天津市第二南开中学高中数学 数列求和导学案 新人教A版5
人教A版高二数学必修五导学案及答案全套高二数学必修五导学案：课程整合《数列求和》第1课时
第二章数列课程整合1数列乞降共两课时** 学习目标 **1．掌握数列乞降的方法；2．能依照和式的特点采纳相应的方法乞降．** 要点精讲 **1．公式法：等差、等比数列乞降公式；nk2 12 22 32 n 2 1n( n 1)(2n 1) ，公式：k 1 6n2 k3 13 23 n 31n( n 1) 等。
k 122．错位相减法：若a n 是等差数列，b n是等比数列，则求数列a n b n的前 n 项和 S n，常用错位相减法。
3．裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项。
4．分组乞降法：把一个数列分成几个可以直接乞降的数列。
5．并项乞降法：特点是数列的前后两项和或差可以组成一个我们熟悉的数列形式6．倒序相加法：近似于等差数列前 n 项和公式的推导方法．** 模范解析 **例 1．乞降：S 1 (1 q) (1 q q2 ) (1 q q2 q n ) ．n例 2．（ 1）已知数列a n 满足 a n1，求 S n。
n n 1( n 1 n)（ 2）已知数列 a 的通项公式 a1 ，求 S 。
n2n n 2n n（ 3）已知数列 a 的通项公式 a4n2 ，求 S 。
n n (2n 1)(2n 1) n（ 4）乞降：S n 11 1 1。
1 2 1 2 3 1 2 3 n例 3 ．（ 1）乞降：1 2 2 33 4(1)n nS n（ 2）乞降： S 1 3 57 9( 1)n (2n1)n（ 3）已知函数对所有 x R ， f (x)f (1 x) 1 。
新 课 标第一 网乞降： Sf (0) f ( 1 ) f ( 2 )f (n2 )f (n 1) f (1) 。
n n nn例 4．在等差数列 { a n } 中 ,首项 a 11，数列 { b n } 满足 b n(1) a n ，且 b 1b 2 b 3 1 。
264（ 1）求数列 { a n } 的通项公式；（ 2）求证： a 1b 1 a 2b 2a nb n 2 。
高中数学第二章数列2.5数列求和的求法(2)教案新人教A版必修5
2.7 数列的求和（2）【学习目标】1．熟练的掌握数列求和的常用方法．2．熟练的掌握数列求和的常见题型和常用的变形技巧．【重点难点】重点：两种求和方法．难点： ．【学法指导】求数列前n 项和时一定要先求通项公式，再根据通项公式的特点灵活的选择方法，熟练掌握每个方法的格式.一.课前预习1．上节我们学习了数列求和的哪些方法？你能分别举例并求出它们的和吗？2．求下列数列的前n 项和n S（1）{}3n n +（2）1111,,,,,121231234123n ++++++++++二．课堂学习与研讨（四）错位相减法：形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 成等差，{}n b 成等比，则采用错位相减法，等比数列的求和公式就是用这种方法推导的.例1.求23135212222n n n s -=++++ .例2.求数列21,2,3,(x x x 为常数）的前n 项的和n s .练习1.求数列{}2n n 的前n 项的和n s .（五）倒序相加法：就是把数列的各项顺着写和逆着写，然后两式相加达到求和的目的，等差数列的求和公式就是用这种方法推导的.例3.已知4(),42xx f x =+ 12320062007()()()()()20082008200820082008f f f f f +++++ 求的值.练习2.已知()1x f x x=+，求和： 1111()()()()(1)(2)(3)(2011)2011201032f f f f f f f f +++++++++ .三.课堂检测1.求数列325n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项的和n s .2.求22221111244861244n s n n =++++++++ .3.求数列12234，，，4816的前n 项和n S四．作业1. 求数列{}121)n n --（3的前n 项的和n s2. 求数列1357,,,392781的前n 项的和n s。
天津市第二南开中学高中数学 1.2 应用举例(2)导学案 新人教A版必修5
天津市第二南开中学2014高中数学 1.2 应用举例（2）导学案 新人教A版必修5复习2：在∆ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，若::a b cA:B:C 的值.二、新课导学 ◆ 典型例题例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒，距离精确到0.01n mile)分析：首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB .变式：某船在海面A 处测得灯塔C 与A相距里，且在北偏东30︒方向；测得灯塔B 与A相距海里，且在北偏西75︒方向. 船由A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60︒方向. 这时灯塔C 与D 相距多少海里？④解三角形 一、课前准备复习1：在∆ABC 中(1)若1,120a b B ===︒，则A 等于 ． (2)若a =2b =，150C =︒，则c = _____．复习2：在ABC ∆中，a =2b =，150C =︒，则高BD = ，三角形面积= ．二、新课导学 ◆ 学习探究探究：在∆ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？h a =b sin C =c sin B根据以前学过的三角形面积公式S =12ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12ab sin C ， 或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．◆ 典型例题例1. 在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：(1)已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5︒； (2)已知B =62.7︒，C =65.8︒，b =3.16cm ； (3)已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）例2. 在∆ABC 中，求证：（1）222222sin sin sin a b A B c C++=；（2）2a +2b +2c =2（bc cos A +ca cos B +ab cos C ）◆ 动手试试1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β C ．α+β=90 D ．α+β=1802. 已知两线段2a =，b =，若以a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）. A ．(,)63ππ B ．(0,]6πC ．(0,)2πD ．(0,]4π3. 关于x 的方程2sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是∆的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）.A ．b ac =B ．a bc =C ．c ab =D ．2b ac =其中正确说法的序号是 .6. 在ABC ∆中，2,60a b C ︒==，则ABC S ∆=（ ）.A.327. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为35，面积为92，那么这个三角形的两边长分别是（ ）. A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7 8. ABC ∆三边长分别为3,4,6，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ． 三、总结提升 ◆ 学习小结1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.3. 三角形面积公式：S =12ab sin C == = ．4. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．。
人教A版高中数学必修五第二章复习课《数列求和》的教学设计
人教A版高中数学必修五第二章《数列求和》的教学设计数列是高考的重点内容，也是一个难点，那么如何才能做到有效复习呢？很多老师可能用最短的时间讲完知识点，然后对学生进行题海式的专题训练，但是一轮复习后没有达到预期的效果。
笔者认为高三的课堂教学要达到预期的效果，重要的是理清主线，变式推进，注重反思。
理清主线能让学生知识框架清晰，能认清知识的本质；变式推进能让学生从多重角度理解知识；注重反思能让学生从错误中理解知识。
下面是笔者在“一师一优课”视频公开课中的教学设计：一、课前热身，唤醒记忆（1）等差数列的通项公式是什么？（2）等差数列的求和公式是什么？（3）等差数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？（4）等比数列的通项公式是什么？（5）等比数列的求和公式是什么？（6）等比数列前n项和的公式推导过程是怎样的？用了什么方法？设计意图：在学习本节课之前，学生已经系统的学习了求数列通项的方法，特别是等差数列与等比数列的通项推导，因此，笔者想通过这几个问题唤醒学生对等差数列、等比数列求和公式中的一些基本概念，方法。
其实，在公式的推导过程成就已经蕴含了几种数列求和的方法，例如，在推导等差数列求和公式时用了倒序相加法；在推导等比数列公式时使用的是错位相减法等。
这些问题书本上都有提到，只要课前翻看书本是能够解决的，也为后面的学习做铺垫。
二、课前测试，查漏补缺)0(124211n 253199975312≠++++++++-+++++++++a a a a n n ④③②①、求下列数列的和设计意图：这几组题主要让学生熟悉等差数列与等比数列求和公式，并针对其中几个易错点设计：项数问题，应用等比数列求和公式时对公比的讨论等等。
2、你所知道的求和方法有那些？设计意图：引导学生归纳回忆所学过的求和方法有哪些，主要也是理清求和方法的主线，让学生的复习不要偏离轨道。
学生归纳出的数列的求和方法有以下几种：（1）公式法：当数列是等差或等比数列的时候，可以直接使用这两种数列的求和公式；（2）错位相减法：这种方法是在推导等比数列求和公式时应用到的，不过却难倒了很多学生，因为他们认识不到错位的目的是什么，因此这是复习的难点；（3）裂项相消法：这个方法主要是把数列的项裂开，使得求和时可以有些项抵消，以达到求和的目的；（4）分组求和：这里实际上与公式法一致，当数列是等差数列与等比数列之和时，可以分开来用公式法求和。
高中数学教案-人教a版必修5——数列的求和方法
第13课时 数列的求和方法（一）知识归纳： 1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法. 5．反序求和法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法.6．分组组合求和：将数列中具有相同规律的项组合到一起分别求和 （二）学习要点： 1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“)1(3221+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(1321211+++⨯+⨯=n n S n ”的求和；“并项”的典型例子是数列“n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 ”的求和.2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数列的求和问题：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法.例1．求下列数列的前n 项和n S ： （1）5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…； （2）1111,,,,,132435(2)n n ⨯⨯⨯+；（3）1n a n n =++ （4）23,2,3,,,n a a a na ；（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++．解：（1）555555555n n S =++++个5(999999999)9n =++++个235[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--． （2）∵1111()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++．（3）∵111(1)(1)n n na n n n n n n n n +===++++++-∴21321n S n n=+++++(21)(32)(1)n n =++++11n =+．（4）2323n n S a a a na =++++，当1a =时，123n S =+++ (1)2n n n ++=， 当1a ≠时，2323n S a a a =+++…nna + ，23423n aS a a a =+++…1n na ++，两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)1(1)1n n n n a a a nana a++-+-=--，∴212(1)(1)n n n na n a aS a ++-++=-．（5）∵2(2)2n n n n +=+，∴ 原式222(123=+++ (2))2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)6n n n ++=．（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =++++，又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =++++， ∴ 289S =，892S =．例2．解答下述问题：（I ）已知数列}{n a 的通项公式)12)(12()2(2+-=n n n a n ，求它的前n 项和.[解析],1212++-=n nn n a n ),1212()121321()5232()311(++-+--+--+++++=∴n nn n n n n n S n=1212)12121()5352()3231(1++=++-+--++++++n n n n n n n n n =12)1(2++n n n（II ）已知数列}{n a 的通项公式,)]1([122++=n n n a n 求它的前n 项和.[解析],)1(11)1()1(222222+-=+⋅-+=n n n n n n a n.)1(11))1(11()1)1(1()3121()211(22222222+-=+-+--++-+-=∴n n n n n S n（III ）求和：;1)2(3)1(21⋅++-⋅+-⋅+⋅=n n n n S n[解析]注意：数列的第n 项“n ·1”不是数列的通项公式，记这个数列为}{n a ， ∴其通项公式是.6)2)(1(2)1(6)12)(1(2)1()321()321()321(),,,3,2,1()]1([222222++=++++-+=+++++++++-⋅++++=∴=+-=--⋅=n n n n n n n n n n n n n n S n k k k kn k n k a n k （Ⅳ）已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=[解析]n n n b n a )109(,1=+=为等差数列为等比数列，∴应运用错位求和方法：.)109()10(999),10()109(1099)109()1(])109(1[108159)109()1(])109()109()109[(59101:,)109()1()109(3)109(2109;)109()1()109(31092111321322n n n n n n n n n n n n n S n n n S n S n S ⨯+-=∴+-=⨯+--⨯+=⨯+-++++=⨯+++⨯+⨯=∴⨯+++⨯+⨯=++++ 两式相减得（Ⅴ）求和nn n n n n C n C C C C W )13(10743210++++++=[解析],,13110 =+=+∴+=-n n n a a a a n a 为等差数列而∴=-,kn n k n C C 运用反序求和方法是比较好的想法，nn n n n n n C n C n C C C W )13()23(741210++-++++=- ①， 01214)53()23()13(n n n n n n n n C C C n C n C n +++-+-++=-- 012104)53()23()13(n n n n n n C C C n C n C n W +++-+-++=∴- ②， ①+②得,2)23())(23(2210n n n n n n n C C C C n W ⨯+=+++++=.2)23(1-⨯+=∴n n W[评析]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.例3．已知数列{}n a 的通项65()2()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有12n -项，∴1121(165)4(14)(1)(32)4(21)221423n n n n n n n S --++--+--=+=+-，当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项， ∴2(165)4(14)(32)4(21)221423n n n n n n n S +----=+=+-， 所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23n n nn n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数．例4．解答下列问题：设),3(9)(2-≤-=x x x f（1）求)(x f 的反函数);(1x f -（2）若;),2(),(,1111n n n u n u f u u 求≥-==--（3）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+[解析]（1）9)(21+-=-x x f（2）}{),2(9122121n n n u n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴k u u n u n n n（3）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k );119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n（II ）设函数),2)(1(,1:}{,332)(11≥==+=-n b f b b b x x x f n n n 作数列求和：.)1(11433221+-⋅-+-+-=n n n n b b b b b b b b W[解析]),384(91,312,32211++=∴+=∴+=+-n n b b n b b b n n n n n ①当n 为偶数时]})1[()43()21{(94222222n n W n --++-+-=298)]12(1173[94]})1[()43()21{(98n n n n ⨯--++++-=--++-+-+=);62(9194)]22(2[21942n n n n n +-=-+⨯⨯-②当n 为奇数时}])1()2[()21{(9422222n n n W n +---++-=).762(91312198]22121[9431]21[98})]32(1173[{9431})]1()2[()43()21{(98222++=++⨯++⨯-⨯-=++--++-+++-=++---++-+-+n n n n n n n n n n n n n [解析]例2中的（I ）、（II ）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运用求和方法，问题（I ）中运用了“裂项”求和方法，而问题（II ）中灵活运用了拆项与并项的求和方法. 例5．已知数列}{n a 的各项为正数，其前n 项和2)21(+=n n n a S S 满足， （I ）求)2(1≥-n a a n n 与之间的关系式，并求}{n a 的通项公式； （II ）求证.211121<+++nS S S [解析]（I ）2)1(4+=n n a S ①，而211)1(4+=--n n a S ②，①—②得,0)2)((0)(2111212=--+⇒=+------n n n n n n n n a a a a a a a a2}{),2(2,01=∴≥=-∴>-d a n a a a n n n n 是公差 的等差数列， ;12,1)1(41211-=∴=⇒+=n a a a a n 而（II ）22221212111111,nS S S n S n n +++=+++∴= .212)111()3121()211(1111),2(111)1(11212<-=--++-+-+<+++∴≥--=-<nn n S S S n n n n n n n [评析]例3是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，∴作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.《训练题》一、选择题1．在数列}{n a 中，9,11=++=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为（ ）A ．9B ．10C ．99D ．1002．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n －1），…的前n 项和等于 （ ）A ．n n -+12B ．221--+n n C ．12--n nD ．22--n n3．设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 =（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．24．数列1，项和为的前n n+++++++ 3211,,3211,211 （ ） A ．1+n n B ．12+n nC ．)1(2+n nD ．)1(4+n n5．数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n6．数列{n a }的通项公式为,,1421na a ab n a nn n +++=-= 令则数列{n b }的前n 项和为（ ）A ．2nB ．)2(+n nC ．)1(+n nD ．)12(+n n二、填空题7．数列 ,3216,1615,814,413,212,1的前10项之和为8．若==+++-+++n n n 则,2219)2(42)12(31222222 9．已知{n a }的前n 项和||||||,1410212a a a n n S n ++++-= 则的值为10．已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为三、解答题：11．已知数列{n a }的各项分别为}{,,,,,165434322n a a a a a a a a a a 求 ++++++的前n 项和n S .12．已知数列{n a }满足：}{,2)32()12(3121n n n b n a n a a 数列+⋅-=-+++ 的前n 项和 n n n n W n b a n n S 项和的前求数列}{.222⋅-+=.13．设数列{n a }中，}{),(321n n a N n n a 将*∈++++= 中5的倍数的项依次记为,,,321b b b ， （I ）求4321,,,b b b b 的值.（II ）用k 表示k k b b 212与-，并说明理由.（III ）求和：.212321n n b b b b b +++++-14．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足,)1(2,11n n a n S a +== （I ）求n a 与1-n a 的关系式，并求{n a }的通项公式；（II ）求和.111111212322-++-+-=+n n a a a W15．将等差数列{n a }的所有项依次排列，并如下分组：（1a ），（32,a a ），（7654,,,a a a a ），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n 组有12-n 项，记T n 为第n组中各项的和，已知T 3=-48，T 4=0， （I ）求数列{n a }的通项公式；（II ）求数列{T n }的通项公式；（III ）设数列{ T n }的前n 项和为S n ，求S 8的值.《答案与解析》一、1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 二、7．512511558．10 9．67 10．)3(3+n n11．,221--+++=n n n n aa a a（1）;2)1(,1+=∴==n n S n a a n n 时当（2）当,11)1(11211aa a a a a a a n n n n n --=--=≠---时 )],()1[(1112312--+++-++++-=∴n n n a a a a a a aS ①];1)1(11[11,122aa a a a a S a n n n ------=±≠时当 ②当1-=a 时，1）当n 为奇数时;21nS n +=2）当n 为偶数时.2nS n =12．当),12(22)52(2)32()12(,21-=⋅--⋅-=⋅-≥+n n n a n n nn n n 时;14,2.4)2(2,4;2111-=-=≥⎩⎨⎧-=≥=-==∴-n S S b n a n a a a n n n nnn n 时当得而 而.)2(141,111⎩⎨⎧≥-===n n b b b n得 )14(215211272)],14(211272[443232-++⨯+⨯+⨯=-++⨯+⨯+-=∴n s n W nn n 记)14(2)54(2112722143-+-++⨯+⨯=∴+n n s n n ②，①①－②得)14(2)222(428143--++++=-+n s n n).54(2),54(24),45(24)14(2)12(322811112-=-+=∴-+-=---+=++++-n W n s n n n n n n n n 得 13．（I ）;55,45,15,10104935241========a b a b a b a b （II ）),(515),(52)1(++∈=+=∴∈=+=N k k n k n N m m n n a n 或 ;2)15(5,2)15(5,,515521512212+==-==∴<=-=---k k a b k k a b b b k n k n k k k k k k 或即 （III ）).12)(1(625,252212212++=+++∴=+-n n n b b b n b b n n n 14．（I ）),2(1,2)1(2111≥-=⎩⎨⎧=+=---n a n n a na S a n S n n n n n n 两式相减得 ;,12211122111n a n n n n n a a a a a a a a n n n n n n =∴=⋅⋅--⋅-=⋅⋅⋅=∴--- （II ）)]4121()311[(21)2(1531421311-+-=+++⋅+⋅+⋅=n n W n ].211123[21)]211()5131(+-+-=+-++-+n n n n 15．（I ）设{n a }的公差为d ，则486473-=-=d a T ①，036874=+=d a T ②，解①、②得;232,9,27-=∴-==n a a d n（II ）当2≥n 时，在前n －1组中共有项数为,1222112-=+++--n n ∴第n 组中的22)12(22)232(21111⨯-+⨯-=----n n n n n n T 项的和 ;22423122--⨯-⨯=n n（III ）.59415,255}{88=∴S a S n 项的前为。
数学人教A版高中必修5数列专题导学案
高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。
题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。
1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。
5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
高中数学 《数列求和》导学案 新人教A版必修5
高中数学必修5 《数列求和》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1、 会用公式法求等差数列和等比数列的前n 项的和。
2、 会用几种特殊方法求几种常见特殊数列的前n 项的和。
【重点难点】重点：数列求和方法及其获取思路．难点：数列求和方法及其获取思路．【知识链接】等差数列求和公式:等比数列求和公式:【学习过程】知识点一：公式法求和直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．例1．已知3log 1log 23-=x ，求数列{}n x 的前n 项和. 分析：本题可先求出x ，而所求和的形式满足等比数列，所以可以直接用等比数列前n 项和公式求解.等差数列前n 项和公式的推导方法：)(211121n n n n n n n a a n S a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-例2．求和：222222222222110108339221011++++++++分析：数列的第k 项与倒数第k 项和为1，故宜采用倒序相加法．知识点三：错位相减法：这种方法主要用于求数列{an · bn}的前n 项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 等比数列前n 项和公式的推导方法：11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S例3．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n 分析：数列的每一项由两部分构成，一部分成等差，另一部分成等比，符合错位相减法求解。
知识点四：裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）. 常见的拆项公式有：1()n n k =+ ，= ，1(21)(21)n n =-+ 例4．求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S.知识点五：分组求和法一个数列的通项公式由若干个等差或等比或可求和的数列组成，分别求和而后相加减。
高中数学 2.3 等差数列的前n项和(2)导学案 新人教A版必修5
天津市第二南开中学2014高中数学 2.3 等差数列的前n 项和（2）导学案 新人教A 版必修5 一、相关复习复习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .复习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求n a 和8S .二、新课导学◆ 典型例题例1已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.例2数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. (1)求数列的公差.(2)求前n 项和S n 的最大值. (3)当S n ＞0时，求n 的最大值.变式：等差数列n {a }中，1281,0s s a =<，该数列的前多少项和最小？小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值. 例3.在等差数列｛a n ｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。
结论：数列{a n }是等差数列,前n 项和是n S ,那么()21,,,,m m m km k m S S S S S +-- ()k N *∈仍成等差数列,公差为2m d (m 为确定的正整数) ◆ 动手试试练1数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <； （2）求此数列的前n 项和的最大值.练2在等差数列{a n }中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a 17+a 18+a 19+a 20等于______.例4在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.小结：等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝； S n 偶奇＝.例5已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，它们的前n 项和分别是S n 、S n ′，若1332'-+=n n S S nn ,求99b a .例6已知数列{}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T .三、学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.3. 等差数列奇数项与偶数项的性质◆ 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（ ）. A. 2n a n = B. 21n S n =+ C. 221n S n =+ D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）.A. 3B. 4C. 6D. 125.在等差数列｛a n ｝中，已知a 14＋a 15＋a 17＋a 18＝82，则S 31＝__________.6. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .7.已知数列｛a n ｝的前n 项和是S n =32n －n 2,求数列｛｜a n ｜｝的前n 项和S n ′.。
高中数学 第二章 数列 数列求和教案2 新人教A版必修5
数列求和一、教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 二、教学重点：裂项相消法、错位相减法．三、教学难点：确定数列的通项公式选择相应的求和方法，错位相减法. 四、教学过程： （一）考点知识点梳理1、数列求和的常用方法 (1)裂项相消法 形如⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()(1n g n f 的数列求和，其中)(),(n g n f 是关于n 的一次函数.方法：裂项相消法，即把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式 (1)1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1；(2)1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(3)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．辨 析 感 悟 (1)当n ≥2时，1n 2－1＝1n －1－1n ＋1.(×) (2)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.(√)(4)(2014·南京调研改编)若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防范 一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)． 二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a 需要分a ＝0，a ＝1，a ≠1且a ≠0三种情况求和，只有当a ≠1且a ≠0时可用错位相减法求和.（二）典例分析考点一 裂项相消法求和【例1】求和：)23)(13(11181851521+-+⨯+⨯+⨯=n n S n【例2】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 解 (1)设{a n}的公差为d，则S n＝na 1＋n n －12d . 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1. 故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1 3－2n 1－2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．注意：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。
天津市第二南开中学高中数学 2.5 等比数列的前n项和(1)导学案 新人教A版5
天津市第二南开中学2014高中数学 2.5 等比数列的前n 项和（1）导学案新人教A 版必修5复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、新课导学 ◆ 学习探究探究任务： 等比数列的前n 项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
新知：等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，公式的推导(错位相减法)则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S =当已知1a , q, n 时用公式 ； 当已知1a , q, n a 时，用公式试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.◆ 典型例题例1在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.◆ 动手试试 练1. 已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.例2在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n .例3设数列}{n a 的前n 项和为a S n n +=3.当常数a 满足什么条件时，}{n a 才是等比数列？例4已知数列｛a n ｝中， a n ＋1＝a n ＋2n， a 1＝3，求a n .例5在等比数列｛a n ｝中，a 1+a n =66,a 2·a n －1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .例6已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n .◆ 动手试试练1. 求下列等比数列的各项和： （１）１，３，９， (2187)（２）１，21-，41，81-，…，5121-.练2.等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及三、学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n naq a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++=.4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示. ◆ 当堂检测1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）Ａ．41.1 Ｂ．51.1Ｃ．)11.1(115-⨯ Ｄ．)11.1(106-⨯4.在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1,则公比q 等于（ ） A.3 B.－3 C.－1 D.15. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）.A. 30B. 60C. 80D. 1606.等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为（ ） A.1 B.－21 C.1或－21 D.－1或21。
天津市第二南开中学高中数学 1.1.1 正弦定理复习导学案 新人教A版必修5
天津市第二南开中学2014高中数学 1.1.1 正弦定理复习导学案 新人教A版必修5显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学◆ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=， 同理可得sin sin c b C B =， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin cC =． 试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B.cos cos a A b B = C. sin sin a B b A = D.cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． ◆理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B =；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin aA B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ◆ 典型例题 例1. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．例2. 在ABC ∆C B ,,2,45,6和求b a A c ===︒．变式：在ABC ∆C A,,1,60,3和求a c B b ===◆ 动手试试1. 在ABC ∆中，若cos cos A bB a =，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1∶3D ．2∶2∶33. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，3a =，则sin sin sin a b cA B C++++= ．6. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°， ∠B ＝120︒，解此三角形．7.在ΔABC中，利用正弦定理证明==+c b a CBA sin sin sin + ．三、总结提升 ◆ 学习小结 1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin cC=2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角． ◆ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径.。
天津市第二南开中学高中数学 1.1.2 余弦定理导学案 新
天津市第二南开中学2014高中数学1.1.2 余弦定理导学案 新人教A 版必修5一、相关复习 复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学◆ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ΘAC =u u u r ，∴AC AC •=u u u r u u u r同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍． 思考：这个式子中有几个量？ 从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 222cos 2b c a A bc +-=， ， ． ◆[理解定理] （1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+ 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为： ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角． 试试：（1） △ABC 中，33a =，2c =，150B =o ，求b ．（2）△ABC 中，2a =，2b =，31c =+，求A ．◆ 典型例题例 1. 在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，37c =，求三角形的最大内角．变式：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．例2. 在△ABC 中，已知3a =2b =，45B =o ，求,A C 和c ．c a b C变式：在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．◆ 动手试试1. 已知a ＝3，c ＝2，B ＝150°，则边b 的长为 ．2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.A ．60oB ．75oC ．120oD ．150o 3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）.A ．513x <<B ．13＜x ＜5C ． 2＜x ＜5D ．5＜x ＜54. 在△ABC 中，|AB u u u r |＝3，|AC u u u r |＝2，AB u u u r与ACu u u r 的夹角为60°，则|AB u u u r－AC u u u r |＝________． 5. 在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足 222b a c ab +-=，则∠C 等于 ．6. 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，求最大角的余弦值．7.在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =， 试判断该三角形的形状．三、总结提升 ◆ 学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；② 已知两边及它们的夹角，求第三边．◆知识拓展 在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角； 若222a b c +<，则角C 是钝角； 若222a b c +>，则角C 是锐角．。
高中数学 专题 数列求和学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学学案
专题 数列求和[目标] 1.记住数列求和的几种常用方法；2.会用数列求和的几种常用方法解答一些数列求和问题．[重点] 数列求和的方法及应用．[难点] 对数列求和方法的理解．知识点 数列的求和方法[填一填]1．公式法(分组求和法)如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．2．裂项相消求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：①1n (n ＋k )＝1k ·(1n －1n ＋k)； ②若{a n }为等差数列，公差为d ，则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； ③1n ＋1＋n＝n ＋1－n 等． 3．错位相减法若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．4．倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加求和法．类型一 分组求和法求和[例1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . a n ＝1也适合a n ＝n .综上可知数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.如果一个数列的通项公式可写成c n ＝a n ±b n 的形式，而数列{a n }，{b n }是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组求和法.[变式训练1] 求数列112，314，518，…，⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n 的前n 项和． 解：S n ＝112＋314＋518＋…＋⎣⎡⎦⎤(2n －1)＋12n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝(1＋2n －1)·n 2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n . 类型二 裂项相消法求和[例2] S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． [分析] (1)利用已知的关系式构造一个新的等式，两式相减消去S n ，转化为a n 与a n ＋1之间的递推关系求解．(2)将(1)中得到的通项代入求出b n 的通项，再利用裂项相消法求和．[解] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，①可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3(2n ＋3).裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合使之能消去一些项，最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项，即这两项的结论应一致.[变式训练2] 已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，∴a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1). ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 类型三 错位相减法求和[例3] 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题意知：a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1， 又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b n a n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1， 所以T n ＝5－2n ＋52n .一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法.,在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.[变式训练3] 在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n 2n ，求T n . 解：(1)由条件知a n －a n ＋1＋2＝0，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， ① 12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1. ②由①－②得 12T n ＝12＋222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ∴T n ＝3－12n －2－2n －12n . 类型四 倒序相加法求和[例4] 已知定义在R 上的函数f (x )的图象的对称中心为(1 008,2)．数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝f (n )，n ∈N *.求S 2 015.[解] 由条件得f (2×1 008－x )＋f (x )＝2×2，即f (2 016－x )＋f (x )＝4.于是有a 2 016－n ＋a n ＝4(n ∈N *)．又S 2 015＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＋a 2 015，S 2 015＝a 2 015＋a 2 014＋…＋a 2＋a 1.两式相加得2S 2 015＝(a 1＋a 2 015)＋(a 2＋a 2 014)＋…＋(a 2 014＋a 2)＋(a 2 015＋a 1)＝2 015(a 1＋a 2 015)＝2 015×4.故S 2 015＝2 015×2＝4 030.如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和．[变式训练4] 设f (x )＝12x ＋2，求f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值． 解：f (x )＝12x ＋2， f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x ， ∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x 2＋2x＝22， ∴f (x )＋f (1－x )正好是一个定值．设所求式子的和为S ，则2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 类型五 并项法求和[例5] 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋a n ＋1＝2n －3，求数列{a n }的前n 项和S n .[分析] 本题如果由递推关系式求出数列的通项，再求前n 项和，则过程较繁．由递推关系式的特点，可考虑相邻两项并项求和，此时需对n 的奇偶性作分类讨论．[解] 当n 为偶数时，S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝(2×1－3)＋(2×3－3)＋…＋[2(n －1)－3]＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－3×n 2＝n 2－3n 2. 当n 为奇数时，S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋(2×2－3)＋(2×4－3)＋…＋[2(n －1)－3]＝2＋2[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝n 2－3n ＋62. 故数列{a n }的前n 项和为S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3n 2，n 为偶数，n 2－3n ＋62，n 为奇数.在数列中有相邻两项或几项的和是同一个常数或有规律可循时，采用并项法求和较简便.[变式训练5] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ×(2n －1)，求其前n 项和S n . 解：当n 为奇数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋(－2n ＋1)＝2·n －12＋(－2n ＋1)＝－n . 当n 为偶数时，S n ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n ＋3)＋(2n －1)]＝2·n 2＝n . 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n ，n 为奇数，n ，n 为偶数.。
天津市第二南开中学高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法导学案 新人教A版5
天津市第二南开中学2014高中数学3.2.1 一元二次不等式的解法导学案新人教A版必修5用符号表示量之间的关系的式子，叫做不等式。
的问题叫做解不等式二、新课导学◆学习探究从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：一水产养殖户想挖一周长为100米的矩形水池搞特种养殖，要求水池面积不小于600平方米，则该水池的一边长应在什么范围之间？定义：不等式，称为一元二次不等式。
一般形式：考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值时，y>0？当x= 时，y=0，即 2x-7=0；当x< 时，y<0，即 2x-7<0；当x> 时，y>0，即 2x-7>0 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x，0),则有如下结果：1．一元一次方程ax+b=0的解是x；（即直线与x 轴的交点的横坐标）2．①当a>0时，ax+b>0的解集是；ax+b<0的解集是 .②当a<0时，ax+b>0的解集是；ax+b<0的解集是 .思考对二次函数y=2x-x-6，当x为何值时，y=0？当x 为何值时，y<0？当x为何值时，y>0 ?当时, y=0 即2x-x-6=0当时, y<0 即2x-x-6<0当时, y>0 即2x-x-6>0思考：一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间存在怎样的联系？可不可以利用二次函数图象解一元二次不等式？结论：若一元二次方程2x-x-6=0的解是则抛物线y =2x -x -6与x 轴的交点就是一元二次不等式2x -x -6<0 的解集是 ,2x -x -6>0 的解集是 .结论: 解一元二次不等式 a2x +bx+c>0 (a >0，△=0 )的步骤：① 将二次不等式化成一般式； ② 求出方程a 2x +bx+c =0的两根;③ 画出y =a2x +bx+c 的图象;④ 根据图象写出不等式的解集. ◆ 典型例题 例1 解不等式2x -6x -7>0练习1. 解不等式2. 解下列不等式：（1）（2）（3）一元二次不等式的解法3. 在下列不等式中，解集是∅的是（ ）. A ．22320x x -+> B ．2440x x ++≤ C ．2440x x --< D ．22320x x -+->4. 不等式230x x -<的解集是 .5. y 的定义域解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式（0a >）.（2）判断∆的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集. 求解．2322>--x x 2632>+-x x 01442>+-x x 0322<-+-x x。
数列的求和---朱宝强--导学案.doc
数列求和【教材分析】本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。
通过本节课的教学让学生感受公式法、分组求和法、裂项相消法等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。
【教学目标】知识与技能掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。
进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。
过程与方法经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。
培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。
情态与价值观通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。
激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。
感悟数学的简洁美、对称美。
【教学重点】本节课的教学重点为分组求和、裂项相消求和的方法和形式。
能将一些特殊数列的求和问题转化上述相应模型的求和问题。
【教学难点】本节课的教学难点为建构几种求和方法模型的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归的思想分析问题和解决问题。
【教学方法】本节课的教学采用“自主学习、小组合作探究学习”【教学过程】知识回顾-一（此处学生黑板板演）等差数列前〃项和公式等比数列前〃项和公式热身训练一一(此处学生黑板板演)(1). 1+2+3 + ・・・+〃 =；⑵. l+3+5 + ・・・ + (2n—1) = ；⑶.1 + 2 + 22 + 23+••• + 2n-1 = o知识汇总一一(此处学生合作探究，并黑板板演)(1).求和(2 —3X5「I ) +(4 — 3x5「2) + . . . +(2〃— 3x5—”)。
⑵.求数列2上4— 6—••- 2〃+ '...的前〃项和S“。
4’ 8’ 16' '2"1'⑶.求数列的前"项和S =」一 + 口一 +二一 +二一 +・・・+————-"1x2 2x3 3x4 4x5 «x(« + l)(4).求通项a = ___________ i _______ 的数列的前n项和S"。
2021高中数学 2.2 等差数列（1）
天津市第二南开中学2021高中数学 2.2 等差数列（1）导学案 新人教A 版必修5温习2：数列有几种表示方式？分别是哪几种方式？ 二、新课导学 ◆ 学习探讨探讨任务一：等差数列的概念问题1：请同窗们认真观看，看看以下四个数列有什么一起特点？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5④ 10072，10144，10216，10288，10360 新知：1.等差数列：一样地，若是一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，那个数列就叫做等差数列，那个常数就叫做等差数列的 ， 经常使用字母 表示. 2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =探讨任务二：等差数列的通项公式问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？若是存在，别离是什么？假设一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么据其概念可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+……由此归纳等差数列的通项公式可得：∴已知一数列为等差数列，那么只要知其首项1a 和公差d ，即可求得其通项n a . ◆ 典型例题例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？若是是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？若是是，是第几项？若是不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判定一数是不是为某一数列的其中一项，那么关键是要看是不是存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 例2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么那个数列是不是必然是等差数列？假设是，首项与公不同离是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问那个数列是不是必然是等差数列？假设是，首项与公不同离是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. 例3. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ； ⑶已知112a =，627a =，求d ； ⑷已知d ＝－13，78a =，求1a◆ 动手试试练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.练3.三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数. 三、学习小结1. 等差数列概念： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式n a =1(1)a n d +-(n ≥1). ◆知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些距离均匀的孤立点.2. 假设三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 假设四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，那么它的第5项是（ ）.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，那么∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .。
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天津市第二南开中学2014高中数学 数列求和导学案 新人教A 版必
修5
常用公式：
（1）等差数列的前n 项和：
（2）等比数列的前n 项和：
（3）常用结论：
1+2+3+⋅⋅⋅+n=
=+⋅⋅⋅+++2222321n
=+⋅⋅⋅+++3333321n
1．倒序相加法：等差数列前n 项和公式的推导方法：
（1）)(211121n n n n n n
n a a n S
a a a S a a a S +=⇒⎩⎨⎧+++=+++=-
例1．求和：222222222
222110108339221011++++++++
2．分组法求和
例2求数列 161
4,813,412,211的前n 项和；
练习2．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .
3.裂项相消法
例3求和 ...1)(2n 1)-2n 1
(751)
531
311
，（+⨯++⨯+⨯+⨯
练习3
（1）求和：n
++++++++++ 211
32112111
（1）求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11
,,321
,211
n n 的前n 项和.
4.错位相减法
例4．求和：)0()12(5332≠-++++x x n x x x n
练习4.
...2
1)12(...815413211，，，，，n n ⨯-⨯⨯⨯
小结：
对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差
数列，{}n b 为等比数列，均用此法.
错位相减法的步骤是： ①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；
②将两个等式错一位相减；
③利用等比数列的前n 项和公式求和.
◆ 当堂检测 1.数列{}
n a 的通项公式是n a =
，若前n 项和为10，则项数n 为（ ） A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
2.求：.16
16814412 项的和前数列：
n +++
3.已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，
（ n N *∈）
（1）求T n ；
（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。