浙江省杭州师范大学附属中学高二数学下学期期中考试题理(新疆部)
浙江省杭州市高二下学期阶段性测试(期中)数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数，为的导函数，则的值为（ ） ()ln f x x x =()f x '()f x (1)f 'A ．B ．1C ．D ．013ln 3【答案】B【分析】求出函数的导函数，代入计算即可.【详解】因为，所以，所以. ()ln f x x x =()ln 1f x x '=+()1ln111f '=+=故选：B2．计算的值是（ ） 3477A C +A ．70 B ．245 C ．1050 D ．1680【答案】B【分析】由排列数，组合数定义可得答案.【详解】.()()347777765476524573744A C 24！！！！！⨯⨯⨯=+=⨯⨯+=-+-故选：B3．函数的大致图象为（ ）()22ln 41x x x f x =+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符()f x ()f x ()0,1号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()22ln 41x x x f x =+()(),00,-∞⋃+∞且，，所以，函数为偶函数， ()2ln 22x x x f x -=+()()()22ln ln 2222x x x x x x f x f x ----===++()f x 排除BC 选项；当时，，则，排除D 选项.01x <<ln 0x <()2ln 2ln 02222x x x x x xf x --==<++故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（ ） C 22230x x y -+-=l y 1l C A ． B ． C ． D ．以上都有可能012【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可． 【详解】解：直线在轴上的截距为， l y 1直线过定点， ∴l ()01，，220201320-⨯+-=-< 点在圆内， ∴()01，直线与的交点个数为个．∴l C 2故选：．C 5．由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，22221y x a b-=0a >）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则0b>30x +=该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22197y x -=22179y x -=2213y x -=2216349y x -=【答案】A【分析】， 3b =又下焦点到下顶点的距离为1，得到 关系，结合解出 即可.a c 、222c ab =+ab 、【详解】因为双曲线的渐近线方程为，22221yx a b-=0ax by ±+=又双曲线的一条渐近线为，所以30x =a b -= ，又下焦点到下顶点的距离为1， 3b =所以，结合解得，， 1c a -=222c a b =+29a =27b =故选：A ．6．第十九届亚运会在杭州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（ ） A ．25 B ．100 C ．150 D ．300【答案】C【分析】根据题意先考虑工作的分组情况，再利用部分平均分组的方法计算即可. 【详解】由题意可得该5项工作可以分为1、1、3三组或1、2、2三组两种情况，对于1、1、3三组，有种分法；对于1、2、2三组，有分法；故将五31152122C C C 10A ⋅⋅=22153122C C C 15A ⋅⋅=项工作分成三组有10+15=25种分法，安排到3人有种安排方式.3325A 150⨯=故选：C7．已知是数列的前n 项和，，，当数列n S {}n a 3273S =()()*1194N n n na n a n +--=∈的前n 项和取得最大值时，n 的值为（ ）{}()*12N n n n a a a n ++∈A ．30 B ．31 C ．32 D ．33【答案】C【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并122n n n a a a ++=+{}n a 判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n 项和取得最大值时n 的值.{}()*12N n n n a a a n ++∈【详解】①，则②， ()1194n n na n a +=-+()12194n n n a na +++=+②－①得：，即， ()()12111n n n n n a na na n a ++++-=--122n n n a a a ++=+则数列为等差数列，且，{}n a 194a =由得：，则公差，123273a a a ++=291a =2d a =13a -=-所以，数列单调递减，而，，，......， 973n a n =-{}n a 321a =332a =-345a =-设，当时，，且，， n n b a =12n n a a ++30n ≤0n b >318b =-3210b =当时，恒成立，显然，， 33n ≥0n b <31322b b +=3132330b b b ++=即数列的前32项和最大.{}()*12N n n n a a a n ++∈故选：C8．设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线()e xf x x =--1l ()32cosg x ax x =+，使得，则实数的取值范围是（ ）2l 12l l ⊥a A ．B ．C ．D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系()e 1m f m '=--()32sin g n a n '=-及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. ()f m '()g n '【详解】由，则的切线斜率为， ()e 1x f x '=--x m =()e 11m f m '=--<-由，则的切线斜率为， ()32sin g x a x '=-x n =()32sin g n a n '=-而两曲线上总存在切线、有，即， 1l 2l 12l l ⊥1(0,1)e 132sin m a n =∈-+而，即，故，sin [1,1]n ∈-32sin [32,32]a n a a -∈-+[32,3](0)2,1a a -+⊆所以，解得，即.320321a a -≤⎧⎨+≥⎩1233a -≤≤12,33a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A 表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B 表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A ． B ． 2()3P A =3()5P B =C ．D ． ()25P B A =()45P B A =【答案】AD【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A 正确；14162()3C P A C ==， ()()()24465256P AB P B A P A ⨯===由全概率公式可知：3242()()()564536P B P AB P AB =+=⨯+⨯=所以BC 错误，D 正确. 故选：AD10．下列说法正确的是（ ）A ．若数列是等差数列，且，则{}n a ()*,,,m n s t a a a a m n s t +=+∈N m n s t +=+B ．若是等差数列的前项和，则成等差数列 n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --C ．若是等比数列的前项和，则成等比数列n S {}n a n 232,,n n n n n S S S S S --D ．若是等比数列的前项和，且（其中是非零常数，），则n S {}n a n nn S Aq B =+,A B *n ∈N A B+为零 【答案】BD【分析】根据题意，由等差数列的通项与求和公式，以及等比数列的通项与求和公式，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，取数列为常数列，对任意的，都有，故错误； {}n a *,,,m n s t ∈N m n s t a a a a +=+对于B ，设等差数列的首项为，公差为，则， {}n a 1a d 12n n S a a a =+++2212212n n n n n n n S S a a a a nd a nd a nd S n d ++-=+++=++++++=+ 同理，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-=+++=++++=-+ 所以，所以成等差数列，故正确；()()2322n n n n n S S S S S -=+-232,,n n n n n S S S S S --对于C ，设，则，，所以此数列不是等比数列，故错误；()1nn a =-20S =42640,0S S S S -=-=对于D ，因为，()()()11111n n n n n n n n a S S Aq B Aq B Aq Aq A q q ----=-=+-+=-=-⨯所以此数列为首项是，公比为的等比数列，则，()1A q -q ()()111n n A q q S q--=-所以，所以，故正确.nn S Aq A =-0A B +=故选:BD11．如图，已知ABC 是边长为4的等边三角形，DE ，分别是ABAC ，的中点，将ADE 沿着DE 翻折，使点A 到点P 处，得到四棱锥P −BCED ，则（ ）A ．翻折过程中，直线BC 始终与平面PDE 平行B ．存在某个点P 位置，满足平面PDE ⊥平面PBC C ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3D ．当 PB =52π3【答案】ACD【分析】A 选项，通过说明可判断选项正误；B 选项，如图建立以DE 中点F 为原点的空BC DE ∥间直角坐标系，利用平面PDE 法向量与平面PBC 法向量互相垂直可判断选项正误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，计算体积即可判断选项正误；D 选项，结合B 选项分析与P 坐标，后算出四边形DBCE 外接圆圆心坐标，球心坐标，即可得相应球表PB =面积.【详解】A 选项，注意到在翻折过程中，始终有又平面PDE ，平面PDE ，,BC DE A BC ⊄DE ⊂则BC 始终与平面PDE 平行，故A 正确；B 选项，取DE 中点为F ，BC 中点为G ，连接AF ，PF ，FG .如图建立以F 为原点，AF 所在直线为y 轴，FD 所在直线为x 轴，过P 点且与平面DBCE 垂直直线为z 轴建立空间直角坐标系. 由题可得P 点在yOz 平面上，设，则FA FP==PFy θ∠=，由题.()P θθ()0,πθ∈则. ()()()()100220100,,,,,,,,D B CE --,()()11,cos ,si n ，,cos ,si n PD θθPE θθ==-.()()22,cos ,si n ，,cos ,si n PB θθPC θθ=-=--设平面PDE 法向量为，()1111,,nx y z =则，取. 1111111100n PD x y z n PE x y z θθθθ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩()101,t an ,n θ=- 设平面PBC 法向量为，()2222,,n x yz =则，))222222222020n PB x y z n PC x y z θθθθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取.因平面PDE ⊥平面PBC ， 2011si n ,,cos θn θ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则不存在，则不存在相应的P 点，使PDE ⊥平面PBC ，故12101si n t an cos cos θθn n θθ⋅=+=⇒-B 错误；C 选项，易知当平面PDE ⊥平面DBCE 时，四棱锥体积最大，此时为底面对应高， PF 则，其中13P DBCE V S PF -=⋅⋅()()112422S DE BC FG=+⋅=⨯+⨯=PF 则，故C 正确.3P DBCE V -=D 选项，因，，则可得.PB =()2,cos ,si n PB θθ=-π2θ=.设四边形DBCE 外接圆圆心坐标为，由题知其在y 轴上，(P ()1333,,O x y z则.因，则，()1300,,O y 11O D O B=(2233314y y y +=+-⇒=.则外接球球心O 在过且与平面DBCE 垂直的直线上，设为.()100,O 1O ()0,O t 又，则. PO PB =)2224tt t +-=+⇒=0,O ⎛ ⎝则外接球半径为：.故外接球表面积为.PO ==3952493ππ⨯=故D 正确. 故选：ACD12．已知数列的前n 项和为，，且（，2，…），则（ ） {}n a n S 11a =1143n n n n a a a a ++⋅=-1n =A ． B ． C ． D ． 13n n a a +<51241a =1ln 1n n a ⎛⎫<+⎪⎝⎭17114n S ≤<【答案】ABD【分析】对于A 选项，只需判断；对于B 选项，通过通项公式可求得；对于C 选项，将0n a >5a 条件转化为，举出反例即可判断；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，即可判132e n n +-<断.【详解】由条件，两边同时除以，得， 1143n n n n a a a a ++⋅=-1n n a a +⋅1134n na a +=-∴，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭1123a +=3∴，∴， 11112323n n n a a -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭132n n a =-对于A 选项，∵，∴， 1032n na =>-11430n n n n a a a a ++⋅=->∴，故A 选项正确； 13n n a a +<对于B ，，所以B 选项正确； 551132241a ==-对于C 选项，，等价于， 132n na =-1ln ln(32)1nn n a ⎛⎫=-<+ ⎪⎝⎭132e n n +-<因为， 55532341172.10368 2.8e -=>=>所以当时，，故C 选项错误； 5n =132e n n +->对于D 选项，，2211112223273313133n n n n n n a n -==≤=≥-⋅⎛⎫⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎪⎝⎭（）∴1012111111131311111737373714313n n n n S ----⎛⎫≤++++=+⋅=+- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭- ， 1173114143n -=-⋅1714<又，∴，∴，故D 选项正确. 1032n n a =>-11n S S ≥=17114nS ≤<故选：ABD.【点睛】关键点点睛：由，得，是解决本题得关键. 1143n n n n a a a a ++⋅=-111232n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭三、填空题13．二项式的展开式的常数项等于_____________．6x ⎛⎝【答案】15【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.x 0r 【详解】二项式的展开式的通项公式为：，6x ⎛ ⎝()36216C 1r r r r T x -+=-令，求得，3602r -=4r =所以展开式的常数项为.()446C 115-=故答案为：1514．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()26,N σ()0σ>()30.8P X >=()39P X <<=______． 【答案】0.6【分析】根据概率之和为1，求得，再利用正态曲线的对称性得，即()3P X ≤()()93P X P X ≥=≤可求得答案.【详解】解：因为，所以， ()30.8P X >=()310.80.2P X ≤=-=因为随机变量服从正态分布，X ()26,N σ()0σ>所以， ()()930.2P X P X ≥=≤=所以. ()3910.20.20.6P X <<=--=故答案为：0.6.15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则65，区域涂同色的概率为_____________．A C【答案】413【分析】利用分步乘法计数原理求出所有的涂色种数，再求出，区域涂同色情况，最后利用古A C 典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意分4步进行分析： ①，对于区域，有6种颜色可选；A ②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；B A ③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；D A B ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选， CE A C E 若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选， A C C E 则区域、有种选择， C E 43313+⨯=综上可得不同的涂色方案有种. 654131560⨯⨯⨯=其中与颜色相同的有种， A C 6544480⨯⨯⨯=所以，区域涂同色的概率. A C 4804156013P ==故答案为：41316．已知不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.11ln a x a x e x x-+≥()0,1x ∈a 【答案】e -【分析】先将不等式变形为，11ln a xe x xx a -≥-11ln ln x x a a x e e x -≥-再构造函数，利用函数单调性可得，，再分离参数转化为()()ln 0f x x x x =->1a x e x ≥，然后求出函数的最小值，即解出． ()101ln a x x x≥<<()()()ln 0,1h x x x x =∈【详解】由题意，不等式可变形为， 11ln a xe x xx a -≥-得对任意恒成立.11ln ln x x a a x e e x -≥-()0,1x ∈设，()ln f x x x =-则对任意恒成立，，1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()0,1x ∈()111x f x x x -'=-=当时，，所以函数在上单调递减， 01x <<()0f x '<()f x ()0,1当时，，所以函数在上单调递增. 1x >()0f x ¢>()f x ()1,+∞当时，，因为求实数的最小值，()0,1x ∈1x e e >a 所以考虑的情况，此时， a<01a x >因为函数在上单调递增，()f x ()1,+∞所以要使，只需，()1ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a x e x ≥两边取对数，得上， 1ln a x x≥由于，所以. ()0,1x ∈1ln a x x≥令，则，()()()ln 0,1h x x x x =∈()ln 1h x x '=+令，得，()0h x '=1=x e易得在上单调递减，在上单调递增，()h x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，所以，所以， ()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()max1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭a e ≥-所以实数的最小值为. a e -故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.四、解答题17．已知平面向量，，函数．()sin a x x = ()2sin ,sin b x x = ()1f x a b =⋅+(1)求的单调增区间．()f x (2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，，求△ABC 周长的取()4f A =2a =值范围．【答案】(1)πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2) (]4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）()212sin cos 11cos 221f x a b x x x x x =⋅+=++=-+= π2sin(226x -+， 所以令，解得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Îππππ,Z 63k x k k -+££+Î所以函数的单调递增区间为;πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）因为，即，解得，即，()4f A =π2sin(2)246A -+=ππ22π,Z 62A k k -=+∈ππ,Z 3A k k =+∈因为A 为三角形的内角，所以，π3A =又因为，所以，即即，解得2a =2241cos 22b c A bc +-==224,b c bc +-=22()()4334b c b c bc ++-=≤，4b c +≤又因为a ，b ，c 是的边，所以，故△ABC 周长. ABC A 2b c +>46ABC C a b c <=++≤A 所以周长的取值范围是.ABC A (]4,618．如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平11ABC A B C -ABC A 11AAC C 1A 面的射影为线段的中点，过点，，的平面与棱交于点．ABC AC D 1B B D α11A C E(1)证明：四边形是矩形；1BB ED (2)求平面和平面夹角的余弦值． 1ABB 1BB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）先根据线面平行的判定定理，性质定理证出四边形是平行四边形，再由条件1BB ED 可证得平面，于是，从而四边形是矩形；BD ⊥11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴､轴､轴，DB AC 1A D DB AC 1A D x y z 建立如图所示的空间直角坐标系，再分别求出平面，平面的一个法向量，然D xyz -1DBB E 11ABB A 后根据二面角的向量公式即可求出． 【详解】（1）连接，，1B E DE 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以， 111ABC A B C -11A ABB 11//B B A A 因为平面，平面，所以平面， 1B B ⊄11A ACC 1A A ⊂11A ACC 1//B B 11A ACC 因为平面，且平面平面，所以， 1B B ⊂1BB D 1BB D ⋂11A ACC DE =1//B B DE 因此，1//A A DE 因为点是的中点，所以为中点，所以， D AC E 11A C 1B B DE =所以四边形为平行四边形，1BB ED 在正中，因为是的中点，所以，ABC A D AC BD AC ⊥由题可知平面，平面，所以，， 1A D ⊥ABC ,BD AC ⊂ABC 1A D BD ⊥1A D AC ⊥因为，平面，所以平面，1AC A D D ⋂=1,AC A D ⊂11ACC A BD ⊥11ACC A又平面，所以，故四边形为矩形. DE ⊂11ACC A BD DE ⊥1BB ED （2）由（1）知，，两两垂直，DB AC 1A D 以，，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. DB AC 1A D x y z D xyz -设，则1AD =BD =在中，，，所以. 1AA D △12AA AD =190ADA ∠=︒1A D =于是，，，，()0,0,0D ()0,1,0A -(1A )B，，.)AB =)DB =(11AA BB ==设平面的法向量为，1DBB E (),,m a b c =由，得，取.100m BB m DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩b ⎧=⎪=()1m =- 设平面的法向量为， 11ABB A (),,n x y z =由，得，取. 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y ⎧=⎪+=()1,n = 设平面和平面夹角为，1ABB 1BB E θ则cos cos ,m θ==故平面和平面. 1ABB 1BB E19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）的分布列为ξξ0 1 2 3P 1327321532932的数学期望ξ2E ξ=【详解】试题分析：对于问题（I ）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于p 问题（II ），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取ξξ各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．ξ试题解析：（I ）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.A B 由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为. 221(1())(1)16P B p -=-=34p =5434（II ）由题设知（I ）知，，，， 1()2P A =1()2P A =3()4P B =1()4P B =可能取值为ξ0,1,2,3故，2111(0)()((2432P P A P B B ξ==⋅=⨯=， 12(1)()()()(()P P A P B B C P B P B P A ξ==⋅+⋅⋅2113117(22444232=⨯+⨯⨯⨯=2139(3)()()()2432P P A P B B ξ==⋅=⨯= 15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==的分布列为 ξξ0 1 23P 132 7321532932171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．已知函数，对任意，都有．()f x x ∈R ()()12023f x f x +-=(1)求的值．12f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)数列满足：，求数列前项和． {}n a ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 122023n n a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S (3)若，证明： 22212111n n T a a a =+++ 242023n T <【答案】(1)20232(2)12n n S n +=⨯(3)证明见解析【分析】（1）依题意令，即可得解； 12x =（2）令可得，再利用倒序相加法得到，从而得到1x n=112023n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()202312n n a +=，最后利用错位相减法计算可得； ()12122023n n n a n +⋅=+⨯（3）利用放缩法得到，利用裂项相消法计算可得.()2222111202312023414na n n n ⎛⎫=<⨯- ⎪+⎝⎭+【详解】（1）因为对任意，都有， x ∈R ()()12023f x f x +-=令，所以，所以.12x =111202322f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1202322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）因为， ()()12023f x f x +-=令，则， 1x n=111112023n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①， ()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又②， ()()122110n n n a f f f f f f n n n n--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加得：，11222[(0)(1)][(([()()][(1)(0)]2023(1)n n n a f f f f f f f f n n n n n--=++++++⋯++=+所以．()202312n n a +=， ∴()()11202312212202322023n n n n n a n +++⋅=⨯=+⨯所以③，22232(1)2n n S n =⨯+⨯+++⨯ ④，23122232(1)2n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ③④可得，-212222(1)2n n n S n +-=⨯+++-+⨯，()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-所以；12n n S n +=⨯（3）由（2）可知，()202312n n a +=所以， ()()()222222211111202320144423202312023114na n n n n n n ⎛⎫==⨯<⨯=⨯- ⎪++⎝⎭++所以 22212111n nT a a a =+++()()()22222211120232023202311214144n =⨯+⨯++⨯+++ 222211111111202312202323202334244440231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 221120231420243n ⎛⎫=⨯-< ⎪+⎝⎭所以. 242023n T <21．已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点．22184x y +=1F 2F l 2F A B (1)若直线垂直于轴，求；l x ||AB (2)当时，在轴上方时，求、的坐标；190F AB ∠=︒A x A B (3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求1AF y M 1BF y N l 11F AB F MN S S =A A出直线的方程；若不存在，请说明理由． l 【答案】(1)(2)，()0,2A 82,33B ⎛⎫-⎪⎝⎭(3)存在，或20x -=20x -=【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求；A B ||AB （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒1x 1y A 上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求1x 1y A AB 得的坐标；B （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y :2l x my =+合，得，再由直线的方程：，得纵坐标11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-1AF 11(2)2y y x x =++M，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的13122y y x =+1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+关系，得，解得值，从而得到直线方程． 22244416422m mm m m --+⋅+=++m 【详解】（1）解：依题意，，当轴时，将代入，解得2(2,0)F AB x ⊥2x =22184x y +=y =则，，所以(A (2,B ||AB =（2）解：设，，，， 11(,)A x y 11290(90)F AB F AF ∠=︒∠=︒ 1(2,0)F -2(2,0)F 所以，111(2,)AF x y =---211(2,)AF x y =-+-，∴22121140AF AF x y ⋅=-+=又在椭圆上，满足，即，A 2211184x y +=22114(18x y =-，解得，即．∴221144(108x x -+-=10x =(0,2)A 所以直线，:2AB y x =-+联立，解得或，所以； 222184y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩8323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩02x y =⎧⎨=⎩82,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设，，，， 11(,)A x y 22(,)B x y 3(0,)M y 4(0,)N y 直线，:2l x my =+则，11212121||||2||2F AB S F F y y y y =⋅-=-A ． 1134341||||||2F MN S F O y y y y =⋅-=-A 联立，得．222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)440m y my ++-=则，．12242m y y m +=-+12242y y m -=+由直线的方程：，得纵坐标； 1AF 11(2)2y y x x =++M 13122y y x =+由直线的方程：，得的纵坐标． 1BF 22(2)2y y x x =++N 24222y y x =+若，即，11F AB F MN S S =A A 12342||||y y y y -=-， 121212341212121222228()||||||||2||2244(4)(4)y y y y y y y y y y x x my my my my --=-=-==-++++++，，12|(4)(4)|4my my ∴++=21212|4()16|4m y y m y y +++=代入根与系数的关系，得，解得 22244416422m mm m m --+⋅+=++m =存在直线或满足题意．∴20x -=20x -=【点睛】方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； 12S AB d =⋅AB d AB （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半.22．已知函数，.()xe f x x =()tan g x x =(1)讨论的单调性；()f x (2)设函数，试判断在内的零点个数.()()()F x f x g x =-()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)在区间，上单调递减，在区间上单调递增 (,0)-∞(0,1)(1,)+∞(2)零点个数为2【分析】（1）利用导数求解单调区间即可.（2）首先将题意转化为根的个数，设，再分类讨论与sin cos 0x e x x x -=()sin cos x h x e x x x =-()h x 轴的交点个数即可.x 【详解】（1）函数的定义域为，， ()x e f x x ={}0x x ≠22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==令，得.()0 f x '=1x =当时，；当时，； (,0)x ∈-∞()0f x '<(0,1)x ∈()0f x '<当时，，(1,)x ∈+∞()0f x '>所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增.()f x (,0)-∞(0,1)(1,)+∞（2）令，得.()()()tan 0xF x f x g x xe x =-=-=sin cos 0x e x x x -=设，所以.()sin cos x h x e x x x =-()()()1sin cos x xh x x x x e e '=++-①当时，可知，则，所以，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0x e x >>x e x >e 0x x -<又，，所以，sin 0x <cos 0x >()0h x '<从而在上单调递减，()sin cos x h x e x x x =-,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭又，，(0)1h =-022h ππ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭由零点存在定理及的单调性，得在上有一个零点.()h x ()h x ,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭②当时，，0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦cos sin 0x x ≥>由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，()xe f x x=(0,1)(1,)+∞所以时，函数，则.0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()(1)1xf x f x e e =>=>0x e x >>所以，则恒成立.cos sin x e x x x >()sin cos 0x h e x x x x =-<所以在上无零点.()h x 0,4π⎛⎤⎥⎝⎦③当时，，，,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0x x >>()(sin cos )(cos sin )0x h x x x e x x x '=-++>则在上单调递增.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭又，， 022h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭440444e h e πππππ⎫⎛⎫==-<⎪ ⎪⎝⎭⎭所以在上存在一个零点.()h x ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭综上，在内零点个数为2，()h x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即在内的零点个数为2.()F x ,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
浙江省杭州师范大学附属中学10-11学年高二下学期期中考试数学理试题
杭师大附中2010学年第二学期期中考试高二数学试卷（理)Ⅰ.单项选择题：（共10小题,每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．5)2x 1(+的展开式中2x 的系数为（ ）A ．10B ．5C ．25D ．12．用反证法证明“如果b a >,那么33b a >”假设的内容应是（) A ．33b a =B ．33b a <C ．33b a =且 33b a < D ．33b a = 或33ba <3.用数学归纳法证明：)1n ,N n (,n 12131211n>∈<-+⋅⋅⋅++++,第一步即证下述哪个不等式成立( ）A ．21<B ．2211<+ C ．231211<++ D ． 2311<+4．已知ni m i n m ni im+-=+则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为 ( )A ．1B ．2C ．iD ．2i5.设443322104x a x a x a x a a )3x 2(++++=+，则2312420)a a ()a a a (+-++的值为（）A ．2B ．-2 C.1 D 。
-16．5人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法数是 （ )A ．24B ． 36C ．48D ． 607.极坐标方程52sin42=θ⋅ρ表示的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆 C.双曲线的一支 D. 抛物线8。
若自然数n 使得作竖式加法)2n ()1n (n ++++均不产生进位现象,则称n 为”可连数".例如：32是"可连数”,因32+33+34不产生进位现象；23不是”可连数”,因23+24+25产生进位现象.那么小于1000的”可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36 C.39 D 。
489．已知函数x 2ax21)x (g ,x ln )x (f 2+==，若)x (g )x (f )x (h -=存在单调减区间,则实数a 的取值范围是（ )A ．),0()0,1(+∞-B ．（0，1)C ．(-1,0） D.),0()1,(+∞--∞ 10.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为))1,0(c ,b ,a (c ∈，已知他投篮一次得分的均值为2，则b 31a2+的最小值为（ )A ．332B ．328C ．314D ．316Ⅱ.填空题：（本大题共6小题，每小题4分,共24分）．11．在复平面内,若i 6)i 4(m )i 1(m Z 2-+-+=所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是___________. 12．已知随机变量)p ,n (B ~ξ,9)12(D ,3E =+ξ=ξ,则p,n 的值分别为_____________. 13． 函数)0m (1mx x )x (f 23≠++-=在（0，2）内的极大值为最大值，则m 的取值范围是______________。
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题2【含答案】
2022-2023学年浙江省杭州市高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x y x ==-，{}23B x x =<，则A B = （）A ．1]-∞（，B ．0,3⎡⎤⎣⎦C ．(3,1⎤-⎦D ．)1,3⎡⎣【答案】C【分析】先化简集合,A B ，利用集合的交集运算即可求解【详解】因为{}{}11A x y x x x ==-=≤，{}{}2333B x x x x =<=-<<，所以{}31A B x x ⋂=-<≤，即(3,1A B -⋂=⎤⎦，故选：C2．设复数z 满足1i 1i ()z -=+，则||i z -在复平面内对应的点在第几象限（）A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】利用复数除法运算求得||i z -，进而判断其对应点所在象限.【详解】由()1i (1i)1i 2ii 1i (1i)(1i)2z +++====--+，故||i=1i z --在复平面内对应的点为()1,1-.所以z 在对应点在第四象限.故选：D.3．已知非零向量,a b 满足||2||a b =，且()-⊥a b b r r r ，则a 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π6C ．5π6D ．2π3【答案】A【分析】设向量a ，b 的夹角为θ，根据a b b →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭得到2||||cos ||a b b θ⋅⋅= ，联立||2||a b =，得解.【详解】解：设向量a ，b的夹角为θ，()a b b -⊥，()0∴-⋅=a b b ，即2()a b b ⋅= ，所以2||||cos ||a b b θ⋅⋅=①，a，b为非零向量，且满足||2||a b =②，∴联立①②可得1cos 2θ=，[0,π]θ∈ ，所以两向量的夹角为π3.故选：A4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2a ，53a ，89a 成等差数列，则63S S =（）A ．13B ．43C ．3D ．4【答案】B【分析】先利用2a ，53a ，89a 成等差数列解出3q ，再利用求和公式化简求值即可.【详解】设等比数列公比为q ，由2a ，53a ，89a 成等差数列可得，47111239a q a q a q ⨯⋅=⋅+⋅，化简得639610q q -+=，解得313q =，()()61363311411311a q S q q S a q q--==+=--.故选：B.5．若函数sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,m 上单调递增，则m 的最大值为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.【详解】由sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得当22,262k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈时函数单调递增，即122,2,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，12,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又函数在[]0,m ，所以203m <≤，即m 的最大值为23，故选：C.6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务，每个志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲去羽毛球场，则不同的安排方法共有（）A ．96种B ．60种C ．36种D ．24种【答案】B【分析】分类讨论优先安排羽毛球场志愿者，再用全排列和分组分配法求解即可.【详解】羽毛球场安排两个志愿者：44A 24=种，羽毛球场安排一个志愿者：2343C A 36=种，不同的安排方法共有60种.故选:B.7．已知拋物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，AB l ⊥于点B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（）A ．163B ．833C ．1633D ．83【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知||||AF AB =，可推出2π3FAB ∠=，从而求得π6BFD ∠=，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线2:8C y x =准线2x =-与x 轴交点为D ，焦点(2,0)F，由于点A 在C 上，AB l ⊥，故||||AF AB =,因为2π3FAB ∠=，所以π6ABF ∠=，而AB ∥x 轴，所以π6BFD ∠=,而||4DF =,所以483||π3cos6BF ==，故选：B 8．已知4ln 4a a -=，3ln 3b b -=，2ln 2cc -=，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c<<D ．a c b<<【答案】C【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln 3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1f x x >'>，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C二、多选题9．已知m ，n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列结论正确的为（）A ．若//,m n αα⊂，则//m nB ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊥∥，则m n⊥【答案】BD【分析】利用空间线面关系的判定与性质定理逐项判断即可求解.【详解】对于A ，若//,m n αα⊂，则//m n 或m 与n 异面，故A 错误；对于B ，由,m n m α⊥⊥，得//n α或n ⊂α，不论是//n α还是n ⊂α，都可结合n β⊥，得到αβ⊥，故B 正确；对于C ，若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m 与n 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若//,,m αβα⊥则m β⊥，又//n β，所以m n ⊥，故D 正确；故选：BD.10．已知圆22:410M x y x ++-=，点(,)P a b 是圆M 上的动点，则（）A ．圆M 关于直线320x y ++=对称B ．直线0x y +=与圆M 相交所得弦长为3C ．3b a -的最大值为12D ．22a b +的最小值为52-【答案】AC【分析】验证圆心是否过直线判断A ，求出相交弦长判断B ，把3bt a =-变以(3)b t a =-代入圆方程，利用判别式不小于0判断C ，利用原点到圆心的距离求得22xy +最小值判断D ．【详解】圆M 标准方程是22(2)5x y ++=，(2,0)M -，半径为5r =，易得M 点在直线320x y ++=上，A 正确；点M 到直线0x y +=的距离为222d ==，弦长为222222(5)(2)23l r d =-=-=，B 错；由3bt a =-得(3)b t a =-代入圆的方程整理得2222(1)(64)910t a t a t +--+-=，22222(64)4(1)(91)80200t t t t ∆=--+-=-+≥，1122t -≤≤，所以t 的最大值是12，C 正确；2OM =，min 52OP =-，所以22a b +的最小值是2min ()945OP =-，D 错误．故选：AC ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题关键，圆的弦长一般用几何法求解，即求出圆心到直线的距离后用勾股定理计算．求分式型，平方型式子的最值，可以利用几何意义求解，如分式型可以用直线斜率，平方型利用两点间距离求解．11．已知函数()3234f x x x =-+，则（）A ．()f x 的极小值为2B ．()f x 有两个零点C ．点()1,2是曲线()y f x =的对称中心D ．直线35y x =-+是曲线()y f x =的切线【答案】BCD【分析】利用导数研究函数()3234f x x x =-+的单调性、极值点、极值以及零点判断A 、B ，根据函数关于点对称的充要条件判断C ，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D.【详解】()3234f x x x =-+ ，()236f x x x '∴=-，令()0f x '=，解得：0x =或2x =，(),0x ∴∈-∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；()f x \的极小值为：()32223240f =-⨯+=，()f x 的极大值为：()32003044f =-⨯+=，∴()f x 有两个零点，()f x 的极小值为4，故A 错误、B 正确；对C ，若点()1,2是曲线()y f x =的对称中心，则有()()24f x f x +-=，将函数()3234f x x x =-+代入上式验证得：()()32323423244x x x x ⎡⎤-++---+=⎣⎦，故C 正确；对于D ，2363k x x =-=-，解得：1x =，当1x =时，()12f =，∴切线方程为：23(1)y x -=--，即35y x =-+，故D 正确.故选：BCD.12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n na n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（）A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n=-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n-⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n nT a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错故选：AC三、填空题13．61()2x x -展开式中的常数项为__________．【答案】1516【详解】366216611()()22r r rrr r r T C x C x x--+=-=-，令3602r -=，得4r =，∴常数项为446115()216C -=．14．圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为5003π的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______【答案】96π【分析】由球体积求得球半径，再由球的截面性质求得圆柱的高，从而得圆柱体积．【详解】球的半径为R ，3450033R ππ=，解得5R =，圆柱的高为：221086-=．可得16696V ππ=⋅=．故答案为：96π．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，*3N ,n n S S ∀∈≥，则65a a 的取值范围为___________.【答案】3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据等差数列的性质可得公差0d >，由*3N ,n n S S ∀∈≥可得3234S S S S ≤⎧⎨≤⎩，从而可得132a d--≤≤，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得65a a 的取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，由于*3N ,n n S S ∀∈≥，所以0d >，且3211134111332233463S S a d a d a d S S a d a d a d ≤+≤+≤-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨≤+≤+≥-⎩⎩⎩，即132ad --≤≤，则16111515511444a a a d d a a a a d d d++===++++，由132a d --≤≤得[]141,2a d +∈，故1131,224a d⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+，即65a a 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．若对任意正实数x ，y 都有2(ln ln )0e x y y x y m ⎛⎫---≤ ⎪⎝⎭，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(0,1].【分析】运用分离参数求最值，即将原不等式化为e(2e )(ln )x x y y m-≤，再构造函数()(2e )ln h t t t=-（0t >），求其最大值，进而求得结果.【详解】由于x 为正实数，对不等式两边同时除以x 变形可得：21()(ln )0e y x yx y mx--≤，化简得：1(2)(ln )e x x y y m-≤，即：e (2e )(ln )x x y y m -≤，令x t y =（0t >），则对任意的0t >，e(2e )ln t t m-≤，所以max e[(2e )ln ]t t m-≤，设()(2e )ln h t t t =-，0t >，则2e()ln 1h t t t'=-+-，所以212e()0h t t t''=--<，所以()h t '在(0,)+∞上单调递减，又因为2e(e)ln e 10eh '=-+-=，所以()00e h t t '>⇒<<，()0e h t t '<⇒>，所以()h t 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，所以max ()(e)e h t h ==，所以ee m≤，解得：01m <≤，即：m 的取值范围为(0,1].故答案为：(0,1].四、解答题17．已知a 、b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数(){}()max 1,2f x x x x =+-∈R .(1)写出()f x 的解析式，并求出()f x 的最小值；(2)若函数()()2g x x kf x =-在(],1-∞-上是单调函数，求k 的取值范围.【答案】(1)()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，()f x 的最小值为32(2)(],2-∞【分析】（1）作差221263x x x +--=-，可得出1x +与2x -的大小关系，进而可化简得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的单调性，可求得函数()f x 的最小值；（2）化简函数()g x 在(],1-∞-上的解析式，分析可知函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，可得出关于实数k 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：因为221263x x x +--=-，当12x ≥时，2212630x x x +--=-≥，则(){}max 1,211f x x x x x =+-=+=+；当12x <时，2212630x x x +--=-<，则(){}max 1,222f x x x x x =+-=-=-.所以，()12,211,2x x f x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩，故函数()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以，函数()f x 的最小值为1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）解：当1x ≤-时，()2f x x =-，则()()222g x x kf x x kx k =-=+-，因为函数()g x 在(],1-∞-上单调，因为二次函数()g x 的图象开口向上，故函数()g x 在(],1-∞-上只能单调递减，所以，12k -≥-，解得12k-≥-，解得2k ≤，因此，实数k 的取值范围是(],2-∞.18．已知函数()13sin cos cos 212f x x x x =--，x ∈R .(1)求函数()f x 的最小值和最小正周期；(2)已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c =，()0f C =，若向量()1,sin m A =与()2,sin n B =共线，求a ，b 的值.【答案】(1)最小值为2-，最小正周期为π.(2)323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据二倍角公式与辅助角公式化简可得()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而可得最小值与最小正周期；（2）根据()0f C =可得π3C =，再根据向量共线的性质结合正弦定理可得2b a =，进而根据余弦定理求解即可.【详解】（1）()31πsin 2cos 21sin 21226f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.∴()f x 的最小值为2-，最小正周期为π.（2）∵()πsin 2106f C C ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0πC <<，ππ11π2666C -<-<，∴ππ262C -=，∴π3C =.∵m与n 共线，∴sin 2sin 0B A -=.由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，①∵3c =，由余弦定理，得22π92cos3a b ab =+-，②解方程组①②，得323a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.19．在①21,323n n n a n b T =-=+；②222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充下面横线处，并解答下列问题.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，___________.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求n R .【答案】(1)选条件①：故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；(2)选条件①：113n n n R +=-；选条件②：所以111n R n =-+．【分析】（1）选条件①：由323n n b T =+，11323n n b T ++=+可得13n n b b +=，根据等比数列通项公式即可求解n b ；选条件②：由22n n S n a =+，2112(1)n n S n a ++=++，可得1(1)()n n a n a n +-+=--，利用迭代法可求n a ，借助已知条件可得n b ；（2）选条件①：利用错位相减求和法求和后即可证明；选条件②：利用裂项相消求和法求和后即可证明.【详解】（1）选条件①：由323n n b T =+，可得11323n n b T ++=+，两式相减可得11332n n n b b b ++-=，所以13n n b b +=，在323n n b T =+中，令1n =，可得11323b b =+，所以13b =，所以{}n b 是以3为首项，公比为3的等比数列，1333n nn b -=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，数列{}n b 的通项公式为3nn b =；选条件②：由22n n S n a =+，可得2112(1)n n S n a ++=++，两式相减可得()221121n n n a n n a a ++=+-+-，即121n n a a n ++=+，所以1(1)()n n a n a n +-+=--，在22n n S n a =+中，令1n =，可得1121a a =+，所以11a =，所以由[]1(1)n n a n a n --=---，[]12(1)(2)n n a n a n ----=---，L ，212(1)0a a -=--=，所以11(1)(1)0n n a n a --=--=，从而有()n a n n *=∈N ，所以2(1)22n n n a n n S ++==，22(1)n n n b a S n n ==+，故数列{}n a 的通项公式为n a n =，数列{}n b 的通项公式为2(1)n b n n =+；（2）选条件①：由（1）知()2112133nn n n c n -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，123n n R c c c c =+++⋅⋅⋅+，()()23111111135232133333n nn R n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111111352321333333nn n R n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()234121111112213333333n n n R n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211111133112222211333313n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--=- ⎪⎝⎭-，所以113n n n R +=-，即113nnn R +=-；选条件②：由（1）知111(1)1n c n n n n ==-++，所以12311111111112233411n n R c c c c n n n =+++⋅⋅⋅+=-+-+-++-=-++ ．20．如图：已知△PAB 所在的平面与菱形ABCD 所在的平面垂直，且PA ＝PB ＝22AB ，∠ABC ＝60°，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥PA ；（Ⅱ）若F 为线段PD 上的点，且EF 与平面PEC 的夹角为45°,求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）310535.【分析】(I)先根据面面垂直的性质定理证明CE ⊥平面PAB ,再由线面垂直的性质证明CE PA ⊥;（Ⅱ）以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,求出平面EFC 的法向量、平面PBC 的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面EFC 与平面PBC 夹角的余弦值.【详解】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，∵60ABC ∠=∴△ABC 为正三角形，又∵E 为AB 的中点∴CE AB ⊥，∵平面PAB 与平面ABCD 垂直，AB 为平面PAB 与平面ABCD 的交线，∴CE ⊥平面PAB ，又∵PA ⊂平面PAB ∴CE PA⊥（Ⅱ）∵PA PB =，E 为AB 的中点，∴PE AB ⊥，又∵PE CE ⊥，AB CE E ⋂=∴PE ⊥平面ABCD ，以E 为坐标原点，,,EB EC EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示设2AB =，则2PA PB ==，1EP EA EB ===，3EC =，∴()()()()()0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0,1,2,3,0E B C P D -设EF EP k PD =+，其中01k ≤≤，则()2,3,1EF k k k =-- ，∵()1,0,0EB = 为平面PEC 的法向量，∴2cos ,2EF EB =〈〉 ，得12k =，即F 是PD 的中点，∴311,,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =r 为平面EFC 的法向量，则·0{·0n EF n EC ==310{2230x y z y -++==令2z =，得1x =，取()1,0,2n =r ，设()111,,m x y z =r 为平面PBC 的法向量，则·0{·0m PB m PC == 得出11110{30x z y z -=-=令11z =，得1131,3x y ==，取31,,13m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面EFC 与平面PBC 夹角为θ，则·3105cos cos ,35n m n m n m θ=〈〉==.【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知()2,0A -，()2,0B 平面内一动点P 满足34PA PB k k ⋅=-．(1)求P 点运动轨迹C 的轨迹方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，当P 点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，0PM PN k k +=恒成立，试探究直线l的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值，若不是定值请说明理由．【答案】(1)()221043x y y +=≠(2)是定值；12【分析】对于小问1，设点(),P x y ，代入34PA PB k k ⋅=-，整理化简得P 点轨迹方程；对于小问2，设出直线l ：y kx m =+，联立曲线C 的方程，结合韦达定理，代入0PM PN k k +=，整理得到k 和m 的关系，进而判断直线是否过定点．【详解】（1）设(),P x y ，则3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=-+-，所以P 点轨迹方程为：()221043x y y +=≠．（2）显然直线l 不垂直于x 轴，故设l ：y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，代入22143x y +=并整理得：()2223484120k x kmx m +++-=，122212283441234km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∴()()()()1212211212121233332221111PM PNy y x y x y x x y y k kx x x x --+-+-+++=+=----()()()()()()12211212121232321x kx m x kx m x x k x x m x x x x +++-+-+++=-++()()12121212322321kx x m k x x m x x x x ⎛⎫+--+-+ ⎪⎝⎭=-++()2221212412382233423401m km k m k m k k x x x x --⎛⎫+---+ ⎪++⎝⎭==-++，整理得：()()212230k k m -+-=，若2230k m +-=，此时l 过P ，不合题意；若210k -=，即12k =符合题意，故直线l 的斜率为12．22．已知函数()e 2xf x a x -=+-.(1)当=2a 时，求()f x 在[]1,3-上的值域；(2)若()f x 有两个零点12,x x ，且120x x <，证明：02a <<且122ln x x a +>.【答案】(1)[]ln21,2e 3--(2)证明见解析【分析】（1）求出()f x '，则可得()f x 在[]1,3-上的单调性，即可求出其最值，则可得出答案；（2）由()f x 有两个零点12,x x ，易知>0(ln )<0a f a ⎧⎨⎩，由此可得0e a <<，又由120x x <可知()00f <，则可证02a <<；令120x x <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知212ln <<ln a x x a -，结合()f x 在(),ln a -∞上单调递减，则可证()()122ln f x f a x <-，又()()120f x f x ==，即可证()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()=2ln ,>ln g x f x f a x x a --，求出()g x '，易证()0g x '<恒成立，则可得()()ln 0g x g a <=，即得证.【详解】（1）当=2a 时，()2e 2xf x x -=+-，则()e 2ex x f x ='-，当[)1,ln2x ∈-时，()0f x '<，当(]ln2,3x ∈时，()0f x '>，故()min ()ln2ln21f x f ==-，因为()()()3231,12e 33e f f f =+-=->，所以max ()=2e 3f x -，故()f x 在[]1,3-上的值域为[]ln21,2e 3--；（2）证明：因为()e 2xf x a x -=+-，所以()e e x xaf x -'=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在R 上单调递增，不存在两个零点，不满足题意；当0a <时，当(),ln x a ∈-∞时()0f x '<，当()ln +x a ∈∞，时()0f x '>，即()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln +a ∞，上单调递增，要使()f x 有两个零点12,x x ，则需(ln )=ln 1<0f a a -，解得0e a <<，又120x x <，不妨令120x x <<，则()020f a =-<，所以02a <<，要证122ln x x a +>，只需证122ln x a x >-，易知()()12,ln ,ln ,+x a x a ∈-∞∈∞，则212ln <<ln a x x a -，因为当0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，所以要证122ln x a x >-，只需证()()122ln f x f a x <-，因为()()12f x f x =，所以()()122ln f x f a x <-等价于()()222ln 0f x f a x --<，令函数()()()2ln 2ln 22ln e e ,ln x x ag x f x f a x x a a a x a --=--=-+->，则()2ln 2e e2x x ag x a a --=--='()2ln e e x x a a ---+，因为2ln +2ln 2e +e2e =x x ax x a a----≥，当且仅当ln x a =时，等号成立，所以()2ln 2e e 0x x aa ---+<，即()g x 在()ln ,a +∞上单调递减，所以()()ln 0g x g a <=，故()()()1222ln f x f x f a x =<-，则122ln x x a +>.。
杭高第二学期期中考试高二数学试卷(理科).docx
杭高2013学年第二学期期中考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷考试时间为90分钟，考试过程中不得使用计算器；2．本试卷满分为100分，附加题5分计入总分，但最高总分不超过100分； 3．答案一律做在答卷页上.一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．复数1(1z i i=+为虚数单位），则z 的共轭复数z 是（ ）A ．12－ 12iB ．12+12iC ．－12－12iD ．－12+12i2．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的 概率为 ( ) A.23B.13C.12D.5123．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( )A ．0B ．锐角C ．直角D ．钝角4．夹在两平行直线l 1：3x －4y ＝0与l 2：3x －4y －20＝0之间的圆的最大面积等于( )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π5．已知直线a ⊂平面α，直线AO ⊥α，垂足为O ，AP ∩α＝P ，若条件p ：直线OP 不垂直于直线a ，条件q ：直线AP 不垂直于直线a ，则条件p 是条件q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（ ）A 、6B 、8C 、10D 、16 7．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推 出(1)f k +≥2)1(+k 成立” 那么，下列命题总成立的是（ ） Ａ 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｂ 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立 Ｃ 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立 Ｄ 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立8． P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( ) A ．4 B ．7 C ．6 D ．5 9．从数字0,1,2,3,,9中，按由小到大的顺序取出123,,a a a ，且21322,2a a a a -≥-≥，则不同的取法有（ ）A ．20种B ．35种C ．56种D ．60种10 ．设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列 二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知∈m R ，复数i im +-1为纯虚数（i 为虚数单位），则=m ．12．已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧(左)视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧(左)视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正(主)视图面积为________．13．已知n n n x a x a x a a ax ++++=+ 2210)1(，若41=a ，72=a ，则a 的值为 ． 14．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 种。
杭州数学高二下期中经典测试题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13601]若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+ 3．(0分)[ID ：13585]已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．16B ．13C ．23D ．564．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（ ）A ．13+B ．2C ．22+D ．05．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 6．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B 3C 3D 37．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-9．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心10．(0分)[ID ：13587]角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=35，则θtan = A ．43-B ．43C ．34-D ．3411．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±12．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 13．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．514．(0分)[ID ：13539]设,a b 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是 A ．若a b a b a b +=-⊥，则 B ．若,a b a b a b ⊥+=-则C ．若a b a b +=-，则存在实数λ，使得a b λ=D ．若存在实数λ，使得a b λ=，则a b a b +=- 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13721]已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______ 17．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.18．(0分)[ID ：13714]已知||2,||3a b ==，且a 与b 的夹角是60︒，则|32|a b -=______19．(0分)[ID ：13702]在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为__________．20．(0分)[ID ：13694]已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_________.21．(0分)[ID ：13686]已知(0,0)O ，(12,5)A ，(4,7)B ，若3OA OB AB λμ+=，则λμ+=_______.22．(0分)[ID ：13681]在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________23．(0分)[ID ：13678]菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点（含边界），则AM AN ⋅的最大值为____________．24．(0分)[ID ：13664]已知向量a 、b ，满足1a =，()(2)0a b a b +⋅-=，则b 的最小值为_________．25．(0分)[ID ：13648]ABC 中，D 是边AC 的中点，点P 满足12BP PC =，则向量DP 用向量AB ，AC 表示为____________．三、解答题26．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 27．(0分)[ID ：13771]已知a 与b 的夹角为34π，且2a =，2b =. （1）求32a b +；（2）求32a b +与a 的夹角θ的大小.28．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值；（2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.29．(0分)[ID ：13805]已知2a =，1b =，a 与b 的夹角为45︒，求使向量()2a bλ-与()3a b λ-的夹角是锐角的实数λ的取值范围.30．(0分)[ID ：13777]已知向量23a i j =-，23b i j =+，其中i ，j 是互相垂直的单位向量．（1）求以a ，b 为一组邻边的平行四边形的面积；（2）设向量3m a b =-，n a b λ=+，其中λ为实数，若m 与n 夹角为钝角，求λ的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．A 10．C 11．A12．D13．B14．C15．D二、填空题16．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算18．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化19．【解析】分析：如图：以A为原点以ABAD所在的直线为xy轴建立如图所示的坐标系先求出圆的标准方程再设点P的坐标为（cosθ+1sinθ+2）根据=λ+μ求出λμ根据三角函数的性质即可求出最值详解：如20．【解析】【分析】可求出根据与的夹角为锐角即可得出：且与不平行从而得出解出λ的范围即可【详解】：；∵与的夹角为锐角；∴且与不平行；∴；解得且λ≠0；∴实数λ的取值范围是：故答案为：【点睛】本题考查向量21．【解析】【分析】根据得到；计算得到答案【详解】则即即；解得故故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标表示意在考查学生的计算能力22．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属23．9【解析】【分析】【详解】由数量积的几何意义知当在上的投影最大时最大从图可以看出当N点在点C处在上的投影最大所以的最大值为：24．【解析】试题分析：由得所以解得所以的最小值为考点：向量的数量积运算及其性质【方法点晴】要求的最小值可以考虑建立关于的不等式或不等式组已知由结合向量数量积的运算律可得关于及的关系式根据向量数量积的定义25．【解析】【分析】利用向量加法和减法的运算将用表示出来【详解】依题意故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算考查平面向量基本定理属于基础题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限． 2．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（），即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+，则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．3．C解析：C 【解析】 【分析】运用两角差的余弦公式展开后再计算平方的结果，结合已知条件得到答案 【详解】222211cos sin cos sin 42222cos cos sin πααααααα⎛⎫⎛⎫-=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11222sin α=+， 123sin α=，21124263cos πα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭，故选C 【点睛】本题主要考查了两角差的余弦公式以及二倍角公式，熟练运用公式来解题是关键，较为基础4．A解析：A 【解析】 【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出． 【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 6．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．7．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin sin cos 622x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos cos sin 622x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)221sin cos cos sin 2x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．A解析：A【解析】【分析】【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CDCD ⋅==，故选A ． 9．A解析：A 【解析】【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．10．C解析：C【分析】由题意利用任意角的正弦函数的定义可求得3y =-，再根据正切函数的定义即可求得结果．【详解】∵角θ的终边经过点()4,P y ，且35sin θ=-=， ∴3y =-，则3tan 44y θ==-，故选C ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题，若角α的终边经过点(),x y （异与原点），则sin α=cos α=，()tan 0y x xα=≠. 11．A解析：A【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>，∴sin cos αα+==== 故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 12．D解析：D【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案.【详解】 结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC r MPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值. 故PC 的最小值为点C 到该直线的距离，故222521d ==+ 故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D .【点睛】 本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 13．B解析：B【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值．【详解】∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴， ∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ）即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12，当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-， 此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意； 当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤， ∴φ4π=， 此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意； 故ω的最大值为9，故选B ．【点睛】 本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.14．C解析：C【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则a b ⊥不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠，所以B 不正确．对于C a b a b +=-，则2222a b ab a b a b ++=+-，得0ab a b =-≠，则cos 1θ=-，则a 与b 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=，则22,a b a a b a λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b ≠-，则a b a b +≠-，所以D 不正确．故选C ．考点：平面向量的综合题15．D解析：D【解析】 【分析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题； 对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与【解析】【分析】先由cos 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此2163cos 21sin 21255θθ=-=-=.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭43310-=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.17．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案.【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CA CD 2+=， 又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.18．6【解析】【分析】由计算【详解】∴＝6故答案为：6【点睛】本题考查向量的模的运算解题时求向量的模一般都是转化为向量的数量积即由转化 解析：6【解析】【分析】 由2232(32)a b a b -=-计算。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·镇海模拟) 设复数z= ，则z的虚部是（）A . iB .C . ﹣D . ﹣ i3. （2分）(2016·四川模拟) 在△A BC中，若 =（1，2）， =（﹣2，3），则△ABC的面积为（）A .B . 4C . 7D . 84. （2分）(2017·汕头模拟) 记不等式所表示的平面区域为D，若对任意（x0 ， y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，则c的取值范围是（）A . （﹣∞，4]B . （﹣∞，2]C . [﹣1，4]D . （﹣∞，﹣1]5. （2分）已知直线与，给出命题P：的充要条件是或；命题q:的充要条件是．对以上两个命题，下列结论中正确的是：（）A . 命题“p且q'为真B . 命题“p或q”为假C . 命题“p或q'为假D . 命题“p且q'为真6. （2分）对于函数f（x）=x3﹣3x2 ，给出命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，无极值；③f（x）的递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），递减区间为（0，2）；④f（0）=0是极大值，f（2）=﹣4是极小值．其中正确的命题有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分）已知是等差数列，，记数列的第项到第项的和为，则取得最小值时的的值为（）A . 6B . 8C . 6或7D . 7或88. （2分）下列四个函数中，既是上的减函数，又是以为周期的偶函数的是（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（）A .B .C . 4D .10. （2分） (2015高二下·太平期中) 曲线y=ex ， y=e﹣x和直线x=1围成的图形面积是（）A . e﹣e﹣1B . e+e﹣1C . e﹣e﹣1﹣2D . e+e﹣1﹣211. （2分） (2017高二下·嘉兴期末) 已知抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到该抛物线焦点F的距离|MF|=3p，则直线MF的斜率为（）A . ±2B . ±1C . ±D . ±12. （2分）函数f(x）在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x)且（x-1）f'(x)<0，若a=f(0),b=f（）,c=f(3)则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . b>a>cD . a>c>b二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为________14. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知平面向量，（≠ ）满足 =2，且与﹣的夹角为120° ，t∈R，则|（1﹣t） +t |的最小值是________．已知• =0，向量满足（﹣）（﹣）=0，| ﹣ |=5，| ﹣ |=3，则• 的最大值为________．15. （1分） (2019高二上·拉萨期中) 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为________．16. （1分） (2016高二下·三原期中) 观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为________．三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分）(2016·孝义模拟) 在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，已知c=2，C= ．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）求 +a的最大值．18. （10分）(2020·日照模拟) 已知数列满足： .（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和 .19. （10分） (2018高二下·重庆期中) 一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度212324272932产卵数 /个61120275777附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数 .（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求关的回归方程为，且相关指数①试与（1）中的线性回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.②用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.20. （10分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P-ABCD中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值．21. （5分） (2018高二上·阳高期末) 如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.22. （15分） (2018高二下·虎林期末) 已知函数（1）求函数的单调区间;（2）求函数的极值;（3）求函数在区间上的最大值与最小值。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷 (理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2019高二下·黑龙江月考) 复数是纯虚数，其中是虚数单位,则实数的值是（）A . 3B . 2C . 2或3D . 0或2或32. （2分）(2019高二下·凤城月考) 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形的对角线的条数 f(n+1) 为（）A . f(n)+n+1B . f(n)+nC . f(n)+n-1D . f(n)+n-24. （2分）如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（）A . 288种B . 264种C . 240种D . 168种5. （2分） (2016高二下·珠海期末) 2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有（）A . 6B . 9C . 8D . 276. （2分）若直线与的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二下·张家口期末) （）A .B .C .D .8. （2分）设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A . (3,7)B . (9,25)C . (13,49)D . (9,49)二、填空题 (共4题；共5分)9. （1分） (2018高二下·乌兰月考) 如果z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为________．10. （2分）如图，△ABC是边长为1的正三角形，以A为圆心，AC为半径，沿逆时针方向画圆弧，交BA延长线于A1 ，记弧CA1的长为l1；以B为圆心，BA1为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2 ，记弧A1A2的长为l2；以C为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3 ，记弧A2A3的长为l3 ，则l1+l2+l3=________ ．如此继续以A为圆心，AA3为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA1延长线于A4 ，记弧A3A4的长为l4 ，…，当弧长ln=8π时，n=________11. （1分） (2017高二下·长春期中) ∫ dx=________．12. （1分）函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣2，则f（1）+f′（1）=________三、解答题 (共5题；共55分)13. （5分）已知复数z1满足（z1﹣2）i=1+i，（1）求z1；（2）若复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求复数z2 ．14. （10分）已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.（1）若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?（2）若恰在第5次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?15. （10分） (2017高二下·池州期末) 在二项式的展开式中，（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．16. （15分） (2017高二下·广州期中) 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．（1）求a，b的值；（2）求y=f（x）在R上的单调区间（3）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值．17. （15分） (2018高二下·枣庄期末) 已知函数 .（1）求的单调区间；（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；（3）设，其中 .若恒成立，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共4题；共5分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共5题；共55分)13-1、14-1、14-2、15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、17-3、。
浙江省杭州师范大学附属中学10-11学年高二数学下学期期中考试题 文 (无答案)(新疆部)
杭师大附中2010学年第二学期期中考试高 二 数学试卷（文）Ⅰ.单项选择（共10题，每小题3分，满分30分）1.对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 （ ） A. 所给命题为假 B. 它的逆否命题为真 C.它的逆命题为真 D.它的否命题为真2.若复数R a ,i ia i∈=-+1,则实数a 为 （ ） A.1- B.2- C.1 D.23.三个实数a,b,c 乘积为零的充要条件是 （ ） A.a ，b ，c 都不是零 B.a ，b ，c 至多有一个是零 C.a ，b ，c 只有一个零 D. a ，b ，c 至少有一个是零4．过点)1,6(且与椭圆14922=+y x 有相同的长轴的椭圆的方程是 （ ） A.13922=+y x B. 110022522=+y x C.1151022=+y x D.122510022=+y x 5.函数xxy ln 1+=的导数为 （ ）A.2')ln 1(2x y +=B.2')ln 1(2x y +-=C.2')ln 1(ln x x x y +-=D.2')ln 1(ln x x y +=6.)0(22>=a ax y 的焦点坐标为 （ ） A.)0,(a B.)0,2(a C.)41,0(aD.)81,0(a7.命题“对任意的01,2<+∈x R x ”的否定是 （ ） A.不存在01,2<+∈x R x 使 B.存在01,2<+∈x R x 使 C. 存在01,2≥+∈x R x 使 D.对任意的01,2≥+∈x R x 使8.设1>a ,则双曲线1222=-y ax 的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,2(B.)5,2(C. )2,1(D. )5,2(9.若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M的坐标为（ ）A.)0,0(B.)1,21( C.)2,1( D.)2,2(10.方程0109623=-+-x x x 的实根个数是 （ ） A ．3 B.2 C.1 D.0Ⅲ.解答题（共4题，第17小题满分10分，第18，19，20小题满分12分） 17. 已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知R b a i z ∈+=,,1. (1)若,4z 3z 2-+=ω求ω.(2)若i z z baz z -=+-++1122，求a ，b 的值.19. 已知定义在R 上的函数cx bx x x f ++=232)((b,c ∈R )，函数23)()(x x f x F -=是奇函数，函数)(x f 在1-=x 处取极值.(1)求)(x f 的解析式.(2)求)(x f 在区间[]33，-上的最值.(3)若任意的[],33，-∈x 都有k x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围.20.设抛物线)p (px y 022>=，过点（2,4）（1）求抛物线方程；（2）设直线l 过抛物线的焦点，与抛物线交与A,B 两点，O 为坐标原点，求 ΔAB O 面积最小时直线l 的方程.杭师大附中2010学年第二学期期中考试高二数学答卷（文）11. 12.13. 14.15. 16.Ⅲ.解答题（共4题，第17小题满分10分，第18，19，20小题满分12分）17.18.19.20.。
(整理版)师大附中第二学期期中考试
师大附中－ 度第二学期期中考试高二数学试卷〔文科〕本试卷共150分，考试时间120分钟。
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式^b ＝∑∑==--ni i ni ii xn x xyn yx 1221，^a ＝y －^b x 。
第一卷〔模块卷〕一、选择题〔4′×10＝40分〕：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的。
1. 复数z ＝i 〔1＋i 〕在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限≠0，那么ac>bc ；②假设a>b ，那么ac 2>bc 2③假设ac 2>bc 2，那么a>b ；④假设a>b ，那么a 1<b1 A. 1B. 2C. 3D. 43. 设条件甲为“0<x<5”，条件乙为“x 2－4x －5<0”，那么甲是乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数r 2，其中拟合效果最好的模型是A. 模型1的相关指数r 2B. 模型2的相关指数r 2为0.80C. 模型3的相关指数r 2D. 模型4的相关指数r 25.A. 1 111 111B. 11 111 111C. 111 111 111D. 1 111 111 1116.个样本，统计结果为根据以上数据，那么A. 服药跟是否生病有关B. 服药跟是否生病无关C. 是否服药决定是否生病D. 以上都是错误的 7. 以下图给出的是计算21＋41＋61＋…＋201的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是A. i>10B. i<10C. i>20D. i<20A. a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B. a ，b ，c ，d 全为正数C. a ，b ，c ，d 全都大于等于0D. a ，b ，c ，d 中至多有一个负数9. 假设根据10名儿童的年龄x 〔岁〕和体重y 〔kg 〕数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的回归方程是y ＝2x ＋7，这10名儿童的年龄分别是2、3、3、5、2、6、7、3、4、5，那么这10名儿童的平均体重是A. 14kgB. 15 kgC. 16 kgD. 17 kg①假设集合A ，B 满足A B ＝A ，那么A ⊆B ；∨q 〞为真，那么“p ∧q 〞为真；③假设a>b>0，那么b a ->a －b ；④假设直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2 A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题〔4′×5＝20分〕。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 复数的虚部为（）A . iB . 1C . ﹣iD . ﹣12. （2分） (2016高三下·习水期中) 2012年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．2015年初在经济指标对比时发现，这两家企业在2012年和2014年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则2015年企业缴纳地税的情况是（）A . 甲多B . 乙多C . 甲乙一样多D . 不能确定3. （2分） (2020高二下·新余期末) 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，应假设（）A . 三角形的三个内角都不大于B . 三角形的三个内角都大于C . 三角形的三个内角至多有一个大于D . 三角形的三个内角至少有两个大于4. （2分）极坐标方程2cosθ﹣ =0（ρ∈R）表示的图形是（）A . 两条射线B . 两条相交直线C . 一条直线D . 一条直线与一条射线5. （2分）已知i为虚数单位，则z=在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分）若，则f（2016）等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·湖南月考) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A . 289B . 1024C . 1225D . 13788. （2分）函数f（x）=sinx+cosx，x∈R，则f′（x）的最大值是（）A .B .C .D .9. （2分）用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左端的变化是（）A . 增加项B . 增加和两项C . 增加和两项且减少一项D . 以上结论均错10. （2分） (2019高三上·金华期末) 若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A .B .C .D .11. （2分） (2015高二上·船营期末) 下列说法正确的是（）A . a＞b⇒ac2＞bc2B . a＞b⇒a2＞b2C . a＞b⇒a3＞b3D . a2＞b2⇒a＞b12. （2分）若函数，则（）A . -7B . -1C . 1D . 7二、填空题 (共4题；共8分)13. （1分）(2020·宿迁模拟) 函数f（x），若任意t∈（a﹣1，a），使得f（t）＞f（t+1），则实数a的取值范围为________．14. （1分） (2019高二下·上饶月考) ________15. （1分） (2019高一下·扬州期末) 已知圆和直线，是直线上一点，若圆上存在两点，满足，则实数的取值范围是________．16. （5分）(2019·东北三省模拟) 已知函数求不等式的解集；设函数的最小值为，当，且时，求的最大值.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2015高二下·郑州期中) （Ⅰ）设z=1+i（i是虚数单位），求 +z2的值；（Ⅱ）设x，y∈R，复数z=x+yi，且满足|z|2+（z+ ）i= ，试求x，y的值．18. （5分）已知函数f（x）=x2+|x﹣t|．（Ⅰ）当t=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）设函数f（x）在[0，2]上的最小值为h（t），求h（t）的表达式．19. （10分） (2018高三上·荆门月考) 在直角坐标系中,直线的参数方程为 ( 为参数),在以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 .（1）判断直线与曲线的位置关系;（2）若是曲线上的动点,求的取值范围.20. （10分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．（1）问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？（2）问捕捞几年后年平均利润最大，最大是多少？21. （15分）(2019·金华模拟) 已知数列中，，，，记.（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：．22. （5分）(2018·黄山模拟) 若函数， .（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、。
浙江省杭州师范大学附属中学10-11学年高二下学期期中考试题数学文缺答案(新疆部)
杭师大附中2010学年第二学期期中考试高 二 数学试卷(文）Ⅰ。
单项选择（共10题，每小题3分，满分30分）1。
对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是 （ ）A.所给命题为假 B 。
它的逆否命题为真 C.它的逆命题为真 D.它的否命题为真 2。
若复数R a ,i ia i∈=-+1,则实数a 为（ ）A 。
1-B 。
2-C 。
1D 。
2 3。
三个实数a,b,c 乘积为零的充要条件是（ ）A.a ，b ，c 都不是零B.a ，b,c 至多有一个是零C.a,b,c 只有一个零D. a ，b ，c 至少有一个是零 4．过点)1,6(且与椭圆14922=+y x 有相同的长轴的椭圆的方程是（ ）A.13922=+y x B 。
110022522=+y xC 。
1151022=+y xD.122510022=+y x5.函数xx y ln 1+=的导数为( ) A.2')ln 1(2x y +=B 。
2')ln 1(2x y +-=C.2')ln 1(ln x x x y+-=D 。
2')ln 1(ln x xy +=6.)0(22>=a ax y 的焦点坐标为( ）A 。
)0,(a B.)0,2(a C.)41,0(aD.)81,0(a7.命题“对任意的01,2<+∈x R x ”的否定是（ ）A.不存在01,2<+∈x R x 使 B.存在01,2<+∈xR x 使C. 存在01,2≥+∈x R x 使 D 。
对任意的01,2≥+∈xR x 使8。
设1>a ，则双曲线1222=-y ax 的离心率e 的取值范围是（ ） A 。
)2,2(B.)5,2( C 。
)2,1( D.)5,2(9。
若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MAMF +取得最小值的M的坐标为( )A.)0,0(B.)1,21( C.)2,1(D.)2,2(10。
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷(理科)
浙江省杭州市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·滨州模拟) 曲线f（x）=ex在点（1，f（1））处的切线与该曲线及y轴围成的封闭图形的面积为（）A .B . eC . e﹣1D . ﹣12. （2分） (2018高二下·甘肃期末) “大自然是懂数学的”，自然界中大量存在如下数列：1，1，2，3，，8，13，21，，则其中的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 73. （2分）若幂函数f（x）图像经过点P（4．2）．则它在P点处的切线方程为（）A . 8x－y－30=0B . x－4y+4=0C . 8x+y－30=0D . x+4y+4=04. （2分）曲线y=x3﹣x的所有切线中，经过点（1，0）的切线的条数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）给出下列结论：①（cos x）′=sin x；②（sin ）′=cos ；③若y= ，则y′=﹣；其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分） (2015高二上·邯郸期末) 函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的极值点有（）A . 3个B . 4个C . 5个D . 6个7. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知定义在上的可导函数的导函数为，满足是偶函数，，则不等式的解集为（）.A .B .C .D .8. （2分）已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调减区间为（）A . [-1,+ ]B . (- ,2]C . (- ,-1),(-1,2)D . [2,+ )9. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·乌兰月考) 已知数列中，a1＝1，当n≥2时，，依次计算a2 ，a3 ， a4后，猜想的一个表达式是（）A . n2－1B . (n－1)2＋1C . 2n－1D . 2n－1＋111. （2分）(2017·太原模拟) 设函数f（x）= 与g（x）=a2lnx+b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分）(2019·重庆模拟) 函数在内有两个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）“MN是经过椭圆（a＞b＞0）的焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦，则.”类比椭圆的性质，可得“MN是经过双曲线（a＞0，b＞0）的焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则________.”14. （1分）在△AnBnCn中，记角An、Bn、Cn所对的边分别为an、bn、cn ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边an=n+1，则Cn=________15. （1分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是________16. （1分） (2015高三上·青岛期末) 设，则二项式的展开式的常数项是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2017高二下·钦州港期末) 自地面垂直向上发射火箭，火箭的质量为m，试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功．18. （10分）设数列{an}满足an+1=an2﹣nan+1（n∈N*）（1）当a1=2时，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a1≥2时，证明：对∀n∈N*，有an≥n+1．19. （15分） (2016高一上·武侯期中) 已知全集为R，集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，C={x|x ＜a}（1）求A∩B；（2）求A∪（∁RB）；（3）若A⊆C，求a的取值范围．20. （10分）已知函数在处取得极值，问（1）确定α 的值；（2）若= ,讨论的单调性。
高二下学期期中考试数学(理)试卷
新疆昌吉高二数学下学期期中试题 理分值：150分 时间：120分钟一、单选题（每题5分，共60分）1.若函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点是α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点是β，则有( )A ．α<βB ．α>βC ．α＝βD ．α与β的大小不确定 2．已知复数z 满足21iz i=+（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =（ ） A ．2B ．2C ．22D ．43．曲线()2xf x x e =-在点()()0,0f 处的切线方程是（ ）A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y --=4.已知函数f (x )＝x 2＋cos x ，f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(x )的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．5.观察下列等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n (n ∈N *)个等式应为( )A ． 9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ． 9(n －1)＋n ＝10n －9C ． 9n ＋(n －1)＝10n －1D ． 9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 6.复数z ＝(1＋i)2(2＋i)的虚部是( )A ． －2iB ． －2C ． 4iD ． 4 7.在复平面内，复数z ＝(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ． 第二象限B ． 第一象限C ． 第四象限D ． 第三象限 8．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ） A ．121k + B ．112224k k -++C ．122k -+ D ．112122k k -++ 9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种10. 若33235n n C A =，则整数n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1111．函数()23xe f x x =-在[]2,4上的最大值为（ ）A ．2eB ．36eC ．413eD ．22e12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A.)0,1()1,(---∞B.),1()0,1(+∞-C. )1,0()1,( --∞D.),1()1.0(+∞ 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知i 是虚数单位，若＝b ＋i(a ，b ∈R )，则ab 的值为________．14．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．15．6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法．16．已知函数 ()(1)e ln xf x x a x =--在1[,3]2上单调递减，则a 的取值范围是三、解答题（17题10分，其余各题12分） 17.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ； (2)y ＝.18.实数m 取何值时，复数(1＋i)m 2－m (5＋3i)＋6是 (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？19.求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积．20．已知()()()()()()11111,121231f ng n f f f n n f n =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦-.（1）写出()2g ，()3g ，()4g 的值；（2）归纳()g n 的值，并用数学归纳法加以证明.21．为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解答下列问题：（用数字作答）（1）如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？ （2）医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？22. 已知函数()ln 1f x ax x =++.（1）若1a =-，求函数()f x 的最大值；（2）对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（每题5分，共60分）1.【答案】B 【解析】由题意得f ′(x )＝2x ln x ＋x ，g ′(x )＝ln x 2＋2，又函数f (x )＝x 2ln x (x >0)的极值点是α，函数g (x )＝x ln x 2(x >0)的极值点是β，所以2αln α＋α＝0，ln β2＋2＝0，所以α＝e －，β＝e －1，所以α>β，故选B. 2．B 【解析】：由题得2(1)2(1)1(1)(1)2i i i i z i i i --===++-，所以221,1(1) 2.z i z =-∴=+-=故答案为：B.3．D 【解析】曲线()2xf x x e =-,()()()2,01,01,x f x e f f =''=-=-故切线方程为10x y --=.故答案为：D.4.【答案】A 【解析】由于f (x )＝x 2＋cos x ， ∴f ′(x )＝x －sin x ，∴f ′(－x )＝－f ′(x )， 故f ′(x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除B 和D ， 又当x ＝时，f ′＝－sin ＝－1<0，排除C ，故选A.5.【答案】B 【解析】注意观察每一个等式与n 的关系，易知选项B 正确．6.【答案】D 【解析】z ＝(1＋i)2(2＋i)＝2i(2＋i)＝－2＋4i ，则复数z ＝(1＋i)2(2＋i)的虚部是4.7.【答案】C 【解析】∵z ＝＝＝1＋i ，∴＝1－i ，∴在复平面内对应的点位于第四象限．8．D 【解析】当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++，故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 9．C 【解析】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A =种， 剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A =种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636⨯⨯=种不同的排法. 10. 【答案】A 【详解】33235n n C A =，()()()()221223512321n n n n n n --∴⨯=⨯--⨯⨯，整理可得：()()3298180n n n n n n -+=--=，解得：0n =或1n =或8n =，3n ≥，8n ∴=.故选：A. 11．A 【解析】()23xef x x =-，()()()()()()22222231333x xe x x e x xf x x x --+-∴==--'，令()0f x '=，由于24x ≤≤，得3x =.当23x <<时，()0f x '<；当34x <<时，()0f x '>．因此，函数()y f x =在3x =处取得最小值，在2x =或4x =处取得最大值，()22f e =，()()4222421313e ef e e f ==⋅<=，因此，()()2max 2f x f e ==，12．C 【解析】构造新函数()()f xg x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃.二、填空题（每题5分，共20分） 13. 【答案】－3 【解析】∵＝b ＋i ，∴a ＋3i ＝(b ＋i)i ，则a ＋3i ＝－1＋b i ，可得∴ab ＝－3.14． 10或64.【解析】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2； 经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64． 所以正整数m 的值为10或64． 故答案为10或64． 15． 192【解析】第一步：甲乙相邻，共有222A =种排法；第二步：将甲乙看做一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A =种排法； 第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A =种排法 ∴共有：2244192⨯⨯=种排法16． )39,e ⎡+∞⎣ 【解析】'()e 0x a f x x x=-在1[,3]2上恒成立，则2e x a x 在1[,3]2上恒成立，2()e xg x x =，()2'()2e 0xg x x x =+>，所以()g x 在1[,3]2单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=39e .故39a e ≥.三、解答题（17题10分，其余各题12分） 17.【答案】解 (1)y ′＝()′ln x ＋(ln x )′＝ln x ＋×＝.(2)y ′＝′＝＝＝.18.【答案】解 (1＋i)m 2－m (5＋3i)＋6＝(m 2－5m ＋6)＋(m 2－3m )i.(1)若复数为实数，则由m2－3m＝0⇒m＝0或m＝3，∴当m＝0或m＝3时，复数(1＋i)m2－m(5＋3i)＋6为实数.(2)若复数为虚数，则由m2－3m≠0⇒m≠0且m≠3，∴当m≠0且m≠3时，复数(1＋i)m2－m(5＋3i)＋6为虚数.(3)若复数为纯虚数，则⇒⇒m＝2，∴当m＝2时复数(1＋i)m2－m(5＋3i)＋6为纯虚数.19.【答案】由y′＝－2x＋4，得在点A，B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－＝×2×2－(－x3＋2x2－3x)|＝2－＝.20．【解析】解: (1)由题意可得：f (1)=1，13(2)122f =+=，1111(3)1236f =++=，11125(4)123412f =+++=.1(2)(1)2(2)1g f f ∴=⨯=-，1(3)[(1)(2)]3(3)1g f f f =+=-，1(4)[(1)(2)(3)]4(4)1g f f f f =++=-.(2)由(1)猜想g (n )=n (n ≥2). 下面利用数学归纳法证明： ①当n =2时，猜想成立；②假设当*,)2(n k k N k =∈时，g (k )=k . 即1()[(1)(2)(1)]()1g k f f f k k f k =++⋯+-=-，∴f (1)+f (2)+…+f (k −1)=kf (k )−k ， 则当n =k +1时，1(1)[(1)(2)()](1)1g k f f f k f k +=++⋯++-1[(1)()]1()11k f k k f k k =⋅+-+-+=k +1，因此当n =k +1时，命题g (k +1)=k +1成立. 综上可得：*n N ∀∈，g (n )=n (n ⩾2)成立.21【解析】 (1)由题可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人,共3223636375C C C C +=种不同的建组方案.(2)由题,除开医生甲后不考虑必须医生护士都有的建组方案共488765701234C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种,其中只有医生的情况数有455C =,不可能存在只有女医生的情况.故共有70565-=种不同的建组方案.22. 解:（1）当1a =-时，()ln 1f x x x =-+，定义域为()0,∞+，()111x f x x x-'=-=. 令()0f x '>，得01x <<；令()0f x '<，得1x >.因此，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在()0,∞+恒成立，令()ln 1x e x g x x --=，0x >，则()()21ln x x e x g x x '-+=，令()()1ln xh x x e x =-+，0x >，()10xh x xe x=+>'. 所以()y h x =在()0,∞+单调递增，而()10h =，所以()0,1x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；()1,x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增.所以在1x =处()y g x =取得最小值()11g e =-， 所以1a e -≤，即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤-.。
浙江省杭州师范大学附属中学10-11学年高二数学下学期期中考试题 理(新疆部)【会员独享】
杭师大附中2011学年第二学期期中考试高 二 数 学 试 卷（理科）一、选择题（共10小题，每题4分）1.若复数)()2(225222R a i x x x x x ∈--+-+-为纯虚数，则x 的值为（ ） A ．2． B ． -1. C ．21-． Ｄ．21． 2.若ａ，ｂ为实数，,1i ibia =++则ａ，ｂ的值为（ ） Ａ．ａ＝１，ｂ＝－１． B ．ａ＝１， ｂ＝１． Ｃａ＝－１，ｂ＝１． Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝－１． 3．曲线Inx x x y ++=1在点），（211处的切线方程为（ ） .4345.A +=x y .4345.B -=x y .4345-.C -=x y .4345-.D +=x y4.设袋中有60个红球，10个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．1070610470C C C ⋅ B ．1070410670C C C ⋅ C ．1070610460C C C ⋅ D ．1070410660C C C ⋅ ）时（则时且满足已知对于任意实数0,0)(,0)(,0),()(),()(,.5<>'<'>=--=-x x g x f x x g x g x f x f x .0)(,0)(A <'<'x g x f 、 .0)(,0)( B <'>'x g x f 、.0)(,0)(C >'<'x g x f 、 .0)(,0)(D >'>'x g x f 、.)()(3109~0.62个不同的二次函数各项系数，则可以组成个数作为函数个数中，选出这从c bx ax x f ++=.900.A .1000.B .648.C .720.D7.面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2；③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042>-ac b 可以类比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042>-ac b ； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是 ( )A .①③B . ②④C . ①④D . ②③）为（则，其中若)(,21)(P ,31)(P .8121221ξξξξξξ≥≥>=≤=≥X P X X.32.A .65.B .61.C .31.D）整除的余数是（被为偶数，则设108C 8C 8C 8.912211---++++n n n n n n n n A ．0. B.1. C.2. D.-1.）的值为（则设)1001()31()21()100()2()1(,11)(.102f f f f f f x x f ++++++++=.99.A .5.99.B .100.C ..5100.D二、填空题（共6小题，每小题4分）11．函数._____________3)(3的最小值是xxe ex f += 12.在7)1-x )(2-x (的展开式中x 5的系数是______________.13．用0、1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）.____________)6)(5)(4)(3)(2(.144的项的系数是的展开式中，含在x x x x x x -----⋯=+=+=+,15441544,833833,322322.15若b a bab a ,(,66=+均为实数），请推测.______________,==b a[).___________1.16上的单调性为，在区间函数∞+=xe y x三、解答题（共4小题，17、18小题8分，19、20每小题10分）.)3(21-2.177系数绝对值的最大的项）系数的最大的项；项；（）二项式系数的最大的的展开式中，求：（）在（x.,1)2()1(,)1(2.181121z z z z i i z +=-=求若；求：已知复数最值..621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 621)1ln()(2-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．杭师大附中2011学年第二学期期中考试高 二 数 学 答 卷（理科）命题人：段 佳 命题时间：2011-4-10二. 填空题（共6题，每小题4分；满分24分）11. ； 12. ；13.___________ ___； 14.___ _______ ____；15._____________ _； 16.____ ___________；三、解答题（共4小题，17、18小题8分，19、20每小题10分）.)3(21-2.177系数绝对值最大的项）系数最大的项；；（）二项式系数最大的项的展开式中，求：（）在（x.,1)2()1(,)1(2.181121z z z z i i z +=-=求若；求：已知复数最值..621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 621)1ln()(2-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．杭师大附中2011学年第二学期期中考试高二数学答卷（理科）二. 填空题（共6题，每小题4分；满分24分）11. 4 ；12. -77 ；13.________;________14.___ __-20_____ __；76815.______a=6, b=35____；16.____ 单调增函数___；三. 解答题（共4小题，每小题9分）.621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X）解：（1（４分）．１４９＝６０＋２０＋６）＝（２）Ｐ（1261261261≥ξ 20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 621)1ln()(2-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．分）（个交点，所以有之间时，直线和函数在极大值点和极小值点线）分析下图可知，当直（分）（）上单调递减在（，若分）（）上单调递增，，）和（在（，若分）（分，分，）解：（3.10ln 12227ln 243)(31;3,2)(0)(132,1-)(0)()1(1)3)(2(6112)(2)2(;120)2()1(61)(122-<<-=<'∞+>'+--=-++='=='-++='b x f b y x f x f x f x f xx x x x x f a f x xax f。
2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（下）期中数学试卷一、单项选择（共8题，每小题5分，满分40分） 1．“a 3+a 9＝2a 6”是“数列{a n }为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知抛物线y =14x 2，则它的焦点坐标是（ ） A ．(0，116) B ．(116，0) C ．（1，0） D ．（0，1）3．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如lim x→0e x −1x=lim x→0(e x −1)′x′=lim x→0e x 1=1，则lim x→1lnx+x−1x 2+x−2=（ ）A ．12B ．23C ．1D ．24．2022年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有（ ）种． A ．72B ．144C ．36D ．1085．（多选）设函数f （x ），g （x ）在R 上的导数存在，且f ′（x ）＞g ′（x ），则当x ∈（a ，b ）时（ ） A ．f （x ）＜g （x ）B ．f （x ）＞g （x ）C ．f （x ）+g （b ）＜g （x ）+f （b ）D ．f （x ）+g （a ）＞g （x ）+f （a ）6．若7a ＝5，8b ＝6，e 2c =2+e 2，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞c ＞bB ．c ＞b ＞aC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c7．三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝2，平面PBC ⊥平面ABC ，∠BPC =π2．若三棱锥P ﹣ABC 的外接球体积的取值范围是(32π9√332π3)，则∠BAC 的取值范围是（ ） A ．(0，π3)B ．(π3，π2)C ．(π2，2π3)D ．(π3，2π3)8．过抛物线Γ：x 2＝4y 的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同的直线l 1，l 2，且k 1+k 2＝2，l 1与Γ相交于点A ，B ，l 2与Γ相交于点C ，D ．分别以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N （M ，N 为圆心）的公共弦记为l ，则点M 到直线l 的距离的最小值为（ ）A ．7√520B ．5√720C ．7√522D ．5√722二、多项选择（共4题，每小题5分；满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中正确的是（ ）A ．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B ．样本相关系数r 的绝对值|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C ．已知随机变量X ～B(10，12)，则E(X)=52D ．已知经验回归方程y =−2x +3，则y 与x 具有负线性相关关系10．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为A 1B 1，B 1C 1，B 1B 的中点，若点P 在线段EF 上运动，则下列结论正确的为（ ）A ．AC 1与EF 为共面直线B ．平面ACD 1∥平面EFGC ．三棱锥P ﹣AD 1C 的体积为定值D ．AC 1与平面A 1BC 所成角的正切值为√311．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交C 的右支于点A ，B ，若F 1A →⋅F 1B →=F 1B →2=35|F 1A →||F 1B →|，则（ ）A ．AB ⊥BF 1 B ．C 的渐近线方程为y =±√62x C ．|AF 2|＝|BF 1|D ．△AF 1F 2与△BF 1F 2面积之比为2：112．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a i ＝1或a i ＝2的概率均为12（i ＝1，2，3，…，n ）．设S n 能被3整除的概率为P n ，则（ ） A ．P 2＝1 B ．P 3=14C ．P 11=3411024D ．当n ≥5时，P n ＜13三、填空题（共4题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X ～N （2，σ2），且P （X ＞3）＝0.3，则P （1＜X ＜2）＝ ．14．(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为．15．期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为．16．若函数f′（x）是函数f（x）的导函数，且满足f（0）＝1，3f（x）＝f′（x）﹣3，则不等式4f（x）＞f'（x）的解集为四、解答题（共6题，满分70分）17．（10分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n＝4S n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）已知函数f(x)=x3−92x2+6x−a．（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若方程f（x）＝0有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．19．（12分）杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆．每年樱花季，在樱花树下流连超10小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：（1）补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？（2）现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1为矩形，AB⊥AC且AB＝AC＝2，D为B1C1的中点，AA1=B1C=2√2．（1）证明：AC1∥平面A1BD；（2）求平面AB 1C 与平面AA 1D 的夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 上任意一点M 到F 的距离最大值和最小值之积为3，离心率为12．（1）求C 的方程；（2）若过点P （n ，0）（n ＜﹣2）的直线l 交C 于A ，B 两点，且点A 关于x 轴的对称点落在直线BF 上，求n 的值及△F AB 面积的最大值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ﹣1． （1）讨论函数的单调性；（2）若g （x ）＝x +e ax •f （x ）（a ＞0）有两个不同的零点x 1，x 2，（0＜x 1＜x 2），不等式x 1⋅x 22＞e m 恒成立，求实数m 的取值范围．2022-2023学年浙江省杭州师大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（共8题，每小题5分，满分40分） 1．“a 3+a 9＝2a 6”是“数列{a n }为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解：如果数列{a n }是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a 3+a 9＝2a 6， 反之a 3+a 9＝2a 6成立，不一定有数列{a n }是等差数列，所以“a 3+a 9＝2a 6”是“数列{a n }为等差数列”的必要不充分条件． 故选：B ．2．已知抛物线y =14x 2，则它的焦点坐标是（ ） A ．(0，116) B ．(116，0) C ．（1，0） D ．（0，1）解：抛物线y =14x 2化为x 2＝4y ， ∴p ＝2，∵抛物线x 2＝4y 开口向上，焦点在y 轴正半轴， ∴焦点为(0，p2)，即（0，1）． 故选：D ．3．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如lim x→0e x −1x =lim x→0(e x −1)′x′=lim x→0e x 1=1，则lim x→1lnx+x−1x 2+x−2=（ ）A ．12B ．23C ．1D ．2解：lim x→1lnx+x−1x 2+x−2=lim x→1(lnx+x−1)′(x 2+x−2)′=lim x→11x +12x+1=23．故选：B ．4．2022年11月30日，神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”，为记录这一历史时刻，他们准备在天河核心舱合影留念．假设6人站成一排，要求神舟十四号三名航天员互不相邻，且神舟十五号三名航天员也互不相邻，则他们的不同站法共有（ ）种． A ．72B ．144C ．36D ．108解：由题知，不妨先将神舟十四号三名航天员全排为：A33=6，再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中，因为神舟十四号三名航天员互不相邻，故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上，进行排列：A32=6，最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下，共A21=2，故不同站法有：A33×A32×A21=6×6×2=72种．故选：A．5．设函数f（x），g（x）在R上的导数存在，且f′（x）＞g′（x），则当x∈（a，b）时（）A．f（x）＜g（x）B．f（x）＞g（x）C．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）D．f（x）+g（a）＞g（x）+f（a）解：对于AB，不妨设f（x）＝2x，g（x）＝1，则f′（x）＝2，g′（x）＝0，满足题意，若x＝1∈（a，b），则f（x）＝2＞1＝g（x），故A错误（排除），若x＝0∈（a，b），则f（x）＝0＜1＝g（x），故B错误（排除）；对于CD，因为f（x），g（x）在R上的导函数存在，且f′（x）＞g′（x），令h（x）＝f（x）﹣g（x），则h′（x）＝f′（x）﹣g′（x）＞0，所以h（x）在R上单调递增，因为x∈（a，b），即a＜x＜b，所以h（a）＜h（x）＜h（b），由h（x）＜h（b）得f（x）﹣g（x）＜f（b）﹣g（b），则f（x）+g（b）＜g（x）+f（b），故C正确；由h（a）＜h（x）得f（a）﹣g（a）＜f（x）﹣g（x），则f（x）+g（a）＞g（x）+f（a），故D正确．故选：CD．6．若7a＝5，8b＝6，e 2c=2+e2，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：由已知可得，a=log75=ln5ln7，b=log86=ln6ln8，由e 2c=2+e2可得，2c=ln(e2+2)，所以c=2ln(e2+2)=lne2ln(e2+2)．设f(x)=lnxln(x+2)，x＞1，则f′(x)=(x+2)ln(x+2)−xlnxx(x+2)ln2(x+2)，x＞1，因为x＞1，故x+2＞x＞1，ln（x+2）＞lnx＞0，所以（x+2）ln（x+2）﹣xlnx＞0即f'（x）＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上为增函数，又a ＝f （5），b ＝f （6），c ＝f （e 2），又e 2＞6＞5，所以c ＞b ＞a ． 故选：B ．7．三棱锥P ﹣ABC 中，AB ＝AC ＝2，平面PBC ⊥平面ABC ，∠BPC =π2．若三棱锥P ﹣ABC 的外接球体积的取值范围是(32π9√332π3)，则∠BAC 的取值范围是（ ） A ．(0，π3)B ．(π3，π2)C ．(π2，2π3)D ．(π3，2π3)解：取BC 的中点M ，连接AM ，PM ，因为AB ＝AC ＝2，则AM ⊥BC ，平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AM ⊂平面ABC ， 所以AM ⊥平面PBC ，且∠BPC =π2，则M 为Rt △PBC 的外接圆的圆心， 所以P ﹣ABC 的外接球的球心O 在直线AM 上，连接OC ，设∠BAM =θ∈(0，π2)，P ﹣ABC 的外接球的半径为R ，则9√343πR 3＜32π3，解得2√33＜R ＜2，则AM ＝2cos θ，CM ＝BM ＝2sin θ，OA ＝OC ＝R ，OM ＝|2cos ﹣R |， 因为OC 2＝CM 2+OM 2，即R 2＝4sin 2θ+（2cos θ﹣R ）2， 解得R =1cosθ， 可得2√33＜1cosθ＜2，即12＜cosθ＜√32， 注意到θ∈(0，π2)，则θ∈(π6，π3)，所以∠BAC ＝2θ的取值范围是(π3，2π3)． 故选：D ．8．过抛物线Γ：x 2＝4y 的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同的直线l 1，l 2，且k 1+k 2＝2，l 1与Γ相交于点A ，B ，l 2与Γ相交于点C ，D ．分别以AB 、CD 为直径的圆M 、圆N （M ，N 为圆心）的公共弦记为l ，则点M 到直线l 的距离的最小值为（ ）A ．7√520B ．5√720C ．7√522D ．5√722解：由题意得焦点F （0，1），设直线l 1：y ＝k 1x +1，联立{y =k 1x +1x 2=4y ，整理得x 2﹣4k 1x ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k 1，y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+2=4k 12+2， 由抛物线的定义得|AB|=y 1+y 2+2=4k 12+4，由题知M 为A ，B 的中点，则x M =x 1+x 22=2k 1，y M =y 1+y 22=2k 12+1， ∴M(2k 1，2k 12+1)，∴圆M 的标准方程为(x −2k 1)2+(y −2k 12−1)2=(|AB|2)2=(2k 12+2)2，即x 2+y 2−4k 1x −2(2k 12+1)y −3=0，同理可得圆N 的方程为x 2+y 2−4k 2x −2(2k 22+1)y −3=0， 联立{x 2+y 2−4k 1x −2(2k 12+1)y −3=0x 2+y 2−4k 2x −2(2k 22+1)y −3=0， ∴圆M 与圆N 的公共弦所在的直线l 的方程为(k 2−k 1)x +(k 22−k 12)y =0，由题知k 2≠k 1，k 2+k 1＝2，则直线l 的方程为x +2y ＝0，∴点M 到直线l 的距离为：d =1125=4|(k 1+14)2+716|5≥7√520，当k 1=−14时，取得最小值，故点M 到直线l 的距离的最小值为7√520．故选：A ．二、多项选择（共4题，每小题5分；满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中正确的是（ ）A ．已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50%分位数是7.5B ．样本相关系数r 的绝对值|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强C ．已知随机变量X ～B(10，12)，则E(X)=52D ．已知经验回归方程y =−2x +3，则y 与x 具有负线性相关关系 解：对于A 选项，由6×50%＝3，所以第3个和第4个数的平均数为7+82=7.5，故A 正确；选项B 样本相关系数r 的意义可知，样本相关系数r 的绝对值|r |越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故选项B 正确；对于C选项，由X～B(10，12)，则E(X)=np=10×12=5，故C错误；对于D选项，由﹣2＜0，可得y与x具有负线性相关关系，可知D正确．故选：ABD．10．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为A1B1，B1C1，B1B的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为（）A．AC1与EF为共面直线B．平面ACD1∥平面EFGC．三棱锥P﹣AD1C的体积为定值D．AC1与平面A1BC所成角的正切值为√3解：对于A：连接A1C1，如图所示：∵E，F分别为A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，∴EF∥AC，∴AC1∩EF＝A，故A错误；对于B：连接BC1，∵点F，G分别为B1C1，B1B的中点，∴FG∥BC1，由选项A得EF∥AC，∵EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF⊄平面ACD1，FG⊄平面ACD1，∴EF∥平面ACD1，FG∥平面ACD1，又EF∩FG＝F，∴平面ACD1∥平面EFG，故B正确；对于C：由选项B得EF∥平面ACD1，∵点P在线段EF上运动，∴点P到平面ACD1的距离等于点E到平面ACD1的距离，且为定值，又△AD1C的面积为定值，则三棱锥P﹣AD1C的体积为定值，故C正确；对于D ：建立以D 为原点的空间直角坐标系D ﹣xyz ，如图所示：则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），A 1（2，0，2），C 1（0，2，2），C （0，2，0）， ∴AC 1→=（﹣2，2，2），CA 1→=（2，﹣2，2），BA 1→=（0，﹣2，2）， 设平面A 1BC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CA 1→=2x −2y +2z =0n →⋅BA 1→=−2y +2z =0，取y ＝1，则z ＝1，x ＝0， ∴平面A 1BC 的一个法向量为n →=（0，1，1）， 设AC 1与平面A 1BC 所成角为α， ∴sin α＝|cos ＜AC 1→，n →＞|=|n →⋅AC 1→||n →|⋅|AC 1→|=42√3×√2=√63，∴cos α=√1−sin 2α=√33， ∴tan α=sinαcosα=√2，故D 错误． 故选：BC ． 11．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交C 的右支于点A ，B ，若F 1A →⋅F 1B →=F 1B →2=35|F 1A →||F 1B →|，则（ ） A ．AB ⊥BF 1 B ．C 的渐近线方程为y =±√62xC ．|AF 2|＝|BF 1|D ．△AF 1F 2与△BF 1F 2面积之比为2：1解：由F 1A →⋅F 1B →=|F 1A →||F 1B →|cos∠AF 1B =35|F 1A →||F 1B →|，得cos ∠AF 1B =35，又由F 1B →2=|F 1B →|2=35|F 1A →||F 1B →|，得|F 1B →|=35|F 1A →|， 不妨设|F 1B →|=3m ，|F 1A →|=5m ，在△AF 1B 中，由余弦定理得|AB|2=|F 1B →|2+|F 1A →|2−2|F 1B →||F 1A →|cos∠AF 1B =16m 2，∴|AB |＝4m ，∴|F 1B →|+|AB|2=|F 1A →|2，即AB ⊥BF 1，故A 正确； 在Rt △BF 1F 2中，由双曲线定义得|BF 1|﹣|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝3m ﹣2a ， 在△AF 1F 2中，由双曲线定义得|AF 1|﹣|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝5m ﹣2a ， ∵|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝8m ﹣4a ＝4m ，∴m ＝a ， ∴|BF 1|＝3a ，|BF 2|＝3a ﹣2a ＝a ，在Rt △BF 1F 2中，|BF 1|2+|BF 2|2=|F 1F 2|2，即9a 2+a 2＝4c 2，∴10a 2＝4（a 2+b 2），∴b 2a 2=32，即ba =√62，∴渐近线方程为y =±√62x ，故B 正确；|AF 2|＝|AB |﹣|BF 2|＝4a ﹣a ＝3a ，|BF 1|＝3a ，则|AF 2|＝|BF 1|，故C 正确； S △BF 1F 2=12|BF 1|⋅|BF 2|=32a 2，S △F 1AB =12|AB|⋅|BF 1|=6a 2， S △AF 1F 2=S △F 1AB −S △BF 1F 2=92a 2，∴△AF 1F 2与△BF 1F 2面积之比为3：1，故D 错误， 故选：ABC ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a i ＝1或a i ＝2的概率均为12（i ＝1，2，3，…，n ）．设S n 能被3整除的概率为P n ，则（ ） A ．P 2＝1 B ．P 3=14C ．P 11=3411024D ．当n ≥5时，P n ＜13解：由题可知，S n 被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2， S n 能被3整除的概率为P n ，S n 被3整除的余数分别为1，2的概率为1−P n 2，∴P n +1＝0×P n +12×1−P n 2+12×1−P n 2=1−P n2， ∴P n +1−13=−12（P n −13），且P 1＝0，∴{P n −13}为首项为−13，公比为−12的等比数列， ∴P n −13=−13（−12）n ﹣1，即P n =−13（−12）n ﹣1+13，∴P 2=−13×（−12）+13=12，A 错误； P 3=−13×(−12)2+13=14，B 正确；P 11=−13×（−12）10+13=3411024，C 正确； 当n ≥5，且n 为偶数时，P n ＞13，D 错误． 故选：BC ．三、填空题（共4题，每小题5分，满分20分）13．已知随机变量X ～N （2，σ2），且P （X ＞3）＝0.3，则P （1＜X ＜2）＝ 0.2 ． 解：P （1＜X ＜2）＝P （2＜X ＜3）＝0.5﹣P （X ＞3）＝0.2． 故答案为：0.2． 14．(1+1x2)(1+x)6展开式中x 2的系数为 30 ． 解：当（1+1x2）选择1时，（1+x ）6展开式选择x 2的项为C 62x 2； 当（1+1x 2）选择1x 2时，（1+x ）6展开式选择为C 64x 4， 所以（1+1x2）（1+x ）6展开式C 62+C 64=30； 故答案为：30．15．期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为 2132．解：设事件A 表示“考生答对”，设事件B 表示“考生选到有思路的题”，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=58×0.9+38×0.25=2132． 故答案为：2132．16．若函数f ′（x ）是函数f （x ）的导函数，且满足f （0）＝1，3f （x ）＝f ′（x ）﹣3，则不等式4f （x ）＞f '（x ）的解集为 （ln23，+∞）解：∵3f （x ）＝f ′（x ）﹣3，∴f ′（x ）＝3f （x ）+3；设f （x ）＝ae bx +c ， 由f （0）＝1，∴a +c ＝1；又3f （x ）＝f ′（x ）﹣3，∴3ae bx +3c ＝abe bx ﹣3， 即（3a ﹣ab ）e bx ＝﹣3﹣3c ，∴{3a −ab =0−3−3c =0，解得b ＝3，c ＝﹣1，a ＝2； ∴f （x ）＝2e 3x ﹣1，x ∈R ；又4f （x ）＞f ′（x ），∴8e 3x ﹣4＞6e 3x ，即e 3x ＞2，解得x ＞ln23， 所求不等式的解集为（ln23，+∞）．故答案为：（ln23，+∞）．四、解答题（共6题，满分70分）17．（10分）S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a n 2+2a n ＝4S n +3． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和． 解：（Ⅰ）∵a n 2+2a n ＝4S n +3，∴a n +12+2a n +1＝4S n +1+3，两式相减得：a n +12﹣a n 2+2a n +1﹣2a n ＝4a n +1，整理得：a n +12﹣a n 2＝2（a n +1+a n ）， 又∵a n ＞0， ∴a n +1﹣a n ＝2， 又∵a 12+2a 1＝4a 1+3， ∴a 1＝3或a 1＝﹣1（舍），∴数列{a n }是以3为首项、2为公差的等差数列， ∴a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n ＝2n +1，∴b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12（12n+1−12n+3），∴数列{b n }的前n 项和为：12（13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3）=12（13−12n+3）=13•n2n+3．18．（12分）已知函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．（1）若a ＝0，求y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（2）若方程f （x ）＝0有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝0时，f(x)=x 3−92x 2+6x ，∴f ′（x ）＝3x 2﹣9x +6，∴切线的斜率为f ′（1）＝3×12﹣9×1+6＝0，又f(1)=13−92×12+6×1=52， ∴y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y −52=0×(x −1)，即y =52． （2）若方程f （x ）＝0有且仅有一个实数根，即x 3−92x 2+6x −a =0有一根， 即ℎ(x)=x 3−92x 2+6x ，g(x)=a 两个函数图像只有一个交点，∵h ′（x ）＝3x 2﹣9x +6，令h ′（x ）＞0，可得3x 2﹣9x +6＞0，∴x ＞2或x ＜1， ∴h （x ）在（2，+∞）和（﹣∞，1）上单调递增， 令h ′（x ）＜0，可得3x 2﹣9x +6＜0，∴1＜x ＜2，∴h（x）在（1，2）上单调递减，∴h（x）的极大值为ℎ(1)=52，极小值为h（2）＝2，如图所示：由图可知当a＞52或a＜2时，h（x），y＝g（x）＝a两个函数图像只有一个交点，故方程f（x）＝0有且仅有一个实数根，实数a的取值范围为(52，+∞)∪(−∞，2)．19．（12分）杭师大附中三重门的樱花是师附校友心中最美的记忆．每年樱花季，在樱花树下流连超10小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：（1）补全2×2列联表，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？（2）现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（1）2×2列联表如下表所示：∴χ2=50(20×14−10×6)230×20×24×26≈6.46＜6.635，故根据小概率值α＝0.01的独立性检验，不能认为“樱花迷”与性别有关联．（2）由20：10＝2：1可得，抽取的6人中男生为4人，女生为2人．则X的所有可能取值为0，1，2，又P(X=0)=C22C62=115，P(X=1)=C41C21C62=815，P(X=2)=C42C62=25．∴X的分布列如下表：∴E(X)=0×115+1×815+2×25=43．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1为矩形，AB⊥AC且AB＝AC＝2，D为B1C1的中点，AA1=B1C=2√2．（1）证明：AC1∥平面A1BD；（2）求平面AB1C与平面AA1D的夹角的余弦值．解：（1）连接AB1与A1B交于点O，连接OD，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为三棱柱，∴ABB1A1为平行四边形，点O为AB1的中点，又∵D为B1C1的中点，则AC1∥OD，又∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD．（2）∵CA ⊥AB ，CA ⊥AA 1，AB ∩AA 1＝A ， ∴CA ⊥面ABB 1A 1， ∵AB 1⊂面ABB 1A 1， ∴CA ⊥AB 1，∴AB 1=√CB 12−AC 2=√(2√2)2−22=2，∵AB =2，AB 1=2，BB 1=2√2，∴AB 2+AB 12=BB 12，即AB ⊥AB 1，以A 为坐标原点，AB ，AB 1，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，A （0，0，0），A 1（﹣2，2，0），B （2，0，0），B 1（0，2，0），C 1（﹣2，2，2），D （﹣1，2，1）， ∴AA 1→=(−2，2，0)，A 1D →=(1，0，1)， ∵AB ⊥AB 1，AB ⊥AC ，AB 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥面AB 1C ，则平面AB 1C 的一个法向量为n 1→=(1，0，0)， 设平面AA 1D的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，则{AA 1→⋅n 2→=0A 1D →⋅n 2→=0，即{−2x +2y =0x +z =0，令x ＝1，y ＝1，z ＝﹣1，∴n 2→=(1，1，−1)， 设平面AB 1C 与平面AA 1D 的夹角为θ，∴cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=|1×1+0×1+0×(−1)|1×√1+1+(−1)=13=√33， ∴平面AB 1C 与平面AA 1D 的夹角的余弦值是√33． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 上任意一点M 到F 的距离最大值和最小值之积为3，离心率为12．（1）求C 的方程；（2）若过点P （n ，0）（n ＜﹣2）的直线l 交C 于A ，B 两点，且点A 关于x 轴的对称点落在直线BF 上，求n 的值及△F AB 面积的最大值．解：（1）由题意可得，M （x 0，y 0），F （﹣c ，0），|MF|=√(x 0+c)2+y 02=√(x 0+c)2+(1−x 02a 2)b 2=√(ca x 0+a)2=cax 0+a ， 又因为﹣a ≤x 0≤a ，|MF |max ＝a +c ，|MF |min ＝a ﹣c ， 由已知可得a 2﹣c 2＝3，即b 2＝3，又e =c a =12，所以a ＝2c ，则a 2﹣c 2＝3c 2＝3，解得c ＝1，所以a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又F （﹣1，0），因为∠PF A +∠PFB ＝π，所以k AF +k BF ＝0，即x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0①． 设直线l ：x ＝my +n （m ≠0），联立方程{x =my +n x 24+y 23=1，得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，Δ＝（6mn ）2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＝48（3m 2﹣n 2+4）＞0，可得n 2＜3m 2+4②， 由韦达定理，可得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1⋅y 2=3n 2−123m 2+4③， 将x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n 代入①， 可得2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0④， 再将③代入④，可得6m(n 2−4)3m 2+4=6mn(n+1)3m 2+4，解得n ＝﹣4，所以直线l 的方程为x ＝my ﹣4， 且由②可得，3m 2+4＞16，即m 2＞4， 由点F （﹣1，0）到直线l 的距离d =3√1+m 2，|AB|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√1+m 2⋅√m 2−43m 2+4，所以S △FAB=12|AB|⋅d =12×12√1+m 2⋅√m 2−43m 2+43√1+m 2=18√m 2−43m 2+4，令√m 2−4=t ，t ＞0，则S △FAB =18t 3t 2+16=183t+16t≤182√3×16=3√34， 当且仅当3t =16t 时，即t 2=163=m 2−4，m =±2√213等号成立， 所以△F AB 面积S 最大值为3√34． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ﹣1．（1）讨论函数的单调性；（2）若g （x ）＝x +e ax •f （x ）（a ＞0）有两个不同的零点x 1，x 2，（0＜x 1＜x 2），不等式x 1⋅x 22＞e m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝lnx ﹣ax ﹣1，定义域为（0，+∞），f ′(x)=1x −a ， 当a ≤0时，f ′（x ）＞0恒成立，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，f ′（x ）＞0解得0＜x ＜1a ，f ′（x ）＜0解得x ＞1a ，f （x ）在(0，1a )上单调递增，在(1a ，+∞)上单调递减．（2）g （x ）＝x +e ax （lnx ﹣ax ﹣1）有两个不同零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）， 由x +e ax （lnx ﹣ax ﹣1）＝0，可得x e ax+(lnx −ax)−1=e lnx−ax +(lnx −ax)−1=0，构造函数u （x ）＝e x +x ﹣1，u ′（x ）＝e x +1＞0， 所以u （x ）为（﹣∞，+∞）上的增函数，且u （0）＝0，即lnx ﹣ax ＝0有两个不等实根x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则{ax 1=lnx 1ax 2=lnx 2，令lnx 1lnx 2=x 1x 2=t ，（0＜t ＜1），由x 1＝tx 2，可得lnx 1＝lnx 2+lnt ，又lnx 1＝tlnx 2，所以tlnx 2＝lnx 2+lnt ，则lnx 2=1t−1lnt ，lnx 1=tt−1lnt ， 故lnx 1+2lnx 2=t+2t−1lnt ， 而x 1⋅x 22＞e m 两边取对数，可转化为lnx 1+2lnx 2＞m ，即t+2t−1lnt ＞m ，设v(x)=x+2x−1lnx(0＜x ＜1)，则m ＜v （x ）在（0，1）上恒成立，v ′(x)=1(x−1)2(−3lnx +x 2+x−2x)， 设φ(x)=−3lnx +x −2x+1，φ′(x)=(x−1)(x−2)x 2， φ'（x ）＞0在（0，1）上恒成立，φ（x ）在（0，1）递增，φ（1）＝0，φ（x ）＜0在（0，1）上恒成立，得v ′（x ）＜0在（0，1）上恒成立， 则v （x ）在（0，1）递减，所以v （x ）的最小值接近极限值x →1lim(x+2)lnxx−1， 设p （x ）＝（x +2）lnx ，则p ′(x)=lnx +x+2x， x →1lim(x+2)lnx x−1=x →1limp(x)−p(1)x−1=p′(1)=3，所以v （x ）的最小值无限接近3，即得m 的取值范围为（﹣∞，3]．。
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杭师大附中2011学年第二学期期中考试高 二 数 学 试 卷（理科）
一、选择题（共10小题，每题4分）
1.若复数
)()2(2
2
5222R a i x x x x x ∈--+-+-为纯虚数，则x 的值为（ ） A ．2． B ． -1. C ．21-． Ｄ．2
1． 2.若ａ，ｂ为实数，
,1i i
bi
a =++则ａ，ｂ的值为（ ） Ａ．ａ＝１，ｂ＝－１． B ．ａ＝１， ｂ＝１． Ｃａ＝－１，ｂ＝１． Ｄ．ａ＝－１，ｂ＝－１． 3．曲线Inx x x y ++=
1在点），（211处的切线方程为（ ） .4345.A +=x y .4345.B -=x y .4345-.C -=x y .4
345-.D +=x y
4.设袋中有60个红球，10个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A ．10
70
610470C C C ⋅ B ．10
70
410670C C C ⋅ C ．10
70
610460C C C ⋅ D ．10
70
410660C C C ⋅ ）
时（则时且满足已知对于任意实数0,0)(,0)(,0),()(),()(,.5<>'<'>=--=-x x g x f x x g x g x f x f x .0)(,0)(A <'<'x g x f 、 .0)(,0)( B <'>'x g x f 、
.0)(,0)(C >'<'x g x f 、 .0)(,0)(D >'>'x g x f 、
.
)()(3109~0.62个不同的二次函数各项系数，则可以组成个数作为函数个数中，选出这从c bx ax x f ++=
.900.A .1000.B .648.C .720.D
7.面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a 的性质|a |2=a 2类比得到复数z 的性质|z |2=z 2
；
③方程),,(02
R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是042
>-ac b 可以类
比得到：方程),,(02C c b a c bz az ∈=++有两个不同复数根的条件是042
>-ac b ； ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 ( )
A .①③
B . ②④
C . ①④
D . ②③
）为（
则，其中若)(,2
1
)(P ,31)(P .8121221ξξξξξξ≥≥>=≤=≥X P X X
.32.A .65.B .61.C .3
1.D
）
整除的余数是（被
为偶数，则设108C 8C 8C 8.912211---++++n n n n n n n n A ．0. B.1. C.2. D.-1.
）
的值为（
则设)1001
()31()21()100()2()1(,11)(.102
f f f f f f x x f ++++++++=
.99.A .5.99.B .100.C ..5100.D
二、填空题（共6小题，每小题4分）
11．函数._____________3
)(3的最小值是x
x
e e
x f +
= 12.在7)1-x )(2-x (的展开式中x 5的系数是______________.
13．用0、1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答）
.
____________)6)(5)(4)(3)(2(.144的项的系数是的展开式中，含在x x x x x x -----
⋯=+=+=+
,15
4
41544,833833,322322.15若b a b
a
b a ,(,66=+
均为实数），
请推测.______________,==b a
[).___________1.16上的单调性为，在区间函数∞+=x
e y x
三、解答题（共4小题，17、18小题8分，19、20每小题10分）
.
)3(21-2.177
系数绝对值的最大的项）系数的最大的项；
项；（）二项式系数的最大的的展开式中，求：（）在（x
.,1)2()1(,)1(2.181121z z z z i i z +=-=求若；
求：已知复数最值.
.621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X
20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 62
1)1ln()(2
-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值
范围．
杭师大附中2011学年第二学期期中考试
高 二 数 学 答 卷（理科）
命题人：段 佳 命题时间：2011-4-10
二. 填空题（共6题，每小题4分；满分24分）
11. ； 12. ；
13.___________ ___； 14.___ _______ ____；
15._____________ _； 16.____ ___________；
三、解答题（共4小题，17、18小题8分，19、20每小题10分）
.
)3(21-2.177
系数绝对值最大的项）系数最大的项；
；（）二项式系数最大的项的展开式中，求：（）在（x
.,1)2()1(,)1(2.181121z z z z i i z +=-=求若；
求：已知复数最值.
.
621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X
20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 62
1)1ln()(2
-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值
范围．
杭师大附中2011学年第二学期期中考试
高二数学答卷（理科）
二. 填空题（共6题，每小题4分；满分24分）
11. 4 ；12. -77 ；
13.________;
________14.___ __-20_____ __；
768
15.______a=6, b=35____；16.____ 单调增函数___；
三. 解答题（共4小题，每小题9分）
.
621.21445.19分的概率）得分不小于的分布列；（）得分求：（分一个黑球得分，取个球，设取一个白球得出个黑球，现从中随机取个白球和袋子中有X
）解：（1
（４分）．１４
９＝６０＋２０＋６）＝
（２）Ｐ（1261261261≥ξ 20. 已知ｘ＝２是函数x x x a x f 62
1)1ln()(2
-++=的一个极值点．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求
函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值
范围．
分）
（个交点，所以有之间时，直线和函数在极大值点和极小值点线）分析下图可知，当直（分）
（）上单调递减在（，若分）（）上单调递增，，）和（在（，若分）（分，分，）解：（3.10ln 122
27
ln 243)
(31;
3,2)(0)(132,1-)(0)()1(1)
3)(
2(6112)(2)2(;
120)2()1(61)(122-<<-=<'∞+>'+--=
-++='=='-++=
'b x f b y x f x f x f x f x
x x x x x f a f x x
a
x f。