1.1.3等腰三角形课件
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第1课时 等腰三角形的性质PPT课件(北师大版)
A．5
B．4
C．3
D．2
3．(2015·永州)如图，在△ABC中，∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5， AE＝2，则CE＝__3__．
4．(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的 度数为( ) A
A．35° B．40° C．45° D．50°
5．(2015·黄石)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC， ∠ABC＝72°，则∠ABD等于( )B A．36° B．54° C．18° D．64°
知识技能： 1．三角形全等的判定方法中至少有一边对应相等． 2．“三线合一”是证明线段相等、角相等或两直线垂直的重要根据． 易错提示：“三线合一”的前提条件是在等腰三角形中．
C A．AB＝AC B．AD平分∠BAC C．AB＝BC D．∠BAC＝90°
12．(202X·滨州)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且 AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为( )D
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
13．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE.
第1章 三角形的证明
1．1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质
1．(2015·海南)如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是( )D A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB
2．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )A
∴△AMD≌△AND(SAS)，∴DM＝DN
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB.AE＝CE，求证： (1)△AEF≌△CEB； (2)AF＝2CD.
北师大版数学八下1.等腰三角形的判定与反证法课件
点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF
三者有何数量关系？
A
分析：可证BE=DE,CF=DF
E
F
D
∴EF=DE-DF=BE-CF B
G C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式4 若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个
角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量
关系？
A
（2）EF,EB,FC 之间有什么关系？
分析：由（1）知，EO=EB,FO=FC
∴EF=EO+FO=EB+FC
E OF
B
C
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式2 在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABC ，CO平
分∠ACB,过O点作EF, 使EF∥BC
A
（1）此时有几个等腰三角形？
（2）BE＋CF=EF仍然成立吗？
（3）在上述条件下当AB=12，AC=8时，
你能求ΔAEF的周长吗？
分析：（1）2个：△BOE、△FOC
E
OF
（2）成立
B
C
（3） C△AEF =AE+BE+CF+AF=AC+AB=20
Part 3 典例Part精1 析
新课探索
变式3 若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交
E
D
（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABD=∠EDB（等量代换）
B
C
∴BE=DE（等角对等边）
即△BDE是等腰三角形.
基本构图:角平分线+平行线构造等腰三角形.
新课探索
Part 3 典例Part精1 析
等腰三角形 ppt课件
复习回顾
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC =EF. 求证：△ABC ≌ △DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
A
D
∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，
∠F=180°－(∠D+∠E). B
CE
F
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
在△BAD和△CAD中 AB=AC ( 已知 ), ∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ ∴
∠△BB=AD∠≌C (△全C等AD三(角SA形S的). 对应角相等)B.
D
C
等腰三角形的“三线合一”
AB=AC AD平分∠BAC AD⊥BC
几何语言： ∵
BD=CD∴Biblioteka D学以致用A
求证：∠B=∠C
方法一：作底边上的中线 证明：取BC的中点D，连结AD
∴BD=CD
∵AB=AC,BD=CD,AD=AD
B
D
C
∴△ABD≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C
你还有其他方法吗？请同学交流
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD. A
例1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数.
分析:根据题目中给出的相等线段,你发现图中有几个的等腰三角形呢？
解:设∠B的度数为x. ∵AB=AC,∴∠C=∠B=x. ∵AD=BD,∴∠B=∠DAB=x. ∴∠ADC=∠B+∠DAB=2x. ∵AC=CD,∴∠ADC=∠CAD=2x. 在△ACD中, ∠CAD+∠ADC+∠C=180°,
1.1 等腰三角形第2课时(课件)八年级数学下册(北师大版)
D
B
E
C
五、当堂达标检测
5.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
B
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
C
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °-∠DBA) ÷2 = (180°-30°)÷2=75°.
两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等.
你能证明你
的猜想吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：等腰三角形的重要线段的性质
猜想证明
1.证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
A
已知:如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是
△ABC的角平分线．
D
E
求证:BD=CE.
B
1 2
C
二、自主合作，探究新知
D
C
二、自主合作，探究新知
(4)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
A
为什么？
E
解：（4）BD=CE.
证明：∵AB=AC，AD= AC，AE= AB,
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中
∵AD=AE,∠A=∠A，AB=AC,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等）.
6.已知:如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，
N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证:DM=DN.
证明: ∵AM=2MB,∴AM= AB.
八年级数学等腰三角形课件.
∴∠B＝∠C（等边对等角）
第十四页，共24页。
证法欣赏
方法一：作顶角∠BAC的平分线AD。
A ∵AD平分∠BAC
方法二：作底边BC的高AD。
∵AD⊥BC
A
∴∠1＝∠2 在△ABD与△ACD中
1
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°
2
在△ABD与△ACD中
AB＝AC（已知）
∠ADB ＝∠ADC＝90°
∠1＝∠2（已证） B
分？并指出重合的部分是什么？
（3）由这些重合的部分，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。
第四页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
第五页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2 x
∴∠A+∠ABC+∠C= x 2x 2x 1800
x 360
在△ABC中∠A=36度 ∠ABC=∠C=72度
第十八页，共24页。
基础训练
（1）已知等腰三形的一个顶角为36° ，则它的两个底角
分别为
72° 、72° .
（2）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角
A
B
C
第六页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有没
有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
A
B
C
第七页，共24页。
动画演示
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，除两腰重合外还有 没有重合的部分？并指出重合的部分是什么？
北师大版八年级下等腰三角形的性质课件
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三 角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质 求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两 种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角
等腰三角形的“三线合一”性质
知识点
想一想 在图1 -3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由 此你能得到什么结论?
归纳
推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
中考链接，小试牛刀
1 【中考】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的 中点，∠BAD＝38°，则∠C的度数为( A) A．52° B．53° C．55° D．56°
E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则
△ABE的面积为( D )
A. 12 7
C. 48 7
B. 24 7
D. 50 7
等腰三角形的边、角性质
பைடு நூலகம்
1．等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
知识总结
（1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角 形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线， BE＝CF，则下列说法正确的有( D ) ①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD； ③BD＝CD；④AD⊥BC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角
等腰三角形的“三线合一”性质
知识点
想一想 在图1 -3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由 此你能得到什么结论?
归纳
推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
中考链接，小试牛刀
1 【中考】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的 中点，∠BAD＝38°，则∠C的度数为( A) A．52° B．53° C．55° D．56°
E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则
△ABE的面积为( D )
A. 12 7
C. 48 7
B. 24 7
D. 50 7
等腰三角形的边、角性质
பைடு நூலகம்
1．等腰三角形的相关概念回顾：
顶
腰
角
腰
底角 底角 底边
2．议一议 (1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ (2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
知识总结
（1）等腰三角形的性质：等边对等角. （2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角 形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相 重合.
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线， BE＝CF，则下列说法正确的有( D ) ①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD； ③BD＝CD；④AD⊥BC. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第3课时 等腰三角形的判定
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
∴∠DBC＝∠ECB.∴OB＝OC.
(2)解：∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°－2×50°＝80°.
∴∠EOD＝360°－90°－90°－80°＝100°.
∴∠BOC＝∠EOD＝100°.
返回
题型
2
全等三角形的判定和性质在折叠 中判定等腰三角形中的应用
14．(中考·广东)如图，长方形ABCD中，AB>AD，把长 方形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处， AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADE≌△CED； (2)求证：△DEF是等腰三角形．
(1)证明：∵四边形 ABCD 是长方形， ∴AD＝BC, AB＝DC.
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点， F为CA的延长线上的一点，过点F 作FG⊥BC于点 G，并交AB于点E.求证：
(1)AD∥FG； (2)△AFE为等腰三角形．
证明： (1)∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC， ∴AD∥FG.
(2)∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴DE＝DF.
返回
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线
互相平行
D．全等三角形的面积相等
返回
题型 1 等腰三角形的判定在求角中的应用
13．(中考·常州)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD， CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证：OB＝OC； (2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
等腰三角形课件
等腰三角形课件等腰三角形课件等腰三角形课件该如何制作呢?大家是否也很好奇呢?今天我们就一起来看看相关内容吧!等腰三角形课件【教材分析】1、等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位2、本节内容是《轴对称》中的重点部分，是等腰三角形的第一节课，由于小学已经有等腰三角形的基本概念，故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上，着重探究等腰三角形的两个定理及其应用3、等腰三角形是在《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。
4、对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。
【教学对象分析】1、授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。
2、该班级学生在平时训练中已经形成了良好的合作精神和合作气氛，可以充分发挥合作的优势，兼顾效率和平衡。
3、本班为自己任课的班级，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。
【教学目标】知识目标：等腰三角形的相关概念，两个定理的理解及应用。
技能目标：理解对称思想的使用，学会运用对称思想观察思考，运用等腰三角形的思想整体观察对象，总结一些有益的结论。
情感目标：体会数学的对称美，体验团队精神，培养合作精神。
【教学重点、难点】重点： 1、等腰三角形对称的概念。
2、“等边对等角”的理解和使用。
3、“三线合一”的理解和使用。
难点： 1、等腰三角形三线合一的具体应用。
2、等腰三角形图形组合的观察，总结和分析。
【教学手段】1、使用导学法、讨论法。
2、运用合作学习的方式，分组学习和讨论。
3、运用多媒体辅助教学。
【教学过程设计】1、学生活动预习相关概念及定理【教学设想】培养学生良好的学习习惯教师活动课题引入：让学生观察两把三角尺，从三角形分类思考“两把三角尺的形状除了角度不同外还有什么区别”在对学生思考结果的总结基础上，引入新课题。
北师大版数学 八年级下册 第一章第3课时 等腰三角形的判定与反证法 优秀课件
由题得AB=15×2=30（海里）
N B 72° 36° C
∵ ∠A= ∠C
∴ BC=AB=30 （海里）
36°
A
2、如图， △ABC中， ∠A=36°，AB=AC, BD平分 ∠ABC, DE∥BC, EF平分∠AED，问在这个图形中，有 那几个等腰三角形？请分别写出来.
A
△ABC、 △BCD 、△EBD、 △EDF 、△FAE 、△ADE、 △ABD
的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形
M
D
出现，因此，找到问题的突破口． B
N C
4、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
36°
F
E 36°72°D
73263°°6°
B
72°
C
想一想
小明说, 在一个三角形中，如果两个角不相等, 那么这两个角所对的边也不相等.
即在△ABC中, 如果∠B≠∠C, 那么AB≠AC.
A
B
C
你认为这个结论成立吗? 如果成立, 你能证明它吗?
小明是这样想的:
如图, 在△ABC中, 已知∠B≠∠C, 此时, AB与AC要
B
C
在△ABD和 △ACD中
D
∵∠B＝∠C. ∠ADB＝∠ADC.AD=AD
1.1等腰三角形的性质和判定 课件2(苏科版九年级上册)
怎么想
要证 只要证
。 。 。
怎么写
． ．
A
D
B
C
拓展与延伸
如图：如果 AB =AC，AD∥BC，那么 AD 平分∠EAC 吗？ 如果结论成立你能证明这个结论吗？ E A D
B
C
小练身手
课堂练习：课本练习1，2，3
小结
在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个 等腰三角形分成一对全等三角形。 等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等 证明两角相等的依据；等腰三角形的判定定理，是一 个由两角相等证明两边相等的依据。 证明中常用的一种思考方法：从需要的证明的结论 出发，逆推出要使结论成立所需要的条件，再把这样 的“条件”看作“结论”，一步一步逆推，直至归结 为已知条件。
推论：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合
你能写出上面两个定理的符号语言吗？ 文学语言 等边对等角 三线合一 图形符号语言 在△ABC中∵＿＿； ∴＿＿。 在△ABC中，AB＝AC
（1）∵∠BAD＝∠CAD∴＿＿，＿＿。
（2）∵BD＝CD∴＿＿＿，＿＿＿。 （3）∵AD⊥BC∴＿＿＿，＿＿.
合情推理与演绎推理
几何证明
几何证明的一般步骤： （1）根据题意，画出图形； （2）结合图形，写出已知和求证； （3）经过分析，找出由条件推出求证的途径，写 出证明过程。 演绎证明 （题目是：已知…，求证…，证明…）。从条件出 发，根据公理（基本事实）或定理，进行符合逻辑 的有条理的推理（演绎推理），得到结论。
课外作业：1.课本习题2，4。 2.练习册相应课时.
谢谢
情景创设
《等腰三角形(2)》系列课件
求证:BD=CE.
D
C
证明: ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). A 又∵∠1= 1∠ABC,∠2= 1 ∠ACB(角平分 2 2 线的定义) D E ∴∠1=∠2 1 2 C B 在△BDC与△CEB中 ∵ ∠ACB=∠ABC（已证）∴△BDC≌△CEB（ASA）. BC=CB（公共边）, ∴BD=CE ∠1=∠2（已证）,
1.1 等腰三角形（2）
复习：
等腰三角形的性质： 1、等腰三角形的两个底角相等. 简称：等边对等角 2、等腰三角形顶角的平分线,底边上的 B 中线底边上的高互相重合. 简称： 三线合一
A
1 2
D
C
探一探
在等腰三角形中作出一些线段（如角平 分线、中线、高等）.你能发现其中的一些 相等的线段吗?你能证明你的结论吗?
A
B
C
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中 ∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
练一练
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解： ∵等边三角形三线合一
∴CD平分∠ACB，BE平分∠ABC CD ⊥AB，BE ⊥AC
A
D B
O
E C
1 1 ∴ ∠ABE= ∠ABC= ×60°=30° 2 2
证一证
2、证明:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中AB=AC, BD,CE是△ABC两腰上的中线. E
A D
求证:BD=CE. B C 证明：∵ AD= 1 AC,AE= 1 AB ,AB=AC ∴AD=AE 2 2 在△ABD与△ACE中 ∵ AB=AC(已知), ∠A=∠A（公共角） ∴△ABD≌△ACE（SAS）. ∴BD=CE AD=AE（已证）
1.1 等腰三角形(3)
§1.1 等腰三角形（3）【主要内容】①等腰三角形的判定；②等边三角形的判定；③反证法【复习旧知】1、等腰三角形的性质：①等边对______；②底边上的中线、底边上的_____、顶角的________重合。
2、等边三角形每个内角都等于_______度【新课导学】1、在作业当中，我们已经证明了“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，简称__________________，即在同一个三角形中，相等的角的对边也是_______的。
此命题在证明过程中，关键是______________________.（3）思考：我们已经证明了：“等边对等角”和“等角对等边”，那是否能够说明：在同一个三角形内，不相等的边所对的角不相等呢？请你给出证明。
已知：△ABC中，AB≠AC.求证：∠B≠∠C.分析：我们经常证明的是相等，但此时要证明不相等显然不是我们的常规思路。
因此，我们想，不妨利用反证法，不证明不相等转变成为证明相等。
证明：假设____________________，∵____________∴AB＝AC.（___________________）此时与题设（已知）AB≠AC相矛盾，∴___________________.∴___________________.故不相等的边所对的角不相等。
结论：等角与等边是必然对应的，不等角与不等边对应，跟进一步，我们可以知道大角必然对大边，小角对小边。
2、（1）证明一个三角形是等边三角形，除了用定义证明三边相等之外，有何办法呢？（2）方法一：三个角都相等的三角形是等边三角形.请你证明这个命题已知：画图：求证：（3）方法二：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.请你证明这个命题已知：画图：求证：【归纳总结】1、证明等腰三角形的方法：①利用定义，证明_____条边相等；②利用等角对等边，需证明有____个角相等。
2、证明等边三角形的方法：①利用定义，证明_____边相等；②证明____个角相等；③证明等腰三角形内，有____个等于60°.3、反证法的基本步骤：先假设命题的结论_________，通过推理发现与公理、已证明的定理或者已知相矛盾，从而使得假设不成立，则不能否定结论，即结论是正确的。
1.1第3课时等腰三角形-北师大版八年级数学下册课件
1.1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
一、复习旧知，引入新课
1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角）
二、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河 流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南 岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到 C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的 长度是50米，就可知河流宽度是50米．
这与三角形的内角和为180°矛盾， 所以假设不成立， 因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
四、 巩固运用、深化拓展
1.等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的 角的度数是（ ）（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D） 无法确定
2.已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
五、课堂小结
1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三 角形是等腰三角形(等角对等边)． 2．反证法 (1) 假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾； (3) 假设不成立，则结论成立．
谢谢!
∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高， ∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠EAC， ∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形．
探究点二：反证法
A 12
B
C
D
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等） 思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
一、复习旧知，引入新课
1、等腰三角形的性质定理是什么？ 等腰三角形的两个底角相等。 （可以简称：等边对等角）
二、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河 流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南 岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到 C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的 长度是50米，就可知河流宽度是50米．
这与三角形的内角和为180°矛盾， 所以假设不成立， 因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
四、 巩固运用、深化拓展
1.等腰三角形的一个内角为70°，它的一腰上的高与底边所夹的 角的度数是（ ）（A）35° （B）20° （C）35 °或 20°（D） 无法确定
2.已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD
五、课堂小结
1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三 角形是等腰三角形(等角对等边)． 2．反证法 (1) 假设结论不成立； (2)从假设出发推出矛盾； (3) 假设不成立，则结论成立．
谢谢!
∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD是AB边上的高， ∴∠ACD＋∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD. ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAE＝∠EAC， ∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰三角形．
探究点二：反证法
A 12
B
C
D
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等） 思考:作底边上的高可以吗?作底边中线呢?
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
等腰三角形和直角三角形
ab 0
直角三角形有关内容： 1、直角三角形 （1）性质： ①（角）直角三角形的两锐角 ； ②（边）勾股定理：直角三角形两条直角边的 等 于 ； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它 所对的 等于 的 。 （2）判定：勾股定理的逆定理：如果三角形 等 于 ，那么这个三角形是直角三角形.
例题2.（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分 ∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、 F，试说明BE+CF=EF的理由．
（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC， ∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、 CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．
作业：A+ 第6课时
例3.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC上的高， BE是角平分线，交AD于P. （1）求证：AE=AP (2)若∠C=30°，AE=1，求BC的长.
A E P B D C
例4
例5、如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分 线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等 边△CDE，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ 使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．
1、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和 结论分别是另一个命题的 ，那么这两个命题 称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 . 2、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题，那么它也是一个定理，这两个定理称为 ， 其中一个定理称为另一个定理的 . （温馨提示：①任何一个命题都有逆命题； ②判断一 个定理是否有逆定理，首先是写出这个定理的逆命题，∠ACB=90°，AC＜BC， D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且 DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．（1） 求证：AG=BF； （2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．
1.1等腰三角形(第1课时)市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
平分∠CAB，点D到AB距离DE=3.8 cm，则BC等于（ ）
A. 3.8cm C. 11.4cm
C B. 7.6cm D. 11.2cm
24/37
5、如图在三角形ABC中 AB=AC, ∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、 △ BCD角平分线，则图中等腰三角 形是有_____个5
等腰三角形分别为 △ABC △DAB △BEC △BDC △EDC
C 含实线、虚线图形），共有全等三角形（
A.2对
B.3对
）
C.4对
D.5对
23/37
3.如右图,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于D,又DE∥BC,
交AC于E,若DE=4cm，AE=5cm,则AC等于 （ ）
D A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm
4.在Rt△ABC中,如图所表示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD
求证：（1）AD=AG， （2）AD⊥AG。
提醒: 证实△ABD≌ △GCA
10/37
点拔: 1、三角形全等
判定公理: SSS、SAS、 ASA. 定理: AAS
性质定理: 全等三角形对应边、对应角相等.
11/37
三角形全等证题思绪：
已知两边
找找夹第角三边
SAS SSS
已知两角找 找夹 任边 一边
A
方法1：在HC上取一点G，
使FD=HG连结DG.
H
G
F
●
方法2：过D点作DG∥HF E 方法3：过D点作DG⊥HC
B
D
C
还有好方法吗？
32/37
2.如图：AD是△ABC中∠BAC平分线，
过AD中点E作EF⊥AD交BC延长线于F，
1.1《等腰三角形》课件(共25张PPT)
在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300. B
∴BC= AB.(在直角三角形中,
300角所对的直角边等于斜边的一
半).
A
300
C
推论：
1: 3 :2
学无止境
已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求 :腰上的高.
D
2a
A
2a
B
150
150
C
解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一
C
(有一个角是600的等腰三角形是等
边三角形).
这又是一个判定等边三角形的根据之一
驶向胜利 的彼岸
命题的证明
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边)B.
C
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形意义).
定理:有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
A
在△ABC中, ∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形 B 600
又∵ DE//BC， ∴∠ADE =∠B=60°
∠AED =∠C=60° ∴∠ADE =∠AED
B
C
∴ △ADE是等腰三角形 又∵ ∠ADE =60° △ABC是等边三角形
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A
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
B C
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形．
等腰三角形的判定定理：
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
A
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
1、假设：先假设命题的结论不成立； 2、归谬：从这个假设出发，应用正确的推论 方法，得出与定义、公理、已证定理或已知 条件相矛盾的结果； 3、矛盾：由矛盾的结果判定假设不正确，从 而肯定命题的结论正确。
用反证法证明的一般步骤证法证明 的一般步骤：
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
或等于1/5. 用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数
的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的
和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原
命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于
1/5.
测试评价
• 1、如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出 其中的一个等腰三角形给予证明．
A
D B C
2、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
A 1 2
E
D
B
C
3、如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且 MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
. 分析：要求△AMN的周长， 则需求出AM+MN+AN，而这三条 边都是未知的．由已知AB=12， AC=18，可使我们联想到△AMN 的周长需转化成与AB、AC有关系 的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形 出现，因此，找到问题的突破口．
预习展示
• 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这
个命题的题设和结论分别是什么？
• 问题2.我们是如何证明上述定理的？
• 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还
成立么？
•
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等
感悟导入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过 来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A
M B
D
N
C
4、现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出 发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此 时的等腰三角形的顶角的度数?
36° 90° 108°
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
B
C
练A 求证：三角形AED是等腰三角形
A D
E
B
C
合作探究
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等 ，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结 论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
A
B
C
论证的新方法---反证法
我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C， 此时AB与AC要么相等，要么不相等． B 假设AB=AC，那么根据“等边对等 角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是 ∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
巩固训练
证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于
A
C
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理 可得∠C=∠B， 但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B” 与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾， 因此 AB≠AC
在上面的证法中，先假设命题的结论不成 立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过 的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立． 我们把它叫做反证法．
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
B C
分析：只要构造两个全等的三角形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形．
等腰三角形的判定定理：
几何的三种语言
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.)
A
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
1、假设：先假设命题的结论不成立； 2、归谬：从这个假设出发，应用正确的推论 方法，得出与定义、公理、已证定理或已知 条件相矛盾的结果； 3、矛盾：由矛盾的结果判定假设不正确，从 而肯定命题的结论正确。
用反证法证明的一般步骤证法证明 的一般步骤：
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
或等于1/5. 用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数
的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的
和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原
命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于
1/5.
测试评价
• 1、如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出 其中的一个等腰三角形给予证明．
A
D B C
2、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
A 1 2
E
D
B
C
3、如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且 MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
. 分析：要求△AMN的周长， 则需求出AM+MN+AN，而这三条 边都是未知的．由已知AB=12， AC=18，可使我们联想到△AMN 的周长需转化成与AB、AC有关系 的形式．而已知中的角平分线和平 行线告诉我们图形中有等腰三角形 出现，因此，找到问题的突破口．
预习展示
• 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这
个命题的题设和结论分别是什么？
• 问题2.我们是如何证明上述定理的？
• 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还
成立么？
•
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等
感悟导入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过 来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
A
M B
D
N
C
4、现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出 发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此 时的等腰三角形的顶角的度数?
36° 90° 108°
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路
B
C
练A 求证：三角形AED是等腰三角形
A D
E
B
C
合作探究
小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等 ，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结 论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
A
B
C
论证的新方法---反证法
我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C， 此时AB与AC要么相等，要么不相等． B 假设AB=AC，那么根据“等边对等 角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是 ∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件 “∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．
巩固训练
证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且
a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于
A
C
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理 可得∠C=∠B， 但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B” 与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾， 因此 AB≠AC
在上面的证法中，先假设命题的结论不成 立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过 的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立． 我们把它叫做反证法．