高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

合集下载

高考数学二轮复习数列求和及其综合应用

(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项，所以Sn＋1＝2bn，当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1，两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，所以b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类 (解析版)

数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n 项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n 中，已知a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 50等于()A.2451B.2452C.2449D.24502.(等比累加法)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1-a n =2n ，则a 9=()A.510B.512C.1022D.10242024年高考数学专项复习数列求和与递推综合归类（解析版）【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +12.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【变式演练】1.数列{a n}中，a1=1，a2=3，a n+1=a n-a n-1(n≥2,n∈N*)，那么a2019=()A.1B.2C.3D.-32.数列a n的首项a1=3，且a n=2-2a n-1n≥2，则a2021=()A.3B.43C.12D.-2题型四【二阶等比数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2,且a n=2a n-1-1(n≥2,n∈N+)，则a n=______________【变式演练】1.已知数列a n中，a1=1，a n=3a n-1+4(n∈N∗且n≥2)，则数列a n通项公式a n为() A.3n-1 B.3n+1-2 C.3n-2 D.3n2.已知数列{a n}满足：a n+1=2a n-n+1(n∈N*)，a1=3.(1)证明数列b n=a n-n(n∈N*)是等比数列，并求数列{a n}的通项；(2)设c n=a n+1-a na n a n+1，数列{c n}的前n项和为{S n}，求证：S n<1.【典例分析】1.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a na n+2(n∈N*)，则22019是这个数列的第________________项．【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a na n+2.记C n=2na n，则数列Cn的前n项和C1+C2+...+Cn=．2.数列a n满足：a1=13，且na n=2a n-1+n-1a n-1(n∈N*,n≥2)，则数列a n的通项公式是a n=．题型六前n项积型递推【典例分析】1.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，a7-1a8-1<0.则下列结论正确的是(多选题)A.0<q<1B.a7a9<1C.T n的最大值为T7D.S n的最大值为S7【技法指引】类比前n项和求通项过程来求数列前n项积：1.n=1，得a12.n≥2时，a n=T n T n-1所以a n=T1，(n=1) T nT n-1,(n≥2)【变式演练】1.若数列a n满足a n+2=2⋅a n+1a n(n∈N*)，且a1=1,a2=2，则数列a n的前2016项之积为()A.22014B.22015C.22016D.220172.设等比数列a n的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1>1，且a2020a2021> 1，a2020-1a2021-1<0，下列结论正确的是(多选题)A.S2020<S2021B.a2020a2022-1<0C.数列T n无最大值 D.T2020是数列T n中的最大值题型七“和”定值型递推【典例分析】1.若数列a n满足a n+2a n+1+a n+1a n=k(k为常数)，则称数列a n为等比和数列，k称为公比和，已知数列a n是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2019=______.【变式演练】1.已知数列{a n}满足a n+a n+1=12(n∈N*)，a2=2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21为()A.5B.72C.92D.1322.知数列{a n}满足：a n+1+a n=4n-3(n∈N*)，且a1=2，则a n=．题型八分段型等差等比求和【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=32a n,n为奇数2a n,n为偶数 .(1)记b n=a2n，写出b1，b2，并求数列b n的通项公式；(2)求a n的前12项和.【变式演练】1.已知数列a n满足a1=1,a n+1=a n+1,n=2k-1, a n,n=2k.(1)求a2,a5的值；(2)求a n的前50项和S50．题型九函数中心型倒序求和【典例分析】1.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是函数f (x )=2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点(可以重合)，点M为AB 的中点，且M 在直线x =12上．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n，求S n ；(3)若在(2)的条件下，存在n 使得对任意的x ，不等式S n >-x 2+2x +t 成立，求t 的范围．【变式演练】2.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．题型十分组求和型【典例分析】1.已知等比数列a n 的公比大于1，a 2=6，a 1+a 3=20.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =a n +1log 3a n +12log 3a n +22，求b n 的前n 项和T n .【技法指引】对于a n +b n 结构，利用分组求和法【变式演练】1.设S n 为数列a n 的前n 项和，已知a n >0，a 2n +2a n =4S n +3n ∈N *，若数列b n 满足b 1=2，b 2=4，b 2n +1=b n b n +2n ∈N *(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =1S n,n =2k -1,k ∈N * b n,n =2k ,k ∈N *求数列c n 的前n 项的和T n .【典例分析】1.已知数列a n 满足a 1=2，且a n +1-3 ⋅a n +1 +4=0，n ∈N *.(1)求证：数列1a n -1是等差数列；(2)若数列b n 满足b n =2n +1a n -1，求b n 的前n 项和.【技法指引】对于a n b n 结构，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，用错位相减法求和；思维结构结构图示如下【变式演练】1.已知等比数列a n 的首项a 1=1，公比为q ，b n 是公差为d d >0 的等差数列，b 1=a 1，b 3=a 3，b 2是b 1与b 7的等比中项．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n 的前n 项和为S n ，数列c n 满足nc n =a 2n S n ，求数列c n 的前n 项和T n ．【典例分析】1.已知数列a n各项均为正数，且a1=2，a n+12-2a n+1=a n2+2a n．(1)求a n的通项公式(2)设b n=-1n a n，求b1+b2+b1+⋯+b20．【变式演练】1.设等差数列a n的前n项和为S n，已知a3+a5=8,S3+S5=10. (1)求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n a n，求数列b n的前n项和T n.题型十三无理根式型裂项相消求和【典例分析】1.设数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3a n-3．(1)求数列a n的通项公式：(2)若b n=a n3,n为奇数1log3a n+log3a n+2,n为偶数，求数列和b n 的前10项的和．【变式演练】1.设数列a n的前n项和S n满足2S n=na n+n，n∈N+，a2=2，(1)证明：数列a n是等差数列，并求其通项公式﹔(2)设b n=1a n a n+1+a n+1a n，求证：T n=b1+b2+⋯+b n<1.题型十四指数型裂项相消【典例分析】1.已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1.(1)求a n ；(2)设b n =a n a n +1-1 ⋅a n +2-1 ，求数列b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.数列a n 满足：a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+n -1 a n -1=2+n -2 ⋅2n n ≥2 .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =a n a n -1 a n +1-1，T n 为数列b n 的前n 项和，若T n <m 2-3m +3恒成立，求实数m 的取值范围.题型十五等差指数混合型裂项【典例分析】1.已知数列a n 满足S n =n a 1+a n 2，其中S n 是a n 的前n 项和.(1)求证：a n 是等差数列；(2)若a 1=1,a 2=2，求b n =2n 1-a n a n a n +1的前n 项和T n .【变式演练】2.已知等比数列a n 的各项均为正数，2a 5，a 4，4a 6成等差数列，且满足a 4=4a 23，数列S n 的前n 项之积为b n ，且1S n +2b n=1．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)设d n =b n +2⋅a n b n ⋅b n +1，若数列d n 的前n 项和M n ，证明：730≤M n <13．【典例分析】1.已知数列a n 的满足a 1=1，a m +n =a m +a n m ,n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)记b n =(-1)n ⋅2n +1a n a n +1，数列b n 的前2n 项和为T 2n ，证明：-1<T 2n ≤-23.【技法指引】正负相间型裂和，裂项公式思维供参考：-1 n ⋅pn +q kn +b k (n +1)+b=-1 n ⋅t 1kn +b +1k (n +1)+b【变式演练】1.记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1a n =1-2T n ．(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅4n +4T n T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n ．【典例分析】1.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若S 8=4a 4+20，且a 5+a 6=11.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =n 2+n +1a n a n +1，求b n 的前n 项和T n .【变式演练】1.已知等差数列a n 的通项公式为a n =2n -c c <2 ，记数列a n 的前n 项和为S n n ∈N * ，且数列S n 为等差数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列4S n a n a n +1的前n 项和为T n n ∈N * ，求T n 的通项公式．好题演练好题演练1.(山东省泰安市2023届高三二模数学试题)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=2，a n ≠0，a n a n +1=4S n .(1)求a n ；(2)设b n =-1 n ⋅3n -1 ，数列b n 的前n 项和为T n ，若∀k ∈N *，都有T 2k -1<λ<T 2k 成立，求实数λ的范围.2.(2023·全国·模拟预测)已知正项数列a n 满足a 1=1，a n +1a n =1+1n.(1)求证：数列a 2n 为等差数列；(2)设b n =1a 2n a n +1+a n a 2n +1，求数列b n 的前n 项和T n .3.(2023·全国·学军中学校联考二模)设数列a n 满足a n +1=3a n -2a n -1n ≥2 ,a 1=1,a 2=2.(1)求数列a n 的通项公式；(2)在数列a n 的任意a k 与a k +1项之间，都插入k k ∈N * 个相同的数(-1)k k ，组成数列b n ，记数列b n 的前n 项的和为T n ，求T 27的值.4.(2023·全国·长郡中学校联考二模)已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S n +S n -1(n ∈N *且n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n +22n a n a n +1 的前n 项和为T n ，求证：T n <1.5.(2023·四川攀枝花·统考三模)已知等差数列a n的公差为d d≠0，前n项和为S n，现给出下列三个条件：①S1,S2,S4成等比数列；②S4=32；③S6=3a6+2.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n-b n-1=2a n n≥2，且b1=3，设数列1b n的前n项和为Tn，求证：13≤T n<12.6.(2023春·江西抚州·高二金溪一中校联考期中)已知数列a n满足a1=2,a n+1= 2a n+2,n为奇数,1 2a n+1,n为偶数.(1)记b n=a2n，证明：数列b n为等差数列；(2)若把满足a m=a k的项a m,a k称为数列a n中的重复项，求数列a n的前100项中所有重复项的和.7.(河北省2023届高三下学期大数据应用调研联合测评(Ⅲ)数学试题)已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1 是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .8.(2023·全国·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和S n 满足S n =n 2-1+a n .(1)求a 1及a n ；(2)令b n =4S n a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .数列求和与递推综合归类目录重难点题型归纳 1【题型一】等差与等比型累加法 1【题型二】换元型累加、累积法 3【题型三】周期数列型递推 4【题型四】二阶等比数列型递推 6【题型五】分式型求递推 7【题型六】前n项积型递推 8【题型七】“和”定值型递推 9【题型八】分段型等差等比求和 11【题型九】函数中心型倒序求和 12【题型十】分组求和型 14【题型十一】错位相减型求和 16【题型十二】正负相间型求和 19【题型十三】无理根式型裂项相消求和 20【题型十四】指数型裂项相消 22【题型十五】等差指数混合型裂项 23【题型十六】裂和型裂项相消 26【题型十七】分离常数型裂项 27好题演练 29重难点题型归纳重难点题型归纳题型一等差与等比型累加法【典例分析】1.(等差累加法)已知数列a n中，已知a1=2，a n+1-a n=2n，则a50等于()A.2451B.2452C.2449D.2450【答案】B【详解】由a n+1-a n=2n得：a n-a n-1=2n-1，a n-1-a n-2=2n-2，⋯⋯，a3-a2=2×2，a2-a1=2×1，各式相加可得：a n-a1=2×1+2+⋅⋅⋅+n-1=2×n n-12=n n-1，又a1=2，∴a n=2+n n-1=n2-n+2，∴a50=2500-50+2=2452.故选：B.2.(等比累加法)已知数列a n满足a1=2，a n+1-a n=2n，则a9=()A.510B.512C.1022D.1024【答案】B【详解】由a1=2,a n+1-a n=2n得a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，⋮a n -a n -1=2n -1，以上各式相加得，a n -a 1=2+22+⋯+2n -1=21-2n -11-2=2n -2，所以a n =2n -2+a 1=2n ，所以a 9=29=512.故选：B .【技法指引】对于递推公式为a n -a n -1=f n ，一般利用累加法求出数列的通项公式；累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：a na n -1=g (n )(n ≥2)的关系，可用“累乘法”求通项.【变式演练】1.已知数列a n n ∈N * 是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2 的第5项恰好构成等比数列，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2n -1B.a n =2n +1C.a n =n -1D.a n =n +1【答案】A【分析】根据题意设a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，所以1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，即1+3d 2=1×1+24d ，求出d 即可求解.【详解】设等差数列a n 的公差为d d >0 ，所以a n =1+n -1 d ，所以a 2n =1+2n -1 d ，a n 2=1+n 2-1 d ，又a 1、数列a 2n 的第2项、数列a n 2的第5项恰好构成等比数列，即1，1+3d ，1+24d 构成等比数列，所以1+3d 2=1×1+24d ，解得d =2，d =0(舍去)，所以a n =2n -1.故选：A .2.已知数列a n 中，a 1=1，前n 项和S n =n +23a n ，则a n 的通项公式为.【答案】a n =n n +12【分析】由S n =n +23a n ，变形可得则S n -1=n +13a n -1，两式相减变形可得a n a n -1=n +1n -1，又由a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a2a 1×a 1，计算可得a n =n (n +1)2，验证a 1即可得答案．【详解】根据题意，数列{a n }中，a 1=1，S n =n +23a n (n ∈N *)，S n =n +23a n ①，S n -1=n +13a n -1②，①-②可得：a n =(n +2)a n 3-(n +1)a n -13，变形可得：a n a n -1=n +1n -1，则a n =a n a n -1 ×a n -1a n -2 ×⋯⋯×a 2a 1×a 1=n +1n -1 ×n n -2 ×⋯⋯×31 ×1=n (n +1)2；n =1时，a 1=1符合a n =n (n +1)2；故答案为：a n =n (n +1)2．题型二换元型累加、累积法【典例分析】1.已知数列a n 满足：a 1=13，(n +1)a n +1-na n =2n +1，n ∈N *，则下列说法正确的是()A.a n +1≥a nB.a n +1≤a nC.数列a n 的最小项为a 3和a 4D.数列a n 的最大项为a 3和a 4【答案】C【详解】令b n =na n ，则b n +1-b n =2n +1，又a 1=13，所以b 1=13，b 2-b 1=3，b 3-b 2=5，⋯，b n -b n -1=2n -1，所以累加得b n =13+n -1 3+2n -1 2=n 2+12，所以a n =b n n =n 2+12n =n +12n，所以a n +1-a n =n +1 +12n +1-n +12n =n -3 n +4 n n +1，所以当n <3时，a n +1<a n ，当n =3时，a n +1=a n ，即a 3=a 4，当n >3时，a n +1>a n ，即a 1>a 2>a 3=a 4<a 5<⋯<a n ，所以数列a n 的最小项为a 3和a 4，故选：C .【变式演练】1.(换元对数累加法)在数列a n 中，a 1=2，a n +1n +1=a n n +ln 1+1n ，则a n =()A.a 8B.2+n -1 ln nC.1+n +ln nD.2n +n ln n【答案】D【详解】由题意得，a n +1n +1=a n n +ln n +1n ，则a n n =a n -1n -1+ln n n -1，a n -1n -1=a n -2n -2+lnn -1n -2⋯，a 22=a 11+ln 21，由累加法得，a n n =a 11+ln n n -1+ln n -1n -2⋯+ln 21，即a n n =a 1+ln n n -1⋅n -1n -2⋅⋯⋅21，则an n=2+ln n ，所以a n =2n +n ln n ，故选：D2.已知数列a n 满足a 1=32，a n =n n -1a n -1-n 2n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求满足S n <12的所有正整数n 的取值集合.【答案】(1)a n =n +n2n ；(2)1,2,3,4 .【详解】(1)因为a n =n n -1a n -1-n 2n ，所以a n n -a n -1n -1=-12n .因为a 22-a 11=-122，a33-a 22=-123，⋯，a n n -a n -1n -1=-12n ，所以a n n -a 11=-122+123+⋯+12n=-1221-12 n -11-12=12n-12，于是a n=n+n 2n .当n=1时，a1=1+12=32，所以a n=n+n2n.(2)因为S n-S n-1=a n=n+n2n >0，所以S n是递增数列.因为a1=1+12=32，a2=2+24=52，a3=3+323=278，a4=4+424=174，a5=5+525=16532，所以S1=32，S2=4，S3=598，S4=938<12，S5=53732>12，于是所有正整数n的取值集合为1,2,3,4.题型三周期数列型递推【典例分析】1.已知数列a n满足a1=2，a n+1=1+a n1-a n，(n∈N*)，则a1⋅a2⋅a3⋅⋯a2009⋅a2010=_________．【答案】-6【解析】由已知有a2=1+a11-a1=-3,a3=1-31+3=-12,a4=1-121+12=13,a5=1+131-13=2，所以a5=a1=2，所以数列a n是周期数列，且周期为4，a1a2a3a4=a5a6a7a8=⋯=a2005a2006a2007a2008=1，而a2009a2010= a1a2=2×(-3)=-6，所以a1a2a3⋯a2010=-6。

2020年高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

2020年高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题一、单选题(共12题；共24分)1．（2分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n+1+S n =−n 2+25n(n ∈N ∗) ，则 a 12+a 13等于（） A ．−2B ．0C ．2D ．42．（2分）已知各项都是正数的数列 {a n } 满足 a n+1−a n =2n(n ∈N ∗) ，若当且仅当 n =4 时， a nn 取得最小值，则（）A ．0<a 1<12B ．12<a 1<20C ．a 1=12D ．a 1=203．（2分）在数列 {a n } 中， a 1=2,a n+1=a n +2n ，则 a 2017 的值为（）A ．22016B ．22018C ．22017D ．−220174．（2分）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，满足 S n =2a n −3 ，则 S 6= （）A ．192B ．96C ．93D ．1895．（2分）已知数列 {a n } 满足 a 1=−14,a n =1−1an−1(n >1) ，则 a 2019= （） A ．−14B ．5C ．15D ．456．（2分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且满足f （3-x ）=f （x ），f （-1）=3，数列{a n }满足a 1=1且a n =n （a n+1-a n ）（n ∈N*），则f （a 36）+f （a 37）=（） A ．−3B ．−2C ．2D ．37．（2分）已知数列{a n }的前 n 项和 S n =n 2−n +1 ，则这个数列的通项公式为（）A ．a n =2n −1B ．a n =2n−1C ．a n =2n −2D ．a n ={1,n =12n −2,n ≥28．（2分）已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ， a 1＝1，S n ＝2a n +1，则 S n ＝( )A ．2n−1B ．(32)n−1C ．(23)n−1D ．12n−19．（2分）已知数列 {a n },{b n } 满足 a 1=1.1,b 1=0.2,a n+1=b n+1+an 2,b n+1=13a n +23b n ,n ∈N ，令 c n =a n −b n ，则满足 c n ≤1104 的 n 最小值为（） A ．9B ．10C ．11D ．1210．（2分）设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， (n +1)S n <nS n+1(n ∈N ∗) .若 a8a 7<−1 ，则（）A ．S n 的最大值为 S 8B ．S n 的最小值为 S 8C ．S n 的最大值为 S 7D ．S n 的最小值为 S 711．（2分）已知正项数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1=1 ， a n+12=2S n +n +1(n ∈N ∗) ，设数列 {1a n a n+1} 的前 n 项和为 T n ，则 T n 的取值范围为（） A ．(0,12]B ．(0,1)C ．(12,1)D ．[12,1)12．（2分）数列 {a n } 为1、1、2、1、1、2、4、1、1、2、1、1、2、4、8、...，首先给出 a 1=1 ，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是 a 2=1 ， a 3=2 ，然后再复制前面的所有项1、1、2，再添加2的后继数4，于是 a 4=1 ， a 5=1 ， a 6=2 ， a 7=4 ，接下来再复制前面的所有项1、1、2、1、1、2、4，再添加8，...，如此继续，则 a 2019= （） A ．16B ．4C ．2D ．1二、填空题(共5题；共6分)13．（1分）已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n +1)+2,其中 n ∈N ∗ ,则a n = .14．（1分）数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n (2S n −1)=2S n 2 （ n ≥2 ， n ∈N ∗ ），则 a n = .15．（2分）若数列 {a n } 满足 a 1=1 ， a n+1=2a n ，则 a 5= ；前8项的和S 8= .（用数字作答）16．（1分）已知数列 {a n } 的通项公式和为 S n =n(7n+3)2， n ∈N ∗ ，现从前 m 项： a 1,a 2,⋅⋅⋅,a m 中抽出一项（不是 a 1 也不是 a m ），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第项17．（1分）已知以区间 (0,2) 上的整数为分子，以 2 为分母的数组成集合 A 1 ，其所有元素的和为a 1 ；以区间 (0,22) 上的整数为分子，以 22 为分母组成不属于集合 A 1 的数组成集合 A 2 ，其所有元素的和为 a 2 ；……依此类推以区间 (0,2n ) 上的整数为分子，以 2n 为分母组成不属于 A 1 ， A 2 … A n−1 的数组成集合 A n ，其所有元素的和为 a n ，若数列 {a n } 前 n 项和为 S n ，则 S 2020−S 2019= ．三、解答题(共5题；共45分)18．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋kn ＋k ，（1）（5分）求{a n }的通项公式；（2）（5分）若b n ＝ 1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n . 19．（5分）已知数列 {a n } 中， a 1=2 ， a n+1=2a n +2n+1 ，设 b n =a n2n .（Ⅰ）求证：数列 {b n } 是等差数列；（Ⅱ）求数列{1b n b n+1}的前n项和S n.20．（10分）已知{a n}为等差数列,其前n项和为S n, {b n}为等比数列,满足: a1=b1=1, a1+ a4=b4, S4=b5,（1）（5分）求a n和b n;（2）（5分）设C n=a bn,求数列{C n}的前n项和T n.21．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=5×3n−3,b n=a n(4n2−1)3n.（1）（5分）证明：数列{a n−2×3n}为常数列.（2）（5分）求数列{b n}的前n项和T n.22．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，S n=13(n+2)a n(n∈N∗) .（1）（5分）求a2，a3，a4的值及数列{a n}的通项公式；（2）（5分）求证：1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n<1.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为S n+1+S n=−n2+25n(n∈N∗)，所以当n≥2时，S n+S n−1=−(n−1)2+25(n−1)，两式相减得a n+1+a n=26−2n(n≥2)，令n=12，得a12+a13=2.故选：C.【分析】由S n+1+S n=−n2+25n(n∈N∗)，S n+S n−1=−(n−1)2+25(n−1)，两式相减得，a n+1+a n=26−2n(n≥2)，令n=12，即可得到本题答案.2．【答案】B【解析】【解答】由题意得当n≥2时，a n−a n−1=2n−2，a n−1−a n−2=2n−4,⋯,a2−a1= 2，累加得a n−a1=n2−n，故a n=n2−n+a1，当n=1时，该式也成立，则a nn=n−1+a1n因为当且仅当n=4时，a nn取得最小值，a1>0，所以由“对勾两数”的单调性可知a44<a33且a44<a55，∴4−1+a14<3−1+a13且4−1+a14<5−1+a15，解得12<a1<20.故答案为：B.【分析】根据递推关系，利用累加法求出a n=n2−n+a1，进而得到a n n=n−1+a1n，再利用对勾函数的单调性，即可得答案.3．【答案】C【解析】【解答】因为a n+1=a n+2n,所以a n+1−a n=2n,a2017=(a2017−a2016)+(a2016−a2015)+⋯+(a3−a2)+(a2−a1)+a1=22016+22015+⋯+22+2+2=2(1−22016)1−2+2=22017故答案为：C【分析】依题意知a n+1−a n=2n,又a1=2,利用累加法即可求得a2017的值. 4．【答案】D【解析】【解答】解：∵S n=2a n−3当n=1时，S1=2a1−3，解得a1=3，当n≥1时，S n−1=2a n−1−3，∴S n−S n−1=2a n−3−(2a n−1−3)，∴a n=2a n−2a n−1∴a n=2a n−1∴a na n−1=2故{a n}是以a1=3，q=2的等比数列，∴a n=3⋅2n−1∴S6=3(1−26)1−2=189故答案为：D【分析】根据a n={S1n=1S n−S n−1n≥2可求数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和求S6.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵a1=−14,a n=1−1a n−1(n>1),∴a2=1−1a1=1−1−14=5,a3=1−1a2=1−15=45a4=1−1a2=1−145=−14∴a4=a1.因此数列是周期为3的数列.a2019=a3=45.故答案为：D【分析】根据数列的递推公式写出数列的前4项,得出数列是周期为3的数列,可得a2019的值. 6．【答案】A【解析】【解答】∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，由数列{a n}满足a1=1且a n=n（a n+1-a n）（n∈N*），则a n=na n+1-na n，即（1+n）a n=na n+1，则a n+1a n=1+nn，等式两边同时相乘得a2a1.a3a2...a na n−1=21×32...nn−1，即a na1=n，即a n=na1=n，即数列{a n}的通项公式为a n=n，则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，故答案为：A．【分析】根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．7．【答案】D【解析】【解答】当n=1时，a1=S1=1−1+1=1当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−n+1−(n−1)2+(n−1)−1=2n−2∵a1不满足a n=2n−2∴a n={1,n=12n−2,n≥2故答案为：D【分析】当n=1时，由a1=S1求得a1；当n≥2时，由a n=S n−S n−1求得a n；验证后可知数列为分段数列，从而得到结果.8．【答案】B【解析】【解答】由已知a1=1，S n=2a n+1，a n=S n−S n−1得S n=2(S n−1−S n)，即2S n+1=3S n,S n+1S n=32，而S1=a1=1，所以Sn =(32)n−1.故答案为：B.【分析】利用公式a n=S n−S n−1计算得到2S n+1=3S n,S n+1S n=32，得到答案.9．【答案】B【解析】【解答】an+1−b n+1=b n+1+a n2−b n+1=−12b n+1+12a n=−12(13a n+23b n)+12a n=13(a n−b n)，c1=a1−b1=0.9，故{c n}是首项为0.9，公比为13的等比数列，故c n=0.9×13n−1 ，则 0.9×13n−1≤1104 ，即 3n−3≥103 ，当 n =9 时， 36=729<103 ；当 n =10 时， 37=2187>103 ，显然当 n ≥10 时， 3n−3≥103 成立，故 n 的最小值为10. 故答案为：B 。

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和

高中数学教案：数列的递推公式与数列求和一、数列的定义与性质数列作为高中数学中的重要概念之一，是一种按照一定规律排列的数的序列。

它能够帮助我们更好地研究数的规律性，以及在各种实际问题中的应用。

本文将重点讨论数列的递推公式与数列求和的相关知识。

1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列通常用{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}表示，其中的每一项aₙ都是数列中的元素，下标n表示这是数列中的第n个元素。

1.2 数列的性质数列除了有一定的递增或递减规律外，还具有以下性质：1）有界性：数列中的元素存在上界和下界，即数列的元素都在某个范围内。

2）单调性：数列可以是递增的（数列中的每一项都大于前一项），也可以是递减的（数列中的每一项都小于前一项），还可以是常数列（数列中的每一项都相等）。

3）有限性：数列可以是有限数列（数列中的元素个数是有限的），也可以是无限数列（数列中的元素个数是无限的）。

二、数列的递推公式数列的递推公式是指通过数列中某一项与前几项的关系来表示后一项的公式。

在实际问题中，通过找出数列元素之间的规律，我们可以用递推公式来进行数列的计算与推理。

2.1 递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前几项之间的关系。

对于数列{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，如果存在一个递推公式aₙ=f(a₁，a₂，a₃，...，aₙ₋₁)来表示数列中的每一项，其中f是一个函数，则称这个递推公式为数列的递推关系。

2.2 递归与迭代在数列的递推公式中，有两种主要的解题方法：递归和迭代。

2.2.1 递归递归是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，直到得到所需要的项。

递归可以分为直接递推法和间接递推法两种。

直接递推法是指通过已知数列中的前两项来推导下一项的值，例如斐波那契数列{1，1，2，3，5，...}就是通过aₙ=aₙ₋₁+aₙ₋₂来进行递推的。

间接递推法是指通过已知数列中的前几项来推导下一项的值，例如{2，5，12，29，...}中的每一项都是前一项的平方与前一项的负数之和。

高考数列10大题型

高考数列10大题型
1. 等差数列求和问题：已知等差数列的首项和公差，求前n项的和。

2. 等差数列通项问题：已知等差数列的首项和公差，求第n项的值。

3. 等比数列求和问题：已知等比数列的首项和公比，求前n项的和。

4. 等比数列通项问题：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。

5. 递推数列求和问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求前n项的和。

6. 递推数列通项问题：已知递推数列的递推关系和初始项，求第n项的值。

7. 斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n项的值。

8. 拆分数列：已知一个数列中的某一项满足特定条件，求拆分数列中满足条件的项数。

9. 数列特性问题：已知一个数列满足特定条件，求满足条件的项数或项的值。

10. 数列推理问题：已知一个数列的部分项或规律，推理出数列的通项式或递推关系。

(完整)高考数学二轮复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用,推荐文档

1 1 1 1 1数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1. 数列求和的方法技巧(1) 分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2) 错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前 n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．(3) 倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4) 裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，anan ＋1anan ＋1 d (a n － )适用于求通项为常见的拆项公式： 1 1 1①n (n ＋1)＝n －n ＋1；1 1 1 1的数列的前 n 项和，其中{a n }若为等差数列，则＝ an ＋1 .②n (n ＋k )＝k (n －n ＋k )；1 1 1 1③(2n －1)(2n ＋1)＝2(2n －1－2n ＋1)；1 1④ n ＋ n ＋k ＝k ( n ＋k － n )． 2. 数列应用题的模型(1) 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2) 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3) 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4) 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5) 递推模型：如果容易找到该数列任意一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前 n 项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.π1 π考点一分组转化求和法例 1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a 1，a 2，a 3 中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)当 a 1＝3 时，不合题意；当 a 1＝2 时，当且仅当 a 2＝6，a 3＝18 时，符合题意；当 a 1＝10 时，不合题意．因此 a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比 q ＝3. 故 a n ＝2·3n －1 (n ∈N *)． (2)因为 b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3] ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，所以 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3. 1－3n n n当 n 为偶数时，S n ＝2× 1－3 ＋2ln 3＝3n ＋2ln 3－1；1－3n n －1 n －1(－n)当 n 为奇数时，S n ＝2× 1－3 －(ln 2－ln 3)＋ 2 ln 3＝3n － 2 ln 3－ln 2－1.综上所述，S n ＝Error!在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．(2013·安徽)设数列{a n }满足 a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意 n ∈N *，函数 f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足 f ′(2)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(an ＋)(2)若 b n ＝2 2an ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .解 (1)由题设可得 f ′(x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ，又 f ′(2)＝0，则 a n ＋a n ＋2－2a n ＋1＝0，即 2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，因此数列{a n }为等差数列，设等差数列{a n }的公差为 d ，由已知条件Error!，解得 Error!a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.( 1 ) 1n＋1＋(2)b n＝2 2n＋1 ＝2(n＋1)＋2n，1 1S n＝b1＋b2＋…＋b n＝(n＋3)n＋1－2n＝n2＋3n＋1－2n.考点二错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n}的前n 项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；b1 b2 bn 1(2)若数列{b n}满足a1＋a2＋…＋an＝1－2n，n∈N*，求{b n}的前n 项和T n.解(1)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由Error!得a1＝1，d＝2，所以a n＝2n－1(n∈N*)．b1 b2 bn 1(2)由已知a1＋a2＋…＋an＝1－2n，n∈N*，①b1 b2 bn－1 1当n≥2 时，a1＋a2＋…＋an－1＝1－2n－1，②bn 1 b1 1①－②得：an＝2n，又当n＝1 时，a1＝2也符合上式，bn 1 2n－1所以an＝2n(n∈N*)，所以b n＝2n (n∈N*)．1 3 5 2n－1所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝2＋22＋23＋…＋2n .1 1 3 2n－3 2n－12T n＝22＋23＋…＋2n ＋2n＋1.1 1 (2 2 2 )2n－13 1 2n－1 2n＋3＋＋…＋两式相减得：2T n＝2＋22 23 2n －2n＋1＝2－2n－1－2n＋1. 所以T＝3－2n .n错位相减法求数列的前n 项和是一类重要方法．在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题．设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n 项和S n.解(1) 由已知，得当n≥1 时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.(2)由b n＝na n＝n·22n－1 知S n＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1. ①f (x )＋－－ (f (x )从而 22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1， 1即 S n ＝9[(3n －1)22n ＋1＋2]．考点三裂项相消求和法例 3 (2013·广东)设各项均为正数的数列{a n }的前 n 项和为 S n ，满足 4S n ＝a n ＋2 1－4n －1，n ∈N *, 且 a 2，a 5，a 14 构成等比数列．(1) 证明：a 2＝ 4a 1＋5； (2) 求数列{a n }的通项公式；1111(3) 证明：对一切正整数 n ，有a 1a 2＋a 2a 3＋…＋anan ＋1<2.(1)证明当 n ＝1 时，4a 1＝a 2－5，a 2＝4a 1＋5，又 a n >0，∴a 2＝ (2) 解当 n ≥2 时，4S n －1＝a n －4(n －1)－1，4a 1＋5.∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a n ＋2 1－a 2－4，即 a n ＋2 1＝a n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又 a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴当 n ≥2 时，{a n }是公差为 2 的等差数列．又 a 2，a 5，a 14 成等比数列．∴a 2＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得 a 2＝3.由(1)知 a 1＝1.又 a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项 a 1＝1，公差 d ＝2 的等差数列．∴a n ＝2n －1. 1 1 1 1 1 11 (3)证明 a 1a 2＋a 2a 3＋…＋anan ＋1＝1 × 3＋3 × 5＋5 × 7＋…＋(2n －1)(2n ＋1) 1[( 1) (1 1) 1 1)] 1(1 )1 ＝23 3 5 2n －1 2n ＋1 ＝2 2n ＋1 <2. 数列求和的方法：(1)一般地，数列求和应从通项入手，若无通项，就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解．(2)已知数列前 n 项和 S n 或者前 n 项和 S n 与通项公式 a n 的关系式，求通项通常利用 a n ＝Error!.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法”“累加(乘)法”等．(2013·西安模拟)已知x ， 2 ， 3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n >0)中，a 1＝3，此数列的前 n 项和为 S n ，对于所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ＝f (S n －1)．(1) 求数列{a n }的第 n ＋1 项；1 1(2) 若 bn 是an ＋1，an 的等比中项，且 T n 为{b n }的前 n 项和，求 T n .解 (1)因为 x ， 2 ， 3(x ≥0)成等差数列，所以 2× 2 ＝ x ＋ 3，整理，得 f (x )＝( x ＋ 3)2.因为 S n ＝f (S n －1)(n ≥2)，所以 S n ＝( Sn －1＋ 3)2，f (x )1－＋…＋ 1－()1 1 1 1 (3 3 3n( )( ) －－＋ )] 18 ＋ 18n ＋9 1 3因为 a 1＝3，所以 S 1＝a 1＝3，所以 Sn ＝ S 1＋(n －1) 3＝ 3＋ 3n － 3＝ 3n . 所以 S n ＝3n 2(n ∈N *)．所以 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3(n ＋1)2－3n 2＝6n ＋3. 1 1 1 1(2)因为 bn 是an ＋1与an 的等比中项，所以( bn )2＝an ＋1·an ， 1111 1 － 1 所以 b n ＝an ＋1·an ＝3(2n ＋1) × 3(2n －1)＝18× 2n －1 2n ＋1 ， [(1－ )＋( ) (－ 1 1 (1－ 1 )n T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝考点四数列的实际应用3 3 5 2n 1 2n 1 ＝ 2n 1 ＝ .例 4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a n 万元．(1) 用 d 表示 a 1，a 2，并写出 a n ＋1 与 a n 的关系式；(2) 若公司希望经过 m (m ≥3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)．(1) 由第 n 年和第(n ＋1)年的资金变化情况得出 a n 与 a n ＋1 的递推关系；(2) 由 a n ＋1 与 a n 之间的关系，可求通项公式，问题便可求解．3 5解 (1)由题意得 a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝2a 1－d ＝4 500－2d . 3a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝2a n －d .3 3 3) ( ) (3)[ ( )( ) ]2 (2)由(1)得 a ＝ an －2－d －d ＝2 2 －d ＝ 22a 2 2 n －1 1＋＋－ d －d ＝…＝ a －d 2 2 2＋…＋ 2 n －2 . n a n －1 n －2 13 3 3整理得 a ＝(2)n －1(3 000－d )－2d[(2)n －1－1]＝(2)n －1(3 000－3d )＋2d .3由题意，知 a m ＝4 000，即 2 m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000， 3[(2)m －2] × 1 000 3 m －1 1 000(3m －2m ＋1)解得 d ＝ 2 ＝ 3m －2m .1 000(3m －2m ＋1)故该企业每年上缴资金 d 的值为3m －2m时，经过 m (m ≥3)年企业的剩余资金为 4 000 万元．用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关所以 Sn ＝ Sn －1＋ 3，即 Sn － Sn －1＝ 3，所以{ Sn }是以 3为公差的等差数列．18＋…＋ 3系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千克．若做广告宣传，广告费为b n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出2n 千克．(1) 当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S ； (2) 试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；(3) 当 a ＝50，b ＝200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n 分别应为多少？b 3b b b 7b解 (1)当广告费为 1 千元时，销售量 S ＝b ＋2＝ 2 .当广告费为 2 千元时，销售量 S ＝b ＋2＋22＝ 4 . b(2)设 S n (n ∈N )表示广告费为 n 千元时的销售量，由题意得 S 1－S 0＝2，bS 2－S 1＝22， …… bS n －S n －1＝2n .b b b b以上 n 个等式相加得，S n －S 0＝2＋22＋23＋…＋2n ，1b [1－( )n ＋1]2b b b b 1 1即 S ＝S n ＝b ＋2＋22＋23＋…＋2n ＝ 1－2 ＝b (2－2n )．1 10(3)当 a ＝50，b ＝200 时，设获利为 T n ，则有 T n ＝Sa －1 000n ＝10 000×(2－2n )－1 000n ＝1 000×(20－2n －n )，1010105设 b n ＝20－2n －n ，则 b n ＋1－b n ＝20－2n ＋1－n －1－20＋2n ＋n ＝2n －1，当 n ≤2 时，b n ＋1－b n >0；当 n ≥3 时，b n ＋1－b n <0.所以当 n ＝3 时，b n 取得最大值，即 T n 取得最大值，此时 S ＝375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元．1. 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1) a n ＝Error!.(2) 递推关系形如 a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．an＋1(3)递推关系形如an ＝f(n)，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n＋1＝pa n＋q(p、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n＋1＋λ＝p(a n＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n＋1＝pa n＋q n(q，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1 转为用迭加法求解．2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和．(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n＋1 项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.( )( ) 1－1. 在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有 a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称 k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且 a 1＝1，a 2＝2，公积为 8，则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝ .答案 28解析依题意得数列{a n }是周期为 3 的数列，且 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，因此 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.2. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感．某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且 a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有．答案 255 解析由于 a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，所以 a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，15 × 14a 2，a 4，…，a 30 构成公差为 2 的等差数列，所以 a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋ 23. 已知公差大于零的等差数列{a n }的前 n 项和 S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)若 1<i <21，a 1，a i ，a 21 是某等比数列的连续三项，求 i 的值；n×2＝255.(2)设 b n ＝(2n ＋1)Sn ，是否存在一个最小的常数 m 使得 b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数 n 均成立，若存在，求出常数 m ；若不存在，请说明理由．解 (1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又 a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4 是方程 x 2－18x ＋65＝0 的两个根，又公差 d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. ∴Error!∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由于 1<i <21，a 1，a i ，a 21 是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即 1·81＝(4i －3)2，解得 i ＝3. n (n －1) 1 1(1 －1)(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋ 2 ·4＝2n 2－n ，所以 b n ＝(2n －1)(2n ＋1)＝2 2n －1 2n ＋1 ，1 1 1 1 1 1 n 1－＋－＋…＋－ b 1＋b 2＋…＋b n ＝23 3 5 2n －1 2n ＋1 ＝2n ＋1， n 1 1 1 1因为2n ＋1＝2－2(2n ＋1)<2，所以存在 m ＝2使 b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数 n 均成立．(推荐时间：60 分钟)一、选择题1 1 1 11．已知数列 12，34，58，716，…，则其前 n 项和 S n 为()1A ．n 2＋1－2n1B ．n 2＋2－2n1C ．n 2＋1－2n －11－ 1 ·1 2n 21D ．n 2＋2－2n －11 1＋2n －11 1 答案 A 解析因为 a n ＝2n －1＋2n ，则 S n ＝2n ＋2 ＝n 2＋1－2n .S12 S102．在等差数列{a n}中，a1＝－2 013，其前n 项和为S n，若12 －10 ＝2，则S2013的值等于( ) A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010 D．－2 013答案DSn S1 解析根据等差数列的性质，得数列{ n }也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项1 ＝a1＝－2 013，S2 013公差d＝1，故2 013 ＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2 013.3．对于数列{a n}，a1＝4，a n＋1＝f(a n)，n＝1,2，…，则a2013等于( )A.2 B．3 C．4答案C解析由表格可得a1＝4，a2＝f(a1)＝f(4)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝5，a4＝f(a3)＝2，a5＝f(2)＝4，可知其周期为4，∴a2013＝a1＝4.S1 S2 S154.在等差数列{a n}中，其前n 项和是S n，若S15>0，S16<0，则在a1，a2，…，a15中最大的是( )S1 S8 S9 S15A.a1答案BB.a8C.a9D.a1515(a1＋a15)16(a1＋a16)解析由于S15＝ 2 ＝15a8>0，S16＝ 2 ＝8(a8＋a9)<0，可得a8>0，a9<0.S1 S2 S8 S9 S10 S15这样a1>0，a2>0，…，a8>0，a9<0，a10<0，…，a15<0，而S1<S2<…<S8，a1>a2>…>a8，S1 S2 S15 S8所以在a1，a2，…，a15中最大的是a8.故选B.1 1 1 15.数列{a n}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有a m＋n＝a m＋a n＋mn，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 012等于( )4 024A.2 013 答案A4 018B.2 0122 010C.2 0112 009D.2 010解析令m＝1 得a n＋1＝a n＋n＋1，即a n＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a n－a n－1＝n，上述n－1 个式子相加得a n－a1＝2＋3＋…＋n，n(n＋1) 1 2 1－1 )所以a n＝1＋2＋3＋…＋n＝ 2 ，因此an＝n(n＋1)＝2 n n＋1 ，() ()(1 1 1 11 1 1 1 11 4 0241－＋－＋…＋－ 1－所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝22 23 2 012 2 013＝22 013 ＝2 013.6. 已知函数 f (n )＝Error!且 a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012 等于()A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011答案 C解析当 n 为奇数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)；当 n 为偶数时，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1.所以 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝2(－1＋2－3＋4＋…－2 011＋2 012)＝2 012. 二、填空题7．数列{a n }中，已知对任意 n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则 a 2＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝.1答案 2(9n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则 n ≥2 时，两式相减得，a n ＝2·3n －1. 当 n ＝1 时，a 1＝3－1＝2，适合上式，∴a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．∴a n ＝4·9n －1，4(1－9n ) 1则数列{a 2}是首项为 4，公比为 9 的等比数列．∴a 2＋a 2＋a 2＋…＋a n ＝ 1－9 ＝2(9n －1)．8. 设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 a n 为复数 isin 答案 1n π2 ＋cos n π2 (n ∈N *)的虚部，则 S 2 013＝.解析由已知得：a n ＝sin n π2 (n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，故{a n }是以 4 为周期的周期数列，∴S 2 013＝S 503×4＋1＝S 1＝a 1＝1.19.已知数列{a n }满足 3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且 a 1＝9，其前 n 项之和为 S n ，则满足不等式|S n －n －6|<125的最小整数 n 是．答案 71解析由递推式变形得 3(a n ＋1－1)＝－(a n －1)，∴{a n －1}是公比为－3的等比数列． 11则 a n －1＝8·(－3)n －1，即 a n ＝8·(－3)n －1＋1.18[1－(－ )n ]3 1 1 1 1－(－ )于是 S n ＝ 3 ＋n ＝6[1－(－3)n ]＋n ＝6－6·(－3)n ＋n1 1 1因此|S n－n－6|＝|6×(－3)n|＝6×(3)n<125，3n－1>250，∴满足条件的最小n＝7.10.气象学院用3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n＋4910 (n∈N*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了天．答案8001解析由题意得，每天的维修保养费是以5 为首项，10为公差的等差数列．设一共使用了n 天，则使用n 天的平(5＋n＋49)n 103.2 ×104＋ 2 n 99993.2 × 104均耗资为n3.2 × 104 n＝n ＋20＋20≥20，当且仅当n ＝20时取得最小值，此时n＝800.三、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n 项和S n.解(1)设数列{a n}的公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得Error!，解得Error!.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由a n＝2n－1 得b n＝2n－1＋q2n－1.当q>0 且q≠1 时，S n＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋当q＝1 时，b n＝2n，则S n＝n(n＋1)．所以数列{b n}的前n 项和S n＝Error!. q(1－q2n) 1－q2 ；12.将函数f(x)＝sin(n∈N*)．14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n 项和为T n，求T n的表达式．1 1 1 1 π解(1)化简f(x)＝sin 4x·sin 4(x＋2π)·sin 2(x＋3π)＝－4sin x，其极值点为x＝kπ＋2(k∈Z)，πππ它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以2为首项，π为公差的等差数列，故a n＝2＋(n－1)π＝nπ－2.π(2)b n＝2n a n＝2(2n－1)·2n，π∴T n＝2[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]，π则2T n＝2[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]两式相减，得π∴－T n＝2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]，∴T n＝π[(2n－3)·2n＋3]．1 113.在等比数列{a n}中，a2＝4，a3·a6＝512.设b n＝log2a22·log2a n＋2 12，T n为数列{b n}的前n 项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．1 1 1解(1)设{a n}的公比为q，由a3a6＝a2·q5＝16q5＝512得q＝2，1∴a n＝a2·q n－2＝(2)n.1 1 1 1 1 1b n＝log2a n2·log2a n＋2 12＝log(2)2n－12·log(2)2n＋12＝(2n－1)(2n＋1)＝2(2n－1－2n＋1)，1 1 1 1 1 1 1 1 n∴T n＝2(1－3＋3－5＋…＋2n－1－2n＋1)＝2(1－2n＋1)＝2n＋1.(n－2)(2n＋1) 2 2(2)①当n 为偶数时，由λT n<n－2 恒成立得，λ< n2 2＝2n－n－3 恒成立，即λ<(2n－n－3)min，而2n－n－3 随n 的增大而增大，∴n＝2 时(2n－n－3)min＝0，∴λ<0.(n＋2)(2n＋1) 2②当n 为奇数时，由λT n<n＋2 恒成立得，λ< n ＝2n＋n＋5 恒成立，2 2即λ<(2n＋n＋5)min而2n＋n＋5≥25＝9，当且仅当2n＝n，即n＝1 时等号成立，∴λ<9.综上，实数λ 的取值范围为(－∞，0)．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

压轴题07 数列的通项、求和及综合应用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)

压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。

黑龙江省绥化市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

黑龙江省绥化市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）已知，（），则数列的通项公式是（）A.B. C.D. 2. （2 分）等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 a1=2014，且 an+2an+1+an+2=0（n∈N*），则 S2014=（） A . 2013 B . 2014 C.1 D.0 3. （2 分）数列{an}中，已知 S1=1，S2=2，且 Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1=0（n≥2，n∈N*），则此数列为（） A . 等差数列 B . 等比数列 C . 从第二项起为等差数列 D . 从第二项起为等比数列 4. （2 分）设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1=﹣1，an+1=SnSn+1 ，则 S2016=（）A.﹣第1页共9页B.C.﹣D.5. （2 分） (2016 高二上·宜春期中) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a1=0，an+1= a33=（）（n∈N+）．则A . 4（4 ﹣）B . 4（4 ﹣）C . 4（﹣4 ）D . 4（﹣）6. （2 分）已知数{an}满 a1=0，an+1=an+2n，那 a2016 的值是（）A . 2014×2015B . 2015×2016C . 2014×2016D . 2015×20157. （2 分） (2016·南平模拟) 数列{an}中值为（）A . 57 B . 77 C . 100 D . 126，记数列的前 n 项和为 Tn ，则 T8 的第2页共9页8. （2 分） (2017 高一下·石家庄期末) 在数列{an}中，a1=1，an•an﹣1=an﹣1+（﹣1）n（n≥2，n∈N*），则 a3 的值是（）A.B.C.D.19. （2 分）已知数列中， ,=，则数列的通项公式为（）A.B.C.D.10.（2 分）(2016·浙江文) 如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ， n∈N* ，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ，n∈N* ，（P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合）若 dn=|AnBn|，Sn 为△AnBnBn+1 的面积，则（）A . {Sn}是等差数列 B . {Sn2}是等差数列 C . {dn}是等差数列 D . {dn2}是等差数列第3页共9页11. （2 分） (2019 高三上·西湖期中) 已知数列满足，设数列的前项和为，则使得最小的整数的值为（）A. B. C.D.，若，12. （2 分） (2019 高二上·菏泽期中) 己知数列 A.4满足，则（）B.C.D.二、填空题 (共 5 题；共 6 分)13. （1 分） (2017·深圳模拟) 已知数列{an}满足 nan+2﹣（n+2）an=λ（n2+2n），其中 a1=1，a2=2，若 an ＜an+1 对∀ n∈N*恒成立，则实数 λ 的取值范围是________．14.（1 分）已知数列{an}中，a1=1，函数 f（x）=﹣ x3+ x2﹣3an﹣1x+4 在 x=1 处取得极值，则 an________．15. （2 分） (2016 高二上·郑州期中) 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ，满足 a1=1，Sn=an+1+n，则其通项公式为________．16.（1 分）(2018·攀枝花模拟) 记等差均值”;若是等比数列，则称为数列若是等差数列，则称为数列的“ 等比均值”.已知数列的“的“ 等差均值”为 2,数列数都有的“等比均值”为 3.记,则实数的取值范围是________．数列的前项和为若对任意的正整第4页共9页17. （1 分） (2020·丹阳模拟) 已知定义在 R 上的函数和满足，，，值为________．．令三、解答题 (共 5 题；共 45 分)，则使数列的前 n 项和超过的最小自然数 n 的18. （10 分） (2016·太原模拟) 已知数列{an}满足： {bn}满足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．，anan+1＜0（n≥1），数列（1）求数列{an}，{bn}的通项公式（2）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．19. （5 分） (2019 高二上·上海月考) 在正数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足：Sn＝2an﹣1，（1）求 a1 的值；（2）求{an}的通项公式.20. （10 分） (2020·海南模拟) 已知是数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .21. （10 分） (2015 高二上·抚顺期末) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=10n﹣n2（n∈N*），又 bn=|an|（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．22. （10 分） (2017·青州模拟) 已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1+a4=9，a2a3=8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn=，求数列{bn}的前 n 项和 Tn ．第5页共9页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 5 题；共 6 分)13-1、 14-1、参考答案15-1、第6页共9页16-1、 17-1、三、解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、18-2、 19-1、19-2、第7页共9页20-1、 20-2、 21-1、21-2、第8页共9页22-1、第9页共9页。

高中数学数列求和问题的递推与概括思路

高中数学数列求和问题的递推与概括思路数列求和是高中数学中常见的问题类型，对于学生来说，掌握数列求和的递推与概括思路是非常重要的。

本文将重点介绍数列求和问题的解题技巧，帮助学生更好地理解和应用。

一、等差数列求和问题等差数列是高中数学中最基础的数列之一，其求和问题也是最常见的。

我们以一个具体的例子来说明。

例题：已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为Sn，求Sn的表达式。

解析：对于等差数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。

首先我们列出前几项的数列：a, a+d, a+2d, a+3d, ...我们可以发现，每一项与首项的差值都是公差d的倍数。

因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项加上一个公差的倍数，即：a, a+d, a+2d, a+3d, ... = a, a+(1d), a+(2d), a+(3d), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相加：a, a+d, a+2d, a+3d, ...a+(3d), a+(2d), a+(1d), a我们可以发现，相同位置上的两项之和都等于首项与末项之和，即：2Sn = (a+a+(3d)) + (a+d+a+(2d)) + (a+2d+a+(1d)) + ... + (a+(n-1)d+a)= n(a+a+(n-1)d)化简得到：Sn = n(a+a+(n-1)d)/2这就是等差数列前n项和的表达式。

通过这个表达式，我们可以快速计算出任意等差数列的前n项和。

二、等比数列求和问题等比数列也是高中数学中常见的数列类型，其求和问题同样需要掌握。

例题：已知等比数列的首项为a，公比为r，前n项和为Sn，求Sn的表达式。

解析：对于等比数列来说，我们可以通过观察数列的规律来找出求和的递推公式。

首先我们列出前几项的数列：a, ar, ar^2, ar^3, ...我们可以发现，每一项与首项的比值都是公比r的幂次。

因此，我们可以将数列中的每一项都表示为首项乘以公比的幂次，即：a, ar, ar^2, ar^3, ... = a, a(r^1), a(r^2), a(r^3), ...接下来，我们将数列逆序排列，并将其与原数列相乘：a, ar, ar^2, ar^3, ...a(r^3), ar^2, ar, a我们可以发现，相同位置上的两项之积都等于首项与末项之积，即：Sn * r = (a+a(r^3)) * (r^2)= (a(r^3)+ar^2) * r= (ar^3+ar^2) * r= ar^4+ar^3将等式两边相减，得到：Sn * (1-r) = ar^4 - aSn = a(r^4-1)/(r-1)这就是等比数列前n项和的表达式。

贵州省高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

贵州省高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列{an}中，a1=8，且2an+1+an=6，其前n项和为Sn ，则满足不等式|Sn﹣2n﹣4|＜的最小正整数n是（）A . 12B . 13C . 15D . 162. （2分）已知数列{an}，a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an ，则数列的第五项为（）A . 6B . -3C . -12D . -63. （2分）(2018·河北模拟) 设等比数列的前项和为，且，则（）A .B .C .D .4. （2分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．则f(5)等于（）A . 39B . 40C . 41D . 425. （2分） (2019高一下·黄山期中) 已知数列的前项和，则（）A . 15B . 16C . 31D . 326. （2分）若f(n)表示的各位数字之和，如142+1=197,1+9+7=17,f(14)=17,记f1(n)=f(n),f2(n)=f[f1(n)],...fk+1(n)=f[fk(n)],，则f2010(8)的值是（）A . 3B . 5C . 8D . 117. （2分）等差数列﹣6，﹣1，4，9，…中的第20项为（）A . 89B . ﹣1018. （2分） (2019高二上·金水月考) 已知在数列中，，，则（）A .B .C .D .9. （2分）若数列满足，，则数列的前32项和为（）A . 64B . 32C . 16D . 12810. （2分） (2017高二下·邢台期末) 已知f（x）= ，设f1（x）=f（x），fn（x）=fn﹣1[fn﹣1（x）]（n＞1，n∈N*），若fm（x）= （m∈N*），则m等于（）A . 9B . 10C . 11D . 12611. （2分） (2020高三上·长沙开学考) 设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）C . 65D . 6612. （2分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ，△AnBnCn的面积为Sn ，n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ，，，则（）A . {Sn}为递减数列B . {Sn}为递增数列C . {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D . {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二、填空题 (共5题；共6分)13. （1分）若数列{an}满足a1=1，a2=2，an= （n≥3且n∈N*），则a2013=________．14. （1分）(2017·山西模拟) 若数列{an}是正项数列，且，则=________．15. （2分） (2017高三上·荆州期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足4Sn=an+1（n∈N*），设bn=log3|an|，则数列{bn}的通项公式为________．16. （1分） (2020高三上·平阳月考) 数列满足：对任意非负整数，均有.若，则该数列中小于2019的最大的一项等于________.17. （1分） (2017高一下·蚌埠期中) 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N* ，Sn∈{2，3}，则k的最大值为________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2018高一下·柳州期末) 已知在单调递增的等差数列中，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .19. （5分） (2019高二上·株洲月考) 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.20. （10分） (2017高一下·芜湖期末) 已知正项数列{an}，a1=1，an=an+12+2an+1（Ⅰ）求证：数列{log2（an+1）}为等比数列：（Ⅱ）设bn=n1og2（an+1），数列{bn}的前n项和为Sn ，求证：1≤Sn＜4．21. （10分） (2018高二下·中山月考) 设数列满足，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式（不需证明）；（2）记为数列的前项和，用数学归纳法证明：当时，有成立.22. （10分） (2018高三上·定远期中) 已知，点在函数的图象上，其中n ＝1,2,3，….（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列{bn}的前n项和Sn，并证明Sn＋＝1.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。

河北省石家庄市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

河北省石家庄市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分）数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且满足 log2an+1=1+log2an ，若 S10=10，则 a11+a12+…+a20 的值等于（）A . 10×211B . 10×210C . 11×211D . 11×2102. （2 分）已知数列满足：，则实数的取值范围是（）A.，当且仅当时最小，B. C.D.3. （2 分）若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9，积为，则前 4 项倒数的和为（）A.B. C.1 D.24. （2 分） (2017 高一下·台州期末) 已知数列{an}的各项均为正数，且满足 a1=1， ﹣第1页共9页=1（n≥2，n∈N*），则 a1024=（）A. B.C.D.5. （2 分） (2018 高一下·黑龙江期末) （题文）已知数列的前项和为，，，,则（）A.B.C.D.6. （2 分）定义在上的偶函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.7. （2 分）已知数列满足 A. B.，，则此数列的通项等于（）第2页共9页C. D. 8. （2 分） (2019 高三上·汉中月考) 数列的前项和为， A. B. C. D.，则（）9. （2 分） (2016 高一下·合肥期中) 已知数列{an};满足{an}= 有 an＞an+1 ，则实数 a 的取值范围是（）A . （0，） B . （0，） C.（，） D . [ ，1），若对于任意的 n∈N*都10. （2 分） (2017·宁化模拟) 已知函数 f（x）=x3﹣ x2+ x+ ，则（）的值为（）A . 2016B . 1008C . 504D . 201711. （2 分）各项均为正数的数列{an},{bn}满足：an+2=2an+1+an,bn+2=bn+1+2bn ，（）（）第3页共9页，那么A. B. C. D. 12. （2 分）已知数列{an}的前 n 项之和为 Sn=n2（n∈N*），那么它的第 3 项为（） A.3 B.5 C.7 D.9二、填空题 (共 5 题；共 6 分)13. （1 分）由数列的前四项：，…归纳出通项公式 an=________．14. （1 分） (2016 高二上·郑州期中) 若数列{an}的前 n 项和为 Sn ，满足 a1=1，Sn=an+1+n，则其通项公式为________．15. （2 分） (2017 高二上·西华期中) 数列{an}的首项 a1=2，an=2an﹣1﹣3（n≥2），则 a7=________．16. （1 分） (2019 高三上·大同月考) 设数列则的通项公式为________．的前项和，，17. （1 分） (2017 高一下·蚌埠期中) 无穷数列{an}由 k 个不同的数组成，Sn 为{an}的前 n 项和，若对任意 n∈N* ， Sn∈{2，3}，则 k 的最大值为________．三、解答题 (共 5 题；共 45 分)18. （10 分） (2019 高二上·会宁期中) 在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知 a1＝b1＝1， a2＝b2 ， a6＝b3.（1）求等差数列{an}的通项公式 an 和等比数列{bn}的通项公式 bn；第4页共9页（2）求数列{an·bn}的前 n 项和 Sn.19. （5 分） (2016 高一下·宿州期中) 已知数列{an}满足 an+1= （1）求 a2，a3，a4 的值；，a1=1，n∈N* ．（2）求数列{an}的通项公式．20. （10 分） (2017 高二上·陆川开学考) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，且 a3=3，S7=28，在等比数列{bn}中，b3=4，b4=8．（1）求 an 及 bn；（2）设数列{anbn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn．21. （10 分） (2016 高一下·赣州期中) 已知数列{an}的各项均为正数，Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 4Sn=an2+2an﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）已知 bn=2n，求 Tn=a1b1+a2b2+…+anbn 的值．22. （10 分） (2018·绵阳模拟) 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.第5页共9页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 5 题；共 6 分)13-1、14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、 17-1、三、解答题 (共 5 题；共 45 分)18-1、18-2、 19-1、19-2、第7页共9页20-1、 20-2、21-1、 21-2、第8页共9页22-1、第9页共9页。

高考数学大二轮复习 4.2 递推数列及数列求和的综合问题学案文-人教版高三全册数学学案

第2讲递推数列及数列求和的综合问题考点1 由递推关系式求通项公式(1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．(2)累积法：形如a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再转化为等比数列求解．(4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．[例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)∵a n ＋1a n＝2n， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1，将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2+12n n ()，∴a n ＝2-12n n ().(3)∵a n ＋1＝2a na n ＋2，取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12， ∴1a n ＋1－1a n ＝12， ∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1.考点2 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．[例2] [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－3，q ＝－1，(舍)故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n (n －1)2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n)．记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－ (3)＋n ×3n ＋1＝－3(1－3n)1－3＋n ×3n ＋1＝(2n －1)3n ＋1＋32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n －1)3n ＋1＋32＝(2n －1)3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *).所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证.『对接训练』2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q 的等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求q 的值；(2)若b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2＋q 2)＝3a 1q ①，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4 ②，由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1. 代入②知q ＝1不成立，故舍去，所以q ＝2. (2)由(1)知a 1＝2，所以a n ＝2n，b n ＝a n log 2a n ＝2n log 22n ＝n ·2n ，所以S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，所以2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.考点3 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．[例3] [2019·湖南省湘东六校联考]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为{b n }的前n 项和，求使T n ≥2n成立的n 的最小值．【解析】 (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ≥2n得n 2≥4n ＋2，即(n －2)2≥6，∴n ≥5，∴n 的最小值为5.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2. 『对接训练』3．[2019·安徽池州期末]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝23S n ＋13(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由a n ＝23S n ＋13，可得S n ＝32a n －12，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－12，则a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －1－12＝32a n －32a n －1，整理得a n ＝3a n －1(n ≥2)，而a 1＝S 1＝32a 1－12，即a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝1×3n －1＝3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)得b n ＝1log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2＝1log 33n －1＋1＋log 33n －1＋2＝1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.考点4 分组转化求和分组求和法一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并．[例4] [2019·天津南开附中期中]已知数列{a n }是等比数列，满足a 1＝3，a 4＝24，数列{b n }是等差数列，满足b 2＝4，b 4＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式． (2)设c n ＝a n －b n ，求数列{c n }的前n 项和．【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得q 3＝a 4a 1＝243＝8，解得q ＝2，∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1，∴a 3＝12.设等差数列{b n }的公差为d ， ∵b 2＝4，b 4＝a 3＝12，b 4＝b 2＋2d ， ∴12＝4＋2d ，解得d ＝4.∴b n ＝b 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×4＝4n －4. 故{b n }的通项公式为b n ＝4n －4. (2)由(1)知a n ＝3×2n －1，b n ＝4n －4，∴c n ＝a n －b n ＝3×2n －1－(4n －4)．从而数列{c n }的前n 项和S n ＝3×20＋3×21＋…＋3×2n －1－[0＋4＋8＋…＋(4n －4)]＝3×1－2n1－2－n (4n －4)2＝3×2n －3－n (2n －2)＝3×2n －2n 2＋2n －3.1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组.『对接训练』4．[2016·高考全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解析：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题1．[2018·天津卷]设{an }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为Sn (n ∈N *)，{bn }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{an }和{bn }的通项公式．(2)设数列{Sn }的前n 项和为Tn (n ∈N *)， ①求Tn ；②证明．解析：(1)解：设等比数列{an }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.由q >0，可得q ＝2，故an ＝2n －1.设等差数列{bn }的公差为d .由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故bn ＝n .所以，数列{an }的通项公式为an ＝2n －1，数列{bn }的通项公式为bn ＝n .(2)①解：由(1)，有Sn ＝1－2n1－2＝2n－1，故Tn ＝∑k ＝1n(2k－1)＝∑k ＝1n2k－n ＝2×(1－2n)1－2－n＝2n ＋1－n －2.②证明：因为(Tk ＋bk ＋2)bk (k ＋1)(k ＋2)＝(2k ＋1－k －2＋k ＋2)k(k ＋1)(k ＋2)＝k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1，所以，.2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝212n a +＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意知，方程a 1x 2－dx －3＝0的两个根分别为－1和3.则⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2－3a 1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝212n a +＋a n ＝2n＋(2n －1)，所以S n ＝(2＋22＋23＋ (2))＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2n ＋1＋n 2－2.3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{a n }满足：a 1＝1,3a 2－a 1＝1，且2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1＝12，4b n ＝a n －1a n (n ≥2)，求T n .解析：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1(n ≥2)．又a 1＝1,3a 2－a 1＝1， ∴1a 1＝1，1a 2＝32， ∴1a 2－1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为12的等差数列．∴1a n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，即a n ＝2n ＋1. (2)∵4b n ＝a n －1a n (n ≥2)， ∴b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1 4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n <m 恒成立，求m 的最小值．解析：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2(舍去)．所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <8. 因为a n >0，所以S n 单调递增．又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7,8)．又S n <m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.5．[2019·浙江诸暨中学期中]设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，1a n，n 为偶数，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3①，当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13②，①－②，得3n －1·a n ＝13(n ≥2)，即a n ＝13n ；当n ＝1时，a 1＝13，符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)由(1)知b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，3n，n 为偶数，①当n 为奇数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋3n －1＋n ＝(1＋n )2·(1＋n )2＋9⎝⎛1－9n －12)1－9＝n 2＋2n ＋14＋98(3n －1－1)．②当n 为偶数时，S n ＝1＋32＋3＋34＋…＋(n －1)＋3n＝[1＋(n －1)]2·n 2＋9(1－9n2)1－9＝n 24＋98(3n－1)．所以数列{b n}的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n ＋14＋98(3n －1－1)，n 为奇数，n 24＋98(3n－1)，n 为偶数.6．[2019·安徽合肥模拟]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d >0，且a 2a 3＝40，a 1＋a 4＝13，在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫160，132，120，18，12.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)因为{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝13，又a 2a 3＝40，所以a 2，a 3是方程x 2－13x ＋40＝0的两个实数根．又公差d >0，所以a 2<a 3，所以a 2＝5，a 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3，所以a n ＝3n －1，因为在公比为q (0<q <1)的等比数列{b n }中，b 1，b 3，b 5∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫160，132，120，18，12，所以易知b 1＝12，b 3＝18，b 5＝132.此时公比q 2＝b 3b 1＝14，所以q ＝12，所以b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(2)由(1)知a n ＝3n －1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以c n ＝(3n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(3n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(3n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(3n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减，得12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(3n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1＋3×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(3n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ×3n ＋52.故{c n }的前n 项和T n ＝5－(3n ＋5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.。

浙江省嘉兴市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

浙江省嘉兴市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列中，,=，则数列的通项公式为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·银川期中) 数列{an}满足a1=1，a2= ，且（n≥2），则an等于（）A .B . （）n﹣1C . （）nD .3. （2分）(2017·衡水模拟) 中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了 700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为（）A . 里B . 1050 里C . 里D . 2100里4. （2分）已知数列{an}中，a1=8，且2an+1+an=6，其前n项和为Sn ，则满足不等式|Sn﹣2n﹣4|＜的最小正整数n是（）A . 12B . 13C . 15D . 165. （2分）已知数列，满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2019高一下·汕头月考) 已知直线与函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为 , ,且有 ,假设函数的两个不同的零点分别为 , ,若在区间内存在两个不同的实数 , ,与 ,调整顺序后,构成等差数列,则的值为（）A . 或B . 或C . 或或不存在D . 或或不存在7. （2分）等差数列中，，则该数列的前5项的和为（）A . 10B . 16C . 20D . 328. （2分）(2017·榆林模拟) 已知数列{an}满足a1=15，且3an+1=3an﹣2，若ak•ak+1＜0，则正整数k=（）A . 21B . 22C . 23D . 249. （2分）(2019·临川模拟) 设为不超过的最大整数，为可能取到所有值的个数，是数列前项的和，则下列结论正确个数的有（）⑴ ⑵190是数列中的项⑶ ⑷当时，取最小值A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分）(2017·湘西模拟) 已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn ，则Sn=（）A .B .C .D .11. （2分）(2018·鞍山模拟) 已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A . 2448B . 2525C . 2533D . 265212. （2分）在数列中，，，则=（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)13. （1分） (2016高三上·黄冈期中) 数列﹣1，1，﹣，，…的一个通项公式为________．14. （1分） (2017高三上·成都开学考) 已知数列{an}满足a1=1，（n≥2），则a8=________．15. （2分） (2016高三下·习水期中) 定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{an}满足a1=a （a＞0），a2=1，an+2= （n∈N），若a2015=4a，记数列{an}的前n项和为Sn ，则S2015的值为________．16. （1分）(2017·山西模拟) 已知数列{an}中，a1=﹣l，an+1=2an+（3n﹣1）•3n+1 ，（n∈N*），则其通项an=________．17. （1分） (2019高二上·开封期中) 在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）(2018·大新模拟) 已知数列为单调递增数列，，其前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，其前项和为，若成立，求的最小值.19. （5分） (2016高二上·宝安期中) 设数列{an}的前n项和为Sn=2n2 ， {bn}为等比数列，且a1=b1 ， b2（a2﹣a1）=b1 ．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn．20. （10分）已知数列{an}满足：an+1=（an+）；若a3=，求a1的值；21. （10分） (2016高三上·滨州期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知2Sn=3n+1+2n﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和Tn．22. （10分）(2017·菏泽模拟) 在数列{an}中，a1=1， = + （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1+a （n∈N*），求数列{2nbn}的前n项和Sn．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8、答案：略9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17、答案：略三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

浙江省高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题

浙江省高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·阳高开学考) 若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣1，）B . [﹣2，）C . [﹣2，）D . [﹣1，）2. （2分） (2019高一下·蚌埠期中) 已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·石门月考) 等比数列的各项均为正数，且，则（）A . 1B .C . 154. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知数列，若 , ，则 =（）A . 2019B . 2018C . 2017D . 20165. （2分）已知数列的前n项和为，且，则等于（）A . -10B . 6C . 10D . 146. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·广州模拟) 等差数列的前项和为，已知，若，则n的最小值为（）A . 8B . 9D . 118. （2分）已知数列的前n项和为，且，则等于（）A . 4B . 2C . 1D . -29. （2分） (2016高一下·宁波期中) 已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn ，且满足Sn+Sn﹣1=3n2+2n+4（n≥2），若对任意的n∈N* ， an＜an+1恒成立，则a的取值范围是（）A . （，）B . （，）C . （，）D . （﹣∞，）10. （2分）(2018·榆林模拟) 正整数数列满足，已知，的前7项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则（）A . 32B . 48C . 64D . 8011. （2分） (2019高一下·哈尔滨期中) 已知数列与前项和分别为，，且, ，对任意的恒成立，则的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·榆林模拟) 已知数列{an}满足a1=15，且3an+1=3an﹣2，若ak•ak+1＜0，则正整数k=（）A . 21B . 22C . 23D . 24二、填空题 (共5题；共6分)13. （1分） (2017高三上·武进期中) 已知数列{an}中，，对n∈N*都有成立，则a2018的值为________．14. （1分）设数列{an}的通项公式an=2n﹣1，数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn= +（﹣）×2 ，则数列{bn}的通项公式bn=________．15. （2分）(2013·江苏理) 在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an 的最大正整数n的值为________．16. （1分）(2018·攀枝花模拟) 记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的“ 等比均值”.已知数列的“ 等差均值”为2,数列的“ 等比均值”为3.记数列的前项和为若对任意的正整数都有 ,则实数的取值范围是________．17. （1分）(2015·岳阳模拟) 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ，x3 ，…xn ，…，若，则x1+x2+…+x2n=________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分） (2020高二上·长春开学考) 已知数列的前项和为，且满足 .（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .19. （5分） (2015高一下·天门期中) 已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S1 ， S2 ，S4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和．20. （10分） (2019高一下·丽水期中) 在等差数列中，已知 .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和 .21. （10分） (2016高二上·大连期中) 数列{an}的前n项和为Sn ，若对于任意的正整数n都有Sn=2an﹣3n．（1）设bn=an+3，求证：数列{bn}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）求数列{nan}的前n项和．22. （10分）(2016·杭州模拟) 数列{an}定义为a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ，n∈N*（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；（2）当a＞0时，定义数列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整数i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一组（i，j），如果不存在，说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）数列满足，则的整数部分是（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高一下·温州期末) 数列{an}满足an+1= ，a1=1，则 =（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）(2020·海南模拟) 已知数列为等比数列，，数列的前项和为，则等于（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2016高三上·翔安期中) 如果数列{an}的前n项和Sn= an﹣3，那么这个数列的通项公式是（）
A . an=2（n2+n+1）
B . an=3×2n
C . an=3n+1
D . an=2×3n
5. （2分） (2015高三上·厦门期中) 等比数列{an}中，a3=1，q＞0，满足2an+2﹣an+1=6an ，则S5的值为（）
A . 31
B . 121
C .
D .
6. （2分）若函数满足且时，，函数
，则函数在区间内的零点的个数为（）
A . 5
B . 7
C . 8
D . 10
7. （2分） (2019高一下·吉林月考) 数列的前项和，若，则（）
A . 5
B . 20
C . -20
D . -5
8. （2分）(2018·河北模拟) 已知数列中，，若对于任意的
，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）已知数列{an}的通项公式为an=n+，若对任意n∈N+ ，都有an≥a3 ，则实数c的取值范围是（）
A . [6，12]
B . （6，12）
C . [5，12]
D . （5，12）
10. （2分）(2017·湘西模拟) 已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn ，则Sn=（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2017高三上·河北月考) 设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数
有，已知，若一个各项均为正数的数列满足
，其中是数列的前项和，则数列中第18项（）
A .
B . 9
C . 18
D . 36
12. （2分） (2016高一下·黄冈期末) 在数列{an}中，a1= ，a2= ，anan+2=1，则a2016+a2017=（）
A .
B .
C .
D . 5
二、填空题 (共5题；共6分)
13. （1分）已知定义：在数列{an}中，若an2﹣an﹣12=p（n≥2，n∈N* ， p为常数），则称数列{an}为等方差数列，下列判断：
①{（﹣1）n}是“等方差数列”；
②若{an}是“等方差数列”，则数列{ }是等差数列；
③若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数列；
④若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N* ， k为常数）可能也是“等方差数列”．
其中正确的结论是________．（写出所有正确结论的编号）
14. （1分）已知f（x）= ，各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an+2=f（an），若a2010=a2012 ，则a20+a11的值是________．
15. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在数列中，，，是数列的前项和，若，则 ________.
16. （1分）已知数列满足，，则其通项公式 ________．
17. （1分）(2015·岳阳模拟) 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；
②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ，x3 ，…xn ，…，若，则x1+x2+…+x2n=________．
三、解答题 (共5题；共45分)
18. （10分）(2018·泉州模拟) 等差数列的前项和为，已知 .
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19. （5分） (2016高一下·宜昌期中) 已知数列{an}前n项和Sn满足：2Sn+an=1
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
（4）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜．
20. （10分）(2016·中山模拟) 设等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=2，且4S1 ， 3S2 ， 2S3成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设bn=|2n﹣5|•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
（4）设bn=|2n﹣5|•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
21. （10分）(2018·南宁模拟) 已知数列满足 .
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和 .
22. （10分） (2017高一下·廊坊期末) 已知{an}是各项为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3 ， a5﹣3b2=7．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和为Sn．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
1-1、答案：略
2-1、答案：略
3-1、
4-1、答案：略
5-1、答案：略
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、答案：略
10-1、答案：略
11-1、答案：略
12-1、答案：略
二、填空题 (共5题；共6分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、答案：略
19-2、答案：略
19-3、答案：略
19-4、答案：略
20-1、答案：略
20-2、答案：略
20-3、答案：略
20-4、答案：略
21-1、答案：略
21-2、答案：略
22-1、答案：略
22-2、答案：略。