多元函数积分学练习
考研数学一(多元函数积分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设有直线及平由：4x-2y+z-2=0，则直线LA．平行于．B．在上．C．垂直于．D．与斜交．正确答案：C 涉及知识点：多元函数积分学2．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是A．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．B．若极限存在，则f(x，y)在(0，0)处可微．C．若f(x，y)在(0，0)处可微，则极限存在．D．若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限存在.正确答案：B 涉及知识点：多元函数积分学3．二元函数在点(0，0)处A．连续，偏导数存在．B．连续，偏导数不存在．C．不连续，偏导数存在．D．不连续，偏导数不存在．正确答案：C 涉及知识点：多元函数积分学4．设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：多元函数积分学5．设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微甬数，且F2’≠0，则=_______.A．xB．zC．-xD．-z正确答案：B解析：知识模块：多元函数积分学6．函数在点(0，1)处的梯度等于A．iB．-iC．jD．-j正确答案：A解析：知识模块：多元函数积分学7．设生产函数为Q=ALαKβ，其巾Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，而A、α、β均为大于零的参数，则Q=1时K关于L的弹性为________.正确答案：-α/β涉及知识点：多元函数积分学填空题8．设函数则=_________.正确答案：4.解析：知识模块：多元函数积分学9．设u=e-xsin(x/y)，则在点（2,1/π）处的值为_________.正确答案：π2/e2.解析：知识模块：多元函数积分学10．设函数f(μ，ν)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则=__________.正确答案：f12”x+f22”.xy+f2’.解析：知识模块：多元函数积分学11．设函数μ(x，y，z)=1+x2/6+y2/12+z2/18,单位向量则=___________.正确答案：解析：知识模块：多元函数积分学12．=_______.正确答案：i+j+K解析：知识模块：多元函数积分学13．曲面x2+2y2+3z2=21在点(1，-2，2)的法线方程为____________.正确答案：（x-1）/1=（y+2）/（-4）=（z-2）/6.解析：即求曲面S：x2+2y2+3z2=21上过点Mo(1，-2，2)，以S在Mo的法向量n为方向向量的直线．令F(x，y，z)=x2+2y2+3z2-21，S的方程为F(x，y，z)=0，则S在Mo的法向量={2x，4y，6z}丨Mo=2{1，-4，6}.于是S在Mo点的法线方程为. 知识模块：多元函数积分学14．曲面z=x2+y2与平面2z+4y-z=0平行的切平面方程是___________.正确答案：2x+4y-z=5．解析：曲面在任意点P(x，y，z)处的法向量n={2x，2y，-1}，n与平面2x+4y-z=0的法向量n0={2，4，-1}平行n=λn0，λ为某常数，即2x=2λ，2y=4λ，-1=-λ．从而x=1，y=2，又点P在曲面上z=(x2+y2)丨（1,2）=5 P点处的n={2，4，-1}．因此所求切平面方程是2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z=5．知识模块：多元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微积分学)-试卷4
考研数学三（多元函数微积分学）-试卷4(总分：68.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：解析：按可微定义， f(x，y)在(0，0)C项即A=B=0的情形，因此可得出f(x，y)在(0，0)可微．故选C．3.设函数f(x，y)连续，则二次积分等于（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分．由sinx≤y≤1，则0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故应选B．（分数：2.00）A.B.C.D. √D．5.累次积分可以写成（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D可见A、B、C均不正确，故选D．6.设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g’(0)=a≠0,f(a，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=(（分数：2.00）A.B.C. √D.C．7.设f(x)为连续函数，F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)dx，则F’(2)等于( )（分数：2.00）A.2f(2)．B.f(2)．√C.一f(2)．D.0．解析：解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫ 1t dy∫ y t f(x)=∫ 1t dx∫ 1x f(x)dy =∫ 1t(x-1)f(x)dx 于是F’(t)=(t一1)f(t)，从而F’(2)=f(2)．故选B．8.设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D 1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则=( )（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}按照直线y=一x将其分成两部分D 1和D 2，如图4—4所示，其中D 1关于y轴对称，D 2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，因此在D 1和D 2上，均有=0．而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D 1积分不为零，在D 2积分值为零．因此故选项A正确．9.累次积分∫ 01dx∫ x1 f(x，y)dt+∫ 12dy∫ 02-y f(x，y)dx可写成( )（分数：2.00）A.∫ 02dx∫ x2-x f(x，y)dy．B.∫ 01dy∫ 02-y f(x，y)dx．C.∫ 01dx∫ x2-x f(x，y)dy．√D.∫ 01dy∫ 12-x f(x，y)dx．解析：解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C．二、填空题(总题数：12，分数：24.00)10.设函数f(u)可微，且z=f(4x 2一y 2 )在点(1，2)处的全微分dz| (1,2) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4dx一2dy）11.二元函数f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极小值为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题干可知 f x "=2x(2+y 2 )，f y "=2x 2 y+lny+1．12.函数f(x，y)=x 2 y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一64）解析：解析：根据题意可知，得区域D内驻点(2，1)，则有 f xx "=8y一6xy一2y 2； f xy "=8x 一3x 2一4xy； f yy "=-2x 2．则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B 2 =32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，z=2x 3一12x 2(0≤x≤6)，且令．解得x=4．则y=2,f(4，2)=一64，且f(2，1)=4,f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．13.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，则（分数：2.00）填空项1:__________________14.设z=(x+e y ) x，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2ln2+1）解析：解析：由z=(x+e y ) x，故z(x，0)=(x+1) x，代入x=1得，15.设某产品的需求函数为Q=Q(p)，其对应价格P的弹性E p =0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 1元．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：8000）解析：解析：本题考查弹性和微分的经济意义．根据已知收益函数为R=pQ(p)；对收益函数做微分为当Q=10000，dp=1时，产品的收益会增加dR=8000．16.设函数dz| (1,1) = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：(1+2ln2)dx+(一1一2ln2)dy）17.设连续函数z=f(x，y)满足dz| (0,1) = 1（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2dx一dy）解析：解析：根据以及函数z的连续性可知f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为的定义可知，f(x，y)在点(0，1)处是可微的，且有f x’(0，1)=2,f y’(0，1)=一1，所以dz| (0,1)=2dx 一dy．18.设函数z=z(x，y)由方程(z+y) x =xy确定（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2—2ln2）解析：解析：把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得z(1，2)=0．在(z+y) x=xy两边同时对x求偏导数，有将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得19.设函数z=z(x，y)由方程z=e 2x-3z +2y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：在z=e 2x-3z +2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．20.设函数y=y(x)由方程y=1一xe y确定，则（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一e）解析：解析：将x=0代入方程y=1一xe y，得y=1．方程两边对x求导，得y’=一e y一xe y y’．y’(1+xe y )=一e y，因此21.设f(u，v)（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：13，分数：26.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：23.00)1.二元函数z=(1+2x) 3y，则______（分数：1.00）A.3y(1+2x)3y-1B.6y(1+2x)3y-1 √C.(1+2x)3yln(1+2x)D.6y(1+2x)3y解析：2.设z=cos(x 3 y 2 )，则______（分数：1.00）A.2x3ysin(x3y2)B.-3x2y2sin(x3y2)C.-2x3ysin(x3y2) √D.3x2y2sin(x3y2)解析：3.z=5 xy，则______（分数：1.00）A.50B.25C.50ln5 √D.25ln5解析：4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则______（分数：1.00）A.3y2-3x-3y √B.3y2+3x+3yC.3x2-3x-3yD.3x2+3x+3y解析：5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．（分数：1.00）A.C.D. √解析：6.函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz| (1，-1)等于______（分数：1.00）A.2dx-3dyB.2dx+3dy √C.dx+dyD.dx-dy解析：7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______A．B．C．D．（分数：7.00）A.B. √C.D.解析：8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．（分数：8.00）A. √B.C.D.解析：9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.函数 1．（分数：2.00）解析：{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}12.设，则．（分数：2.00）13.设f(x，y)= 1．（分数：2.00）解析：x 2 y14.设函数z=x 2 +ye x，则．（分数：2.00）解析：2x+ye x15.设，则．（分数：2.00）16.设z=y 2x，则．（分数：2.00）解析：2x·y 2x-117.设函数z=xy+x 3，则．（分数：2.00）解析：y+3x 2 +x18.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）19.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：120.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：(e-1) 221.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）解析：2ln2三、解答题(总题数：29，分数：61.00)22.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()23.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()24.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()25.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，．26.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()27.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()28.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()29.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()30.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-631.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()32.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-533.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-5，极大值为3134.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．35.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2+y 2=a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．36.在所有对角线为（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．37.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()38.改变积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()39.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()40.交换二重积分（分数：2.00）正确答案：()41.求D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.计算二重积分D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算二重积分D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算二重积分D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.计算二重积分D是由x 2 +y 2≤1围成．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()46.求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．（分数：2.00）正确答案：()47.计算D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.计算D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()49.计算（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()50.设f(x)在[0，1]上连续，证明．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学--练习题
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1) ()211(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin ;x y x yxy→∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xy x→ (4)()(,)0,0limx y →2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x yf x y xy=+的极限不存在。
二、填空题3. 若 22(,)f x y y x y +=-，则 (,)f x y = ；4.函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知 2(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当 23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若 2xy Z e yx =+，则 Z y∂=∂ ；8. 设 (,)ln()2y f x y x x=+，则 '(1,0)y f =；9. xyZ xe Z ==二元函数全微分d ； 10. arctan()Z xy =设，则dz= .11.1,0xyx y Z e Z====二元函数全微分d三、选择题12.设函数 ln()Z xy =，则Z x∂=∂ ( )A1yBx yC 1xDy x13.设 2sin(),Z xy = 则Z x∂=∂ ( )A 2cos()xy xyB 2cos()xy xy -C 22cos()y xy -D 22cos()y xy14.设 3xy Z =，则Z x∂=∂ ( )A 3xy yB 3ln 3xyC 13xy xy - D3ln 3xyy四、计算与应用题15. (1) 22e x yz +=, 求(0,1),(1,0)xy z z ''； (2) arctan y z x=, 求(1,1),(1,1)xy z z ''--；16.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和17.已知 2242(3),x y Z Z Z x y xy+∂∂=+∂∂设求和18.22exyz x y=+，求y xz z '';。
(整理)第六章多元函数积分1
第六章 多元函数积分学一．重积分例1：将⎰⎰=Dd y x f I σ),(用两种积分次序表为二次积分。
（1）D ：由曲线1,21,0,8222====+y y x y y x 所围； （2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤axy x ax ax D 2220:2例2：交换二次积分⎰⎰xdy y x f dxsin 020),(π的顺序。
例3：计算二次积分⎰⎰xxdy yxdx 2sin21π⎰⎰+2422sinxdy yxdx π例4：计算二次积分+⎰⎰--yxR y dx e dy e 0222⎰⎰---22222y R x RR ydx edy e例5：计算二重积分⎰⎰=Dydxdy I ，其中D 是由直线2,0,2==-=y y x 以及曲线22y y x --=所围成的平面区域。
（答案：24π-）例6：计算二重积分⎰⎰-=Ddxdy x y I 2，其中D 是由直线2,1,1=-==y x x 和x 轴所围成的平面区域。
（答案：352+π） 例7：设)(t f 在),0[+∞上连续，且 +=1)(t f ⎰⎰≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+22242221t y x dxdy y x f 求)(t f （答案：24)(t e t f π=）例8：设闭区域D ：.0,22≥≤+x y y x ),(y x f 为D 上的连续函数，且 ---=221),(y x y x f ()⎰⎰Ddudv v u f ,8π求),(y x f （答案：---=221),(y x y x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32234ππ） 例9：计算二重积分⎰⎰+=Ddxdy y x I 22，其中D 由圆轴及直线x x y x y x ==+,222所围成的平面区域。
（答案：2910） 例10：设D 是xoy 平面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限部分，则⎰⎰+Ddxdy y x xy )sin cos (等于)(A ⎰⎰1sin cos 2D ydxdy x )(B ⎰⎰12D xydxdy)(C ⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xy 0)(D例11：计算⎰⎰++++++=Ddxdy y x x x y y I 22211ln 1）（ 其中}01{22≥≤+=y y x y x D ，），（。
微积分II(甲)多元函数积分学练习
微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分 １.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。
高等数学(下)多元函数微积分试题
x2 y2 0 x2 y2 0
,则在点（0，0）处（
）
（B）连续但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。
2
多元函数微积分
6、设平面区域 D： ( x 2) ( y 1) 1，若 I 1
2 2
( x y)
D
2
d ， I 2 ( x y)3 d 则有（
D
） （A）
I1 I 2 ； （B） I1 I 2 ；
7、设 z x ，结论正确的是（
y2
（C） I 1 I 2 ； ）
（D）不能比较。
2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z （A） （B） （C） （D） 0； 0； 0； 0。 xy yx xy yx xy yx xy yx
( xy cos x cos y)dxdy (
D
)
(D) 0 。
cos x sin ydxdy
D1
；
(B) 2
xydxdy
D1
； (C) 4
xydxdy ；
D1
19、下列命题正确的是（
）
(A) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在该点处连续； (B) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在； (C) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续； （D） 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处的二阶偏导数都存在， 则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续。 20、下列论述正确的是（ ）
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(二)(总分：99.98，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：18.00)1.设z=ln(x2+y)，则等于A． B． C． D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为B)2.设z=(lny)xy∙ A.xy(lny)xy-1∙ B.(lny)xy lnlny∙ C.y(lny)xy lnlny∙ D.x(lny)xy lnlny（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*](答案为C)3.设z=sin(xy2)∙ A.-2xycos(xy2)∙ B.-y2cos(xy2)∙ C.2xycos(xy2)∙ D.y2cos(xy2)（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算． [*]．(答案为C)4.已知f(xy，x-y)=x2+y2∙ A.2+2y∙ B.2-2y∙ C.2x+2y∙ D.2x-2y（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 本题主要考查简单二元函数偏导数的计算．f(xy，x-y)=x2+y2=(x-y)2+2xy，f(x，y)=2x+y2，[*]，[*]．(答案为A)5.函数z=3x2y+2xy3在点(1，1)处的全微分dz|(1，1)等于∙ A.4dx-3dy∙ B.4dx+3dy∙ C.8dx+9dy∙ D.8dx-9dy（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] [*]，[*]，dz|(1，1)8dx+9dy．(答案为C)6.______∙ A.{(x，y)|x2+y2≤4}∙ B.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0}∙ C.{(x，y)|x2+y2≤4且x≠0，y≠0}∙ D.{(x，y)|x2+y2≤4且y≠0}（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：7.______∙ A.{(x，y)|0＜x2+y2≤2}∙ B.{(x，y)|0≤x2+y2≤2}∙ C.{(x，y)|0＜x2+y2＜2}∙ D.{(x，y)|0≤x2+y2＜2}（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：8.设f(x，y)=，则=______ A． B． C． D（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：9.设，则f(x，y)=______A． B． C D．xe x（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：13，分数：26.00)10.，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 根据二元函数的定义，函数关系只取决于定义域与对应法则，而与变量所选用的记号无关，如果函数表达式中的第一自变量用记号u表示，第二自变量用记号v表示，则给定的函数对应法则为[*]．如果将第一自变量u用[*]替换，第二自变量v用[*]替换，则有 [*]11.f(x，y)=2x2+y2，则f(xy，x2-y2)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x4+y4）解析：[解析] f(xy，x2-y2)=2(xy)2+(x2-y2)2=x4+y4．12.f(x+y，x-y)=x2-y2，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：xy）解析：[解析] 解法Ⅰ (置换法)令[*]解得[*]代入给定函数，则有 [*]，因为函数关系与变量所选用的记号无关，再用字母x，y代换字母u，v，则有f(x，y)=xy 解法Ⅱ (拼凑法)由于f(x+y，x-y)=(x+y)(x-y)，则有f(x，y)=xy13.f(xy，x-y)=x2+y2+xy，则f(x，y)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：3x+y2）解析：[解析] 由于f(xy，x-y)=x2+y2+xy=(x-y)2+3xy，则有f(x，y)=3x+y2．14.设函数z=x2+ye x．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x+ye x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．[*]=2x+ye x．15.设z=sin(x2y)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x2cos(x2y)）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数． [*]．16.设z=，则．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶偏导数．解法Ⅰ [*]，[*]．解法Ⅱ 由于是求函数[*]在点(1，0)处对x的偏导数，可先求出z(x，0)，即将y=0代入函数[*]，可得到关于x的一元函数，然后再求其在x=1处的导数．[*]，[*]．17.函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]， [*]．18.设z=ln(x+y2)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：dx）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的一阶全微分．解法Ⅰ [*]，[*]，[*]．解法Ⅱ [*]，[*]．19.设z=x2y+siny．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2x）解析：[解析] 本题主要考查计算二元函数的二阶混合偏导数． [*]．20.函数z=z(x，y)是由方程x2z+2y2z2+y=0确定，则dz=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] 两种解法如下．解法Ⅰ (公式法)令F(x，y，z)=x2z+2y2z2+y，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*]，[*]解法Ⅱ (直接微分法)将方程两边同时求微分d(x2z)+d(2y2z2)+dy=0，2xdxz+x2dz+4ydy2+4y2zdz+dy=0，经整理，得(x2+4y2z)dz=-2xzdx-(4yz2+1)dy，即[*]．21.函数f(x，y)=4(x-y)-x2-y2的极大值点是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[解析] 解方程组[*]得驻点(2，-2)，计算[*]，B2-AC=-4＜0，A=-2＜0，所以函数的极大值点为(2，-2)，极大值为f(2，-2)=8．22. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：{(x，y)|1＜x2+y2≤2}）解析：三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：56.00)求下列二元函数的定义域．（分数：55.98）3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于分式函数，要求分式的分母不为零，而对于根式函数，要求偶次方根号下的被开方式必须大于或等于零，则有[*]所以D={(x，y)|0＜x2+y2≤4}，此函数的定义域是以点(0，0)为圆心，以2为半径的圆周及圆周所围成的不含圆心、不含圆周上及圆周内的y轴部分的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(2).z=ln(y2-2x+1)．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于对数函数，要求真数式必须大于零，则有y2-2x+1＞0，即y2＞2x-1．所以D={(x，y)|y2＞2x-1}，此函数的定义域是以点([*]，0)为顶点，以x为对称轴，开口向右的抛物线所围成的左侧无界开区域(如下图)．[*])解析：3.11）正确答案：(对于函数arcsinf(x，y)，arccosf(x，y)，要求|f(x，y)|≤1，则有 [*]即[*] 所以D={(x，y)|-2≤x≤2，-3≤y≤3}，此函数的定义域是直线x=-2，x=2，y=-3，y=3所围成的有界闭区域(如下图)．[*]) 解析：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(要使函数解析式有意义，自变量x，y应同时满足[*]即[*]亦即[*]所以D={(x，y)|y2≤4x，x2+y2＜1且x≠0，y≠0}，此函数的定义域是抛物线y2=4x和圆x2+y2=1所围成的，但不含原点及抛物线间劣弧段的有界半开半闭区域(如下图)．[*])解析：(5).，求 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：([*]， [*]．)解析：(6).设z=e u sinv，u=xy，v=x+y 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(根据二元复合函数求导的链式法则，有[*]=e xy sin(x+y)y+e xy cos(x+y)=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]，[*]=e xy sin(x+y)x+e xy cos(x+y)=e xy[xsin(x+y)+cos(x+y)]．)解析：(7).设z=f(u，v)，而u=x2y，，其中f(u，v) 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数． [*])解析：(8).设z=f(xy，x2+y2)，且f 3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查用二元复合函数的链式法则求偏导数．设z=f(u，v)，u=xy，v=x2+y2，[*])解析：(9).设函数z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________正确答案：(本题主要考查计算二元函数的全微分． [*])解析：(10).dz．（分数：3.11）正确答案：([*])解析：(11).设函数f(u，v)dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元复合函数的全微分． [*]， [*])解析：(12).设函数z=ln(2-x+y) 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(13).设函数z=ln(1-x+y)+x2y 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]．)解析：(14).设函数，求 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(15).设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2-xyz2=0 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x2+y3-xyz2，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(16).设z=f(x，y)是由方程F(x+mz，y+nz)=0所确定，其中m、n为常数，F(u，v)为可微分函数，数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题主要考查计算二元函数的偏导数．设 F(u，v)=0，u=x+mz，v=y+nz， [*] [*])解析：(17).设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0所确定，求dz．（分数：3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=yz+x2+z，分别求出三元函数F(x，y，z)对x，y，z的导数，对其中一个变量求导时，其他两个变量视为常数．[*])解析：(18).设函数z=z(x，y)是由方程z=x+ye z 3.11）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令F(x，y，z)=x+ye z-z，[*])解析：。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
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Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元函数积分学100题
多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1. (1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dyd xyσ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤；3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤；4. x yDed σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤；5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域；6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域；7.2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．3(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤10. 1Dx d y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域；11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；12. Dxy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x yDed σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；15.arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16. Dσ⎰⎰，其中22:D x y Rx +≤；17. 2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18. Dσ⎰⎰，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；20. 22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域；21. 2222()Dx y d abσ+⎰⎰，其中2222:1x y D ab+≤；22. 222yxdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yx dy dx xππ⎰⎰；24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x yx y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26. Dσ⎰⎰，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域；27. 221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y Dex y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34. ||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；35. 222222ln(1)1z x y z d x y zυ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z ==所围成的立体区域；37. 22xye d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域；40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标； 49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； 54. 22()x y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤；55. 2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56. 2221ds x y zΓ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧；57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线A B C D ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lx y dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59. Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60. Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧；61. 22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）；62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧；63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰ ，其中Γ是有向闭折线段A B C A ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)xxLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰ ，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68. 22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；69. 222()Lydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0yye dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Q dy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LP d x Q d y+⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分；78. ()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79. ()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =222x y ax +=所截得的部分；80. 22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81. ()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧；84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85. 22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =1z =所截下在第一卦限部分的下侧；86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87. 222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧；88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89. 2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰ ，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧；90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧；91. 24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰ ，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93. 323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =的上侧；94. ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向；95. ()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b ab+=>>，若从x轴的正向看去，取逆时针方向； 96. ABC Azdx xdy ydz ++⎰，其中A B C A 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰ ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z =-=；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k的旋度.参考答案： 1. 16， 2.1ln 2122-， 3.421(2)2e e e --， 4. 1e e-，5. 36， 6.3215，7. 1cos 12-， 8. 25， 9. 655， 10.91ln 3ln 282--， 11.1130， 12.42a， 13. 4(1)e π-，14.(2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33Rπ-，17. 516π，18. 815，19.284ππ-，20.7ln 23，21.2abπ ，22.41(1)2e--，23. 12，24.32，25.4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28.(1)2e ππ+，29. 16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32.148， 33.1312， 34. 2π，35. 0， 36.8π，37. 1(1)e π--，38.712π， 39.1cos 12π-， 40.21)15π-， 41. 8， 42. 476a π， 43.10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46.76π ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50.7296,57. 51. 1315+， 52. 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55.325615a ，2)2e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-，62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.12， 65.323，66. 12, 67. 0, 68.17sin 246-, 69. π-,70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. Γ⎰，75. (1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.12+, 81. 38a ， 82.41132a π， 83. 4π， 84.12，85. 146π-，86. 32()555P Q dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89.525a π, 90. 81π, 91.32， 92. 108π， 93.52920a π， 94. 2a ，95. 2()a a b π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rot A i j k.。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-1
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-1(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：23.00)1.二元函数z=(1+2x) 3y，则______（分数：1.00）A.3y(1+2x)3y-1B.6y(1+2x)3y-1 √C.(1+2x)3yln(1+2x)D.6y(1+2x)3y解析：2.设z=cos(x 3 y 2 )，则______（分数：1.00）A.2x3ysin(x3y2)B.-3x2y2sin(x3y2)C.-2x3ysin(x3y2) √D.3x2y2sin(x3y2)解析：3.z=5 xy，则______（分数：1.00）A.50B.25C.50ln5 √D.25ln5解析：4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则______（分数：1.00）A.3y2-3x-3y √B.3y2+3x+3yC.3x2-3x-3yD.3x2+3x+3y解析：5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．（分数：1.00）A.C.D. √解析：6.函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz| (1，-1)等于______（分数：1.00）A.2dx-3dyB.2dx+3dy √C.dx+dyD.dx-dy解析：7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______A．B．C．D．（分数：7.00）A.B. √C.D.解析：8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．（分数：8.00）A. √B.C.D.解析：9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.函数 1．（分数：2.00）解析：{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}12.设，则．（分数：2.00）13.设f(x，y)= 1．（分数：2.00）解析：x 2 y14.设函数z=x 2 +ye x，则．（分数：2.00）解析：2x+ye x15.设，则．（分数：2.00）16.设z=y 2x，则．（分数：2.00）解析：2x·y 2x-117.设函数z=xy+x 3，则．（分数：2.00）解析：y+3x 2 +x18.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）19.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：120.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：(e-1) 221.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）解析：2ln2三、解答题(总题数：29，分数：61.00)22.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()23.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()24.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()25.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，．26.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()27.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()28.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()29.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()30.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-631.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()32.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-533.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-5，极大值为3134.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．35.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2+y 2=a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．36.在所有对角线为（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．37.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()38.改变积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()39.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()40.交换二重积分（分数：2.00）正确答案：()41.求D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.计算二重积分D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算二重积分D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算二重积分D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.计算二重积分D是由x 2 +y 2≤1围成．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()46.求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．（分数：2.00）正确答案：()47.计算D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.计算D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()49.计算（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()50.设f(x)在[0，1]上连续，证明．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则。
多元函数微积分练习题共6页
练习题一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数yx yx z -++=11的定义域.2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）22)0,1(),()ln(limy x e x y y x ++→ （2） 4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→（3）243lim)0,0(),(-+→xy xy y x （4）xy x xy 1)1,0(),()1(lim +→（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()(2sin lim yx y x y x ++→ 4 证明极限yx yx y x +-→)0,0(),(lim不存在.5 指出函数22),(y x yx y x f -+=的间断点.6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2y x f x z = （4）)(xy xz ϕ=（5）y xy y x z 2344+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2221zy x u ++=（10）⎰=220sin y x dt t z7 计算下列函数的二阶偏导数（1）243y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =（3）y e z xy sin = （4）),(2y x f x z = （5）2(,)z f xy x = 8求下列函数的全微分（1）xy xe z = （2）221yx z +=（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰=xydt t y x f 12sin ),(，求df .10 （1）22uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求xz ∂∂，yz ∂∂（2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求xz ∂∂，yz ∂∂（3）v u e z -=， t u sin =，2t v =,dz dt（4）),(22y x yx f z -=,求xz ∂∂，yz ∂∂（5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求xz ∂∂，yz ∂∂；11 （1）设0)ln(22=+-+y x xy x ，求dxdy . （2）设xyz e z =，求yz x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨⎧=++=++1022z y x z y x ，求dz dx ，dz dy. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=211t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.13求曲线⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.14求曲面3=+-xy z e z 在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数22)1(-+=y x z 的极值.16求函数32z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.17求函数32z xy u =在曲面03222=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的法线方向的方向导数.18 设222(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf . 二 多元函数积分学部分练习题 1、改变下列二次积分的积分次序（1）⎰⎰1102),(x dy y x f dx （2）⎰⎰--yy dx y x f dy 21110),(（3）⎰⎰⎰⎰+2242220),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy2、计算下列二重积分（1）⎰⎰Dxyd σ，其中区域D 是曲线xy 1=，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域.（3）⎰⎰+Dd y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .（4）⎰⎰+Dd y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2π=x 所围成的区域.（5）⎰⎰--Dy xd e σ22，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.（6）⎰⎰+Dd y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2x y =和1=x 所围成的区域.4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3220222)(limtd y x f t y x t πσ⎰⎰≤+→+.5 计算下列三重积分（1）⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2π=++z y x 所围成的立体；（2）计算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面222y x z --= 以及22y x z +=所围成的空间形体.（3）计算积分⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω是球面4222≤++z y x 在第一卦限的部分.6 试计算立体Ω由曲面228y x z --=及22y x z +=所围成的体积. 7计算⎰⎰⎰Ωdxdydz e z ，其中Ω是球面1222≤++z y x .8 计算下列曲线积分（1）LxydS ⎰，其中L 为圆222a y x =+在第一象限内的部分；（2）222()x y z dS Γ++⎰，其中Γ是球面9222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线.（3）⎰+-+L dy y x dx y )2()1(3，其中L 是曲线23x y =上从点)0,0(O 到点)1,1(A 的一段弧；（4）计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周θcos r x =，θsin r y =上由0=θ到πθ2=的一段弧.（5）在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=a x a y 中求一条直线L ，使沿该曲线到点O 到点A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.（6）计算⎰⎰∑dS z1，其中∑为球面4222=++z y x 被平面1=z 截出的上半部分.（7）计算⎰⎰∑++dS z y x )(222，其中∑为锥面222y x z +=介于平面0=z 与1=z 之间的部分. （8）计算⎰⎰∑+dxdy y x e z 22，其中∑是锥面22y x z +=夹在平面1=z 和2=z 之间部分的外侧.（9）计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 333，其中∑为以点)0,0,1(A ，)0,1,0(B ，)1,0,0(C 为顶点的三角形的上侧.9求曲线Γ：a x =，at y =，221at z =（10≤≤t ，0>a ）的质量，设其线密度为az2=ρ. 10 （1） 设L 为取正向的圆周922=+y x ，计算曲线积分⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2的值.（2）利用Stokes 公式计算曲线积分⎰++=L xdz zdy ydx I ，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，由z 轴的正向看去，圆周沿逆时针方向.（3）计算对坐标的曲线积分⎰++L dy x dx x xy 2)(2，其中L 为222R y x =+的第一象限由),0(R 到)0,(R 的一段弧.（4）已知1)(=πϕ，试确定)(x ϕ，使曲线积分⎰+-BAdy x dx xyx x )()]([sin ϕϕ 与路径无关，并求当A ，B 分别为)0,1(，),(ππ时线积分的值（5）计算⎰⎰∑++=yzdxdy xydzdx xzdydz I ，其中∑是圆柱面222R y x =+与平面0=x ，0=y ，0=z 及h z =)0(>h 所围成的在第一卦限中的立体的表面外侧.11（1）设k z j y i x r ϖϖϖϖ++=，计算r rot ϖ.（2）设()A xyz xi yj zk =++r r r r，计算divA r希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
第七章 多元函数微积分
高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号 第一节 空间解析几何基础知识 第二节 多元函数的概念一．选择题1．方程22480x y z +-+=表示 （D ） （A ）平面 （B ）柱面 （C ）球 （D ）抛物面 2．函数)ln(1y x z +=的定义域 （ C ）（A ）0>+y x （B ）0)ln(≠+y x （C ）1>+y x （D ）1≠+y x 3．设)1(-+=x f y z ，且当1=y x z =时，则)(y f = （ D ）（A ）1-y （B ）y （C ）2+y （D ）)2(+y y4．若)0()l n(),(22>>--=y x y x x y x f ，则),(y x y x f -+= （ B ）（A ）)ln(y x - （B ）)ln(2y x -（C ）)ln (ln 21y x - （D ）)ln(2y x - 二．填空题1．点(4,3,5)M -到x 轴的距离d2．若一球面以点(1,3,2)-为球心且过原点，则其方程为3．与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____ _ ___4． 球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点__________，半径=R __； 5. ln()z y x =-+的定义域6．设函数32(,)23f x y x xy y =-+，则(x f y =7．已知22),(y x xy y x f -=+，则=),(y x f 8．已知vu ww u w v u f ++=),,(，则),,(xy y x y x f -+=222(1)(3)(2)14x y z -+-++=2262110z x y z --++=(1,2,2)-422{(,)|1,0}x y x y y x +<>≥3()3x xy y -+2222(1)1(1)x xy x y y y --=++2()()xy xx y xy ++三．计算题1．y xy y x )sin(lim)0,2(),(→解：sin()xy xy ≤∴ 当(,)(2,0)x y →时，sin()2xy y→ 则原式＝2 2．24lim)0,0(),(-+→xy xy y x解：2==∴原式＝(,)(0,0)lim 2)4x y →=3．2222222)0,0(),()(cos 1limy x y x ey x y x +→++-解：2211()2x y -+∴原式＝2222222(,)(0,0)1()2lim ()x y x y x y x y e+→++ ＝222(,)(0,0)1lim2x y x y e+→＝12高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第三节 偏导数 第四节 全微分一．选择题1．设),(y x f z =，则),(00y x xz ∂∂= （ B ）（A ）x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000（B ）xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000（C ）x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000（D ）xy x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 000002．若xy z ln =，则dz 等于 （ B ）（A ）y x y x y y x x ln ln ln ln + （B ）dy yxy dx x y y x x ln ln ln ln +（C ）ln ln ln ln x xy x y ydx dy x + （D ）xyy x ln ln 3．设22()z yf x y =-，则 11z zx y y∂∂+=∂∂ （ A ） （A ）221()f x y y -； （B ）4f yf y '+； （C ）0； （D ）1y二．填空题1．设)cos(2y x z =，则yz∂∂= 2．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f3．设)sin(),(223y x ey x y x f xy--+=，则=)1,1(x f4．设432),,(z y x z y x f =，则),,(z y x f z =5．设函数2sin()(1y z y xy y e -=+-，则(1,0)|z x∂=∂6．设2232),(y xy x y x f -+=，则),(y x f xy''= 7．设y x e u xsin -=，则yx u∂∂∂2在点)1,2(π处的值为22sin()x x y -251e +2234x y z 14322e π-8．函数y x xy z ++=22arctan 的全微分=dz三．计算题 1．设xzyau ）（1=, 求z y x u u u '''，，解： 1()'ln ln xz xzyx u zayy a -=-⋅ 1()1'ln xz xz yy u xzyaa --=- 1()'ln ln xz xzyz u xy aa y -=-⋅2．设)ln(2y x z +=，求在点（1，0）处的全微分 解：22dx ydydz x y+=+ (1,0)|d z d x = 3．设)11(yx ez +-=，求证z yz y x z x222=∂∂+∂∂ 证：11()21x y z e x x -+∂=∂ 11()21x y z ey y-+∂=∂ 1111()()22222211x yx yz z x y x e y ex y x y-+-+∂∂+=+∂∂＝11()22x yez -+=4．验证 nx ey tkn sin 2-=满足22xyk t y ∂∂=∂∂证：22sin kn t y kn e nx t -∂=-∂ 2c o s k n t y n e n x x -∂=∂ 2222s i n k n ty n e n x x-∂=-∂ ∴22xy k t y ∂∂=∂∂22(4)(1)1()1()y x x dx dy xy xy +++++高等数学练习题 第七章 多元函数微积分系 专业 班 姓名 学号第五节 多元复合函数与隐函数微分法（一）一．选择题1．设)(),,(,ln 2y v y x u v u z ψϕ===均为可微函数，则=∂∂yz（ C ） （A ）vu v u 2ln 2+（B ）v u v y 2ln 2+ϕ （C ）ψϕ'+v u v u y 2ln 2 （D ）vu y ψϕ'22．设(,)2323z f x y x y =+，f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ （B ）（A ）226621112222615276f x y f x y f x yf '''''''+++ （B ）()235211122226666f xy x y f x y f xy f '''''''++++ （C ）()235111222666f xy x y f x y f ''''''+++ （D ）226611122261527f x y f x y f ''''''++ 二．填空题1．设22v u z +=，而y x v y x u -=+=,，则yzx z ∂∂+∂∂= 2．设yx ez 2-=，而t x sin =，3t y =，则dtdz = 3．设z =)()(1y x y xy f x ++ϕ，f 和ϕ具有二阶连续导数，则yx z ∂∂∂2= '''()''(y f x y y x yϕϕ++++ 4．设f 具有一阶连续偏导数，),(22xye y xf u -=，则u x∂=∂ ；uy∂=∂ . 三．计算题1．设y x z arctan =，而v u x +=，v u y -=，求vz u z ∂∂+∂∂ 解：2211[]1()xz u x y yy∂=-∂+2211[]1()z x v y y y ∂=+∂+ 4()x y +22(cos 6)x y t t e--122''xy xf ye f +122''xy yf xe f -+222z z y u v x y ∂∂+=∂∂+2．设1)(2--=a z y e u ax ，而x a y sin =，xz cos =，求dx du 解：222cos sin ()111ax ax ax du a ae x e xe y z dx a a a =-++--- 2()1ax e yay az az a a=-++- 2222(1)sin (1)(1)1ax axa e x a e y a a a ++==-- 3．设sin()(,)x z xy x y =+ϕ，求2zx y∂∂∂，其中(,)u v ϕ有二阶偏导数。
多元函数积分学练习题
第 7 章 多元函数积分学 练习题一、选择题与填空题1.11.交换二次积分次序，则12.设 D x, y 0 x 1,0 y 1 ，试利用二重积分的性质估计 I dx f ( x, y)dy dx0 01x222 x10f ( x, y)dy __________ __ . xyx yd 的DDf ( x, y)d lim f (i ,i ) i 中 是 0i 1n值: （ B.小区域最大面积； D.小区域最大直径. （ B.区域 D 及变量 x，y 无关； D.函数 f 无关，区域 D 有关. （ ） ） ）.13.设区域 D 是有 x 轴、 y 轴与直线 x y 1 所围成，比较大小：姓名A.最大小区间长； C.小区域直径；装2.二重积分 f ( x, y)dxdy 的值与D x y d ______________ x y d .D D23A.函数 f 及变量 x，y 有关； C.函数 f 及区域 D 有关； 3.设 f ( x) g ( x) 14.比较大小：其中 D 是以 (0,0),(1, 1),(1,1) 为顶点的三角形，学号4, 0 x 1 ，D 为全平面，则 f ( x) g ( y x)dxdy 0, 其余 D ( xD2 y 2 )d ______________ x 2 y 2 d .D15.设 D 是由 x 0, y , y x 所围成的区域， 则 16.设 D： x y a ,(a 0) ,又有2 2 2__ . cos(x y)dxdy __________DA.16； B.8； C.4； D. . 4.设 D1 是由 ox 轴，oy 轴及直线 x+y=1 所围成的有界闭域，f 是区域 D：|x|+|y|≤1 上的连续函 数，则二重积分 ( xD2 y )dxdy 8 ，则 a =2. f ( xD2, y 2 ) dxdy B.4； f ( xD12, y 2 ) dxdy .（）订A.2； 5.设 I1 C.8；1 D. . 2D二、解答与证明题1.根据重积分的性质，比较积分 ln(x y)d 与 ln(x y) 2 d 的大小，其中积分区域 D 是：D2 ln( x y)d ，I2 ( x y) d ， I3 ( x y)d ，其中 D 是由直线 x=0， D DD班级y=0， x y 1 及 x y 1 所围成的区域，则 I1，I2，I3 的大小顺序为 2B. I1＜I2＜I3D（1）以 (1, 0) ， (1, 1) ， ( 2, 0) 为顶点的三角形区域； （2）矩形区域： 3 x 5, 0 y 1 . 2.设 D {(x, y) x y 10} ，估计积分 I （）12A.I3＜I2＜I1 ；C. I1＜I3＜I2；D. I3＜I1＜I2. （ D. 8 . （ D. ） ）D 100 cosx cos 2 yd 的值.2 2 6.设 D {( x, y ) 1 x y 9 } ， 则 dxdy C. 3 ；13.化二重积分 f ( x, y )d 为两种不同积分次序的二次积分，其中积分区域 D 为：由D线A. ； 7. 顶点坐标为（0,0） ， （0,1） ， （1,1）的三角形面积可以表示为 B. 2 ； A.y x, y 2 4x 所围成的闭区域.4.改变下列二次积分的积分次序. （1） 1 dx2 x2 2 x x2x系别x0dy dx0yB. dx01x1dyC. dx dy0 x1 dy 010ydx .8.当函数 f(x，y)在闭区域 D 上______________时，则其在 D 上的二重积分必定存在. 9.二重积分 f ( x, y)d 的几何意义是D（2） dx 2 f ( x, y )dy dx f ( x, y)dy ；0 0 4466 x0f ( x, y )dy .5.计算二重积分 I . 6.计算二重积分 I 7.计算二重积分 I x dxdy ，其中 D : x y 1.2 D10.交换二次积分次序，则 dy012 y yf ( x, y)dx __________ ___. xD21 y 2 dxdy ，其中 D : 0 y 1 x2 ,0 x 1 . |1 x y | dxdy ，其中 D : 0 x 1, 0 y 1.D1/28.计算二重积分 I 物线 y＝ xydxdy ，其中 D 由 xoy 平面上第一象限内直线 x＝0 与 y=2 抛D1 2 x 所围. 29.计算二重积分 I xdxdy ， 其中 D 由 y x及y D2 x x 2 所围.10.计算二重积分 I xDx y dxdy ， 其中 D 由x2 y 2 1, x y 1所围. 2 2 ydxdy ，其中 D 是圆域 x 2 y 2 1 在第一象限部分.11.计算二重积分 I 12.计算二重积分 I 13.计算二重积分 D eD x2 y 2 ( xD2 y 2 x)dxdy. 其中 D 由直线 y 2, y x 及 y 2 x 所围.x2 y2d ，其中 D 由直线 x 2, y x 及曲线 xy 1 所围.214.计算二重积分 I e y dxdy ,D其中 D 由 y x, x 0, y 1所围.15.求曲线. x 16.求曲线 xe0tucos udu, y 2sin t cos t , z 1 e3t 在t 0处的切线和法平面方程 . sin 2 t , y sin t cost , z cos2t 在 t 2 x z4处的切线方程.17.求曲面 y e 18.证明: 0 在点（1,1,2）处的切平面与法线方程.sin x dx 1 . x2 0bdyx2 y1 b (b y ) n 1 f ( y )dy . a a a n 1 20. 如果二重积分 f ( x, y )d 的被积函数 f ( x, y ) 能分解为 x 的函数与 y 的函数的乘积，即19.证明：dx ( x y ) n f ( y )dy Df ( x, y) f1 ( x) f 2 ( y) ，且积分区域 D 为矩形区域： a x b, c y d ，证明二重积分等于两个定积分的乘积，即 f ( x, y)d a f1 ( x)dx c f 2 ( y)dy .Db d2/2。
专升本高等数学二(多元函数积分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（多元函数积分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．化二重积分f(x，y)dxdy为极坐标下的二次积分，其中D由y=x2及y=x围成，正确的是( )A．∫0dθ∫0tanθf(rcosθ，rsinθ)rdrB．∫0dθ∫0tanθsecθf(rcosθ，rsinθ)rdrC．∫0dθ∫0tanθsecθf(rcosθ，rsinθ)rdrD．∫0dθ∫0tanθcscθf(rcosθ，rsinθ)rdr正确答案：C解析：由题意可得直角坐标系下的D可表示为：0≤x≤1，x2≤y≤x，令x=rcos θ，y=rsinθ，则0≤θ≤，0≤r≤tanθsecθ，则二重积分可表示为f(rcosθ，rsinθ)rdr，故选C．知识模块：多元函数积分学2．若D=｛(x，y)｜a2≤x2+y2≤4a2，(a＞0)｝，则二重积分dxdy= ( )A．3πa2B．πa3C．πa2D．πa3正确答案：D解析：=∫02πdθ∫a2ar2dr=πa3．知识模块：多元函数积分学3．区域D为( )时，dxdy=2．A．｜x｜≤1，｜y｜≤1B．｜x｜+｜y｜≤1C．0≤x≤1，0≤y≤2xD．0≤x2+y2≤2正确答案：B解析：由二重积分的性质知=SD=2，可求得A的面积SD=4，B的面积SD=2×2×=2，C的面积SD=2×1×=1，D的面积SD==2π，故选B．知识模块：多元函数积分学4．设L为抛物线x一1=y2一2y上从点A(1，0)到点B(1，2)的一段弧，则∫L(ey+x)dx+(xey一2y)dy= ( )A．e一1B．e+1C．e2一5D．e2+5正确答案：C解析：=ey，所以积分与路径无关，原积分路径可以改为沿着x=1从A点到B点，则∫L(ey+x)dx+(xey－2y)dy=∫02(ey一2y)dy=(ey一y2)｜02=e2一5，故选C．知识模块：多元函数积分学5．设L是y=x2上从点(0，0)到点(1，1)之间的有向弧，则∫L(x3一y)dx一(x+siny)dy= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：=一1，所以积分与路径无关，则可把积分看成先所以积分∫L(x3－y)dx—(x+siny)dy=∫01x3dx+∫01－(1+siny)dy=(－1+cos1)一(0+1)=cos1—．知识模块：多元函数积分学6．已知闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积分(4x2+4y2一6)ds= ( )A．40πB．12πC．6πD．4π正确答案：A解析：令x=2cost，y=2sint，则(4x2+4y2一6)ds=∫02π10dt=∫02π20dt=40π．知识模块：多元函数积分学填空题7．比较积分I1=(x+y)7dσ与I2=(x+y)8dσ的大小，其中D由Ox轴、Oy轴及直线x+y=1围成，则________．正确答案：I1≥I2解析：在区域D内可知x+y≤1，所以在区域D上(x+y)7≥(x＋y)8(等号仅在x+y=1处取得)，故(x+y)7dσ≥(x+y)8dσ，即I1≥I2．知识模块：多元函数积分学8．设=4π，这里a＞0，则a=________．正确答案：a=4解析：=aπ=4π，所以a=4．知识模块：多元函数积分学9．设I=交换积分次序，则有I=________．正确答案：∫04dx∫x24xf(x，y)dy解析：I=∫016dy的积分区域为D=｛(x，y)｜0≤y≤16，｝=｛(x，y)｜0≤x≤4，x2≤y≤4x｝，所以I=∫04dx∫x24xf(x，y)dy．知识模块：多元函数积分学10．化二次积分I=∫02dx为极坐标下的二次积分，则I=_______．正确答案：I=dθ∫02secθcosr．rdr解析：因积分区域D=｛(x，y)｜0≤x≤2，x≤y≤｝=｛(x，y)｜1≤tan θ≤，0≤rcosθ≤2)｝=｛(θ，r)｜，0≤r≤2secθ｝，所以I=dθ∫02secθcosr．Rdr 知识模块：多元函数积分学11．设D：｜x｜≤1，｜y｜≤1，且[f(x，y)+2]dσ=________．正确答案：9解析：=1+2×2×2=9．知识模块：多元函数积分学12．设a＞0，f(x)=g(x)=而D表示全平面，则I=f(x)g(y—x)dxdy=________．正确答案：a2解析：I=f(x)g(y—x)dxdy=a2dxdy=a2∫01dx∫xx＋1dy=a2∫01[(x+1)一x]dx=a2．知识模块：多元函数积分学13．若L为圆周曲线x2+y2=a2，方向为逆时针方向，则曲线积分2xdy 一3ydx=_______．正确答案：5πa2解析：L围成的平面图形的面积SD=πa2，则5dxdy=5SD=5πa2．知识模块：多元函数积分学14．设L为x2+y2=1逆时针方向，则xy2dy－x2ydx=_______．正确答案：解析：xy2dy一x2ydx=y2一(－x2)dxdy=∫02πdθ∫01r2．rdr=．知识模块：多元函数积分学15．设L：y=x2(0≤x≤)，则∫Lxds=_______．正确答案：解析：由于L由方程y=x2(0≤x≤)给出，因此∫Lxds=．知识模块：多元函数积分学解答题16．交换积分次序∫12dx∫xf(x，y)dy．正确答案：因积分区域D=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x｝=｛(x，y)｜≤x≤2｝+｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤2｝，所以原式=+∫12dy∫y2f(x，y)dx．涉及知识点：多元函数积分学17．求(x3+y)dxdy，其中D是由曲线y=x2与直线y=1所围成的有界平面区域．正确答案：由于积分区域D关于y轴对称，因此x3dxdy=0．记D1为区域D在第一象限的部分，则=2∫01dx∫x21ydy=∫01(1－x4)dx=．所以(x3+y)dxdy=．涉及知识点：多元函数积分学18．计算｜xy｜dσ，其中D由x轴，y+x=1和y—x=1围成．正确答案：如图5—5所示，D：0≤y≤1，y一1≤x≤1一y，故｜xy｜d σ=∫01dy∫y－10(－xy)dx＋∫01dy∫01－yxydx=∫01dy＋∫01dy=∫01y(y－1)2dy=．涉及知识点：多元函数积分学19．计算(x2一y2)dxdy，D是闭合区域：0≤y≤sinx，0≤x≤π．正确答案：(x2一y2)dxdy=∫0πdx∫0sinx(x2一y2)dy=∫0π(x2sinx一sin3x)dx=(－x2cosx)｜0π+2∫0πxcosxdx一∫0πsinxdx—∫0πcos2xdcosx=π2一．涉及知识点：多元函数积分学20．计算sin(x2+y2)dσ，其中D：≤x2+y2≤π．正确答案：涉及知识点：多元函数积分学21．计算(xey+x2y2)dxdy，其中D是由y=x2，y=4x2，y=1围成．正确答案：因D关于y轴对称，且xey是关于x的奇函数，x2y2是关于x 的偶函数，则I=xeydxdy＋x2y2dxdy=0＋x2y2dxdy，I=2∫01dy x2y2dx=2∫01y2dy=．涉及知识点：多元函数积分学22．计算二重积分，其中D是由y2=2x，x=1所围成的平面区域．正确答案：如图5—8所示，D=｛(x，y)｜≤x≤1｝，所以，涉及知识点：多元函数积分学23．计算，其中D：x2+y2≤x．正确答案：改写积分区域D为：(x－)2＋y2≤．如图5—11所示，因积分区域为圆，故选择极坐标系下计算二重积分．涉及知识点：多元函数积分学24．计算∫L(exsiny－2y)dx+(excosy－2)dy，其中L为上半圆周(x－a)2+y2=a2(y≥0)沿逆时针方向．正确答案：取L1为y=0(x：0→2a)，则L+L1为封闭曲线，其所围区域D为半圆面，则由格林公式(exsiny一2y)dx+(excosy一2)dy=(excosy—excosy+2)dσ=πa2=πa2．因此，原积分=πa2一∫L1(exsiny一2y)dx+(excosy一2)dy=πa2一[∫02a(ex．sin0－2．0)dx+0]=πa2一0=πa2．涉及知识点：多元函数积分学25．计算对坐标的曲线积分I=∫L(x+y一1)dx+(x—y+1)dy，其中L是曲线y=sinx上由点0(0,0)到点A(，1)的一段弧．正确答案：令P(x，y)=x+y一1，Q(x，y)=x—y+1．因为，所以积分与路径无关．引入点B(，0)，则I=(x+y一1)dx+(x—y+1)dy+(x+y一1)dx+(x—y+1)dy=．涉及知识点：多元函数积分学26．计算(x＋y)ds，其中L为连接点O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)的闭折线．正确答案：如图5-15，涉及知识点：多元函数积分学。
高等数学题库第08章(多元函数微分学).
- 1 -第八章多元函数微积分习题一一、填空题1. 设f(x,y)=x-3y. ，则f(2,-1)=_______,f(-1,2)=________x2+y2_______. 2. 已知f(x,y)=2x2+y2+1，则f(x,2x)=__________二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.z=3. z=y-x 2. z=-x+-y 4-x2-y24. z=log2xy习题二一、是非题1. 设z=x+lny，则2∂z1=2x+ （）∂xy2. 若函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)均存在，则该函数在P点处一定连续（）3. 函数z=f(x,y)在P(x0,y0)处一定有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0) （）xy⎧,x2+y2≠0⎪4. 函数f(x,y)=⎨x2+y2在点(0,0)处有fx(0,0)=0及⎪0,x2+y2=0⎩fy(0,0)=0 （）5. 函数z=x2+y2在点(0,0)处连续，但该函数在点(0,0)处的两个偏导数zx(0,0),zy(0,0)均不存在。
（）二、填空题- 2 -1. 设z=lnx∂z∂z，则=___________;∂x∂yy2x=2y=1=___________;2. 设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)和fy(a,b)均存在，则limh→0f(a+h,b)-f(a,b-2h)=_________.h2xy+sin(xy);x2+ey三、求下列函数的偏导数：1. z=x3y-y3x+1;2. z=3. z=(1+xy)y;4. z=lntanx; y5. u=xy2+yz2+zx2∂2z∂2z∂2z四、求下列函数的2,和：∂x∂y2∂x∂y3241. z=x+3xy+y+2;2. z=xy五、计算下列各题1. 设f(x,y)=e-sinx(x+2y),求fx(0,1),fy(0,1);∂2z2. 设f(x,y)=xln(x+y)，求2∂x六、设z=ln(x+y)，证明：x1313∂2z,2x=1∂yy=2∂2z,x=1∂x∂yy=2.x=1y=2∂z∂z1+y=. ∂x∂y3习题三一、填空题2xy_____. 1．z=xy+e在点(x,y)处的dz=__________ 2．z=xx+y_____. 在点(0,1)处的dz=__________- 3 -3．设z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量为∆z，全微分为dz，则f(x,y)在点(x0,y0) 处的全增量与全微分的关系式是__________________.二、选择题1．在点P处函数f(x,y)的全微分df存在的充分条件为（）A、f的全部二阶偏导数均存在B、f连续C、f的全部一阶偏导数均连续D、f连续且fx,fy均存在2．使得df=∆f的函数f为（）A、ax+by+c(a,b,c为常数)B、sin(xy)C、e+eD、x2+y22三、设z=xy，当∆x=0.1,∆y=0.2时，在(1,2)点处，求∆z和dz。
考研数学二(多元函数积分学)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )A．△z=dz。
B．△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。
C．△z=fx’(x0，y0)dx+fy’(x0，y0)dy。
D．△z=dz+o(ρ)。
正确答案：D解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D。
知识模块：多元函数微积分学2．设函数z(x，y)由方程=0确定，其中F为可微函数，且F2’≠0，则=( ) A．x。
B．z。
C．一x。
D．一z。
正确答案：B解析：对已知的等式两边求全微分可得即正确选项为B。
知识模块：多元函数微积分学3．设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)＞0，g(0)＜0，且f’(0)=g’(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是( )。
A．f’’(0)＜0，g’’(0)＞0。
B．f’’(0)＜0，g’’(0)＜0。
C．f’’(0)＞0，g’’(0)＞0。
D．f’’(0)＞0，g’’(0)＜0。
正确答案：A解析：由z=f(x)g(y)，得而且=f(0)g’(0)=0，f(0)＞0，g(0)＜0，当f’’(0)＜0，g’’(0)＞0时，B2一AC＜0，且A＞0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值。
因此正确选项为A。
知识模块：多元函数微积分学4．设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，则( )A．I1＜I2＜I3。
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第七章多元函数积分学练习
学习基本要求：
1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。
2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3、掌握三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
4、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
5、掌握计算两类曲线积分的方法。
6、熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
7、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。
8、了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
9、知道散度的概念并会计算。
10、会用重积分、曲线及曲面积分求一些几何量与物理量（面积、体积、重心等）。
学习重点：
1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、两类曲线积分的计算方法；
4、格林公式及其应用；
5、两类曲面积分的计算方法；
6、高斯公式、斯托克斯公式；
常见题型：
1、交换二次积分的积分次序；
2、在直角坐标和极坐标（广义极坐标）下计算二重积分；
3、计算空间曲面的面积和立体的体积；
4、按先一后二（直角坐标、柱坐标、球坐标）和先二后一方式计算三重积分；
5、一类、二类曲线积分的计算；
6、利用格林公式计算二类曲线积分（平面）；
7、求全微分的原函数（两种方法）；
8、一类、二类曲面积分的计算；
9、利用高斯公式计算二类曲面积分；
10、利用斯托克斯公式计算二类曲线积分（空间）。
练习题选
1．计算二重积分⎰⎰+-D x y x y d e
σ，其中D 是以点（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的
三角形区域。
2．求xy 面上的曲线)ln 2(4
12x x y -=)41(≤≤x 绕y 轴旋转所得旋转曲面的面积。
3．已知数量场222ln z y x u ++=，求)(gradu div 。
4．⎰⎰∑
+++dS d cz by ax 2)(，其中∑为球面2222R z y x =++。
5．⎰⎰∑
-+-+-dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222，其中∑是曲面222y x z --=位
于z=1和z=2之间部分的上侧。
6．⎰-+-L
ds x x x x y )]1(2[2，其中L 为曲线22x x y -=上点（0，0），（1，1）之间的部分。
7．在力→
→→→++=k xy j zx i yz F 的作用下，质点由原点沿直线移动到曲面
122
2222=++c z b y a x 的第一卦限哪一点时，力→F 所作的功最大？ 8．⎰⎰⎰Ω
++dV cz by ax )(，其中Ω为z z y x 2222≤++。
9．⎰Γ++ds xy zx yz )(，其中Γ为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++a z y x a z y x 232
222。