【精校版】2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学北京卷
2019年北京卷数学(理)高考真题(选择题和填空题)详解版
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A（B（C）3 （D）5考点：复数的基本概念及其四则运算概念：①；②两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数解析：因为所以所以z ⋅⎺z = (2+i) (2-i)=22-i2=4-(-1)=5，答案：D（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4考点：考查程序框图的应用，考查学生逻辑推理能力、运算求解能力解析：解决此类问题最常用的方法就是代入求值法。
当k=1，s=1时，，不满足k≥3，进入循环；当k =2，s =2时，，不满足k ≥3，进入循环； 当k =3，s =2时，， 满足k ≥3，退出循环；输出s =2； 答案：B（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65考点：考查点到线的距离【直线与方程】和参数方程与一般方程的转化 概念：平面中点(m,n )到直线ax+by+c =0的距离为d解析：首先，将直线l 由参数方程转变为一般方程。
由x=1+3t 可得,将t 代入至y=2+4t 中可得转化成一般方程为4x-3y+2 =0其次，根据点到直线的距离公式，代入公式算出数值即可答案：D（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2（C ）a =2b （D ）3a =4b考点：椭圆的性质概念：①椭圆（a ＞b ＞0）的离心率解析：根据椭圆方程的公式可知：推出推出3a 2=4b 2 答案：B（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7考点：不等式的计算及应用解析：解题思路：作图法。
2019年北京卷理科数学高考真题(原卷 答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅= （A ）3（B ）5（C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b（D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤−，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7 （B ）1 （C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10−10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
【数学】2019年高考真题——北京卷(理)(精校版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学一、选择题1．已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B 等于( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2} D ．{－1,0,1,2}答案 A解析 ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}， ∴A ∩B ＝{0,1}． 故选A.2．在复平面内，复数11－i 的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D 解析11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )＝12＋i 2，其共轭复数为12－i 2，对应的点位于第四象限．故选D.3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A.12 B.56 C.76 D.712答案 B解析 第一步：s ＝1－12＝12，k ＝2，k ＜3；第二步：s ＝12＋13＝56，k ＝3，输出s .故选B.4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A．32f B．322f C．1225f D．1227f答案 D解析由题意知，这十三个单音的频率构成首项为f、公比为122的等比数列，则第八个单音的频率为(122)7f＝1227f.5．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD＝2，BC＝1，所以P A⊥AD，P A⊥AB，P A⊥BC.又BC⊥AB，AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB.又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△P AB，△P AD，△PBC，共3个．故选C.6．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |.所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充要条件． 故选C.7．在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 由题意知，点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离⎝⎛⎭⎪⎫d 1＝21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3. 故选C.8．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a ＜0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若点(2,1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，a ≥0，解得a ＞32.即点(2,1)∈A ⇒a ＞32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A .故选D. 二、填空题9．设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析 方法一 设公差为d .∵a 2＋a 5＝36，∴(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝36，∴2a 1＋5d ＝36.∵a 1＝3，∴d ＝6，∴通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6n －3(n ∈N *)． 方法二 设公差为d ，∵a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝36，a 1＝3，∴a 6＝33，∴d ＝a 6－a 15＝6.∵a 1＝3，∴通项公式a n ＝6n －3(n ∈N *)．10．在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a ＞0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案2＋1解析 直线的直角坐标方程为x ＋y ＝a ，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径r ＝1. ∵直线与圆相切，∴d ＝|1－a |12＋12＝1，∴|a －1|＝2.又a ＞0，∴a ＝2＋1.11．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________． 答案 23解析 ∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，∴当x ＝π4时，f (x )取得最大值，即f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4ω－π6＝1， ∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z ， ∴ω＝8k ＋23，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω取得最小值23.12．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 答案 3解析 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0， 作出可行域，如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.13．能说明“若f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________． 答案 f (x )＝sin x (答案不唯一)解析 设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )＞f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )＞f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．14．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________． 答案3－1 2解析 方法一 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±n m x ，则nm ＝tan 60°＝3，∴双曲线N 的离心率e 1满足e 21＝1＋n 2m2＝4，∴e 1＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x 2＝a 2b 23a 2＋b2.如图，设D 点的横坐标为x ，由正六边形的性质得|ED |＝2x ＝c ，∴4x 2＝c 2. ∴4a 2b 23a 2＋b2＝a 2－b 2，得3a 4－6a 2b 2－b 4＝0， ∴3－6b 2a 2－⎝⎛⎭⎫b 2a 22＝0，解得b 2a2＝23－3.∴椭圆M 的离心率e 2满足e 22＝1－b 2a2＝4－23.∴e 2＝3－1.方法二 双曲线N 的渐近线方程为y ＝±nm x ，则nm＝tan 60°＝ 3. 又c 1＝m 2＋n 2＝2m ，∴双曲线N 的离心率为c 1m＝2.如图，连接EC ，由题意知，F ，C 为椭圆M 的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC |＝2c 2＝2，即c 2＝1.又E 为椭圆M 上一点，则|EF |＋|EC |＝2a ，即1＋3＝2a ， ∴a ＝1＋32.∴椭圆M 的离心率为c 2a ＝21＋3＝3－1.三、解答题15．在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2＜∠B ＜π，所以0＜∠A ＜π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.16．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为AA 1，AC ，A 1C 1，BB 1的中点，AB ＝BC ＝5，AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC ⊥平面BEF ；(2)求二面角B －CD －C 1的余弦值； (3)证明：直线FG 与平面BCD 相交． (1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， 因为CC 1⊥平面ABC ， 所以四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， 所以AC ⊥EF . 又AB ＝BC ，所以AC ⊥BE ，又BE ，EF ⊂平面BEF ，BE ∩EF ＝E ， 所以AC ⊥平面BEF .(2)解 由(1)知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1. 又CC 1⊥平面ABC ， 所以EF ⊥平面ABC . 因为BE ⊂平面ABC ， 所以EF ⊥BE .如图，以E 为原点，EA 所在直线为x 轴，EB 所在直线为y 轴，EF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系E －xyz .由题意得B (0,2,0)，C (－1,0,0)，D (1,0,1)，E (0,0,0)，F (0,0,2)，G (0,2,1)． 所以BC →＝(－1，－2,0)，BD →＝(1，－2,1)． 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 0－2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0.令y 0＝－1，则x 0＝2，z 0＝－4. 于是n ＝(2，－1，－4)．又因为平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0,2,0)， 所以cos 〈n ，EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121.由题意知二面角B －CD －C 1为钝角， 所以其余弦值为－2121. (3)证明 由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2，－1，－4)， FG →＝(0,2，－1)．因为n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0， 所以直线FG 与平面BCD 相交．17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差D (ξ1)，D (ξ2)，D (ξ3)，D (ξ4)，D (ξ5)，D (ξ6)的大小关系．解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的部数是200×0.25＝50. 故所求概率为502 000＝0.025.(2)设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．故所求概率为P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·(1－P (B ))＋(1－P (A ))P (B )．由题意知P (A )估计为0.25，P (B )估计为0.2. 故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35. (3)D (ξ1)＞D (ξ4)＞D (ξ2)＝D (ξ5)＞D (ξ3)＞D (ξ6)． 18．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解 (1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a ＞12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )＜0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2＜0，ax －1≤12x －1＜0，所以f ′(x )＞0.所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.19．已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值．(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0， 解得k ＜0或0＜k ＜1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0，得点M 的纵坐标为yM ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为yN ＝－kx 2＋1x 2－1＋2. 由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－yM ，μ＝1－yN . 所以1λ＋1μ＝11－yM ＋11－yN＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2 ＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值．20．设n 为正整数，集合A ＝{α|α＝(t 1，t 2，…，t n )，t k ∈{0,1}，k ＝1,2，…，n }．对于集合A 中的任意元素α＝(x 1，x 2，…，x n )和β＝(y 1，y 2，…，y n )，记M (α，β)＝12[(x 1＋y 1－|x 1－y 1|)＋(x 2＋y 2－|x 2－y 2|)＋…＋(x n ＋y n －|x n －y n |)]．(1)当n ＝3时，若α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，求M (α，α)和M (α，β)的值；(2)当n ＝4时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α，β，当α，β相同时，M (α，β)是奇数；当α，β不同时，M (α，β)是偶数，求集合B 中元素个数的最大值； (3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M (α，β)＝0.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 解 (1)因为α＝(1,1,0)，β＝(0,1,1)，所以M (α，α)＝12[(1＋1－|1－1|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋0－|0－0|)]＝2，M (α，β)＝12[(1＋0－|1－0|)＋(1＋1－|1－1|)＋(0＋1－|0－1|)]＝1.(2)设α＝(x 1，x 2，x 3，x 4)∈B ， 则M (α，α)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4.由题意知x 1，x 2，x 3，x 4∈{0,1}，且M (α，α)为奇数， 所以x 1，x 2，x 3，x 4中1的个数为1或3，所以B ⊆{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，(0,1,1,1)，(1,0,1,1)，(1,1,0,1)，(1,1,1,0)}． 将上述集合中的元素分成如下四组：(1,0,0,0)，(1,1,1,0)；(0,1,0,0)，(1,1,0,1)；(0,0,1,0)，(1,0,1,1)；(0,0,0,1)，(0,1,1,1)． 经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M (α，β)＝1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 中的元素． 所以集合B 中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}满足条件，所以集合B 中元素个数的最大值为4.(3)对于rk ＝(z k 1，z k 2，…，z kn )∈B (k ＝1,2,3，…，n )，z kk ＝1，其它位置全是0；rn ＋1＝(0,0，…，0)，可以验证M (ri ，rj )＝0(i ，j ＝1,2，…，n ＋1)且i ≠j .下面证明：当B 中元素个数大于等于n ＋2时，总存在α，β∈B ，M (α，β)≠0， 设rk ＝(z k 1，z k 2，…，z kn )∈B (k ＝1,2,3，…，n ＋1，…，m )(m ≥n ＋2)； 则S k ＝z k 1＋z k 2＋…＋z kn (k ＝1,2,3，…，n )，可以得到S 1＋S 2＋…＋S m ≥0＋n ＋2.C k ＝z 1k ＋z 2k ＋…＋z mk (k ＝1,2,3，…，n )，可以得到C 1＋C 2＋…＋C n ≥n ＋2，所以存在C t ≥2，t ∈{1,2,3，…，n }；即存在α，β∈B (α≠β)，使得α，β在同一个位置同为1， 即M (α，β)≥1≠0，矛盾． 所以B 中元素个数最多为n ＋1. 一、选择题1．已知复数z ＝2＋i ，则z · 等于( ) A. B. C ．3 D ．5 答案 D解析 ∵z ＝2＋i ，∴ ＝2－i ，z · ＝(2＋i)(2－i)＝5. 故选D.2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析执行程序框图，k＝1，s＝＝2；k＝2，s＝＝2；k＝3，s＝＝2，跳出循环．输出的s＝2.故选B.3．已知直线l的参数方程为＝＋，＝＋(t为参数)，则点(1,0)到直线l的距离是()A. B. C. D..答案 D解析由题意得，直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1,0)到直线4x－3y＋2＝0的距离d＝＝.故选D.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则()A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b答案 B解析由题意，得＝，∴＝，又a2＝b2＋c2，∴＝，＝，∴4b2＝3a2.故选B.5．若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7 B．1 C．5 D．7答案 C解析令z＝3x＋y，画出约束条件－－，即－，，－或－－，，－表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，z max＝3×2－1＝5，故选C.6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010.1B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1答案 A解析由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，则lg ＝－25.25，∴lg＝－10.1，lg ＝10.1，∴＝1010.1.故选A.7．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析若|＋|>||，则|＋|2>||2，2＋2＋2·>||2，∵点A，B，C不共线，∴线段AB，BC，AC构成一个△ABC，设内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，2＋2＋2·>||2，即c2＋b2＋2bc·cos A>c2＋b2－2bc·cos A，∴cos A>0，又A，B，C三点不共线，故与的夹角为锐角．反之，易得当与的夹角为锐角时，|＋|>||，∴“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充要条件，故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是()A．①B．②C．①②D．①②③答案 C解析曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<，满足条件的整数x可取－1,0,1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1,0)，(－1,1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0,1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1,0)，(1,1)．故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴≤，当且仅当|x|＝y，即＝，＝或＝－，＝时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确；顺次连接(－1,0)，(－1,1)，(0,1)，(1,1)，(1,0)，(0，－1)，(－1,0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确，故选C. 二、填空题9．函数f(x)＝sin22x的最小正周期是________．答案解析∵f(x)＝sin22x＝，∴f(x)的最小正周期T＝＝.10．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，S n的最小值为________．答案0－10解析设等差数列{a n}的公差为d，∵即∴∴a5＝a1＋4d＝0，∵S n＝na1＋d＝(n2－9n)＝，∴当n＝4或n＝5时，S n取得最小值，最小值为－10.11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．答案40解析如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一个上底为2，下底为4，高为2的直角梯形)所得的几何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为43－×(2＋4)×2×4＝40.12．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________. 答案若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)解析若l⊥α，l⊥m，则m∥α，显然①③⇒②正确；若l⊥m，m∥α，则l∥α，l与α相交但不垂直都可以，故①②⇒③不正确；若l⊥α，m∥α，则l垂直于α内所有直线，在α内必存在与m平行的直线，所以可推出l⊥m，故②③⇒①正确．13．设函数f(x)＝e x＋a e－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．答案－1(－∞，0]解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，e－x＋a e x＝－e x－a e－x，∴(1＋a)e－x＋(1＋a)e x＝0，∴a＝－1；∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝e x－a e－x＝≥0，∴e2x－a≥0，a≤0，故a 的取值范围是(－∞，0]．14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．答案13015解析①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．②设顾客一次购买的水果总价为m元，由题意知，当0<m<120时，x＝0，当m≥120时，(m－x)×80%≥m×70%，得x≤对任意m≥120恒成立，又≥15，所以x的最大值为15.三、解答题15．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．解(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－，得<B<π，sin B＝.由正弦定理，得sin C＝sin B＝.在△ABC中，∠B是钝角．所以∠C为锐角．所以cos C＝＝.所以sin(B－C)＝sin B cos C－cos B sin C＝×＋×＝.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝.(1)求证：CD⊥平面P AD；(2)求二面角F－AE－P的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．(1)证明因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD.又因为AD⊥CD，AD∩P A＝A，AD，P A⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.(2)解过A作AD的垂线交BC于点M.因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AM，P A⊥AD.如图，以A为坐标原点，，，的方向为正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)．所以＝(0,1,1)，＝(2,2，－2)，＝(0,0,2)．所以＝＝，＝＋＝.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1,1)．又因为平面P AE的法向量为p＝(1,0,0)，所以cos〈n，p〉＝＝－.由题意知，二面角F－AE－P为锐二面角，所以其余弦值为.(3)解直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且＝，＝(2，－1，－2)，所以＝＝，＝＋＝.由(2)知，平面AEF的法向量n＝(－1，－1,1)，所以·n＝－＋＋＝0.所以直线AG在平面AEF内．17．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2 000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B的学生共有10＋14＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为＝0.4.(2)X的所有可能值为0,1,2.记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1 000元”．由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)＝＝0.4，P(D)＝＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(C∪D)＝P(C)P()＋P()P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P()＝P()P()＝0.24.所以X的分布列为故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”．假设样本仅使用A的学生，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝＝.答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．18．已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y ＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．(1)解由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0，－1)．设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．由得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0恒成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝x.令y＝－1，得点A的横坐标x A＝－.同理得点B的横坐标x B＝－.设点D(0，n)，则＝，＝，·＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.所以以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)．19．已知函数f(x)＝x3－x2＋x.(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[－2,4]时，求证：x－6≤f(x)≤x；(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2,4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．(1)解由f(x)＝x3－x2＋x，得f′(x)＝x2－2x＋1.令f′(x)＝1，即x2－2x＋1＝1，得x＝0或x＝.又f(0)＝0，f＝，所以曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程是y＝x与y－＝x－，即x－y＝0和x－y－＝0.(2)证明令g(x)＝f(x)－x，x∈[－2，4].由g(x)＝x3－x2，得g′(x)＝x2－2x.令g′(x)＝0，得x＝0或x＝.当x∈[－2,4]时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以g(x)的最小值为－6，最大值为0，故－6≤g(x)≤0，即x－6≤f(x)≤x.(3)解由(2)知，当a<－3时，M(a)≥F(0)＝|g(0)－a|＝－a>3；当a>－3时，M(a)≥F(－2)＝|g(－2)－a|＝6＋a>3；当a＝－3时，M(a)＝3.综上，当M(a)最小时，a＝－3.20．已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m)，若<<…<，则称新数列，，…，为{a n}的长度为m的递增子列．规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列．(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为.若p<q，求证：<；(3)设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s－1，且长度为s末项为2s－1的递增子列恰有2s－1个(s＝1,2，…)，求数列{a n}的通项公式．(1)解1,3,5,6.(答案不唯一)(2)证明设长度为q末项为的一个递增子列为，，…，－，.由p<q，得≤－<.因为{a n}的长度为p的递增子列末项的最小值为，又，…，是{a n}的长度为p的递增子列，所以≤.所以<.(3)解由题设知，所有正奇数都是{a n}中的项．先证明：若2m是{a n}中的项，则2m必排在2m－1之前(m为正整数)．假设2m排在2m－1之后．设，，…，，2m－1是数列{a n}的长度为m末项为2m－1的递增子列，则，，…，，2m－1,2m是数列{a n}的长度为m＋1，末项为2m的递增子列．与已知矛盾．再证明：所有正偶数都是{a n}中的项．假设存在正偶数不是{a n}中的项，设不在{a n}中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k－1之前(k＝1,2，…，m－1)，所以2k和2k－1不可能在{a n}的同一个递增子列中．又{a n}中不超过2m＋1的数为1,2，…，2m－2,2m－1,2m＋1，所以{a n}的长度为m＋1且末项为2m＋1的递增子列个数至多为＝2m－1<2m.与已知矛盾．最后证明：2m排在2m－3之后(m≥2为整数)．假设存在2m(m≥2)，使得2m排在2m－3之前，则{a n}的长度为m＋1且末项为2m＋1的递增子列的个数小于2m，与已知矛盾．综上，数列{a n}只可能为2,1,4,3，…，2m－3,2m,2m－1，….经验证，数列2,1,4,3，…，2m－3,2m,2m－1，…符合条件．所以a n＝＋，为奇数，－，为偶数。
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考北京卷理科数学试题附答案
2019年高考北京卷理科数学试题（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A（B （C ）3（D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③（9）函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．（10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．（12）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．（13）设函数f（x）=e x+a e−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃、价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．（15）（本小题13分）在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=1-．2（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值． （16）（本小题14分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA =AD =CD =2，BC =3．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角F –AE –P 的余弦值； （Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．（17）（本小题13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y轴上的两个定点． （19）（本小题13分）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． （20）（本小题13分）已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（Ⅲ）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）D （2）B（3）D（4）B（5）C（6）A（7）C（8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）π2（10）0 10- （11）40 （12）若l m ⊥，l α⊥，则m α∥.（答案不唯一）（13）1- (,0]-∞ （14）130 15三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =. 所以7b =.（Ⅱ）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角， 所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. （16）（共14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ． 又因为AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ． （Ⅱ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AM ，PA ⊥AD ．如图建立空间直角坐标系A -xyz ，则A （0，0，0），B （2，-1，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）．因为E 为PD 的中点，所以E （（0，1，1）． 所以(0,1,1),(2,2,2),(0,0,2)AE PC AP ==-=．所以1222224,,,,,3333333PF PC AF AP PF ⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设平面AEF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,2240333y z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令z =1，则1,1y x =-=-．于是=(1,1,1)--n ．又因为平面PAD 的法向量为p =（1，0，0），所以cos ,||3⋅〈〉==-‖n p n p n p . 由题知，二面角F -AE -P．（Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内． 因为点G 在PB 上，且2,(2,1,2)3PG PB PB ==--， 所以2424422,,,,,3333333PG PB AG AP PG ⎛⎫⎛⎫==--=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由（Ⅱ）知，平面AEF 的法向量=(1,1,1)--n . 所以4220333AG ⋅=-++=n . 所以直线AG 在平面AEF 内. （17）（共13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=. （Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====. 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52， 所以X 的分布列为故X 的数学期望E （X ）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==. 答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.（18）（共14分）解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -. 设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠. 由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=. 设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =. 令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++ 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21216(1)n x x =++ 24(1)n =-++.令0DA DB ⋅=，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-. （19）（共13分）解：（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+. 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-， 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-. （20）（共13分）解：（Ⅰ）1，3，5，6.（答案不唯一）（Ⅱ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（Ⅲ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和2k -−1不可能在{}n a 的同一个递增子列中.又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，….经验证，数列2，1，4，3，…，2m−3，2m，2m−1，…符合条件.所以1,1,nn nan n+⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.。
2019年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)
3 5绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数 z =2+i ，则 z ⋅z =A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵ z = 2 + i, z ⋅ z = (2 + i)(2 - i) = 5故选 D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为42 + 32A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.2 ⨯12【详解】运行第一次， k=1 s == 2， 3⨯1- 2，运行第二次， k = 2运行第三次， k = 3 2 ⨯ 22 s == 2，3⨯ 2 - 2 ，2 ⨯ 22s == 2，3⨯ 2 - 2，结束循环，输出 s =2，故选 B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.⎧x = 1+ 3t , ⎨3. 已知直线 l 的参数方程为⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线 l 的距离是1 A. 52 B. 54 C. 56 D. 5【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为4 (x -1)- 3(y - 2)= 0,即4x - 3y + 2 = 0 ,点(1, 0)到直线l 的距离d ==65 ,故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算 能力的考查.y = 2 + 4t【详解】由题意⎩x 2 + y 2 =1a 2 b2 1 24. 已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为 ，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和 a , b , c 的关系可得满足题意的等式.e = c = 1, c 2 = a 2 - b 2【详解】椭圆的离心率 a 2,化简得3a 2 = 4b 2,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5. 若 x ，y 满足| x |≤ 1- y ，且 y ≥−1，则 3x+y 的最大值为A. −7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.⎧-1 ≤ y⎨y -1 ≤ x ≤ 1- y ,作出可行域如图阴影部分所示.(设 z = 3x + y , y = z - 3x ,当直线 0经过点时, z 取最大值 5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.m – m = 5 lg E1 2 16. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足E 2 ，其中星等为 m 1 的星的亮度为 E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1【答案】D【解析】【分析】lgE 1E 1 E 1先求出E 2 ，然后将对数式换为指数式求 E 2 ，再求 E 2 .m - m = 5 lg E1 2 1【详解】两颗星的星等与亮度满足E 2 ,令m 2 = -1.45 ， m 1 = -26.7 ，2 22 11g E 1 = 2 (m - m )= 2(-1.45 + 26.7) = 10.1E 2 5 5 ，E 1 = 1010.1 ⋅ E2 = 10-10.1 E 2 E 1，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7. 设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC | ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴| AB + AC |>|BC | ⇔ | AB + AC |>| AB - AC |⇔ | AB + AC |2>| AB - AC |2 ⇔ AB • AC >0 ⇔ AB 与 AC的夹角为锐角.故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>|BC |”的充分必要条件,故选 C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ：x 2 + y 2 = 1+ | x | y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：2 2x ( ) ( ) ( ) () ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.x 2 + y 2 = 1+ x yy 2 - x y = 1- x 2 ⎛ y - | x | ⎫2⎪ = 1- 3x 2 ,1- 3x 2 0, x 24【详解】由 得, ,⎝ 2 ⎭ 4 4 3 ,C : x 2 + y 2 = 1+ x y所以 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.2 2x 2 + y 2x 2 + y 2 = 1+ x yx + y1+ 2 x 2 + y 2 ≤ 2C由得,,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.A 0, -1 ,B 1, 0 ,C 1,1, ,D 0,1 如图所示,易知,S= 1 ⨯1⨯1+1⨯1 = 3四边形 ABCD 的面积ABCD2 2 ,很明显“心形”区域的面积大于2S ABCD ,即“心形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
普通高等学校招生全国统一考试数学卷北京.理含答案
2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案．不可以答在试卷上．一、本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．已知costan0，那么角是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角2．函数f(x)3x(0x≤2)的反函数的定义域为（）Ａ．(0，)Ｂ．(19]，Ｃ．(0，1)Ｄ．[9，) 3．平面∥平面的一个充足条件是（）Ａ．存在一条直线，a∥，a∥Ｂ．存在一条直线a，a，a∥Ｃ．存在两条平行直线Ｄ．存在两条异面直线a，b，a，b，a∥，b∥a，b，a，a∥，b∥4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC0，那么（）Ａ．AO ODＢ．AO2ODＣ．AO3ODＤ．2AO OD5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人摄影，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两头，不一样的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种x y ≥，2x y ≤2， a 的取值范围是（6．若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则）y ≥0，x y ≤aＡ．a ≥4Ｂ．0a ≤1Ｃ．1≤a ≤4Ｄ．0a ≤1或a ≥43 3 37．假如正数a ，b ，c ，d 知足abcd 4，那么（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ．Ｄ．ab ≤cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值独一ab ≥cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值独一ab ≤cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值不独一ab ≥cd ，且等号成即刻a ，b ，c ，d 的取值不独一8．关于函数① f(x) lg(x 2 1)，②f(x) (x 2)2，③f(x)cos(x2) ，判断以下三个命题的真假：命题甲： f(x 2)是偶函数；命题乙： f(x)在( ，)上是减函数，在(2， )上是增函数；命题丙： f(x2)f(x)在(，)上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的全部函数的序号是（ ） Ａ．①③Ｂ．①② Ｃ．③Ｄ．②2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共 6小题，每题 5分，共30分．把答案填在题中横线上．29．．(1i)210．若数列a n的前n 项和S nn 210n(n1，2，3，)，则此数列的通项公式为；数列na n 中数值最小的项是第项．11．在△ABC 中，若tanA1 150，BC1，则AB．，C312．已知会合A x|xa ≤1，Bxx 25x 4≥0．若AB，则实数a 的取值范围是．13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于．14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123 f(x)131x123 g(x)321则f[g(1)]的值为；知足f[g(x)]g[f(x)]的x的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）数列 a n中，a12，a n1a n cn（c是常数，n1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；A（II）求a n的通项公式．16．（本小题共14分）如图，在Rt△AOB中，OAB π4．Rt△AOC可，斜边AB6以经过Rt△AOB以直线AO为轴旋转获得，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．DOB C17．（本小题共14分）矩形ABCD的两条对角线订交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x3y60，点T(11)，在AD边所在直线上．I）求AD边所在直线的方程；II）求矩形ABCD外接圆的方程；（III）若动圆P过点N(2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．18．（本小题共13分）某中学呼吁学生在今年春节时期起码参加一次社会公益活动参加人数（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计以下图．50（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；40（II）从合唱团中随意选两名学生，求他们参加活动次数恰巧30相等的概率．（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次20数之差的绝对值，求随机变量的散布列及数学希望E．10活动次数12319．（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将C此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的D端点在椭圆上，记CD2x，梯形面积为S．4r （I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积S的最大值．A2r B20．已知会合A a1，a2，，a k(k≥2)，此中a i Z(i1，2，，k)，由A中的元素构成两个相应的会合：S (a，b)a A，b A，a b A，T(a，b)a A，b A，a b A．此中(a，b)是有序数对，会合S和T中的元素个数分别为m和n．若关于随意的a A，总有a A，则称会合A拥有性质P．（I）查验会合01，，2，3与1，2，3能否拥有性质P并对此中拥有性质P的会合，写出相应的会合S和T；（II）对任何拥有性质P的会合A，证明：n≤k(k1)；2（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．2019年一般高等学校招生全国一致考试数学（理工农医类）（北京卷）答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1．Ｃ2．Ｂ3．Ｄ4．Ａ5．Ｂ6．Ｄ7．Ａ8．Ｄ二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分）9．13．i10．2n11311．1012．(2，3)2714．1225三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（I）a12，a22c，a323c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2c)22(23c)，解得c0或c2．当c0时，a1a2a3，不切合题意舍去，故c2．（II）当n≥2时，因为a2a1c，a3a22c，a n a n1(n1)c，所以a n a1[12(n1)]c n(n1)c．2又a12，c2，故a n2n(n1)n2n2(n2，3，)．当n1时，上式也成立，所以a n n2n2(n1，2，)．16．（共14分）解法一：（I）由题意，CO AO，BO AO，BOC是二面角B AO C是直二面角，又二面角B AO C是直二面角，CO BO ，又AO BO O ， CO 平面AOB ， 又CO平面COD ．平面COD 平面AOB ．（II ）作DEOB ，垂足为E ，连接CE （如图），则DE ∥AO ， CDE 是异面直线AO 与CD 所成的角． A在Rt △COE 中，COBO 2，OE1BO 1，2CECO 2 OE 2 5．又DE1 3．DAO2CE 5 15在Rt △CDE 中，tanCDE33DE异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan153（III ）由（I ）知，CO 平面AOB ，．．EOBCOC2CDO 是CD 与平面AOB 所成的角，且tanCDO．OD OD当OD 最小时， CDO 最大，这时，ODOAOB 32 3 AB ，垂足为D ，OD，tanCDO，AB3CD 与平面AOB 所成角的最大值为arctan23．3解法二：（I ）同解法一．（II ）成立空间直角坐标系 O xyz ，如图，则 O(0，0，0)，A(0，0，23)，C(2，0，0)，zD(0，1，3)，OA(0，0，23)，CD (2，1，3)，AcosOA ，CDOACDDOACD66232 2．46 ．OBy异面直线AO 与CD 所成角的大小为arccos4xC（III）同解法一17．（共14分）解：（I）因为AB边所在直线的方程为x 3y 60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3．又因为点T(11)，在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)．3xy20．x3y6，（II）由解得点A的坐标为(0，2)，3xy2=0因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)．所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．又AM(20)2(02)222．进而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28．（III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以PM PN22，即PMPN22．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长a2，半焦距c2．所以虚半轴长b c2a22．进而动圆P的圆心的轨迹方程为x2y22)．21(x≤218．（共13分）解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230100．100（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰巧相等的概率为C102C502C40241P0C2．99100（III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1次活动，另一人参加 2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知P( 1) P(A) P(B)C 101 C 501 C 501C 40150 C 1002C 1004；99P(2)P(C)C 1 C 181040；C 100299的散布列：1 2P4199的数学希望：E0 4115028 2 ．99 9999 319．（共13分）解：（I ）依题意，以 AB 的中点O 为原点成立直角坐标系为x ．点C 的纵坐标y 知足方程x 2y 2 1(y ≥0)，r 24r 2解得y2r 2x 2(0xr)S1(2x2r)2r 2x 222(x r)r 2 x 2 ，其定义域为x0x r ．（II ）记f(x)4(x r)2(r 2x 2)，0 xr ，则f(x) 8(xr)2(r2x)．令f(x)0，得x1 r ．2508 9999xy （如图），则点C 的横坐标yDCAO Bx因为当0x r r时，f(x)0，所以f1是f(x)的最时，f(x)0；当xr r222大值．所以，当x1r时，S也获得最大值，最大值为f1r33r2．222即梯形面积S的最大值为33r2．2。
2019年高考真题理科数学(北京卷)
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（3）已知直线l的参数方程为13,24x ty t=+=+⎧⎨⎩（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）15（B）25（C）45（D）65（4）已知椭圆22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为12，则（A）a2=2b2（B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为 （A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2 ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理数北京卷(附答案与解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数 学（理）本试卷满分150分,考试时长120分钟.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数2z i =+，则z z ⋅= ( ) ABC .3D .5 2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .1B .2C .3D .43.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点()1,0到直线l 的距离是( )A .15B .25C .45D .654.已知椭圆22221x y a b+=（0a b ＞＞）( )A .222a b =B .2234a b =C .2a b =D .34a b =5.若x ，y 满足||1x y -≤，且1y -≥，则3x y +的最大值为( )A .7-B .1C .5D .76.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为1,2k E k =（）.已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为下列说法中,正确的是( ) A .10.110 B .10.1 C .lg10.1 D .10.110- 7.设点A ,B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +＞”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( )A .①B .②C .①②D .①②③第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
(精校版)2019年北京卷理数高考试题文档版(有答案)
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 （A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）65（4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7 （B ）1 （C ）5 （D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京卷理科数学高考真题
2019年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷） 第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)（A（B （C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15（B）2 5（C）4 5（D）6 5（4）已知椭圆2x2a+2y2b=1（a>b>0）的离心率为12，则（A）a2=2b2.（B）3a2=4b2.（C）a=2b（D）3a=4b（5）若x,y满足的最大值为（A）-7 （B）1（C）5 （D）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。
两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1,2）。
已知太阳的星等为-26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1（7）设点A,B,C不共线，则“与的夹角是锐角”是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2+y2=1+x y就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2;③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A）①（B）②（C）①②（D）①②③第二部分(非选择题共10分)二、填空题共6小题,每小题5分，共30分。
(9) 函数f(x)=sin22x的最小正周期是________。