2017_2018学年高中数学课时作业121.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2
高中数学课时作业131.7简单几何体的面积和体积北师大版必修21130434
课时作业球基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．已知两个球的半径之比为：，那么这两个球的表面积之比为( )．：．：．：．：解析：设两球的半径分别为，，表面积分别为，，∵：＝：，∴＝ππ＝＝：.故选.答案：．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是( )．正方体＝圆柱＝球．正方体<圆柱<球．正方体>圆柱>球．圆柱>正方体>球解析：设正方体的棱长、球的半径、圆柱底面圆的半径分别为，，，则正方体＝，球＝π，圆柱＝π，由题意，知正方体＝球＝圆柱，所以＝，＝，所以正方体＝＝π，球＝π＝π，圆柱＝π，显然可知正方体<圆柱<球．答案：．(·广州市综合测试(一))一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )．π．π解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径＝，其高＝，∴球半径为＝＝＝，∴该球的体积＝π＝×π＝.答案：．设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球的表面积之比为( )．：．：．：．：解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为，则圆柱的底面圆半径为，圆柱的高为，于是圆柱的全面积为＝π＋π·＝π，球的表面积为＝π.∴＝＝.答案：.一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是( ) ．π．π．π．π解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长.∴此四面体的外接球的表面积为π×()＝π.故选：.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知三棱锥－中，⊥底面，＝，底面是边长为的正三角形，三棱锥－的体积为．解析：依题意有，三棱锥－的体积＝△·＝×××＝.答案：．把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为 .解析：设大铁球的半径为，由π＝π×＋π×＋π×，得＝，得＝.。
北师大版数学高一- 第7节空间简单几何体的表面积和体积 文
第三节空间简单几何体的表面积和体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，并会求它们以及它们的简单组合体的表面积和体积.知识梳理一、空间简单几何体的侧面展开图的形状几何体名称圆柱圆锥圆台直棱柱正n棱锥正n棱台侧面展开图形状矩形扇形扇环矩形n个全等的等腰三角形n个全等的等腰梯形侧面展开图二、空间简单几何体的侧面积和表面积1．直棱柱：S侧＝________________(C为底面周长，h是高)，S表＝__________.2．正棱锥：S侧＝____________(C为底面周长，h′是斜高)，S表＝__________.3．正棱台：S侧＝________(C′，C为上、下底面周长，h′是斜高)，S表＝________________.4．圆柱：S侧＝________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________.5．圆锥：S侧＝________(C为底面周长，r是底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________.6．圆台：S侧＝________(C′，C分别是上、下底面周长，r′，r分别是上、下底面圆的半径，l是母线长)，S表＝________.7．球：S表＝________(R是球的半径)．三、空间简单几何体的体积公式1．柱体体积公式：V柱＝______，其中h为柱体的高．2．锥体体积公式：V锥＝______，其中h为锥体的高．3．球的体积公式：V球＝______，其中R表示球的半径．四、长方体、正方体的对角线长、表面积和体积公式1．长方体表面积公式：S＝2(ab＋bc＋ac)，长方体体积公式：V＝__________.2．正方体表面积公式：S＝____________，正方体体积公式：V＝__________.3．长方体对角线长等于a2＋b2＋c2，正方体对角线长等于__________．五、两点的球面距离：(属知识拓展)经过球面上两点(不是直径端点)的大圆的劣弧长叫做这两点的球面距离．二、1.Ch S侧＋2S底2.12Ch′S侧＋S底3.12(C＋C′)h′S侧＋S上底＋S下底4.Cl＝2πrl S侧＋2S底5.12Cl＝πr l S侧＋S底6.12(C＋C′)l＝π(r＋r′)l S侧＋S上底＋S下底7.4πR2三、1.S底h 2.13S底h 3.43πR3四、1.a bc 2.6a2a3 3.3a基础自测1．(2013·深圳一模)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积、体积分别是()A ．32π、1283πB ．16π、323πC ．12π、163πD ．8π、163π解析：三视图复原的几何体是半径为2的半球，所以半球的表面积为半个球的表面积与底面积的和：2πr 2＋πr 2＝3πr 2＝12π.半球的体积为：23πr 3＝163π.故选C.答案：C2．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2解析：由于长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，则长方体的对角线长为(2a )2＋a 2＋a 2＝6a .又长方体外接球的直径2R 等于长方体的体对角线，∴2R ＝6a .∴S 球＝4πR2＝6πa 2.故选B.答案：B3．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．解析：立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2.所以体积V ＝13×12×π×12×2＝π3.答案：π34．半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面及地面相切，两墙面互相垂直，则球面上的点到墙角顶点的最短距离是________.解析：联想到正方体模型，则该球是正方体的内切球，其直径就是正方体的棱长，则球面上的点到墙角顶点的最短距离等于球心到正方体一个顶点的距离与球半径的差，也就是正方体的对角线长与球直径的差的一半．答案：(3－1)a1．(2013·广东卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A.16B.13C.23D ．1解析：由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则V ＝13×12×1×1×2＝13.故选B. 答案：B第1题图 第2题图2．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，所以V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.答案：16π－161．(2013·梅州一模)如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a ＝( )A. 2B.22C. 3D.32解析：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC 为底边BC 边长为2的三角形，BC 边上的高为AM ＝a ，侧棱AD ⊥底面ABC ，AD ＝3，所以三棱柱ABCDEF 的体积V ＝S △ABC ×AD ＝12×2×a ×3＝33，得a ＝ 3.故选C.答案：C2．(2013·汕头二模)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( ) A.403 B.2053C.503D.413解析：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO ⊥平面ABC ，PO ＝4，AO ＝2，CO ＝3，BC ⊥AC ，BC ＝4.所以V 三棱锥PABC ＝13×12×5×4×4＝403.故选A.答案：A3．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π，则长方体的体积是( )A ．72B ．96C ．100D ．120解析：∵球的半径R ＝32＋42＋x 22， ∴4π⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋x 222＝125π，解得x ＝10，∴长方体的体积V ＝3×4×10＝120.故选D. 答案：D。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积计算公式素材 北师大版必修2
几何体的面积和体积平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a^2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a^2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a^2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr^2＝πd^2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr^2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r^2/2·(πα/180-sinα) ＝r^2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h^2)1/2 ＝παr^2/360 - b/2·[r^2-(b/2)^2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R^2-r^2)＝π(D^2-d^2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a^2V＝a^3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr^2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr^2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R^2＋Rr＋r^2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a^2+h^2)/6 ＝πh^2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1^2＋r2^2)+h^2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr^2＝π2Dd^2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D^2＋d^2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D^2＋Dd＋3d^2/4)/15(母线是抛物线形)。
高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.2柱、锥、台的体积课件北师大版必修2
备注 S 上,S 下分别为棱台上、下 底面的面积, h 为棱台的高 r,r'分别为圆台上、 下底面 的半径, h 为圆台的高,S 上,S 下分别 为圆台上、下底面的面积
柱体和锥体可以看作是由台体变化得到的.柱体可以看作是上、下 底面全等的台体,锥体可以看作是上底面缩小成一点的台体,因此, 很容易得出它们的体积公式间的关系:
反思求柱体的体积的关键是求底面积和高,而底面积的求解要根 据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解 决此类问题的关键.Leabharlann 题型一题型二题型三
题型四
【变式训练1】 一个正方体和一个圆柱等高,并且侧面面积相等, 则这个正方体和圆柱的体积之比为 . 解析:由于正方体和圆柱等高,故可设正方体的棱长和圆柱的高 (母线长)都为a,设圆柱的底面半径为r, 则正方体的侧面面积为4a2,圆柱的侧面面积为2πra,
5 l. 3
则有 ×(22+62 + 22 × 62 )h=112, 解得 h= , 即该正四棱台的高为 .
84 13 84 13
1 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
求柱体的体积
【例1】 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC-A1B1C1,D是棱 BC的中点.正三棱柱的主视图如图②所示.求正三棱柱ABC-A1B1C1 的体积.
1 1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思求锥体的体积,首先要选择适当的底面和高,然后应用公式 1 V= 3 Sh进行计算即可,常用方法为割补法和等积变换法: (1)割补法:求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱 体或锥体,分别求出柱体或锥体的体积,从而得出该几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面,可 通过多种方式求其体积. ①求体积时,可选择容易计算的方式来计算; ②利用“等积性”可求“点到面的距离”.
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《简单几何体的面积和体积》课时提高练习及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二§7 简单几何体的面积和体积 7．1 简单几何体的侧面积7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的侧面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的侧面积与体积公式解决一些简单的实际问题．1．旋转体的侧面积名称图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝______圆锥侧面积：S 侧＝______圆台侧面积：S 侧＝________ 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S 直棱柱侧＝______(c 为底面周长，h 为高) S 正棱锥侧＝______(c 为底面周长，h ′为斜高)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上、下底面周长，h ′为斜高)3．体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______． (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S)h ．一、选择题 1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )A ．1＋2π2πB ．1＋4π4πC ．1＋2ππD ．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )A ．a ∶bB ．b ∶aC ．a 2∶b 2D ．b 2∶a 25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm )，则该几何体的表面积和体积分别为( )A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是________．三、解答题10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．§7 简单几何体的面积和体积 7．1 简单几何体的侧面积7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积答案知识梳理 1．名称 图形侧面积公式 圆柱侧面积：S 侧＝2πrl圆锥侧面积：S 侧＝πrl圆台侧面积：S 侧＝π(r 1＋r 2)l2．ch12ch ′ 3．(1)Sh (2)13Sh 作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．]3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2，12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S 表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3．8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫4π2·12＝192π (cm 3)． 9．8 0003cm 3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 (cm 3)．10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°， 故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA ＝20，同理可得SB ＝40， 所以AB ＝SB －SA ＝20， ∴S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下＝π(r 1＋r 2)·AB ＋πr 21＋πr 22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm 2)．故圆台的表面积为1 100π cm 2．h ＝AB 2－(OB －O 1A )2＝202－102＝103，V ＝13πh (r 21＋r 1r 2＋r 22) ＝13π×103×(102＋10×20＋202) ＝7 00033π (cm 3)． 即圆台的表面积为1 100π cm 2，体积为7 00033π cm 3．11．解 如图，E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，O 、O 1分别是下、上底面正方形的中心，则O 1O 为正四棱台的高，则O 1O ＝12．连接OE 、O 1E 1，则OE ＝12AB＝12×12＝6，O 1E 1＝12A 1B 1＝3． 过E 1作E 1H ⊥OE ，垂足为H ，则E 1H ＝O 1O ＝12，OH ＝O 1E 1＝3， HE ＝OE －O 1E 1＝6－3＝3．在Rt △E 1HE 中，E 1E 2＝E 1H 2＋HE 2＝122＋32 ＝32×42＋32＝32×17， 所以E 1E ＝317．所以S 侧＝4×12×(B 1C 1＋BC )×E 1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233．]13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1． 考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36． ∴该几何体的表面积为36．。
2017_2018学年高三数学课时作业131.7简单几何体的面积和体积北师大版必修34
因此该几何体的表面积是 2×4×4＋4×4×2＝64.
(2)由长方体与球的性质，可得长方体的体对角线是其外接球的直径，
1 则外接球的半径 r＝2 42＋42＋22＝3，
4
4
因此外接球的体积 V＝3πr3＝3×27π＝36π，
所以该几何体的外接球的体积是 36π.
14．(2017·大同一中高二(上)月考)如图所示(单位：cm)四边形 ABCD 是直角梯形，求
|能截面的直径分成 13 两部分，若截面圆半径为 3，则球 O 的
体积为( )
16π A．16π B. 3
32π C. 3 D．4 3π
解析：设直径被分成的两部分分别为 r、3r，易知( 3)2＝r·3r，得 r＝1，则球 O 的
4
32
cm，由 3πR3＝3π× 2 3＋3π× 2 3＋3π× 2 3，得
答案：6
8．(2016·河源市高二(上)期中)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上
留下了一个直径为 6 cm，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是________ cm，表面积是
________ cm2. 解析：设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为
3 ∴此四面体的外接球的表面积为 4π×( 2 )2＝3π. 故选：B.
答案：B 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．已知三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，PA＝3，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， 三棱锥 P－ABC 的体积为________． 解析：依题意有，三棱锥 P－ABC 的体积
D，AB 为小圆 D 的一条直径，设球的半径为 R，则 OD＝(R－1) cm，
则(R－1)2＋32＝R2， 解之得 R＝5 cm， 所以该球表面积为 S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)． 答案：5 100π 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．如图所示，扇形所含中心角为 90°，弦 AB 将扇形分成两部分，这两部分各以 AO 为轴旋转一周，求这两部分旋转所得旋转体的体积 V1 和 V2 之比．
高中数学北师大版必修二：1.7+简单几何体的面积和体积+教案
1.7简单几何体的面积和体积一、教学目标：知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台面积的计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积。
过程与方法：通过对柱、锥、台表面积的公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。
情感态度与价值观：培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力。
学情分析立体几何一直是学生学习的难点，特别是对文科学生来说更难想象，这两班都是文科班，女学生多，学生对立体空间的图像想象能力不够，学习起来比较困难。
重点难点教学重点：柱、锥、台表面积的计算公式。
教学难点：利用相应公式求柱、锥、台表面积。
教学过程【讲授】[导入]：[导入]：在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？学生活动：（学生分组讨论，合作探究）教师活动：教师点评，概括总结。
【讲授】[新课讲授]：问题1：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？【测试】[例题讲解]：例1：已知棱长为a，各面都是等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积？分析：此图实为正四面体。
所以表面积就是一个等边三角形的面积乘以4。
例2：一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（∏取3.14，结果精确到1 ）？例3.9（P45）正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，高是3 ⁄2cm，求三棱台的侧面积。
分析：正三棱台的侧面是由三个全等的等腰梯形围成的，所以我们只需求出侧面梯形的面积或高（棱台的斜高）即可。
【练习】[课堂练习]学生活动：每两小组同学选做一道小题，完成后讨论比较，交流心得。
教师活动：教师点评，强调注意问题。
1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.2. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积.3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面的面积为4，求圆锥的表面积.【测试】[ 思维拓展：]1. 一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.变式：求切割之前的圆锥的表面积.【作业】[课后作业]1．阅读教材P.43到P.45；2. 练习P.45第1-4小题.3.正式作业：P.49的第7，,10题。
2017-2018学年高三数学课时作业121.7简单几何体的面积和体积北师大版必修33
课时作业12 柱、锥、台的体积
为正四棱锥底面中心，∠PCO ＝60°，AC
2
＝6，∴V 锥＝1
3×6×
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积
32＋π×32×5＝57π.故选C.
剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，
由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为
×6×2＝4.
3
＝90°，∠ADC＝135°，
旋转一周所成几何体的体积．
AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE
1
Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：
不要求写画法)；
及三棱柱B1C1Q－
，而A1A＝2，要使得三棱锥·AB·CD＝CD.。
高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.3球的体积和表面积教案北师大版必修2
球的体积和表面积一、教学目标1、知识与技能：⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
2、过程与方法：通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝34πR 3和面积公式Ｓ＝４πR 2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
3、情感与价值观：通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。
二、教学重点、难点重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三、学法和教法1、学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
2、教法：探究讨论法四、教学过程（一）、创设情景1、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
2、教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二）、探究新知1．球的体积：如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤：第一步：分割如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n 等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为nR ，底面是“小圆片”的底面。
2017_2018学年高中数学课时作业131.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2
课时作业13球
1S2 r214πr21r22＝
答案：A
．已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积
解析：如图为球的轴截面，由题意，设球的半径为
r2＋2πr·2r＝
一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、
的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是解析：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．
)
⊥底面ABC，PA＝3，底面
ABO旋转成半球，设OB
其上半部分呈半球形，
个扇形，用一个扇形蛋皮围成圆锥的侧面，求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积．
的截面把垂直于截面的直径分成两部分，若截面圆半径为
求该几何体的外接球的体积．
由题意可知，该几何体是长方体，其底面是边长为
2×4×4＋4×4×2＝64.
)，
－2＋＝35π(cm2)，
25π(cm2)，
即该几何体的表面积为。
高中数学 课时作业11 1.7 简单几何体的面积和体积 北师大版必修2
课时作业11 柱、锥、台的侧面展开与面积|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若圆柱的底面面积为S ，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( ) A ．4πS B ．2πS C ．πS D.233πS解析：设圆柱的底面半径为r ，则πr 2＝S ，r ＝Sπ.又侧面展开图是正方形，所以圆柱的侧面积S 侧＝⎝⎛⎭⎪⎫2πS π2＝4πS .答案：A 2.如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则该圆锥的表面积为( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π解析：设圆锥的母线长为l ，则l ＝12＋32＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C3．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×34×42×6＝483，所以表面积S ＝48(3＋3)．答案：A4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正三棱锥的全面积为43，则该正方体的棱长为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2解析：设正方体棱长为a ，侧面的对角线长为2a ，所以正三棱锥A －CB 1D 1的棱长为2a ，其表面积为4×34×(2a )2＝43，可得a 2＝2，即a ＝ 2. 答案：A5．如图是一个几何体的三视图，其中主视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.433π B.36π C.12π D.33π 解析：由三视图，可知该几何体是一个圆锥的一半，其中高为22－12＝3，故所求的体积为V ＝12×13×π×12×3＝36π.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)． 在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5.所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.答案：927．已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，则该三棱锥的表面积为________． 解析：易知底面正三角形的中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正三棱锥侧面的斜高为12＋22＝3，所以S 侧＝3×12×26×3＝92，所以S 表＝S 侧＋S 底＝92＋34×(26)2＝92＋6 3. 答案：92＋6 38．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，SA ＝AB ＝BC ＝4，则SB ＝42，AC ＝42，则该几何体的表面积S ＝4×8＋12×42×(8＋4)＋12×4×(8＋4)＋12×4×4＋12×4×42＝64＋32 2.答案：64＋32 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？解析：如图，设圆台的上底面周长为C.因为扇环的圆心角是180°，所以C＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm，同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 (cm)，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．10．如图是一建筑物的三视图(单位：m)，现需将其外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要油漆多少千克？(无需求近似值)解析：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形，圆锥的表面积为πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π (m2)；四棱柱的一个底面积为9 m2，正四棱柱的侧面积为4×4×3＝48 (m2)，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24π＋39) (m2)．所以需要油漆(24π＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．|能力提升|(20分钟，40分)11．(2016·全国卷丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5 B．54＋18 5C．90 D．81解析：由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为3的正方形，侧棱长为35，所以该几何体的表面积为S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×35＝54＋18 5.答案：B12．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面积与侧面积的比是________．解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为2r，侧面展开图的弧长为2πr，所以圆锥的底面积与侧面积的比为πr2：＝1：2.答案：1：213．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．解析：因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC ＝SB ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.故四面体S －ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2. 14．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大．解析：(1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)，设所求的圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πrx .∵r R ＝H －xH，(由相似三角形可知)∴r ＝R －RH·x ，∴S 圆柱侧＝2πRx －2πR H·x 2.(2)因为S圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高是x ＝－2πR －2·2πR H＝H 2，当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．。
【教育专用】2017_2018学年高中数学课时作业111.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2
课时作业11柱、锥、台的侧面展开与面积
，高为3，则该圆锥的表面积为
＋32＝
解析：由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱
，垂足为E，则DE＝4，
×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝
＋22＝
＝92＋6
由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图所示，
，则该几何体的表面积
由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和正四棱柱，
，正四棱柱的高为4 m，底面是边长为
＝24π(m2)；四棱柱的一个底面积为
，所以外壁面积为24π－9＋48＝(24
＋39)×0.2＝(4.8π＋7.8) (kg)．
由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为
＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×3
2＝1
，各面均为等边三角形的四面体
的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何
SD⊥BC，交BC于点D
画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)。
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.3球学案北师大版
因此S球＝4πR2＝50π.
在半球内有一个内接正方体，试求那个半球的体积与正方体的体积之比.
【出色点拨】
解答此题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系，可通过正方体的对角面，也可将半球补成球，将其转化为球的内接长方体问题，找到球的半径与正方体棱长的关系后，再利用体积公式计算，进而作比即可.
即假设掏出这两个小球，那么容器的水面将下降 cm.
[探讨共研型]
与球有关的切、接问题
探讨1 一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？
【提示】设正方体的棱长为a，那么它的内切球的半径为 a，它的外接球的半径为 a，故所求的比为1∶3 .
探讨2 长方体一个极点上的三条棱长别离为3,4,5，假设它的八个极点都在同一个球面上，那么那个球的表面积是多少？
球的表面积及体积的应用
一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水而且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内掏出后，圆锥内水面的高是多少？
【导学号：39292055】
【出色点拨】设出球未掏出时的水面高度和掏出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来成立一个关系式来解决.
【自主解答】设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未掏出时，水面高PC＝h，球掏出后水面高PH＝x，如下图.
∵AC＝ r，PC＝3r，
∴以AB为底面直径的圆锥的容积为
V圆锥＝ πAC2·PC
＝ π( r)2·3r＝3πr3，V球＝ πr3.
球掏出后水面下降到EF，水的体积为
V水＝ πEH2·PH
(2)求该几何体的体积(结果保留π).
【解】由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球组成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体.
北师大版高中必修27简单几何体的面积和体积课程设计 (2)
北师大版高中必修27简单几何体的面积和体积课程设计一、前言本课程设计适用于高中数学必修二，主要讲解简单几何体的面积和体积计算方法，旨在提高学生的计算能力以及几何形体的感性认识能力。
二、教学目标1.掌握计算三棱锥、四棱锥、棱柱、圆柱、圆锥、球体等简单几何体的面积和体积的方法；2.提高学生的算术能力和几何形体的感性认识能力；3.培养学生的团队协作精神和应对复杂问题的能力。
三、教学内容和方法3.1 教学内容1.定义简单几何体；2.掌握计算三棱锥、四棱锥、棱柱、圆柱、圆锥、球体等简单几何体的面积和体积的方法；3.针对实际问题应用简单几何体面积和体积计算问题。
3.2 教学方法课堂教学应以讲授和练习相结合，通过听、看、讲、练等方式进行，其中包括：1.课堂讲解法：用具体的例子引导学生进行分类、找规律、总结的基本思维过程；2.探究式教学方法：针对学生的兴趣，通过引导学生互动，自主探究简单几何体面积和体积计算方法；3.综合解题法：运用学生已学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四、教学步骤和重难点4.1 教学步骤1.第一步：讲解简单几何体的定义及性质–球体、圆锥、圆柱等简单几何体的定义及常见性质2.第二步：讲解简单几何体的面积和体积计算方法–球体、圆锥、圆柱等简单几何体的面积和体积计算方法3.第三步：讲解解题方法–运用孪生几何，结合具体例子引导学生掌握解题思路4.第四步：练习小组合作解决实际问题–安排小组合作，提高学生的团队协作精神和应对复杂问题的能力4.2 重难点1.掌握简单几何体的面积和体积计算方法；2.运用所学知识探究解决实际问题；3.培养学生的团队协作精神和应对复杂问题的能力。
五、作业布置1.完成所学知识的练习题；2.小组讨论项目，并准备小组展示报告；3.形成学习笔记并提交。
六、教学评估1.课堂练习得分；2.小组展示报告得分；3.学习笔记评分。
七、教学资源1.课件PPT；2.计算器。
八、教学反思本课程设计针对高中数学必修二课程中简单几何体的面积和体积计算问题，通过讲授、练习、探究、应用等多种方式，旨在提高学生的计算能力和几何形体的感性认识能力。
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课时作业12 柱、锥、台的体积
|基础巩固|(25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )
A ．1：3
B ．1：6
C ．1：8
D ．1：4
解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ， 则V 三棱锥＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12ab c ＝abc
6.
又V 长方体＝abc .故选B. 答案：B
2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
解析：如图所示O 为正四棱锥底面中心，∠PCO ＝60°，PC ＝23，则在Rt△POC 中，
PO ＝3，OC ＝3，AC ＝23，AB ＝
AC
2
＝6，∴V 锥＝1
3×6×6×3＝6，故选B.
答案：B
3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( ) A ．26 B ．28 C ．30 D ．32
解析：所求棱台的体积V ＝1
3×(4＋16＋4×16)×3＝28.
答案：B
4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A ．12π B．45π C ．57π D．81π
解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V ＝V 圆锥＋V 圆柱＝13
×π×32×52－32＋π×32
×5＝57π.故选C.
答案：C
5．(2016·云南省第一次统一检测)如图是底面半径为1，高为2的圆柱被削掉一部分后剩下的几何体的三视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)，则被削掉的那部分的体积为( )
A.π＋23
B.5π－2
3 C.
5π3－2 D ．2π－23
解析：由三视图可知，剩下部分的几何体由半个圆锥和一个三棱锥组成，其体积V ＝13×
12×π×12×2＋13×12×2×1×2＝π3＋23，∴被削掉的那部分的体积为π×12
×2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋23＝
5π－2
3
. 答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为1
2×4×3＝6，由左视图，可知该三
棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为1
3
×6×2＝4.
答案：4
7．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是________．
解析：由题意知r ：R ＝1：3，r 、R 分别为上、下底面的半径，故(V －52)：V ＝1：27，解出V ＝54.
答案：54
8．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________． 解析：设正方体棱长为a ，则圆柱高为a ，又设圆柱底面圆的半径为r ，则4a 2
＝2πra ， 即r ＝2a π
.
∴V 正方体＝a 3
，V 圆柱＝πr 2
a ＝4π
a 3. ∵4>π>0， ∴V 正方体<V 圆柱． 答案：V 正方体<V 圆柱
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，求三棱锥P －ABC 的体积．
解析：因为PA ⊥底面ABC ，且底面ABC 是边长为2的正三角形，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×1
2
×2×3×3＝ 3.
10.
如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．
解析：
如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形
ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．
所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22
×2＝1483
π.
|能力提升|(20分钟，40分)
11．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )
A.9π2
B.7π
2 C.
5π2 D.3π2
解析：从A 点向BC 作垂线，垂足为Q ，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：
V 旋＝V 大－V 小＝1
3π(3)2×2.5－13π(3)2×1＝32
π.
答案：D
12．已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2
，则此圆锥的体积为________ cm 3
. 解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则有πrl ＝15π，知r ＝3， ∴h ＝52
－32
＝4.
∴其体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13×π×32
×4＝12π.
答案：12π
13．如图，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解析：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2， 可得PA 1⊥PD 1. 故所求几何体的表面积
S ＝5×22＋2×12
×2×1＋2×2×2＝22＋42(cm 2)，
所求几何体的体积
V ＝23＋12
×(2)2×2＝10(cm 3)．
14．如图，A 1A 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A ＝AB ＝2.求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．
解析：因为VA 1－ABC ＝1
3S △ABC ·AA 1，而A 1A ＝2，要使得三棱锥A 1－ABC 的体积最大，只
需三角形ABC 的面积最大．
记AB 边上的高为CD ，则S △ABC ＝1
2
·AB ·CD ＝CD .
显然CD 有最大值1，所以VA 1－ABC ＝13×CD ×AA 1≤13×1×2＝2
3.
故三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为2
3
.。