13.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质和判定精选练习(1)
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(含答案)
的垂直平分线上．
⺁
，则 ଣ 的长为( )
C. 1
D.
)
.
到三角形三个顶点距离相等的是(
.
如图，已知 ܲ ଣ �ܲ， 댳 ଣ �댳.下列结论正确的是 (
A. 三条中线交点
�ଣ
，若
B. 三条高的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 三条中垂线的交点
)
A. � 垂直平分 ܲ댳
B. ܲ댳 垂直平分 �
C. � 与 ܲ댳 互相垂直平分
对折，点 � 落在 ଣ 上
� 的周长为 13，则
三、解答题（本大题共 4 小题，共 32.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1⺁.
本小题 . 分
如图， � ଣ ଣ， � ଣ
ଣ.直线
是线段 �ଣ 的垂直平分线吗？
3
，则
处，若
恰好为 ଣ
�ଣ 的周长为______．
17. 本小题 . 分
如图，点
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题（本大题共 11 小题，共 33.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.
如图，
�ଣ 中，边 � 的垂直平分线与 ଣ 交于点 ，与 � 交于点 ，已知 ଣ ଣ ⺁，�ଣ ଣ ⺁，则 �ଣ
的周长是 ( )
A.
B.
C.
2.
D. 1
，�ଣ ଣ � ，则有 ( )
分别交 �ଣ、 ଣ 于点 、 .若
B. 3
第1 题
C. ⺁⺁
ଣ⺁
，
2
ଣ 的长为半径作弧，两弧相交于
� 的周长为 2⺁ ，则
D. ⺁
2
1
第 11 题
13-1-2 线段的垂直平分线的性质(解析版)
13.1.2线段的垂直平分线的性质瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进线段垂直平分线的性质题型一：线段垂直平分线的性质【例题1】（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，ABC中，边AB的中垂线分别交BC、AB于点D、E，3cmAE=，ABC的周长为17cm，则ADC的周长是__________cm．【答案】11【分析】由DE垂直平分AB可知BD=AD，AB=2AE，从而发现ADC的周长即为BC AC+的长，然后求解即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∵BD=AD，AB=2AE，∵ABC的周长为17cm，∵17AB BC AC++=（cm），∵3cmAE=，∵26cmAB AE==，知识点管理归类探究1.线段的轴对称性:线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2.线段垂直平分线的性质定理文字描述:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；几何语言:∵MN是线段AB的垂直平分线（或MN⊥AB于点D，且AD = BD），∴CA = CB.∵()17611cm BC AC +=-=ADC 的周长为AD DC AC BD DC AC BC AC ++=++=+，∵ADC 的周长是11cm ， 故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，发现ADC 的周长即为BC AC +的长，是解题的关键． 变式训练【变式1-1】（2020·吴江区盛泽第二中学九年级月考）在ABC 中，9BC =，AB 的垂直平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，若BCE 的周长为17，则AC 的长为___________．【答案】8【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA =EB ，根据∵BCE 的周长等于17，求出AC 的长． 【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∵EA =EB ，由题意得，BC +CE +BE =17，则BC +CE +AE =17，即BC +AC =17，又BC =9， ∵AC =8， 故答案为：8．【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【变式1-2】（2021·扬州市梅岭中学九年级一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算1∠的度数是（ ）A ．22︒B ．32︒C ．34︒D ．68︒【答案】A【分析】根据作图痕迹可知CD 是AB 的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质，即可求解． 【详解】解：由尺规作图痕迹，可知：CD 是AB 的垂直平分线， ∵AC =BC ，∵∵1=∵ABC =90°-68°=22°， 故选A ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质和尺规作图，掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，是解题的关键．【变式1-3】（2021·九年级一模）如图，在ABC 中，34A ∠=︒分别以点A 、C 为圆心，大于12AC 长为半径画弧，两弧分别相交于点M 、N ，直线MN 与AC 相交于点E ．过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ，CD 与BE 相交于点F ．若BD CE =，则BFC ∠的度数为（ ）A ．102︒B ．107︒C ．108︒D ．124︒【答案】B【分析】连接DE ，如图，利用基本作图得到AE =CE ，则DE 为斜边AC 的中线，所以DE =AE =CE ，则∵ADE =∵A =34°，接着证明BD =DE ，所以∵DBE =∵DEB =17°，然后利用三角形外角性质计算∵BFC 的度数． 【详解】解：连接DE ，如图，由作法得MN 垂直平分AC ， ∵AE =CE ， ∵CD ∵AB ，∵∵CDB =∵CDE =90°， ∵DE 为斜边AC 的中线， ∵DE =AE =CE ， ∵∵ADE =∵A =34°， ∵BD =CE ， ∵BD =DE ， ∵∵DBE =∵DEB=12∵ADE =17°， ∵∵BFC =∵DBF +∵BDF =17°+90°=107°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的性质定理文字描述:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上； 几何语言:∵CA = CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上.题型二：线段垂直平分线的判定【例题2】（2020·吴江区青云实验中学八年级月考）如图，DE=DF ，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F 连接,EF EF 与AD 相交于点G ．（1）求证：AD 是EF 的垂直平分线；（2）若3,5,2AB AC ED ===，求ABC 的面积． 【答案】（1）见解答；（2）8 【分析】（1）先证明Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF 得到AE =AF ，然后根据线段垂直平分线的判定定理得到结论； （2）先得到DF =DE =2，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：（1）证明：∵DE ∵AB ，DF ∵AC ， ∵AD =AD ，DE =DF ， ∵Rt ∵ADE ∵Rt ∵ADF （HL ）， ∵AE =AF ，∵AD 是EF 的垂直平分线； （2）∵DF =DE =2， ∵S ∵ABC =S ∵ABD +S ∵ACD =12×2×3+12×2×5 =8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学定理证明三角形全等． 变式训练【变式2-1】（2020·吴江经济开发区实验初级中学八年级月考）三角形纸片ABC 上有一点P ，量得3cm PA =，3cm PB =，则点P 一定（ ）A ．是边AB 的中点 B ．在边AB 的中线上C ．在边AB 的高上D ．在边AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】已知条件知道线段相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的逆定理可知点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 【详解】解：∵PA ＝3cm ，PB ＝3cm ∵点P 一定在边AB 的垂直平分线上． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的逆定理；熟练掌握该知识是解答本题的关键．【变式2-2】（2020·南京市溧水区和凤初级中学八年级月考）已知：如图，AB ＝AC ，点D ，E 分别在AC ，AB 上，AD ＝AE ，BE ，CD 相交于点O ． 求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．【答案】详见解析 【分析】由SAS 得出∵ADB∵∵AEC ，得出∵ABD=∵ACE ，再根据AAS 证明∵BOE∵∵COD ，得出OB=OC ，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：在∵ADB 和∵AEC 中，AD AE A A AB AC ⎧=∠=∠=⎪⎨⎪⎩∵∵ADB ∵∵AEC （SAS ）， ∵∵ABD ＝∵ACE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵BE ＝CD ．在∵BOE 与∵COD 中，BOE COD BE CDOBE OCD ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∵∵BOE ∵∵COD （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．【变式2-3】（2019·盐城市·八年级期中）如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且AD ＝AE ，BE 、CD 交于点O ，求证：AO 垂直平分BC ．【分析】由SAS 得出∵ADC∵∵AEB ，得出∵ACD=∵ABE ，再根据AAS 证明∵BOD∵∵COE ，得出OB=OC ，由线段垂直平分线的判定得出结论． 【详解】证明：在∵ADC 和∵AEB 中，AD AE A A AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ADC ∵∵AEB （SAS ）， ∵∵ACD ＝∵ABE ． ∵AB ＝AC ，AD ＝AE ， ∵BD ＝CE ．在∵BOD 与∵COE 中，00BD CE BOD COE BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵BOD ∵∵COE （AAS ）， ∵OB ＝OC ，∵点O 在线段BC 的垂直平分线上．同理AB ＝AC ，点A 在线段BC 的垂直平分线上 ∵AO 垂直平分BC ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定．通过证明两套三角形全等得出OB=OC 是解题的关键．线段垂直平分线的画法题型三：画线段垂直平分线【例题3】（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）如图，在钝角ABC 中，90BAC ∠>︒．（1）作AC 的垂直平分线，与边BC ，AC 分别交于点D 、E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，过点B 作BH AC ⊥交CA 的延长线于点H ，连接AD ，求证ADE HBC ∠=∠． 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用尺规作图法作AC 的垂直平分线即可；（2）在（1）的条件下，画出∵ABC的AC边上的高BH即可，进而可以写出∵ADE和∵HBC的大小关系．【详解】解：（1）如图，AC的垂直平分线DE即为所求；（2）在（1）的条件下，AC边上的高BH即为所求．∵ADE和∵HBC的大小关系为：相等．理由如下：∵DE是AC的垂直平分线，∵DA＝DC，AE＝EC，又∵DE＝DE，∵∵ADE∵∵CDE（SSS），∵∵ADE＝∵CDE，∵BH∵AC，DE∵AC，∵DE∵BH，∵∵CDE＝∵HBC，∵∵ADE＝∵HBC．【点睛】本题考查了作图−复杂作图、线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．变式训练【变式3-1】（2020·江阴市长寿中学八年级月考）如图，已知∵ABC（AC＜AB），用尺规在AB上确定一点P，使PB＋PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用PB+PC=AB，PB+PA=AB，得到PC=PA，根据线段垂直平分线的判定定理，得到点P在线段AC的垂直平分线上，由此可知选项C符合题意．【详解】解：∵点P在AB上，∵PB+PA=AB，又∵PB+PC=AB，∵PC=PA，∵点P在线段AC的垂直平分线上，且线段AC的垂直平分线交AB于点P．∵选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，结合几何图形的基本性质把AB拆成PA与PB之和进而得到PC=PA是解决本题的关键．【变式3-2】（2020·连云港市·八年级期中）题目：用直尺和圆规过直线l外一点P做直线l的垂线．作法：（1）在直线l上任取两点A、B；（2）以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，BP的长为半径画弧，两弧相交于Q，如图所示；（3）作直线PQ则直线PQ就是直线l的垂线．请你对这种作法加以证明．【分析】根据线段的垂直平分线的判定证明即可．【详解】由作法得AP＝AQ，BP＝BQ，∵点A 在PQ 的垂直平分线上．点B 在PQ 的垂直平分线上，∵直线AB 垂直平分PQ，∵直线PQ 就是直线l 的垂线．【点睛】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】（2021·山西吕梁市·九年级二模）如图，在Rt∵ABC中，∵C=90°，AC＜BC．（1）动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．∵作出AB 的垂直平分线MN ，MN 分别与AB 交于点D ，与BC 交于点E ．∵过点B 作BF 垂直于AE ，垂足为F ．（2）推理证明：求证AC =BF ．【答案】（1）∵见解析；∵见解析；（2）见解析【分析】（1）∵根据垂直平分线的作法得出即可；∵延长AE ，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法得出即可；（2）根据垂直平分线的性质得到AE =BE ，再加上90BFE ACE ∠=∠=︒，BEF AEC ∠=∠，证得：BEF AEC △≌△，根据全等的性质得AC BF =．【详解】（1）∵∵：如图直线MN ，BF 就是所要求的作的图形．（2）证明：∵MN 垂直平分AB ，∵AE =BE ．∵BF ∵AE ，垂足为F ，∵90BFE ACE ∠=∠=︒．∵BEF AEC ∠=∠，∵BEF AEC △≌△．∵AC =BF ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作已知直线的垂线的作法、垂直平分线性质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE 与BE 的关系是解题关键．【变式3-4】（2021·贵州贵阳市·）如图，已知线段6AB =，利用尺规作AB 的垂直平分线，步骤如下：∵分别以点,A B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．∵作直线CD．直线CD就是线段AB 的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】利用基本作图得到b＞12AB，从而可对各选项进行判断．【详解】解：根据题意得：b＞12 AB，即b＞3，故选：D．【点睛】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．题型四：线段垂直平分线的实际应用【例题4】（2020·扬州市·八年级月考）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．∵ABC三边的垂直平分线的交点B．∵ABC的三条中线的交点C．∵ABC三条角平分线的交点D．∵ABC三条高所在直线的交点【答案】A【分析】由于凉亭到草坪的三个顶点的距离相等，所以根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，可知是∵ABC三条边垂直平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∵凉亭选择∵ABC三边的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题主要考查的是线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．变式训练A B C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置【变式4-1】（2020··八年级月考）在联欢晚会上，有、、上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．【变式4-2】（2020·常州市第二十四中学八年级期中）如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∵A、∵B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处【答案】D【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【变式4-3】（2020·昆山高新区汉浦中学八年级月考）在元旦联欢会上，三个小朋友分别站在三角形的三个顶点的位置上，他们玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先做到凳子上谁就获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案．【详解】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∵为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】本题主要考查游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平，并熟练掌握三角形内心、外心、垂心和重心的性质．【变式4-4】（2020·磴口县诚仁中学八年级期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【分析】（1）作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB 最小.【详解】（1）根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的垂直平分线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称的性质和距离之和最短问题，熟悉性质及距离之和最短问题的作法是关键．链接中考【真题1】（2012·无锡市·中考真题）如图，梯形ABCD中，AD∵BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【解析】梯形和线段垂直平分线的性质．【分析】由CD 的垂直平分线交BC 于E ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE ，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED 的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A ．【真题2】（2010·无锡市·中考真题）如图，∵ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∵A=30°，∵ACB=80°，则∵BCE=_____ °．【答案】50【分析】根据∵ABC 中DE 垂直平分AC ，可求出AE=CE ，再根据等腰三角形的性质求出∵ACE=∵A=30°，再根据∵ACB=80°即可解答．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∵A=30°，∵AE=CE ，∵ACE=∵A=30°，∵∵ACB=80°，∵∵BCE=80°-30°=50°．故答案为：50．【真题3】（2019·泰州市·中考真题）如图，ABC ∆中，90C =∠，4AC =，8BC =．用直尺和圆规作AB 的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）【分析】分别以A ，B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，两弧交于点M ，N ，作直线MN 即可．． 【详解】如图直线MN 即为所求．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【拓展1】（2020·南京市·中考真题）如图，线段AB、BC的垂直平分线1l、2l相交于点O，若1∠=39°，则AOC∠=__________．【答案】78︒【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∵AOG =51︒-∵A，∵COF =51︒-∵C，利用平角的定义得到∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，计算即可求解．【详解】如图，连接BO并延长，满分冲刺∵1l 、2l 分别是线段AB 、BC 的垂直平分线，∵OA=OB ，OB=OC ，∵ODG=∵OEF=90︒，∵∵A=∵ABO ，∵C=∵CBO ，∵∵2=2∵A ，∵3=2∵C ，∵OGD=∵OFE=90︒-39︒=51︒，∵∵AOC=∵2+∵3=2(∵A+∵C)，∵∵OGD=∵A+∵AOG ，∵OFE=∵C+∵COF ，∵∵AOG =51︒-∵A ，∵COF =51︒-∵C ，而∵AOG+∵2+∵3+∵COF+∵1=180︒，∵51︒-∵A+2∵A+2∵C+51︒-∵C+39︒=180︒，∵∵A+∵C=39︒，∵∵AOC=2(∵A+∵C)=78︒，故答案为：78︒．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．【拓展2】（2018·南通市启秀中学八年级期中）如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=︒，为MN 的中点 ∵用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)； ∵在∵的条件下，如果60G ∠=︒，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？【答案】∵作图见详解，∵Q是GN的中点，证明见详解.【分析】∵利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.∵证明Q是GN的中点，根据∵的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.【详解】解：∵∵ 在∵的条件下，如果∵G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，∵∵G=60°，∵GMN=90°，∵∵N=90°─60°=30°，∵点P关于GN的对称点是点P'，∵PK∵KN，PK=12P P'，∵∵PKN=90°，又∵∵N=30°，∵PK=12PN，PP'=PN，∵P为MN的中点，∵PM=PN，PP'=PM，∵∵PР'M=∵PMР'，∵∵PK N=90°，∵N=30°，∵∵NРK=90°-30°=60°，又∵∵PP'M+∵PMP’=∵NPK，∵∵PM P'=12×60°=30°，又∵∵N=30°，∵∵PM P'=∵N，QM=QN，∵∵GMN=90°，∵PM P'=30°，∵∵GMQ=90°-30°=60°，又∵∵G=60°，∵∵GMQ=∵G，∵QG=QM，又∵QM=QN，∵QG=QN，Q是GN的中点。
线段的垂直平分线的性质和判定精品导学案及练习附解析
13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定一、学习目标1、掌握线段垂直平分线的性质2、掌握线段垂直平分线的判定3、运用线段垂直平分线的性质解决问题二、复习右面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴。
三、探究（一）教材探究问题1、量出AP1、AP2、AP3、与BP1、BP2、BP3,讨论发现什么样的规律：。
总结线段垂直平分线的性质：2、你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗？如图（1），直线l AB，垂足是C，AC=BC,点P在l上。
求证：PA PB图（1）探究（二）反过来,图(2)中如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?说明理由.(1)已知：（2）求证：(3)需要作辅助线吗？怎么作？证明：PA B总结线段垂直平分线的性质判定：四、练习1．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。
五、小结与反思:第2课时线段的垂直平分线的有关作图一、学习目标1、会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴；2、掌握作出轴对称图形的对称轴的方法，即线段垂直平分线的尺规作图。
二、温故知新（口答）1、下面的图形是轴对称图形吗？如果是，请说出它的对称轴。
2、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对所连的线.3、与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
三、自主探究合作展示【问题】1、如果我们感觉两个图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证？2、两个成轴对称的图形，不经过折叠，你有什么方法画出它的对称轴？归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．【新知应用】例题1：如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?1、请同学们按照以下作法在图（1）中完成作图。
初中数学八年级上册《13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1)》
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）学习目标：1.掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．3会过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图，了解作图的道理．一、学前准备1. 线段的垂直平分线的概念： .二、预习导航（一）预习指导活动1 线段的垂直平分线的性质（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的性质）2.线段的垂直平分线的性质： .几何推理形式：如图所示，∵，∴ .活动2 线段的垂直平分线的判定（阅读教材第61页，掌握线段垂直平分线的判定）3.线段的垂直平分线的判定： .4.如图，已知PA=PB，求证：点P在线段AB 的垂直平分线上.活动3过点作已知直线的垂线（阅读教材第62页，过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理）5.如图，已知直线AB及AB上的一点P，求作：直线AB的垂线，使它经过点P.（保留作图痕迹，不写作法）预习疑惑：（二）预习检测6.如图，PA=PB.（1）若PC⊥AB，垂足为C，则AC= ；（2）若AC=BC，则PC⊥ .（3）已知线段AB及一点P，PA=PB=3 cm，则点P在 .7.如图，AB=AC=8，AB的垂直平分线MN交AC于D.若△ADB的周长为18，求DC的长.三、课堂互动问题1线段垂直平分线性质和判定的应用8.如图，在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线，OA =OC ，求证:点O 在BC 的垂直平分线上.方法总结：四、总结归纳1. 你有什么收获？（从知识、方法、规律方面总结）2. 你还有哪些疑惑？3. 你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？4. 在展示中，哪位同学是你学习的榜样？哪个学习小组的表现最优秀？教（学）后记：五、达标检测1.如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则BC = ．2.如图，D 为BC 边上一点，且BC=BD+AD ，则AD DC ，点D 在 的垂直平分线上. 第1题图第2题图3.如图，CD为AB的垂直平分线，若AC=1.6 cm，BD=2.4 cm，则四边形ACBD的周长为（）第3题图A.4 cmB.8 cmC.5.6 cmD.6.4 cm4.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为边AB的垂直平分线，则AC+BC=cm.第4题图5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D. 若△BCD的周长为8，求BC的长.AEDB C第3题图《13.1.2 线段的垂直平分线的性质（1）》参考答案一、学前准备1.略.二、预习导航2.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 几何推理形式：∵PC 是AB 的垂直平分线，∴PC ⊥AB ，AC=BC .3.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.4.解：如图，过点P 作PC ⊥AB 交AB 于点C .∵PC ⊥AB ，∴∠PCA =∠PCB =90°.在Rt △PCA 和Rt △PCB 中，PA PB PC PC ==⎧⎨⎩ ∴Rt △PCA ≌Rt △PC B(HL ) .∴AC=BC .∴点P 在线段AB 的垂直平分线上.5.略.6.（1）BC ；（2）AB ；（3）AB 的垂直平分线上.7.解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB .又∵AB=AC=8，△ABD的周长为AB+AD+DB=18，∴8+2AD=18，解得AD=5.又∵AC=8，∴DC=AC-AD=8-5=3.三、课堂互动8.证明：∵ON是AB的垂直平分线，∴OA=OB.又∵OA=OC，∴OB=OC.∴点O在BC的垂直平分线上.五、达标检测1.答案：15.2.答案：=；AC.3.解：B.4.解：7.5.解∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD.∵△BCD的周长为8，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=8.∵AB=AC=5，∴BC=3.。
线段垂直平分线的性质和判定(分层作业)(解析版)
13.1.2线段垂直平分线的性质和判定夯实基础篇一、单选题：1．如图，△AB C中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】设边AB的垂直平分线交AB于点E，∵ED是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10.故答案为：B.【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键.2．如图，在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠AC B．若BE=2，则AE的长为（）AB．1C D．2【答案】B【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在△AB C中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=12CE=1．故选B．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1．3．如图所示，在△AB C中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE.下列结论中，错误的是()A．AD=CD B．BE>CDC．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD【答案】D【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：由作图可得，DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD，∴点D为AB的中点.∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD为Rt△ABC的边AB上的中线，∴CD=AD=BD，故A选项正确；∵DE⊥AB，∴Rt△ADE中，AE＞A D.∵AE＞AD。
13.1.2 线段的垂直平分线的性质习题
第十三章
轴对称
4.已知:如图AB=AE,BC=ED,AF是CD的垂直平分线.
求证:∠B=∠E.
证明:连接 AC,AD, ∵AF 是 CD 的垂直平分线, ∴AC=AD. 又 AB=AE,BC=ED, ∴△ABC≌△AED(SSS). ∴∠B=∠E.
第十三章
轴对称
线段的垂直平分线(对称轴)的尺规作图
第十三章
轴对称
5.如图,点A,B,C分别表示某公司三个车间的位置,现在要建 一个仓库,要求它到三个车间的距离相等,则仓库应建在( )
D
(A)△ABC三条中线的交点上 (B)△ABC三条内角平分线的交点上 (C)△ABC三条高的交点上 (D)△ABC三边垂直平分线的交点上
第十三章
轴对称
6.如图所示,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于 E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE= 50° .
5.如图,已知线段a,h作等腰△ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红 的作法是:
(1)作线段BC=a;
(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D; (3)在直线MN上截取线段h; (4)连接AB,AC,△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中,有错误的一步是( (A)(1) (B)(2) (C)(3) (D)(4) C )
第十三章
轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的性质及判定 1.如图,下列说法正确的是( D ) (A)若CD是线段AB的垂直平分线,则AC=AD (B)若AD=DB,则AC=BC (C)若CD⊥AB,则AC=BC (D)若CD是线段AB的垂直平分线,则AC=BC 解析:若CD垂直平分AB,则AC=BC,若AB垂直平分CD,才得AC=AD,故选D.
人教版八年级上册13.1.2线段的垂直平分线的性质同步练习(解析版)
13.1.2线段的垂直平分线的性质班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一、选择题(每小题6分，共30分)1．如图，在△ABC中，AC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，EC=2cm，则BE的长为（）mA. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm3．下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等；②角是轴对称图形；③线段不是轴对称图形；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ②③④4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．下列结论错误的是（）A. AD=CD B. ∠A=2∠DCB C. ∠ADE=∠DCB D. ∠A=∠DCA 5．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（）A. AM=BMB. AP=BNC. ∠MAP=∠MBPD. ∠ANM=∠BNM二、填空题(每小题6分，共30分)6．点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=_____．7．如图，在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则△ADE的周长为_______.8．如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_________.9．如图，△ABC中，∠BAC=110°，AB、AC的垂直平分线分别交BC 于点E、F，则∠EAF的度数为______.10．如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1 次碰到矩形的边时的点为P1,第 2 次碰到矩形的边时的点为P2，……第n次碰到矩形的边时的点为Pn.则点P3 的坐标是(8，3)，点P2018的坐标是________.三、解答题(每小题20分，共40分)11．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC，AP=AQ. 求证：BP=CQ．12．如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）ED=EC；（2）∠ECD=∠EDC；（3）射线OE与CD有什么关系？（直接写出结果）参考答案1．C【解析】∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，∵AC=8cm，EC=2cm，∴AE=6cm，∴BE=6cm.故选C.2．A【解析】点A与点A′是关于直线l的对称点，所以两点到直线l的距离相等，所以AA′的长度为4cm．故选A.3．C【解析】①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，故①错误；②角是轴对称图形，故②正确；③线段是轴对称图形，故③错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，故④正确.正确的是②④.故选C.4．B【解析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选B．5．B【解析】∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，∴点A与点B对应，∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，∵点P时直线MN上的点，∴∠MAP=∠MBP，∴A，C，D正确，B错误，故选B．6．10【解析】∵点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，∴PA=PB=10，故答案为：10．7．9【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB=DA，∵AC的垂直平分线交BC于点E，∴EA=EC,∴C△ADE=AD+AE+DE=BD+AE+EC=BC=9.故答案为9.8．10【解析】本题利用垂直平分线的性质解决，注意三角形周长的转换即可.解：∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，∴AE=BE,∴△BCE的周长为：AE+EC+BC=AC+BC=6+4=10.故答案为10.9．400【解析】∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°.∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，∴∠BAE=∠B, ∠CAF=∠C,∴∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=70°, ∴∠EAF=110°-70°=40°. 10．（7，4）.【解析】由图可知，每经过6次触碰就回到出发点P（0，3），因为2018÷6=336…2，所以P2018的坐标是第2次触碰时P2的坐标（7，4）.211．见解析【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO，PO=QO，根据等式的性质，可得答案．解：过点A作AO⊥BC于O．∵AB=AC，AO⊥BC∴BO=CO，∵AP=AQ，AO⊥BC，∴PO=QO，∴BO－PO=CO－QO∴BP=CQ．12．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）OE是线段CD的垂直平分线.【解析】（1）由E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，根据角平分线的性质，可证得ED=EC，∠OED=∠OEC，继而可证得EC=ED；（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE，再根据等边对等角证明即可；(3) 利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，然后根据等腰三角形三线合一证明.证明：（1）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，∴△OED≌△OEC （AAS），∴EC=ED；（2）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC；（3）∵OC=OD，且DE=EC，∴OE是线段CD的垂直平分线．。
人教版八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 同步课时练习
13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )A．6 B．5C．4 D．32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段．第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是．4．如图，点D在BC上，DE垂直平分AC，垂足为E，DF垂直平分BA，垂足为F.求证：DB＝DC.5．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则( )A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D ．点P 在边BC 的垂直平分线上6．如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，E 是AD 延长线上的一点，BE 是否与CE 相等？试说明理由．7．如图，已知钝角△ABC ，其中∠A 是钝角，求作AC 边上的高BH.8．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A ．三条高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点9．如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，用直线MN 交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°10．如图，AC 是线段BD 的垂直平分线，E 是AC 上的一点，则图中全等的三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19 cm，△ABD的周长为13 cm，则AE的长为cm.12．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD 的周长是14 cm，求AB和AC的长．13．如图，AD是△ABC的高，E为AD上的一点，且BE＝CE，求证：直线AE是BC的垂直平分线．14．如图，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DE 与∠BAC 的平分线交于点E ，EF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，EG ⊥AC 交AC 于点G.求证：(1)BF ＝CG ； (2)AF ＝12(AB ＋AC)．第2课时 作轴对称图形的对称轴1．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，分别以点B 和点C 为圆心，以大于12BC 的长为半径画弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，直线MN 交AB 于点D ，连接CD ，则△ADC 的周长为 ．2．如图，在某河道l 的同侧有两个村庄A ，B ，先要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？3．画出下列轴对称图形的一条对称轴．4．指出下列轴对称图形各有几条对称轴，并把它们画出来．5．如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是(C)A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EF D．GH平分AF6．如图，AO，BO是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内．信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置．7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．(1)画出直线EF；(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．参考答案：13.1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定1．B2．BD＝DA(或BE＝EA或CD＝ED)．3．16．4．证明：连接AD，∵DE垂直平分AC，DF垂直平分BA，∴DB＝DA，DC＝DA.∴DB＝DC.5．D6．解：相等．理由：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理：点D也在线段BC的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD是线段BC的垂直平分线．∵E 是AD 延长线上的一点， ∴BE ＝CE. 7．解：作法：①延长线段CA 至点E ，任意取一点K ，使点K 和点B 在CE 的两侧； ②以点B 为圆心，BK 长为半径画弧，交CE 于点F 和G ；③分别以点F 和G 为圆心，大于12FG 的长为半径画弧，两弧相交于点M ；④作直线BM ，交CE 于点H.则线段BH 就是所求作的高．如图所示． 8．D 9．C 10．D 11． 3 .12．解：∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC.∵△ACD 的周长是14 cm ， 即AC ＋AD ＋DC ＝14 cm ， ∴AC ＋AD ＋BD ＝14 cm ， 即AC ＋AB ＝14 cm . 又∵AB －AC ＝2 cm ， ∴AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm .13．证明：在Rt △BDE 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝ED ，BE ＝CE ， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDE(HL )． ∴∠BED ＝∠CED. ∴∠AEB ＝∠AEC. 在△ABE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△ACE(SAS )． ∴AB ＝AC.∴点A 在BC 的垂直平分线上． 又∵BE ＝CE ，∴点E 在BC 的垂直平分线上． ∴直线AE 是BC 的垂直平分线． 14．证明：(1)连接BE ，CE.∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，EG ⊥AC ， ∴EF ＝EG.∵DE 垂直平分BC ， ∴EB ＝EC.在Rt △EFB 和Rt △EGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，EB ＝EC ，∴Rt △EFB ≌Rt △EGC(HL )． ∴BF ＝CG. (2)∵BF ＝CG ，∴AB ＋AC ＝AB ＋BF ＋AG ＝AF ＋AG. 在Rt △AEF 和Rt △AEG 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，AE ＝AE ， ∴Rt △AEF ≌Rt △AEG(HL )． ∴AF ＝AG.∴AF ＝12(AB ＋AC)．第2课时 作轴对称图形的对称轴1． 10． 2．解：连接AB ，作线段AB 的垂直平分线，与直线l 的交点P 即为所求作的点．如图． 3．解：如图．4．解：4个图形对称轴的条数分别为1条、2条、2条、4条．如图．5．C6．解：∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点即为塔的位置，图略．7．解：(1)如图所示．(2)连接BO，B′O，B″O.∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM＝∠B′OM.又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，∴∠B′OE＝∠B″OE.∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2α，即∠BOB″＝2α.。
人教版八年级数学上册《线段的垂直平分线的 性质和判定》同步练习
第 1 课时 线段的垂直平分线的性质和判定
1.选择题:
⑴在锐角△ ABC 内一点 P 满足 PA=PB=PC，则 点 P 是△
ABC( ) A.三条角平分线的交点
B.三条中 线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
⑵△ABC 中，AC＞BC，边 AB 的垂直平分线与 AC 交于点 D，
已知 AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( )
Hale Waihona Puke ∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，
∴P 点在 AC 的垂直平分线上.
22. 证：∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在 Rt△AED 和 Rt△AFD 中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴AD 垂直平分 EF（三线合一） 23. 证 明：（1）∵∠C=∠D=90°， ∴在 Rt△ACB 和 Rt△BDA 中，
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
第 18 题图
2
20．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 AB 的中点，且 DE⊥AB，△BCE 的周长为 8cm，且 AC﹣BC=2cm，求 AB、BC 的长．
[来源:学科网 ZXXK]
21.如图，已知：在 ABC 中，AB、BC 边上的垂直平分线相交于点 P. 求证：点 P 在 AC 的垂直平分线上.
一、选择题（共 8 小题）
1．B
2．A 3．A
4． A
5．C 6．C 7．A 8．A[来源:]
二．填空题（共 10 小题）[来源:Z。xx。]
13.1.2 线段垂直平分线的性质和判定
练一练：1.如图1所示，直线CD是线段PB的垂直平分线，点 P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ B ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2.如图2所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB 于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长 是 10cm .
讨论一下
P
C
B
你能用不同的方法证明这一结论吗？
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）
判定定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
讨论结果
我能用不同的方法证明这一结论（定理）！
已知：如图，
求证：PA =PB．
P
证明：
A B
线段垂直平分线的判定定理 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ ∴ PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上． A P
B
D
C
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． ）
Ｃ
Ａ Ｄ
种.
Ｂ
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，
EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 无数
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB，
l P 3
P P2
P1
A
∴ ∠PCA =∠PCB=90o． 又 AC =CB，PC =PC，
A
C
B
l
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（SAS）．
13.1.2线段的垂直平分线的性质练习(1)
莲都中学集体备课教案
2014 ----2015 学年度第一学期
学科数学执教教师授课时间年月日
年级八年级课题13.1.2线段的垂直平分线的性质练习
教学目标1．探索作出轴对称图形的对称轴的方法．掌握轴对称图形对称轴的作法，在探索
的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
2.体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；会应用数学知识解决
一些简单的实际问题，增强应用意识
教学重点轴对称图形对称轴的作法
教学难点探索轴对称图形对称轴的作法．
教学设计
一、课前自主学习
1.经过线段中点并垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
二、课时达标演练
知识点1：线段垂直平分线的性质运用
1、如图，ABC中，BC=10,边BC的垂直平分线分别交AB,BC于点E, D BE=6, 求△BCE的周长。
2、如图，在△ABC中，AB=AC=18cm，BC=10cm，AB的垂直平分线ED交AC于点D，求△ABC 的周长。
八年级数学上册-人教版八年级上册数学 13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定精选练习1
13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质和判定一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段D垂直平分线的交点连接EC；则∠AEC等于（）第1题图第2题图第5题图第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第10题图第12题图第13题图第14题图第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△AB C中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．13.1.2 线段的垂直平分线的性质一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．。
13.1.2第1课时线段的垂直平分线的性质和判定同步练习含答案
13第1课时线段的垂直平分线的性质和判定基础题知识点1线段垂直平分线的性质1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为( )2A．6 B．5 C．4 D．32．如图所示，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 c m，则四边形ACBD的周长是( )A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm3．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4 cm，△ABD 的周长为14 cm，则△ABC的周长为( )A．18 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm4.如图所示，在△ABC中，BC＝8 cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18 cm，则AC的长等于( )2A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm5．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．6．如图，△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线分不交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分不交AC、BC于点F、G.求△AEG的周长．【来源：21·世纪·教育·网】知识点2线段垂直平分线的判定7．已知：如图，直线PO与AB交于O点，PA＝PB.则下列结论中正确的是( )A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是AB的垂直平分线D．P点在AB的垂直平分线上8．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试讲明理由．知识点3通过直线外一点作已知直线的垂线9．如图，已知钝角△ABC，其中∠A是钝角，求作AC边上的高BH.中档题10．(临沂中考)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DECA．28°B．25°C．22.5°D．20°12．已知：如图，AC是线段BD的垂直平分线，E是AC上的一点，则图中全等的三角形共有( )A．3对B．4对C．5对D．6对13．在锐角△ABC内一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC()A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点A．13 B．12 C．11 D．1015．如图所示，直线MN是线段AB的对称轴，点C在MN外，CA与MN相交于点D，如果CA＋CB＝8 cm，那么△BCD的周长等于______ __cm.21·世纪*教育网16．如图，△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP＝5，那么PC＝________．17．已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④点P在线段A B的垂直平分线上，其中正确的有________．www-2-1-cnjy-com 18．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC边的垂直平分线MN通过点A，连接AC，求证：点A在CD的垂直平分线上．2-1-c-n-j-y综合题19．如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证：2 1教育网(1)BF＝CG；(2)AF＝12(AB＋AC)．参考答案1．B 2.B 3.B 4.C 5.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC.∵点C 在AE 的垂直平分线上，∴AC ＝CE.∵AB ＝5 cm ，BD ＝3 cm ，∴CE ＝5 cm ，CD ＝3 cm.∴BE ＝BD ＋DC ＋CE ＝11 cm. 6.∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE.同理：AG ＝CG .∴△AEG 的周长为AE ＋AG ＋EG ＝BE ＋C G ＋EG ＝BC ＝10.7．D 8.相等．连接BC ，∵AB ＝AC ，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上．同理：D 点也在线段BC 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD 是线段BC 的垂直平分线．∵E 是AD 延长线上的一点，∴BE ＝CE. 9.图略 10.C 11.A 12.D 13.D 14.A 15.8216．5 17.④ 18.证明：∵MN 垂直平分BC ，∴AB ＝AC.∵AB ＝AD ，∴AC ＝AD.∴点A 在CD 的垂直平分线上． 19.证明：(1)连接BE 、CE.∵AE 平分∠BAC ，EF ⊥AB ，EG ⊥AC ，∴EF ＝EG .∵DE 垂直平分BC ，∴EB ＝EC.在Rt △EFB 和Rt △EGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝EG ，EB ＝EC ，∴Rt △EFB ≌Rt △EGC(HL)．∴BF ＝CG .(2)∵BF ＝CG ，∴AB ＋AC ＝AB ＋BF ＋AG ＝AF ＋AG .又易证Rt △AEF ≌Rt △AEG(HL)，∴AF ＝AG .∴AF ＝12(AB ＋AC)．。
13.1.2《线段的垂直平分线的性质》随堂练习
《线段的垂直平分线的性质》一、自主学习1、复习：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的距离.2、思考归纳：线段的垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．证明：符号语言：∵∴.3、结合“线段的垂直平分线的性质”和“判定”：线段垂直平分线可以看成的点的集合.4、教材P62思考：归纳：作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它的的线，就可以得到这两个图形的对称轴．二、合作交流1．如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?2．右图中，与图形A成轴对称的是哪个图形?画出它们的对称轴.ABM NCDAB三、精讲点拨1. 作线段AB 的垂直平分线.例题：如图，A 、B 是河l 同旁的两个科技试验园， 现要在河边修建一泵站，向两个科技园供水， 要求泵让到两个科技园的距离相等，试在图中 确定泵站的位置． 课堂练习：1．点P 是△ABC 内的一点，且满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC 的（ ） A ．三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C ．三条高线的交点 D ．三边垂直平分线的交点 2、如图，∠AOB 内一点P ，P 1，P 2分别P 是关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2=5cm ， 则△PMN 的周长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm3、在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC 边的垂直平分线经过点A.求证：点A 在CD 的垂直平分线上.OABMNBCADEF4、如图，AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高.求证：AD 是EF 的垂直平分线．5、如图：求作一点P ，使PM=PN ，并且使点P 到∠AOB 的两边的距离相等．。
八年级数学上册 13.1.2 线段的垂直平分线的性质课时训练 (新版)新人教版
13.1.2线段的垂直平分线的性质（练习）班级：__________ 姓名：__________一、判断题1．如图，OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线．（）2．如图，射成OE为线段CD的垂直平分线．（）3．如图，直线AB的垂直平分线是直线CD．（）4．如图，PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线．（）二、填空题1．如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm．2．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，则AB+BD+AD=________cm；AB+BD+DC=__________cm；△ABC的周长是__________cm．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于E，BE=5，则AE=__________，∠AEC=__________，AC=__________ ．4．已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．5．如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________c m．6．如图，P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM．7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在__________上．8．如图，BC是等腰△ABC和等腰△DBC的公共底，则直线AD必是__________的垂直平分线．三、选择题1．下列各图形中，是轴对称图形的有多少个[ ]①等腰三角形②等边三角形③点④角⑤两个全等三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如下图，AC=AD，BC=BD，则[ ]A．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分∠ACB D．以上结论均不对3．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC 的周长是[ ]A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm4．如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是[ ] A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形四、解答题如图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF.求证：OP垂直平分EF．参考答案一、1．× 2． × 3．× 4．√ 二、1．5 10 53 2．12 12 17 3．5 30° 215 4．线段AB 的垂直平分线 5．6 6．= ＞7．线段AB 的垂直平分线 8．线段BC三、1．D 2．B 3．D 4．C 四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F ∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO ∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上， ∴OP 垂直平分EF ．。
新人教版八年级上册数学13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定2同步练习
E D C A B 13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定1.选择题: ⑴在锐角△ABC 内一点P 满足PA=PB=PC ，则点P 是△ABC( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点⑵△ABC 中，AC ＞BC ，边AB 的垂直平分线与AC 交于点D ，已知AC=5，BC=4，则△BCD 的周长是( )A.9B.8C.7D.6⑶平面内到不在同一条直线的三个点A 、B 、C 的距离相等的点有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.填空题:⑴如下图，△ABC 中，AB=AC=14cm ，D 是AB 的中点，DE ⊥AB 于D 交AC 于E ，△EBC 的周长是24cm ，则BC=_________．⑵互不平行的两条线段AB 、B A ''关于直线l 对称，AB 和B A ''所在直线交于点P ，下面结论：①AB=B A ''；②点P 在直线l 上；③若点A 、A '是对称点，则l 垂D CA B E D AB 直平分线段A A '；④若点B 、B '是对称点，则PB=B P '，其中正确的有 (只填序号).3.△ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P.求证：点P 在BC 的垂直平分线上.4.如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线，求证：∠ABD=∠ACD.5.如图，△ABC 中∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．6.现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图⑴，⑵所示.[来源学科网Z,X,X,K]图(1) 图(2) 图(3) 图(4)观察图⑴，图⑵中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征:①都是轴对称图形②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图⑶，图⑷内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．参考答案1.⑴D；⑵A；⑶B.2.⑴10cm；⑵①②③④.3.证明PB=PC.4.证明△ABD≌△ACD(SSS).5.证明AE=AC，DE=DC.6.答案不唯一，只要符合要求，即可.。
部编版人教数学八上13.1.2第1课时 线段的垂直平分线的性质 同步训练习题(含答案)
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13．1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时线段的垂直平分线的性质
[学生用书P43]
1．如图13-1-14，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )
图13-1-14
A．AB＝AD B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC
2．[2016·天门]如图13-1-15，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )
图13-1-15
A．13 B．15 C．17 D．19
3．小明做了一个如图13-1-16所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小明说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线，其中蕴含的道理是__ __．
图13-1-16
4．如图13-1-17，∠AOB内有一点P，P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点，
P 1P
2
交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5 cm，则△PMN的周长是( )
图13-1-17
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5．[2015·荆州]如图13-1-18，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB 于D点，交AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝__ __cm.
图13-1-18。
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质（一）
第1课时线段的垂直平分线的性质和判定
班级姓名
一、选择题（共8小题）
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段
D
垂直平分线的交点
连接EC；则∠AEC等于（）
D．
第1题图第2题图第5题图
第6题图第7题图第8题图
二、填空题（共10小题）
9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．
10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．
11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.
12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．
13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．
14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．
15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为
_________ ．
16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．
17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．
18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．
第10题图第12题图第13题图第14题图
第15题图第16题图第17题图第18题图
三、解答题（共5小题）
19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE
的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．
21.如图，已知：在ABC
中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.
求证：点P在AC的垂直平分线上.
22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．
23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．
24．（5分）如图，已知：△ABC中，BC＜AC，AB边上的垂直平分线DE交AB 于D，交AC于E，AC=9 cm，△BCE的周长为15 c m，求BC的长．
（5分）如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′25．
和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、选择题（共8小题）
1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A
二．填空题（共10小题）
9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°
三．解答题（共5小题）
19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．
20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，
∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，
∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，
①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．
21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上
∴AP=BP，BP=CP ∴AP=CP，
∴P点在AC的垂直平分线上.
22.证：∵AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF（三线合一）
23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，
∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴AD=BC；
（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上．
24．BC=6cm
25．略。