等腰三角形悖论
等腰三角形中不确定性问题的解决
学习指导２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀等腰三角形中不确定性问题的解决◉甘肃省平凉市第七中学㊀朱小成㊀㊀摘要:等腰三角形的边分为两类,即腰和底边,而两腰相等．等腰三角形的角也分为两类,即顶角和底角,而两底角相等．因此,很多题目以此为切入点设计了诸多不确定性因素,这给学生解题带来了诸多困扰,其中最常见的错误就是漏解．本文中主要对等腰三角形中出现不确定性因素时该如何解决进行了研究．关键词:等腰三角形;不确定性;思维定势;分类讨论思想㊀㊀由于等腰三角形的边㊁角都有不同的类型,因此一些题目中的条件在设计之初就存在不确定性[１]．但是,由于学生的思维定势比较严重,他们在分析问题时往往表现得比较片面,进而会出现漏解的错误[２]．想要解决等腰三角形中的不确定性因素问题,需要学生突破思维定势,从多个角度分析问题存在几种可能性,然后逐一击破,这就是分类讨论思想．基于此,本文中将结合例题探究分类讨论思想在等腰三角形中的应用,尤其是在解决不确定性因素时的用法．１例析常见的不确定性问题等腰三角形中的不确定因素主要表现在边和角两个方面,但根据实际教学经验来看,不能排除三角形形状不确定的可能．因为等腰三角形的顶角有直角㊁锐角和钝角之分,而顶角的不同也会导致其形状有所不同．下面将从三个方面例析等腰三角形中常见的不确定性问题．１．１角的不确定例１㊀已知әA B C 是等腰三角形,øA ＝８０ʎ,求它的顶角度数．分析:虽然已知三角形的形状是等腰三角形,且øA ＝８０ʎ,但由于等腰三角形中的角有顶角与底角之分,而题中并未告知øA 为何种角,所以应分情况讨论．解:根据题意,应分两种情况．(１)当øA 为顶角时,әA B C 的顶角度数就是８０ʎ．(２)当øA 为底角时,әA B C 的顶角度数就是１８０ʎ－８０ʎˑ２＝２０ʎ．综上所述,әA B C 的顶角度数为８０ʎ或２０ʎ．反思:等腰三角形中的角有顶角和底角之分,在审题时切勿因思维定势贸然认为题中所给的角是顶角或底角,如此必然会导致漏解．１．２边的不确定例２㊀若一根长为２８m 的钢丝可以围成一个边长为６m 的等腰三角形支架(忽略交接处钢丝的长度),那么该等腰三角形支架的腰长为m ．分析:尽管已知支架的形状为等腰三角形,但并未明确长为６m 的边是其腰还是底边,所以本题也应分两种情况讨论．解:根据题意,应分两种情况．(１)当６m 长的边是等腰三角形的腰时,该等腰三角形支架的腰长为６m ．(２)当６m 长的边是等腰三角形的底边时,该等腰三角形支架的腰长就是(２８－６)ː２＝１１(m )．综上,等腰三角形支架的腰长是６m 或１１m ．反思:等腰三角形的边不只有腰这一种,还有底边．所以在分析问题时,应区分清楚等腰三角形边的情况,然后结合分类讨论思想解决问题．当然,如果求得的腰或底边不足以构成三角形,则另需说明并排除．如下面的变式:已知一等腰三角形的周长是１８,它的一边长为４,那么该等腰三角形的其他两边长分别是．题中长为４的边同样不确定,应分类讨论:当长为４的边是腰时,那么另一腰是４,底边长是１８－４－４＝１０．然而,此时的４,４,１０三边并不能构成三角形,所以排除．当长为４的边是底边,那么腰是(１８－４)ː２＝７,且三边为７,７,４,此时可构成三角形．综上,该等腰三角形的其他两边长分别是７,７．１．３形状的不确定例３㊀已知әA B C 为等腰三角形,一腰上的高和另一腰的夹角为６０ʎ,则该等腰三角形的顶角为．４６２０２３年１２月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀分析:本题无图,所以应先根据条件画图．但由于一腰上的高和另一腰的夹角存在两种情况,因此应该分类讨论．解:如图１所示,当该等腰三角形为锐角三角形时,øA B D＝６０ʎ,则øA＝３０ʎ．图１㊀㊀㊀图２如图２所示,当该等腰三角形为钝角三角形时,øA C D＝６０ʎ,则øB A C＝１２０ʎ．综上,本题的正确答案为３０ʎ或１２０ʎ．反思:学生普遍认为这样的三角形为锐角三角形,所以他们只是一味地在锐角等腰三角形中分析该问题,而忽略了该等腰三角形有可能为钝角三角形的情况,这就是典型的思维定势．２解决策略总结通过上面三道例题可以发现,解决等腰三角形中不确定性问题的方法就是分类讨论．接下来,笔者将具体的解决策略总结如下．(１)解决角的不确定性问题角的不确定性在等腰三角形中出现的几率较大,解决这类问题通常按照下面的思路解决:首先,应知晓题中所给条件中的 角 是否已经明确了其是顶角还是底角．如果已经确定,则按照题意直接分析即可;如果尚未确定,则需分 角是顶角 和 角是底角 两种情况进行讨论．最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果．解决这类问题时,需注意两个方面:①在分类讨论过程中,应根据审题结果画出相应的图形;②解题的最后一定要将分类讨论计算的结果综合起来得到最终的解题结果,即 综上 这个步骤不能忽略[３]．(２)解决边的不确定性问题边的不确定性和角的不确定性一样,在等腰三角形中出现的几率也比较大．如果题目告知三角形为等腰三角形,但并未明确边的类型,即并未告知边是腰还是底边,那么应按照下面的思路解决这类问题:首先,应在认真审题的基础上知晓题中是否明确了边为腰还是底边．如果已经确定,那么只要直接根据题意进行分析和计算即可;如果尚未确定,则需分 边是腰 和 边是底边 两种情况进行讨论．同时,在分析之前一定要根据具体的情况和要求画出相应的图形,切勿在脑中天马行空．最后,将分类讨论的结果进行综合,得到最终的解题结果．在解决这类问题时,同样需注意两个方面:①根据审题结果画出相应的图形,是利用分类讨论思想解决该类问题的第一步．只有根据条件画出相应的图形,才能更准确地分析问题．切勿在未画图的情况下分析问题,这样极易出错,因为初中生的抽象思维还较弱．②既然是利用分类讨论思想解决该类问题,那么最后同样需要将分类讨论计算的结果综合起来．(３)解决形状不确定性的问题形状的不确定性虽然在等腰三角形中不多见,但是,只要一出现往往比较难以解决,且学生发现题目需要分类讨论的可能性极小．因此,形状不确定的问题需要教师和学生足够重视,教师要多呈现这类例题,以通过分析不断拓宽学生的视野,提升学生的解题能力．解决等腰三角形形状的不确定问题,应该按照如下步骤进行:首先,在画出符合题意的图形后,潜意识中一定要问 是这样的吗? 是只有这一种情况吗? 等问题,以此寻找突破思维定势的 点 ．一旦养成这样的习惯,那么这类问题漏解的可能性就会逐渐减小．其次,画图㊁综合等过程和前两种不确定性问题的解决方法一样．３结语总之,等腰三角形中的不确定因素较多,要想不漏解㊁不做错,就需要时刻小心．当然,这主要还是源于优质的数学素养．为此,在学生学习的过程中,教师有必要不断引导或指导学生利用分类讨论思想分析问题㊁解决问题并进行反思．参考文献:[１]方建文．对分类讨论思想的思考 以 等腰三角形中的问题 为例[J]．数学教学通讯,２０１６(１１):１４Ｇ１６．[２]黄立亮．基于分类讨论思想,解决存在性问题 以等腰三角形存在性问题为例[J]．中学数学,２０２１(１４):６７Ｇ６８,８９．[３]顾艳．分类讨论思想在数学教学中的渗透 以中考一轮复习课«等腰三角形问题»为例[J]．教育研究与评论(课堂观察),２０１９(４):６０Ｇ６３．Z５６。
等腰三角形的基本概念
等腰三角形的基本概念等腰三角形是几何学中常见的一种三角形形状。
它具有特殊的性质和特点，是我们学习几何的基础内容之一。
在本文中，我们将探讨等腰三角形的定义、性质以及其在几何中的应用。
1. 定义等腰三角形是一个具有两条边相等的三角形。
通常，这两条相等的边被称为等腰边，而与这两条边不相等的边被称为底边。
等腰三角形的顶角是与底边不相邻的两个角，而底边上的角则是与该边相邻的两个角。
2. 性质等腰三角形有一些独特的性质，这些性质使得我们能够更好地理解和应用它们。
2.1 对称性等腰三角形具有对称性。
即，如果我们将等腰三角形绕着顶角进行旋转180度，它仍然与原来的三角形完全相同，并且两者重合。
这种对称性使得等腰三角形在几何问题中有着重要的作用。
2.2 顶角性质等腰三角形的顶角是相等的。
由于等腰三角形具有两条边相等的特点，顶角的相等性可以由等边的对称性推导出来。
这个性质在解决几何问题时经常用到。
2.3 底角性质等腰三角形的底角是相等的。
底角是指与底边相邻的两个角，它们的度数是相等的。
这一性质可以由等腰三角形的对称性和两条边相等的特点推导出来。
3. 应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 定义和判定在学习几何学时，我们常常需要定义和判定等腰三角形。
通过分析三角形的边长并比较它们的相等性，我们可以准确地判断一个三角形是否为等腰三角形。
3.2 问题解决在解决几何问题时，等腰三角形经常被用作中间步骤或关键步骤。
通过利用等腰三角形的特性，我们可以得到一些等式或等角关系，从而推导出问题的解答。
3.3 图形构造等腰三角形的对称性使得它在图形构造中非常有用。
例如，在绘制对称图形时，我们可以通过画一条等腰三角形的等腰边作为对称轴，从而得到完美的对称效果。
总结：等腰三角形是几何学中的基本概念之一，它具有对称性、顶角和底角的相等性等重要性质。
在几何学中，我们经常需要定义和判定等腰三角形，并利用其特性来解决问题或进行图形构造。
推导等腰三角形的性质与相关定理
推导等腰三角形的性质与相关定理等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。
在几何学中，等腰三角形具有许多特点和性质，也有一些相关的定理与推导。
本文将探讨等腰三角形的各种性质以及相关的定理，并通过推导来进一步理解这些性质。
一、等腰三角形的性质1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的，即两条底边所对的内角相等。
2. 两腰边相等：等腰三角形的两条腰边长度相等，即两边边长相等。
3. 顶角角平分线：等腰三角形的顶角的角平分线也是底边所在的直线。
4. 表面积：等腰三角形的面积可以通过底边长度和高的关系来求解，即面积等于底边乘以高再除以2。
二、等腰三角形的定理1. 定理一：等腰三角形的底角相等。
即对于等腰三角形ABC，若AB=AC，则∠B=∠C。
证明：我们可以通过反证法来证明此定理。
假设∠B≠∠C，那么不妨设∠B>∠C。
由于∠B+∠C=180°，所以∠B-∠C>0.由三角形内角和定理可知，在三角形ABC中，∠B-∠C<∠B+∠C=180°，所以∠B-∠C<∠B-∠C，这与假设∠B-∠C>0矛盾。
因此，等腰三角形的底角相等。
2. 定理二：等腰三角形的底边中线与高相等。
即对于等腰三角形ABC，若AB=AC，则AM=AH，其中M为BC的中点，H为顶角A所在边的垂足。
证明：根据定义可知，AM为BC的中线，AH为三角形ABC中顶角A所在边的高。
由于等腰三角形的两条腰边相等，所以AM=1/2(AB+AC)=AB=AC，同理可得AH=AM，即等腰三角形的底边中线与高相等。
三、推导等腰三角形的性质与定理现在，我们通过推导来进一步理解等腰三角形的性质与相关的定理。
假设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，我们还可以假设三角形ABC中的底边为BC。
根据性质1，我们知道∠B=∠C，假设∠B=x，那么∠C也为x。
根据性质2，我们知道AB=AC，所以假设AB=AC=a。
由于三角形ABC中三个内角和为180°，根据角度的性质，我们可以得到∠A=180°-2x。
初中数学培优：等腰三角形(含答案)
等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
等腰三角形性质
等腰三角形性质等腰三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有许多特点和性质。
在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并通过具体的例子来加深理解。
一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
它的性质有以下几点：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等。
这是等腰三角形的最基本性质之一。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶点的角）平分底边。
这意味着顶角的两个角度与底边的两个角度相等。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
根据定义，我们可以得出∠A=∠B=∠C。
这个性质可以通过实际测量角度来验证。
3. 等腰三角形的高线：等腰三角形的高线是从顶点到底边中点的线段，它与底边垂直。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
我们可以通过实际绘制图形来验证高线的垂直性。
二、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在数学中有广泛的应用。
下面，我将介绍一些常见的应用情况。
1. 判定等腰三角形：当我们遇到一个三角形，需要判断它是否为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行判断。
例如，我们可以考虑一个三角形ABC，其中AB=AC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠A=∠B=∠C，从而判定这个三角形为等腰三角形。
2. 求等腰三角形的面积：当给定等腰三角形的底边长度和高线长度时，我们可以利用等腰三角形的性质求解其面积。
例如，我们可以考虑一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，高线AD与底边BC垂直，且AD=h。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出BC=2AD。
因此，等腰三角形的面积S=1/2×BC×h=AD×h。
三、等腰三角形的拓展等腰三角形的性质还可以进一步拓展到其他几何概念中。
1. 等腰梯形：等腰梯形是指两边平行且等长的梯形。
“等腰三角形问题”的前世今生——“和倍问题”在等腰三角形中的变化解析
“等腰三角形问题”的前世今生——“和倍问题”在等腰三角形中的变化解析（小学数学四下内容）等腰三角形是一种特殊的三角形，就像正方形是特殊的平行四边形一样，它在三角形的世界中也有自己不可替代的地位，关于她的谜题也特别引人入胜——“等腰三角形问题”。
一、缘起——等腰三角形的产生与性质“等腰三角形问题”说来话长，首先要从等腰三角形的性质说起。
（一）三角形的共性作为一种特殊的三角形，等腰三角形自然也具备三角形的一般特性：1、由三条线段首尾相连围成（三角形的定义）；2、有3个顶点，3条边，3个角（三角形的特征）；3、任意两边的和大于第三边（三角形的三边关系）——因为要能“围成”，就必须两边和大于第三边；4、三个内角的和是180°（三角形内角和）——三角形可以由平行四边形分割而来，而平行四边形可以转化成长方形，内角和是360°。
（二）等腰三角形的产生在三角形产生之后，人们自然而然地按它的特征将它分类，按角的大小可分成“锐角三角形”（三个角都是锐角的三角形）、“直角三角形”（有一个角是直角的三角形）、“钝角三角形”（有一个角是钝角的三角形），按边的长短可分成“不等边三角形”（三条边互不相等的三角形）、“等腰三角形”（有两条边相等的三角形）、“等边三角形”（三条边都相等的三角形），等腰三角形应运而生。
从概念可以看出，等边三角形是特殊的等腰三角形，而正是等腰三角形这种介乎于一般与特殊之间的“特殊三角形”，才不会像等边三角形那么循规蹈矩（三条边相等，三个角都是60°，一定是锐角三角形），而有最复杂也最迷人的别样风采。
（三）等腰三角形的特性等腰三角形既可以是锐角三角形，也可以是直角三角形、钝角三角形。
由于两边相等，它具有以下特性：1、两腰相等。
相等的两条边由于形象特殊，被命名为“腰”，而第三条边则叫做“底”，与和高垂直的那个底意义是不同的。
2、两底角相等。
“底角”指的是与“底”相邻的两个内角，而两“腰”所夹的角叫做“顶角”。
等腰三角形的知识点
等腰三角形的知识点等腰三角形是初中数学中非常重要的一个几何图形，它具有独特的性质和特点，在解决数学问题和实际生活中的测量、设计等方面都有广泛的应用。
接下来，让我们一起深入了解等腰三角形的知识点。
首先，等腰三角形的定义是：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的性质是理解和解决与它相关问题的关键。
性质一：等腰三角形的两腰相等。
这是等腰三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
性质二：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
例如，在等腰三角形 ABC 中，如果 AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。
这个性质在证明角相等、计算角度等问题中经常被用到。
性质三：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
这是一个非常重要且实用的性质。
比如，已知等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，AD 是∠BAC 的平分线，那么 AD 也是 BC 边上的中线和高；同样，如果 AD 是 BC 边上的中线，那么 AD 也是∠BAC 的平分线和 BC 边上的高；若 AD 是 BC 边上的高，那么 AD 也是∠BAC 的平分线和 BC 边上的中线。
等腰三角形的判定方法也同样重要。
判定一：如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形。
判定二：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
在实际应用中，等腰三角形的这些性质和判定方法可以帮助我们解决很多几何问题。
比如，在求等腰三角形的角度时，如果已知顶角的度数，那么可以根据“三角形内角和为 180 度”以及“等腰三角形两底角相等”的性质，求出底角的度数；反之，如果已知底角的度数，也能求出顶角的度数。
再比如，在证明两个三角形全等时，如果其中一个三角形是等腰三角形，我们可以利用等腰三角形的性质来找到对应相等的边或角，从而使证明更加简便。
等腰三角形悖论
通过等腰三角形“悖论”的证实，大家会发
现正确作图也可以帮助我们理解许多问题。 所以今后我们应认真，仔细的作图，避免类 似的问题再次发生。
A
END…
Fபைடு நூலகம்B
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N C
再看一遍
结束放映
A
E C B F
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这个结论肯定是错误的，因为很容易作出一
图片展示
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问题在于：N点的 个三条边长分别为3，4，5的三角形，它当 位置一般来说总在 △ABC的外面而不 然不是等腰三角形，而我们的结论却说这样 是它的里面。 一个三角形也一定是等腰的。那么，错误出 在哪里呢？ 问题在于：N点的位置一般来说总在△ABC 的外面而不是它的里面。
正确作图
图片展示 在△ABC中，N是角A平分线和 BC垂直平
在△ABC中，N是角AAC 平分线 分线的交点，NE，NF是垂直于边 ， 和BC垂直平分线的交点，NE， NF是垂直于边AC，AB的，垂 AB的，垂足是E，F．容易得到 足是E，F．容易得到 △ANF≌△ ANE， △ANF≌△ANE，△NFB≌△ NEC ．所以 △NFB≌△NEC．所以有 AF=AE， BF=CE，所以有 有AF=AE，BF=CE，所以有 AB=AC ，三角 AB=AC，三角形ABC是等腰 三角形了！ 形ABC是等腰三角形了！所以，世界上 所有三角形就都是等腰三角形了！
初中数学等腰三角形的存在性问题(word版+详解答案)
等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．【典例指引】类型一【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，点B （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点M 是其顶点． （1）求抛物线解析式；（2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D 的坐标；（3）直线x t = (﹣3＜t ＜﹣1)与x 轴相交于点H ．与线段AC ，AM 和抛物线分别相交于点E ，F ，P ．证明线段HE ，EF ，FP 总能组成等腰三角形.【举一反三】（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （-3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】典例指引2．（2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （2，0），B （﹣8，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3．（2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积；（2）如图2，直线AB与轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，为直角，边MN与AP相交于点N，设，试探求：①为何值时为等腰三角形；②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．点D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E，作EF∥OC，交抛物线于点F．（1）求此抛物线的解析式；（2）小明在探究点D运动时发现，①当点D与点C重合时，EF长度可看作O；②当点D与点O重合时，EF长度也可以看作O，于是他猜想：设点D运动到OC中点位置时，当线段EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？（3）连接CF、DF，请直接写出△CDF为等腰三角形时所有t的值．【新题训练】1．（2020·江西初三）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．（1）线段OA 所在直线的函数解析式是 ；（2）设平移后抛物线的顶点M 的横坐标为m ，问：当m 为何值时，线段PA 最长？并求出此时PA 的长． （3）若平移后抛物线交y 轴于点Q ，是否存在点Q 使得△OMQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2018·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.3．（2016·广西中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点（A 在B的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ． （1）请直接写出点A ，C ，D 的坐标；（2）如图（1），在x 轴上找一点E ，使得△CDE 的周长最小，求点E 的坐标；（3）如图（2），F 为直线AC 上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得△AFP 为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2019·广东广州市第二中学初三）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝12-x2＋bx＋c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y＝12-x2＋bx＋c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE 13个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP＋PH＋HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．5．（2019·湖南中考模拟）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y 轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．6．（2018·山东中考模拟）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．7．（2019·山东中考模拟）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C （﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．8．（2018·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数24y ax bx =+-（0a ≠）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．9．（2019·四川中考模拟）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+bx+c （c ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3，顶点为M ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 为线段BM 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，若OQ ＝m ，四边形ACPQ 的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．（2019·甘肃中考模拟）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ． ①求线段PM 的最大值；②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．11．（2019·安徽中考模拟）如图，已知直线1y x =+与抛物线2y ax 2x c =++相交于点()1,0A -和点()2,B m 两点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，当PAB ∆的面积S 最大时，求此时PAB ∆的面积S 及点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点Q ，使QAB ∆是等腰三角形？若存在，直接写出Q 点的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由.12．（2018·江苏中考模拟）（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线2239y ax ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，11AM AN均为定值，并求出该定值．13．（2019·重庆中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2019·辽宁中考模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求出C、D两点的坐标（3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标．15．（2020·浙江初三期末）如图，抛物线y＝﹣12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分別交x轴、线段AC于点E、F．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）连结AD，CD，求△ACD的面积；（3）设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E运动，取△ACD一边的两端点和点P，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标．16．（2020·湖北初三期末）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA相较于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，是否存在一点P，使射线OP平分∠AOy，若存在，请求出P点坐标；若不存在．请说明理由；（4）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019·吉林初三）如图1，抛物线与y ＝﹣211433x x ++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点D 是线段AB 上一点，且AD ＝CA ，连接CD ．（1）如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，在线段BC 上有一动点Q ，连接PC 、PD 、PQ ，当△PCD 面积最大时，求PQ +10CQ 的最小值； （2）将过点D 的直线绕点D 旋转，设旋转中的直线l 分别与直线AC 、直线CO 交于点M 、N ，当△CMN 为等腰三角形时，直接写出CM 的长．18．（2020·江苏初三期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++与x 轴交于点A,B ( A 在B的左侧)(1)如图1，若抛物线的对称轴为直线3,4x AB =-= .①点A 的坐标为( ， )，点B 的坐标为( ， ); ②求抛物线的函数表达式;(2)如图2，将(1)中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O ，且与x 正半轴交于点C ，记平移后的抛物线顶点为P ，若OCP ∆是等腰直角三角形，求点P 的坐标.等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。
等腰三角形(基础)知识讲解
等腰三角形（基础）知识讲解【学习目标】1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性；2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图．3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题.【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形中重要线段的性质等腰三角形的两底角的平分线（两腰上的高、两腰上的中线）相等.要点诠释：这条性质，还可以推广到一下结论：（1）等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。
等腰三角形的一些定理
等腰三角形的一些定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：等腰三角形是指两边长度相等的三角形，它是三角形中一种常见的特殊三角形。
在几何学中，等腰三角形有许多有趣的性质和定理，这些定理在解题和证明中起着重要的作用。
本文将就等腰三角形的一些定理进行详细介绍。
等腰三角形的性质之一是两底角相等。
也就是说，等腰三角形的两个底角（非等边所对顶的两个角）是相等的。
这个定理可以通过等角的方法来证明，只需要利用等腰三角形两个底角相等的性质，我们就可以得到两个底角相等这个结论。
等腰三角形的高线经过底边的中点。
等腰三角形的高线是指从顶点到底边上某一点的垂直线段，而且高线会将底边平分成两等分。
这个定理可以通过高线垂直于底边、高线相等等方法来推导证明。
这个性质在解题中非常有用，可以帮助我们快速找到等腰三角形的高线长度。
等腰三角形的内角和为180度。
等腰三角形的内角和是指三个角的和，等于180度。
这个定理可以通过等腰三角形两底角相等的性质以及角的和为180度的性质来推导证明。
这个定理在解题时也经常用到，可以帮助我们快速计算等腰三角形的内角和。
等腰三角形的周长公式为P=2a+b，其中a为腰长，b为底边长。
等腰三角形的周长可以通过两腰长和底边长的和来计算得到。
这个公式在解题时非常实用，可以帮助我们快速计算等腰三角形的周长。
等腰三角形是几何学中比较简单且常见的一个特殊三角形。
通过对等腰三角形的一些定理进行学习和掌握，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
希望本文介绍的等腰三角形定理能够对大家有所帮助。
【文章至此完毕，共XXX字】。
第二篇示例：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，其特点是两条边长度相等，两个底角也相等。
在几何学中，等腰三角形是比较常见的一种三角形，具有一些特殊的性质和定理，下面我们来详细了解一下关于等腰三角形的一些定理。
等腰三角形的性质之一就是两边对应的角相等。
也就是说，等腰三角形的两个底角是相等的，这是由对称性质决定的。
等腰三角形定理
等腰三角形定理在学习和研究几何形状时，我们经常遇到各种类型的三角形。
其中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一些特殊的性质和定理。
在本文档中，我们将讨论等腰三角形定理的定义、性质和证明方法。
定义首先，我们来定义等腰三角形。
等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
通常，等腰三角形的两条边被称为腰，而另一条边称为底边。
等腰三角形的底边是不参与边长相等的性质，因此底边可以任意选择。
性质等腰三角形具有一些特殊的性质，下面是一些常见的性质：1.等腰三角形的两个底角是相等的。
这个性质可以通过以下证明进行验证。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
根据三角形内角和定理，我们知道三角形的三个内角的和等于180度。
因此，角A + 角B + 角C = 180度。
由于AB = AC，所以角B = 角C。
这表明等腰三角形的两个底角是相等的。
2.等腰三角形的高是底边的中线和中心线。
等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直线段。
由于等腰三角形的两个腰边相等，因此高也是底边的中线和中心线。
3.等腰三角形的面积可以使用底边和高来计算。
由于等腰三角形的高是底边的中线和中心线，所以可以使用底边和高的乘积除以2来计算等腰三角形的面积。
证明方法证明等腰三角形定理的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：1.使用几何推理证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
我们要证明角B = 角C。
通过绘制辅助线BD，将三角形ABC分成两个等边三角形ABD和ACD。
由于三角形ABD和ACD是等边三角形，所以它们的内角都是60度。
因此，角B = 60度，角C = 60度，所以角B = 角C。
这证明了等腰三角形的两个底角是相等的。
2.使用三角函数证明。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB = AC。
我们要证明角B = 角C。
通过使用正弦定理，我们知道在一个三角形中，正弦值与对应的边长之间有关系。
由于AB = AC，所以正弦值sin(B) = sin(C)。
等腰三角形的判定与反证法
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与Ac要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC
你能理解他的推理过程吗?
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法，假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，可得∠A+∠B=180°，但△AB∠A+∠B+∠C=180°,“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角．
[师]那么就请同学们任选一种方法按要求将推理证明过程书写出来．(教师可让两个同学在黑板上演示，并对推理证明过程讲评)
(证明略)
[师]我们用“反过来”思考问题，获得并证明了一个非常重要的定理——等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．这一定理可以简单叙述为：等角对等边．我们不仅发现了几何图形的对称美，也发现了数学语言的对称美．
第七环节：布置作业
【板书设计】
1.1等腰三角形（三）
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
【教学反思】
引导学生思考：上一道面的证法有什么共同的特点呢?引出反证法。
都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．
等腰三角形的存在性问题
探索等腰三角形存在性问题如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．分类讨论思想1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形．．．．．，则点C 的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知正方形ABCD ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 都是等腰三角形．．．．．．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．3．已知正三角形AB Ｃ，试在该平面内找一点P ，使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形．这样的点P 共有几个位置？请画出图形．A D CB AC B1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．4.如图,点A的坐标为（1,1）在坐标轴上．．．．是否存在点P，使△AOP为等腰三角形，若存在，请分别写出它们的坐标.若不存在，请说明理由.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC 向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝24，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．C M8.阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点()()1122P x y Q x y ，、，的对称中心的坐标为1212.22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 观察应用：（1）如图，在平面直角坐标系中，若点()()120123P P -、，的对称中心是点A ，则点A 的坐标为_________；（2）另取两点()()1.62.110.B C --，、，有一电子青蛙从点1P 处开始依次关于点A B C 、、作循环对称跳动，即第一次跳到点1P 关于点A 的对称点2P 处，接着跳到点2P 关于点B 的对称点3P 处，第三次再跳到点3P 关于点C 的对称点4P 处，第四次再跳到点4P 关于点A 的对称点5P 处，…则点38P P 、的坐标分别为_________、_________.拓展延伸：（3）求出点2012P 的坐标，并直接写出在x 轴上与点2012P 、点C 构成等腰三角形的点的坐标.。
等腰三角形中数学思想的应用
平行四边形与等腰三角形 的转换
将等腰三角形进行适当的平移和旋转，可以 将其转化为平行四边形。通过这种转换，可 以利用平行四边形的性质来解决与等腰三角
形相关的几何问题。
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等腰三角形的判定
总结词
可以通过两边相等或两边夹角相等来 判定一个三角形为等腰三角形。
详细描述
在三角形中，如果两边长度相等，则 该三角形为等腰三角形；另外，如果 一个三角形的两边夹角相等，则该三 角形也是等腰三角形。
02
等腰三角形中的数 学思想
分类讨论思想
分类讨论思想在等腰三角形中的应用
等腰三角形是三角形的一种特殊情况，需要根据不同的边长和角度进行分类讨论。例如，在等腰三角 形中，可以根据底边和腰的长度关系，将等腰三角形分为“底边大于两腰”、“底边等于两腰”、“ 底边小于两腰”三种情况进行讨论。
几何问题中的应用
等腰三角形在几何问题中有着广泛的应用，它可以用来解决 与角度、边长、面积和体积等有关的几何问题。例如，在解 决等腰梯形的面积和周长问题时，可以通过构造等腰三角形 来简化计算过程。
等腰三角形还可以用来解决一些与圆有关的几何问题。例如 ，在解决与圆有关的切线问题时，可以通过构造等腰三角形 来证明切线的性质和定理。
等腰三角形是三角形的一种特殊 形式，其特点是具有两边长度相 等，这两边称为等腰三角形的腰 ，另外一边称为底边。
等腰三角形的性质
总结词
等腰三角形具有轴对称性、底边与腰之间的角度相等、高等性质。
详细描述
等腰三角形具有一些特殊的性质，如它是轴对称图形，可以通过底边的中点作一条垂直于底边的直线，将三角形 分为两个完全相同的部分；另外，等腰三角形的两个底角相等，且等于顶角的度数；此外，等腰三角形的高也相 等，且垂直一个顶点与对边中点 的线段被称为中线。
证明等腰三角形的方法
证明等腰三角形的方法首先，我们来看一种基于三角形内角和的证明方法。
对于等腰三角形ABC，假设AB=AC，我们需要证明∠B=∠C。
根据三角形内角和的性质，三角形内角和等于180度，所以∠A+∠B+∠C=180度。
又因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形，于是有∠A=∠C。
将∠A=∠C代入∠A+∠B+∠C=180度中，得到∠B=∠C。
因此，我们通过三角形内角和的性质证明了等腰三角形的两个角相等。
其次，我们可以利用等腰三角形的对称性来证明。
对于等腰三角形ABC，假设AB=AC，我们需要证明∠B=∠C。
我们可以通过对称轴的对称性来证明。
根据等腰三角形的定义，可以得知∠A=∠C。
然后我们可以通过对称轴的对称性，将三角形ABC绕顶点A进行对称，得到一个新的三角形A'B'C'，其中A'B'=A'C'，且∠A' = ∠C'。
由于A'B'=A'C'，所以三角形A'B'C'也是等腰三角形，于是有∠A'=∠C'。
再根据∠A'=∠C'和∠A' = ∠C'，可以得到∠B=∠C。
因此，我们通过对称性证明了等腰三角形的两个角相等。
最后，我们可以利用等腰三角形的辅助线来证明。
对于等腰三角形ABC，假设AB=AC，我们需要证明∠B=∠C。
我们可以通过引入辅助线来证明。
首先，我们在等腰三角形ABC中引入高AD，连接D到顶点B和C。
由于等腰三角形的性质，可以得知AD是高，且BD=CD。
然后我们可以利用三角形的辅助线，将三角形ABC分割成两个等腰三角形ABD和ACD。
由于ABD和ACD是等腰三角形，所以它们的底角相等，即∠B=∠C。
因此，我们通过引入辅助线证明了等腰三角形的两个角相等。
综上所述，我们介绍了几种常见的证明等腰三角形的方法，包括基于三角形内角和的证明方法、基于对称性的证明方法以及基于等腰三角形的辅助线的证明方法。
这坑爹的几何证明题
这坑爹的几何证明题简介几何证明题是数学中的一类经典问题，旨在通过逻辑推理和几何知识来解决。
然而，有些几何证明题看似简单，实际上却隐藏着许多巧妙的思路和技巧。
本文将介绍一道典型的“坑爹”的几何证明题，并详细分析解题过程。
题目描述设有一个等腰直角三角形ABC，其中∠BAC = 90°，AB = AC。
点D是BC边上的一个任意点。
连接AD，并延长到E点使得DE = AD。
连接BE和CE。
证明：∠BEC =2∠BCA。
解题思路要证明∠BEC = 2∠BCA，我们可以尝试使用角度追踪、相似三角形等方法来推导出所需结论。
首先，我们观察到三角形ABC是等腰直角三角形，即AB = AC且∠BAC = 90°。
根据等腰直角三角形的性质可知∠ABC = ∠ACB = 45°。
接下来，我们需要找到与∠BCA相关的角度。
由于我们需要证明∠BEC = 2∠BCA，我们可以考虑如何将∠BCA与∠BEC联系起来。
观察三角形BEC，我们可以发现∠BEC是一个外角，对应的内角是∠BCE。
而∠BCE又与∠ABC相关联。
因此，我们可以尝试使用角度追踪的方法。
首先，连接AD并延长到F点使得DF = AD。
连接BF和CF。
根据等腰直角三角形的性质，我们可以得知三角形ADF也是等腰直角三角形。
接下来，我们观察到△ADE和△ADF有一边相等（DE = DF），且∠AED = ∠AFD = 90°。
根据这些信息，我们可以判断出这两个三角形是全等的。
因此，根据全等三角形的性质，AD = AF，并且∠DAE = ∠DAF。
接着，我们观察到四边形ABEF是一个平行四边形。
由于对角线互相平分的性质，在平行四边形中有以下关系成立：∠BEA = ∠BFA，并且∠BAE = ∠BAF。
根据前面得到的结论AD = AF，并且∠DAE = ∠DAF，在△ADE和△AFD中应用夹角相等定理可得：∠EAD = ∠FAE。
接下来，我们观察到四边形ABEC是一个凸四边形。