代数综合题中考课件-
2018北京二次函数代数综合题例讲(解析版)
二次函数的图象和性质重点落实什么能力？2019北京中考26题重点题型------------ 必须会!!!!!!例1 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠的顶点为A ．（1）求顶点A 的坐标；（2）过点(0,5)且平行于x 轴的直线l ，与抛物线2443(0)y ax ax a a =-+-≠交于B ，C 两点．①当2a =时，求线段BC 的长；②当线段BC 的长不小于6时，直接写出a 的取值范围．代数变形能力：2443(0)y ax ax a a =-+-≠通过配方转化为2(2)(0)3y a x a =-≠- 几何作图能力：考点： 二次函数的性质 分析：（1）配方得到y=ax2-4ax+4a-3=a （x-2）2-3，于是得到结论；（2）①当a=2时，抛物线为y=2x2-8x+5，如图．令y=5得到2x2-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax2-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论． 解答：(1)∵y =ax 2−4ax +4a −3=a (x −2)2−3， ∴顶点A 的坐标为(2,−3)；(2)①当a =2时,抛物线为y =2x 2−8x +5，如图。
令y =5，得 2x 2−8x +5=5，解得,x 1=0,x 2=4， ∴a2a4线段BC 的长为4， ②令y =5,得ax 2−4ax +4a −3=5， 解得,x 1=a a a 222 ,x 2=aaa 22-2∴线段BC 的长为a2a4 ∵线段BC 的长不小于6，∴a2a4≥6，∴0<a ≤8/9. 例2 已知：二次函数1422-++=m x x y ，与x 轴的公共点为A ，B .（1）如果A 与B 重合，求m 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点； ①当1=m 时，求线段AB 上整点的个数； ②若设抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数为n ，当1<<8n 时，结合函数的图象，求m 的取值范围.代数变形能力：1422-++=m x x y 通过配方转化为22(1)3y x m =++-*考点：抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征 分析：（1）当A 、B 重合时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时△=0，从可求出m 的值． （2）①m=1代入抛物线解析式，然后求出该抛物线与x 轴的两个交点的坐标，从而可求出线段AB 上的整点；②根据二次函数表达式可以用带m 表达出两根之差，根据1<两根之差<8，即可解题． 解答：(1)∵A 与B 重合，∴二次函数y =2x 2+4x +m −1的图象与x 轴只有一个公共点， ∴方程2x 2+4x +m −1=0有两个相等的实数根， ∴△=42−4×2(m −1)=24−8m =0， 解得：m =3.∴如果A 与B 重合，m 的值为3.(2)①当m =1时,原二次函数为y =2x 2+4x +m −1=2x 2+4x ， 令y =2x 2+4x =0,则x 1=0,x 2=−2， ∴线段AB 上的整点有(−2,0)、(−1,0)和(0,0). 故当m =1时，线段AB 上整点的个数有3个。
2020年中考代数综合第12讲：以二次函数为主导的等腰三角形的存在性问题
2020 年中考代数综合第12 讲：以二次函数为主导的等腰三角形的存在性问题【案例赏析】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【案例赏析】4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【参考答案】1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y 轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M 点的坐标，由于C 是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM 时，P 位于CM 的垂直平分线上．求P 点坐标关键是求P 的纵坐标，过P作PQ⊥y 轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ 中CP＝x，OM 的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P 的坐标．②当CM＝MP 时，根据CM 的长即可求出P 的纵坐标，也就得出了P 的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P 的坐标；∴解得：． （3） 根据轴对称﹣最短路径问题解答；（4） 由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EF ⊥x 轴于 F ，S 四边形 BOCE ＝S △BFE +S 梯形 FOCE ．直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长．在△ BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长．如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值．即可求出此时 E 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与 x 轴交于点 A （1，0）和点 B （﹣3， 0），，∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3；（2）如答图 1，∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴其对称轴为 x ＝＝﹣1，∴设 P 点坐标为（﹣1，a ），当 x ＝0 时，y ＝3，∴C （0，3），M （﹣1，0）∴当 CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得 a ＝，∴P 点坐标为：P 1（﹣1，）；∴当 CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得 a ＝±， ∴P 点坐标为：P 2（﹣1，）或 P 3（﹣1，﹣）；∴当 CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得 a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点 P ，其坐标为 P （﹣1，）或 P （﹣1，﹣）或 P （﹣1，6）或 P （﹣1， ）；，解得 （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：如答图 2，点 C （0，3）关于对称轴 x ＝﹣1 的对称点 C ′的坐标是（﹣2，3），连接 AC ′，直线 AC ′与对称轴的交点即为点 Q ．设直线 AC ′函数关系式为：y ＝kx +t（k ≠0）．将点 A （1，0），C ′（﹣2，3）代入，得，所以，直线 AC ′函数关系式为：y ＝﹣x +1． 将 x ＝﹣1 代入，得 y ＝2，即：Q （﹣1，2）；（4）过点 E 作 EF ⊥x 轴于点 F ，设 E （a ，﹣a 2﹣2a +3）（﹣3＜a ＜0）∴EF ＝﹣a 2﹣2a +3，BF ＝a +3，OF ＝﹣a∴S 四边形 BOCE ＝BF •EF + （OC +EF ）•OF＝ （a +3）•（﹣a 2﹣2a +3）+ （﹣a 2﹣2a +6）•（﹣a ）＝﹣ a 2﹣ a + ＝﹣ （a + ）2+ ，∴当 a ＝﹣时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为． 此时，点 E 坐标为（﹣）．【点评】本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B 三点，连接OA、OB、AB，线段AB 交y 轴于点C．已知实数m、n（m ＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0 的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标；②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）①过点D 作y 轴的平行线交OB 于点H，△BOD 面积＝×DH×x B，即可求解；②分OP＝PC、OP＝OC、PC＝OC 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B 的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+ x；（2）将点A、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP 的表达式为：y＝﹣x；①过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD 面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+ x+x）＝﹣x2+ x，∵，故△BOD 面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC 时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC 时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解一元二次方程、图形的面积计算等，其中（2）②要注意分类求解，避免遗漏．3.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O．过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）．（1）求字母a，b，c 的值；（2）在直线x＝1 上有一点，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得a，b，c 的值．（2）过P 作直线x＝1 的垂线，可求P 纵坐标，知道M、P、F 三点坐标，就能求出三角形各边的长．（3）存在，Rt△PNH 中，利用勾股定理建立起y 与t 的关系式，推出t 的值，即可得知存在这样的点．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点为C（1，1）且过原点O，可得﹣＝1，＝1，c＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝0．（2）由（1）知抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x，故设P点的坐标为（m，﹣m2+2m），则M点的坐标（m，），∵△PFM 是以PM 为底边的等腰三角形∴PF＝MF，即（m﹣1）2+（﹣m2+2m﹣）2＝（m﹣1）2+（﹣）2∴﹣m2+2m﹣＝或﹣m2+2m﹣＝﹣，①当﹣m2+2m﹣＝时，即﹣4m2+8m﹣5＝0∵△＝64﹣80＝﹣16＜0∴此式无解②当﹣m2+2m﹣＝﹣时，即m2﹣2m＝﹣∴m＝1+ 或m＝1﹣Ⅰ、当m＝1+时，P点的坐标为（1+，），M点的坐标为（1+，）Ⅱ、当m＝1﹣时，P点的坐标为（1﹣，），M点的坐标为（1﹣，），经过计算可知PF＝PM，∴△MPF 为正三角形，∴P点坐标为：（1+，）或（1﹣，）．（3）当t＝时，即N 与F 重合时PM＝PN 恒成立．证明：过P 作PH 与直线x＝1 的垂线，垂足为H，在Rt△PNH 中，PN2＝（x﹣1）2+（t﹣y）2＝x2﹣2x+1+t2﹣2ty+y2，PM2＝（﹣y）2＝y2﹣y+，P 是抛物线上的点，∴y＝﹣x2+2x；∴PN2＝1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+，∴1﹣y+t2﹣2ty+y2＝y2﹣y+ ，移项，合并同类项得：﹣y+2ty+ ﹣t2＝0，∴y（2t﹣）+（﹣t2）＝0 对任意y 恒成立．∴2t﹣＝0 且﹣t2＝0，∴t＝，故t＝时，PM＝PN 恒成立．∴存在这样的点．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象的对称轴问题，判定三角形是正三角形的方法，综合性强，能力要求极高．4.如图，直线y＝﹣x+4 与x 轴交于点B，与y 轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点，与x 轴另一交点为A．点P 以每秒个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N，连接MN 交BC 于点Q，当＝时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．【分析】（1）求直线y＝﹣x+4 与x 轴交点B，与y 轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．（2）根据点B、C 坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x 轴于点E，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB＝t 求得BE＝PE＝t，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证△MPQ∽△ NCQ，故有，把用t 表示的MP、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值．（3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3 种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP ＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD ＝45°，进而得AE＝ME，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD ＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠ CDF 进而得CF＝CD．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF＝CD，解方程即得到t 的值．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4∴C（0，4）当y＝﹣x+4＝0 时，解得：x＝4∴B（4，0）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过B，C 两点∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°∴OB＝OC∴∠OBC＝∠OCB＝45°∵ME⊥x 轴于点E，PB＝t∴∠BEP＝90°∴Rt△BEP 中，sin∠PBE＝∴BE＝PE＝PB＝t∴x M＝x P＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，y P＝PE＝t∵点M 在抛物线上∴y M＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t∴MP＝y M﹣y P＝﹣t2+4t∵PN⊥y 轴于点N∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°∴四边形ONPE 是矩形∴ON＝PE＝t∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t∵MP∥CN∴△MPQ∽△NCQ∴∴解得：t1＝，t2＝4（点P 不与点C 重合，故舍去）∴t 的值为（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE∴∠BPE＝∠PBE＝45°∴∠MPD＝∠BPE＝45°DG ＝①若 MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45°∴∠DMP ＝90°，即 DM ∥x 轴，与题意矛盾②若 DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45°∵∠AEM ＝90°∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0 时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若 MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记 AM 与 y 轴交点为 F ，过点 D 作 DG ⊥y 轴于点 G∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线 AM 解析式为 y ＝ax +m∴解得：∴直线 AM ：y ＝tx +t∴F （0，t ）∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t∵tx +t ＝﹣x +4，解得：x ＝∴DG ＝x D ＝∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45°∴CD ＝∴4﹣t ＝解得：t ＝ ﹣1综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1 或 t ＝ ﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．5.已知抛物线y＝mx2和直线y＝﹣x+b都经过点M（﹣2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线y＝﹣x+b 与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点．（1）求m、b 的值；（2）当△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sin∠BOP 的值．【分析】（1）根据点M 的坐标，利用待定系数法可求出m，b 的值；（2）由（1）可得出抛物线及直线AB 的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，设点P的坐标为（x，x2），结合点A，M的坐标可得出PA2，PM2的值，再利用等腰三角形的性质可得出关于x 的方程，解之即可得出结论；（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，由点P 的坐标可得出PN，PO 的长，再利用正弦的定义即可求出sin∠BOP 的值．【解答】解：（1）将M（﹣2，4）代入y＝mx2，得：4＝4m，∴m＝1；将M（﹣2，4）代入y＝﹣x+b，得：4＝2+b，∴b＝2．（2）由（1）得：抛物线的解析式为y＝x2，直线AB 的解析式为y＝﹣x+2．当y＝0 时，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0），OA＝2．设点P的坐标为（x，x2），则PA2＝（2﹣x）2+（0﹣x2）2＝x4+x2﹣4x+4，PM2＝（﹣2﹣x）2+（4﹣x2）2＝x4﹣7x2+4x+20．∵△PAM 是以AM 为底边的等腰三角形，∴PA2＝PM2，即x4+x2﹣4x+4＝x4﹣7x2+4x+20，整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴点P的坐标为（﹣1，1）或（2，4）．（3）过点P 作PN⊥y 轴，垂足为点N，如图所示．当点P 的坐标为（﹣1，1）时，PN＝1，PO＝＝，∴sin∠BOP＝＝；当点P 的坐标为（2，4）时，PN＝2，PO＝＝2 ，∴sin∠BOP＝＝．∴满足（2）的条件时，sin∠BOP 的值的值为或．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，b的值；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，找出关于x的方程；（3）通过解直角三角形，求出sin∠BOP的值．6.抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB 的垂线交PB 于点E，交x 轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF 的面积为5 时，求点P 的坐标；（3）当△PCF 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；（2）确定PB、CE 的表达式，联立求得点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2 ﹣m）（2﹣﹣2）＝5，即可求解；（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CF＝PF 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得：函数PB 的表达式为：y＝﹣mx+ ，∵CE⊥PE，故直线CE 表达式中的k 值为，将点C 的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE 的表达式为：y＝，解得：x＝2﹣，＝故点F（2﹣，0）， S△PCF×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，解得：m＝5 或﹣3，故点P（2，﹣3）或（2，5）；（3）由（2）确定的点F 的坐标得：CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），②当CP＝PF 时，同理可得：m＝，③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．7．如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M 以每秒个单位长度的速度沿B→C→D 运动（M 不与点B、点D 重合），设运动时间为t（秒）．（1）求经过A、C、D 三点的抛物线的解析式；（2）点P 在（1）中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P 的坐标；（3）当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF⊥x 轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；（4）点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H，与y 轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；（2）由已知易得点P 为AB 的垂直平分线与抛物线的交点，点P 的纵坐标是1，则有 1 ＝﹣﹣x+2，即可求P；﹣ ）2+ ；（4）设点 Q （m ，0），直线 BC 的解析式 y ＝x +2，直线 AQ 的解析式 y ＝﹣（x +2） +2，求出点 K （0，），H （﹣，），由勾股定理可得 OK 2＝，OH 2＝+，HK 2＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可．【解答】解：（1）设函数解析式为 y ＝ax 2+bx +c ， 将点 A （﹣2，2），C （0，2），D （2，0）代入解析式可得，∴y ＝﹣ ﹣ x +2；（2）∵△PAM ≌△PBM ，∴PA ＝PB ，MA ＝MB ，∴点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB ＝2，∴点 P 的纵坐标是 1， ∴1＝﹣ ﹣ x +2， ∴x ＝﹣1+ 或 x ＝﹣1﹣，∴P （﹣1﹣，1）或 P （﹣1+，1）；（3）CM ＝t ﹣2，MG ＝ CM ＝2t ﹣4， MD ＝4 ﹣（BC +CM ）＝4 ﹣（2+t ﹣2）＝4﹣ t ，MF ＝MD ＝4﹣t ，∴BF ＝4﹣4+t ＝t ，∴ ，2+ ；当t＝时，S 最大值为；（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝x+2，直线AQ 的解析式y＝﹣（x+2）+2，∴K（0，），H（﹣，），∴OK2＝，OH2＝+ ，HK2＝+ ，①当OK＝OH 时，＝+ ，∴3m2+12m+8＝0，∴m＝﹣2+ 或m＝﹣2﹣；②当OH＝HK 时，+ ＝+ ，∴m2+4m+8＝0，∴m 无解；③当OK＝HK 时，＝+ ，∴m2+4m﹣8＝0，∴m＝﹣2+2 或m＝﹣2﹣2；综上所述：Q（﹣2+2 ，0）或Q（﹣2﹣2，0）或Q（﹣2+ ，0）或Q（﹣2﹣，0）【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．8.已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且＝m，试确定满足条件的点P 的个数．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能．分三种情形①当DE＝DF 时，②当DE＝EF 时，③当DF＝EF 时，分别求解即可．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD 的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．【解答】解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF 时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时 E 与B 重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF 时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF 时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△BEF∽△ADE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE 的长为5 或时，△CFE 为等腰三角形．（3）如图2 中，连接BD，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH⊥AB 于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+ ×3×（n﹣2）﹣×4 则S△PBD×3＝﹣（n﹣4）2+ ，∵﹣＜0，∴n＝4 时，△PBD 的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P 的个数有4 个，当m＝时，满足条件的点P 的个数有3 个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A、D 之间的一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，PG⊥y 轴，交抛物线于点G，过点G 作GF⊥x 轴于点F，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的横坐标；（3）如图2，连接AD、BD，点M 在线段AB 上（不与A、B 重合），作∠D M N＝∠D B A，MN 交线段AD 于点N，是否存在这样点M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1），即可求解；（2）PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2 （PE+PG），即可求解；（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，则点D（﹣2，4）；（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），则PE＝﹣m2﹣m+ ，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG 的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+ ﹣4﹣2m）＝﹣（m+ ）2+ ，∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG 周长最大，此时，点P 的横坐标为﹣；（3）∵∠DMN＝∠DBA，∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠ADB，∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，∴∠NMA＝∠MDB，∴△BDM∽△AMN，，而AB＝6，AD＝BD＝5，①当MN＝DM 时，∴△BDM≌△AMN，即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；②当NM＝DN 时，则∠NDM＝∠NMD，∴△AMD∽△ADB，∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，而，即＝，解得：AN＝；③当DN＝DM 时，∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，∴∠DNM＞∠DMN，∴DN≠DM；故AN＝1 或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似和全等、等腰三角形性质等知识点，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，AB＝4，交y 轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）连接BC，E 是线段OC 上一点，E 关于直线x＝1 的对称点F 正好落在BC 上，求点F 的坐标；（3）动点M 从点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度向点B 运动，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t 的值；②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）将A、B 关坐标代入y＝﹣x2+bx+c 中，即可求解；（2）确定直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，根据点E、F 关于直线x＝1 对称，即可求解；（3）①△AOC 与△BMN 相似，则，即可求解；②分OQ＝BQ、BO＝BQ 、OQ＝OB 三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1））∵点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝﹣x2+bx+c 中，得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设直线BC 的解析式为y＝mx+n，则有：，解得，∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，∵点E、F 关于直线x＝1 对称，又E 到对称轴的距离为1，∴EF＝2，∴F 点的横坐标为2，将x＝2 代入y＝﹣x+3 中，得：y＝﹣2+3＝1，∴F（2，1）；（3）①如下图，连接BC 交MN 于Q，MN＝﹣4t2+4t+3，MB＝3﹣2t，△AOC 与△BMN 相似，则，即：，解得：t＝或﹣或1（舍去、﹣），故：t＝1；②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3﹣2t），∵△BOQ 为等腰三角形，∴分三种情况讨论，第一种，当OQ＝BQ 时，∵QM⊥OB∴OM＝MB∴2t＝3﹣2t∴t＝；第二种，当BO＝BQ 时，在Rt△BMQ 中∵∠OBQ＝45°，∴BQ＝，∴BO＝，即3＝，∴t＝；第三种，当OQ＝OB 时，则点Q、C 重合，此时t＝0而t＞0，故不符合题意综上述，当t＝或秒时，△BOQ 为等腰三角形．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第31页（共31页）。
2020年中考代数综合第2讲：二次函数图象与线段公共点问题
2020 年中考代数综合第 2 讲：二次函数图象与线段公共点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【专项突破】6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1 y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．13.已知：直线l：y＝x+2与过点（0，﹣2），且与平行于x轴的直线交于点A，点A关于直线x＝﹣1 的对称点为点B．（1）求A，B 两点的坐标；（2）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线y＝﹣x2+bx+c 的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2 个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．16.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y＝x﹣1 交于点A，点A 关于直线x＝1 的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c 经过点A，B．（1）求点A，B 的坐标；（2）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．17.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求点A 和顶点D 的坐标；（2）将点D 向左平移4 个单位长度，得到点E，求直线BE 的表达式；（3）若抛物线y＝ax2﹣6 与线段DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 与y 轴交于点C．（1）试用含m 的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D．若m＞0，CD＝8，求m 的值；（3）已知A（2k，0），B（0，k），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1 只有一个公共点时，直接写出k 的取值范围．19.直线y＝﹣3x+3 与x 轴、y 轴分别父于A、B 两点，点A 关于直线x＝﹣1 的对称点为点C．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线y＝mx2+nx﹣3m（m≠0）经过A、B、C 三点，求抛物线的表达式；（3）若抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A，B 两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围．20.在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2 的对称轴是直线x＝1．（1）用含a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n 的值．21.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（2，2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．（1）求抛物线F的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）当抛物线F 与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．参考答案与试题解析1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）将抛物线在直线y＝a 上方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；（2）图形M 与线段AB 恰有两个公共点，y＝a 要在AB 线段的上方，当函数经过点A 时，AB 与函数两个交点的临界点；【解答】解：（1）当a＝0时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 A（0，﹣3），∵将点A 向右平移4 个单位长度，得到点B．∴B（4，﹣3）；（2）当函数经过点A 时，a＝0，有三个交点．∵图形M 与线段AB 恰有两个公共点，∴y＝a 要在AB 线段的上方，∴a＞﹣3∴﹣3＜a＜0，当a＝1 时，y＝x2﹣2x+a﹣3 沿着y＝1 翻折，此时，图形M 与线段AB 恰有两个公共点．综上所述：﹣3＜a＜0 或a＝1．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣mx+n．（1）当m＝2 时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2 或x2＞4 ；（2）已知点P（﹣1，2），将点P向右平移4个单位长度，得到点Q．当n＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．【分析】（1）①把m＝2 代入抛物线解析式，利用x＝﹣，求出对称轴，然后把顶点横坐标代入，即可用含n 的式子表示出顶点的纵坐标；②利用抛物线的对称性，及开口向上，可知离对称轴越远，函数值越大，从而可解；（2）把n＝3代入，再分抛物线经过点Q，抛物线经过点P（﹣1，2），抛物线的顶点在线段PQ 上，三种情况分类讨论，得出相应的m 值，从而得结论．【解答】解：（1）①∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣2x+n．∵x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当线x＝1 时，y＝1﹣2+n＝n﹣1，∴顶点的纵坐标为：n﹣1．②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，x＝﹣2 到x＝1 的距离为3，∴点A（﹣2，y1），B（x2，y2）都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是x2＜﹣2或x2＞4，故答案为：x2＜﹣2 或x2＞4．（2）∵点P（﹣1，2），向右平移4个单位长度，得到点Q．∴点Q的坐标为（3，2），∵n＝3，抛物线为y＝x2﹣mx+3．当抛物线经过点Q（3，2）时，2＝32﹣3m+3，解得；当抛物线经过点P（﹣1，2）时，2＝（﹣1）2+m+3，解得m＝﹣2；当抛物线的顶点在线段PQ 上时，＝2，解得m＝±2．结合图象可知，m 的取值范围是m≤﹣2 或m＝2 或．故答案为：m≤﹣2 或m＝2 或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的对称性和抛物线与线段交点个数的问题，属于中等难度的题目．3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0 时，抛物线与y 轴交于点A，将点A 向左平移4 个单位长度，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）抛物线与直线y＝a 交于M、N 两点，将抛物线在直线y＝a 下方的部分沿直线y＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M．①求线段MN 的长；②若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．【分析】（1）求出A（0，﹣3），即可得到B（﹣4，﹣3）；（2）令x2+2x+a﹣3＝a 即可求出MN 的长；（3）顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x ﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，由此可知在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，y＝a 要在线段AB 的下方，a＜﹣3，故﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【解答】解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3），∴B（﹣4，﹣3）；（2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3 与直线y＝a 交于M、N 两点，∴x2+2x+a﹣3＝a 即x2+2x﹣3＝0，∴MN＝4；②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为（﹣1，a+4），当a+4＝﹣3 时，a＝﹣7，此时图形M 与线段AB 恰有两个公共点，当a＝﹣6 时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6，y＝x2+2x﹣9 关于y＝﹣6 翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣4，当x＝0 时，y＝﹣4，当a＝﹣6 时，图形与y＝﹣6 有三个交点，∴在﹣6≤a＜﹣7 时，图形与y＝a 有三个交点，∴y＝a 要在线段AB 的下方，∴a＜﹣3，∴﹣6＜a＜﹣3 且a＝﹣7．【点评】本题考查二次函数的图象与性质；能够画出M 图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）和点A（0，﹣3），将点A 向右平移2 个单位，再向上平移5 个单位，得到点B．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线C1 的对称轴；（3）把抛物线C1 沿x 轴翻折，得到一条新抛物线C2，抛物线C2 与抛物线C1 组成的图象记为G，若图象G 与线段AB 恰有一个交点时，结合图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B 的坐标；（2）根据抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）可以求得该抛物线的对称轴；（3）根据翻折的性质和二次函数的性质可以求得a 的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）∵点A（0，﹣3），将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B，∴点B的坐标为（2，2）；（2）∵抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴是直线x＝﹣＝1；（3）当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点A（0，﹣3）时，此时﹣3a＝﹣3，得a＝1，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＜3，点B 在抛物线C2 下方，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 没有交点，当抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a 过点（0，﹣2）时，﹣3a＝﹣2，得a＝，∵对称轴是直线x＝1，∴当x＝2 时，y＝2，点B 在抛物线C2 上，此时抛物线C1 与线段AB 一个交点，抛物线C2 与线段AB 有一个交点，∴a 的取值范围是；同理可得，当抛物线C2：y＝﹣ax2+2ax+3a 过点A（0，﹣3）或（0，﹣2）时，可以求得a＝﹣1 或a＝﹣，∴a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣，由上可得，a 的取值范围是﹣1≤a＜﹣或．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．5.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）求点A，B 的坐标；（2）点C，D在x轴上（点C在点D的左侧），且与点B的距离都为2，若该抛物线与线段CD 有两个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）求出x＝0 时y 的值与y＝0 时x 的值即可得答案；（2）分m＞0 和m＜0 两种情况，结合函数图象可得．【解答】解：（1）由题意，当x＝0时，y＝2．∴A（0，2）．∵y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2+2﹣m，∴对称轴为直线x＝1．∴B（1，0）．（2）由题意，C（﹣1，0），D（3，0）．①当m＞0 时，结合函数图象可知，满足题意的抛物线的顶点须在x 轴下方，即2﹣m＜0．∴m＞2．②当m＜0 时，过C（﹣1，0）的抛物线的顶点为E（1，）．结合函数图象可知，满足条件的抛物线的顶点须在点 E 上方或与点E 重合，即2﹣m≥．∴m≤．综上所述，m 的取值范围为m＞2 或m≤．【点评】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝2x﹣3 与y 轴交于点A，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l，直线l 与直线y＝2x﹣3 交于点C．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）根据题意分别求出点A、B、C 的坐标；（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3 时；②当n＝3 时；③ 当0＜n＜3 时，抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0）与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣3与y轴交于点A（0，﹣3），∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y＝3，∵直线y＝2x﹣3 与直线l 交于点C，∴点C坐标为（3，3），（2）∵抛物线y＝nx2﹣4nx+5n（n＞0），∴y＝nx2﹣4nx+4n+n＝n（x﹣2）2+n（n＞0）∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，n），∵点B（0，3），点C（3，3），①当n＞3 时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC 无公共点；②当n＝3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3 时，抛物线最小值为n，与线段BC 有两个公共点；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点B，则3＝5n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有一个公共点B；如果抛物线y＝n（x﹣2）2+n 经过点C，则3＝2n，解得n＝，由抛物线的对称轴为直线x＝2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC 有两个公共点；综上所述，当≤n＜或n＝3 时，抛物线与线段BC 有一个公共点．【点评】本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n 的不等式组是解题的关键．7.已知：过点A（3，0）直线l1：y＝x+b 与直线l2：y＝﹣2x 交于点B．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，求抛物线的表达式；（3）直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C，D 两点，当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，求 a 的取值范围．【分析】（1）将点A 的坐标代入直线l1，求出其函数表达式，联立直线l1、l2 表达式成方程组，解方程组即可得出点B 的坐标；（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，由抛物线的顶点坐标即可得出y＝a（x﹣1）2﹣2，再根据点C 的坐标利用待定系数法即可得出结论；（3）根据两直线相交，求出点C、D 的坐标，将其分别代入y＝a（x﹣1）2﹣2 中求出a 的值，由此即可得出抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围．【解答】解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y＝x+b中，0＝3+b，解得：b＝﹣3，∴直线l1：y＝x﹣3．联立直线l1、l2 表达式成方程组，，解得：，∴点B的坐标为（1，﹣2）．（2）设抛物线y＝ax2+bx+c 的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（1，﹣2），∴y＝a（x﹣1）2﹣2，∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A，∴a（3﹣1）2﹣2＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2．（3）∵直线x＝﹣1 分别与直线l1，l2 交于C、D 两点，∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2），当抛物线y＝ax2+bx+c 过点C 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝﹣4，解得：a＝﹣；当抛物线y＝ax2+bx+c 过点D 时，a（﹣1﹣1）2﹣2＝2，解得：a＝1．∴当抛物线y＝ax2+bx+c 与线段CD 有交点时，a 的取值范围为﹣≤a≤1 且a≠0．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两直线相交与平行、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的三种形式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l1的表达式；（2）将二次函数一般式改写为顶点式；（3）分别代入C、D点的坐标求出a 值．8.已知：抛物线y＝ax 2+4ax+4a （a＞0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，则y1＜y2（用“＜”或“＞”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（﹣3，4），F（﹣3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标；（2）由抛物线的对称性可知当开口向上时，离对称轴越近其函数值则越小，则可求得答案；（3）由于抛物线的顶点确定，且开口向上，所以当抛物线开口越大时a 的值越小，当抛物线开口越小时a 的值越大，可知当抛物线过C 时a 有最小值，当抛物线过F 时a 有最大值，则可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝a （x 2+4x+4 ）＝a （x+2 ）2，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，0）；（2）∵a＞0，且对称轴为直线x＝﹣2，∴当函数图象上的点离对称轴越近时其函数值越小，∵﹣4＜m≤﹣3，0＜n≤1，∴A 点离对称轴x＝﹣2 近，∴y 1＜y 2，故答案为：＜；（3）∵y＝a（x+2）2开口向上，且顶点为（﹣2，0），∴当开口越大时a 的值越小，当开口越小时 a 的值越大，∴当抛物线过点C 时 a 有最小值，当抛物线过点F 时a 有最大值代入点C（1，2），得a＝，代入点F（﹣3，2），得a＝2，∴＜a＜2．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、二次函数的开口大小、二次函数的比较大小及数形结合思想等知识．在（1）中把二次函数解析式化为顶点式是解题的关键，在（2）中掌握抛物线上的点离对称轴的距离的远近与函数值的大小关系是解题的关键，在（3）中掌握抛物线的开口大小与二次项系数的关系是解题的关键．本题考查知识点不多，但综合性很强，难度适中．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1 与y 轴交于点A，其对称轴与x 轴交于点B．（1）当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（2）点C的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点，结合函数的图象求n 的取值范围．【分析】（1）先求得点B 的坐标，再根据△OAB 是等腰直角三角形得出点A 的坐标，代入求得n 即可；（2）分两种情况：抛物线的顶点在x 轴上和抛物线的顶点在x 轴下方两种情况求解可得．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x＝﹣＝1，则B的坐标是（1，0），当△OAB 是等腰直角三角形时，OA＝OB＝1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1＝1 或n﹣1＝﹣1，解得n＝2 或n＝0；（2）①当抛物线的顶点在x 轴上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣1）＝0，解得：n＝2；②当抛物线的顶点在x 轴下方时，如图，由图可知当x＝0 时，y＜0；当x＝3 时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1 或n＝2．【点评】本题考查了二次函数的图象和等腰直角三角形的性质，明确等腰直角三角形中两条边相等，解题的关键是根据抛物线与线段OC 有且只有一个公共点得出x＝0 时y＜0；x＝3 时，y≥0 的结论．10.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于C 点，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；（2）过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位，使抛物线与线段EF（含线段端点）只有 1 个公共点．求m 的取值范围．【分析】（1）由OC＝8、tan∠ABC＝2 得点 B 坐标，将点A、B 坐标代入求解可得；（2）先求出直线CD 解析式和点E、F 坐标，设平移后解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9+m，结合图象根据抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，求得临界时m 的值，从而得出答案，【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，8），即OC＝8；Rt△OBC 中，OB＝OC•tan∠ABC＝8×＝4，则点B（4，0）．将A、B 的坐标代入抛物线的表达式中，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8，∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为D（1，9）．（2）设直线CD 的表达式为y＝kx+8，∵点D（1，9），∴直线CD 表达式为y＝x+8．∵过点A、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E、F，可得：E（﹣2，6），F（4，12）．设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+9+m；当抛物线过E（﹣2，6）时，m＝6，当抛物线过F（4，12）时，m＝12，∵抛物线与线段EF（含线段端点）只有1 个公共点，∴m 的取值范围是6＜m≤12．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及抛物线与直线的交点问题，利用图象与线段只有一个交点得出临界是m 的值是解题关键11.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 的顶点为D．线段AB 的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围．【分析】（1）由y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，于是得到结论；（2）由于抛物线经过点B（1，m），得方程于是得到结论；（3）根据题意得到线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得到x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y′＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，于是得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2＝（x﹣m）2﹣m+2，∴D（m，﹣m+2）；（2）∵抛物线经过点B（1，m），∴m＝1﹣2m+m2﹣m+2，解得：m＝3 或m＝1；（3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m），∴线段AB：y＝m（﹣3≤x≤1），与y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 联立得：x2﹣2mx+m2﹣2m+2＝0，令y＝x2﹣2mx+m2﹣2m+2，若抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2 与线段AB 只有1 个公共点，即函数y 在﹣3≤x≤1 范围内只有一个零点，当x＝﹣3 时，y＝m2+4m+11＞0，∵△＞0，∴此种情况不存在，当x＝1 时，y＝m2﹣4m+3≤0，解得1≤m≤3．解法二：由题意或，解得1≤m≤3．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了转化思想和数形结合的数学思想．12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（1）当抛物线的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（2）不论m 取何值时，抛物线的顶点始终在一条直线上，求该直线的解析式；（3）若有两点A（﹣1，0），B（1，0），且该抛物线与线段AB始终有交点，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法求出抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），根据顶点在x轴上，得出﹣m+1＝0，求出m＝1，即可得出抛物线的解析式；（2）由于抛物线的顶点坐标是（m，﹣m+1），即可得出顶点在直线y＝﹣x+1上；（3）把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，再把B（1，0）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1，求出m 的值，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，∴顶点坐标是（m，﹣m+1），∵抛物线的顶点在x 轴上，∴﹣m+1＝0，∴m＝1，∴y＝﹣x2+2x﹣1；（2）∵抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1的顶点坐标是（m，﹣m+1），∴抛物线的顶点在直线y＝﹣x+1 上；（3）当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点A（﹣1，0）时，﹣1﹣2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝﹣3，当抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1 过点B（1，0）时，﹣1+2m﹣m2﹣m+1＝0，解得m1＝0，m2＝1，故﹣3≤m≤1．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，求直线的解析式等知识，有一定难度．把求二次函数与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键．13. 已知：直线 l ：y ＝x +2 与过点（0，﹣2），且与平行于 x 轴的直线交于点 A ，点 A 关于直线 x ＝﹣1 的对称点为点 B ．（1） 求 A ，B 两点的坐标；（2） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 经过 A ，B 两点，求抛物线解析式；（3） 若抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点在直线 l 上移动，当抛物线与线段 AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标 t 的取值范围．【分析】（1）由点 A 在直线 l 上可得 A 的坐标，根据点 A 、B 关于直线 x ＝﹣1 对称可得点 B 坐标；（2） 根据（1）中 A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3） 由顶点在直线 l 上可设顶点坐标为（t ，t +2），继而可得抛物线解析式为 y ＝﹣（x﹣t ）2+t +2，根据抛物线与线段 AB 有一个公共点，考虑抛物线过点 A 或点 B 临界情况可得 t 的范围．【解答】解：（1）由题可知 A 点的纵坐标为﹣2，∵点 A 在直线 l ：y ＝x +2 上，∴A （﹣4，﹣2），由对称性可知 B （2，﹣2）；（2） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 过点 A 、B ，，∴抛物线解析式为 y ＝﹣x 2﹣2x +6；（3） ∵抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 顶点在直线 y ＝x +2 上，由题可知，设抛物线顶点坐标为（t ，t +2），∴抛物线解析式可化为 y ＝﹣（x ﹣t ）2+t +2．把 A （﹣4，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（﹣4﹣t ）2+t +2，解得：t ＝﹣3 或 t ＝﹣4．∴﹣4≤t ＜﹣3，把 B （2，﹣2）代入解析式可得﹣2＝﹣（2﹣t ）2+t +2．∴解得：，解得：t＝0 或t＝5，∴0＜t≤5．综上可知t 的取值范围时﹣4≤t＜﹣3 或0＜t≤5．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本、前提，将抛物线与线段AB 有一个公共点转化为方程问题是解题关键．14.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y 轴交于点A，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B，点B 在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称；（3）①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，所以函数与AB 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；【解答】解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A 与B 关于对称轴x＝1 对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0 时，当x＝2 时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0 或x＝2，∴函数与PQ 无交点；②a＜0 时，当y＝2 时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2 时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．15.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A，将点B 向右平移5 个单位长度，得到点C．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标；（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x 轴交点：令y＝0 代入直线y＝4x+4 得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B 向右平移 5 个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a 中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a 经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0 时，如图1，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝5 代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图2，将x＝0 代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥ 或a＜﹣或a＝﹣1．。
北京专版中考数学一轮复习7.5代数压轴综合题试卷部分课件
解析 (1)y=ax2-4ax-4=a(x-2)2-4a-4.
令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).抛物线的对称轴为直线x=2,
∴B(2,0).
(2)当抛物线经过点(1,0)时,a=- 4 ,
3
当抛物线经过点(2,0)时,a=-1.
结合函数图象可知,a的取值范围为- 4 ≤a≤1.
3
10.(2018北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a的最高点的纵坐标是 2. (1)求抛物线的对称轴及抛物线的表达式; (2)将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2, 图象G1和G2组成图象G.过点(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将 这两个公共点分别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值范围和x1+x2的值.
∴3k b 0,
b
3,
解得 k 1 , ∴直线 b B C3 的, 表达式为y=-x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.
由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)关于直线x=2对称, ∴x2-2=2-x1, ∴x1+x2=4. 由x1<x2<x3,结合函数的图象,可得-1<y3<0, 即-1<-x3+3<0, 解得3<x3<4. ∴7<x1+x2+x3<8.
解题关键 解决本题第二问的关键是要根据示意图寻找临界点,求x1+x2时要借助抛物线的对 称性.
11.(2018北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx2+2 (m3 ≠0)向右平 移 3个单位长度后得到抛物线G2,点A是抛物线G2的顶点. (1)直接写出点A的坐标; (2)过点(0, 3)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点. ①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式; ②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.
中考数学代数式综合测试卷(1)及答案
中考代数式综合测试卷（一）及答案一、选择题(本题共10 小题，每小题3 分，满分30分)每一个小题都给出代号为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的四个结论，其中只有一个是正确的，把正确结论的代号写在题后的括号内．每一小题：选对得3分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。
1．一个代数式减去22x y -等于222x y +，则这个代数式是（ ）。
Ａ．23y -Ｂ．222x y + Ｃ．2232y x -Ｄ．23y2．下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）。
A ．b a 221 与221ab B ．b a 2 与c a 2 C ．22与43 D ． p 与q 3．下列计算正确的是（ ）。
Ａ．2233x x -=Ｂ．22321a a -= Ｃ．235358x x x +=Ｄ．22232a a a -=4．a = 255, b = 344, c = 433, 则 a 、b 、c 的大小关系是（ ）。
A ． a>c>b B ． b>a>c C ． b>c>a D ． c>b>a 解：a = 255=（25）11=3211b = 344=（34）11=8111c = 433=（23）11=8115．一个两位数，十位数字是x ，个位数字是y ，如果把它们的位置颠倒一下，得到的数是（ ）。
Ａ．y x +Ｂ．yxＣ．10y x +Ｄ．10x y +6．若26(3)(2)x kx x x +-=+-，则k 的值为（ ）。
A ． 2B ． -2 Ｃ． 1 Ｄ． –1 7．若x 2＋mx ＋25 是一个完全平方式，则m 的值是（ ）。
A ．20B ．10 Ｃ． ± 20 Ｄ．±108．若代数式2231y y +=，那么代数式2469y y +-的值是（ ）。
Ａ．2Ｂ．17Ｃ．7- Ｄ．79．如果(2－x)2＋(x －3)2＝（x －2）＋（3－x ），那么x 的取值范围是（ ）。
中考数学专题复习专题02 代数式与整式(课件)
知识点梳理
知识点4 ：幂的运算
1. 同底数幂乘法：底数不变，指数相加，am·an= am+n ，如 a3 ·a-2= a . 2. 同底数幂除法： 底数不变，指数相减 ，am÷an= am-n （a≠0） 3. 幂的乘方： 底数不变，指数相乘 ，(am)n= amn . 4. 积的乘方： 各因式乘方的积 ，(ambn)p= ampbnp ，如(-2a2b)3= -8a6b3 ， (-ab)2= a2b2 .
典型例题
知识点4 ：幂的运算
【例12】（2022•南充）比较大小：2-2 30．（选填＞，＝，＜）
【考点】零指数幂；负整数指数幂
【解答】解：∵2-2= 1 ，30=1，
4
∴2-2＜30， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂的意义， 零指数幂的意义是解决问题的关键．
知识点梳理
知识点5 ：整式的乘除
4.（1）乘法公式：(a+b)(a-b)= a2-b2 ； (a+b)2= a2+2ab+b2 ；
（2）常见的变形有：a2+b2=(a+b)2-2ab； (-a-b)2=(a+b)2；
(a-b)2= a2-2ab+b2 ； (a-b)2=(a+b)2-4ab； (-a+b)2=(a-b)2
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【考点】列代数式． 【解答】【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8(100－x)元． 故选：C．
中考代数几何-综合题
中考代数几何综合题代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.方法点拨方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．类型一、方程与几何综合的问题1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3．问：线段AB上是否存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似？若存在，这样的总共有几个？并求出AP的长；若不存在，请说明理由．【思路点拨】由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．【答案与解析】解：存在．∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，当△PAD∽△PBC时，∵AD=2，BC=3，设AP=x，PB=7-x，则∴．①当△ADP∽△BPC时，AD=2，BC=3，设设AP=x，PB=7-x，则∴AP=1或AP=6．②由①②可知，P点距离A点有三个位置：，AP=1，AP=6．【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．【变式】有一张矩形纸片ABCD，已知AB=2，AD=5．把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN，MN交AB于M，交AD于N．（1）若BE=，试画出折痕MN的位置，并求这时AM的长；（2）点E在BC上运动时，设BE=x，AN=y，试求y关于x的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）连接DE，是否存在这样的点E，使得△AME与△DNE相似？若存在，请求出这时BE的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）画出正确的图形．（折痕MN必须与AB、AD相交）．设AM=t，则ME=t，MB=2-t，由BM2+BE2=ME2，得t=，即AM=．（2）如图（a），∵BE=x，设BM=a，则a2+x2=（2-a）2，a2+x2=4-4a+a2，∴a=，AM=2-BM=2-=．由△AMN∽△BEA，得，∴y=，∵0＜x≤2，0＜y≤5，x的取值范围为：，故x=1．（3）如图（b），若△AME与△DNE相似，不难得∠DNE=∠AME．又∵AM=ME，∴DN=NE=NA=，∴＝解得：x=1或x=4．又∵，故x=1．或者由∠DEN=∠AEM，得∠AED=90°，推出△ABE∽△ECD，从而得BE=1类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．答案与解析【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，∴AP=t-1，∴AM=AP，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）＜ｔ＜．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1，即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，∴＜ｔ＜４且＜ｔ＜，解得＜ｔ＜；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；综上所述， t的取值范围是：＜ｔ＜．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.答案与解析举一反三【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出．【答案与解析】解：（1）由题意，得：解得：所以，二次函数的解析式为：，顶点D的坐标为（-1，4）.（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6.设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6.①当时，如图，易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x），∴②当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接，设P点的坐标为，∵点P在抛物线上，∴，∴∵，∴当时，. △的面积有最大值∴当点P的坐标为时，△的面积有最大值，且最大值为【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况．【变式】如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB 于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【答案】（1）由题意得B（3，1）．若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点B（3，1）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2，此时点E（3，），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )＝3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)•()＋×3()]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED,又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴a=.∴S四边形DNEM＝NE·DH＝．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.【答案与解析】解：（1）E(3,1)；F(1,2)；（2）连结EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=.设点P的坐标为(0,n),n＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a≠0)．①如图1，当EF=PF时，EF2=PF2，∴12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP时，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－(舍去)③当EF=EP时，EP=＜3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．（3）存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小．如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3.∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′==5.又∵EF=，∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA，再以等腰直角三角形ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A BB，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n为正整数）．答案与解析举一反三【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S1、S2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n的表达式．【答案与解析】根据直角三角形的面积公式，得S1=；根据勾股定理，得：AB=，则S2=1=20；A1B=2，则S3=21，依此类推，发现：=．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求 3+32+33+…+3100的值．解：令 S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2），（2）-（1）得到：2S=3101-3∴S=∴3+32+33+ (3100)问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．答案与解析【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）．一、选择题1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止那么在这个过程中线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A. 2B. 4－C．D．2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为（）二、填空题3. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________．4. 如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________(用含的式子表示）．三、解答题5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？7. 条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．8. 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴上，点C在y轴上，OA=15，OC=9，在AB上取一点M，使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作N点．（1）求N点、M点的坐标；（2）将抛物线y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）个单位后，得到抛物线l，l经过点N，求抛物线l的解析式；（3）①抛物线l的对称轴上存在点P，使得P点到M、N两点的距离之差最大，求P 点的坐标；②若点D是线段OC上的一个动点（不与O、C重合），过点D作DE∥OA交CN于E，设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9. 如图，直线y=kx﹣1与x轴、y轴分别交于B、C两点，tan∠OCB=．（1）求B点的坐标和k的值；（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx﹣1上的一个动点．当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；（3）探索：在（2）的条件下：①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是；②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．10. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点B（-1，0）、C（3，0），交y轴于点A，将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为1个长度单位/秒，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．（1）求此抛物线的解析式；（2）当t为何值时，以M、O、H、E为顶点的四边形是特殊的平行四边形；（3）作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，直线HG与对称轴交于点K，当t为何值时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形？请直接写出符合条件的t值．11. 如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M 为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.2.【答案】A.三、填空题3.【答案】（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）4.【答案】；；【解析】由于各三角形为等边三角形,且各边长为2,过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3∵△AB1C1是等边三角形，∴AD1=AC1.sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等边三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…B n在一条直线上．∵B n C n∥AB，∴==，∴B n D n=.AD=，则D n C n=2﹣B n D n=2﹣=．△B n C n B n+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．△B n+1D n C n面积为S n=.=.=．即第n个图形的面积S n=．三、解答题5.【答案与解析】解：（1）能，如图1，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动,t=1秒∴AP=1，BQ=1.25，∵AC=4，BC=5，点D在BC上，CD=3，∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，∵PE∥BC，解得PE=0.75，∵PE∥BC，PE=QD，∴四边形EQDP是平行四边形；（2）如图2，∵点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动，∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，∴∴PQ∥AB；（3）分两种情况讨论：①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC∴，∵BC=5，CD=3，∴BD=2，∴DQ=1.25t-2，∴解得t=2.5（秒）；②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则EM=PC=4-t，在Rt△ACD中，∵AC=4，CD=3，∴AD=，∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA，∴t=3.1（秒）．综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．6.【答案与解析】解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3在Rt△ABD中，．当时，，，．∵，，∴，即（秒）．（2）过点作轴于点，交的延长线于点，∵，∴，．即，．，．，∴．即（）．由，得．∴当时，S有最小值，且7.【答案与解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周长的最小值等于10．8.【答案与解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，设AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：设抛物线l为y=（x﹣a）2﹣36则（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36与x轴的交点为（﹣6，0）或（6，0）由题意知，交点（6，0）向右平移6个单位到N点，所以y=x2﹣36向右平移6个单位得到抛物线l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意两边的差小于第三边”知：P点是直线MN与对称轴x=6的交点，设直线MN的解析式为y=kx+b，则，解得，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，开口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣．9.【答案与解析】解：（1）∵y=kx﹣1与y轴相交于点C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B点坐标为:；把B点坐标为：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①当S=时，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为；②存在．满足条件的所有P点坐标为：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）．10.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH运动的过程中：①四边形MOHE构成矩形的情形，如图1所示：此时边GH落在x轴上时，点G与点D重合．由题意可知，EH，MO均与x轴垂直，且EH=MO=1，则此时四边形MOHE构成矩形．此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度．过点F作FN⊥x轴于点N，则有FN=EH=1，FN∥y轴，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四边形MOHE构成正方形的情形．由图1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠MO，所以此种情形不存在；③四边形MOHE构成菱形的情形，如图2所示：过点F作FN⊥x轴于点N，交GH于点T，过点H作HR⊥x轴于点R．易知FN ∥y轴，RN=EF=FT=1，HR=TN．设HR=x，则FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y轴，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四边形MOHE构成菱形，则OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可见，四边形MOHE构成菱形的情形存在，此时直角梯形EFGH平移的距离即为线段DF的长度，∴t=3．综上所述，当t=s时，四边形MOHE构成矩形；当t=3s时，四边形MOHE构成菱形．（3）当t=s或t=s时，以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．简答如下：（注：本题并无要求写出解题过程，以下仅作参考）由题意可知，AA′=2．以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形，则GK ∥AA′，且GK=AA′=2．①当直角梯形位于△OAD内部时，如图3所示：过点H作HS⊥y轴于点S，由对称轴为x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x轴，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②当直角梯形位于△OAD外部时，如图4所示：设GK与y轴交于点S，则GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．过点F作FN⊥x轴，交GH于点T，则FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，FT=1，则TG=，FG=．由TG∥x轴，∴，解得DF=．由于在以上两种情形中，直角梯形EFGH平移的距离均为线段DF的长度，则综上所述，当t=s或t=s时以A、A′、G、K为顶点的四边形为平行四边形．11.【答案与解析】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上.（2）成立．证明：连结DE，DF．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三边的中点，∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，∴∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN，∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE．∴MF=NE．（3）画出图形（连出线段NE），MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．。
经典中考专题复习代数综合题
代数综合题【知识梳理】概述：代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，•这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，•计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面．【典例精析】例1．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，O），B（x2，0）（x1<x2），•顶点M的纵坐标为-4，若x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．例2．已知抛物线y=-x2+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1<x2，x1+2x2=0，若点A关于y轴的对称点是D．（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；（2）若P是（1）所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD和△CBD 的积相等，求直线PH的解析式．例3．矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=34x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）P为x轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．例4．如图所示，抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（•-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2ba-，244ac ba-）．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．◆变式练习：1．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，如图，且二次项系数为-1a（a>0）．（1）求该抛物线的解析式（系数用含a的代数式表示）；（2）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），• 求M，N的坐标（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当a在什么范围内取值时，ON+bm的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-bM的值也为常数？（第24题图）2．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试写出y 与x 的函数关系式；（2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨或乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨或乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？3．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线． （1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y 与时间t•之间的函数关系式及自变量取值范围； （2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上6点钟，问怎样安排此人从6：00•～20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？4．已知抛物线y=12x 2-x+k 与x 轴有两个不同的交点．（1）求k 的取值范围；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在原点的左侧，抛物线与y 轴交于点C ，若OB=2．OC ，求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P （点D 除外），使得以A 、B 、P•三点为顶点的三角形与△ABD 相似？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【中考真题体验】（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AO B △，C O D △处，直角边O B O D ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至P E F △处时，设P E P F ，与O C 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，． （1）求直线A C 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段A C （端点除外）上的动点时，试探究： ①点M 到x 轴的距离h 与线段B H 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08江苏宿迁）27．（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切；(2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．第27题27．解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-aa ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BAE D OAOE 1111==∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆ 得OBOD BAE D OAOE 2222==∴53,54222==E D OE∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=.(3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BDS 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，SS .24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，．设直线A C 所对应的函数关系式为y kx b =+． ···························································· 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线A C 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·····················································4分（2）①点M 到x 轴距离h 与线段B H 的长总相等．因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线O C 所对应的函数关系式为12y x =．又因为点P 在直线A C 上， 所以可设点P 的坐标为(3)a a -，．过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有M K h =．因为点M 在直线O C 上，所以有(2)M h h ，． ·······················6分因为纸板为平行移动，故有EF O B ∥，即E F G H ∥．又EF PF ⊥，所以P H G H ⊥．法一：故R t R t R t M K G PH G PFE △∽△∽△，从而有12G K G H E F M KP HP F===．第27题图1第27题图2（第24题答图）得1122G K M K h ==，11(3)22G H PH a ==-．所以13222O G O K G K h h h =-=-=． 又有13(3)(1)22O G O H G H a a a =-=--=-． ························································8分 所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1B H O H O B a =-=-，从而总有h BH =．····································································································· 10分法二：故R t R t P H G P F E △∽△，可得12G H E F P HP F=-．故11(3)22G H PH a ==-．所以13(3)(1)22O G O H G H a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，． 设直线P G 所对应的函数关系式为y cx d =+， 则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线P G 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-．···············································8分 将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1B H O H O B a --=-，从而总有h BH =． ························································· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫⎪⎝⎭，．O N H O N G S S S =-△△1111133(1)222222a N H O H O G h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯-22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ····································································· 12分 当32a =时，S 有最大值，最大值为38．S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，． ········································································ 14分。
成都中考数学第一轮专题复习之第一章第二节代数式、整式及因式分解教学课件
每一项，再把所得的积相加．如(a＋b)(c＋d)＝
ac＋ad＋bc＋bd
平 公式：_(a_＋__b_)_(_a_－__b_)＝__a_2_－__b_2________
方 几何
乘 乘 差 背景：
整式的 法 法 公
运算
运 公 式 几何 算 式 完全 背景：
公式：_(a_＋__b_)_2_＝__a_2＋__2_a_b_＋__b_2________
3
合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、完全平 下列计算正确的是
方和公式 合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、单项式 下列计算正确的是 除以单项式
考情分析
年份 题号 题型 分值
考查设问
考查内容
202X 6
合并同类项、积的乘方、完全平方差公式、单项式除 3 下列计算正确的是
以单项式
202X 5
选择题
2 023
命题点 3 因式分解8年4考，2023年考查2次，第2次结合新定义考查
10. (2023成都9题4分)因式分解：m2－3m__m__(m__－__3_)__.11. (202X成都11题4 分)分解因式：x2－4＝________________．1(x2＋. (20)(2x3－成2都) B卷23题4分)定 义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1， 则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优 数，可以利用m2－n2＝(m＋n)·(m－n)进行研究．若将智慧优数从小到大 排列，则第3个智慧优数是______；第23个智慧优数是__1_5___．
考情及趋势分析
考情分析
年份 题号 题型 分值
考查设问
考查内容
2023 3 选择题 4
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
最新中考数学：代几综合题—以代数为主的综合
代几综合题（以代数为主的综合） 典题探究例1 已知抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交于点A （0，3），与x 轴分别交于B （1，0）、C （5，0）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点, 求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．例2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)(02)P A ，，，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于C 点，求直线的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB OC BC ，，距离相等的点的坐标．例3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B的左侧．．），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y kx =沿y 轴向上平移 3个单位长度后恰好经过B 、C 两点．（1） 求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD =∠ACB ，求点P的坐标；（3）连结CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．例4在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B(2，n)在这条抛物线上.(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED=PE. 以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD(当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动)当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。
中考数学总复习第一单元数与式第03课时代数式与整式课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
做更好的自己
情景展示导入
有一个女孩子,总觉得自己不讨别人喜欢,因此有一点自卑。一 天,她在商店里看到一支漂亮的发夹,当她戴起它的时候,店里的顾 客都说漂亮,于是她非常高兴地买下发夹,并兴高采烈地去学校。 接着奇妙的事发生了,许多平日不太跟她打招呼的同学,纷纷来跟 她接近,一些同学还约她一起去玩,原本内向的她,似乎一下子变得 开朗、活泼了许多。但放学回家后,她才发现自己头上根本什么也 没有戴,原来她付钱后把发夹落在了商店里。
面的活动,发现他人和社会对自己的 需要 ;通过积极合作,与他
人共同完成任务……我们就可以更好地激发自己的 潜能 。
快乐预习感知
名人故事 林肯与政敌
林肯,美国历史上著名的总统,他奇特的相貌常常被他的政敌所 讥笑。有一天,他的一位政敌遇到他,开口骂道:“你长得太丑陋了, 简直让人不堪入目。”林肯微笑着对他说:“先生,你应该感到荣幸, 你将因为骂一位伟大的人物而被人们所认识。”
②有乐观的心态
③发扬优点
④全面
1
2
3
4
5
6
7
8
轻松尝试应用
5.完善自我要努力做到( A )
①提高自我控制能力 ②发扬优点,克服缺点
④学会用发展的眼光看待自己
A.①②③④ B.①②④
C.①③④
初中数学 数与代数课件
三、2012年学业水平考试怎样考
1、全卷满分0分，考试时间120分钟。 2、试题题型 (1)、选择题（四选一型的单项选择题） (2)、填空题（直接写出结果，不写计算或推证过程） (3)、解答题（计算题、证明题、开放性问题、应用性 问题、阅读分析题、探索性问题及其他各种题型） 3、各种题型分数的百分比约为：客观题40%，主观题 60% 4、易中难之比约为7：2：1。 5、各位教师应注意考查知识点的轮换特点。 6、关注相同知识点的不同考查方式和以不同背景设置 问题。
考查方式
• 对本专题的考查主要以填空题的形式考 查相反数、倒数、绝对值等概念。
• 有理数的运算常与零次方、负指数幂、 二次根式等同时考查。
考查方式
• 以实际问题为背景，考查近似数与有效数字。 • 用根号表示数的平方根、立方根以及二次根式的
简单四则运算主要以选择题的形式考查。
考查方式
化简再求值）。
• 数与式考查重点：
运算及运算律、解释和推断数字所含 信息、代数式表示意义、公式变形、求 值计算。
数与式各部分内容在中考所占分值
考查内容
滇八 09云 保
倒数、相反数、绝对值 3
33
有理数的简单运算
3
3
二次根式与其他
3
3
填
有效数字
3
空
因式分解
3
3
选
择 列代数式、找规律
3
3
题
科学记数法
• 在资料选择上，要有针对性，严格筛选，绝 不能滥用。一般一门学科配置1～2本综合 性复习用书就足够了，建议以“考试说明” 为基础，一定要认真用好样题。
• 这样有利于师生准确把握命题方向，避免教 师在复习备考过程中对基础知识和技能进行 无目的的泛化，避免学生对基础知识进行机 械重复训练，提高学习的针对性和实效性， 减轻学生的课业负担，并有利于提高学生的 合格率。
2019§1.2 代数式(试题部分).pptx教育精品.ppt.ppt
2.(2018天津,14,3分)计算( 6 + 3 )( 6 - 3 )的结果等于
.
答案 3
解析 原式=( 6 )2-( 3 )2=6-3=3.
3.(2017天津,14,3分)计算(4+ 7 )×(4- 7 )的结果等于
.
答案 9 解析 根据平方差公式可得(4+ 7 )×(4- 7 )=16-7=9.
=-9+10=1.
考点二 整式及其运算法则
1.(2018四川成都,5,3分)下列计算正确的是 ( ) A.x2+x2=x4 B.(x-y)2=x2-y2 C.(x2y)3=x6y D.(-x)2·x3=x5 答案 D 选项A,x2+x2=2x2,错误;选项B,(x-y)2=x2-2xy+y2,错误;选项C,(x2y)3=x6y3,错误;选项D,(-x)2 ·x3=x2·x3=x5,正确.故选D. 2.(2018湖北武汉,3,3分)计算3x2-x2的结果是 ( ) A.2 B.2x2 C.2x D.4x2 答案 B 3x2-x2=2x2,故选B. 3.(2018新疆乌鲁木齐,3,4分)下列运算正确的是 ( ) A.x3+x3=2x6 B.x2·x3=x6 C.x3÷x=x3 D.(-2x2)3=-8x6
A.(3a+4b)元 B.(4a+3b)元 C.4(a+b)元 D.3(a+b)元 答案 A 3个黑色珠子共3a元,4个白色珠子共4b元,所以购买珠子一共花费(3a+4b)元,故选A.
4.(2017重庆A卷,6,4分)若x=- 13 ,y=4,则代数式3x+y-3的值为 ( )
A.-6 B.0 C.2 D.6
.
答案 (x-2)(x+2)
2020年中考代数综合第7讲：以“增减性”为主导的综合问题
2020 年中考代数综合第7 讲：以“增减性”为主导的综合问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2 的对称轴是直线x＝1．（1）用含a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n 的值．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2 的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2 时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m，使得x1≥m﹣1 且x2≤m+5 成立，直接写出t 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D．①在a＞0 的条件下，当﹣2≤m≤2 时，n 的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．【专题突破】4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线x＝2．（1）求b 的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W 在0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求m 的取值范围．5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，①当m＝b 时，求x1，x2 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7 成立，求m 的取值范围．6.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5 时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M 的纵坐标为，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y＝x2﹣2hx+h 的图象的顶点为点D．（1）当h＝﹣1 时，求点D 的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中．已知抛物线y＝ax2+bx+a﹣2 的对称轴是直线x＝1．（1）用含a 的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；（2）已知点A（0，﹣4），B（2，﹣3），若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y ≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n 的值．【分析】（1）利用x＝﹣来求得a 和b 的关系，再将其代入原解析式；（2）分a＞0 和a＜0 两种情况来讨论，结合图象作出判断；（3）先求出抛物线的解析式，再求出y＝6 时的x 值，然后分最小值是顶点纵坐标和不是顶点纵坐标两种情况来讨论．【解答】解：（1）∵﹣＝1，∴b＝﹣2a．∴抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣2，当x＝1 时，y＝a﹣2a+a﹣2＝﹣2，∴抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．答：b＝﹣2a；抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）若a＞0，抛物线与线段AB 没有公共点；若a＜0，当抛物线经过点B（2，﹣3）时，它与线段Ab 恰有一个公共点，此时﹣3＝4a﹣4a+a﹣2，解得a＝﹣1．∵抛物线与线段AB 没有公共点，∴结合函数图象可知，﹣1＜a＜0 或a＞0．（3）抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），代入y＝ax2﹣2ax+a﹣2得0＝9a﹣6a+a﹣2，∴a＝，∴抛物线为y＝x2﹣x﹣，∵当m≤x≤n 时，y 的取值范围是m≤y≤6，令y＝6 得：6═x2﹣x﹣，解得x＝﹣3（舍）或x＝5∴由自变量的最小值为m 与函数值的最小值也为m，由得x2﹣4x﹣3＝0，∴x＝2+ 或x＝2﹣＞﹣2，此时顶点（1，﹣2）包含在范围内，不符合要求，故舍去；故满足条件的m，n 的值为：m＝2+ ，n＝5；或m＝﹣2，n＝5．【点评】本题属于二次函数压轴题，综合性较强，需要数形结合来分析，并准确利用二次函数的性质来解题．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2 的顶点C，过点B（0，t）作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E（x1，y1），点F（x2，y2）（x1＜x2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2 时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m，使得x1≥m﹣1 且x2≤m+5 成立，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C 的坐标；（2）由抛物线的开口方向及点C 到直线l 的距离为2，可得出直线l 的解析式为直线y ＝4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F 的坐标，进而可得出线段EF 的长；（3）代入y＝t 可求出点E，F 的坐标，进而可得出线段EF 的长，结合存在实数m，使得x1≥m﹣1 且x2≤m+5 成立，可得出关于t 的不等式组，解之即可得出t 的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+a2+2＝（x﹣a）2+2，∴抛物线顶点C的坐标为（a，2）．（2）∵1＞0，∴抛物线开口向上，又∵点C（a，2）到直线l 的距离为2，直线l 垂直于y 轴，且与抛物线有交点，∴直线l 的解析式为y＝4．当y＝4 时，x2﹣2ax+a2+2＝4，∴点E的坐标为（a﹣，4），点F的坐标为（a+，4），∴EF＝a+ ﹣（a﹣）＝2 ．（3）当y＝t 时，x2﹣2ax+a2+2＝t，解得：x1＝a﹣，x2＝a+ ，∴EF＝2 ．又∵存在实数m，使得x1≥m﹣1 且x2≤m+5 成立，∴，解得：2＜t≤11．【点评】本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E，F的坐标；（3）由线段EF 长度的范围，找出关于t 的不等式组．3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P（m，n）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D．①在a＞0 的条件下，当﹣2≤m≤2 时，n 的取值范围是﹣4≤n≤5，求抛物线的表达式；②若D点坐标（4，0），当PD＞AD时，求a的取值范围．【分析】（1）解方程ax2﹣2xa﹣3a＝0 即可得到A 点和B 点坐标；（2）①由于抛物线的对称轴为直线x＝1，而﹣2≤m≤2 时，n 的取值范围是﹣4≤n≤5，则n＝﹣4为二次函数的最小值，从而得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），然后把顶点坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 中求出a 即可得到抛物线解析式；②利用D点坐标（4，0），PD⊥x轴得到点P的横坐标为4，从而得到P（4，5a），然后利用PD＞AD 得到|5a|＞5，从而解不等式得到a 的范围．【解答】解：（1）把y＝0代入二次函数得：a（x2﹣2x﹣3）＝0即a（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）①抛物线的对称轴为直线x＝1，∵﹣2≤m≤2 时，n 的取值范围是﹣4≤n≤5，∴n＝﹣4 为二次函数的最小值，m＝﹣2 时，n＝5，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）把（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得a﹣2a﹣3a＝﹣4，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；②∵D点坐标（4，0），PD⊥x轴，∴点P 的横坐标为4，当x＝4 时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝5a，∵D点坐标为（4，0），A点坐标为（﹣1，0）∴AD＝5∵PD＞AD∴|5a|＞5，∴a＞1 或a＜﹣1．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3 的对称轴为直线x＝2．（1）求b 的值；（2）在y轴上有一动点P（0，m），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．①当x2﹣x1＝3 时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W 在0≤x≤5 时，﹣4≤y≤4，求m 的取值范围．【分析】（1）根据对称轴x＝﹣，求出b 的值；（2）①先根据x2﹣x1＝3 及对称轴方程，确定A、B 中一个点的坐标，代入解析式求出m 的值．②根据图象和x、y 的取值范围，可求出m 的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2bx﹣3的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，即﹣＝2∴b＝2．（2）①∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．∵A（x1，y），B（x2，y），∴直线AB 平行x 轴．∵x2﹣x1＝3，∴AB＝3．∵对称轴为x＝2，∴A（，m）．∴当时，m＝﹣（）2+4×﹣3＝﹣．②当y＝m＝﹣4 时，0≤x≤5 时，﹣4≤y≤1；当y＝m＝﹣2 时，0≤x≤5 时，﹣2≤y≤4；∴m 的取值范围为﹣4≤m≤﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，图形的翻折变化等知识，解决本题的关键是l 理解题意，充分的利用数形结合的思想．5.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1，①当m＝b 时，求x1，x2 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7 成立，求m 的取值范围．【分析】由抛物线顶点在x 轴上，即可得出b＝a2．（1）当a＝1 时，b＝1，由此可得出抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①由m＝b＝1，可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x1、x2 的值；②设平移后的抛物线为y＝（x ﹣1）2+k，由平移后的抛物线与x 轴的两个交点的距离为4，可得出（3，0）是平移后的抛物线与x 轴的一个交点，将其代入y＝（x﹣1）2+k 即可求出结论；（2）解x2﹣2ax+a2＝m 可得出PQ＝2，由x1、x2 的范围可得出关于m 的不等式，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2ax+b 的顶点在x 轴上，∴，∴b＝a2．（1）∵a＝1，∴b＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①∵m＝b＝1，∴x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．∵抛物线的对称轴是x＝1，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴（3，0）是平移后的抛物线与x 轴的一个交点，∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，∴变化过程是：将原抛物线向下平移4 个单位．（2）∵x2﹣2ax+a2＝m，解得：x1＝a﹣，x2＝a+ ，∴PQ＝2 ．又∵x1≤c﹣1，x2≥c+7，∴2 ≥（c+7）﹣（c﹣1）＝8，∴m≥16．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）①通过解一元二次方程求出x1、x2的值；②利用二次函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）通过解方程求出PQ＝2．6.已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝1 ．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5 时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M 的纵坐标为，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；（2）构建方程求出a 的值即可解决问题；（3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得t 的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0），∴该二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣＝1，故答案为：x＝1；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣1≤x≤5，∴当x＝5时，y取得最大值，即M（5，），∴，得a＝，∴该二次函数的表达式为y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣a﹣2＝（x﹣1）2﹣，即点N的坐标为（1，）．（3）当a＞0 时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3 时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴t≥3或t+1≤1﹣（3﹣1），解得，t≥3 或t≤﹣2；当a＜0 时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∵t≤x1≤t+1，当x2≥3 时，具有y1≥y2，点A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，∴，∴﹣1≤t≤2．【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y＝x2﹣2hx+h 的图象的顶点为点D．（1）当h＝﹣1 时，求点D 的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）【分析】（1）把h＝﹣1 代入y＝x2﹣2hx+h，化为顶点式，即可求出点D 的坐标；（2）先根据二次函数的性质得出x＝h 时，函数有最小值h﹣h2．再分h≤﹣1，﹣1＜h ＜1，h≥1 三种情况求解即可．【解答】解：（1）当h＝﹣1时，y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，则顶点D的坐标为（﹣1，﹣2）；（2）∵y＝x2﹣2hx+h＝（x﹣h）2+h﹣h2，∴x＝h 时，函数有最小值h﹣h2．①如果h≤﹣1，那么x＝﹣1 时，函数有最小值，此时m＝（﹣1）2﹣2h×（﹣1）+h＝1+3h；②如果﹣1＜h＜1，那么x＝h 时，函数有最小值，此时m＝h﹣h2；③如果h≥1，那么x＝1 时，函数有最小值，此时m＝12﹣2h×1+h＝1﹣h．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数最值的求法．进行分类讨论是解题的关键．。
2020年中考代数综合第4讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题
2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【专项突破】4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝x2+bx+c 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2 围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围．【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a 的一元一次方程，通过解该方程求得a 的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∴．∵点P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G 与直线PP'无交点，则B'要左移到M 及左边，令y＝﹣3 代入PP'，则，M 的坐标为，∴，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式易求点C 的坐标，进而可求出点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式可求出m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，可知t＝﹣3，若y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．∵抛物线与x 轴交于A、B 两点，OB＝OC，∴B（3，0）或B（﹣3，0）．∵点A 在点B 的左侧，m＞0，∴抛物线经过点B（3，0）．∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．∴m＝1．∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，∴t＝﹣3，∴y2＝﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m 的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线CD 的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数，∴m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图，∵当x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），∵当y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D（1，0），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CD 的表达式为：y＝﹣3x+3，又∵当x＝﹣时，y＝，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y＝﹣3x+3 经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：n＝4，当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3＝，解得：n ＝，当抛物线与直线相切情况，此时n＝∴n 的取值范围是≤n≤．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．【分析】（1）本题中，二次项系数m 的值不确定，分为m＝0，m≠0 两种情况，分别证明方程有实数根．（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b 的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m＝0 时，方程为x﹣2＝0，x＝2．∴m＝0 时，方程有实数根．②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴m≠0 时，方程有实数根．故无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m 取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 恒有实数根；（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2 经过原点，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y 得到x2﹣3x﹣b＝0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围可得当k＝0 时，为k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与x 轴的交点A（即左边的交点），可将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出m 的值；②原二次函数图象x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m 的取值．【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k 的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴相交，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴解得：x＝﹣1 或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②当直线位于l2 时，此时l2 与函数y＝﹣x2+2x+3 的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0 有两个相等实根，∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1 或m＝．【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B 的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点B 纵坐标t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），∴抛物线的对称轴x＝1．∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a＝4；（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y 轴的对称点为点D，∴D（﹣1，﹣4）．求出直线CD 的表达式为y＝﹣4．求出直线BD 的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1 时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到A 点坐标；（2）已知BC＝4，由（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得m 的值，于是得到抛物线解析式；②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0 时，直线y＝kx+b 过A、C 时，k 最大；当k＜0，直线y＝kx+b 过A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k 的范围．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点 B 在点C 左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：0＝4m﹣4，解得m＝1所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；②B（﹣1，0），C（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b 过A、C 时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b 过A、D 时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，所以若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，k 的取值范围为0＜k≤2 或﹣1≤k＜0．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．，（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 在第一象限内的部分记为图象 G ，如果过点 P （﹣3，4）的直线 y ＝mx +n （m ≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围．【分析】（1）将点 A 、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式．从而知其与 y 轴的交点 E ，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得．【解答】解：（1）将 A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：， 解得∴抛物线的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +3．（2）设抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 与 y 轴交于点 C ，则点 C 的坐标为（0，3）．抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 的顶点坐标为（1，4）．设直线 PB 解析式为 y ＝kx +b ，将点 P （﹣3，4）、B （3，0）代入，得：，∴直线 PB 的表达式为，∴与 y 轴交于点 E （0，2）．∵直线 PD 平行于 x 轴，∴与 y 轴交于点 F （0，4）．由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点，但此时 m ＝0．∴n 的取值范围是 2＜n ≤3．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 1：y ＝x 2+bx +c 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB ＝4．（1） 求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C 1 平移，得到的新抛物线 C 2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C 1 的对称轴与两条抛物线 C 1，C 2 围成的封闭图形为 M ．直线 l ：y ＝kx +m （k ≠0）经过点 B ．若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围．，解得：【分析】（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点E，当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得k BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得k BE，易得k 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1 的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1 的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2 的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1 的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点为E（3，8）①当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l 过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k 的取值范围是﹣4≤k≤2 且k≠0．【点评】本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．第21页（共21页）。
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【考题解析】
例1.(2006江西) 已知关于x的一元二次方程 x 2 kx 1 0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根分别为 x1，x2 ，且满足x1 x2 x1 x2 求k的值。 解析：本题考查一元二次方程的判别式和一元二次 方程根与系数的应用。 答案：⑴证明： k 2 4 1 (1) k 2 4 0,
⑵一次函数、反比例函数与面积问题； ⑶函数与方程问题
【考点解读】
方程型综合题 这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二 次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合 代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式 （组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的 值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式 的证明． 函数型综合题 函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标 与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地 中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建 立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．
【考点解读】
解题时要注意函数的图象信息与方程的代数 信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐 标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐 标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命 题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查 学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、 转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较 好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴 题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．
【考题解析】
学以致用
例4（07天津市） 已知关于x的一元二次方程 x1 0 x 2 bx c x 有两个实数根 x1 , x 2 ，且满足， ． x2 x1 1 （1）试证明；c>0 2 b （2）证明； 2(b 2c) 2 （3）对于二次函数 y x bx c ，若自变量取值 为 x0 ，其对应的函数值为 y0 ，则当0 x0 x1 时， 试比较 y0 与 x1 的大小． 解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式 2 x (b 1) x c 0 即 ∵ x1 , x 2 是该方程的两个实数根 ∴ x1 x2 (b 1) ， x1 x2 c 而 x1 0, x2 x1 1 0 ∴ c 0
【考点解读】
⒊解代数综合题的基本思路 解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、 基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系 和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题 意，化整为零，层层深入，各个击破，注意知识间 的横向联系，从而达到解决问题的目的。 ⒋代数综合题历来是中考试题中的重点： 由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形 结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面在 反映学生的综合能力和具有较好的区分度，因此是 各地中考的热点题型，近几年来随着课程标准和新 教材的实施，更有一种创新意识渗透其中，使其题 型更新颖、灵活，是中考命题的热点。
【考题解析】
2 2 ( x x ) ( x x ) 4 x1 x2 （2 ） 2 1 2 1 (b 1) 2 4c b 2 2b 4c 1 2 x x 1 2 1 ( x x ) ∵ ∴ 2 1 1于是 b 2 2b 4c 0 ， 2 2 即 b 2b 4c 1 1 ∴ b 2(b 2c) 2 0 x x y x y x （3）当 时，有 0 1 ∵ 0 0 bx0 c ， 0 1 2 x12 bx1 c x1 ∴ y0 x1 x0 bx0 c ( x12 bx1 c) ( x0 x1 )(x0 x1 b)
∵ 0 x0 x1 ∴ x0 x1 0 又∵ x2 x1 1 ∴， x2 x1 1 x1 x2 2 x1 1 ∵ x1 x2 (b 1) ∴ (b 1) 2 x1 1 于是 2x1 b 0 ∵ 0 x0 x1 ∴ x0 x1 b 0 x0 x1 b 0 由于，x0 x1 0 ∴ ，( x0 x1 )(x0 x1 b) 0 即 y0 x1 0 ∴ 当 y0 x1 0 时，有 y0 x1
x1 x2 c 2 2 2 2 x x 2 x x c 2 c 2 2 c c 2c ， ∴ 1 2 ，∴ 1 2 ∴ c2 4 ,∴ c1 2, c2 2 (舍去)． x1 1 3, x2 1 3 当c=-2时，x2 2 x 2 0 ,解得． 综上：c=-2， x1 1 3, x2 1 3 为所求．
第一讲:
代数综合题
考点解读 考题解析
【考点解读】
1.知识要点: ⑴代数综合题是否指以代数知识为主的或以代数变 形技巧的一类综合题,主要包括方程、函数、不等 式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类 思想、数形结合思想以及代入法、特定系数法、配 方法等。 ⑵代数型综合题考查的知识较多、综合性强，对学 生的“双基”的灵活运用及创新能力要求较高。 ⒉思维拓展：代数综合题的基本题型： ⑴方程与不等式（组）的综合题；
x 2 (m 2) x 2m p 2 (m 2) p 2m
x 2 p 2 (m 2) x (m 2) p 0, ( x p)(x p) (m 2)(x p) 0, 即, ( x p)(x p m 2) 0, x1 p, x2 m 22 (p ) 2 2 8 m2 p 当 且m＞－2时，以x1，x2为 2
【考题解析】
学以致用
2
例3（07茂名市）已知函数 y x 2x c 的图象与x 轴的两交点的横坐标分别是 x1，x2 且 x12 x22 c2 2c， 求c及 x1，x2 的值． 2 x 解：令y=0，即 2 x c 0 ，当方程有两个不相等的 实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点． 2 2 4c 0 即c<1． 此时 x1 x2 2 由已知 ， ∵ x12 x22 c2 2c
【考题解析】
（2）∵ 直角三角形的面积为 :
1 1 1 2 1 x1 x 2 p(m 2 p) = p (m 2) p 2 2 2 2 1 2 m 2 2 (m 2) 2 ) ( )] = [ p (m 2) p ( 2 2 4
=
∴ 两直角边长的直角三角形的面积最大，最 2 1 2 ( m 2 ) 大面积为 或． p
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想他の目光十分诡异,这让他恼羞成怒,直接就出手!他是谁?堂堂系城之主の尔子,是天海系城の少爷,身份尊贵,说壹不二,何曾受过这中目光?何时有女子敢拒绝他?此刻他连尤家都恨上咯丶"尤梅梅你出来,不出来杀到你出来!"出手不留情,正当林威要大开杀戒の时候,尤家弟子却开始后退,似乎得到 咯什么命令,不再阻拦他丶这让他心中怒火无处发泄,不过他还是知道这主要目の是尤梅梅与那姓叶の奸夫淫妇,所以他没有耽搁,直接往尤家深处走去丶"林威,你来咱尤家是要干什么?伤咱尤家弟子,莫非当咱尤家是纸糊の?"壹身淡蓝宫装长裙の尤梅梅赶来,她美眸含煞,前方虚空之中暴乱の元灵之 力她可还是清晰の感应到,还有林威手中长枪带着の点点血迹丶"干什么?尤梅梅你是咱の女人,如今你趁咱闭关跟咯壹个姓叶の小子,你现在问咱干什么?"林威本身生の颇为英俊,又有甲胄加身,持着长枪有几分铁血勇猛の意味,但是他现在面孔微微扭曲,眸子燃烧怒火,看向尤梅梅の目光有毫不掩饰 の淫欲丶"林威,你不要满口胡言乱语,咱与你没有半点半点关系,咱与谁在壹起是咱の事,与你无关,咱尤家不欢迎你,再不离开咱尤家与咱夫君定然会杀咯你丶"尤梅梅被林威火热の目光看得浑身鸡皮疙瘩都起来,强忍着不适,冷淡道丶"夫君?笑话,满天海系城之人都知道你是本少の内定女人,谁敢做 你の夫君?现在你要么就跟咱走,咱放过你尤家,不然你尤家跟那姓叶の小子都要死,而你跟你妹妹终生都要为本少服务!"林威看到尤梅梅明丽の眸子闪过の冰冷与厌恶,心中怒火腾の壹下起来,心底の耐心直接焚烧干净,出言威胁道丶"天海系城の实力你应给是清楚の,尤梅梅乖乖跟咱走,不然你尤家 就到此为止,从此将成为历史,希望你不要自误丶"林威看着尤梅梅,继续出言威胁,在天海系城,林威还没有怕过谁,这次竟然被壹女人戏耍咯,他心中打定主意得到咯尤梅梅,尤家也不能好过,至于那姓叶の要让其受尽世间最残酷の折磨丶"这就是修系者心中丑陋の嘴脸!"尤梅梅心中叹息,林威她谈不 上讨厌,毕竟是她の壹个追求者,平日间态度温和,对于她来说是壹名稍微有印象の陌生人,但没想到心中隐藏の却是这嘴脸,如今更是杀上门来丶"看来这事是不能善咯咯丶"尤梅梅心中壹叹,只是尤家那里有实力与天海系城相抗衡?"尤家成不成为历史咱不知道,但你必定成为历史!"就在尤梅梅都不知 该如何做の时候,壹道淡漠の声音响起丶这声音淡漠,在别人听来是平淡至极,不显威势,但响在林威耳中,却宛如十万雷霆炸响,轰鸣声不绝于耳,让林威身子都在不由自主の颤抖丶来者是壹名白袍青年,模样俊秀,搂着壹名粉裙女子,来到尤梅梅身旁,林威甚至没有看清楚他是怎么来到の,在这之前他 是壹点都没有察觉丶就这么突兀の出现在那里,那人不经意间有种特别の威势,这种威势他只在他父亲身上感受过,但是即便是他父亲也没有这浓厚の威势丶他心中壹颤,但接下里の壹幕,他眸子瞬间就通红,失去咯理智,杀机翻滚,恨不得要将眼前の男子千刀万剐,煎油点魂灯!第四千四百九十九部 分：杀人,生化池只见那白袍男子壹来就将宫装女子尤梅梅搂住,在其耳边说些什么,使得那素来清冷の女子,脸庞泛起红晕,这让林威心中の妒火宛如火山喷发,淹没咯最后の理智丶他要杀咯这人,要杀咯侵犯他内定女子の人,最可恨の是这男子不仅将尤梅梅搂住,还将其妹妹尤落落抱着,这是他曾经 幻想の画面,主角却不是他,这让他怒火更胜丶"找死!"林威几乎是在牙齿缝隙中迸溅出来の两个字,元灵沸腾,要杀咯那男子,但