离为_______.14．下列说法正确的是．①直线()24y ax a a =-+∈R 恒过定点()2,4-；②若直线l 50my ++=的倾斜角为π3，则实数m 的值为1-； ③已知直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，则直线l 的方程为60x y +-=或2y x =；④设过原点的直线l 的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，得到直线1l 的倾斜角是45α+︒或135α-︒．四、解答题（共77分）15．（13分）如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证：11DA ED ⊥; （2）当1=2AE AB 时，求直线1DA 与平面1CED 成角的大小.16．（15分）在平面直角坐标系中有()0,3A ，()3,3B ，()2,0C ， (1)求直线AC 的一般方程；(2)在三角形ABC 中，求AB 边的高线方程； (3)若直线x m =将△ABC 面积两等分，求m 的值17．（15分）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都为2,∠A 1AC=60°, 且平面A 1ACC 1⊥平面ABC ,点P ,Q 又分别是AB ,A 1C 1的中点, (1)求证：//PQ 平面11BCC B ； (2) 求点B 1到平面1A PQ 的距离.18. （17分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 190,1ABC AB BC BB ∠=︒===，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1BB 上的动点，且1AE BF B G ==． (1)求证：11A F C G ⊥；(2)若平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13，求BF ．19．（17分）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，底面ABCD 为正方形，11π3D DA D DC ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内.(1)若AC 中点为O ，求证：1D O ⊥平面ABCD ；(2)若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值.1．A 2．C【分析】根据空间向量的数量积公式及运算律计算即可.【详解】根据题意知,,,90a b a c b c ===，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，所以原式=8a ⃗2−3b ⃗⃗2−2c ⃗2=8−3−2=3故选：C 3．D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解；【详解】如图：由平行六面体的性质可得 ()()11111222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++221111，故选：D. 4．B【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系.【详解】∵()()2,1,0,1,2,0a b =-=--，则()()()2112000a b ⨯-+--==⋅⨯+⨯，∴a b ⊥，故⊥αβ.故选：B.5．A【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{},,n n n 123不能构成空间的一个基底，,,n n n ∴123共面，∴存在λμ,，使n n n λμ=+123，即⎩=+⎪⎨=-+⎪⎧-=+λμλμλm 1293210，解得⎩=⎪⎨=⎪⎧=-μλm 131，故选：A. 6．D【分析】根据空间向量的坐标运算，表示出b a -的坐标，再根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知()()1,1,0,2,,a t b t t =-=，故()()2,,1,1,0(1,1,)b a t t t t t t -=--=+-，则(1)t b a +==-b a -的最小值是故选：D 7．B【分析】平行四边形面积公式，S =AB ∙AD ∙sin∠BAD ，利用向量数量积，求解cos∠BAD ，进而转换成sin∠BAD【详解】利用向量的数量积公式转换的夹角公 cos∠BAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|∙|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√14∙√5=√5√14，sin∠BAD =√1−514=√914S =AB ∙AD ∙sin∠BAD =√14∙√5∙√914=3√5故选：B ．【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题． 8．C【分析】由题意首项得12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，两角差的余弦公式即可得解.【详解】由题意两直线均有斜率，所以12ππ,0,,π22αα⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，若取122ππ,33αα==，则有()1202ππ1332cos cos αα⎛=⎫-= ⎪⎭->⎝，但122ππtan tan 3033k k ==-<；若12121212sin sin tan tan 0cos cos k k αααααα==>，又12sin sin 0αα>，所以12cos cos 0αα>，而()121212cos cos cos sin sin 0αααααα-=+>，综上所述，“()12cos 0αα->”是“120k k >”的必要而不充分条件. 故选：C. 9．BCD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =，可得221cos ,211b a ==++，则向量a 与向量b 的夹角为π3，故A 错误；因为()()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=，所以()c a b ⊥-，即B 正确；根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b b b⋅⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭，所以C 正确；由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+，向量c 与向量a ，b 共面，所以D 正确.故选：BCD 10．ABC【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得.【详解】由图可得1320k k k <<<，321ααα<<，cosα1<0<cosα2<cosα3故ABC 正确.故选：ABC. 11．BCD【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A 的结论，利用共面向量的充要条件判断B 的结论，利用向量垂直的充要条件判定C 的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高BD 的值判定D 的结论．【详解】若p 是平面α的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ，B ，当b α⊂时，即使0p AB ⋅=，也不能说明//b α，故A 错误；若212555OP OA OB OC =++，则212()()()555OP OA OB OP OC OP -=-+-，所以12AP PB PC =+，所以,,,P A B C 四点共面，故B 正确；由题意可得()(),2,23,22,0,1ka b k k k a b +=-++-=-，若ka b +与2a b -垂直，则()()22230ka b a b k k +⋅-=++=，解得34k =-，故C 正确；由题意可得(5,0,2),(4,3,0)AB AC ==-，则AC 边上的高BD 的长即为点B 到直线AC 的距离22AC BD AB AB AC ⎛⎫ ⎪=-⋅= ⎪⎝⎭D 正确．故选：BCD. 12. √5【分析】利用模长公式，集合数量积的计算，平方后再开根号【详解】|a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗|=√(a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗)2=√a ⃗2+4b ⃗⃗2+c ⃗2+4a ⃗∙b ⃗⃗−2a ⃗∙c ⃗−4b ⃗⃗∙c ⃗=√1+4+1+4×12−2×12−4×12=√513．√2【分析】理解异面直线夹角与方向向量之间的关系，结合基底转换和模长公式即可计算结果.【详解】根据垂直关系，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角，即为二面角B-AC-D 的平面角，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+1+1+2×(−12)=√214．②③④【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④.【详解】直线()24R y ax a a =-+∈即直线()()24R y a x a =-+∈，当2x =时，4y =，即直线()24R y ax a a =-+∈恒过定点()2,4，①错误；直线√3x +my +5=0，倾斜角为π3，斜率为k =−√3m =tan π3=√3，所以m =−1,②正确；因为直线l 过点()2,4P ，且在x ，y 轴上截距相等，当截距都为0时，直线l 方程为2y x =，当截距不为0时，可设直线方程为1x ya a +=，则241a a +=，即6a =，则直线方程为60x y +-=，所以直线l 的方程为2y x =或60x y +-=，③错正确.若倾斜角小于135°，逆时针旋转，倾斜角加45°，即α+45°；若倾斜大于135°，逆时针旋转45°，α＋45°大于180°，倾斜角为45°-（135°-α）=α-135° 故答案为：②③④ 15．（1）证明见解析；（2）12；【分析】（1）连接1AD ，通过证明1DA ⊥平面1AED ，则可证明11DA ED ⊥；（2）建立空间直角坐标系，根据AEAB的值，计算平面1CED 的法向量，结合点到面的距离公式即可得出答案【详解】（1）如图所示：连接1AD ，因为AB ⊥平面11ADD A ，所以1AB DA ⊥，所以1AE DA ⊥，又因为四边形11ADD A 为正方形，所以11AD DA ⊥，且1AE AD A =，所以1DA ⊥平面1AED ，所以11DA ED ⊥；（2）建立空间直角坐标系如图所示：E （1，12，0）设平面1CED 一个法向量为(),,n x y z =，又()()()()110,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1D A C D ，所以()11,0,1DA =，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−12,0), CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，因为100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，{x −12y =0−y +z =0,所以取x =1,所以法向量n ⃗⃗=(1,2,2) 所以|cos 〈DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n⃗⃗〉|=|√2∙3|=√22，所以向量夹角为45°，所以线面夹角为45° 16．（1）3x+2y-6=0;；（2）x=2；（3）m =√3【分析】（1）斜截式求直线方程，化简即可（2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解（3）先由两直线的交点坐标的求法求得,D E 的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意的，直线AC 在x 轴和y 轴的截距分别为2和3，由截距式方程x2+y3=1，化简得3x +2y −6=0（2）直线AB 的斜率k AB =3−33−0=0 ，根据垂直关系可得，边AB 上的高线，斜率不存在，由于高线过点C （2，0），所以边AB 上的高线方程为x=2 （3）设直线x m =与边AB ，AC 分别交于点,D E ．由92ABCS=，得94AEDS =．又直线AC 的方程为123x y +=，而点E 在边AC 上，故可设3,32m E m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因此，3||02mDE =>． 139224AEDm Sm =⋅⋅=，m ∴=17.（1）略；（2）2√155【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系；（2）构建空间直角坐标系，计算平面A 1PQ 的法向量，结合点到面的距离公式进行求解【详解】（1）取A 1B 1的中点M ，连接MQ ，MP在△A1B 1C 1中，A 1Q=QC 1，A 1M=MB 1，∴QM ∥B 1C 1在四边形MPBB 1中，MB 1=PB 且MB 1∥PB ，∴四边形MPBB 1是平行四边形，∴MP ∥BB 1，∵BB 1∩B 1C 1=B 1，BB 1⊆面BCC 1B 1，B 1C 1⊆面BCC 1B 1又∵MP ∩MQ=M ，MP ⊆面MQP ，MQ ⊆面MQO∴面MQP ∥面BCC 1B 1又∵PQ ⊆面MQP ，∴PQ ∥面BCC 1B 1（2）取AC 中点O ，连接A 1O ，BO△ABC 为等腰三角形，∴BO ⊥AC∵面ACC 1A 1⊥面ABC ，面ACC 1A 1∩面ABC=AC ，∴BO ⊥面ACC 1A 1，∴BO ⊥A 1O在△A 1OA ，∠A 1AO=60°，A 1A=2，OA=1，易得AC ⊥A 1O以O 为原点，OA ，OB ，OA 1分别为x,y,z 轴，以建立空间直角坐标系 A 1(0,0,√3)，A(1,0,0)，B(0,√3,0)，C(-1,0,0)，P(12,√32,0)，Q(-1,0,√3)，∵AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴B 1(-1,√3,√3)，∴A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,0,0)，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,√32,−√3)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√3,0)设平面A 1PQ 的法向量为 n ⃗⃗=（x,y,z ），∴{n ⃗⃗∙A 1Q⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x =0n ⃗⃗∙A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12x +√32y −√3z =0，设y=2，取 n ⃗⃗=（0,2,1）d =|n ⃗⃗∙A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||=|2√3√5=2√15518.(1)证明过程见解析；(2)12【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出110A F C G ⋅=，得到垂直关系；（2）在（1）的基础上，得到10A F EG ⋅=，故1A F EG ⊥，从而得到线面垂直，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，结合平面11AA B B 的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出m ，从而求出BF .【详解】（1）因为1B B ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1B B AB ⊥，1B B BC ，又90ABC ∠=︒，故1,,B B AB BC 两两垂直，以B 为坐标原点，1,,BA BB BC 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为11AB BC BB ===，1AE BF B G ==，设1AE BF B G m ===，01m ≤≤，所以()()()()111,1,0,0,0,,0,1,1,0,1,0A F m C G m -，则()()()()()()110,0,1,1,01,1,,0,1,00,1,10,,1A F m m C G m m =-=--=--=--，则()()111,1,0,,10A F C G m m m m ⋅=--⋅--=-=，故11A F C G ⊥；（2）()1,0,0E m -，则()()()0,1,01,0,01,1,0EG m m m m =---=--，则()()11,1,1,1,0110A F EG m m m m m ⋅=--⋅--=-+-=，则1A F EG ⊥，又1C G EG G ⋂=，1,C G EG ⊂平面1EGC ，所以1A F ⊥平面1EGC ，故()11,1,A F m =--为平面1EGC 的一个法向量，又平面11AA B B 的法向量为()0,0,1n =，则平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为(1111,1,cos ,A F nA F n A F n m ⋅--==⋅又平面1EGC 与平面11AA B B 的夹角的余弦值为13， 13=，解得12m =，故12BF =. 19.(1)略【分析】（1）利用几何关系求出1OD OD ==22211+OD OD DD =，得到线线垂直关系，进而得到面面垂直关系；（2）构造平面//DFH 平面1DAE ，从而确定点P 必在DH 上，然后利用等面积法求解即可；或者利用空间向量结合二次函数求最值.【详解】（1）连接OD 、1OD 、1D C ，11π2,3D D DA D DA ==∠=， 12D A ∴=，同理12D C =，O 是正方形对角线AC 中点，1D O AC ∴⊥，且AC =1OD OA OD ∴===即22211+OD OD DD =，则1OD OD ⊥，∵AC=AD,11π3D DA D DC ∠=∠=∴△ADD 1≌△CDD 1，∴AD 1=CD 1，∴△ACD 1为等腰△，∴D 1O ⊥AC ∵AC ∩DO=O ，AC ⊆面ABCD ，DO ⊆面ABCD ∴D 1O ⊥面ABCD（2）法一：取BC 中点H ，连接HD ，HF ，DF ，易得//,DA E EF F DA =，故四边形EFDA 是平行四边形， //DF AE ∴，又DF ⊄ 平面1,D AE AE ⊂ 平面1D AE ，//DF ∴平面1D AE ，同理11////FH BC D A ， FH ⊄平面 11D AE D A ⊂，平面1D AE ， //FH ∴平面 1D AE ，且FH DF F ⋂=都在面DFH 内，故平面//DFH 平面1D AE ，则点P 必在DH 上，且当CP DH ⊥时取得CP 的最小长度，DH CD ==由等面积法得：1122CP DH DC CH ⨯=⨯，解得CP =故CP法二：取1,,DA DC DD 为一组空间基底，则11D A DD DA =-+，112AE DC DD =+， //FP 平面1D AE ，1FP mD A nAE ∴=+，代入整理得12n FP m DD mDA nDC =++（-），故1111222n CP FP CF FP DD m DD mDA nDC =+=+=+++（-），动点P 在平面ABCD 内，1022n m ∴+=-， 122n m ∴=+，故2||4CP mDA nDC =+=（）当且仅当15n =-时，||CP 法三：由第一问知11,,D O AC D O OD OD AC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则1D （，D ），(0,C，），(B ， 11DD CC =，1(C ∴，(F ，同理11DD BB =，1(B ∴-，(E ，1(0,D A =，1(D E =，设平面1D AE 的法向量为(,,)n x y z=，则11000022n DA n D E x z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=--=⎪⎪⎩⎩，令1x =-，得(1,3,3)n =-，设点(,,0)Pm n，(FP m n =，0n FP⋅=，即3m n =故||CP m =当且仅当n =||CP。

2021-2022学年广东省深圳高级中学高二(下)期中数学试卷解析版

2021-2022学年广东省深圳高级中学高二(下)期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x (x -3)<0}，B ={0，1，2，3}，则A ∩B =()A.{0，1，2，3}B.{0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}2.设随机变量X 的概率分布列为：X 1234P13m1416则P (|X -2|≤1)=()A.14B.16C.56D.5123.已知等比数列{a n }的公比为q ，且16a 1，4a 2，a 3成等差数列，则q 的值是()A.5B.4C.3D.24.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f (x )，若函数f (x )在x =1处取得极大值，则函数y =-xf (x )的图象可能是()A. B. C. D.5.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡垃圾活动．参加活动的甲、乙两班的人数之比为3:2，其中甲班中女生占13，乙班中女生占12，则该社区居民遇到一位进行捡垃圾活动的同学恰好是女生的概率是()A.25B.35C.13D.126.若过点(1,2)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x +y -9=0的距离为()A.655B.5C.455D.2557.如图，在三棱锥P -ABC 的平面展开图中，AC =3，AB =1，AD =1，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =()A.13B.34C.25D.358.已知实数a ，b ，c 满足a <2，a ln a -21n 2=a -2，b <2，b ln b -2ln 2=b -2，c >12，c ln c -121n 12=c -12，则()A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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广东省深圳高级中学高二下学期第一次月考（数学）
一、选择题（每题5分，共12题）
1、设*
,N y x ∈,且x+y ≤3,则直角坐标系中满足条件的点M(x,y)共有 ( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2、图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二本有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（）种不同的取法。

（A ）1 （B ）16 (C)64 (D)39
3、邮递员手里有5封信，面前有3个邮箱，准备把所有的信都投到邮箱去，则他共有（）种投递方法。

（A ）15 (B)8 (C) 125 (D)243
4、已知X ～B （n,p ）,EX=8,DX=1.6,则n 与p 的值分别为（）（A ）10与0.8(B).4 (C) 10与0.2(D)100与0.8
5、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（） A ．
()2
14
2610
C A 个Ｂ．
2
4
26
10A A
个
Ｃ．
()2
14
2610C 个Ｄ．
2
4
2610A 个
6、把9个相同的小球放入其编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有( )
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．16种 7、若n 为正奇数，则n
n
n n n n n C C C +⋯++'+--221777被9除所得余数是（）
A 、0
B 、3
C 、－1
D 、8
8.一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为ａ，第二道工序的次品率为ｂ，则产品的正品率为：
A.1-ａ-ｂＢ.1-ａ·ｂ
Ｃ.（1-ａ）·（1-ｂ）Ｄ.1-（1-ａ）·（1-ｂ）
9．若()()2631-+ax x 的展开式中，7x 项的系数为36，则a ＝（
）
A ．3
B ．2-
C ．3或2-
D ．2或3-
10、对于标准正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)=
2
2
21
x e
-
,下列说法不正确的是（）
A 、f(x)为偶函数；
B 、f(x)的最大值是
21
，
C 、f(x)在x>0时是单调减函数；
D 、f(x)的图像关于x=1对称。

11．从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球
()0,,m n m n N <≤∈,共有1m
n C +种
取法。

在这
1
m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，一类是取出的1m -个白球
和1个黑球，共有01101111
m m m
n n n C C C C C C -+⋅+⋅=⋅，即有等式：
11
m m m
n n n C C C -++=成立。

试根据上述思想化
简下列式子：
1122
m m m k m k
n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅++⋅=。

(1,,,)k m n k m n N ≤<≤∈
A 、Cn+1k
B 、Cn+km
C 、Cn+mk
D 、Cn+1m 12、如下面“第一、二大题的答案填写表格”，共有矩形（）个 A 、36 B 、240 C 、360 D 、450 二、填空题（每题5分，共4题）
13、某同学去书城买书，发现了4本喜欢的不同的书，决定至少要卖其中一本，则不同的购买方案有（）种；
14、某种动物由出生算起活上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是（）
15、从1，2,3,4,5,6，7，8，9，10十个数中,任取两个数分别做对数的底数与真数,可得到（）不同的对数值.
16、、设
n
x
x )13(3+
的展开式中的各项系数之和为P ，而它的二项式系数之和为S 。

若P+S=272，那么展
开式中2
-x 项的系数是（）
请将第一、二大题的答案填在如下表格，否则不给分！
三．解答题: 本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（12分）某校高二年级某班的数学课外活动小组中有7名男生，3名女生，现从中选5人参加全国数学联赛，用X 表示其中女生人数，求X 的分布列。

18、（12分）某射击运动员射击一次，射中目标的概率为0.8，他连续射击5次，且每次射击是否射中目标相互之间没有影响
（1）求在这5次射击中，恰好射中目标2次的概率；
（2）求在这5次射击中，至少射中目标2次的概率。

19、（15分）在二项式
n
3
3
)
x
2
1
x
(
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
(1)求展开式的第四项；
(2)求展开式的常数项；
（3）系数最大的项．
15）7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
（1）甲在队伍外端；（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲不在队伍两头，乙不排当中（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲、乙之间有且只有两人。

21、（16分）在一个盒子中放有标号分别为1，2，3，4的四个小球，现从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，它们的标号分别为x,y，记X=|x-y|
(1)求随机变量X的分布列
（2）求随机变量X的数学期望
（3）设“函数f(x)=nx2-Xx-1(x为正整数)在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率。

参考答案
第一、二大题
第三大题
17、解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3……………….(2分)
P(X=0)=C75C30/C105=1/12 P(X=1)= C74C31/C105=5/12
P(X=1)= C73C32/C105=5/12 P(X=1)= C72C33/C105=1/12。

（10分）
所以X的分布列为。

（12分）
18、解：（1）由题意，射中次数X~B(5,0.8),则在这5次射击中，恰好射中2次的概率为
P(X=2)=C52(1-0.8)3=0.0512………………(6分)
（2）在这5次射击中，至少射中2次的概率为
P(X>=2)=1-P(X=0)-P(X=1)
=1-C510.8×0.24-C500.25
=0.99328…………………..(12分)
19、解：由已知：Cn0+Cn2(1/2)2=2Cn1(1/2)
解这个方程得n=8或n=1（舍去）。

（2分）
（1）展开式的第4项为：(-1/2)3C83x2/3=-7x2/3…………(5分)
（2）常数项：C84(-1/2)4=35/8…………………………(9分)
（3）记第r项系数为tr,第k项系数的绝对值最大
则：t k≥tk+1,tk≥tk-1
即：C8K|-1/2|K≥C8K+2|k+1 C8k|-1/2|k≥C8K-2|k-1 …….(12分)
解得：2≤k≤3
所以k=2时最大为：C82(-1/2)2=7x4/3…………………………………….(15分)
：（1）A22A66=1440……………………………….(2分)
（2）C51A66=3600………………………………(4分)
（3）A33A55=7…………………………..(6分)
（4）C51C21A55=1…………………………(9分)
（5）A53A44=1440………………………………..(12分)
（6）A52A22A44=960……………………………..(15分)
21、解：(1)由题意，随机变量
ξ的所以可能取值为0，1，2，3
ξ=0时共有4种情况，ξ=1时共有6种情况，ξ=2时共有4种情况，ξ=3时有2种情况因此，P(
ξ=0)=1/4 ,P(ξ=1)=3/8, P(ξ=2)=1/4 P(ξ=3)=1/8
则
ξ的分布列为：
…………..(4分)
（2）数学期望为：
E(
ξ)=0×1/4+1×3/8+2×1/4+3×1/8=5/4 ………….(8分)
（3）∵函数
1
)
(2-
-
=x
nx
x
fξ在（2，3）有且只有一个零点
∴①当f(2)=0时，
ξ=2n-0.5，舍去
②当f(3)=0时，
ξ=3n-1/3，舍去…………..(10分) ③当f(2)． f(3)<0时，2n-0.5＜
ξ＜3n-1/3
当n=1时，3/2 ＜
ξ＜8/3
∴
ξ=2
当n≥2时，ξ
＞2n-1/2≥3.5 。

（14分）
∴当n=1时,P(A)=P(ξ
=2)=1/4
当n≥2时，P(A)=0 。

（16分）。