高一数学-典例剖析(第三课时) 精品
高一数学必修一第三课时
；
思考2：课本P7的思考题
5．几个重要的结论：
（1）空集是任何集合的子集；
（2）空集是任何非空集合的真子集；
（3）任何一个集合是它本身的子集；
（4）对于集合A，B，C，如果 ，且 ，那么 。
说明：
1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
（2）记住子集、真子集的概念；
（3）会利用Venn图表达集合间的关系；
（4）知道空集的含义。
教学重点
子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。
教学难点
弄清楚属于与包含的关系。
教学方法
以学习新知识为主，教师通过规范清晰的示范，让学生学会。
教具
ＰＰＴ 黑板
授课类型
新授课
板书设计
集合间的基本关系
（一）复习回顾（三）课堂练习
1
2
（二）新课教授：归纳小结与作业
1.子集空集
2.例题讲解
教
学
过
程
环节
教师行为（活动）
学生行为（活动）
设计意图
一
复
习
回
顾
二新课讲授
三例题讲解
1.提问：集合的两种表示方法？如何用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数；
（2）1000以内3的倍数
2.用适当的符号填空：
（三）课堂练习：
课实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。
作业布置：
1．习题1.1，第5题；
2．预习集合的运算。
人教版数学高一-人教A必修三 1.3基本算法语句和算法案例常见题型剖析
基本算法语句和算法案例常见题型剖析山东省利津县第一中学 胡彬 2574001、基本概念题例1、写出解二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-)2(12)1(12y x y x 的算法解：第一步，②-①×2得5y=3；③第二步，解③得y=3/5；第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5提出问题：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？问题解析：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组)0(002121222111≠-⎩⎨⎧=++=++A B B A C y B x A C y B x A 的解的算法： 第一步：②×A 1-①×A 2，得(A 1B 2-A 2B 1)y+A 1C 2-A 2C 1=0；③ 第二步：解③，得12212212B A B A C A C A y --=； 第三步：将12212212B A B A C A C A y --=代入①，得12212112B A B A C B C B x -+-=。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法： 第一步：取A 1=1，B 1=-2，C 1=1，A 2=2，B 2=1，C 2=-1； 第二步：计算12212112B A B A C B C B x -+-=与12212212B A B A C A C A y --= 第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性2、基础知识应用题例2 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
2015-2016学年高一数学教学课件3.2.1第3课时《换底公式与自然对数》(新人教B版必修1)
• 1．换底公式
•.
logaN
• 一般地，logbN＝lo_g_ab________，其中b＞0，
b≠1，N＞0，a＞0，a≠1，这个公式称为对数
的换底公式．
• 2．自____为底的对数叫做自然对数， logeN通常记作________．
• 6．若logab·log3a＝4，求b的值．
[解析] ∵logab·log3a＝llggba·llgg3a＝4， ∴lgb＝4lg3＝lg34，∴b＝34＝81.
课堂典例讲练
应用换底公式求值
计算：lg12－lg58＋lg12.5－log89·log278.
• [分析] 观察题目中对数的底数不同，可利用 换底公式化成同一底数，再进行计算．
A．aabb＋ ＋31
B．aabb＋＋13
C．abb＋＋31
D．aabb－ ＋31
• [答案] A
[解析] ∵log23＝llgg32＝a，log37＝llgg73＝b， ∴ab＝llgg32·llgg73＝llgg27. ∴lg7＝ablg2. ∴log1456＝llgg5164＝llgg77＋＋3llgg22 ＝aabb＋ ＋31llgg22＝aabb＋ ＋31.
∵xy＝1 或 4， ∴log 2xy＝log 21＝0 或 log 2xy＝log 24＝4.
• [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一 条件．
[正解] ∵lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，∴xy＝(x－2y)2，即 x2－ 5xy＋4y2＝0.
∴(x－y)(x－4y)＝0，解得 x＝y 或 x＝4y. ∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴x＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4.
(2)∵4a＝5b＝m，∴a＝log4m，b＝log5m， 又1a＋2b＝1，∴log14m＋log25m＝1， 即 logm4＋2logm5＝1，∴logm100＝1，∴m＝100.
余弦定理与正弦定理-用余弦定理、正弦定理解三角形(第三课时)高一数学(北师大版2019必修第二册)
变式 1．(2011 年上海)在相距 2 千米的 A，B 两点处测量目标 C，
若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求 A，C 两点之间的距离．
解：由条件知：C＝180°－75°－60°＝45°， 由正弦定理得sAinCB＝sAinBC， 即siAn6C0°＝sin245°. 解得 AC＝ 6.
例2：在△ABC 中，若 2cosBsinA＝sin ，试判断CABC 的形 状．
2．余弦定理
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ，c2
＝ a2＋b2－2abcos C ．余弦定理可以变形：cos A
b2＋c2－a2
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
＝ 2bc ，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab .
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝12ah(h 表示边 a 上的高)；
2
2
整理,得4cos2 C 4cos C 1 0,解得cos C 1 , 2
0 C 180,C 60.
(2)由余弦定理得c2 a2 b2 2abcos C,
即7=a2+b2-ab,∴7=(a+b)2-3ab， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,
SABC
1 2
absin
b=2，a=x，如 c 有两组解，则 x 的取值范围是
．
解 ： 当 asinB＜ b＜ a 时 ， 三 角 形 ABC 有 两 组 解 . 又 b=2， B=60°， a=x， 如 果 三 角 形 ABC 有 两 组 解 ，
那 么 x 应 满 足 xsin60°＜ 2＜ x， 即 2＜ x＜ 4
3
,
10
高中第3课数学教案
高中第3课数学教案
教学目标：
1. 理解一元一次方程的基本概念和解题方法；
2. 能够熟练解一元一次方程，并应用到实际问题中；
3. 能够解一元一次不等式，并应用到实际问题中。
教学重难点：
1. 熟练掌握一元一次方程的解题方法；
2. 理解并掌握一元一次不等式的解题方法。
教学准备：
1. 教师准备：教学课件、笔记和教案；
2. 学生准备：课前预习相关知识，带好课本、笔和纸。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过例题引入方程和不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
二、学习与探究（35分钟）
1. 讲解一元一次方程的基本形式和解题步骤；
2. 练习一元一次方程的简单例题；
3. 讲解一元一次不等式的基本形式和解题步骤；
4. 练习一元一次不等式的简单例题。
三、巩固与拓展（10分钟）
1. 练习更复杂的一元一次方程和不等式；
2. 提出一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题。
四、作业布置（5分钟）
布置相关练习题，帮助学生巩固所学知识。
教学反思：
通过本节课的学习，学生能够熟练掌握一元一次方程和不等式的解题方法，并能够应用到实际问题中。
需要反复练习，不断巩固，才能提高学生的解题能力和应用能力。
余弦定理、正弦定理应用举例(第3课时)高一数学(人教A版2019必修第二册)
例9 如图, A, B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B 间的距离.
解：如图,在A, B两点的对岸选定两点C, D,
测得CD=a ,并且在C, D两点分别测得
∠BCA=α, ∠ACD=β，∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在△ADC中，由正弦定理，得
AC
(3)方位角：指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角，如B点的方位角为α(如 图②)． (4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南 方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
2.运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤 ①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角 形)； ②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集 中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型. ③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解. ④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.
【单元知识结构框架】
【学情分析】 学生已经学习过了勾股定理、任意角的三角函数、平面向量
等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。高一 下学期阶段的学生思维较为活跃，求知欲也较强，但没有接触 过数学定理的证明，没有证明定理的经验，将实际问题转化为 数学问题的建模能力有待提高。因此教师要提供针对性的研究 素材，并作必要的启发和引导，证明余弦定理的过程中也会存 在困难，教师可以适时的点拨。
距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船
可以继续沿正北方向航行吗?
20°
解：在△ABS中, AB=32.2×0.5 =16.1 (n mile), ∠ABS=115°.
高一第三课知识点归纳总结
高一第三课知识点归纳总结高一的学习生活已经进入正轨，第三课也是我们学习的重要一课。
为了更好地总结和归纳这一课的知识点，下面将针对不同的科目进行具体的总结和归纳。
一、数学知识点归纳总结在高一第三课的数学学习中，我们主要学习了以下几个重要的知识点：1. 一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容之一。
我们学习了如何求解一元二次方程的根，用解的个数判断一元二次方程的性质，以及如何通过配方法将一元二次方程化简为完全平方的形式。
掌握了这些知识点，我们可以更好地应对相关的题目和问题。
2. 函数与方程函数与方程是数学中的重要概念。
我们学习了函数与方程的基本概念、性质和相关运算。
掌握了函数与方程的知识，我们可以更好地理解和运用函数与方程在实际生活和问题解决中的应用。
3. 不等式不等式是数学中的另一个重要内容。
我们学习了不等式的基本概念、性质和解法。
掌握了不等式的知识，我们可以更好地解决与大小关系有关的问题，并在实际生活中运用不等式进行推理和分析。
二、物理知识点归纳总结高一第三课的物理学习主要涉及了以下几个重要的知识点：1. 力学的基本概念力学是物理学中的基础内容之一。
我们学习了力学的基本概念，如力的定义、质点和刚体的概念、力的合成与分解、牛顿三定律等。
掌握了这些基本概念，我们可以更好地理解力学中的其他概念和定律，并运用它们解决力学问题。
2. 力的作用和性质力的作用和性质是物理学中的重要内容。
我们学习了力的类别，如接触力、重力、弹力等，并了解了它们的作用特点和相关公式。
掌握了力的作用和性质，我们可以更好地分析和解释物体受力的情况，并运用相关知识解决与力有关的问题。
3. 简单机械和机械能简单机械和机械能是物理学中的另一个重要内容。
我们学习了杠杆原理、滑轮组、斜面和势能、动能等知识点。
掌握了简单机械和机械能的知识，我们可以更好地理解和分析机械运动和能量转化的过程，并应用相关知识解决与机械有关的问题。
三、化学知识点归纳总结高一第三课的化学学习主要包含了以下几个重要的知识点：1. 物质的组成和性质物质的组成和性质是化学学习的基础。
第3课时 不同函数增长的差异 高一数学
思 想 方 法
数形结合思想在函数增长差异中的应用
【典例】 已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设这两
个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较f(6),g(6),f(4 021),g(4 021)的大小.
越快,呈爆炸性增长.
二、一次函数与对数函数增长的差异
1.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x的图象,观
察图象思考下列问题:
(1)这两个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的?
(2)当x趋于无穷大时,在这两个函数中,哪一个函数的增长速
度快?哪一个慢?
提示:(1)都是单调递增的.
(2)函数y=2x增长速度快,函数y=log2x增长速度慢.
答案:B
本例中,若要比较函数 y=-1 021x,y=
,y=lo x
间(0,1)内的递减速度,结果又是什么?
解:在同一平面直角坐标系中分别画出函数
y=-1 021x,y=
,y=lo
x 的图象(图略),
由图象可知,在区间(0,1)内,
递减速度最快的是 y=lo
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( × )
(2)当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax<kx<ax
成立.( × )
(3)函数 y=lo x 减小的速度越来越慢.( √ )
(4)在指数函数y=ax(a>1)中,底数a越大,其增长速度越快.( √ )
高中第3课数学教案人教版
高中第3课数学教案人教版
教学重点：学会解二元一次方程组，并能够灵活运用解方程的方法解决实际问题。
教学难点：理解二元一次方程组的概念，掌握解方程的方法并正确应用于实际问题中。
教学准备：教师准备黑板、彩色粉笔、教材、课件等教学工具。
教学过程：
一、引入问题：
教师出示一道实际问题，例如“有两个数，它们的和为10，差为2，求这两个数分别是多少？”引导学生思考如何用代数方法解决这个问题。
二、讲授内容：
1. 介绍二元一次方程组的概念：解释什么是二元一次方程组，怎样表示和解决二元一次方程组。
2. 讲解解方程的方法：以消元法、代入法为主要解题方法，详细讲解每种方法的步骤和应用场景。
三、例题演练：
教师设计一些简单的例题，让学生通过消元法和代入法解答，分步引导学生理解解方程的过程与方法。
四、课堂练习：
让学生在课堂上完成几道练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
五、拓展延伸：
教师展示一些拓展题目，让学生在课后完成，提高学生的解题能力和灵活运用能力。
六、作业布置：
布置作业，巩固本节课所学内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该掌握解二元一次方程组的方法，能够熟练运用解方程的方法解决实际问题。
在实践中，学生需要多多练习，增强解题能力和灵活应用能力。
高中生数学第三课教案模板
教学目标：1. 知识与技能：理解函数的概念，掌握函数的定义域、值域和对应法则，能够运用函数的概念解决实际问题。
2. 过程与方法：通过实例分析，引导学生逐步理解函数的概念，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨的科学态度和团队合作精神。
教学重点：1. 函数的概念。
2. 函数的定义域、值域和对应法则。
教学难点：1. 理解函数的概念。
2. 函数定义域、值域和对应法则的应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 教学挂图。
3. 实例分析材料。
教学过程：一、导入新课1. 提问：同学们，我们之前学习了数列的概念，那么什么是函数呢？2. 引导学生回顾数列的概念，并引入函数的概念。
二、新课讲授1. 函数的概念a. 展示多媒体课件，介绍函数的定义。
b. 通过实例分析，如y=2x，让学生理解函数的概念。
c. 引导学生总结函数的三要素：定义域、值域和对应法则。
2. 函数的定义域a. 介绍函数定义域的概念，如闭区间、开区间等。
b. 通过实例，让学生掌握如何确定函数的定义域。
3. 函数的值域a. 介绍函数值域的概念，如实数集、整数集等。
b. 通过实例，让学生掌握如何确定函数的值域。
4. 函数的对应法则a. 介绍函数对应法则的概念，如线性函数、二次函数等。
b. 通过实例，让学生掌握不同类型函数的对应法则。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调函数的概念、定义域、值域和对应法则。
2. 鼓励学生在课后复习，巩固所学知识。
五、布置作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 预习下一节课内容，为下一节课的学习做好准备。
教学反思：本节课通过实例分析，引导学生逐步理解函数的概念，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
在教学过程中，要注意以下几点：1. 注重基础知识的教学，让学生掌握函数的定义、定义域、值域和对应法则。
新高一数学第三课知识点
新高一数学第三课知识点高中数学作为学生们学习的一门重要学科，紧接着高一的学习节奏，有时候给一些同学们带来了不小的压力。
新高一数学第三课是高中数学中的一节重要课程，今天我们就一起来了解一下新高一数学第三课的知识点。
在新高一数学第三课中，我们将学习到三角函数的定义以及基本性质，进一步掌握其在实际问题中的应用。
下面我们会一步一步地来学习这些知识。
首先，我们来了解三角函数的定义。
在直角三角形中，我们将角A的顶点位于原点O，那么A的两条边就可以对应到平面直角坐标系上的一个点P(x,y)。
此时，我们定义角A的正弦函数sinA、余弦函数cosA和正切函数tanA分别为y/x、x/h和y/h，其中h是斜边的长度。
这些三角函数的定义是我们后续学习的基础，而它们的性质也是我们需要了解的重要内容。
例如，我们会学习到正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，并且能够利用这些性质解决相关的问题。
在掌握了三角函数的基本定义和性质之后，我们就可以在实际问题中应用它们了。
例如，我们可以通过三角函数来解决直角三角形中的边长和角度的求解问题，计算地物的高度或者距离，解决航空航天中的导弹轨迹问题等。
除此之外，新高一数学第三课还会教授我们如何绘制三角函数的图像。
对于三角函数的图像，我们需要掌握其基本形态以及与周期、相位有关的性质。
通过对函数图像的绘制，我们可以更直观地理解三角函数的周期性和变化规律。
在探索了三角函数的基本概念、性质和应用之后，新高一数学第三课还会引入我们到数列的概念和相关内容。
数列作为数学中的重要概念，是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
我们会学习到等差数列和等比数列的概念、性质和求和公式，并且能够应用它们解决实际问题。
最后，在新高一数学第三课中还会进一步学习到统计与概率的知识。
统计学是研究数据收集、整理和分析的一门学科，而概率论则是研究随机事件发生可能性的学科。
通过学习统计与概率，我们可以更好地理解和应用统计数据，并且能够使用概率模型解决实际问题。
人教版数学高一教学设计1.3算法案例第三课时
§1.3算法案例第三课时割圆术一、教学背景分析（一）教学内容解析本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破.在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等.每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的.（二）学生学情分析在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3 中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率，但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率π认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率π是如何得到的.学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法.对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．二、教学目标设置依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值．（三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．三、教学策略分析本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率π的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果.应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历．四、教学过程为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个阶段：分别从数学史的发展角度，与方法的完备性角度来逐步递进探索并对比不同方法的优劣.下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明.（一）呈现背景【学生活动】学生课前查阅圆周率π的相关知识，自主学习刘徽的割圆术，并相互交流对圆周率的认识.【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在绵延的历史长河中，人们又是怎样“计算” 圆周率的呢？【设计意图】从数学史与数学文化的角度，来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣，为后面各种方法的介绍做好铺垫.（二）探索方法【第一组：实测法】第一小组学生代表介绍：“用实测的方法求圆周率π”【学生活动】学生讨论实测法的不准确之处：1.圆周是曲线，用细绳去拟合时，存在误差.2.测量长度时，存在误差.【教师总结】尺子的精度越高，得到的测量值可能会越准确.精度再高的刻度尺也无法量得线段长的真实值.其实，早在明代就有一位名叫邢云路的数学家，他呈现背景探索方法完善方法实现算法归纳小结就用实测的方法求圆周率，后来茅以升这样评价他：“云路欲以度量所得，抹煞古人诸率，所见甚浅.”可见，实测的办法是比较粗糙的.【设计意图】通过实测与经验来估计圆周率的近似值，是人类历史上最早采用的方法，但这种方法在数学上既不严密，同时所求得的近似值的精确度也无法保证，在课前让学生通过实验，切身体会到用实测的方法求圆周率π是比较粗糙的.【第二组：布丰投针】第二小组学生代表介绍：“用布丰投针实验求圆周率π”【学生活动】求解任意给出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率. 解：设这三个正数为c b a ，，，不妨设a b c ≤，，由以c b a ，，为边长可以围成一个钝角三角形得：222c b a c b a <+>+，，变形，得：1122<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛>+c b c a c b c a ，，令c b y c a x ==,，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+>+≤<≤<11101022y x y x y x ， 由线性规划可知：满足题意的可行域为直线1+-=x y 与圆122=+y x 围成的弓形，总的区域是一个边长为1的正方形.则可以围成一个钝角三角形的概率1--24214S P S ππ===弓形正方形. 【教师总结】早在1904年，R 查特发现，两个随意写出的整数中，互素的概率为26π.然后，我们可以通过“像投针一样的操作实验”或者“让计算机产生随机数，进行计算机模拟实验”，从而得到实验频率，求出圆周率的近似值.【设计意图】布丰投针实验至少给了我们两大启示：1.可以利用概率原理来解释圆周率的计算，虽然实验结果具有随机性；2.投针实验拓宽了人们运用数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.利用概率论的大数定律，可以保证用该方法求得的近似值在概率意义上是收敛于真实值的，但所得结果的精确度无法准确估计，因此相对于实测的方法，有所进步，但仍不够完善.【第三组：割圆术】第三小组学生代表介绍：“刘徽的割圆术”通过课前学习，让学生对刘徽的割圆术有了基本的认识，并得到了课本上的圆内接正多边形的面积递推公式21(1)2n n n n S S n x h =+⋅⋅-. 【学生活动】小组交流1：刘徽为什么不从圆内接正三角形的面积开始，而是从六边形开始？——好算，且精确度相对较高.小组交流2：如果以正四边形面积为起始可以吗？——以任意正n 边形面积为起始都可以，因为2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并不会因为初始值的不同而发生改变.随着正多边形边数的增加，最终的效果是一致的.【教师总结】回味刘徽的割圆术，他是以圆内接正六边形的面积为起始，借助6x 来求6S ，然后在6x ，6S 的基础上，求12x ，12S ，依次类推，……，要求2n S ，只需借助于n x ，n S ，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式.【设计意图】让学生通过课外阅读与课前学习，以小组交流的形式汇报阅读成果. 为本节课内针对刘徽的割圆术的再思考奠定了必要的认知基础，同时也让学生认识到在数学学习中“阅读．．”的重要性． 【师生互动】在算完正六边形的面积后，为什么不算正七边形的面积，而是选择计算正十二边形的面积？【学生活动】分析与讨论在算完正六边形的面积后，不算正七边形面积的理由.【教师总结】正十二边形的面积容易计算，关键在于在正六边形的基础上，增加的顶点B 是CD 的中点，根据垂径定理，正十二边形的“特征三角形”的底就是半径1，高其实是正六边．．．．．．．形的边长的一半．．．．．．．． 【设计意图】正六边形的面积算完后，为什么直接跳到算正十二边形的面积？正是因为我们可以借助正六边形的边长，来求正十二边形的面积（及边长）. 而知道正六边形的边长和面积，却没有为算正七边形的面积带来任何帮助. 这样设问，是为了让学生在计算的过程中体会从正六边形过渡到正十二边形的合理性．同时让学生体会其中蕴含的递归思想，发现问题本质，为下面的递归关系的建立奠定基础．（三）完善方法问题1：是否有其他办法可以求圆内接正多边形的面积?能否把刚才的方法推广到一般情形？【学生活动】学生介绍不同于课本教材的圆内接正十二边形的面积的求法:把正十二边形分割成十二个特征三角形，容易算得它的面积为： 61211121212222COB x S S OB CA ==⨯⨯⨯=⨯⨯（）（） 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：2COB 122222n n n x n S nS n x ==⨯⨯=（）【教师总结】从此式看出：只需借助正n 边形的边长n x 来求正2n 边形的面积2n S ．相比于之前介绍的递推公式))2(1-121(22）（n n n n x x n S S -⨯⨯⨯+=，表达式上更加简洁. 同时，也要注意到：这两个面积递推公式，都是借助于2n x 与n x 之间的递推关系，其本质是一样的.【师生互动】这两种递推公式，哪一种在计算机里运行速度更快？效率更高？【学生活动】后者在表达式上更加简洁，减少了开方运算的次数，效率更高.【教师总结】在1800年前，刘徽只计算到了圆内接正192边形的面积，相当于只迈开了六步.现在，我们已拥有具有强大计算能力的计算机.这个递推公式，恰好符合计算机的迭代算法.我们可以借助计算机来实现算法.【设计意图】割圆术作为历史上第一个出现的完备性最好的求圆周率的方法，也并非在各个方面尽善尽美，因此引导学生在知识的获得之后，但作为课内针对学生课前阅读的“第一次思考”，引导学生成功建立正n 边形的边长与正2n 边形的面积之间的递归关系，而且此面积递推公式比课本介绍的递推公式更加简洁，为后续计算边数更多的正多边形面积提供了一个可行、高效的方法，也为后续的程序的实现提供了算法依据，让学生体会到“阅读”之后“思．考．”的重要性与必要性． （四）实现算法回味此递推公式：2224n n x x =--，已知6x ，求得12x 后，再由12x ，代入此式，求得24x ，……，依此类推，这是一种迭代的算法，而Excel 软件刚好有迭代的功能，我们就借助Excel 来实现算法.nx n S 2n 6 1.0000000 3.0000000120.5176381 3.1058285240.2610524 3.1326286480.1308063 3.1393502960.0654382 3.14103201920.0327235 3.14145253840.0163623 3.14155767680.0081812 3.141583915360.0040906 3.1415905通过表格，我们看到：随着n 的增大，2n S 的面积越来越大，越来越趋近于π真实值. 运用Excel 软件实现的算法，可以用程序框图来表示，再翻译成程序语言，利用计算机实现算法.【数学史介绍】数学家祖冲之在此基础上，把圆周率π精确到小数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.【设计意图】揭示递推公式与迭代算法之间的关系，借助计算机来实现圆周率π的近似值的估计，既是对刘徽割圆术的方法的有效验证，又体现了中国古代数学的算法特征．同时让学生体会用程序框图来表示算法，能使算法的逻辑结构更清楚、步骤更直观．同时了解求解圆周率π的历史，感受数学的文化价值．问题2：已知圆内接正四边形的面积42S =，在此基础上往下算，会选择计算圆内接正几边形的面积？理由是什么？（请看视频）【学生活动】计算圆内接正八边形的面积8S ，再计算圆内接正十六边形的面积16S ，依此类推. 可以借助正n 边形的边长与正2n 边形的面积.【教师总结】2n x 与n x 及2n S 与n x 之间的递推关系并没有因为初始值的不同而发生改变.即使初始值的误差比较大，随着正多边形边数的增加，最终的效果会是一致的.【设计意图】作为课内针对学生课前阅读的“第二次思考”，让学生牢牢把握刘徽的割圆术的本质——递推关系的应用与迭代算法的实现，与迭代过程的初始值无关．我们刚才都是用圆内接正多边形的面积2n S 来近似代替圆的面积，这样得到的π的近似值肯定要比π的真实值小.也就是说，我们得到的是（圆面积）的下限.出于考虑问题的严谨性，还要对圆面积的上限加以估计.问题3：选择哪个几何图形的面积作为圆面积的上限？【学生活动】设圆外切正n 边形的边长为n y ,外切正n 边形的面积为n T . 利用相似比：212n n n x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=得：24n n ny x =-所以21124nn n n T n y x =⨯⨯⨯=-问题4：是否有更合适的几何图形的面积可以做为圆面积的上限？【学生活动】思考是否有更佳的上限估计方式，并提出自己的看法：这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，即数学家刘徽的想法. 此时，此几何图形的面积为：()()2222n n n n n n S S S S S S +-=+-.【设计意图】通过圆面积的上限的讨论，进一步完善割圆术的思想，作为课内针对学生课前阅读的“第三次思考”，通过计算、对比，让学生深刻体会刘徽的割圆术的精明之处：1、已有的成果2,n n S S 来表示圆的面积的上限，成功的将计算量减半；2、刘徽的割圆术的完备性与数学研究过程中所要求的严密性相符．让学生感受在“阅读”的基础上“思考”所带来的成果．我们也借助Excel 软件来实现算法:n x S 3.2945078 n 2n S 2n +ΔS 4 1.4142136 2.8284271 80.7653669 3.0614675 160.3901806 3.1214452 3.1814228 320.1960343 3.1365485 3.1516518 640.0981353 3.1403312 3.1441138 1280.0490825 3.1412773 3.1422233 2560.0245431 3.1415138 3.1417504 5120.0122718 3.1415729 3.1416321 10240.0061359 3.1415877 3.1416025 20480.0030680 3.1415914 3.1415951 40960.0015340 3.1415923 3.1415933【设计意图】再次通过Excel 软件实现上限的估计，验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，实现了学生课前的“阅读成果”．问题5：同学们还有什么感触吗？【学生活动】学生介绍利用三角函数来求圆内接正多边形的的面积：把正十二边形分割成十二个特征三角形，利用三角函数算得它的面积为：2012COB 112121sin 302S S ∆==⋅⋅⋅ 【学生活动】那么正2n 边形的面积2n S 就等于：222sin n n S nS n θ==特征三角形【教师总结】利用三角函数求解圆内接正多边形的面积，在历史上，直到文艺复兴时期，哥白尼（1473--1543）和开普勒（1571-1630）研制了相当精确地三角函数表，这个问题才得以解决.看来同学们都能学以致用！【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求圆周率的方法，比如：韦达的无穷乘积法，欧拉的无穷级数法，1844年，达赛利用π的反正切函数表达式把π值计算到了小数点后200位.【设计意图】在详细介绍了“实测方法”、“蒙特卡洛方法”与“割圆术”之后，又对如何用高等方法求解圆周率进行了简要的介绍，让学生增加了对近代数学求解π的历史，使得数学史上对于π的求解历程有了更加完整的认识，再次感受数学的文化价值．（五）归纳小结从实测的直觉与粗糙，到割圆术的以直代曲、无限逼近、内外夹逼的严谨，再到三角函数加入割圆术，π的计算精度越来越高，但方法上没有本质改变.直到1665年牛顿等人发明微积分，才使π的计算走到了历史转折点，然而追溯建立微积分的先驱人物又当数阿基米德和刘徽，他们提出的割圆术中已相当自觉地运用了“无穷”和“愈来愈接近”等属于微积分的基本概念.同时，1777年，布丰的投针实验则另辟蹊径，充满创新.纵观几千年来，为了得到更精确地圆周率的值，数学家们千方百计，花费了很多时间和精力，进行着不懈的探索.这个过程不仅仅是“从公元前2000年的几位小数，到公元后2000年的2061亿位小数”的变化，而是在其背后的运算工具的不断发展，昭示了人类在数学领域的卓越追求.高中数学-打印版1761年，当人们还在狂热于计算π值的时候，兰伯特(H·Lambert)证明了π是一个无理数；1882年，林德曼F·vonLindermann于又证明了它是超越数，圆周率的神秘面纱就被揭开了.这一结论解答了公元前434年提出的“化圆为方”的问题是无法实现的.可见，数学越向前发展，人们对事物的认识就越加清晰、深刻.所以说，数学是有用的.愿今天的圆周率之旅，能让你领略到一些数学的魅力，触发起你心中的探索欲望.五、教学特点及反思（1）课前阅读与课内思考紧密结合本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，课前组织学生自主查阅并学习历史上有关圆周率π的各种不同的求法，是为“阅读”；而后在课内引导学生在通过对各种不同的圆周率求法的介绍，对比，以及相关问题进行更加深入的探究，是为“思考”，紧密结合阅读与思考，突破传统的新授课课堂教学模式．通过“阅读”带动“思考”，再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解，既给学生创设了自主探究、小组合作交流等平台，又充分挖掘了思维的深度和广度.（2）历史发展与数学进步有效契合本节课既介绍了有关圆周率求解的数学历史，又渗透了各种求解方法所蕴含的数学思想与方法，在方法的介绍与探讨过程中，成功地将历史发展过程，与不同方法的逻辑严密性与精确性的提高过程这两条线索有效契合，贯穿整节课堂，做到数学中有历史，历史中有数学. （3）信息技术与课程内容有机整合通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，用程序框图来表示算法，借助计算机中的Excel软件来实现算法，完成对圆周率π的近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解π的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征．精心校对完整版。
高一数学集合第三课时教案知识讲解
高一数学集合第三课时教案第三课时集合的基本运算（一）教学目标：I ．知识与技能：II ．（1）了解集合之间的运算关系。
III ．（2）理解集合运算性质。
IV ．（3）理解集合运算关系在图像上的意义。
V ．（4）会用集合的运算关系表示Venn 图。
VI ．过程与方法：VII ．通过讲练结合让学生在实践中突破重点和难点，让学生理解集合之间的运算及其性质，并能有效进行运算及表示。
VIII ．情感态度与价值观：通过运算关系再度加深对集合的理解。
重点与难点：I ．重点：II ．（1）集合与集合之间的交并运算关系。
III ．（2）运算关系之间的交换率、结合律、分配率。
IV ．（3）集合之间关系的图示方法。
V ．难点：VI ．（1）集合的混合运算VII ．（2）集合运算的图像理解。
VIII ．（3）Venn 图读图。
教学过程：I ．复习引入：II ．回顾上节课内容，从集合的Venn 图表示入手思考集合之间的运算关系。
III ．并集的概念：IV ．（1）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）。
V ．（2）记作：A ∪B ；读作：“A 并B ”VI ．（3）A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} VII ．（4）用Venn 图表示两个集合间的“并”运算。
VIII ．并集的概念：IX ．（1）一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A与B 的并集（Union ）。
X ．（2）记作：A ∩B ；读作：“A 交B ”XI ．（3）A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} XII ．（4）用Venn 图表示两个集合间的“并”运算。
XIII ．集合基本运算的一些结论：BAXIV ．（1）A ∩B A ，A ∩B B ，A ∩A=A ，A ∩=,A ∩B=B ∩A XV ．（2）A A ∪B ，B A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪=A,A ∪B=B ∪A XVI ．（3）若A ∩B=A ，则A B ，反之也成立。
高中第3课数学讲解教案
高中第3课数学讲解教案课题：第3课一元一次方程教学目标：1.了解一元一次方程的定义和基本性质。
2.掌握解一元一次方程的基本方法。
3.能够运用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.一元一次方程的概念。
2.解一元一次方程的基本方法。
教学难点：1.掌握解一元一次方程的步骤和技巧。
2.能够将实际问题转化为一元一次方程并解决问题。
教学准备：1.教材《高中数学》第3课教材。
2.黑板、彩色粉笔。
3.练习题、实例题等教学辅助资料。
教学过程：一、导入（5分钟）1.教师简要介绍一元一次方程的概念和重要性。
2.通过一个简单的实例引导学生理解一元一次方程的概念。
二、讲解（20分钟）1.教师逐步讲解一元一次方程的定义、形式和基本性质。
2.引导学生理解一元一次方程的解释和意义。
3.讲解解一元一次方程的基本方法和步骤。
4.通过实例讲解解一元一次方程的具体步骤和技巧。
三、练习（15分钟）1.教师布置一些解一元一次方程的练习题，让学生自主练习并解答。
2.提醒学生注意解题过程中的关键步骤和注意事项。
四、归纳总结（10分钟）1.教师与学生一起总结一元一次方程的解题方法和技巧。
2.让学生回顾学过的知识点，加深对一元一次方程的理解。
五、实践应用（10分钟）1.教师提供一些实际问题，让学生尝试将问题转化为一元一次方程并解决。
2.引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的应用能力。
六、作业布置（5分钟）1.布置练习题和课外作业，巩固一元一次方程的解题方法。
2.鼓励学生多加练习，提高解题能力和应用能力。
教学反思：本课程能够帮助学生深入理解一元一次方程的概念和解题方法，提高学生的解题能力和应用能力。
通过实例和练习，学生对一元一次方程的理解更加深入，掌握了解题的技巧和方法。
后续教学需要进一步巩固和拓展学生的知识，引导学生更好地应用所学知识解决实际问题。
高一数学典例教案人教版
高一数学典例教案人教版教案标题：高一数学典例教案（人教版）教学目标：1. 知识目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握高一数学中的某一典型知识点。
2. 能力目标：培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣和学习的积极性。
教学重点：1. 学习某一典型知识点的基本概念和方法。
2. 理解并掌握解决相关问题的步骤和思路。
教学难点：1. 运用所学知识解决复杂问题。
2. 培养学生的数学思维和推理能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、课件、教学素材等。
2. 学生准备：课本、笔记本等。
教学过程：Step 1：导入新课（5分钟）引入本节课的主题和目标，激发学生对数学的兴趣，以及对典型知识点的学习的积极性。
Step 2：知识讲解（15分钟）通过课件或者黑板，对该典型知识点进行系统的讲解，包括基本概念、相关公式和解题方法等。
讲解时可以结合具体的例子进行说明，帮助学生理解和掌握。
Step 3：例题演练（20分钟）选择一到两个典型的例题，让学生在教师的指导下进行解题演练。
教师可以逐步引导学生分析问题、提供解题思路，并及时纠正学生的错误，帮助他们理解解题过程和方法。
Step 4：拓展练习（15分钟）提供一些拓展练习题，让学生在课堂上或者课后进行自主练习。
教师可以根据学生的水平和情况，选择适当的题目进行布置。
Step 5：小结与反思（5分钟）对本节课的内容进行小结，并鼓励学生积极思考和总结学习方法。
同时，可以让学生对本节课的教学进行反思和评价，以便教师不断改进教学方法和策略。
Step 6：作业布置（5分钟）布置适量的作业，巩固学生对本节课内容的理解和掌握。
同时，可以提供一些拓展性的问题，激发学生的思考和探索。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和思考，可以提供一些相关的参考书籍和网站资源。
2. 组织学生进行小组讨论和合作学习，促进他们之间的互动和交流。
3. 鼓励学生参加数学竞赛和活动，提升他们的数学水平和兴趣。
高中数学第三节课教案
高中数学第三节课教案
【教学内容】
本节课主要内容是一元二次方程的根的性质及求解方法。
【教学目标】
1. 了解一元二次方程的定义及性质；
2. 学会判断一元二次方程的根的情况；
3. 掌握解一元二次方程的方法。
【教学重点】
1. 一元二次方程的根的性质；
2. 一元二次方程的解法。
【教学难点】
1. 如何灵活运用一元二次方程的根的性质；
2. 如何判断一元二次方程的解的情况。
【教学准备】
1. PowerPoint课件；
2. 教材《高中数学》第三章相关内容；
3. 习题集。
【教学过程】
一、引入
通过观看一个关于一元二次方程根概念的视频，引导学生初步了解一元二次方程及相关概念。
二、讲解
1. 解释一元二次方程的定义及性质；
2. 讲解一元二次方程的根的情况及性质；
3. 介绍一元二次方程的解法。
三、练习
1. 练习一元二次方程的根的情况判断；
2. 练习一元二次方程的解法。
四、总结
总结一元二次方程的根的性质及解法，并提醒学生在解题过程中注意细节。
【课后作业】
完成教材相关习题及自主查漏补缺。
以上就是本节课的教案内容，希服能为您在教学活动中提供一些帮助。
祝教学顺利！。
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［例1］判断下列函数的奇偶性
(1)f （x ）＝sin ｜x ｜＋｜sin x ｜
x
x x x x f cos sin 1cos sin 1)()2(++-+= 选题意图：考查判断函数奇偶性的方法.
解：(1)函数f （x ）＝sin ｜x ｜＋｜sin x ｜的定义域为R
f （－x ）＝sin ｜－x ｜＋｜sin （－x ）｜＝sin ｜x ｜＋｜sin x ｜＝f （x
因此函数f （x ）＝sin ｜x ｜＋｜sin x ｜为偶函数. (2)函数f （x ）＝
x
x x x cos sin 1cos sin 1++-+的定义域为 ｛x ∈R ｜x ≠π＋2ｋπ且x ≠2
3π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝ ∴函数f （x ）＝x x x x cos sin 1cos sin 1++-+ 既不是奇函数，又不是偶函数.
说明：判断函数的奇偶性，特别要注意函数的定义域，否则将出现如下错误：
2tan 2cos 2sin 22cos 22sin 22cos 2sin 2cos sin 1cos sin 1)
(22
x x x x x x x x
x x
x x f =++=++-+ 而y ＝tan 2
x 为奇函数. ［例2］求下列函数的周期
(1)f （x ）＝sin x ＋cos x
(2)f （x ）＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x
选题意图：考查y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ≠0，ω＞0）类型函数周期的求法.
解：(1)f （x ）＝sin x ＋cos x ＝)4sin(2π+
x ∴函数f （x ）的周期为2π.
(2)f （x ）＝cos 2x ＋23sin x cos x －sin 2x ＝3sin2x ＋cos2x
＝2sin （2x ＋6
π） ∴函数f （x ）的周期为π.
说明：形如f （x ）＝a sin x ＋b cos x ，f （x ）＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋ｃcos 2x 的函数都可化为y ＝A sin （ωx ＋φ)的形式，进而可求出函数的周期.
［例3］证明f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的一个周期是2
π，并求函数f （x ）的值域.
选题意图：考查周期函数的定义以及函数周期性的应用.
解：函数f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的定义域为R
)(|sin ||cos ||)2cos(||)2
sin(|)2(x f x x x x x f =+=+++=+πππ
∴函数f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的一个周期为
2
π 当0≤x ≤2
π时，f （x ）＝sin x ＋cos x ＝)4sin(2π+x 由4π≤x ＋4π≤43π知f （x ）＝2sin （x ＋4π的值域为［1，2］ 因此由函数的周期性知f （x ）＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜，x ∈R 的值域为［1，2］.
说明：三角函数的周期性是三角函数最重要的性质，它在三角函数求值，已知三角函数值求角和研究三角函数图象和性质的过程中，都会起到重要的作用.。