基于覆盖的区间直觉模糊粗糙集

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基于直觉模糊剩余蕴涵的直觉模糊粗糙集的性质

收稿日期：２１．２００００．５
通讯作者：秦克￣（９２，西南交通大学数学学院教授，１６－男，）博士生导师
１Ｏ９
西南民族大学学报・自然科学版
第３卷６
定义３令＝［，，Ｏ１二元函数Ｔ：ＬＬ，］ＬＸ若满足下列条件
（）１两极律：Ｔａ１＝ａａ∈ ；（，），（）２交换律：Ｔａ６＝ｒｂ，（，）（，）ａ∈三；（）３结合律：ＴＴａ６，）（，（，）ａ（（，）Ｃ＝ＴａＴｂｃ） ∈Ｌ；，．（）４单调率：ａ，ｄ＝Ｔａ６ ≤Ｔｃ，，，，，ｃｂ＝（，）（，ａｂｃｄ∈ ＞）则称为Ｌ＝【，上的三角模．当Ｔａ１＝ａ时称为模，当Ｔａ０＝ａ时称为模，模和模是对偶的，０１】（，）（，）
即Ｓａ６＝１Ｔ１ａ１ｂ，，．（，）－（一，－）ａｂ∈ 定义４设是上下半连续三角模，三上的二元算子：三Ｌ定义如下：ＬＸ
（，）ｕ｛ ∈ＬＩ（，）６，， ∈ ，ｂ＝ｓｐｃＴａｃ）ａｂ
称是的剩余蕴涵．，
基于直觉模糊剩余蕴马立珍
（南交通大学数学学院，四川成都６０３）西１０１摘要：本文主要研究直觉模糊剩余蕴涵下的直觉模糊粗糙集的构造和性质．定义了直觉模糊集上的剩余蕴涵，于该基
剩余蕴涵构造了直觉模糊粗糙集的上、下近似算子，并给出了基于不同二元关系下近似算子的性质．关键词；直觉模糊集；直觉模糊粗糙集；直觉模糊剩余蕴涵
’ ，）ｍｉ（（Ｉ一）（ｌ－２）ｎ１（１２，一Ｔｙ，一）（Ｙ＝（ｎＴｘ，，ｙ，ｘ）ｍｉ（一，一）１Ｔｌ，１（ｌ）１）均是是ｒ上模． ‘ ，＝（（）（２）是ｒ上模．（），，ｘ，）ｘＴ

粗糙集理论与模糊集理论的比较分析

粗糙集理论与模糊集理论的比较分析近年来，粗糙集理论和模糊集理论作为数据挖掘和决策支持系统中的重要工具，受到了广泛关注。

粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性和模糊性问题的数学工具，但它们在处理方式和应用领域上存在一些差异。

首先，粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的，它通过将数据集划分为等价类来处理不确定性问题。

粗糙集理论假设数据集中的每个对象都可以用一个决策属性集来描述，而对于其他属性，可能存在不同的取值。

通过将相似的对象划分为等价类，粗糙集理论可以找到数据集中的规则和模式。

粗糙集理论的一个重要应用是特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性，从而减少数据集的维度。

相比之下，模糊集理论是由日本学者石井敏行于1965年提出的，它通过引入隶属度函数来处理模糊性问题。

模糊集理论假设每个对象都有一定程度上属于某个集合的可能性，而不是仅仅属于或不属于。

模糊集理论可以用来描述模糊的概念和模糊的关系。

模糊集理论的一个重要应用是模糊推理，它可以帮助我们处理模糊的决策问题，例如模糊控制系统和模糊决策树。

粗糙集理论和模糊集理论在处理不确定性和模糊性问题上有一些共同之处。

它们都可以用来处理不完全信息和不确定性的数据，帮助我们做出决策。

然而，它们在处理方式和应用领域上也存在一些差异。

首先，粗糙集理论更注重数据集的划分和等价类的构建，它通过找到相似的对象来发现数据集中的规则和模式。

而模糊集理论更注重隶属度函数的构建和模糊关系的描述，它通过模糊的概念和关系来处理模糊性问题。

其次，粗糙集理论更适用于处理离散型数据，而模糊集理论更适用于处理连续型数据。

粗糙集理论通过等价类的划分来处理离散型数据中的不确定性问题，而模糊集理论通过隶属度函数的构建来处理连续型数据中的模糊性问题。

此外，粗糙集理论更注重数据的削减和特征选择，它可以帮助我们从大量的属性中选择出最具代表性的属性。

而模糊集理论更注重模糊推理和决策，它可以帮助我们处理模糊的决策问题。

基于区间粗糙直觉模糊数的多属性决策方法

ＹＵＧａｏ．ｆｅｎｇ，ＬＩＵＷｅｎ．ｑｉ
（１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＳａｎｍｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓａｍｉｎｇ３６５００４，Ｃｈｉｎａ；２．ＳｃｈｏｏｌｆｏＳｃｉｅｎｃｅ，ＫｕｎｍｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉ一￡ｙｆｏＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ６５００９３，Ｃｈｉｎａ）
中图分类号：Ｃ９３４文章标识码：Ａ文章编号：１００７ — ３２２１（２０１５）０４ — ００２３ — ０７
Ｍｕｌｔｉ－ａｔｔｒｉｂｕｔｅＤｅｃｉｓｉｏｎＭａｋｉｎｇＭｅｔｈｏｄＢａｓｅｄｏｎＩｎｔｅｒｖａｌ — ｖａｌｕｅｄＲｏｕｇｈＩｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃＦｕｚｚｙＮｕｍｂｅｒ
ｂｅｒｓ．Ｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｆｄｅｃｉｓｉｏｎｍａｋｉｎｇｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ｔｈｅｅｘａｍｐｌｅａｎａｌｙｓｉｓｓｈｏｗｓｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆ
余高锋，刘文奇
（１．三明学院信息工程学院，福建三明３６５００４；２．昆明理工大学理学院，云南昆明６５００９３）

两个论域上的覆盖粗糙模糊集模型

2017，53（8）1引言Pawlaw 在1982年提出了粗糙集理论[1]，它是一种用于处理不精确，不确定信息系统的数学工具。

粗糙集理论是根据知识的不可分辨性，通过一对近似算子对一给定概念进行近似表示，而不需要任何有关数据和先验知识。

由于粗糙集的这一特点，它被广泛应用于知识发现，数据挖掘和人工智能等领域[2]。

随着应用的深入，粗糙集的模型也得到了极大的推广，RST 的扩展方式大致从三个方面进行研究，等价关系，包含算子以及被近似对象[3]，其中覆盖就是把等价关系推广到一般的覆盖关系。

1965年美国著名控制专家L.A 扎德教授建立模糊集合论[4]以来，由于它的处理方法更加贴近实际，且对于处理复杂系统方面有所简洁，在很大程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，模糊数学渐渐地已经成为一门具有广泛应用的新科学。

模糊技术已渗透到自然科学，社会科学及工程技术的几乎全部领域，如石油，化工，机械，电子，材料，医疗，卫生，地质，地震，气象，环境，体育，军事等领域，所以模糊技术将在人类未来的生活中占有更大的影响地位。

1983年Zakowski 提出了覆盖粗糙集模型[5]，而后许多学者，提出了多种不同的覆盖粗糙集模型，如变精度覆盖粗糙集模型[6]、多粒度覆盖粗糙集模型[7]、变精度覆盖多粒度粗糙集模型、覆盖S-粗糙集模型[8]、覆盖粗糙模糊集模型[9]等。

但它们都是在一个论域上进行研究的，⦾理论与研发⦾两个论域上的覆盖粗糙模糊集模型姚邦生，舒兰YAO Bangsheng,SHU Lan电子科技大学数学科学学院，成都611731School of Mathematical Sciences,University of Electronic Science and Technology,Chengdu 611731,ChinaYAO Bangsheng,SHU Lan.Covering rough fuzzy set model over two puter Engineering and Appli-cations,2017,53（8）：29-31.Abstract ：The extension of rough set model is one of the main contents of research about rough set.There have been many forms about the rough set model.The rough set model is developed greatly based on the cover.However,researchers mainly aimed at single universe to investigate,but the problems are often in many universes in real life,for example,the applications in medical diagnosis and so on.At the same time considering in the real life,the object of research is often uncertain,that is fuzzy.Based on the above considerations,this paper proposes a covering rough fuzzy set model over two universes and investigates the properties of the approximation operators.Key words ：two universes;rough set model;covering rough fuzzy sets摘要：粗糙集模型的扩展是粗糙集研究的主要内容之一，目前已经存在许多有关粗糙集模型的扩展形式。

粗糙集理论与模糊集理论的比较与融合

粗糙集理论与模糊集理论的比较与融合引言：在现代科学与技术领域中，粗糙集理论和模糊集理论作为两种重要的数学工具，被广泛应用于信息处理、决策分析、模式识别等领域。

本文将对粗糙集理论和模糊集理论进行比较与融合的探讨，旨在揭示两者之间的异同以及如何结合应用。

一、粗糙集理论的基本原理与特点粗糙集理论是由波兰学者Zdzislaw Pawlak在20世纪80年代提出的，它主要用于处理不确定性和不完备性的信息。

粗糙集理论的核心思想是通过对数据集进行粗糙划分，将数据划分为等价类别，从而实现对数据的精确描述。

粗糙集理论的特点包括：1. 对不确定性处理能力强：粗糙集理论能够处理不完备、不一致和模糊的信息，具有较强的容错性。

2. 简单直观：粗糙集理论的基本概念和操作方法相对简单，易于理解和应用。

3. 适用范围广：粗糙集理论可以应用于各种领域，如数据挖掘、模式识别、决策分析等。

二、模糊集理论的基本原理与特点模糊集理论是由日本学者石井敏郎于20世纪60年代提出的，它主要用于处理信息的不确定性和模糊性。

模糊集理论的核心思想是引入隶属度函数，将元素与集合之间的隶属关系表示为一个连续的数值。

模糊集理论的特点包括：1. 对模糊信息处理能力强：模糊集理论能够处理信息的模糊性和不确定性，能够更好地描述现实世界中存在的不确定性问题。

2. 数学基础扎实：模糊集理论建立在数学理论的基础上，具有较为完备的理论体系和严格的数学推导。

3. 应用广泛：模糊集理论可以应用于控制系统、人工智能、模式识别等领域，具有广泛的应用前景。

三、粗糙集理论与模糊集理论的比较粗糙集理论和模糊集理论都是处理不确定性问题的有效工具，但在某些方面存在差异。

1. 表达能力：模糊集理论通过隶属度函数将元素与集合之间的关系表示为一个连续的数值，能够更精确地表示元素的隶属程度。

而粗糙集理论则通过等价类别的方式描述数据集，对元素的隶属度表达相对粗糙。

2. 算法复杂度：粗糙集理论的操作方法相对简单直观，算法复杂度较低。

模糊集与粗糙集的简单入门

模糊集与粗糙集的简单入门1. 刖言Zadeh在1965年创立了模糊集理论[1],Pawlak在1982年又给出了粗糙集的概念[2],模糊集理论和粗糙集理论都是研究信息系统中只是不完全，不确定问题的两种方法，是经典集合论的推广，它们各自具有优点和特点，并且分别在许多领域都有成功的应用，如模式识别、机器学习、决策分析、决策支持、知识获取、知识发现等•模糊理论是简历集合的子集边缘的病态定义模型，隶属函数多数是凭经验给出的，带有明显的主观性；粗糙集理论基于集合中对象间的不可分辨行的思想，作为一种刻画不完整想和不确定性的数学工具，它无需任何先验信息，能邮箱分析处理不精确、不完整等不完备信息，对不确定集合的分析方法是客观的• 两种理论之间有着密切的关系和很强的互补性，同事粗糙集理论和模糊集理论可以进行结合，产生粗糙模糊集理论和模糊粗糙集理论，并且发挥着不同的优势•本文在已有的模糊集理论和粗糙集理论的基础之上，分析和总结了模糊集和粗糙集理论，对二者进行了全面的比较.2. 基本概念这部分将集中介绍模糊集和粗糙集的基本概念及其性质•2.1模糊集模糊理论[3][4]是一种用以数学模型来描述语意式的模糊信息的方法•模糊概念也是没有明确外延的概念.根据普通集合论的要求，一个对象对应于一个集合,要么属于，要么不属于，二者必居其一；而模糊集则通常用隶属函数表示模糊概念.2.1.1模糊集合的基本定义定义1设X是有限非空集合，称为论域，X上的模糊集A用隶属函数表示如下：A: X > [0,1], x > A(x)其中A(x)表示元素x隶属于模糊集合A的程度,记X上的模糊集合全体为F(X).模糊集合的数学表示方式为A ={( x, A(x)) | x X}, where A(x) [0,1]2.1.2模糊集合的运算设代B为X上的两个模糊集，它们的并集，交集和余集都是模糊集，且其隶属函数分别定义为A B = max{ A(x), B(x)} - x XA B 二min{ A(x), B(x)} ~x X_A =1 _ A2.1.3模糊集合的关系模糊集合之间关系的表示方式,是以集合所存在的隶属函数A(x), B(x)作为集合之间的关系表示的.(1) 模糊集合之间的相等：rw nr rvA = B= A(x)二B(x) —x X(2) 模糊集合之间的包含：A B= A(x)乞B(x) —x X2.1.4截集与支集定义2 对于 A F(X)和任意■ ■ [0,1],定义={x A(x) > 人}A； = {x A(x) > 人}分别为A的■截集和A的■强截集.特别的,当，=1时,A为A的核；当‘ =0 时,A为A的支集.表示为如下：core( A) = A ={x A(x) =l}support (A)=兀={x A(x) =0}则根据上面截集的概念，模糊子集通过■截集就变成了普通集合.截集就是将模糊集合转化为普通集合的方法，截集的概念是联系模糊集合与普通集合之间的桥梁.2.2粗糙集2.2.1粗糙集合的基本定义(1) 粗糙集合提出的背景由于经典逻辑只有真假二值之分，而在现实生活中存在许多含糊的现象，并不能简单的用真假值来表示.于是，在1904年,谓词逻辑的创始人G.frege提出了含糊(vague) 一词，他把含糊现象归结到边界线上.1965年丄.A. Zadeh 提出Fuzzy Sets 的概念，试图通过这一理论解决G.frege 的含糊概念.Zadeh的FS方法是利用隶属函数描述边界上的不确定对象.1982年，波兰华沙理工大学乙Pawlak教授针对G. frege的边界线区域思想提出了Rough Sets理论.Pawlak的RS方法：把无法确认的个体都归属于边界区域,把边界区域定义为上近似集和下近似集的差集.(2) 粗糙集合的定义粗糙集理论特点是不需要预先给定默写特征或属性的数量描述，直接从给定的问题的描述集合出发，通过不可分辨关系和不可分辨类确定给定问题的近似域找出问题内在规律•定义2设K =(X,A,V, f)是一个知识库,其中X是一个非空集合,称为论域.A=C D是属性的非空有限集合，C为D的决策属性，C D-：，，V a是属性a A 的值域，f : X A > V是一个信息函数,它为每个对象赋予一个信息值•定义3设X是一个有限的非空论域，R为X上的等价关系,等价关系R把集合X划分为多个互不相交的子集，每个子集称为一个等价类，用[X]R来表示，[X]R二{y・X xRy},其中x・X ,称x,y为关于R的等价关系或者不可分辨关系.论域X上的所有等价类的集合用X / R来表示.2.2.2上、下近似集,粗糙度(1) 上下近似集的定义定义4对于任意的丫 X,Y的R上、下近似集分别定义为R(Y) = {Z X / R|Z 丫=门}R(Y)二{Z X / R| Z Y}集合posR(Y)称为集合丫的正域，posR(Y) =R(Y);集合negR(Y) = X -貝X) 称为集合Y的负域；集合bnR(Y)二R(Y) -R(Y)称为Y的R边界域.集合的不确定性是由于边界域的存在，集合的边界域越大，精确性越低,粗糙度越大.当R(Y)=R(Y)时，称Y为R的精确集；当R(Y)=R(Y)时，称Y为R的粗糙集, 粗糙集可以近似使用精确集的两个上下近似集来描述.(2) 粗糙度粗糙度是表示知识的不完全程度，由等价关系R定义的集合X的粗糙度为：门|RX|：R(X)十一RX其中X学①,X表示集合X的基数.3研究对象、应用领域及研究方法3.1模糊集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 模糊集的研究对象模糊集研究不确定性问题，主要着眼于知识的模糊性，强调的是集合边界的不分明性•(2) 模糊集的应用领域模糊集理论⑸广泛应用与现代社会与生活中，主要有以下几个方面：消费电子产品、工业控制器、语音辨识、影像处理、机器人、决策分析、数据探勘、数学规划以及软件工程等等•(3) 研究方法模糊集理论的计算方法是知识的表达和简化.从知识的“粒度”的描述上来看,模糊集是通过计算对象关于集合的隶属程度来近似描述不确定性；从集合的关系来看,模糊集强调的是集合边界上的病态定义，也即集合边界的不分明性；从研究的对象来看，模糊集研究属于同一类的不同对象间的隶属关系，强调隶属程度；从隶属函数来看，模糊集的隶属函数反映了概念的模糊性，而且模糊集的隶属函数大多是专家凭经验给出的，带有强烈的主观意志.3.2粗糙集的研究对象、应用领域及研究方法(1) 粗糙集的研究对象[6]粗糙集理论研究不确定性问题，基于集合中对象间的不可分辨性思想，建立集合的子集边缘的病态定义模型•(2) 粗糙集的应用领域粗糙集理论在近些年得到飞速发展，在数据挖掘，模式识别,粗糙逻辑方面取得较大进展•与粗糙集理论相关的学科主要有以下几方面：人工智能，离散数学, 概率论,模糊集理论，神经网络,计算机控制，专家系统等等[7].(3) 粗糙集的研究方法粗糙集理论的研究方法就是对知识的含糊度的一个刻画，其计算方法主要是连续特征函数的产生•粗糙集理论研究认知能力产生的集合对象之间的不可分辨性,通过引入一对上下近似集合，用它们的差集来描述不确定的对象•从集合的关系来看,粗糙集强调的是对象间的不可分辨性，与集合上的等价关系相联系；从研究的对象来看，粗糙集研究的是不同类对象组成的集合关系，强调分类；从隶属函数来看,粗糙集的粗糙隶属函数的计算是从被分析的数据中直接获得，是客观的[8] .4.基本研究内容4.1模糊集理论研究的主要内容模糊集理论研究的内容很广泛，主要包括以下几方面：模糊控制，模糊聚类分析,模糊模式识别，模糊综合评判，模糊集的扩展•4.1.1模糊控制自从Zadeh发展出模糊集理论之后，对于不明确系统的控制有极大的贡献，自七十年代以后，便有一些实用的模糊控制器相继的完成，使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步，在此将对模糊控制理论做一番浅介[6].模糊控制利用模糊集理论的基本思想和理论的控制方法•在传统的控制领域里，控制系统动态模式的精确与否是影响控制优劣的最主要关键，系统动态的信息越详细,则越能达到精确控制的目的•然而,对于复杂的系统，由于变量太多，往往难以正确的描述系统的动态，于是工程师便利用各种方法来简化系统动态，以达成控制的目的，但却不尽理想.换言之，传统的控制理论对于明确系统有强而有力的控制能力，但对于过于复杂或难以精确描述的系统，则显得无能为力了.所以,模糊集理论便被用来处理这些控制问题.4.1.2模糊聚类分析模糊聚类分析的研究是基于模糊等价关系和以及模糊分类上的[4].主要有以下的定理以及定义.定理1令R是一个模糊等价关系,并且0 —〉：：：: -1,则对- y • X有[y]"=[y]R：..定义5设数据集X二{X1,X2，…,X n},且A1,A2,…，A c是其一个分类,若该分类满足以下条件：⑴ 对- k ,存在i 使得X k 三A ；(2) 对所以i 均有A =门;则称该分类是X 的一个模糊划分.基于上面的理论，我们可以用一个划分矩阵D = (d ik )cn 来刻画数据集的分类其中0 , X k 「A 定义6对于上面的矩阵 (1) d ik ©"；c⑵' dik =1, -k ;i ni(3) ' d ik 0, -i ；k 4则称D 是X 上的一个精确的定义7设c 和n 时两个给定的正整数若模糊矩阵 D = (d ik )cn 满足以下三个条件：(1) d ik〔0,1〕； c(2) 二.d ik = 1, _ k ;i 吕 n(3) 0 ；二 d ik :: n, -i ;k 丝则称D 为X 上的一个模糊的c-划分矩阵.定义 8 设 X 二{X 1,X 2, ,X n }R m , V 二{V 1,V 2, ,V c } R m , D=(d ik )cn (CE n) 是X 上的一个模糊的c-划分矩阵,则c n J(D,V) 乂乂 [d ik 卩 M —X k 彳(p R )^4 k z!称为模糊划分上的一个聚类准则函数，这里m 2丄|x |[送(X ⑴)]2i 7 定义9如果对于任意的X ={X ,,X 2，…,X n }R m ,存在V\{v ；,v 2,…，v ；}5 R m 以及模糊的c-划分矩阵D *使得J(D,V^i J(D *,V *)对所有的X 二{X 1,X 2，…，X n } R m 以及模糊的c-划分矩阵D 都成立，则称D *为最优模糊c-划分矩阵，V *为一个模糊聚类中心.d ik 二D,若其满足以下三个条件：c-划分矩阵.4.1.3模糊模式识别模糊模式识别是利用模糊集理论对行为的识别 .根据识别模式的性质，可以将模式识别分为两类：具体事物的识别，如对文字，音乐,语言等周围事物的识别；抽象事物的识别，如对已知的一个论点或者一个问题的理解等 .下面介绍一些基本的定理及定义.定义10清晰度增强因子：令A F(X)是X 上的一个模糊集,定义另外一个模糊集I ⑵(A) • F(X),其中I ⑵(A)(x) 称I ⑵(A)(x)为清晰度增强因子4.1.4模糊综合评判模糊综合评判是利用模糊集理论对一个事物进行评价.具体的过程为：将评价目标看成是由多种因素组成的模糊集合 X,再设定这些因素所能选取的评审等级,组成评语的模糊集合(称为评判集V ),分别求出各单一因素对各个评审等级的归属程度(称为模糊矩阵D),然后根据各个因素在评价目标中的权重分配，通过计算(称为模糊矩阵合成),求出评价的定量解值.定义11设f ：[0,1]n > [0,1]满足以下几个条件：(1) 花=X 2 二二X n =X= f(X 1,X 2, ,X n )二 X ；(2) X j ⑴兰 X j ⑵二 f (捲，…,X ij , X (1),X+"^ 必)兰 f (洛，…,X i 』，X (2),Xy , X n ),W ；(3) f(X 1,X 2/ ,X n )对每个变量都是连续的；则称f 为n-维综合函数.常用的n-维综合函数主要有加权平均函数，几何平均函数，单因素决策函数显著因素准则函数等等.4.2粗糙集理论研究的主要内容粗糙集理论作为一种数据分析处理理论，无论是在理论方面还是在应用实践方面都取得2A(x)2 , 1-2(1-A(x)) A(x) [0,0.5] A(x) (0.5,1]了很大的进展，展示了它光明的前景，因而其研究内容以及领域也是非常广泛的，主要包括以下几方面：变精度粗糙集，集值信息系统，粗糙集理论的应用，支持向量基等.421变精度粗糙集变精度粗糙集模型［9］是Pawlak粗糙集模型的扩充,它是在基本粗糙集模型的基础上引入了'(^ - :：: 0.5),即允许一定的错误分类率存在，这一方面完善了近似空间的概率，另一方面也有利于用粗糙集理论从认为不相关的数据集中发现相关的数据.当然,变精度粗糙集模型的主要任务是解决属性间无函数或不确定关系的数据分类问题.当1 =0时,Pawlak粗糙集模型是变精度粗糙集模型的一个特例.4.2.2集值信息系统集值信息系统⑸是信息系统的一般化模型，在实际应用中信息系统随着对象的变化而不断地动态变化.S = (X ,AT)是信息系统,其中X是对象的非空有限集合,AT是属性的非空有限集合,对于每个AT有a:X > V a,其中V a称为a的值域.每个属性子集A AT决定了一个不可区分关系ind(A):ind(A)={(x, y) X X|~a・代a(x)二a(y)}.关系ind (A)( AT)构成了X的划分,用X/i nd (A)来表示.对于一个对象，一些属性值可能是缺省的.为了表明这种情况，通常给定一个区分值(即空值null value)给出这些属性定义12如果至少有一个属性a・AT使得V a含有空值,则称S是一个不完备信息系统［5］,否则称它是完备的，我们用*表示空值.设S是一个不完备信息系统，a • AT使得V a含有空值*时，并且该空值*的取值为一个集合，该集合的元素是这个属性中其他所有可能值的集合，则S就是集值信息系统.423支持向量基支持向量机(Support Vector Machine,SVM)[10][11] 是Corinna Cortes 和Vapnik8等于1995年首先提出的.SVM起初是广泛应用在神经信息处理系统(Neural Information Processing Systems,NIPS),但是，现今,SVM 已经在所有的机器学习研究领域中起着重要作用•SVM 是一种学习系统，他利用高维空间中的线性分类器，在这个空间中建立一个最大的间隔超平面，这里的最大是基于最优化理论的.广义的SVM起源于统计学习理论[12].5.模糊集与粗糙集的结合由上面的讨论可知，模糊集理论与粗糙集理论各具特点，两种理论有着很强的联系与互补性，因此将两者的特点结合起来形成研究不完全数据集的有效方法.此外,通过模糊聚类和粗糙集两种方法进行属性的对象约简和属性约简，可以使数据得到横向和纵向两个方向上的约简，对象约简是引入了相似性的概念进行模糊聚类的过程，对象约简改变了标准粗糙集模型的不可分辨关系的确定条件由于粗糙集所处理的都是离散数据，所以在数据分析中需要应用模糊聚类或隶属函数离散化，进而应用粗糙集理论属性约简、提取规则.所以结合模糊集、粗糙集理论能够有效地分析数据，提高生成规则的可信性和和合理性，倒出可信的规则集.5.1模糊粗糙集及粗糙模糊集结合模糊集和粗糙集两种理论可以得到模糊粗糙集及粗糙模糊集模型，当知识库中的知识模块是清晰的概念，而被描述的概念是一个模糊的概念，人们建立粗糙模糊集模型来解决此类问题的近似推理；当知识库中的知识模块是模糊知识而被近似的概念是模糊概念时，则需要建立模糊粗糙集模型，也有人将普通关系推广称模糊关系或者模糊划分而获得模糊粗糙集模型•定义13设R是X上的一个等价关系,A F(X) , • • [0,1],模糊集A、A以fij 及A s的上下近似分别为：R(A,)={X・X|[X]R A, *}, R(A,)二{x X|[X]R A,}— s c s . S sR(A )二{x X |[X]R A, -：」}, R(AJ ={X X |[X]R A,} R(A)二{x X |[X]R A—：，},R(A)二{X X|[X]R』A}可以验证，当A是X上的经典集合时，上面所介绍的上下近似就是Pawlak意义下的上下近似.定义14设R是X上的等价关系，A是X的一个模糊集合，A- F(X),则A 关于R 的上下近似分别定义如下：A R(X) =sup{A(y) | y [X]R},企(x) =inf{ A(y)|y [X]R}可以看出，模糊集A F(X)关于等价关系R的上下近似仍为模糊集合，若A R =A R ,则称A是可定义的，否则称A是粗糙集，称A是A关于近似空间(X , R) 的正域，称~ A R是A关于(X , R)的负域，称A R (~ A R)为A的边界• A R可以理解为对象X 肯定属于模糊集A的隶属程度；A R理解为对象X可能属于模糊集A的隶属程度，同样可以验证，当A时X上的经典集合时，就是Pawlak意义下的上下近似•在标准粗糙集模型中引入变精度，提高了相对近似精度，而在粗糙模糊集引入变精度,得到新定义：A R(X)二sup{A(y) | y [X]R A(y) 1 - ：}A R(X)，inf{A(y)|y [X]R A(y) 一J这样下近似集合中元素隶属度降低，而上近似的隶属度提高，提高了相对精度•5.2粗糙隶属函数粗糙隶属函数式借助模糊理论来研究粗糙集理论的方法，通过粗糙隶属度函数可以将粗糙集理论与模糊集理论联系起来，建立一种粗糙集理论与模糊集理论的关系,并得到一些性质.定义15设R是论域X上的一个相似关系，若A是X上的一个模糊集合，则A关于R的一个下近似R(A)和上近似R(A)分别定义为X上的一个模糊集合，称隶属函数A(x)表示的是x 的等价类[X ]R 隶属于A 的程度.由定义14和定义15可以得到：模糊集A 的下近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为1;模糊集A 的上近似且关于等价关系R 的等价类隶属于A 的程度为大于0小于1,因此有：性质 1 Core(A)二 & ={x| A(x) =1,x X/R}二RAs support(A) =A 0 ={x| A(x)》0,x E X / R}bnR(A)二R A —RA 二{x|0 ：： A(x) ：：：1,x X / R}negR(A) =X — R A ={X | A(x) =0,x X / R} 性质 2 y [X ]R 二 A(x)二 A(y)[X ]R 』A= A (x ) =1[X ]R A - '」一A(x) = 0[X ]R 二 A a nd [x]R 二 A(x) (0,1)6总结本文系统的介绍了模糊集理论与粗糙集理论，二者研究的主要内容，以及二者的结合的相关理论•是对本学期所学的模糊计算和粗糙计算的一个简单的小结，也是我本人对该学科的一个简单的入门•为粗糙隶属度函数⑸，定义为A(x) 粗糙隶属函数表示的是一个模糊概念 |A [X ]R |般不是Zadeh 意义下的隶属函数.粗糙参考文献[1] L.A.Zadeh, Fuzzy sets[J], I nformation and Con trol, 1965,8:338-353.[2] Pawlak Z, Rough sets[J], I ntern ati onal Jour nal of Computer andIn formation scie nee, 1982,1(11):341-356.[3] 胡宝清,模糊理论基础，武汉:武汉大学出版社,2010.[4] 张文修,模糊数学基础，西安:西安交通大学出版社，1984.⑸张文修,粗糙集理论与方法，北京:科学出版社,2001[6] http://baike.baidu.eom/view/87377.htm[7] K. Y. Cha n, C.K. Kwo ng, B.Q. Hu, Market segme ntation and ideal poi ntidentification for newproduet design using fuzzy data eompression andfuzzy clusteri ng methods[J], Applied Soft Computi ng, 2012, 12, 1371-1378.[8] Z.Pawlak, Rough sets and fuzzy sets [J], Fuzzy sets and Systems,1985,17,99-102.[9] Beynon M.Reducts within the variable precision rough sets model: afurther investigation[J], European Journal of Operational Research,2001,134:592-605.[10] 邓乃扬，田英杰，数据挖掘中的新方法：支持向量基，北京：科学出版社,2004.[11] 邓乃扬，田英杰，支持向量基-理论、算法与拓展，北京：科学出版社,2009.[12] V.Vap nik, Statistical Learni ng Theory, Joh n Wiley & Son s, 1998.。

基于覆盖的直觉模糊粗糙集_张植明

本文用 IF(U × U ) 表示 U 上直觉模糊子集的全体. 2.2 直觉模糊逻辑算子
定义 4[9] 设 L = {(α, β)|α ∈ [0, 1], β ∈ [0, 1], α + β 1}, 在 L 上定义如下关系 L:
∀(α, β), (ξ, η) ∈ L, (α, β) L (ξ, η) ⇔ α ξ, β η.
河北丰宁人, 讲师, 硕士, 从事模糊统计与决策分析等研究.
1370
控
制
与
决
策
第 25 卷
2 预备知识
2.1 直觉模糊集定义 1[8] 设 U 是一个非空集合, U 上的一个直
觉模糊集 A 具有如下形式:
A = { x, µA(x), νA(x) |x ∈ U }. 其中: µA : U → [0, 1], νA : U → [0, 1], 且满足条件 0 µA(x) + νA(x) 1, ∀x ∈ U . 这里 µA(x) 和 νA(x) 分别表示U 中元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度. 本文用 IF(U ) 表示 U 上直觉模糊集的全体.
张植明1a, 白云超1b, 田景峰2
(1. 河北大学 a. 数学与计算机学院，b. 经济学院，河北保定 071002； 2. 华北电力大学科技学院，河北保定 071051)
摘要: 通过直觉模糊覆盖概念将覆盖粗糙集模型进行推广, 提出一种基于直觉模糊覆盖的直觉模糊粗糙集模型.
首先, 介绍了直觉模糊集、直觉模糊覆盖和直觉模糊逻辑算子等概念; 然后, 利用直觉模糊三角模和直觉模糊蕴涵,
假设t是l上连续直觉模糊t模i是定义在l上的直觉模糊蕴涵对于任意的aifua关于近似空间ur的t上近似和i下近似是定义在u上的一对直觉模糊集其中rtax?yutrxyayriax?yuirxyay?xu32基于直觉模糊覆盖的直觉模糊粗糙集定义14假设c是u的一个直觉模糊覆盖称二元组uc是一个推广的直觉模糊近似空间

基于覆盖的区间值粗糙模糊集模型

２．ＣｏｌｅｅｏｉｎｃｌｇｆＳｃｅｅ，ＧａｕＡｇｒｃｌｕｒｌＵｎｖｒｉｙ，Ｌａｚｏｕ７３０７ｎｓｉｕｔａｉｅｓｔｎｈ００，Ｇａｕ，Ｃｈｉｎｓｎａ）
ＡｂｔａｔＢｙｉｔｇａｉｈｅｃａｓｃｌＰａａｏｕｅｓｗｉｈｔｎｅｖｌｖｌｅｕｚｅｓ，ｔｅｉｔｒｌｓｒｃ：ｎｅｒｔｎｇｔｌｓｉａｗｌｋｒｇｈｓｔｔｈｅｉｔｒａ — ａｕｄｆｚｙｓｔｈｎｅｖａ—
ｖｌｄｒｇｆｚｙｓｔｏｌｉａｅｕａｕｅｏｕｈ—ｕｚｅｓｍｄｅｓｍｄｐ．Ｂｙｒｐｌｃｎｇｅｕｉａｅｅａｉｉｅｓｉｈｉｓｃｖｒｔｅｅａｉｑｖｌｎｔｒｌｔｏｎｏｎｕｎｖｒｅｗｔｔｏｅ，ｈ
于此，许多学者利用容差关系［］４、相似关系［］５、
一
般的二元关系［等对Ｐｗｌ６ａａｋ粗糙集模型进行了
推广．１８９３年，Ｚｋｗｋ利用覆盖代替论域上ａｏｓｉ的划分提出了基于覆盖关系的广义粗糙集理论．
（．ｌｇｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒａｉｎＳｉｎｅＮｏｔｗｅｔＮｏｍａｉｅｓｔ，Ｌａｚｏ３００，Ｇａｓ１Ｃｏｌｅｏｔｅｔｃｎｎｏｍｔｏｃｅｃ，ｅｒｈｓｒ１Ｕｎｖｒｉｙｎｈｕ７０７ｎｕ，Ｃｉａｈｎ；

基于区间直觉模糊信息系统的知识获取

粗糙集作为处理不确定、不完全和不精确信息的一种数据分析理论，由Ｐａｗｌａｋ提出并在知识发现、决策分析、数据挖掘、故障诊断和机器学习等诸多领域获得巨大成功。基于信息系统的知识获取是粗糙集
（ＳｃｉｅｎｃｅＣｏｌｌｅｇｅ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ１２１００１，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉ ’ ｈｅｉｎｃｌｕｓｉｏｎｄｅｇｒｅｅｗａｓｕｓｅｄｉｎｔｏｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｉｎｔｅｒｖａｌｉｎｔｉｔｕｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ．Ｆｉｒｓｔｌｙ，ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔａｎｄｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｏｆｉｎｃｌｕｓｉｏｎｄｅｒｅｇｅｏｆｉｎｔｅｒｖａｌｉｎｔｕｉｔｉｏｎｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｗｅｒｅｐｒｏｐｏｓｅｄ．Ａｎｄｔｈｅｎ，ｔｈｅｃｏｎｃｒｅｔｅｍｅｈｏｔｄｗａｓｇｉｖｅｎｔｏｈｅｔｋｎｏｗｌｅｄｇｅａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｉｎｔｅｖａｒｌｉｎｔｉｔｕｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｂｙｕｓｉｎｇｈｅｔｉｎｃｌｓｉｕｏｎｄｅｇｒｅｅ，ｗｈｉｃｈｍａｉｎｌｙｉｎｃｌｕｄｅｓｔｗｏａｓｐｅｃｔｓ：ｔｈｅｆｉｒｓｔ

基于包含度的直觉模糊粗糙集模型

பைடு நூலகம்
基于包含度的直觉模糊粗糙集模型
路艳丽，雷英杰，周炜
（空军工程大学计算机工程系，陕西三原７３０）１８０
（ｕａｌｇ＠１３ＣＩ１ｙｎｉｈ．Ｏ３ｈ６ｌ）
摘
要：直兑模糊包含度；入粗糙集与直觉模糊集的融合建模。首先，绍直觉模糊集在特殊格Ｌ上的定义；将１介
没有利用直觉模糊集与Ｐｗａａｌｋ粗糙集的上下近似之间的联
系来建模。对此，文从两方面考虑：）含度理论是－种本１包－一描述不确定关系的有效度量方法，而应用粗糙集方法从决
Ａｂｔａｔｎｕｔｎｓｉｕｚｎｌｓｏｅｒｅｗｓｉｔｄｃｄｔｄｌｈｕｉｎｏｎｕｔｎｓｉｕｚｅｎｏｇｓｒｃ：ｌｔｉｏｉｔｆｚｙｉｃｕｉｎｄｇｅａｎｒｕｅｏｍｏｅｅｔｅｆｓｆｉｔｉｏｉｔｆｚｙｓｔａｄｒｕｈｉｃｏｏｉｃｓｔｉｓｌ，ｔｅｄｆｉｏｆｉｔｉｏｉｔｕｚｅｎａｓｅｉｌｌｔｃａｎｒｄｃｄＳｃｎｌ，ａｎｗｄｆｉｏｎｅ．ＦｒｔｙｈｅｎｔｎｏｎｕｔｎｓｃｆｚｙｓｔｏｐｃａａｔｅＬｗｓｉｔｕｅ．ｅｏｄｙｅｅｎｔｎａｄｉｉｉｉｉｏｉｉｆｒｌｓｏｔｉｏｉｔｕｚｎｌｓｎｄｇｅｉａｕｎａｓｅｉｌｌｔｃｒｒｐｓｄｏｍｕａｆｉｕｔｎｓｉｆｚｙｉｃｕｉｅｒｅｗｔａｖｌｅｉｐｃａａｔｅＬｗｅｅｐｏｏｅ．Ａｎｈｎｔｅｍｅｅｓｉｎｉｃｏｈｉｄｔｅ，ｈｍｂｒｈｐｄｇｅｎｎｎｍｅｅｓｉｄｇｅｏｌｔｉｏｉｉｆｚｙｎｌｓｎｅｅｗｒｕｅｔｄｆｎｔｅｏｒｎｕｐｒｅｅａｄｏ — ｍｂｒｈｐｅｒｅｆｎｕｔｎｓｃｕｚｉｃｕｉｄｇｅｅｅｓｄｏｅｅｈｌｗｅａｄｐｅｒｉｔｏｒｉａｐｏｉｔｎｒｓｅｔｅｙｈｄｌｏｎｕｔｎｓｉｆｚｙｒｕｈｓｔｗｓｃｎｔｃｅｎｈｒｐｒｅｆｐｏｏｅｄｌｐｒｘｍａｉｅｐｃｉｌ．Ｔｅｍｏｅｆｔｉｏｉｔｕｚｏｇｅｓａｏｓｒｔｄａｄｔｅｐｏｅｔｓｏｒｐｓｄｍｏｅｏｖｉｉｃｕｉ

直觉模糊粗糙集的公理化

直觉模糊粗糙集的公理化1模糊粗糙集的介绍模糊粗糙集是指从数据样本中，不仅可以导出一组精确有效的数据，而且能够从中推导出更大空间中复杂模糊相关信息的知识工程技术。

它是一种形式化技术，可以描述处于宏观层次的信息及其相互关系。

它由各种模糊集和模糊系统的融合而来，表现出牢固的常识性知识形式，能够以规则的方式推断推理出可行的复杂问题，可以为科学家们打开一扇进入复杂系统世界的大门。

2模糊粗糙集公理化模糊粗糙集公理化是指通过一组公理来定义某一行为或一组概念的抽象描述，使之能够更好地模拟实际的行为和概念的规律。

通过定义公理，能够把这类复杂的模糊问题归结为明晰定量的关系，使得模糊粗糙集的计算和分析问题类比变得更加精准。

模糊粗糙集的公理化主要是用来定义模糊参数、规则，以及各种决策准则。

公理定义了模糊参数使用的具体数值，而模糊规则则用来控制参数间的精准关系，最终确定输出结果。

3公理化的应用模糊粗糙集公理化可以应用于投资决策、情报分析等复杂的现实问题，可以实现对多调整参数的计算，使人类共同达成一致。

比如，假设一个投资者想选择投资一家企业，根据企业相关数据及预测因素，他可以用模糊粗糙集公理化来预测哪家企业的投资最有利可图。

同时，模糊粗糙集公理化还可以用于实现智能控制系统，比如船舶驶过河流或海洋时，可以根据河道的深度和宽度，以及船舶的尺寸等参数，自动计算出最优的前进方向及速度，以避免浅滩或暗礁的碰撞。

4模糊粗糙集的发展模糊粗糙集是一种非常成熟的知识工程技术，已经在多个领域被成功使用，但也存在一定的局限性，比如对异质数据集的处理很弱，分析准确率也不高。

然而，通过联合机器学习和大数据技术，可以给模糊粗糙集引入具有启发式学习能力的智能元件，从而更好地解决复杂的模糊问题。

未来，模糊粗糙集将会由普通的工具发展成更可靠、更加智能化、更有效率的解决模糊问题的分析系统，让人们可以更好地掌控复杂的现实环境和知识，使模糊粗糙集的应用更加普遍。

基于模糊覆盖的粗糙模糊集模型

收稿日期：２１－卜００２０６
基金项目：国家自然科学基金资助项目（１９１ｌ；广东省科技计划资助项目（００００００９）０６０４）２１Ｂ１６０３；广东省自然科学基金资助项目（２１０００６￥０１１０３８）作者简介：韩浩瀚（１８一）男。河南南阳人，在读硕士生。研究方向为粗糙代数与智能计算；谢祥云。教９５。
（））ｉ（）ＲＡ（）ｕ（）（＝ｎｆ，Ｃ）＝ｓｐ．ｘ
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盖粗糙集的一些基本性质．关键词：模糊集；模糊覆盖；模糊覆盖近似空间；粗糙模糊集
中图分类号：Ｏｌ９５
文献标志码：Ａ
ＡｚｙＲｏｇｅｏｅｓｄｏｚｙＣｏｅｉｇＦｕｚｕｈＳｔＭｄｌＢａｅｎＦｕｚｖｒｎ
论模型１４２］－的建立和发展，已成为粗糙集理论推广的主要方向之一．经典粗糙集理论的另一个拓展方
向是弱化等价关系：ａｏｋ从实际出发，出了覆盖粗糙集模型［，研究了相关的性质；ｌａＺｋｗｓｉ提５并１ＷｉｉｍｌＺｕ等［在覆盖粗糙集的理论基础上给出了知识约简和算法；胡军等１将覆盖粗糙集模型扩展到覆ｈ６１ ’ １

粗糙集理论与模糊集理论的比较与优劣分析

粗糙集理论与模糊集理论的比较与优劣分析引言：在现代科学与技术的发展中，数据处理与决策分析是至关重要的一环。

而粗糙集理论和模糊集理论作为两种重要的数学工具，被广泛应用于数据挖掘、模式识别、决策支持等领域。

本文将对粗糙集理论和模糊集理论进行比较与优劣分析，以期更好地理解它们的特点和适用范围。

一、粗糙集理论粗糙集理论是由波兰学者Pawlak于1982年提出的，它是一种基于集合论的数学工具，用于处理不确定和不完备信息。

粗糙集理论主要包括近似集、约简和决策规则等概念。

其中，近似集是粗糙集理论的核心概念，它通过包含关系来描述对象之间的相似性。

粗糙集理论的主要优势在于能够处理不完备和不确定的数据，对于决策问题具有较好的解释性和可理解性。

二、模糊集理论模糊集理论是由日本学者康德拉克于1965年提出的，它是一种用于描述不确定性和模糊性的数学工具。

模糊集理论通过引入隶属度函数来描述对象与模糊集之间的关系。

模糊集理论的主要优势在于能够处理模糊和不确定的数据，对于决策问题具有较强的灵活性和适应性。

三、比较与优劣分析1. 表达能力：粗糙集理论和模糊集理论在表达能力上存在一定的差异。

粗糙集理论通过近似集的包含关系来描述对象之间的相似性，对于数据的精确度要求较高。

而模糊集理论通过隶属度函数来描述对象与模糊集之间的关系，对于数据的精确度要求相对较低。

因此，在处理精确数据时，粗糙集理论具有一定的优势；而在处理模糊数据时，模糊集理论更为适用。

2. 算法复杂度：粗糙集理论和模糊集理论在算法复杂度上也存在差异。

粗糙集理论的算法相对简单，主要包括近似集的计算和约简的求解等步骤。

而模糊集理论的算法相对复杂，需要进行隶属度函数的建模和模糊集的运算等操作。

因此，粗糙集理论在处理大规模数据时更为高效，而模糊集理论在处理复杂问题时更为灵活。

3. 应用领域：粗糙集理论和模糊集理论在应用领域上也有所差异。

粗糙集理论主要应用于数据挖掘、模式识别和决策支持等领域，其优势在于对数据的解释性和可理解性。

区间直觉模糊集若干问题的研究的开题报告

区间直觉模糊集若干问题的研究的开题报告一、研究背景直觉模糊集作为模糊数学的一个分支，在许多实际问题中具有广泛的应用。

直觉模糊集是指基于人类对事物的感知和认识，从直觉上对事物进行模糊化表达的数学方法。

然而，在一些实际应用中，直觉模糊集存在易受主观性影响、精确性不高等问题。

为了解决这些问题，学者们提出了区间直觉模糊集的概念。

区间直觉模糊集是指在直觉模糊集的基础上，将不确定性的范围用区间表示的一种模糊集。

区间直觉模糊集更能反映出现实中不确定性的特点，具有更高的可靠性和精度。

然而，目前对于区间直觉模糊集的研究还相对较少，存在许多问题亟待解决。

二、研究内容本文将从以下几个方面对区间直觉模糊集的相关问题进行研究：1.区间直觉模糊集的定义和性质研究：在探讨区间直觉模糊集的基本定义和性质的基础上，对区间直觉模糊集的上下确界、复合运算、相等性等进行深入研究。

2.区间直觉模糊关系的建立和分析：对于区间直觉模糊集的择优关系、判别矩阵、加权函数等进行分析，建立可靠的决策模型。

3.区间直觉模糊集的应用研究：将区间直觉模糊集引入到实际应用中，进行案例研究，包括工程设计、经济决策等。

三、研究意义1.对于直觉模糊集存在的主观性和不确定性问题进行改进，提高模糊决策的可靠性和准确性。

2.为实际问题的分析和处理提供更加全面、准确的工具和方法。

3.对于区间直觉模糊集的研究将有助于推动模糊数学理论的发展，更好地适应实际问题的需求。

四、研究方法1.对于区间直觉模糊集的定义和性质的研究，将采用文献资料法和数学推理法进行探讨。

2.区间直觉模糊关系的建立和分析，将采用模拟实验法和案例研究法进行分析。

3.区间直觉模糊集的应用研究，将采用实地调查和数据分析等方法进行研究。

五、预期成果1.对于区间直觉模糊集的定义和性质进行系统的总结和分析。

2.建立区间直觉模糊关系模型，为实际问题的决策提供可靠的决策模型。

3.通过对实际问题的研究和应用，验证区间直觉模糊集理论的有效性和实际意义。

基于包含度的区间直觉模糊粗糙集模型

（ｃｅｃｌｇ，ａｎｎｉｅｓｔｆｅｈｏｏｙＪｎｈｕ１１０１Ｃｈｎ）ＳｉｎｅＣｏｌｅＬｉｏｉｇＵｎｖｒｉｙｏＴｃｎｌｇ，ｉｚｏ２０，ｉａｅ
ＫｅｒｓｒｕｈｓｔｉｔｉｏｉｉｆｚｙｓｔｉｔｖｌｎｕｔｎｓｃｕｚｔＶＦ）ｙｗｏｄ：ｏｇ；ｎｕｔｎｓｃｕｚ；ｎｅａｉｔｉｏｉｉｆｚｙｓ（ＩＳ；ｅｉｔｅｒｉｔｅＩ
ｉｔｒａｎｕｔｎｓｉｕｚｅ，ｎｅ，ｅｄｆｉｏｎａｃｌｔｎｆｒｌｆｎｅａｔｉｏｉｔｎｅｌｉｔｉｏｉｔｆｚｙｓｔａｄｔｎｔｅｉｔｎａｄｃｕａｏｏｍｕａｏｔｒｌｉｕｔｎｓｉｖｉｃｈｈｎｉｌｉｉｖｎｉｃｆｚｙｉｃｕｉｎｄｇｅｓｐｏｏｅ．ｅｏｄｙｎｅｅｅｕｖｅｃｅａｏ，ａｅｎｔｅｉｔｒａｕｚｎｌｓｏｅｒｅｗａｒｐｓｄＳｃｎｌ，ｕｄｒｔｑｉａｎｅｒｌｔｎｂｓｄｏｎｅｖｌｈｌｉｈ
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Ａｂｔａｔｎｅｖｌｎｕｔｎｓｃｆｚｙｉｃｕｉｎｄｇｅｓａｐｉｄｔｅｍｏｅｓａｌｈｎｎｓｒｃ：ＩｔｒａｔｉｏｉｔｕｚｌｓｅｒｅｗａｐｌｔｄｌｔｂｉｍｅｔｉｉｉｎｏｅｏｈｅｓｏｉｔｒａｎｕｔｎｓｃｆｚｙｓｔｎｕｈｓｔＦｒｔ，ｈＦｆａｕｃｕｉｎｄｇｅｓｘｅｄｄｔｎｅｖｉｔｉｏｉｔｕｚｅｄｒｇｅ．ｉｓｌｔｅＩＳｏｇｅｉｌｓｏｅｒｅｗａｔｎｅｌｉｉａｏｙｖｎｅｏ

基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究

㊀第54卷第3期郑州大学学报(理学版)Vol.54No.3㊀2022年5月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)May 2022收稿日期:2021-05-22基金项目:国家自然科学基金项目(62076089,61772176);河南省科技攻关项目(182102210078,212102210136)㊂第一作者:薛占熬(1963 ),男,教授,主要从事人工智能基础理论㊁粗糙集理论和三支决策理论研究,E-mail:xuezhanao@㊂基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究薛占熬1,2,㊀荆萌萌1,2,㊀姚守倩1,2,㊀张艳娜1,2(1.河南师范大学计算机与信息工程学院㊀河南新乡453007;2. 智慧商务与物联网技术河南省工程实验室㊀河南新乡453007)摘要:针对经典的Pawlak 粗糙集模型容易受到噪声数据影响的问题,在覆盖概念的基础上,对变精度粗糙直觉模糊集进行研究㊂首先,通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),将其引入到覆盖粗糙直觉模糊集模型中,从而提出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型,又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,并且证明了该模型的相关性质,分析了该模型与现有模型之间的关系以及4种模型之间的关系㊂其次,在所给模型的基础上定义了基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后,通过信用卡申请的实例分析证明了该模型在实际应用中的有效性,并通过改变两个约束条件(α,β)的取值,分析得出较合理的α和β取值范围㊂关键词:粗糙集;直觉模糊集;变精度粗糙集;覆盖粗糙模糊集中图分类号:TP391㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2022)03-0010-12DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.2021202Research on Covering-based Variable Precision RoughIntuitionistic Fuzzy Set ModelsXUE Zhanᶄao1,2,JING Mengmeng1,2,YAO Shouqian1,2,ZHANG Yanna 1,2(1.College of Computer and Information Engineering ,Henan Normal University ,Xinxiang 453007,China ;2.Engineering Lab of Intelligence Business &Internet of Things ,Xinxiang 453007,China )Abstract :The classical Pawlak rough sets were easily affected by noise data.Based on the concept ofcovering,variable precision rough intuitionistic fuzzy sets were studied.Firstly,by setting two constraints in variable precision (α,β),it was introduced into covering rough intuitionistic fuzzy set models,thus,a variable precision rough intuitionistic fuzzy set model based on covering was proposed.At the sametime,the neighborhood of elements,the confidence of rules,and the relationship between elements andminimum description were also considered.Four types of models were defined,the related properties of models were proved,the relationship between the model and existing models and the relationship among the four models were analyzed.Secondly,based on the given model,the approximate quality and rough-ness measurements of the variable precision rough intuitionistic fuzzy set models based on covering were defined.Finally,it was proved by the example of the credit card application,the effectiveness of the pro-posed covering variable precision rough intuitionistic fuzzy set models in the practical application was veri-fied.And by changing the values of two constraints (α,β),a reasonable value range of αand βwas ob-tained.Key words :rough sets;intuitionistic fuzzy sets;variable precision rough sets;covering rough fuzzy sets㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究0㊀引言粗糙集理论[1]是由Pawlak于1982年提出,该理论主要用来处理不确切㊁不准确等问题,已经广泛应用于人工智能等多个领域[2-4],由于经典的粗糙集具有严格的等价关系,并没有考虑到噪声的影响㊂针对传统粗糙集的这种局限性,Ziarko[5]提出了变精度粗糙集,通过设定一个参数值β,将噪声的影响考虑进去,从而使正负域的区间增大,缩小了边界域,给分类提供了更大的容错性㊂因此,许多学者将它推广到一些更普遍的应用领域㊂Jiang等[6]基于模糊邻域,通过模糊逻辑运算提出了两种基于覆盖的变精度模糊粗糙集㊂Huang等[7]引入概率集值信息系统的概念,提出了基于巴特查理亚距离的λ-容差关系的扩展变精度粗糙集模型㊂Yang等[8]提出了一种基于变精度粗糙集最小误分类代价的新模型㊂为了进一步提高粗糙集的鲁棒性和泛化能力公差关系,Kang等[9]以概念格作为理论基础,提出了一种新的计算粒度公差关系的可变精度粗糙集模型㊂为了提高分类系统的容错能力,Chen等[10]定义了颗粒包含㊁变精度邻域逼近集和正区域等概念,并提出了一种变精度邻域粗糙集模型㊂为了更有效地处理不精确性问题,薛占熬等[11]将模糊变精度粗糙集与多粒度相结合,定义了基于L-模糊近似空间的广义L-模糊可变精度粗糙集中的左下(右下)和左上(右上)近似算子㊂模糊集理论[12]是由Zadeh于1965年提出,该理论主要用来描述模糊现象和模糊概念㊂直觉模糊集(intuitionistic fuzzy sets,IFS)理论[13]由Atanassov 于1986年提出,该理论推广了Zadeh模糊集,通过增加一个非隶属度,使之更好地刻画模糊概念,更符合人们的思维过程㊂因此,引起了国内外学者极大的关注,也取得了一些有意义的成就㊂Zhou等[14]提出一个基于关系的直觉模糊粗糙近似算子的一般框架㊂杨倩等[15]利用度量加权的概念把直觉模糊等价关系推广为度量加权直觉模糊优势关系,建立了度量加权直觉模糊序信息系统㊂Liu[16]提出了一些新的直觉模糊集之间和元素之间相似度的度量方法㊂薛占熬等[17]针对直觉模糊环境下的三支决策建模问题,综合考虑了决策者的不同风险偏好所引起的阈值变化,提出一种基于前景理论的直觉模糊三支决策模型㊂张利亭等[18]定义了新的直觉模糊相似关系以及直觉模糊相似关系的截关系,并用直觉模糊相似关系的截关系代替经典决策粗糙集模型中的等价关系,得到一种基于不完备信息系统的直觉模糊三支决策方法㊂基于覆盖的粗糙集是对粗糙集的一种拓展,已经广泛应用于多个领域[19-22],成为众多学者们的研究热点㊂Li等[23]从颗粒的角度给出了两个覆盖之间的尺度关系的定义,并在多尺度覆盖的基础上研究了邻域和近似算子的一些性质,从而构建了基于多尺度覆盖的粗糙集模型㊂Zhang等[24]将多粒度粗糙集与覆盖概念相结合,提出4种多覆盖粗糙集模型㊂胡军等[25]从规则置信度出发,建立了一种覆盖粗糙模糊集模型㊂在大规模覆盖的近似空间中使用集合表示来计算最小和最大描述非常耗时且容易出错,Liu等[26]为了处理这一问题,提出了基于矩阵的覆盖粗糙集最小和最大描述计算方法㊂Dai等[27]提出一种新的用于不确定度评定的覆盖物偏序,即覆盖粗糙集的不确定度测量㊂薛占熬等[28]结合直觉模糊集和覆盖概念,提出覆盖粗糙直觉模糊集(cov-ering rough intuitionistic fuzzy sets,CIFS)模型㊂Wang等[29]提出了一种新的覆盖粗糙集模型不确定性测度上粗糙熵和下粗糙熵㊂近几年,将覆盖粗糙集和变精度粗糙集相结合的研究引起了许多学者的关注,并取得了一些有意义的成果[30-33]㊂本文在上述研究的基础上,对变精度粗糙集和直觉模糊集的结合进行深入研究㊂通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),将其引入到CIFS模型中,提出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊模型,同时又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,并证明了该模型的相关性质,分析了该模型与现有模型之间㊁以及4种模型之间的关系㊂其次,在所给模型的基础上重新定义了该模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后,通过实例分析证明所提出的模型在实际应用中的有效性㊂并改变两个约束条件(α,β)的取值,分析得出α和β较合理的取值范围㊂1㊀基础知识定义1[34]㊀设U是非空有限论域,C是U的一个子集族㊂如果C中的所有集合都非空,且ɣC= U,则称(U,C)为覆盖近似空间㊂定义2[34]㊀设(U,C)为一个覆盖近似空间,对xɪU,称Md(x)={KɪC xɪKɡ(∀SɪCɡxɪSɡS⊆K⇒K=S)}为x的最小描述㊂定义3[13]㊀设X为非空集合,A={(x,μA(x),νA(x))xɪU}称为X上的一个直觉模糊集合㊂其11郑州大学学报(理学版)第54卷中μA (x ):U ң[0,1]表示的是U 中元素x 属于A 的隶属度,νA (x ):U ң[0,1]表示的是U 中元素x 属于A 的非隶属度,并且满足0ɤμA (x )+νA (x )ɤ1㊂定义4[25]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CF (A ),CF (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CF (A )={(x ,μCF (A )(x ),νCF(A )(x ))};CF (A )={(x ,μCF (A )(x ),νCF (A )(x ))},(1)其中:μCF (A )(x )=sup{μA (y )y ɪɣMd (x )};νCF (A )(x )=inf{νA (y )y ɪɣMd (x )};μCF (A )(x )=inf{μA (y )y ɪɣMd (x )};νCF (A )(x )=sup{νA (y )y ɪɣMd (x )}㊂㊀㊀我们将该模型称为Ⅰ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义5[35]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CS (A ),CS (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CS (A )={(x ,μCS (A )(x ),νCS (A )(x ))};CS (A )={(x ,μCS (A )(x ),νCS (A )(x ))},(2)其中:μCS (A )(x )=sup{μA (y )y ɪɘMd (x )};νCS (A )(x )=inf{νA (y )y ɪɘMd (x )};μCS (A )(x )=inf{μA (y )y ɪɘMd (x )};νCS (A )(x )=sup{νA (y )y ɪɘMd (x )}㊂㊀㊀我们将该模型称为Ⅱ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义6[36]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CT (A ),CT (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CT (A )={(x ,inf K ɪMd (x ){sup μA (y )},sup K ɪMd (x ){inf νA (y )})y ɪK };CT (A )={(x ,sup K ɪMd (x ){inf μA (y )},inf K ɪMd (x ){sup νA (y )})y ɪK }㊂(3)㊀㊀我们将该模型称为Ⅲ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂定义7[28]㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,对∀A ɪIFS (U ),∀x ɪU ,A 在近似空间(U ,C )上的上㊁下近似(CK (A ),CK (A ))是一对直觉模糊集,其隶属函数分别为CK (A )={(x ,μCK (A )(x ),νCK (A )(x ))};CK (A )={(x ,μCK (A )(x ),νCK (A )(x ))},(4)其中:μCK (A )(x )={max(μA (x ),μᶄA (x ))};νCK (A )(x )={min(νA (x ),νᶄA (x ))};μCK (A )(x )={min(μA (x ),μᶄA (x ))};νCK (A )(x )={max(νA (x ),νᶄA (x ))}㊂μᶄA (x )㊁νᶄA (x )分别为对象x 关于A 的模糊覆盖粗糙隶属度㊁非隶属度,μᶄA (x )=ðy ɪ(ɣMd (x ))μA (y )ɣMd (x ),νᶄA (x )=ðy ɪ(ɣMd (x ))νA (y )ɣMd (x )㊂下文类同,不再赘述㊂我们将该模型称为Ⅳ型覆盖粗糙直觉模糊集模型㊂在这4个模型中,Ⅰ模型的上㊁下近似隶属度是在包含元素的所有集合中求出最大㊁最小值,上㊁下近似非隶属度是在包含元素的所有集合中求出最小㊁最大值㊂Ⅱ模型的上㊁下近似隶属度是在包含某元素的所有集合中求出交集,然后在所求出的交集中选出最大㊁最小值,上㊁下近似非隶属度是在包含某元素的所有集合中求出交集,再在所求出的交集中选出最小㊁最大值㊂Ⅲ模型的上㊁下近似隶属度与非隶属度都是在每一个元素与最小描述的集合中求出最大㊁最小隶属度与非隶属度,最后在所求出最大㊁最小隶属度与非隶属度的基础上,选出最小㊁最大隶属度与非隶属度㊂可以看出,Ⅱ模型相比Ⅰ模型缩小了集合中元素的个数㊂Ⅲ模型通过加入最小描述,既没有算集合中全部元素,也没有把集合中大部分元素摒弃,使得到的上㊁下近似介于前两者之间,Ⅳ模型不仅加入最小描述,还考虑到元素与论域中其他元素间的关系,得出的结果清晰,符合实际情况㊂2㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型2.1㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集的4种模型定义8㊀设(U ,C )为覆盖近似空间,IFS (U )为U 上所有直觉模糊集组成的集合,对A ɪIFS (U ),21㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上㊁下近似的隶属度为F1(y),非隶属度为N1(z),则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅰ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CF P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β};CF P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α},(5)其中: F1(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μA(y)ɣMd(x);N1(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νA(z)ɣMd(x)㊂㊀㊀定义9㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上㊁下近似的隶属度为F2(y),非隶属度为N2(z),则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅱ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CS P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɘMd(x))ɡzɪ(ɘMd(x)){A(y,z)F2(y)>α,N2(z)>1-β};CS P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɘMd(x))ᶱzɪ(ɘMd(x)){A(y,z)F2(y)ȡβ,N2(z)ȡ1-α},(6)其中: F2(y)=ðyɪ(ɘMd(x))μA(y)ɘMd(x);N2(z)=1-ðzɪ(ɘMd(x))νA(z)ɘMd(x)㊂㊀㊀定义10㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上近似的隶属度为F3(y),非隶属度为N3(z);下近似的隶属度为F3(y),非隶属度为N3(z)㊂则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅲ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CT P(α,β)A(x)=ᶱyɪMd(x)ɡzɪMd(x){A(y,z)F3(y)>α,N3(z)>1-β};CT P(α,β)A(x)=ɡyɪMd(x)ᶱzɪMd(x){A(y,z)F3(y)ȡβ,N3(z)ȡ1-α},(7)其中:F3(y)=ðyɪMd(x)supμA(y)Md(x);N3(z)=1-ðzɪMd(x)infνA(z) Md(x);F3(y)=ðyɪMd(x)infμA(y)Md(x);N3(z)=1-ðzɪMd(x)supνA(z)Md(x)㊂㊀㊀定义11㊀设(U,C)为覆盖近似空间,IFS(U)为U上所有直觉模糊集组成的集合,对AɪIFS(U),∀xɪU,令0<α<β<1,P⊆C,上近似的隶属度为F4(y),非隶属度为N4(z);下近似的隶属度为F4(y),非隶属度为N4(z)㊂则A关于覆盖近似空间(U,C)的Ⅳ型覆盖变精度粗糙直觉模糊集为CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β};CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α},(8)其中:F4(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μCK(A)(y)ɣMd(x);N4(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νCK(A)(z)ɣMd(x);F4(y)=ðyɪ(ɣMd(x))μCK(A)(y)ɣMd(x);N4(z)=1-ðzɪ(ɣMd(x))νCK(A)(z)ɣMd(x)㊂㊀㊀覆盖近似空间中A的上㊁下近似的集合是由两个约束条件(α,β)来逼近的,若CF P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x),CS P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x),CT P(α,β)A(x)=CT P(α,β)A(x),CK P(α,β)A(x)=CK P(α,β)A(x),则A是可定义的;否则,称A是不可定义的㊂定义12㊀在覆盖近似空间(U,C)中,A关于(U,C)的近似质量定义为γ(α,β)(A)=ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x)U㊂(9)㊀㊀近似质量反映的是下近似所有元素的隶属度之和占整个论域元素个数的百分比㊂显然,下近似的隶属度之和越大,得到的百分比越高㊂定义13㊀在覆盖近似空间(U,C)中,A关于(U,C)的粗糙性测度定义为δ(α,β)(A)=1-ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x)ðxɪU CK P(α,β)Aμ(x),(10)其中:0ɤδ(α,β)ɤ1㊂31郑州大学学报(理学版)第54卷粗糙性测度反映的是边界域所有元素的隶属度之和占上近似所有元素的隶属度之和的百分比㊂显然,上近似元素中包含的下近似元素个数越多,得到的百分比越低㊂定理1　设(U,C)为一个覆盖近似空间,A,BɪIFS(U),0<α<β<1,则该模型具有以下性质(以Ⅳ模型为例):1)CK(α,β)(U)=CK(α,β)(U)=U,CK(α,β)(φ)=CK(α,β)(φ)=φ;2)若A⊆B,则CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B);3)CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B),CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B);4)CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B),CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂证明:1)当直觉模糊集A退化为模糊集U时,∀xɪU,μU(x)=1,νU(x)=0,由定义7可知,μᶄU(x)=1,νᶄU(x)=0,且P(ɣMd(x),U)=1;对∀xɪU, CK(α,β)(U)(x)=CK(α,β)(U)(x)=(1,0),则CK(α,β)(U)=CK(α,β)(U)=U;同理,对∀xɪU,μφ(x)=0,νφ(x)=1,由定义7可知,μᶄφ(x)=0,νᶄφ(x)=1,且P(ɣMd(x),φ)=0;对∀xɪU,CK(α,β)(φ)(x)=CK(α,β)(φ)(x)=(0,1),则CK(α,β)(φ)=CK(α,β)(φ)=φ㊂2)因A⊆B,对于∀xɪU,有μA(x)ɤμB(x),νA(x)ȡνB(x),μᶄA(x)ɤμᶄB(x),νᶄA(x)ȡνᶄB(x)㊂则有关A的上㊁下近似隶属度与非隶属度有4种情况,如下所示:①μCK(A)(x)=μA(x),μCK(A)(x)=μᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x);②μCK(A)(x)=μᶄA(x),μCK(A)(x)=μA(x),νCK(A)(x)=νA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x);③μCK(A)(x)=μA(x),μCK(A)(x)=μᶄA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x);④μCK(A)(x)=μᶄA(x),μCK(A)(x)=μA(x),νCK(A)(x)=νᶄA(x),νCK(A)(x)=νA(x)㊂以下仅对①这一情况进行证明㊂(a)若μCK(B)(x)=μB(x),μCK(B)(x)=μᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(b)若μCK(B)(x)=μᶄB(x),μCK(B)(x)=μB(x),νCK(B)(x)=νB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),因μA(x)ɤμᶄA(x)ɤμᶄB(x),μᶄA(x)ɤμᶄB(x)ɤμB(x)㊂故μA(x)ɤμᶄB(x),μᶄA(x)ɤμB(x)㊂则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(c)若μCK(B)(x)=μB(x),μCK(B)(x)=μᶄB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),因νA(x)ȡνᶄA(x)ȡνᶄB(x),νᶄA(x)ȡνᶄB(x)ȡνB(x)㊂故νA(x)ȡνᶄB(x),νᶄA(x)ȡνB(x)㊂则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),41㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂㊀㊀(d)若μCK(B)(x)=μᶄB(x),μCK(B)(x)=μB(x),νCK(B)(x)=νᶄB(x),νCK(B)(x)=νB(x),则μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),μCK(A)(x)ɤμCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x),νCK(A)(x)ȡνCK(B)(x)㊂对∀xɪU,P(ɣMd(x),A)ɤP(ɣMd(x),B),因此CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x),CK(α,β)(A)(x)ɤCK(α,β)(B)(x)㊂所以CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂类似可以证明其他3种情况,略㊂综上CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B),CK(α,β)(A)⊆CK(α,β)(B)㊂3)将AɘB⊆A,B代入式(2),得CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A),CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(B)㊂即CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B)㊂同理CK(α,β)(AɘB)⊆CK(α,β)(A)ɘCK(α,β)(B)㊂4)将A,B⊆AɣB代入式(2),得CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A),CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(B)㊂即CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂同理CK(α,β)(AɣB)⊇CK(α,β)(A)ɣCK(α,β)(B)㊂2.2㊀基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的分析对覆盖变精度粗糙直觉模糊集模型与现有模型之间的关系进行分析讨论㊂分为以下几种情形㊂情形1㊀当直觉模糊集A退化为模糊集A~时,即当xɪA~时,μA(x)+νA(x)=1,则此模型中只有隶属度,没有非隶属度,进而当隶属度为1时,即没有模糊集A~的存在,就变成了确切存在的分明集A-,即当xɪA-时,A-(x)=1,x∉A-时,A-(x)=0㊂则此模型退化成覆盖变精度粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为CK PαA~(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x)){A~(y)F4ᶄ(y)>α},CK PαA~(x)=ɡyɪ(ɣMd(x)){A~(y)F4ᶄ(y)ȡ1-α}㊂进而退化为CK PαA-(x)={xɪUɣMd(x)ɘA-ɣMd(x)>α},CK PαA-(x)={xɪUɣMd(x)ɘA-ɣMd(x)ȡ1-α},其中:F4ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))max(A~(y),A~ᶄ(y))ɣMd(x);F4ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))min(A~(y),A~ᶄ(y))ɣMd(x);A~ᶄ(y)=ðyɪ(ɣMd(x))A~(y)ɣMd(x)㊂㊀㊀情形2㊀设(U,C)为覆盖近似空间,当α=0,β=1时,即没有变精度的出现,则该模型退化为覆盖粗糙直觉模糊集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为CK(A)={x,μCK(A)(x),νCK(A)(x)},CK(A)={x,μCK(A)(x),νCK(A)(x)}㊂51郑州大学学报(理学版)第54卷㊀㊀情形3㊀当没有覆盖存在时,即此模型中的近似空间(U,C)退化为Pawlak近似空间(U,R),那么U的划分U/R={[x]R xɪU}便构成了U的覆盖,ɣMd(x)即为[x]R,此时,该模型退化为变精度粗糙直觉模糊集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为R P(α,β)A(x)=ᶱyɪ[x]Rɡzɪ[x]R {A(y,z)F4ᵡ(y)>α,N4ᵡ(z)>1-β},R P(α,β)A(x)=ɡyɪ[x]Rᶱzɪ[x]R {A(y,z)F4ᵡ(y)ȡβ,N4ᵡ(z)ȡ1-α},其中:F4ᵡ(y)=F4ᵡ(y)=ðyɪ[x]RμA(y) [x]R;N4ᵡ(z)=N4ᵡ(z)=1-ðyɪ[x]RνA(z) [x]R㊂㊀㊀情形4㊀当情形1与情形3同时存在时,即集合A中没有覆盖,并且A也退化成A-时,则该模型退化为变精度粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为R P αA-(x)=ɣ{[x]R[x]RɘA-[x]R>α},R P αA-(x)=ɣ{[x]R[x]RɘA-[x]Rȡ1-α}㊂㊀㊀情形5㊀当情形1㊁情形2与情形3都存在时,即集合A中没有覆盖,A退化成A-时,且没有约束条件α和β(α=0,β=1),该模型退化经典粗糙集㊂即CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β},CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}㊂退化为RA-(x)={xɪU[x]RɘXʂφ},RA-(x)={xɪU[x]R⊆X}㊂2.3㊀4种覆盖变精度粗糙直觉模糊集模型的关系本节主要说明4个模型之间存在的相互联系,具体关系如下㊂定理2㊀设(U,C)为覆盖近似空间,当所有元素在一个集合中,即只有一个覆盖时,Ⅰ模型和Ⅱ模型相同㊂证明:充分性:假设C有多个覆盖,那么存在x属于U,使Md(x)ʂ1,令A1㊁A2为Md(x)中的两个元素,并且A1ʂA2,则ɣMd(x)ʂɘMd(x),所以P(ɣMd(x),A)ʂP(ɘMd(x),A),即CF P(α,β)A(x)ʂCS P(α,β)A(x),CF P(α,β)A(x)ʂCS P(α,β)A(x)㊂所以,当有多个覆盖时,Ⅰ㊁Ⅱ模型中元素所在的集合势必不一样,则两模型不会相同㊂那么要使两模型相同,则必须只有一个覆盖,这样无论是求元素的交集还是并集,都是这个集合,所以这2个模型没有差别㊂必要性:设x属于U,当覆盖C中只有一个集合时,则Md(x)=1,所以ɣMd(x)=ɘMd(x),则P(ɣMd(x),A)=P(ɘMd(x),A),所以有CF P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x),CF P(α,β)A(x)=CS P(α,β)A(x)㊂因此,当覆盖C中只有一个集合时,Ⅰ模型和Ⅱ模型相同㊂定理3㊀设(U,C)为覆盖近似空间,对AɪIFS(U),0<α<β<1,有CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂证明:∀xɪU,令q=inf{μA(y)yɪɣMd(x)},Q=sup{μA(y)yɪɣMd(x)},r=inf{νA(y)yɪɣMd(x)},R=sup{νA(y)yɪɣMd(x)}㊂㊀㊀由A中的隶属度与非隶属度可知,qɤμᶄAɤQ,rɤνᶄAɤR㊂因qɤμAɤQ,rɤνAɤR,所以有以下4种情况,分别为61㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究1)μᶄAɤμA,νᶄAɤνA;2)μᶄAɤμA,νᶄAȡνA;3)μᶄAȡμA,νᶄAɤνA;4)μᶄAȡμA,νᶄAȡνA㊂以下对4种情况分别进行讨论㊂1)当μᶄAɤμA,νᶄAɤνA时,CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β}ɤᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂2)当μᶄAɤμA,νᶄAȡνA时,CK P(α,β)A(x)=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)>α,N4(z)>1-β}=ᶱyɪ(ɣMd(x))ɡzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)>α,N1(z)>1-β}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x)㊂3)当μᶄAȡμA,νᶄAɤνA时, CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α}=CF P(α,β)A(x),所以CK P(α,β)A(x)=CF P(α,β)A(x)㊂4)当μᶄAȡμA,νᶄAȡνA时, CK P(α,β)A(x)=ɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F4(y)ȡβ,N4(z)ȡ1-α}ȡɡyɪ(ɣMd(x))ᶱzɪ(ɣMd(x)){A(y,z)F1(y)ȡβ,N1(z)ȡ1-α}=CF P(α,β)A(x),所以CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)㊂即CF P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CK P(α,β)A(x)⊆CF P(α,β)A(x)㊂㊀㊀由于Ⅲ模型加入了最小描述,所以,当集合中元素个数不是1个的时候,其最小描述是不相同的,即ɣMd(x)=ɘMd(x)ʂK,所以,无法比较与其他模型之间关系㊂3㊀实例分析本节通过信用卡申请的实例分析证明Ⅰ~Ⅳ模型在实际应用中的有效性,并用控制变量法验证这4个模型的优越性㊂通过改变两个约束条件α㊁β的取值,计算该模型的上㊁下近似,近似质量以及粗糙性测度,得出α和β的较合理取值范围㊂3.1㊀Ⅰ~Ⅳ模型的实例分析假设有6个信用卡申请者共组成一个论域U= {x1,x2, ,x6},这6个申请者分别由4个专家E1㊁E2㊁E3㊁E4对他们的收入水平进行好(high)㊁中等偏上(above average)㊁中等偏下(below average)㊁差(low)4个级别的评价,得到的覆盖为C={high,above average,below average,low}= {k1,k2,k3,k4},k1={x1,x2},k2={x2,x3,x4},k3={x3,x4,x5},k4={x5,x6}㊂high={(x1,0.7,0.2),(x2,0.3,0.6),(x3,0.5,0.4),(x4,0.2,0.7),(x5,0.6,0.3),(x6,0.8,0.1)}, Above average={(x1,0,0.7),(x2,0.2,0.6), (x3,0.5,0.5),(x4,0.7,0.2),(x5,1,0),(x6,0.6,0.3)},Below average={(x1,0,0.6),(x2,0,0.9), (x3,0.6,0.2),(x4,0.3,0.6),(x5,0,0.9),(x6,0,0.7)},low={(x1,0,0.8),(x2,0.1,0.8),(x3,0,0.9),(x4,0,0.6),(x5,0.7,0.1),(x6,0.8,0.1)}㊂㊀㊀解:分别用Ⅰ型㊁Ⅱ型㊁Ⅲ型和Ⅳ型来求出覆盖变精度粗糙直觉模糊集的 high 上近似和下近似㊁近似质量以及粗糙性测度,分3步进行计算㊂1)由最小描述定义知:Md(x1)={{x1,x2}};Md(x2)={{x1,x2},{x2,x3,x4}};Md(x3)=Md(x4)={{x2,x3,x4},{x3,x4,x5}};Md(x5)={{x3,x4,x5},{x5,x6}};Md(x6)={{x5,x6}}㊂㊀㊀2)由定义7,求出A的隶属度与非隶属度:μᶄA(x1)=0.5,μᶄA(x2)=0.43,μᶄA(x3)=μᶄA(x4)= 0.4,μᶄA(x5)=0.53,μᶄA(x6)=0.7㊂νᶄA(x1)=0.4,νᶄA(x2)=0.48,νᶄA(x3)=νᶄA(x4)= 0.5,νᶄA(x5)=0.38,νᶄA(x6)=0.2㊂Aᶄ={(x1,0.5,0.4),(x2,0.43,0.48),(x3,0.4,0.5),(x4,0.4,0.5),(x5,0.53,0.38),(x6,0.7,0.2)}㊂㊀㊀3)设α=0.3,β=0.52㊂①由定义8㊁定义12和定义13得到Ⅰ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:71郑州大学学报(理学版)第54卷CF P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CF P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCFP(0.3,0.52)A μ(x )U=0.86=13.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCF P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CFP(0.3,0.52)A μ(x )=81%㊂㊀㊀②由定义9㊁定义12和定义13得到Ⅱ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CS P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0,0),(x 3,0.6,0),(x 4,0.6,0),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CS P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCSP(0.3,0.52)A μ(x )U=0.86=13.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCS P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CSP(0.3,0.52)A μ(x )=77.1%㊂㊀㊀③由定义10㊁定义12和定义13得到Ⅲ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CTP(0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CT P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.3,0.6),(x 2,0,0.6),(x 3,0.2,0.7),(x 4,0,0),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCTP(0.3,0.52)A μ(x )U=1.36=21.7%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCT P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CTP(0.3,0.52)A μ(x )=69%㊂㊀㊀④由定义11㊁定义12和定义13得到Ⅳ模型的上近似㊁下近似㊁近似质量和粗糙性测度:CK P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.7,0.2),(x 3,0.6,0.3),(x 4,0.6,0.3),(x 5,0.8,0.1),(x 6,0.8,0.1)};CK P (0.3,0.52)A (x )={(x 1,0.3,0.6),(x 2,0.2,0.7),(x 3,0.2,0.7),(x 4,0.2,0.7),(x 5,0.2,0.7),(x 6,0.6,0.3)};γ(0.3,0.52)(A )=ðx ɪUCKP(0.3,0.52)A μ(x )U=1.76=28.3%;δ(0.3,0.52)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.3,0.52)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.3,0.52)A μ(x )=60%㊂㊀㊀从例子中可以很直观地看出4种模型中元素上㊁下近似隶属度和非隶属度有所不同,并且对元素的近似描述也不相同㊂但是这4个模型的上近似隶属度与非隶属度值没有太大的变化,究其原因,可以从求解过程中得出,通过设定α㊁β这两个约束条件,计算出来的结果是Ⅰ㊁Ⅱ模型的下近似的隶属度和非隶属度几乎没有,是因为这两个模型只是单纯地求元素的并集或交集,再在并集或交集中求出最大或最小值,这样就会导致许多元素被分到边界域㊂Ⅲ模型用元素与最小描述之间的联系去计算,既没有算集合中全部元素,也没有把集合中全部元素摒弃,这样得出的结果介于前两种模型之间㊂但是此模型也是单纯地对最小描述中的元素进行求大和求小,所以,算出来的结果也不是很理想㊂Ⅳ模型不仅考虑到元素与最小描述之间的联系,也把其他元素考虑进去,这样使比较多的元素列入下近似中去,从而算出来的结果较合理,与实际情况接近㊂从结果中也可以看出Ⅰ㊁Ⅱ模型的近似质量是一样的,说明无论是从对象的全邻域还是近邻域去求隶属度和非隶属度,其结果都没有变化㊂虽然Ⅲ模型近似质量有所增加,但对隶属度与非隶属度也只是单纯地求大与求小,并没有准确地反映实际情况㊂而在Ⅳ模型中,近似质量有较明显的增大,说明下近似中的元素逐渐增多,符合实际情况㊂再从这4个模型的粗糙性测度的结果看,前三个模型的值都很高,说明元素被分到下近似的个数很少,而Ⅳ模型所求出的结果相对前三个模型而言,增加了下近似中元素个数,即上近似元素中包含的下近似元素个数变多,符合实际情况㊂3.2㊀模型阈值取值分析由3.1可知,Ⅳ模型与前3个模型相比,符合实81㊀第3期薛占熬,等:基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型研究际情况㊂因此本小节在Ⅳ模型中对α㊁β的取值范围进行分析㊂设论域U ={x 1,x 2, ,x 7},U 上的一个覆盖C ={{x 1,x 2},{x 2,x 3,x 4},{x 3,x 4,x 5},{x 6,x 7}},直觉模糊集A ={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.8,0.1),(x 4,0.9,0),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0.4,0.3),(x 7,0.7,0.1)}㊂解:1)由最小描述定义知:Md (x 1)={{x 1,x 2}};Md (x 2)={{x 1,x 2},{x 2,x 3,x 4}};Md (x 3)=Md (x 4)={{x 2,x 3,x 4},{x 3,x 4,x 5}};Md (x 5)={{x 3,x 4,x 5}};Md (x 6)={{x 6,x 7}};Md (x 7)={{x 6,x 7}}㊂㊀㊀2)由定义7,求出A 的隶属度与非隶属度:μᶄA (x 1)=0.65;μᶄA (x 2)=0.75;μᶄA (x 3)=μᶄA (x 4)=0.7;μᶄA (x 5)=0.73;μᶄA (x 6)=μᶄA (x 7)=0.55㊂νᶄA (x 1)=0.25;νᶄA (x 2)=0.15;νᶄA (x 3)=νᶄA (x 4)=0.2;νᶄA (x 5)=0.17;νᶄA (x 6)=νᶄA (x 7)=0.2㊂㊀㊀①当α1=0.1,β1=0.8时:CK P (0.1,0.8)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CKP(0.1,0.8)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0,0),(x 6,0,0),(x 7,0,0)};γ(0.1,0.8)(A )=ðx ɪUCKP(0.1,0.8)A μ(x )U=0;δ(0.1,0.8)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.1,0.8)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.1,0.8)A μ(x )=100%㊂㊀㊀②当α2=0.2,β2=0.7时:CKP(0.2,0.7)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.2,0.7)A (x )={(x 1,0,0),(x 2,0,0),(x 3,0,0),(x 4,0,0),(x 5,0,0),(x 6,0,0),(x 7,0,0)};γ(0.2,0.7)(A )=ðx ɪUCKP(0.2,0.7)A μ(x )U=0;δ(0.2,0.7)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.2,0.7)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.2,0.7)A μ(x )=100%㊂③当α3=0.3,β3=0.6时:CK P (0.3,0.6)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.3,0.6)A (x )={(x 1,0.6,0.3),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.5,0.4),(x 4,0.5,0.4),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0,0.3),(x 7,0,0.3)};γ(0.3,0.6)(A )=ðx ɪUCKP(0.3,0.6)A μ(x )U=2.77=38.6%;δ(0.3,0.6)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.3,0.6)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.3,0.6)A μ(x )=52.6%㊂㊀㊀④当α4=0.4,β4=0.5时:CK P (0.4,0.5)A (x )={(x 1,0.7,0.2),(x 2,0.9,0),(x 3,0.9,0),(x 4,0.9,0),(x 5,0.9,0),(x 6,0.7,0.1),(x 7,0.7,0.1)};CK P (0.4,0.5)A (x )={(x 1,0.6,0.3),(x 2,0.6,0.3),(x 3,0.5,0.4),(x 4,0.5,0.4),(x 5,0.5,0.4),(x 6,0.4,0.3),(x 7,0.4,0.3)};γ(0.4,0.5)(A )=ðx ɪUCKP(0.4,0.5)A μ(x )U=3.57=50%;δ(0.4,0.5)(A )=1-ðx ɪUCK P(0.4,0.5)A μ(x )ðx ɪU CKP(0.4,0.5)A μ(x )=38.6%㊂㊀㊀从例子中可以看出,当α1=0.1,β1=0.8与α2=0.2,β2=0.7时,求出来的近似质量为0,粗糙性测度为100%,说明下近似中的元素个数为0,显然不符合实际情况,当α3=0.3,β3=0.6与α4=0.4,β4=0.5时,元素被分到下近似中的个数逐渐增多,元素被分到边界域中的个数逐渐减少,从而符合实际情况㊂所以,α取值范围在(0.3,0.4),β取值范围在(0.5,0.6)时,该模型符合实际情况㊂4　结束语在覆盖粗糙集理论和变精度粗糙集理论基础上,通过设定变精度中的两个约束条件(α,β),提91郑州大学学报(理学版)第54卷出基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊模型,同时又考虑到元素邻域㊁规则置信度及元素与最小描述之间的关系,定义了有关该模型的4种类型,证明了此模型的一系列性质,进而研究了此模型与现有模型之间的关系以及4种模型之间的相互关系㊂接着定义了基于覆盖的变精度粗糙直觉模糊集模型的近似质量和粗糙性测度㊂最后实例分析证明该模型的有效性,并分析得出α和β较合理的取值范围㊂参考文献:[1]㊀PAWLAK Z.Rough sets[J].International journal ofcomputer and information sciences,1982,11(5):341-356.[2]㊀JIA X Y,TANG Z M,LIAO W H,et al.On an optimi-zation representation of decision-theoretic rough set model[J].International journal of approximate reasoning,2014,55(1):156-166.[3]㊀JÄRVINEN J,RADELECZKI S.Rough sets determinedby tolerances[J].International journal of approximatereasoning,2014,55(6):1419-1438.[4]㊀CHEN D G,ZHANG X X,WANG X Z,et al.Uncer-tainty learning of rough set-based prediction under a holis-tic 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覆盖粗糙直觉Fuzzy集模型的一点注记

覆盖粗糙直觉Fuzzy集模型的一点注记石素玮;李进金;李克典【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2015(000)020【摘要】Based on the analysis of a class of covering rough intuitionistic fuzzy set model, it gives some technical improve-ments for an existing definition of roughness degree. Furthermore, rough entropy is introduced to the covering rough intui-tionistic fuzzy set mode and its uncertainly measure is discussed. An example illustrates the efficiency of the proposed roughness entropy.%通过对一类覆盖粗糙直觉模糊集模型中粗糙度定义的分析，对其所存在疏漏进行了改进；再将粗糙熵的概念引入到该模型，研究直觉模糊集的不确定度量；通过例子说明该度量的有效性。

【总页数】4页(P131-134)【作者】石素玮;李进金;李克典【作者单位】闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州 363000;闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州 363000;闽南师范大学数学与统计学院，福建漳州363000【正文语种】中文【中图分类】O159【相关文献】1.一种新的覆盖粗糙区间直觉模糊集模型 [J], 郑婷婷;马斌斌;桑小双2.基于最小/最大描述的多粒度覆盖粗糙直觉模糊集模型 [J], 薛占熬;司小朦;王楠;朱泰隆3.覆盖粗糙直觉Fuzzy集模型 [J], 巩增泰;马延4.关于变精度粗糙集模型近似算子性质的一点注记 [J], 庞进丽5.基于诱导覆盖的粗糙直觉模糊集模型 [J], 石素玮;谭安辉因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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ｔｉｏｎｓｐａｃｅ．Ｔｈｅｉｎｔｅｒｖａｌ — ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｒｏｕｇｈｓｅｔｍｏｄｅｌｓｂａｓｅｄｏｎａｉｎｔｅｖａｒｌ — ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｃｏｖｅｒｉｎｇａｒｅ
摘
要：在经典的覆盖近似空间中，定义了区间直觉模糊概念的粗糙近似。通过区间直觉模糊覆盖概念，给出了一种基于
区间直觉模糊覆盖的区间直觉模糊粗糙集模型。讨论了两种模型的一些相关性质。关键词：覆盖；粗糙集；区间直觉模糊集；近似算子；粗糙模糊集
ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用
基于覆盖的区间直觉模糊粗糙集
王艳平，孙静，陈美巍
ＷＡＮＧＹａｎｐｉｎｇ，ＳＵＮＪｉｎｇ，ＣＨＥＮＭｅｉｗｅｉ
文献标志码：Ａ中图分类号：ＴＰ３９１ｄｏｉ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．１１０６ — ０２６９
１引言
Ｐａｗｌａｋ粗糙集模型的推广，是粗糙集研究的一个主
ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１３，４９（２）：１５５－１５６．
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｒｏｕｇｈａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｆａｎｉｎｔｅｒｖａｌ・・ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂａｓｅｄｏｎａｃｒｉｓｐｃｏｖｅｒｉｎｇａｐｐｒｏｘｉｍａ－・
的研究，给出了覆盖粗糙模糊集模型和基于覆盖的直觉模糊粗糙集［３－４］等。二是从集合方面拓展，将经典粗糙集模
ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｂｙｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｉｎｔｅｒｖａｌ — ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｃｏｖｅｒｉｎｇ．Ｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｉｎｔｅｒｖａｌ・ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｒｏｕｇｈｓｅｔｓｂａｓｅｄｏｎｃｏｖｅｒｉｎｇａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｖｅｒｉｎｇ；ｒｏｕｇｈｓｅｔｓ；ｉｎｔｅｒｖａｌ — ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｓｅｔｓ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｏｐｅｒａｔｏｒｓ；ｒｏｕｇｈｆｕｚｚｙｓｅｔｓ
２区问直觉模糊集的基本理论
定义２．１（区间直觉模糊集）设是一个非空经典集合，Ｄ［０，１］是区间［０，１］上所有闭子区间所构来，已经得到了粗糙集模型的许多拓展形式，而这些拓展大多数都是从两个方面进行的。一是从关系方面拓展，将经典粗糙集模型中的等价关系拓展为一般二元关系、模糊关系、直觉模糊关系等，基于覆盖的粗糙集模型扩展是其中重要的一类。目前，研究者对覆盖近似空间中经典集合、模糊集合、直觉模糊集合的近似进行了较多
辽宁工业大学理学院，辽宁锦州１２１００１
ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅ，ＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｊｉｎｚｈｏｕ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ１２１００１，Ｃｈｉｎａ
ＷＡＮＧＹａｎｐｉｎｇ，ＳＵＮＪｉｎｇ，ＣＨＥＮＭｅｉｗｅｉ．Ｉｎｔｅｒｖａｌ — ｖａｌｕｅｄｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃｆｕｚｚｙｒｏｕｇｈｓｅｔｓｂａｓｅｄｏｎｃｏｖｅｒｉｎｇｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ