简单形式的柯西不等式课时作业(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

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2019-2020高中北师版数学选修4-5课时分层作业10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝(ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.[答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. [答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为__________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案]2588．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56.[答案] 56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. [答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________．[解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0， y ＝3x －5＋46－x≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5. [答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得： sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2，所以原不等式得证．。

北师大版数学高二-选修4-5 柯西不等式练习3)

选修4-5 柯西不等式练习3)221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . ..63625B C D3.______y =函数 224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是6、求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥.9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值.10、若a >b >c ，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

13、解方程()()()22221111211x x x x x x +⋅++=+++参考答案:例1 例2 例3例4 {222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为练习1．A 2、B 3．3 4．11 5．2526．分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-+-→ 推广：,(,,,,,)y a bx c d e fx a b c d e f R +=++-∈7．（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 8．分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）要点：222211111111()()[()()][()()]22x y x y x y x y x y+=++=++≥… 9．要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法10、要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c-+=-+-+≥+=---- 11、设点()111,x y P 是直线l 上的任意一点，则110x x C A +B += （1）点01,P P 两点间的距离: ()()22010101p p x x y y =-+- （2）01p p 的最小值就是点0p 到直线l 的距离， ∵ ()()()()222201010101x x y y x x y y A +B-+-≥A -+B -()0011x y C x y C =A +B +-A +B + 由（1）（2）得： 221200p p x y C A +B≥A +B + 即001222x y C p p A +B +≥A +B（3）当且仅当 ()()0101:y y x x B --=A12p p l ⊥ （3）式取等号即点到直线的距离公式即001222x y C p p A +B +=A +B12. 证明：由柯西不等式，得()[]()[]11111222222=-+-+≤-+-b b a a a b b a当且仅当a b ab2211-=-时，上式取等号， ,1122b a ab -•-=∴ ()(),112222b ab a --= 于是 122=+b a。

北师大版数学选修4-5达标检测：第二章 §1 1.1 简单形式的柯西不等式 1.2 一般形式的柯西不等式

[A 基础达标]1.设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169 C ．13D ．0解析：选C.(2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13.2.已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( ) A ．1 B ．4 C.13D ．12解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.3.已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(0，－1)D ．[－1，1]解析：选D.设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )． ∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|得|t |≤1. ∴t 的取值范围是[－1，1]．4.已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则a 2＋b 2＝________．解析：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1，当且仅当b1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)，于是a 2＋b 2＝1. 答案：1[B 能力提升]5.若x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．1 B ．12C ．－1D ．－12解析：选B.∵(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2， ∴2(x 2＋y 2)≥1，∴x 2＋y 2≥12，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，所以x 2＋y 2的最小值为12，故选B.6.已知a 、b ∈(0，＋∞)，x 1，x 2∈(0，＋∞)，要使不等式(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2成立的一个条件是( )A ．a ＋b ＝1B ．a 2＋b 2＝1C ．a ＝b ＝1D ．a 2＋b 2＝12解析：选A.(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2) ＝[(ax 1)2＋(bx 2)2][(bx 1)2＋(ax 2)2] ≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2 ＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2，∴a ＋b ＝1时，可有(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2. 7.已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c3，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥B C ．A <B D ．A ≤B解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥（a ＋b ＋c ）29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0， ∴a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c3，故选B. 8.已知3x ＋2y ＝1.当x 2＋y 2取最小值时，x ，y 的值为( )A.⎩⎨⎧x ＝313y ＝213B ．⎩⎨⎧x ＝213y ＝313C.⎩⎨⎧x ＝16y ＝14D ．⎩⎨⎧x ＝14y ＝16解析：选A.x 2＋y 2＝113(x 2＋y 2)(32＋22)≥113(3x ＋2y )2＝113，当且仅当x 3＝y2，得⎩⎨⎧x ＝313y ＝213. 9.已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不确定解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1. 即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.10.函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________．解析：由x 、3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤2[（x ）2＋（3－x ）2] ＝2×3＝ 6. 答案： 611.已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：∵a ＋2b ＋3c ＝6， ∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．答案：1212.已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ＝|m ·n |≤|m ||n |＝⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 13.已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4. 证明：由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2. 又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2， ∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2， ∴|x ＋3y ＋4z |≤4.由Ruize收集整理。

北师大数学选修45课时分层作业10 简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式含解析

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝ (ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2 ＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65.[答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. [答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny ＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2 B ．m C ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y 的最小值为__________． [解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案] 2588．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.[解析] 由柯西不等式，得25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302. 当且仅当a x ＝b y ＝cz ＝k 时取“＝”，由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.[答案] 56 三、解答题9．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． [解] 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a ，b 均为正数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b2sin 2θ.[证明] 设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫acos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m ·n |≤|m ||n | ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b sin θ2·1 ＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.[能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4. [答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n .即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________．[解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0， y ＝3x －5＋46－x ≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号． ∴y max ＝5. [答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2，所以原不等式得证．。

高中数学选修4-5柯西不等式习题

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。

简单形式的柯西不等式知能优化训练(Word版含答案) 高中数学选修4-5 北师大版

1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为( ) A.13 B ．169C ．13D ．0解析：选C.(2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)，∴x 2＋y 2≥13.2．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )A ．1B ．4C.13D.12解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 3．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，x 2＋y 2＋z 2＝1，t ＝ax ＋by ＋cz ，则t 的取值范围( )A ．(0,1)B ．(－1,1)C ．(0，－1)D ．[－1,1]解析：选D.设α＝(a ，b ，c )，β＝(x ，y ，z )．∵|α|＝a 2＋b 2＋c 2＝1，|β|＝x 2＋y 2＋z 2＝1，由|α||β|≥|α·β|得|t |≤1.∴t 的取值范围是[－1,1]．4．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，则a 2＋b 2＝________.解析：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][(1－b 2)＋b 2]＝1，当且仅当b 1－a 2＝1－b 2a 时，上式取等号， ∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)，于是a 2＋b 2＝1.答案：15．若x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.12C ．－1D ．－12解析：选B.∵(x 2＋y 2)(12＋12)≥(x ＋y )2，∴2(x 2＋y 2)≥1，∴x 2＋y 2≥12，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，所以x 2＋y 2的最小值为12，故选B. 6．已知a 、b ∈(0，＋∞)，x 1，x 2∈(0，＋∞)，要使不等式(ax 1＋bx 2)·(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2成立的一个条件是( )A ．a ＋b ＝1B ．a 2＋b 2＝1C ．a ＝b ＝1D ．a 2＋b 2＝12解析：选A.(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2][(bx 1)2＋(ax 2)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝(a ＋b )2x 1x 2，∴a ＋b ＝1时，可有(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)≥x 1x 2.7．已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c 3，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥BC ．A <BD ．A ≤B解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2) ≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c )29，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0，∴ a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3，故选B. 8．已知3x ＋2y ＝1.当x 2＋y 2取最小值时，x ，y 的值为( )A.⎩⎨⎧ x ＝313y ＝213 B.⎩⎨⎧ x ＝213y ＝313 C.⎩⎨⎧ x ＝16y ＝14 D.⎩⎨⎧ x ＝14y ＝16解析：选A.x 2＋y 2＝113(x 2＋y 2)(32＋22) ≥113(3x ＋2y )2＝113，当且仅当x 3＝y 2，得⎩⎨⎧x ＝313y ＝213. 9．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．不确定解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1.即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.10．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________．解析：由x 、3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤2[(x )2＋(3－x )2]＝2×3＝ 6.答案： 611．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，当且仅当a x ＝b y ＝c z＝k 时取“＝”．由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z＝k ＝56. 答案：5612．已知θ为锐角，a ，b 均为正实数．求证：(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 证明：设m ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ，b sin θ，n ＝(cos θ，sin θ)，则|a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ ＝|m·n|≤|m||n| ＝⎝⎛⎭⎫a cos θ2＋⎝⎛⎭⎫b sin θ2·1＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ， ∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 13．(2012·淮南质检)已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4. 证明：由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2.又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2，∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2，∴|x ＋3y ＋4z |≤4.。

苏教版高二数学选修4-5 柯西不等式 (1) 课时作业

柯西不等式一、单选题1．设a 、b 、c 、x 、y 、是正数，且，，，则＝( )A. B. C. D.2．函数y =的最大值是( )A. B. C. D. 3．已知(),,0,1a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（）A.B. C. D. 4．设实数,,,,a b c d e 满足关系 8a b c d e ++++=， 2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（）A. 2B.165 C. 3 D. 255．函数()212(0)f x x x x=+>的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 66．(选修4-5 不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.7．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 8．设正实数x y z 、、满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最小值时，2x y z +-的最大值为（）A.0B. 2 C .98 D. 949．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当z xy 取得最大值时，zy x 212-+的最大值为（）A ．0B ．1C ．49D ．3A. B. C.﹣ D.二、解答题 11．已知函数.（Ⅰ）若不等式有解，求实数的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数，满足，证明.12．[2018·湖北联考]已知函数．（1）求函数的最小值；（2）若正实数满足，求证．13．选修4-5 不等式选讲已知，，，函数的最大值为10．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值，并求出此时，，的值．14．D. 选修4-5 选修4-5 不等式选讲已知是正实数，且，求证.15．选修4-5 不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （1）证明 ()()()1118a b c +++≥；（2）证明111a b c≤++.参考答案1．C【解析】由柯西不等式得,当且仅当时等号成立∵，，∴中等号成立，∴一定有，∴则故选C 2．D【解析】由柯西不等式可得y ==≤=故选D. 3．D【解析】【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥，利用柯西不等式公式求得()1111119,111a b c a b c ⎛⎫++-+-+-≥⎪---⎝⎭从而求得()1119111111a b c a b c ++≥≥=----+-+- 4．B【解析】解根据柯西不等式可知 4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2， ∴4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，∴5e 2-16e ≤0， ∴0≤e ≤165，本题选择B 选项.点睛根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式求解最值，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式． 5．A【解析】由题意得，因为0x >，则221123y x x x x x =+=++≥=，当且仅当211x x x=⇒=时等号成立的，所以函数的最小值为3，故选A. 6．16【解析】试题分析利用柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，从而有222x y z ++的最小值试题解析解由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ，当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++z y x. …………10分考点柯西不等式 7．C 【解析】试题分析由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x 则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点柯西不等式. 8．B【解析】试题分析由已知得1342344322=-⨯≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，y x 2=时等号成立，代入已知得2y z =，则222=422(1)22x y z y y y +--=--+≤。

数学选修4-5一般形式的柯西不等式练习题含答案

【解析】
分情况讨论去掉绝对值，再分别解不等式即可；
由于化简得到，与要证的结论能构成柯西不等式模型，故直接用柯西不等式证明即可.
【解答】
解：
或或
解得：无解，或，或，
综上可得：不等式的解集为 .
，，均为正数，
∴ ，
即：，
∴由柯西不等式可得：，
∴ .
18.
【答案】
解：（1）由柯西不等式可得，
（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；
【解答】
解：（1）由柯西不等式得，
得：；
（2）∵ ，
由柯西不等式得：（），
由柯西不等式得：（）
所以，，
．
∴ ．
∴ ．得
所以，当且仅当时，等号成立．
故所求的最小值是．
23.
【答案】
可化为直角坐标方程，即；
对于曲线的参数方程为（为参数），可化为普通方程．
（2）过圆心点作直线的垂线，此时切线长最小，
则由点到直线的距离公式可知，，则切线长为．
因为，所以，所以，．
又的解集是，故．
（2）由（1）知，，，，由柯西不等式得．
∴ 的最小值为．
21.
【解答】
解：∵
∴
故答案为：
10.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】
直接利用柯西不等式进行求解即可．
【解答】
解：由柯西不等式可知
（）
∴ 即
故答案为：
11.
【答案】
【考点】
一般形式的柯西不等式
【解析】

人教版高中数学选修4-5课时提升作业 3.1二维形式的柯西不等式 Word版含答案

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课时提升作业九二维形式的柯西不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为( )A.30B.-30C.D.-【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为( )A.P≤QB.P<QC.P≥QD.P=Q【解析】选A.Q2=(am+cn)≥=(+)2=P2,因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设x,y∈R+,则(x+y)·的最小值是________. 【解析】(x+y)≥=(+)2=5+2,当且仅当·=·时,等号成立.答案:5+25.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________. 【解析】2x+y=(2x+y)=≥=3+2,当且仅当·=·时,等号成立,又+=1,则此时答案:3+2【一题多解】2x+y=(2x+y)=++3≥2+3=2+3.当且仅当=,即2x2=y2时取等号.又+=1,则此时答案:2+3【拓展延伸】利用柯西不等式的关键利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,求证:+≥,指出等号成立的条件.【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,于是+≥=,当m=n=时等号成立.7.求函数f(x)=-的最大值.【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,即得-≤.【解析】由于f(x)=-=-=-≤=.8.已知函数f(x)=|x-4|.(1)若f(x)≤2,求x的取值范围.(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2,即2≤x≤6,即x的取值范围为.(2)由2≤x≤6可得g(x)=2+,由柯西不等式,得g(x)≤=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为( )A.y1y2<x1x2B.y1y2=x1x2C.y1y2>x1x2D.不能确定【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,所以y1y2=·==>==x1x2.【补偿训练】已知a,b∈R,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是( )A.P≥QB.P>QC.P≤QD.P<Q【解析】选C.因为(a2+b2)≥,当且仅当a·=b·,即a=b时“=”成立.所以≥+,即Q≥P.2.函数y=+的最小值是( )A.20B.25C.27D.18【解题指南】由函数式的特征,两项分母x及1-2x的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能.【解析】选B.y=+=+=≥=25,当且仅当x=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5.答案:54.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最小值是________.【解析】因为a,b∈R+且a+b=1,所以+=(a+b),由柯西不等式得(a+b)≥==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1, b=2-.答案:+【一题多解】+=(a+b)=++≥2+=+,当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.答案:+三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有=≥=(x+y)2=4,所以+≥===2.当且仅当·=·,即x=y=1时,等号成立.所以当x=y=1时,+有最小值2.6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得(A2+B2)≥2=2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥.当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.关闭Word文档返回原板块。

高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》同步课时作业(含答案)

高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》同步课时作业(建议用时：45分钟)一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是() A．1 B. 3C．3 D.92．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为()A．4 B．3 C．6 D.23．设a1，a2，…，a n为实数，P＝a21＋a22＋…＋a2nn，Q＝a1＋a2＋…＋a nn，则P与Q的大小关系为()A．P＞Q B．P≥QC．P＜Q D.不确定4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为()A．1B．6 C．11 D.6 115．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为()A．24B．30C．36D．48二、填空题6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．三、解答题9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.巩固提高1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D.122．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.343．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________.4．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.高中数学选修4-5《一般形式的柯西不等式》同步课时作业参考答案一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3D.9【解析】由柯西不等式得[(a )2＋(b )2＋(c )2](12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2，∴(a ＋b ＋c )2≤3×1＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．∴a ＋b ＋c 的最大值为 3.故选B. 【答案】 B2．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则2a ＋2b ＋2c 的最小值为( )A ．4B ．3C ．6D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫2c 2≥ ⎝⎛⎭⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝⎛⎭⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1， ∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛⎭⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. 【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499.【答案】4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2， ∴－214≤3x －y －2z －5≤214，即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214.若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z －2＝t ，∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214， ∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1. 【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1 三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝⎛⎭⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥xy ＋2z ·y ＋2z ＋y z ＋2x ·z ＋2x ＋zx ＋2y ·x ＋2y ＝1，即3⎝⎛⎭⎫x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z2x ＋2y ≥1，∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13. (2)由基本不等式，得4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝⎛⎭⎫z －122＋34≥34，故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立，所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2 ＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2 ＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1， ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.巩固提高1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b 的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D.12【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0， ∴a ＋4(2a －b )·b ＝12⎣⎡⎦⎤(2a －b )＋b ＋8(2a －b )·b ≥12·33(2a －b )·b ·8(2a －b )·b＝3. 当且仅当2a －b ＝b ＝8(2a －b )·b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴当a ＝b ＝2时，a ＋4(2a －b )·b 有最小值3.【答案】 B2．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( ) A.14 B.13 C.12D.34 【解析】由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当ax ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 【答案】 C3．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝6，则2a ＋2b ＋1＋2c ＋3的最大值为________. 【解析】由柯西不等式得：(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)2＝(1×2a ＋1×2b ＋1＋1×2c ＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b ＋1＋2c ＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a ＝2b ＋1＝2c ＋3，即2a ＝2b ＋1＝2c ＋3时等号成立．又a ＋b ＋c ＝6，∴a ＝83，b ＝136，c ＝76时，2a ＋2b ＋1＋2c ＋3取得最大值4 3. 【答案】 4 34．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2. 【证明】由三角形中的正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫4R 2a2＋4R 2b 2＋4R 2c 2 ≥⎝⎛⎭⎫a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2Rc 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。

2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5

2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】一、填空题1、柯西不等式二维公式：2、利用柯西可知：3、已知4、已知5、已知二、解答题：1、已知、、，，求证2、已知的取值范围。

求、b a b a b a +>=+,0,44三、选择题：1．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]2．若x 、y 、m 、n ∈(0，＋∞)，且m x ＋n y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．m ＋nB ．4mnC ．(m ＋n )2D.m 2＋n 223．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029 C ．1，12，13 D ．1，14，194．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2＜x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2＞x 1x 2D ．不能确定 5．若x 、y 、z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．96．若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．97．若x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2的最小值为( )A. 2B.22C. 3D.338．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m 与n,3m ＋2n 的最大值是( )A ．35B ．37C ．38D ．419．已知x 、y 、z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 【自助餐】1．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 的最小值是__________．2．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________．3．已知x 、y 、z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )(y ＋z )的最小值为__________．4．若x 1、x 2、x 3大于0，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 1x 22x 3＋x 1x 2x 23的最大值为________．5．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.6．已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.30346768A 皊29175 71F7 燷365978EF5軵^(21585 5451 呑l6+C37936 9430 鐰lCc。

高中数学课时分层作业10简单形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北师大版选修4_5

课时分层作业(十)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q[解析] 设m ＝(ax ，by )，n ＝(a ，b )，则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m||n| ＝ (ax )2＋(by )2·(a )2＋(b )2＝ax 2＋by 2·a ＋b ＝ax 2＋by 2，所以(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2.即P ≤Q . [答案] A2．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A ．56 B ．65 C ．2536D ．3625[解析] 2x 2＋3y 2＝(2x 2＋3y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13·65≥65⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ·22＋3y ·332＝65(x ＋y )2＝65. [答案] B3．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为( )A ．24B ．30C ．36D ．48[解析] (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z≥36.[答案] C4．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋n y＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( )A ．(m ＋n )2B ．mC ．nD ．(m ＋n )2[解析] 根据柯西不等式，得x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫m x ＋n y ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·m x ＋y ·n y 2＝(m ＋n )2，当且仅当x m ＝yn时，等号成立，这时u 取最小值为(m ＋n )2. [答案] A5．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝ 5.[答案] B 二、填空题6．函数y ＝x ＋3－x 的最大值为__________． [解析] 由x ，3－x 非负且(x )2＋(3－x )2＝3，所以x ＋3－x ≤ 2[(x )2＋(3－x )2] ＝2×3＝ 6. [答案]67．设x ，y 为正数，且x ＋2y ＝8，则9x ＋2y的最小值为__________．[解析] (x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋2y＝[(x )2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·3x ＋2y ·2y 2＝25，又x ＋2y ＝8， ∴9x ＋2y ≥258. [答案]2588．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则a＋b＋cx＋y＋z＝________.[解析]由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.当且仅当ax＝by＝cz＝k时取“＝”，由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝56，所以a＋b＋cx＋y＋z＝k＝56.[答案]56三、解答题9．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．[解]由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥13.当且仅当x＝2y＝z＝13，即x＝13，y＝16，z＝13时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为13.10．已知θ为锐角，a，b均为正数．求证：(a＋b)2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.[证明]设m＝⎝⎛⎭⎪⎫acos θ，bsin θ，n＝(cos θ，sin θ)，则|a＋b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪acos θ·cos θ＋bsin θ·sin θ＝|m·n|≤|m||n|＝⎝⎛⎭⎪⎫acos θ2＋⎝⎛⎭⎪⎫bsin θ2· 1＝a2cos2θ＋b2sin2θ，∴(a ＋b )2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. [能力提升练]1．已知x ，y 为正数，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1D ．14[解析] ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1x ×1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1xy 2＝22＝4.[答案] A2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q[解析] ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥＝n 2， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n.即P ≥Q . [答案] B3．已知函数y ＝3x －5＋46－x ，则函数的定义域为__________，最大值为__________． [解析] 函数的定义域为[5,6]，且y ＞0，y ＝3x －5＋46－x≤32＋42×(x －5)2＋(6－x )2＝5，当且仅当36－x ＝4x －5，即x ＝13425时取等号．∴y max ＝5.[答案] [5,6] 54．△ABC 的三边长为a ，b ，c ，其外接圆半径为R . 求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.[证明] 由三角形中的正弦定理得：sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R2a2，同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R2c 2，于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2R a ＋b ·2R b＋c ·2R c 2＝36R 2，所以原不等式得证．。

苏教版高二数学选修4-5 柯西不等式课时作业

柯西不等式一、填空题1．已知A 、B 、C 是三角形三个角的弧度数，则CB A 111++的最小值． 2．对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋4b 2－c ＝0，且使 2a ＋b 最大时，345a b c-+的最小值为．3．（2014•荆门模拟）已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a+b+c+d+e=8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则e 的取值范围是．4．（2014•陕西三模）已知a 、b 、c 、d 均为正数，且a 2+b 2=4，cd=1，则（a 2c 2+b 2d 2）（b 2c 2+a 2d 2）的最小值为．5．（2014•祁东县一模）已知a ，b ，c ∈R ，且2a+2b+c=8，则（a ﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是． 6．（2014•陕西模拟）函数的最大值是．7．（2014•黄冈模拟）设a 、b 、c 为正数，a+b+9c 2=1，则++c 的最大值是，此时a+b+c= ．8．已知R z y x ∈,,，且1332=++z y x ，则222z y x ++的最小值是．二、解答题9．选修4-5 不等式选讲已知222,,,1a b c R a b c ∈++=.(Ⅰ)求证 a b c ++≤；(Ⅱ)若不等式()211x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立,求实数x 的取值范围.10．选修4-5 不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x <<．（1）求实数,a b 的值；（2）求证 24≤≤．11．[选修4-5 不等式选讲]已知,,a b c R ∈，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围． 12．选修4-5 不等式选讲已知函数()6f x x x =+-.（Ⅰ）求不等式()10f x ≤的解集；（Ⅱ）记()f x 的最小值为m ，若正实数a ， b ， c 满足a b c m ++=，求证m +≤.13．选修4-5 不等式选讲已知实数,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =. （1）证明 ()()()1118a b c +++≥；（2）证明111a b c≤++.参考答案1．π9【解析】试题分析 π=++C B A ,所以，原式转化为BCAA -+π1,根据基本不等式，()()4422A CB BC -=+≤π,所以原式A A BC A A -+≥-+ππ411,等号成立的条件是C B =,所以求原式的最小值转化为求()A A A f -+=π41的最小值，()()2241A A A f -+-='π,令()0='A f ，()()()()()323222222=--+=--+='A A A A A A A A A f ππππππ,3π=A ,当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πA 时，()0<'A f ,函数单调递减，当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,3x ，()0>'A f ,函数单调递减，所以当3π=A 时，函数取得最小值，当3π=A 时，3π==C B ,取得最小值，最小值等于π9．考点 1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值． 2．－2 【解析】试题分析由题知2c ＝－（2a ＋b ）2＋3（4a 2＋3b 2）．（4a 2＋3b 2）（1＋13）≥（2a ＋b ）2⇔4a 2＋3b 2≥34（2a ＋b ）2，即2c≥54（2a ＋b ）2，当且仅当2243113a b =，即2a ＝3b ＝6λ（同号）时， 2a ＋b，此时c ＝40λ2. 223451111(4)88a b c λλλ-+=-=-－2≥－2，当且仅当a ＝34，b ＝12，c ＝52时，345a b c-+取最小值－2.考点不等式的解法及其应用 3．【解析】试题分析先由柯西不等式得（1+1+1+1）（a 2+b 2+c 2+d 2）≥（a+b+c+d ）2从而得到关于e 的不等关系，解之即e 的取值范围．解由柯西不等式得（1+1+1+1）（a 2+b 2+c 2+d 2）≥（a+b+c+d ）2即4（16﹣e2）≥（8﹣e）2解得所以 a的取值范围是故答案为．点评此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．4．16【解析】试题分析所给的式子即（b2d2+a2c2）（b2c2+a2d2），再由条件利用柯西不等式求得它的最小值．解∵a、b、c、d均为正数，且a2+b2=4，cd=1，则（a2c2+b2d2）（b2c2+a2d2）=（b2d2+a2c2）（b2c2+a2d2）≥（b2cd+a2cd）2=（b2+a2）2=16，故答案为 16．点评本题主要考查柯西不等式的应用，式子的变形是解题的关键，属于基础题．5．【解析】试题分析由柯西不等式结合已知中2a+2b+c=8，可得（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，即可求出（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值．解由柯西不等式得（4+4+1）×[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2∴9[（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥（2a+2b+c﹣1）2∵2a+2b+c=8，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2≥，∴（a﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2的最小值是，故答案为．点评本题考查的知识点是一般形式的柯西不等式，其中根据柯西不等式得到（4+4+1）×[（a ﹣1）2+（b+2）2+（c﹣3）2]≥[2（a﹣1）+2（b+2）+c﹣3]2是解答的关键．6．10．【解析】试题分析由函数的特点，利用柯西不等式，即可得到结论．解由于．当且仅当即时等号成立．故函数的最大值是 10．故答案为 10．点评本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件． 7．．【解析】试题分析由条件利用柯西不等式求得++c 的最大值、以及此时对应的a+b+c 的值．解 ∵a 、b 、c 为正数，a+b+9c 2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c ）2]•[12+12+]=1×=，∴++c 的最大值是=，此时，且a+b+9c 2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为．考点二维形式的柯西不等式． 8．221 【解析】试题分析法一根据柯西不等式2332211232221232221)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++；将问题中的x ，y ，分别对应a 1，a 2，a 3 ，2，3，3分别对应b 1，b 2，b 3，有1)332()332)((2222222=++≥++++z y x z y x ，所以有221222≥++z y x ，当且仅当332z y x ==时取得等号，即223,111===z y x 时，222z y x ++取得最小值221；故应填入221．＊法二设点Ｐ的坐标为),,(z y x 是空间直角坐标系一点，且满足1332=++z y x ，所以点P 是平面1332=++z y x 上任意一点，由其几何意义可知 222z y x ++的最小值是坐标原点到平面1332=++z y x 的距离的平方，由空间中点到平面的距离得222z y x ++的最小值是 221)3321030302(2222=++-⨯+⨯+⨯，故应填入 221．考点柯西不等式．9．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) ][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数x 的取值范围为][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.试题解析(Ⅰ)证明由柯西不等式得()()()22222221113a b c ab c ++≤++++=,a b c ≤++≤, a b c ∴++的取值范围是⎡⎣.(Ⅱ)由柯西不等式得()()()22222221113a b c a b c ⎡⎤-+≤+-+++=⎣⎦.若不等式()211x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立, 则113x x -++≥,其解集为][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭, 即实数x 的取值范围为][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 10．（1）3,1a b =-=（2）见解析【解析】试题分析（1）由不等式的解集可得关于,a b 的方程组，解方程组可得结果；（2）由（1）原式可化为为24≤≤，再利用西柯不等式可得结果.试题解析（1）由x a b +<，得b a x b a --<<-，则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；（2）由柯西不等式有222222116⎡⎤⎡⎤=≤++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，4 +≤=，即1t=时等号成立．又() 2312122404t t t t+=-+++≥-≥≤≤，所以2≥，等号成立当且仅当4t=时成立，综上，24≤≤．11．125a≤≤．【解析】试题分析利用题意结合柯西不等式的结论构造关于实数a的不等式，求解不等式可得a的取值范围是125a≤≤．试题解析因为22262a b c-=+，()22212132b c⎛⎫=++⎪⎝⎭()()2222333b c a≥+=-，即25120a a-≤，所以125a≤≤．12．（Ⅰ）[]2,8-;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析（Ⅰ）写成分段函数的形式()26,0,{6,06,26, 6.x xf x xx x-+≤=<≤->，逐段解不等式即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x的最小值为6，即6m=，由柯西不等式得证试题解析（Ⅰ）()26,0,{6,06,26, 6.x xf x xx x-+≤=<≤->当0x≤时，由2610x-+≤，解得20x-≤≤；当06x<≤时，因为610<，所以06x<≤；当6x>时，由2610x-≤，解得68x<≤综上可知，不等式()10f x≤的解集为[]2,8-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x的最小值为6，即6m=.（或者6x x+-≥()66x x--=），所以6a b c++=，由柯西不等式可得()()123a b c++++=222⎛⎫++⎪⎝⎭222⎛⎫++⎪⎝⎭2≥++ 6m ≤=. 13．（1）见解析（2）见解析.【解析】试题分析（1）由题设，各式相乘得 ()()()11188a b c abc +++≥=，又,,a b c 满足0,0,0a b c >>>，且1abc =，即可证明结论；（2）由均值不等式得ab bc ab ac bc ac +≥+≥+≥，相加即可证明结论。

高中数学第二章几个重要的不等式2.1.1简单形式的柯西不等式训练北师大版选修4-5(2021年整理)

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2。

1。

1 简单形式的柯西不等式一、选择题1.下列说法:①二维形式的柯西不等式中a,b，c,d没有取值限制.②二维形式的柯西不等式中a,b，c，d只能取数，不能为代数式。

③柯西不等式的向量式中取等号的条件是α＝β.其中正确的个数有（)A.1个B.2个C。

3个D。

0个解析由柯西不等式的概念知,只①正确，a，b，c，d是实数，没有其取值限制.答案A2.函数y＝错误!＋错误!错误!的最小值是（)A。

20 B.25C。

27 D。

18解析y＝错误!＋错误!＝[2x＋（1－2x）］错误!＝[（错误!）2＋(错误!)2]错误!≥错误!错误!＝（2＋3)2＝25.答案B3。

设a、b∈（0，＋∞)，且a≠b，P＝错误!＋错误!，Q＝a＋b，则( )A。

P>Q B。

P≥QC。

P〈Q D。

P≤Q解析∵错误!（a＋b)＝错误![（错误!)2＋(错误!)2]≥错误!错误!＝(a＋b)2，∵a〉0，b>0，∴a＋b>0.∴错误!≥错误!＝a＋b.又∵a≠b，而等号成立的条件是错误!·错误!＝错误!·错误!，即a＝b，∴a2b＋错误!>a＋b。

20202021学年数学选修45课时作业第三讲二一般形式的柯西不等式含解析.docx

［课酎作业］［A M 基础巩固J1、巳知x2 + y2 + z2 = 1,则工+ 2y + 2z的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由柯西不等式得(x + 2y + 2z)2<(l2 + 22 + 22)(x2+ y2 + z2) = 9,所以一3<x + 2y + 2z<3.当且仅当X =错误！=错误!酎，等号成立.所以x + 2y + 2z的最大值为3.答秦：C2.n个正教的和与这n个正教的倒救和的乘积的最小值是( )A、1 B. 〃C. "2D.错误！解析：设〃个正教为y ・・・> Xn由柯西不等式，得(X\+ X1+ ... + Xn)错误！2 错误!2 = (1 + 1 + ... + I)2 = n2.当且仅当X\ = 工2 = ・・・ =Xn酎取等号、答秦：C3,设。

、b、c为正数,贝!1 (a + b + c)•(错误！ +错误！ +错误!)的最小值为r JA、11 B. 121C, 49 D. 7解析：(a + b + cy错误!之错误!错误i2 = 121o答秦：B4.设。

，b, c均为正教且。

+ Z? + c = 9,贝!1错误！ +错误！ +错误！的最小值为( )A、 81 B. 9C. 7D. 49解析：考虑以下两组向量：〃二错误!,V = r错误！，错误！，错误！人由O刃2<|w|2-|v I 2 得2错误!v错误！r々+z?+c),当且仅当错误！=错误！=错误!，即。

=2, Z? = 3, c = 4酎取等号, 可得错误!・9之(2+ 3 + 4) 2 = 81,所以错误！ +错误！ +错误!之错误！= 9.答秦：B5,设非负实教Q1＞。

2 ,・.., Q〃满足 +。

2 + ... +。

〃 = 1 ,贝j y =错误！ +错误！ + ...+错误！一〃的最小值为( )Ao错误！ B.错误！Co错误！ D.错误！解析:为了利用柯西不等式，注意到f2 —0C1J + f2 —02)+ ... + (2 —dn) = 2〃—(。

人教版数学高二选修4-5课时作业5一二维形式的柯西不等式

第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式一、选择题1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的关系是( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( )A ．[－25，25]B ．[－210，210]C ．[－10，10]D ．(－5，5)3．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．54．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]5．已知a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋cn ·b m ＋d n ，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＝Q6．已知a ，b ＞0，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )A ．2 6B. 6 C ．6D ．12二、填空题7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________．8．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 的最小值是________．9．已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋1y＝1，则2x ＋y 的最小值为________．10．已知函数f (x )＝34－x ＋4x －3，则函数f (x )的最大值为________．三、解答题11．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a 22－a ＋b 22－b≥2.12．试求函数f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 的最大值，并求出相应的sin x 和cos x 的值．13．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)．求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.四、探究与拓展14．若a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．2 C.252 D.7215．已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．答案精析1．A 2.A3．B [根据柯西不等式知，y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x )2＝5(当且仅当x ＝265时取等号)．] 4．C [(3x ＋2y )2≤()(3)2＋(2)2()(3x )2＋(2y )2 ＝5×(3x 2＋2y 2)≤5，∴－5≤3x ＋2y ≤ 5.]5．A [∵P ＝am ·b m ＋nc ·d n≤ [(am )2＋(cn )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2 ＝am ＋cn ·b m ＋d n＝Q . ∴P ≤Q .]6．D [(4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2 ≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立．] 7.11 解析由柯西不等式，得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫122 ＝(3x 2＋2y 2)·⎝⎛⎭⎫43＋12≤6×116＝11⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，所以2x ＋y ≤11.8．5＋2 6解析 (x ＋y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ≥⎝⎛⎭⎫x ·3x ＋y ·2y 2 ＝(3＋2)2＝5＋26，当且仅当x ·2y ＝3x ·y 时，等号成立．9．3＋2 2解析 2x ＋y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y＝[(2x )2＋(y )2]⎣⎡⎝⎛⎭⎫1x 2＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫1y 2≥⎝⎛⎭⎫2x ·1x ＋y ·1y 2 ＝3＋22，当且仅当2x ·1y ＝1x ·y 时，等号成立，又1x ＋1y ＝1，则此时⎩⎨⎧ x ＝2＋22，y ＝2＋1.10．5解析由柯西不等式知，(34－x ＋4x －3)2≤(32＋42)·[(4－x )2＋(x －3)2]＝25. 当且仅当3x －3＝44－x 时，等号成立，因此f (x )≤5.11．证明根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ＋b 22－b ＝[(2－a )2＋(2－b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a ·a 2－a ＋2－b ·b 2－b 2 ＝(a ＋b )2＝4.∴a 22－a ＋b 22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2.∴原不等式成立．12．解设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin 2x )，则f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x ＝m ·n ≤|m ||n | ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ·32＋42＝5 2.当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，31＋sin 2x －4cos x ＝0.解得sin x ＝±75，cos x ＝325. 故当sin x ＝±75，cos x ＝325时． f (x )＝3cos x ＋41＋sin 2x 取最大值5 2.13．证明由a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)，及柯西不等式，可得(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2]≥(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2＝(a x 1x 2＋b x 1x 2)2＝x 1x 2，当且仅当ax 1ax 2＝bx 2bx 1，即x 1＝x 2时取得等号．所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.14．C [⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋2＋1a 2＋b 2＋2＋1b2. ∵a ＋b ＝1，∴a 2＋b 2＝12(a 2＋b 2)·(1＋1)≥12(a ＋b )2＝12. 又∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8(a ＋b )2＝8，以上两个不等式都是当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥12＋2＋2＋8＝252，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．] 15．解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2] ＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.。

2019_2020年高中数学课时作业10简单形式的柯西不等式北师大版选修4_5(精编)

1．已知函数 f(x) ＝3 4－ x＋ 4 x－3，则函数 f(x) 的最大值为 ________．答案 5
32 2．设 x ， y∈ R＋，则 (x ＋y)( ＋ ) 的最小值是 ________．
xy 答案 5＋ 2 6
4
解析设 m＝ (p 2， q2) ， n＝ (p 2， q2) ，则 p2＋ q2＝ p2·p2＋ q2·q 2＝ | m· n| ≤｜m| ·｜n| ＝
p3＋ q3· p＋ q＝ 2· p＋ q.
∵(p ＋ q) 2≤ 2(p 2＋ q2) ，
∴
（
p＋
q
）
2
≤
p
2＋
q2≤
2
p＋ q.
2
∴(p ＋ q) 4≤ 8(p ＋ q) ，∴ p＋q≤2.
1 A.
10
C． 10
答案 C
B. 5 D． 5
) B． 1 D． 100
1
2
2
2
2
2
2
2
2
解析 ∵3x＋ y＝ 10，∴ 100＝ (3x ＋y) ＝(3 ×x＋1×y) ≤(3 ＋ 1 )(x ＋ y ) ＝ 10(x ＋ y ) ，∴
x2＋y 2≥ 10.
92
6．设 x ， y∈ R＋，且 x＋ 2y＝ 8，则 x＋ y 的最小值为 (
3
2
2
2
2
证明因为 a＋ 2b＋3c＝ 4，由栖西不等式，得 (a ＋ b ＋ c )(1 ＋4＋9) ≥(a ＋ 2b＋3c) ＝ 16，
2
2
28
abc
2
4
6
所以 a ＋ b ＋ c ≥ 7，当且仅当 1＝ 2＝ 3时，等号成立，即当 a＝ 7，b＝7，c＝ 7时，等号成立，

2019_2020学年高中数学课时作业11一般形式的柯西不等式北师大版选修4_5

课时作业(十一)1．设x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．3 2 B ．4 C.32 2 D ．6答案 A解析构造两组数x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x＋2y ＋3z)2.即18≥(x＋2y ＋3z)2，∴x ＋2y ＋3z≤32，故选A.2．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B3．若x ，y ，z ∈R ，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9答案 D4．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y)2的最小值是( ) A.16 B.13 C ．6 D ．3答案 B5．若a ，b ，c 为正数，则(a b ＋b c ＋c a )·(b a ＋c b ＋ac )的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．9 答案 D6．若2a>b>0，则a ＋4（2a －b ）·b 的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D ．12 答案 B解析 a ＋4（2a －b ）·b ≥a ＋4（2a －b ＋b 2）2＝a ＋4a 2＝a 2＋a 2＋4a 2≥3 3（a 2）2·2a ＝3.7．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( ) A ．P>Q B ．P ≥Q C ．P<Q D ．P ≤Q答案 B解析 ∵a 1，a 2，…，a n 为正实数，∴(a 1＋a 2＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )＝[(a 1)2＋(a 2)2＋…＋(a n )2]·[(1a 1)2＋(1a 2)2＋…＋(1a n )2] ≥(a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n)2＝n 2.∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P≥Q.8．已知a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，x 12＋x 22＋…＋x n 2＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不确定答案 A解析 ∵(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 12＋a 22＋…＋a n 2)·(x 12＋x 22＋…＋x n 2)＝1×1＝1， ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.9．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，若a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．x ≥1或x≤－3 B ．－3≤x≤1 C ．x ≥－1或x≤3 D ．－1≤x≤3答案 A10．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A.13 B.23 C.53D ．2答案 B11．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________．答案 13解析 (x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x＋2y ＋z)2， ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时取等号．故(x 2＋4y 2＋z 2)min ＝13.12．设x ＋y ＋z ＝19，则函数u ＝x 2＋4＋y 2＋9＋z 2＋16的最小值为________．答案44213．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________．答案 12解析因为(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x＋y ＋z)2＝62，所以x 2＋y 2＋z 2≥12.当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．故x 2＋y 2＋z 2的最小值为12.14．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c)(4a ＋9b ＋36c )的最小值是________．答案 121解析 (a ＋b ＋c)(4a ＋9b ＋36c )＝[(a)2＋(b)2＋(c)2][(2a )2＋(3b )2＋(6c )2]≥(a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c)2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6时等号成立．15．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.证明因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a＋2b)2，得5(1－c 2)≥(1－c)2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1，所以－23≤c ≤1.16．已知函数f(x)＝|x －4|－t ，t ∈R ，且关于x 的不等式f(x ＋2)≤2的解集为[－1，5]．(1)求t 的值；(2)a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝t ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析 (1)由f(x ＋2)≤2，得|x －2|－t≤2， ∴当t ＋2≥0时，解得－t≤x≤t＋4. 又∵不等式f(x ＋2)≤2的解集为[－1，5]， ∴－t ＝－1且t ＋4＝5，∴t ＝1.(2)∵a，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2b ＋b 2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c) ＝(a 2b ＋b)＋(b 2c ＋c)＋(c2a＋a)≥2a 2＋2b 2＋2c 2＝2(a ＋b ＋c)＝2， ∴a 2b ＋b 2c ＋c2a≥1.1．(2016·湖北黄冈月考)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋9c 2＝1，则a ＋b ＋3c 的最大值是________，此时a ＋b ＋c ＝________．答案213 18＋721解析由柯西不等式，得[(a)2＋(b)2＋(3c)2]·[12＋12＋(33)2] ≥(1·a ＋1·b ＋33·3c)2，所以a ＋b ＋3c ≤2＋13＝213，当且仅当a 1＝b 1＝3c 33且a ＋b ＋9c 2＝1，即a ＝b ＝37，c ＝721时取等号，所以a ＋b ＋3c 的最大值是213，此时a ＋b ＋c ＝18＋721. 2．(2016·陕西咸阳模拟)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．答案 6＋4 2解析因为a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，由柯西不等式得1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋2b ＋c)(1a ＋1b ＋1c)≥(1＋2＋1)2＝6＋4 2. 3．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c ，则s 与t 的大小关系是________．答案 s≤t解析由已知得12absinC ＝14，csinC ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得(1a ＋1b ＋1c )(ab ＋bc ＋ca)≥(b ＋c ＋a)2，所以(1a ＋1b ＋1c )2≥(a ＋b ＋c)2.即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．4．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.证明左边＝[2(a ＋b ＋c)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.。

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简单形式的柯西不等式
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是() A．1B． 3
C．3 D．9
【解析】由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝1
3时等号成立．
∴a＋b＋c的最大值为 3.故选B.
【答案】 B
2．已知a21＋a22＋…＋a2n＝1，x21＋x22＋…＋x2n＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值为()
A．1 B．2
C．－1 D．不确定
【解析】∵(a1x1＋a2x2＋…＋a n x n)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(x21＋x22＋…＋x2n)＝1×1＝1.
当且仅当a i＝x i＝
n
n(i＝1,2，…，n)时等号成立．
∴a1x1＋a2x2＋…＋a n x n的最大值是1.
故选A.
【答案】 A
3．若实数a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为
() A．3 B．1
C.
3
3D． 3
【解析】∵a＋b＋c＝1·a＋1·b＋1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式，(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)
∴a 2＋b 2＋c 2≥3，
当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． ∴a 2＋b 2＋c 2的最小值为 3.
【答案】 D
4．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1.则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( )
A ．24
B ．30
C ．36
D ．48
【解析】 (x ＋y ＋z )(1x ＋4y ＋9z )
≥(x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z
)2＝36. ∴1x ＋4y ＋9z ≥36.
【答案】 C
二、填空题
5．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．
【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.
∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．
【答案】 12
6．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝________. 【解析】由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝k 时取“＝”．
由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56.
所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝k ＝56.
【答案】 56
三、解答题
7．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值．
【解】由柯西不等式得
(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2，
∵x ＋2y ＋z ＝1，
∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.
当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等
号成立．
故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.
8．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.
【证明】由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c .
且a ，b ，c 大于0.
∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )
≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2
＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2
＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.
又f (1)＝a ＋b ＋c ，
且a ＋b ＋c ＝1，
∴f (x 1)·f (x 2)≥1.
9．求实数x ，y 的值使得(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．
【解】由柯西不等式，得
(12＋22＋12)×[(y －1)2＋(2－x －y )2＋(2x ＋y －6)2]
≥[1×(y －1)＋2×(2－x －y )＋1×(2x ＋y －6)]2＝9，
即(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2≥32，
当且仅当y －11＝2－x －y 2＝2x ＋y －61
，即x ＝52，y ＝12时，上式取等号．
∴当x ＝52，y ＝12时(y －1)2＋(x ＋y －2)2＋(2x ＋y －6)2取到最小值．
教师备选
10．△ABC 的三边长a ，b ，c ，其外接圆半径为R .
求证：(a 2＋b 2＋c 2)(1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C )≥36R 2.
【证明】由三角形中的正弦定理得：
sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2
a 2，
同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2
c 2，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a 2＋b 2＋c 2)(4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2)
≥(a ·2R a ＋b ·2R b ＋c ·2R c
)2＝36R 2， ∴原不等式得证．。