2018年中考数学专题：构造基本图形巧解含45度角的问题

构造基本图形巧解含45º角的问题
本文以两道含有45º角的中考试题为载体，分析这类问题的共同特点和解法，供同学们
参考.
一、试题呈现
题1 (2017年丽水中考题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+分别交
x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知点(2,0)C .
(l)略;
(2)设P 为线段OB 的中点，连结PA ，PC 若45CPA ∠=︒，则m 的值是 .
题2 (2017年金华中考题)如图2，已知点(2,3)A 和点(0,2)B ，点A 在反比例函数
k
y x
=
的图象上.作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按照逆时针方向旋转45º，交反比例函数的图象于点C ，则点C 的坐标是 . 上面的两道中考填空题，虽然形式上不太一样，但是有着一个共同的特点，都存在一个45º的特殊角.因此，如何利用45º角成为了解题的突破口，45º角的两边与x 轴的交点都形
成了一个类似的三角形，因此这两道题有着如下的共同解法. 二、共同解法展示
1.构造“一线三等角”，利用相似三角形
丽水题解法1 如图3，在y 轴截取OD OC =，此时45PDC ∠=︒，可以证得
ABP PDC ∆∆:，
BP BA
CD PD
=
.
进而得到方程::(2)22
m m
=+， 解得12m =.
金华题解法1 如图4，过点A 作等腰直角PNG ∆，作ND NF =，连结DF ，易得
6NP NG ==，PG =.
设FN DN a ==，
可以证得APG FDA ∆∆:，
得
AP DF
PG DA
=
，
3
a =
+， 解得1a =， ∴(1,0)F .
求出AF 的解析式为33y x =-, 再与6
y x
=
联列方程，得到C 点坐标为(1,6)--. 分析 “一线三等角”是一种常见的建立三角形相似的方法.该模型在这两小题的应用中看上去有些异常，一个只有两等角，另一个根本不存在等角，所以我们利用45º的角去构造等腰直角三角形，形成“一线三等角”的基本模型，再利用相似三角形的基本性质列出方程. 2.构造“三垂型”模型，利用全等三角形
丽水题解法2 如图5，过点C 作CD CP ⊥，交AP 于点D ，再作DE x ⊥轴，易得 OPC ECD ∆≅∆，
∴2DE OC ==，2
m CE OP ==
， 22
m
AE OA OC CE =--=
-. ∵//DE OP ，
∴
DE AE
OP AO
=
， 列出方程2:(2):22
m m
m =-，
解得12m =.
金华题解法2 如图6，过点M 作MF AM ⊥，构造如图所示的辅助线，易得 EFM DMA ∆≅∆.
设M 的坐标为(0,)m ，
可得2MD EF ==，3AD EM m ==-.
因为点G 在直线1
22
y x =
+上，可以求得点G 的坐标为(24,)m m -， 进而求得1GE m =-，62GD m =-. ∵//EF AD ， ∴EF GE AD GD
=，列出方程2: (3)(1):(62)m m m -=--，
解得3m =±(3m =舍去). 所以点M 的坐标为(0,3)-.
分析 “三垂型”模型是一个基本图形.该模型不仅可以找到全等的三角形，也可以用来证明勾股定理.看到45º角可以构造等腰直角三角形，进而形成“三垂型”模型. 3.构造“角平分线”，运用内角平分线的性质
预备知识:如图7， AD 是ABC ∆的角平分线，则有
AB BD
AC CD
=(证略).
丽水题解法3 如图8，过点P 作PD PA ⊥
.
∵45APC ∠=︒，所以CP 为APD ∆的角平分线，
∴
PD CD
PA AC =
’ ∵12PD PA =，并且求出D 的坐标(,0)4
m -， 可得21422m m +=
-， 解得12m =.
金华题解法3 如图9，方法同上. 分析 由于45º是90º的一半，构造了角平分线，恰好可以利用三角形内角平分线的基本性质，45º这一条件，让人产生了很多遐想，补全直角也是一种常见的手段. 4.构造“正方形”，借用正方形旋转
预备知识:如图10，正方形ABCD ，点E 、F 分别在BC 和CD 上，且45EAF ∠=︒，求证:BE DF EF +=.(证略)
丽水题解法4 如图11，过点P 构造正方形OPDE .
4
m
EN DN ==
，2OC =， 根据预备知识得到
24
m
CN =
+. 又∵22
m
CE =-，在CEN ∆中有
222(2)()(2)244m m m
-+=+， 解得12m =.
金华题解法4 如图12 ，∵1
2
NF AE =， ∴32NF =
，32
HG =. 设点E 为(,0)m ，
则2DE m =-，1GE m =+.
利用预备知识，
可得7
2
HE m =
-. 在直角HGE ∆中，
22237
()(1)()22
m m ++=-， 解得1m =，得到(1,0)E .
分析 “半角模型”也是一种常见的基本图形，这类问题一般利用旋转完成，可以得到全等三角形，进而得到线段之间的关系. 5.构造 “三角形的高”，回到匀股定理
丽水题解法5 如图13，作CD AP ⊥，可知PCD ∆为等腰直角三角形. 由::1:2PO AO CD AD ==， 2AC m =-，
易得2)5
CD m =
-，
(2)5
PC m =
-. 在Rt POC ∆中，利用勾股定理，得
222()22)]2m m +=-， 解得12m =.
金华题解法5 如图14，作ED AF ⊥(后面计算可得B 和D 重合).
设AD ED a ==，则2DE a =，EF =
，3AF a =.
又∵AF =
得到a =
∴5EF ==， ∴(1,0)E .
分析遇到直角问题，有时要回归到勾股定理，利用勾股定理能够列出方程.尤其在折叠问题中，我们经常会利用勾股定理构造方程.本题中依靠45CPA ∠=︒构造等腰直角三角形，同时得到POA CDA ∆∆:，一箭双雕.
6.构造“四点共圆”，运用两点间的距离公式
丽水题解法6 如图15，以AC 为直角边构造等腰直角ADC ∆. ∵45D APC ∠=∠=︒，
所以A 、C 、P 、D 四点共圆，且以CD 为直径，E 为圆心.
∵(,2)D m m -，(0,)2m P ，22(,)22
m m E +-， 根据EP EC =，可得
22222(
2)()[2)]222
m m m ---+=-， 解得12m =.
金华题解法6如图16，方法同上.
分析“四点共圆”是一种常见的基本图形，它可以运用同弧所对的圆周角相等，半径相等直径所对的圆周角是直角等一系列知识点，灵活多变. 三、解题后的反思
1.明确解题方向，确定解题途径
这两道中考题都是以函数为载体的几何问题，以上的解法都充分利用了数形结合，把题中的“形”转化为运算，达到“化形为数”的目的，这是解决问题的关键所在，也是基本思 路，有了这些基本思路就有了解决问题的方向在解决函数中的几何问题时，一定要充分利用几何的基本性质，抓住问题表象中的隐含条件，利用几何性质的同时结合平面直角坐标系的有关计算，达到几何与代数的完美结合.上述解法中的勾股定理和三角形的相似与全等，等腰直角三角形的性质的运用，既在意料之外，又在情理之中，顺其自然，水到渠成. 2.抓住问题本质，学会异中求同
以上两道题目看似不同，却有着共同的本质，可以称得上是多题一解.数学问题千变万化，仅仅依靠题海战术是很难抓住数学的本质，盲目地做题还不如静下心来去思考.我们应该由表及里，发现题与题之间的内在联系，抓住问题的本质达到有效的解题.一题多解能拓展思维的广度，多题一解更能挖掘思维的深度，因此，我们在数学解题教学中，要两者兼顾，做到收放自如.
3.活用解题模型，呈现多样解法
基本图形是解决综合性几何问题的一个很好的突破口，从复杂的图形中抽出简单的图
形，利用基本图形的性质往往可以化难为易，顺利得解.我们要通过解题教学，达到“学会思考”这一核心的教学理念，注重解题的方法，加强知识之间的迁移，从而提高解题能力.。