分式解题技巧

J ____ __ B

卜

J l + x* 1-K B

式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法

求解，将会得到较为理想的效果.

解 局部通分得 d ）（D 丘-恥-2）'

去分母，得x 2— 7x + 10=x 2 — 9x + 18.故2x=8..°. x=4.经检验知x=4是原方程的 解.

分式运算中的“七巧”

1.巧用公式的基本性质

z-1

解原式（化为警分式）

—（沁本性励

（X -一） • Z

£

例B 化简 ;— +

2

+ T

2.

巧用逐步通分法

：I 分析若

一次性完成通分，运算量很大，注意到（1 — x ）（1 + x ）=1 —X 4,可以用逐步通分法化简.

巧解分式方程

、裂项法 例1解方程三+三・三+三 X-6 - C X -4 Z - 0

分析 方程中每一个 分式的分母加1都等于它的分子•根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项, 然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为 解原方程可化为 匕公）U t^-e ） + 1 _（3 J4）+ 1 （A -6） +J K — 2 A

- 3 （A

- 4） x - 6 Bn 1 1 1 1 移项得土「土匚士一 通分得宀 解之得x=5 .经检验x=5是原方程的解. 2 2

•・x — 14x + 48=x — 6x +

8,

、局部通分法

分析用去分母化整 例1廿算—一仗--）

_IL L ~^1

而(1 — x 2)(1 + x 2)=1

解

1-X

1 閔 型

2龙 1

3•巧用运算律

例3计算 ' I ： I ：! 1 ■ -：!'：分析

1 1 力 4” 折

可以先用加法交换律整理顺序如下： 1-工1十工1十1十兀* 1十严

再用逐步通分法化简.

< y 2 x 、 x （ -- +

- +

---- ）中"1

例4化简 x f 宀y +硼 y +矽解原式

（-）a + 2（丄）+ 1（乘法分配律）

x x

4.巧用已知条件 例5当x 2 — 4x + 1=0时,

解原式二十-宁害

K - 1 耳（JE 一 1）

（云十

1）（號_1）

X （K - 1）

为了求岀代数式的值，将己知条件变形为疋+1 =伉 则原式二竺=4

x

原式卜卜矗一詞诗】]怡"◎■诗

6 •巧变形 例7计算

[ ] 1

尹证而+乔丽弓+…刁丽匚丽 分析 我们注意一个事实

求角"士）呃

5 •巧用乘法公式

例6计算 b a b J 『

（丁吋計）

解应用立方和公式

x （x+y ） x+y y （x+y ）

解设・=必则咅三丄 原式=

丄・2) + (1」

a b u

u

u

u

U ■'一 1

, U 2 - 2u.十 1 11十1

U

ll

u

b 3

(u +1) (u — 1)审 U

. U u

口

(耳- ⑴4 D U T

通过换元，降低了式子中字母的次数，便于计算.

0十1)@+ 2)0 斗 3伍亠 4) 41

例9计算

/十为朽

解 把分子括号适当搭配［(a +

2 2 2

1)(a + 4)][(a + 2)(a + 3)] + 1=(a + 5a + 4)(a + 5a + 6) + 1 .这时若把 a + 5a + 5 看作

m 贝U a 2 + 5a + 4=m- 1 a 2 + 5a + 6=n + 1

二原式_血-如1) + 1

m 2

-1+1

= =m

IIL

m

=a + 5a + 5

讨论分式问题的四点注意 1.讨论分式有无意义时，要注意对原分式进行讨论，不能在约分后再讨 论.因为约分后常会使未知数取值范围扩大.

y + 9

例1当蠶取何值时，分式 a

r W 意义.

X - K - 6

由x 一3工0得XM 3. •••当x^3时，原

2 5-

3 1 1

3x5 "3x5 ■ ■ 3 亏

■4 7-3 1

- -

1

3x7 3x7 3 7'

一般地有

f

a h \ \

ab

ab ab b a

解：原式=

+

+ ....... +

j-1 J -2 沙 2 誥和

沙

99 r + 10Q

1 1 1

虻1；附2) i+： W

_ 1 1

4 ii -i

4 il +

x + 1 i + 100 1 1 1

.

99

(屮 9驰 HOO)卄99 x+100

91)估+ 100)

原式二 一

—-1

错解 原式=

针对本题

3丿 八

( ------ )r (—丰 -----2}

7 •巧换元 例8化简 「 ■ ■ 7