2017-2018学年华东师大版七年级数学上册习题课件2.5 有理数的大小比较 (共21张PPT)
华东师大版七年级数学上册习题课件：专题训练(二) 有理数的有关计算 (共21张PPT)
4×5×6×7＋1＝(42＋3×4＋1)2，
归纳总结，得n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n2＋3n＋1)2. 所以11×12×13×14＋1＝(112＋3×11＋1)2＝1552＝24 025.
初中数学
11．(导学号 40324104)探究规律． (1)计算下列各题：
①22×32与(2×3)2；
初中数学
(2)根据上面的计算结果猜想：
1
①22 014－22 013－22 012－…－22－2－1的值为 1 ____；
解：原式＝2 015×2 016×100 010 001－2 016×2 015×100 010 001 ＝0.
初中数学
三、有理数计算中的规律探究 9．(导学号 40324102)如图所示，每一个小方格的面积为 1，则可根
据面积计算得到如下算式： 1 ＋3 ＋5＋7 ＋…＋(2n－1) ＝____( n2n是正
A．5 B．7 C．9 D．11
初中数学
3．(导学号 40324098)规定图形
表示运算 a－b＋c，图形 4 2 ＋ 6 5,7))＝____．
表示运算 x＋z－y－w，则
初中数学
4． (导学号 40324099)设[a]表示不超过 a 的最大整数， 例如： [2.3] 1 ＝2，[－43]＝－5，[5]＝5. 1 (1)求[25]＋[－3.6]－[－7]的值； 3 1 (2)令{a}＝a－[a]，求{24}－[－2.4]＋{－64}的值．
(2)350＋(－26)＋700＋26＋(－1 050)．
解：原式＝[350＋700＋(－1 050)]＋[(－26)＋26] ＝0.
初中数学
7．(巧用运算律)计算： 5 13 (1)(－5) －(－15)－(7－ 4 )×56；
2017-2018学年七年级北师大版数学上册课件：2.9有理数的乘方(1) (共35张PPT)
(5)如果一个有理数的任何正整数次幂都
1或 0 等于它的绝对值,那么这个数是_______,
(6)如果一个有理数的任何正整数次幂都
1 等于它的倒数,那么这个数是_________,
19
练习八
计算 (1) 2×1/2= 1 , (2)22×(1/2)2=_________________, 2×2×1/2×1/2=1 (3)23×(1/2)3=___, 1 (4)24×(1/2)4=___, 1 …… (4)2n×(1/2)n=___, 1 探索问题3:观察练习九的结果,你发 现有什么规律? 互为倒数的相同次数的幂仍互为倒数, 它们的积为1 20
5 (0.5×10)小时后分裂成 _______________________________________. 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1024(个)
4
半天(0.5×24小时)后分裂成 _________________________________, 2×2×· · · ×2×2(24个2)=16777216(个) 一天(0.5×48小时)后分裂成 _________________________________________. 2 ×2×· · · ×2×2(48个2)=281,474,976,710,656(个) 这个数字究竟有多大？ 这大约相当于全地球60亿人口的46912倍; 这大约相当于中国13亿人口的216519倍.
棋盘上的学问国际象棋棋盘.swf
印度有一个古老的传说:在某个王国里有一位聪明的 大臣叫西萨· 班· 达依尔,他发明了国际象棋,献给了国王 — —舍罕王,国王从此迷上了下棋.为了对聪明的大臣表示感 谢,国王打算奖赏他.国王问他想要什么,他对国王说:“陛下, 请您在这张棋盘上赏一些大米吧.在第1个小格里放1粒,在 第2个小格里放2粒,第3 小格放4粒,以后每一小格都比前一 小格加一倍,直到摆满棋盘上的所有64格.请您把这些大米, 都赏给您的仆人吧!”国王哈哈大笑“你真傻!就要这么一 点大米,这个要求太容易满足了,就命令给他这些大米.”当 人们把一袋一袋的大米搬来开始记数时,国王才发现:就是 把全印度甚至全世界的大米都拿来,也满足不了那位大臣 的要求.那么大臣要求得到的大米到底有多少呢？ 用计算器不难求得其总数是:18446744073709551615(粒) 28
华东师大版七上数学第二章有理数复习课课件
3、巧用分配律
（1）正用分配律：a（b+c）= a b+ac；
（2）反用分配律：a b + ac = a（b+c）；
（3）先拆开后，再运用分配律。
例如：
199918 19 (2000 1 )19 380001 37999
1、巧用加法的交换律和结合律 进行有理数的加法运算时，巧用加法的运 算律和结合律，应注意如下四点：
（1）把正负数分别结合相加；
（2）把互为相反数或相加得整数的数结合相加；
（3）把整数、分数、小数分别结合相加；
（4）把分母相同或分母有倍数关系的数结合相加。
2、巧用乘法的交换律和结合律 注意：（1）把互为倒数的因数结合相乘；
19
19
再见
3、①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（ ×） ②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（× ） ③ 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ×）
1、把下列数用数轴上的点表示出来。
1，
4 5
，8.9，-7，
5 6
，+10，0；
2、把以上数填在相应的大括号里。
正整数集合{ 1, +10, …}
负分数集合{ 正数集合{
例6 :
X-2 -3/2
3、①比－3大的负整数是_______；
②已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_________。
③有理数中，最大的负整数是__，最小的正整数 是__。最大的非正数是__。
④与原点的距离为三个单位的点有__个，他们分 别表示的有理数是__和__。
一、养成先确定符号的好习惯
第1章 有理数 单元复习课件 2024—2025学年华东师大版数学七年级上册
要点回顾
9.绝对值的定义及性质：
由绝对值的意义，我们可以知道:
1.一个正数的绝对值是它本身;
2.0的绝对值是0;
3.一个负数的绝对值是它的相反数.
要点回顾
10.比较两个负数大小的方法：
在数轴上，表示两个负数的两个点中，与原点距离较远的那个
点在左边，也就是绝对值大的点在左边.所以，两个负数,绝对值
前的“－”号，不能不写，如－8，若不写“－”号，则为8即为
＋8，意义截然不同.
3.对于有理数的分类，应注意两点:
(1)分类标准不同，分类结果也不相同；
(2)分类的结果应该不重不漏，即每一个有理数必须属于某一类，
且不能同时属于不同的两类.
注意事项
4.数轴是一条直线，可以向两端无限延伸．
5.0的相反数是0.
计算：
1
2
2
（1）－3 ＋（－2－5） －｜－
4
1
2
（2）－2 －（－1－0.5）×
3
解：（1）原式＝－9＋49－
（2）原式＝－4－（－
3
2
1
4
）×
｜×（－2）4；
×[2－（－4）2].
×16＝40－4＝36.
1
3
×（2－16）＝－4－7＝－11.
典例精讲
题型四：有理数的运算
1.同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加;
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负
号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
3.互为相反数的两个数相加得0;
4.一个数与0相加，仍得这个数 .
要点回顾
12.有理数的加法法则及运算步骤：
七年级数学上册 第2章 有理数 2.8有理数的加减混合运算习题课件 华东师大级上册数学课件
第十三页，共三十六页。
表格中破损部分是交通运输、仓储和邮政业企业法人单位营业总利润， 聪明的小亮根据表格中最后一列已知数据(shùjù)，通过简单的计算很 快就把破损部分的数据(shùjù)找到了，你知道他是怎样计算的吗？
第十四页，共三十六页。
【解题探究】1.交通运输、仓储(cāngchǔ)和邮政业包含了哪些具体行 业？ 提示：交通运输、仓储和邮政业包含：道路运输业、城市公共交通 业、铁路运输业、航空运输业、装卸搬运和其他运输服务业、仓储 业、邮政业.
是缺少铁路运输业的营业利润，该怎样计算？
提示：-12 204-［2 303+(-115)+(-8 375)+(-144)+(-504)+
(-5 368)］ =-12 204-(2 303-115-8 375-144-504-5 368)=-12 204-
(-12 203)=-1(万元).
第十八页，共三十六页。
前面的正负号
第五页，共三十六页。
(打“√”或“×”)
(1)(+3)-(-5)-(+9)+(-7)统一成加法运算为(+3)+(-5)+(+9)+
(-7).( ) × (2)(+3)+(-5)+(+9)+(-7)省略加号的和的形式(xíngshì)为3-5+9-7.( )
√
(3)3-5+9-7可以读作“3减5加9负7的和”.( )
第二十六页，共三十六页。
题组二：有理数的加减(jiā jiǎn)混合运算的应用
1.某天股票A的开盘价为18元，中午11：30时跌1.5元，下午收盘时又
华东师大版七年级数学上册2.5 有理数的大小比较教案
第2章有理数课题 2.5有理数的大小比较授课人教学目标知识技能掌握有理数大小的比较方法，会利用绝对值比较两个负数的大小.数学思考通过数轴来比较两个负数的大小，培养学生利用旧知识建立新知识的化归能力.问题解决培养并提高学生运用所学知识解决问题的能力，学会用数形结合方法解决问题.情感态度通过师生、生生合作学习，促进交流，激发学生对数学学习的兴趣.教学重点运用法则或借助数轴比较两个有理数的大小.教学难点利用绝对值比较两个负分数的大小.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.复习绝对值的几何意义和代数意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.2.复习有理数大小比较的方法：在数轴上，右边的数总比左边的数大；正数大于一切负数和0，负数小于一切正数和0，0大于一切负数而小于一切正数.通过回顾，为本节课的学习做好铺垫.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】(多媒体展示)某一天哈尔滨和北京的最低气温如下：哈尔滨－20 ℃北京－10 ℃图2－5－2活动一：你知道哪个气温低吗？把你从图中得到的气温表示在数轴上比较一下大小.活动二：分别求出图中气温值的绝对值，然后比较一下这两个绝对值的大小.通过上面的两个活动，两组值的大小关系有什么关系呢？除了用数轴比较两个负数的大小外，你还能得到什么方法吗？从常见的气温入手，激发学生的求知欲望，用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的需求.活动二：实践探究交流新知【探究】利用绝对值比较两个负数的大小1.发现、总结：(1)在数轴上，画出表示－2和－5的点，这两个数中哪个较大？再找几对类似的数试一下，从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗？(2)我们发现：两个负数，绝对值大的反而小.这样，比较两个负数的大小，只要比较它们的绝对值的大小就可以了.2.比较两个负数－34和－23的大小：(1) 先分别求出它们的绝对值：||－34＝34＝912，||－23＝23＝812.(2)比较绝对值的大小：∵912>812，∴34>23.(3)得出结论：－34＜－23.3.归纳：有理数大小比较的一般法则：(1)_正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.(2)_两个正数，应用已有的方法比较；(3)_两个负数，绝对值大的反而小.找准新旧知识的连接点，形成新知识，使学生顺利掌握新知识.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1比较下列各对数的大小：(1)－1与－0.01；(2)－||－2与0；(3)－0.3与－13；(4)－()－19与－||－110.说明：①严格要求学生规范书写格式，训练学生逻辑推理能力；②注意符号“∵”“∴”的写法、读法和用法；③对于两个负数的大小比较可以不必再借助于数轴而直接进行；④异分母分数比较大小时要通分将分母化为相同后再比较.例2用“＞”连接下列各数：2.6，－4.5，110，0，－223.对本节知识进行练习，培养学生分析问题、解决问题的能力．通过用绝对值或数轴对两个负数比较大小，让学生学会尝试从不同的角度思考解决问题的方法，并体会不同方法之间的差异，同时，也要注意思维定势的影响.【拓展提升】例3(1)有没有最大的有理数，有没有最小的有理数，为什么？(2)有没有绝对值最小的有理数？若有，请把它写出来.(3)大于－1.5且小于4.2的整数有________个，它们分别是________.(4)若a>0，b<0，a<|b|，则你能比较a，b，－a，－b这四个数的大小吗？学生自主解答，教师做好指导，并指出解答问题的易错点和方法．拓展提升，提高学生的应考能力.活动三：开放训练体现应用【达标测评】1. 比较下列各对数的大小：(1)－134与145；(2)－58与－0.618.2. 将有理数0，－3.14，－227，2.7，－4，0.14按从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来．3．绝对值不小于1且不大于4的非负数为__________．学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．利用典型的练习进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.活动四：课堂总结反思1.课堂总结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说．2．布置作业：教材P27练习注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.【知识网络】提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]这节课主要是通过老师的引导让学生自己发现知识、提高能力．我主要引导学生亲自经历知识的产生和归纳总结过程，突出学生的主体地位，如学生四动参与教学活动：动手排列数、动眼观察数的特点、动脑总结归纳比较两个负数的法则、亲自经历问题的发生、发展和解决过程，在解决问题的过程中完成教学目标．②[讲授效果反思]__________________________________________________________________________________________________③[师生互动反思]本节课体现了老师与学生的交流，通过讲练结合的形式，让学生主动快乐地学习．在教学过程中始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现理论，实现师生互动．④[习题反思]反思，更进一步提升．好题题号________________________________________ 错题题号________________________________________。
华东师大版七年级数学上 2.5 有理数的大小比较 (18PPt)
教学目标
1、使学生进一步掌握绝对值概念； 2、使学生掌握利用绝对值比较两个负数的大小； 3
教学重点、难点
负数大小比较
一、温故知新、引入课题 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该 数的绝对值.
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记做 a 。
例如，+2的绝对值是2，记作|+2| = 2； -3的绝对值是3 ,记作|- 3| = 3.
—5°C与0°C 哪个高？
0 >负数
下面是我国5个城市在某一天的最低气温：
比较这一天下列两个城市最低气温的高低（填“高于” 或“低于”）：广州 高于 上 海
正数 > 0>负数
例. 比较下列每组数的大小 （1） -1和 – 5； （2）- 和- 2.7
利用数轴比较两个负数的大小 解:（1）
∵ - 5在 –1左边, ∴ - 5﹤ - 1
(2)－2.8＜ 0
(3)－1.95 ＜ －1例2.比较下列各数的大小
解： （1）这是两个负数比较大小，因为
︱-1 ︱=1， ︱-0.01 ︱=0.01，且1＞0.01 所以 -1＜-0.01 （2）化简-︱-2︱=-2 ，因为负数小于0，所以-︱-2︱＜ 0 （3）分别化简两数，得
3. 下面是我国5个城市在某一天的最低气温：
比较下列两个城市最低气温的高低（填“高于”或“低 于”）：广州 高于 上海 ，上海 高于 北京 ， 北京 高于 哈尔滨 ，哈尔滨 低于 武汉，武汉 低于 广州
小结与回顾
这节课的收获是……
有理数大小的两种方法—— （1）利用数轴比较大小； （2）利用绝对值比较大小； 比较两个有理数的大小，实际上是由符号与绝对值
(2)
七年级数学上册第2章有理数2.8有理数的加减混合运算课件新版华东师大版
知识点 有理数的加减运算统一成加法
1. 将－3＋(－5)－(－9)＋(－6)写成省略括号的
和的形式为( C )
A．－3－5＋9＋6
B．－3＋5－9－6
C．－3－5＋9－6
D．－3＋5－9＋6
2. 对式子－5 －2＋3 ＋2－1 的读法正确的是 (D)
A．减 5 减 2 加 3 加 2 减－1 B．负 5 减 2 加 3 加 2 减 1 的和 C．负 5 负 2、3、2、负 1 D．负 5 减 2 加 3 加 2 减 1 3. 把(－3)－(＋5)＋(－4)－(－10)改写成只含有 加法的形式是_____(－__3_)_＋__(_－__5_)＋___(_－__4_)_＋__1_0_____．
第2章 有理数 2．8 有理数的加减混合运算
1. 含 有 加 减 法 的 混 合 运 算 的 式 子 可 以 写 成 _代 ___数__和__的形式．
2. 在进行加减法的混合运算时，如果有括号的应 _先 ___算__括__号__里__的__，如没有括号的则应_从__左__到__右___依次 计算，也可以按照__加__法__运__算__律__来简化运算．
ห้องสมุดไป่ตู้
解：每个小正方体的六个面之和为－1＋2＋3－4 ＋5－6＝－1，六个正方体所有面之和为－6，
所有能看见的面上之和为：－1＋2＋5＋5－6＋3 －6＋2＋3－4＋3＋2－1＝7.
所有看不见的面上数字和为：－6－7＝－13.
7. 一跳蚤在一直线从 0 点开始，第 1 次向右跳 1 个单位，紧接着第 2 次向左跳 2 个单位，第 3 次向右 跳 3 个单位，第 4 次向左跳 4 个单位，…，依此规律 跳下去，当它跳第 100 次落下时，落点处离 0 点的距 离是___5_0__个单位．
七年级数学上册 专题训练(四)有理数易混易错点课件华东师大级上册数学课件
于自身的有理数，则ad－(b＋c )2019的值为_____________．
2或0
第三页，共九页。
类型二：考虑不周致错
3．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是( )
C
A．负数 B．负数或零
C．正数或零 D．正数
4．已知|a|＝|5|，则a的值为(
)D
A．5 B．－5 C．0 D．±5
5．绝对值不大于3的整数(zhěngshù)有哪些？
Image
12/10/2021
第九页，共九页。
第八页，共九页。
内容(nèiróng)总结
No 第二章 有理数。2．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是倒数等于自
身的有理数，则ad－(b＋c )2019的值为_____________．。3．如果(rúguǒ)一个数的绝对值等于它本身，那么 这个数一定是( )。C．正数或零 D．正数。4．已知|a|＝|5|，则a的值为( )。解：0，±1，±2，±3。 千
解：0，±1，±2，±3
第四页，共九页。
类型三：进行有理数运算时顺序或符号出错 6．计算： (1)(－0.5)－(－314)＋2.75－(＋712)；
解：－2
(2)(－81)÷(＋314)×(－49)÷(－113)；
解：－11038
第五页，共九页。
(3)－18÷(－5)2×53＋|0.8－1|. 解：125
第六页，共九页。
类型四：运用有理数的运算律时漏乘、符号出错或乱用运算律 7．计算：
(1)－24×(172－56－1)；
解：30
(2)24÷(13－18－16)．
解：576
第七页，共九页。
类型五：对科学记数法、近似数的精确度理解不透彻导致错误(cuòwù)
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3．已知a，b是不为0的有理数，且|a|＝－a，|b|＝b，|a|>|b|，那么用 数轴上的点来表示a，b时，正确的是( ) C
4．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号连接各数． 1 1 32，－4，－22，0，－1，1.
解：如图所示：
根据数轴上右边的数总比左边的数大可得： 1 1 32＞1＞0＞－1＞－22＞－4.
15．在有理数中，最小的正整数是____，最大的负整数是____， 1 －1 最小的非负整数是____． 0
16．(导学号 40324025)有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，
请用“＞”号知，b<c<0<a，|a|<|c|<|b|，所以－b>－c>a>－a>c>b.
C 8．比较－2.4，－0.5，－(－2)，－3的大小，下列正确的是( A．－3＞－2.4＞－(－2)＞－0.5 B．－(－2)＞－3＞－2.4＞－0.5 )
C．－(－2)＞－0.5＞－2.4＞－3
D．－3＞－(－2)＞－2.4＞－0.5
9．2 017年1月1日零点，北京、上海、重庆、银川的气温分别是－4 ℃，5 D ℃，6 ℃，－8 ℃，当时这四个城市中，气温最低的是( ) A．北京 B．上海 C．重庆 D．银川
17．在数－5，1，－3，5，－2中，其中最大的数是a，绝对值最小的数是b.
(1)求a，b的值；
解：因为5＞1＞－2＞－3＞－5，所以最大的数是5，即a＝5. 因为|－5|＝5，|1|＝1，|－3|＝3，|5|＝5，|－2|＝2，5＞3＞2＞1，
所以绝对值最小的数是1，即b＝1.
(2)若|x＋a|＋|y－b|＝0，求x，y的值． 解：因为|x＋a|＋|y－b|＝0，即|x＋5|＋|y－1|＝0，
1 5．(2016·日照)以下选项中比|－2|小的数是( D ) A．1 B．2 1 1 C.2 D．－2 6．在－2 015，－2 016，－2 017，－2 018 四个数中，最小的数是( A．－2 015 B．－2 016 C．－2 017 D．－2 018 )
D
7．下列有理数大小关系判断正确的是( B ) A．0＞|－10| C．|－3|＜|＋3| 1 1 B．－(－9)＞－|－10| D．－1＞－0.01
绝对值小于8而大于5的所有整数有：
6，－6，7，－7
．
A 12．大于－3的负整数的个数是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
13．绝对值大于其相反数的数一定是( B ) A．负数 B．正数
C．非负数 D．非正数
14．(导学号 D 40324024)已知 a＜0，b＞0且 |a|＞ |b|，则a、b、－a、－b 的大小关系是( ) A．b＞－a＞a＞－b B．－b＞a＞－a＞b C．a＞－b＞－a＞b D．－a＞b＞－b＞a
10．比较下列各组数的大小： 5 3 (1)－4与－2； (2)－|－2|与 0； 5 3 (2) 解：(1)－4>－2 . －|－2|＜0. 1 (3)－0.3 与－3； 1 解：(3)－0.3＞－3. 1 1 (4)－(－9)与－|－10|. 1 1 (4)－(－9)＞－|－10|.
0，1，－1，2，－2 11．写出绝对值小于3的所有整数有： ．
所以|x＋5|＝0，|y－1|＝0，所以x＝－5，y＝1.
18．(导学号 40324026)有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从 图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点 C处，蚂蚁乙从图中点 B 的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中描出点C、D的位置； (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“＜”号 把点A、B、C、D、E所表示的数连接起来．
七年级上册数学（华师版）
第2章
有理数
2．5 有理数的大小比较
1． D 已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图，则下列关系正确的
是(
)
A．a>b>c>0 B．b>c>0>a C．b>0>c>a D．b>0>a>c
2．如图，点A是数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表
示正确的是( A A．a<1<－a B．a<－a<1 C．1<－a<a D．－a<a<1 )
解：(1)由题意，得C点表示的数为0，D点表示的数为－3，在数轴上描出点 C、D的位置，如图：
(2)0和－3的中点是－1.5，在数轴上描出点E的位置，如图：
把点A、B、C、D、E所表示的数连接起来为－4＜－3＜－1.5＜0＜5.
19．(导学号 40324027)已知a＝2 014×1 001，b＝2 015×1 000， c＝2 016×999，比较a，b，c的大小． 解：因为a＝2 014×1 001＝(2 015－1)×(1 000＋1)＝2 015×1 000＋2 015－1 000－1＝2 015×1 000＋1 014，b＝2 015×1 000，c＝2 016×999＝ (2 015＋1)×(1 000－1)＝2 015×1 000－2 015＋1 000－1＝2 015×1 000－ 1 016，所以c＜b＜a.