数学人教B版选修1-1学案3.3.3 导数的实际应用 Word版含解析
2019-2020年人教B版数学选修1-1讲义：第3章+3.3+3.3.3 导数的实际应用及答案
3.3.3 导数的实际应用生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对B [设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [定义域为(0，＋∞)，令y ′＝－x 2＋81＝－(x ＋9)(x －9)＝0得x ＝9或x ＝－9(舍)， 当x ∈(0,9)时，f′(x )＞0；当x ∈(9，＋∞)时，f′(x )＜0. ∴x ＝9为函数的极大值点也是最大值点， ∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x ，则长为2x ，高为722x 2＝36x 2(0＜x ＜6)，∴S 表面积＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54x ，令S ′＝8(x 3－27)x 2＝0得x ＝3，当x ∈(0,3)时，S ′＜0；当x ∈(3,6)时，S ′＞0， ∴x ＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时可使表面积最小．]小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k →每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论 [解] 设速度为每小时v 千米的燃料费为每小时p 元，由题意得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，当v ＝10，p ＝6，解得k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.设当速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行1千米所需时间为1v 小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v ， q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单元：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)设隔热层厚度为x m，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5.再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而建造费用为C1(x)＝6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－2 400(3x＋5)2，令f′(x)＝0，即 2 400(3x＋5)2＝6.解得x＝5或x＝－253(舍去)．当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.学习的一种趋势．假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m 的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x －2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解] (1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以f′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103时，f′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6时，f′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11， 所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而f′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 于是，当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？ [提示]【例3】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． [思路探究] 建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值． [解] (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r 2－43r ＞0⇒r ＜243，所以定义域为(0,243)． (2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′＞0得2＜r ＜243； 令y ′＜0得0＜r ＜2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值． [解] 因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，故该容器的表面积y ＝128π3r －8πr 23＋4πr 2＝128π3r ＋4πr 23，则y ′＝－128π3r 2＋8πr 3＝8π(r 3－16)3r 2， 令y ′＝0，解得r ＝316，易知当r ＝316时，表面积取得最小值， y min ＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解] 因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′＞0得2＜r ＜243； 令y ′＜0得0＜r ＜2，故当r ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，函数单调递减，故当r ＝32时，y min ＝310π3.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( ) (2)解决应用问题的关键是建立数学模型．( )(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( )A ．33cm B ．1033 cm C ．1633 cmD ．2033 cm D [设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2(0＜h ＜20)，∴体积V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)， 令V ′＝π3(400－3h 2)＝0得h ＝2033， 当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′＜0， ∴h ＝2033为函数的极大值点，即最大值点， 即高为2033cm 时，漏斗体积最大．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设底面半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r 2(0＜h ＜33)， ∴表面积S ＝πr 2＋2πrh ＝πr 2＋54πr ， 令S ′＝2πr 3－27r2＝0得r ＝3.当r ∈(0,3)时，S ′＜0；当r ∈(3,33)时，S ′＞0， ∴r ＝3为函数的极小值点，即最小值点， 即圆柱的底面半径为3时，用料最省．]4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．]5．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？[解] 设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x 2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．。
人教B版选修1-1高中数学3.3.3《导数的实际应用》ppt课件
的能力.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.3.3
填一填 研一研 练一练
1.在经济生活中，人们常常遇到最优化问题.例如，为使经营
利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、
本 专
消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些
题 栏
都是 最优化问题 .
目 开
2.利用导数解决最优化问题的实质是 求函数最值 .
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3.3
填一填 研一研 练一练
1.方底无盖水箱的容积为 256，则最省材料时，它的高为
本
A.4
B.6
C.4.5
D.8
专
题 栏
解析 设底面边长为 x，高为 h，
目 开 关
则 V(x)＝x2·h＝256， ∴h＝2x526，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·2x526＝x2＋4×x256， ∴S′(x)＝2x－4×x22 56.
专
题 答 当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得
栏
目 的利润最大.
开 关
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3
探究点三 费用(用材)最省问题
例 3 已知 A、B 两地相距 200 km，一只船从 A 地逆水行驶
到 B 地 ， 水 速 为 8 km/h， 船 在 静 水 中 的 速 度 为 v
则|PQ|＝2＋y，|PN|＝4－y2.
∴矩形游乐园的面积为 S＝|PQ|×|PN|＝(2＋y)(4－y2)
＝8－y3－2y2＋4y.
3.3.3
填一填 研一研 练一练
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3.3
数学人教B版选修1-1学案3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析
数学人教选修第三章导数的几何意义．了解导数概念的实际背景．．知道瞬时变化率就是导数．．通过函数图象直观地理解导数的几何意义．．瞬时变化率设函数＝()在附近有定义，当自变量在＝附近改变Δ时，函数值相应地改变Δ＝(＋Δ)－()，如果当Δ时，平均变化率趋近于一个，则常数称为函数()在的瞬时变化率．用趋近于符号“→”记作当Δ→时，→.这时，还可以说，当Δ→时，函数平均变化率的极限等于函数在的．记作“＝”．()运动的瞬时速度就是路程函数＝()的瞬时变化率．()运动的瞬时加速度就是速度函数＝()的瞬时变化率．【做一做－】函数()＝在＝处的瞬时变化率为．【做一做－】一质点作直线运动，其位移与时间的关系是＝－，则质点的初速度为．．某点处的导数函数在的瞬时变化率，通常就定义为()在＝处的导数，并记作′()或′＝.于是可写作＝′()．【做一做】函数()＝在＝处的导数为．．导函数如果()在开区间(，)内每一点处导数都存在，则称()在区间(，)内可导．这样，对开区间(，)内，都对应一个确定的导数′()，于是在区间(，)内′()构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数＝()的．记为′()(或′、′)．导函数通常简称为导数．如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．函数()在处可导，是指当Δ趋近于时，趋近于某个常数(极限存在)，如果不趋近于某个常数(极限不存在)，就说函数在点处不可导，也说无导数．【做一做】函数()＝的导函数(导数)为．．导数的几何意义函数＝()在点处的导数的几何意义是曲线＝()在点(，())处的．也就是说，曲线＝()在点(，())处的切线的斜率为′()，相应的切线方程为－＝′()(－)．如果函数在处的导数不存在，则说明斜率不存在，此时切线方程为＝.【做一做】函数＝在点()处的切线的斜率为．．如何求函数＝()在点处的导数？剖析：()求函数的改变量Δ；()求平均变化率；()取极限得导数′()＝.．“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系？剖析：()函数在一点处的导数′()是一个常数，不是变量．()函数的导数是针对某一区间内任意点而言的．函数()在区间(，)内每一点都可导，是指对于区间(，)内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数′()．根据函数的定义，在开区间(，)内就构成了一个新的函数，就是函数()的导函数′()．()函数＝()在点处的导数′()就是导函数′()在点＝处的函数值，即′()＝′()＝.．“Δ→”的意义．剖析：Δ与的距离要多近有多近，即Δ－可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δ≠.题型一导数的定义【例】已知函数＝()在点处可导，试求下列各极限的值．()；().分析：利用函数＝()在点处可导的条件，可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题．导数定义中增量Δ的形式是多种多样的，但不论Δ选择哪种形式，Δ也应与之相对应．反思：解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决．题型二求导数【例】已知函数＝，求′，′＝.分析：按求导数的步骤求解即可，但要注意变形的技巧．反思：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，在点处的导数是函数的导数在＝处的函数值．分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧，要认真体会．题型三利用导数求曲线的切线方程【例】求曲线＝在点处的切线的斜率，并写出切线方程．分析：利用导数的几何意义求斜率，然后用点斜式写出直线方程．反思：()求函数在某点处的切线方程的一般步骤：①求出函数＝()在点处的导数′()；②根据点斜式得切线方程－＝′()(－)．注意(，)为曲线上的点并且是切点．()函数()在点处有导数，则在该点处函数()的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；反之不成立．例如()＝在点＝处有切线，但它不可导．题型四易错题型【例】试求过点()且与曲线＝相切的直线的方程．错解：∵函数＝的导数为′＝，∴′＝＝×＝.∴切线方程为－＝(－)，即＝－.错因分析：没有注意到点不在曲线上，点不是切点，本题把点当成了切点，从而导致错误．反思：求曲线上在点处的切线与过点的切线有区别，在点处的切线，点必为切点；求过点的切线，点未必是切点，点也不一定在已知曲线上．应注意概念区别，其求解方法上也有所不同，要认真体会．若点在曲线上，要分点是切点和不是切点两种情况解决．。
数学人教B版选修1-1学案：课堂导学 3-3-3 导数的实际
课堂导学三点剖析 一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？解：每月生产x 吨时的利润为 f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x ) =-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为 f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000. 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x 件产品的成本为 c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=xx x y x x x x x x y 令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x . 令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值. 由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s inΦ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cosΦ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则 S =21(a +a +2a cosΦ)·h =21(2a +2a cosΦ)·as inΦ=a 2(1+cosΦ)·s inΦ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a 2(2cosΦ-1)(cosΦ+1). 令S ′=0,得cosΦ=21或cosΦ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos 3π)s in 3π=433a 2.各个击破 类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720, ∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v v v∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值. 解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x 即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］ 相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+ 在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在x =80处，函数V (x )取得极大值，并且这个极大值就是函数V (x )的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3.答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ， 则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100), y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022aa a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+--=0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率 K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。
数学人教B版选修1-1课后导练 3-3-3 导数的实际应用 含
课后导练基础达标1.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12解析：设截去的小正方形的边长为x cm ，铁盒的容积为V cm 3，由题意，得V =x (48-2x )2(0<x <24),V ′=12(24-x )(8-x ).令V ′=0，则在(0,24)内有x =8，故当x =8时，V 有最大值.答案：B2.在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( ) A.2r B.r 23 C.33r D.r解析：设梯形的上底长为2x ，高为h ，面积为S ，因为h =,22x r -.))(2()(.·)(22222222222222222x r x r x r x r x rx r xr x r x x r S x r x r x r x r S -+-=---=-+--='∴-+=-+=∴ 令S ′=0，得x =2r ,h =23r . 当x ∈(0,2r)时，S ′>0； 当2r<x <r 时，S ′<0. ∴当x =2r时，S 取极大值.当梯形的上底长为r 时，它的面积最大.答案：A3.设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3VB.32VC.34VD.32V解析：设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V =21x 2·sin60°·l ， ∴l =234x V .∴S 表=2S 底+3S 侧=x 2·sin60°+3·x ·l =23x 2+xV34. ∴V ′=2343xVx -=0.∴x 3=4V ，即x =34V .又当x ∈(0,34V )时y ′<0，x ∈(34V ,V )时，y ′>0，∴当x =34V 时，表面积最小.答案：C4.以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A.10 B.15 C.25 D.50 解析：如图，设∠NOB =θ，则矩形面积S =5sin θ×2×5cos θ=50sin θ·cos θ=25sin2θ，故S max =25.答案：C5.函数f (x )=x 3-3x (|x |<1)( ) A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，也无最小值 D.无最大值，但有最小值 答案：C6.某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为x 米，则长为x512米.因此新墙总长度L=2x +x512(x >0), 则L′=2-2512x . 令L′=0，得x =±16.∵x >0,∴x =16. 当x =16时，L 极小值=L min =64， ∴堆料场的长为16512=32米. 答案：32米和16米.7.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在［0,3］上的最大值、最小值分别是________. 答案：5，-15 8.函数y =s in2x -x ,x ∈［-2π,2π］的最大值是________，最小值是________. 答案：2π,-2π 9.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解析：设弯成圆的一段长为x ，另一段长为100-x ，设正方形与圆的面积之和为S ，则S =π(π2x )2+(4100x )2(0<x <100),所以S ′=81π2-x (100-x ), 令S ′=0，得x =4ππ100+≈44 cm.由于在(0,100)内函数只有一个导数为0的点，故当x =4ππ100+时S 最小，此时S =.4π5002+ 所以截成圆的一段铁丝长为4ππ100+时，可使正方形与圆的面积之和最小，最小值为.4π5002+ 10.货车欲以x km /h 的速度行驶，去130 km 远的某地.按交通法规，限制x 的允许范围是40≤x ≤100.假设汽油的价格为5元/升，而汽车耗油的速率是(2+3602x )升/小时.司机的工资是14元/小时，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？解析：汽车运行的时间为x 130小时，耗油量为)2602(1302x x +升，耗油费用为2·)3602(·1302x x +元，司机的工资为14×x 130元.故这次行车的总费用为y =5×).2472(13013014)3602(1302xx x x x +=⨯++⨯ ∴y ′=130).24721(2x - 由y ′=0，得40≤x ≤100内的唯一解为x =243≈42 km/h. ∴最经济的车速为42 km /h ，最低费用为130×32≈150(元).综合运用11.如图，一艘渔船停泊在距岸9 km 的A 处，今需派人送信给距渔船334 km 处的海岸渔站C ，若送信人步行速度为每小时5 km ，船速为每小时4 km ，问在何处上岸，可以使抵站的时间最省？［参考导数公式()(x f )′=)(21x f ·f ′(x )］解析：设上岸点为D ，BD =x ,BC =15,AD =281x +,所用时间t (x )=,5154812xx -++∴t ′(x )=.05181·412=-+x x 解得x =12.∴15-x =15-12=3 km.∴上岸点在距渔站3 km 处.12.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，其容积最大.解析：设被切去的全等四边形的一边长为x ，如图，则正六棱柱的底面边长为1-2x ,高为3x ,∴正六棱柱的体积V =6×43(1-2x )2×3x (0<x <21),化简得V =29（4x 3-4x 2+x ).又V ′=29（12x 2-8x +1),由V ′=0，得x =21或x =61.∵当x ∈(0, 61)时，V ′>0,V 是增函数；当x ∈(61,21）时V ′<0，V 是减函数.∴当x =61时，V 有最大值，此时正六棱柱的底面边长为32.13.甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x =2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格)，(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y =0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解：（1）由题意，得ω=2 000t -st =-s ss t 6310)10(+-(t >0).∴当26310,10s t s t ==即吨时，ω取得最大值为s 610元.∴乙方获得最大利润的年产量为t =2610s吨.（2）设乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为v元，则t =2610s 吨，v =st -0.002t 2=,10210496s s ⨯- v ′=.)0008(000100018102225326s s s s -⨯=⨯+-令v ′=0,得s =20.当s >20时，v ′<0,所以v 在 (20,+∞)上单调递减；当s <20时，v ′>0,所以v 在（0，20）上单调递增.所以s =20时，v 取得极大值，也就是最大值.所以在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是20元.拓展探究14.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.①当每辆车的月租定为3 600元时，能租出多少辆车？②每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为多少？ 解：（1）当每辆车的月租金为3 600元时，未出租的车辆数为125000036003=-所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益f (x )=000211625050500003)150)(500003100(2-+-=⨯-----x x x x x f ′(x )=-25x+162 由f ′(x )=0得 ∴当x =4 050时，f (x )最大，最大值为f (4 050)=307 050.。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：第三单元 3-3-3
3．3.3导数的实际应用学习目标 1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．类型一几何中的最值问题命题角度1平面几何中的最值问题例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．(1)将S表示为θ的函数；(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．命题角度2立体几何中的最值问题例2请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)命题角度2 费用(用料)最省问题例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件D ．7万件2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间的关系可近似地用函数表示为y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时3．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 34．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．答案精析知识梳理 知识点 1．优化问题 3．数学建模 题型探究例1 解 (1)BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3，当θ变化时，S ′，S 的变化情况如下表：所以当θ＝π3时，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.跟踪训练1 解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2. ∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2) ＝16x －12x 2＋2x 3，y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数单调递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数单调递减，∴当x ＝2－233时，矩形的面积有最大值为329 3.例2 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm ，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×(x ＋30－x 2)2＝1 800，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积为V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 2 cm ，高为10 2 cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 跟踪训练24 00027π 解析 设矩形的长为x cm ， 则宽为(10－x )cm (0<x <10)． 由题意可知，圆柱体积为 V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3. ∴V ′＝20πx －3πx 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.例3 解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得x＝4所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．跟踪训练3解(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当0<x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0，∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．例4解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，又C(0)＝8，所以k＝40，因此C(x)＝403x＋5.而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0， 故x ＝5为f (x )的极小值点也为最小值点， 对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 跟踪训练4 解 (1)依题意得y ＝500x (960＋0.6x 2)＝480 000x ＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x ＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x 2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x ＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．答 为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． 当堂训练1．C [∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )·(9＋x )， 令y ′＝0，解得x ＝9，又当x ∈(0,9)时， y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，∴当x ＝9时函数取最大值，故选C.] 2．C [因为y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t 2＋4t －96)＝－38(t ＋12)(t －8)，当t ∈(6,8)时，y ′>0，当t ∈(8,9)时， y ′<0，故当t ＝8时，y 取极大值也为最大值．] 3．B [设长方体的宽为x (m)， 则长为2x (m)，高为h ＝18－12x4＝92－3x (m)(0<x <32)， 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(92－3x )＝9x 2－6x 3(0<x <32)，从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )， 令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)． 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值， 从而最大体积为V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．] 4．160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x )，即y ＝20x ＋80x＋80，则y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2. 若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有 f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2) ＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6. 所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]． (2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．。
数学人教B版选修1-1课后导练 3.3.3 导数的实际应用 Word版含解析
课后导练基础达标.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边形折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()解析：设截去的小正方形的边长为，铁盒的容积为，由题意，得()(<<)′()().令′，则在()内有，故当时，有最大值.答案：.在半径为的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，当梯形面积最大时，梯形的上底长为( )解析：设梯形的上底长为，高为，面积为，因为令′，得.当∈(,)时，′>；当<<时，′<.∴当时，取极大值.当梯形的上底长为时，它的面积最大.答案：.设底为正三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为( ).解析：设底面边长为，侧棱长为，则·°·，∴.∴表底侧·°··.∴′.∴，即.又当∈(,)时′<，∈()时，′>，∴当时，表面积最小.答案：.以长为的线段为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )解析：如图，设∠θ，则矩形面积θ××θθ·θθ，故.答案：.函数()(<)( ).有最大值，但无最小值.有最大值，也有最小值.无最大值，也无最小值.无最大值，但有最小值答案：.某工厂需要围建一个面积为平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁.当新壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为.解析：要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如右图所示，设场地宽为米，则长为米.因此新墙总长度(>),则′.令′，得±.∵>,∴.当时，极小值，∴堆料场的长为米.答案：米和米..函数在［］上的最大值、最小值分别是.答案：，.函数∈［,］的最大值是，最小值是.答案：.将一段长为的铁丝截成两段，一段弯成圆，一段弯成正方形.问如何截能使正方形与圆面积之和最小，并求出最小面积.解析：设弯成圆的一段长为，另一段长为，设正方形与圆的面积之和为，则π()(。
人教B版高中数学选修1-1导学案第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性课堂导学案 W
利用导数判断函数的单调性课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例】求下列函数的单调区间.();().思路分析：求出导数′,分别令′>或′<,解出的取值范围，便可得出单调区间.解：()′,令′>,即>，解得<<或>,所以单调增区间为()和(∞).令′<,解得<或<<,因此单调减区间为(∞)和(，).()′,令′>，即>，解得<<或>;令′<,即<，解得<或<<.∵定义域为>,∴单调增区间为(，∞)，单调减区间为(，).温馨提示在求单调区间时，一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例】若函数()()在区间(，)内为减函数，在区间(，∞)上为增函数，试求实数的取值范围.解析：函数()的导数′().令′(),解得或.当≤,即≤时，函数()在(，∞)上为增函数，不合题意.当>,即>时，函数()在(∞，)上为增函数，在(，)内为减函数，在(∞)上为增函数.依题意应有当∈()时，′()<;当∈(∞)时，′()>.所以≤≤,解得≤≤.所以的取值范围是［］.温馨提示本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.三、运用导数证明不等式【例】当∈(,)时，证明>.思路分析：首先构造函数(),然后判断()在(，)上的单调性.证明：设()∈(,).∴′()(∴()在(,)上为增函数.又∵()在处可导且(),∴当∈(,)时，()>()恒成立，即>，∴>.温馨提示对于的导数，没有导数公式可用，可先变换成、的导数，然后根据运算法则求导.各个击破类题演练证明函数()在［∞)上是增函数.证明：′()()′()′(),∵当∈［∞)时，≥,∴′()≥.∴()在［∞)上为增函数.变式提升设()恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求其单调区间.解：′().若>′()>对∈(∞∞)恒成立，此时()只有一个单调区间，与已知矛盾，若′()>,∴∈(∞∞)，()也只有一个单调区间，与已知矛盾，若<,∵′()，此时()恰有三个单调区间；。
2016-2017学年高中数学人教B版选修1-1学业测评：3-3-3 导数的实际应用 含解析
学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ）A．6 m B．8 mC．4 m D．2 m【解析】设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·错误!＋x2＝错误!＋x2.S′＝2x－错误!，令S′＝0得x＝8,因此h＝错误!＝4（m）．【答案】C2．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为（）A．2 m3B．3 m3C．4 m3D．5 m3【解析】设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝错误!＝（4。
5－3x ）错误!,故长方体的体积为V （x )＝2x 2(4。
5－3x ）＝9x 2－6x 3错误!,从而V ′（x ）＝18x －18x 2＝18x (1－x ），令V ′（x )＝0,解得x＝1或x ＝0(舍去），当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜32时，V ′(x )＜0，故在x ＝1处V （x ）取得极大值,并且这个极大值就是V （x )的最大值，从而最大体积为V （1）＝9×12－6×13＝3（m 3）．【答案】 B3．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁,若使砌墙壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为（单位：米）（ ) 【导学号：25650137】A ．32,16B ．30,15C ．40,20D ．36,18【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短． 设场地宽为x 米,则长为错误!米，因此新墙总长L ＝2x ＋512x (x ＞0），则L ′＝2－错误!。
令L ′＝0，得x ＝16或x ＝－16（舍去）．此时长为51216＝32（米）,可使L 最小． 【答案】 A4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元,销售量为Q 件,且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为（毛利润＝销售收入－进货支出）（ )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元【解析】 毛利润为(P －20)Q ，即f （P )＝（P －20）（8 300－170P －P 2），f ′（P ）＝－3P 2－300P ＋11 700＝－3(P ＋130）（P －30）．令f ′(P ）＝0，得P ＝30或P ＝－130（舍去)．又P ∈[20，＋∞)，故f （P )max ＝f （P ）极大值，故当P ＝30时,毛利润最大,∴f (P ）max ＝f （30）＝23 000（元）．【答案】 D5．三棱锥O 。
2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修1_1
3．3.3 导数的实际应用1.了解导数应用的广泛性．2.理解利用导数解决优化问题的步骤．3.会用导数解决某些实际问题．[学生用书P63]1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．用导数解决优化问题的基本思路是1．电动自行车的耗电量y 与速度x 有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为( )A ．30B ．35C ．40D ．45解析：选C.y ′＝x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或－1(舍)，所以最佳速度为40. 2．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为______dm 时最省料． 解析：设底面边长为x ，则高为h ＝256x2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，则x ＝8， 则高h ＝25664＝4 (dm)．答案：4面积、体(容)积有关的最值[学生用书P63]如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？【解】 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，y －252cm ，其中x ＞20，y ＞25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ， S ′(x )＝18 000[（x －20）－x ]（x －20）2＋25＝－360 000（x －20）2＋25.令S ′(x )＞0得x ＞140，令S ′(x )＜0得20＜x ＜140. 所以函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减， 所以S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S (x )取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[注意] (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 的中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN ，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．解：以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系， 则D (4，2)．设抛物线方程为y 2＝2px . 因为点D 在抛物线上， 所以22＝8p ， 解得p ＝12.所以抛物线方程为y 2＝x (0≤x ≤4)．设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点，则|PQ |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. 所以矩形游乐园的面积为S ＝|PQ |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y .S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0，得3y 2＋4y －4＝0， 解得y ＝23或y ＝－2(舍去)．当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23时，S ′＞0，函数S 为增函数； 当y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，S ′＜0，函数S 为减函数． 所以当y ＝23时，S 有最大值，得|PQ |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝329.所以游乐园最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)，即游乐园的两邻边分别为83 km ，329 km 时面积最大，最大面积为25627km 2.用料(费用)最省问题[学生用书P64]某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000平方米，该中心每块球场的建设面积为1 000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？【解】 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041 000x ＝1 280x元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15ln x 来表示， 所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1 280x ＝800＋160ln x ＋1 280x(x >0)，所以g ′(x )＝160（x －8）x2(x >0)， 令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时，g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．已知A ，B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8＜v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k ＞0)， 则y 1＝kv 2，当v ＝12时，y 1＝720， 所以720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y 元，由题意得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，所以y ′＝2 000v （v －8）－1 000v2（v －8）2＝1 000v 2－16 000v （v －8）2.令y ′＝0，得v ＝16， 所以当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)；当v 0＜16，即v ∈(8，v 0]时，y ′＜0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， 所以当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，为32 000元； 当v 0＜16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．利润最大(成本最低)问题[学生用书P65]某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3 700x＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5 000(单位：万元)．求：(1)利润函数P (x )(提示：利润＝产值－成本)的解析式； (2)年造船量为多少艘时，可使造船公司的年利润最大？ 【解】 (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000(x ∈N 且x ∈[1，20])． (2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x ＋9)(x －12)(x ∈N 且x ∈[1，20])， 当1＜x ＜12时，P ′(x )＞0，P (x )单调递增；当12＜x ＜20时，P ′(x )＜0，P (x )单调递减；所以x ＝12时，P (x )取最大值，即年造船量为12艘时，造船公司的年利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数．某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值．已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60－x)x2万元，并且技改投入比率x60－x∈(0，5]．(1)求技改投入x的取值范围；(2)当技改投入为多少万元时，所获得的产品的增加值最大，其最大值为多少万元？解：(1)由题意，x60－x∈(0，5]，x＞0，所以0＜x≤50，所以技改投入x的取值范围是(0，50]．(2)设f(x)＝(60－x)x2，x∈(0，50]，则f′(x)＝－3x(x－40)，0＜x＜40时，f′(x)＞0；40＜x≤50时，f′(x)＜0，所以x＝40时，函数取得极大值，也是最大值，即最大值为32 000万元．解应用题的思路和方法解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案．1．应用题主要考查阅读理解能力，通过审题获取有用的信息，再进行分析、抽象、转化，建立数学模型，进而解决问题．故审题不仔细，题意理解不透彻是解答这类题目出错的主要原因．2．应用题的运算求解错误也是常见的，尤其对实际问题中自变量的取值范围，函数表达式的实际意义考虑不全面，很易丢分．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8解析：选C.原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)；生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，则应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A.设利润为y (万元)，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，所以y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x ·(x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.3．把长60 cm 的铁丝围成矩形，当长为________cm ，宽为________cm 时，矩形面积最大．解析：设长为x cm ，则宽为(30－x ) cm ， 所以面积S ＝x (30－x )＝－x 2＋30x . 由S ′＝－2x ＋30＝0，得x ＝15. 答案：15 15[学生用书P115(单独成册)][A 基础达标]1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的距离为s ＝43t 3－2t 2，那么速度为0的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．2秒末D ．0秒或1秒末解析：选D.由题意可得t ≥0，s ′＝4t 2－4t ，令s ′＝0，解得t 1＝0，t 2＝1.2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对解析：选B.设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x ＋24x 2且0≤x ≤8，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x ＜4时，y ′＜0；当4＜x ≤8时，y ′＞0，所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.3．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：选D.由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000(0≤x ≤390)．P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300. 当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．故选D.4．三棱锥O ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43D.83解析：选C.V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2（3－x ）3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )．令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． 所以x ＝2时，V 最大为43.5．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每1 m 2的造价为15元，箱壁每1 m 2的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：选D.设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意得箱底面积为483＝16(m 2)，箱底另一边的长度为16xm ，则l ＝16×15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3x ＋2×3×16x ×12＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2. 令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________ cm. 解析：设该漏斗的高为x cm ，则其底面半径为202－x 2 cm ，体积V ＝13π(202－x 2)x ＝13π(400x －x 3)(0＜x ＜20)，则V ′＝13π(400－3x 2)．令V ′＝0，解得x ＝2033或x ＝－2033(舍去)．当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x ＝2033时，V取得极大值，也是最大值．答案：20337．有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x ＝________．解析：可列出V ＝(6－2x )(4－2x )·x ，求导求出容积最大时x 的值为5－73.答案：5－738．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a 元，产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2.由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0，25)时，y ′>0；当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以x ＝25时，y 取最大值． 答案：259．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 两点在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′>0；当x ∈(20，30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.所以当x ＝20 cm 时，包装盒的容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值为12.10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售 a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价格提高的百分率为x (0<x <1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y (元)．(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x )，月平均销售量为a (1－x 2)件，则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)，所以y 关于x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)．(2)由y ′＝5a (4－2x －12x 2)＝0，得 x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0，所以函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0<x <1)在x ＝12处取得最大值． 故改进工艺后，产品的销售价为 20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．[B 能力提升]11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V解析：选C.设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ， 所以h ＝4V3a 2.则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2. S ′(a )＝－43V a2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V . 当0＜a ＜34V 时，S ′(a )＜0；当a ＞34V 时，S ′(a )＞0.所以当a ＝34V 时，S (a )最小．12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0，0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( )A ．0.016 2B ．0.032 4C ．0.024 3D ．0.048 6 解析：选B.依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048 6kx 2，其中x ∈(0，0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2.令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．13．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入3万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧9.4－130x 2，0<x ≤10，110x －432x 2，x >10. (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋3x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫9.4－130x 2－10－3x ＝6.4x －x 330－10； 当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋3x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫110x －432x 2－10－3x ＝100－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x . 所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧6.4x －x 330－10，0<x ≤10，100－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x ，x >10. (2)①当0<x ≤10时，W ′＝6.4－x 210， 由W ′＝0，解得x ＝8.故当x ∈(0，8)时，W ′>0，当x ∈(8，10]时，W ′<0.所以当x ＝8时，W 取得最大值，最大值为6.4×8－8330－10≈24. ②当x >10时，W ＝100－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ， 因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x min ＝24(此时x ＝12)， 故W ＝100－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≤100－3×24＝28(当且仅当x ＝12时取等号)． 综合①②，知当x ＝12时，W 取得最大值28，故当年产量为12千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大．14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a 万元的药品生产线，经过预测和计算，得到生产成本降低y 万元与技术改造投入x 万元之间满足：①y 与(a －x ) 和x 2的乘积成正比；②当x ＝a 2时，y ＝a 3，并且技术改造投入比率x 2（a －x ）∈(0，t ]，t 为常数且t ∈(0，2]． (1)求y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y 的最大值及相应的x 值．解：(1)设y ＝f (x )＝k (a －x )x 2，当x ＝a 2时，y ＝a 3， 即a 3＝k ·a 2·a 24， 解得k ＝8.所以f (x )＝8(a －x )x 2.因为0＜x2（a －x ）≤t ， 所以函数的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2at 2t ＋1. (2)因为f (x )＝8(a －x )x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤2at 2t ＋1， 所以f ′(x )＝－24x 2＋16ax ，令f ′(x )＝0，则x ＝0(舍去)或x ＝2a 3. 当0＜x ＜2a 3时，f ′(x )＞0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上是增函数； 当x ＞2a 3时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上是减函数． 所以x ＝2a 3为函数y ＝8(a －x )x 2的极大值点． 当2at 2t ＋1≥2a 3，即1≤t ≤2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3＝3227a 3； 当2at 2t ＋1＜2a 3，即0＜t ＜1时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2at 2t ＋1＝32a 3t 2（2t ＋1）3. 综上可得，当1≤t ≤2时，投入2a 3万元，y 的最大值为3227a 3； 当0＜t ＜1时，投入2at 2t ＋1万元，y 的最大值为32a 3t 2（2t ＋1）3.。
2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用3.3.3 导数的实际应用学案 新人教B版选修1-1
3.3.3 导数的实际应用生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对B [设一个数为x ，则另一个数为8－x ，其立方和y ＝x 3＋(8－x )3＝512－192x ＋24x 2(0≤x ≤8)，则y ′＝48x －192.令y ′＝0，即48x －192＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.所以当x ＝4时，y 取得极小值，也是最小值．所以这两个数为4和4.]2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [定义域为(0，＋∞)，令y ′＝－x 2＋81＝－(x ＋9)(x －9)＝0得x ＝9或x ＝－9(舍)， 当x ∈(0,9)时，f′(x )＞0；当x ∈(9，＋∞)时，f′(x )＜0. ∴x ＝9为函数的极大值点也是最大值点，∴该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]3．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6 cm 3 cm 4 cm [设底面宽为x ，则长为2x ，高为722x 2＝36x 2(0＜x ＜6)，∴S 表面积＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54x ，令S ′＝8(x 3－27)x 2＝0得x ＝3，当x ∈(0,3)时，S ′＜0；当x ∈(3,6)时，S ′＞0， ∴x ＝3为函数的极小值点也是最小值点，∴长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时可使表面积最小．]米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[思路探究]列出燃料费与速度关系→确定参数k →每小时费用→确定1千米总费用→求导→利用导数确定最值→结论[解] 设速度为每小时v 千米的燃料费为每小时p 元，由题意得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，当v ＝10，p ＝6，解得k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3.设当速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行1千米所需时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v ， q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因为当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．解决实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题，需要求相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，判断函数在该点附近满足左减右增，则此时的极小值就是所求函数的最小值.1．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单元：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解] (1)设隔热层厚度为x m ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5.再由C (0)＝8，得k ＝40， 因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x ，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f′(x )＝6－2 400(3x ＋5)2，令f′(x )＝0，即2 400(3x ＋5)2＝6.解得x ＝5或x ＝－253(舍去)． 当0＜x ＜5时，f′(x )＜0，当5＜x ＜10时，f′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元.趋势．假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的函数关系式为y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精确到0.1)[思路探究] (1)根据售价为4元/套时可售出套题21千套，求出m 的值；(2)假设网校员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元，也就是每套题的成本为2元，则每套题的利润为(x －2)元，已知销售价格，则利润＝(销售价格－成本)×销售量，利用导数求最值．[解] (1)当x ＝4时，y ＝21，代入函数关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，所以f′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f′(x )＝0，得x ＝103或x ＝6(舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103时，f′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，6时，f′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在区间(2,6)上的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格约为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法：经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2)关于利润问题常用的两个等量关系： ①利润＝收入－成本.②利润＝每件产品的利润×销售件数.2．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而f′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)． 于是，当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.利用导数解决生活中的优化问题一般有哪些步骤？ [提示]【例3】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． [思路探究] 建立数学模型，列出函数关系式，利用导数求最值． [解] (1)因为容器的体积为64π3立方米， 所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128π3r－8πr 23×3＋4πr 2×4＝128πr ＋8πr 2.又l ＝643r 2－43r ＞0⇒r ＜243，所以定义域为(0,243)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r2， 所以令y ′＞0得2＜r ＜243；令y ′＜0得0＜r ＜2，所以当r ＝2时，该容器的建造费用最小为96π千元，此时l ＝83.1．(改变问法)本题问题改为试求该容器表面积的最小值． [解] 因为容器的体积为64π3立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝643π，解得l ＝643r 2－43r ，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫643r 2－43r ＝128π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，故该容器的表面积y ＝128π3r －8πr 23＋4πr 2＝128π3r ＋4πr 23，则y ′＝－128π3r 2＋8πr 3＝8π(r 3－16)3r2， 令y ′＝0，解得r ＝316，易知当r ＝316时，表面积取得最小值，y min ＝16π·34.2．(变换条件)本题中若由于场地的限制，该容器的半径要限制在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32范围内，求容器建造费用的最小值．[解] 因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r2， 所以令y ′＞0得2＜r ＜243；令y ′＜0得0＜r ＜2，故当r ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32时，函数单调递减， 故当r ＝32时，y min ＝310π3.(1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.(2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.(3)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．1．思考辨析(1)生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．( ) (2)解决应用问题的关键是建立数学模型．( )(3)解决实际问题，其中就包括确定函数的定义域，在求定义域时，一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高应为( ) A ．33cm B ．1033 cmC ．1633cmD ．2033cmD [设高为h ，则底面半径r ＝400－h 2(0＜h ＜20)， ∴体积V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，令V ′＝π3(400－3h 2)＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2033时，V ′＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2033，20时，V ′＜0， ∴h ＝2033为函数的极大值点，即最大值点，即高为2033cm 时，漏斗体积最大．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3 [设底面半径为r ，则高h ＝27ππr 2＝27r2(0＜h ＜33)，∴表面积S ＝πr 2＋2πrh ＝πr 2＋54πr，令S ′＝2πr 3－27r 2＝0得r ＝3.当r ∈(0,3)时，S ′＜0；当r ∈(3,33)时，S ′＞0， ∴r ＝3为函数的极小值点，即最小值点， 即圆柱的底面半径为3时，用料最省．]4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x ＞0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0. 因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．]5．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？[解] 设每次进书x 千册(0＜x ＜150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x2＋20＝20(x ＋15)(x －15)x2，令y ′＝0，得x ＝15，列表如下：货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．。
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数学人教选修第三章导数的实际应用
．会利用导数解决实际问题中的最优化问题．
．体会导数在解决实际问题中的作用．
．最优化问题
在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的或，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．
【做一做】下列问题不是最优化问题的是( )
．利润最大．用料最省
．求导数．用力最省
．求实际问题的最大(小)值的步骤
()建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系＝()，注明定义域．()求函数的导数′()，解方程，确定极值点．
()比较函数在和处的函数值的大小，最大(小)者为实际问题的最大(小)值．
实际问题中的变量是有范围的，即应考虑实际问题的意义，注明定义域．
【做一做】求实际问题的最值与求函数在闭区间上的最值的主要区别是．
利用导数解决实际问题时应注意什么？
剖析：()写出变量之间的函数关系＝()后一定要写出定义域．
()求实际问题的最值，一定要从问题的实际意义去分析，不符合实际意义的极值点应舍去．
()在实际问题中，一般地，′()＝在的取值范围内仅有一个解，即函数＝()只有一个极值点，则该点处的值就是问题中所指的最值．
题型实际问题中最值的求法
【例】某商场从生产厂家以每件元的进价购进一批商品，若该商品的售价定为元，则销售量(单位：件)与零售价(单位：元)有如下关系：＝
－－.问该商品零售价定为多少时利润最大，最大利润是多少？
分析：建立销售利润关于零售价的函数，应用导数研究最值．
反思：根据课程标准的规定，有关函数最值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在一个区间内只有一个点使′()＝，且该函数在这点取得极大(小)值，那么不与区间端点的函数值比较，就可以知道这就是实际问题的最大(小)值．【例】将一段长为的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问怎样截能使正方形与圆的面积之和最
小？
分析：设其中一段长为，则另一段长为(－) ，然后用表示出正方形与圆的面积之和，求出方程′＝的根，该根即为所求．
反思：在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高应为( )
．．
．．
某公司生产某种产品，固定成本为
元，每生产一单位产品，成本增加元，已知总收益与年产量的关系是()＝
(\\(－()(≤≤(， (>(，))则总利润最大时，每年生产的产品数量是( ) ．单位．单位
．单位．单位
把长的铁丝围成矩形，当长为，宽为时，矩形面积最大．
将长为的铁丝剪成段，各围成一个长与宽之比为∶及∶的矩形，那么面积之和的最小值为．
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利元，如果生产出一件次品则损失元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系是：＝(∈*)．()将该厂的日盈利额(元)表示为日产量(件)的函数；
()为获得最大盈利，该厂的日产量应定为．
答案：
基础知识·梳理
．最佳方案最佳策略
【做一做】
．()′()＝()区间端点极值点
【做一做】求实际问题的最值需先建立数学模型，写出变量之间的函数关系＝()，并写出定义域典型例题·领悟
【例】解：设利润为()，由题意可得
()＝(－)·＝(－)( －－)
＝－－＋－(＞)，
∴′()＝－－＋.
令′()＝，得＝或＝－(舍去)．
则()＝.
∵＜＜时，′()＞；＞时，′()＜，
∴＝时，()取得极大值．根据实际问题的意义知，()就是最大值，即零售价定为每件元时，利润最大，最大利润为元．
【例】解：设弯成圆的一段铁丝长为，则另一段长为(－) ，记正方形与圆的面积之和为，则
正方形的边长＝，圆的半径＝.
∴＝π＋＝＋－＋(＜＜)．
又′＝＋－.。