2019-2020学年高中数学 第一章《集合与函数的概念》1.3函数的奇偶性第1课时教学说明 新人教版必修1.doc
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第一册第一章集合与函数概念1.1 集合1.2 函数概念1.3 函数的性质第二章实数与函数2.1 实数2.2 函数的单调性2.3 函数的奇偶性2.4 函数的周期性第三章幂函数、指数函数与对数函数3.1 幂函数3.2 指数函数3.3 对数函数第四章三角函数4.1 三角函数的概念4.2 三角函数的性质4.3 三角函数的图像第五章数列5.1 数列的概念5.2 等差数列5.3 等比数列5.4 数列的极限第二册第六章解析几何6.1 坐标系与直线6.2 圆6.3 椭圆6.4 双曲线6.5 抛物线第七章三角恒等变换7.1 三角函数的恒等变换7.2 三角函数的图像与性质7.3 三角方程与三角不等式第八章概率与统计8.1 随机事件8.2 概率的计算8.3 统计量8.4 概率分布第九章函数的导数9.1 导数的概念9.2 导数的计算9.3 导数的应用第十章函数的积分10.1 不定积分10.2 定积分10.3 积分的应用第三册第十一章立体几何11.1 空间点、线、面的位置关系11.2 空间几何体11.3 立体几何的度量第十二章解析几何（续）12.1 坐标系与直线（续）12.2 圆（续）12.3 椭圆（续）12.4 双曲线（续）12.5 抛物线（续）第十三章数列（续）13.1 数列的概念（续）13.2 等差数列（续）13.3 等比数列（续）13.4 数列的极限（续）第十四章概率与统计（续）14.1 随机事件（续）14.2 概率的计算（续）14.3 统计量（续）14.4 概率分布（续）第十五章函数的导数（续）15.1 导数的概念（续）15.2 导数的计算（续）15.3 导数的应用（续）第十六章函数的积分（续）16.1 不定积分（续）16.2 定积分（续）16.3 积分的应用（续）第四册第十七章数学应用17.1 数学建模17.2 数学软件与应用17.3 数学在实际问题中的应用第十八章拓展与提高18.1 数学竞赛18.2 数学研究性学习18.3 数学解题方法与技巧以上为2024年最新人教版高中数学教材的目录，各章节内容详细，逻辑清晰，有助于学生系统地学习和掌握高中数学知识。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性备课资料素材新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f ［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f ［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (8)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.新知探究提出问题①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例思路1例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )A.P∩Q=∅B.P QC.P=QD.P Q分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=∅.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练1.设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )A.M=PB.P MC.M PD.M∩P=R分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴P M.2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A 与B 的运算A*B={x|x∈A 或x∈B,且x ∉A∩B},则(A*B)*A 等于( )A.A∩BB.A∪BC.AD.B分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x 2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x 2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.解：方法一（观察法）∵函数y=x 2+1的定义域是R ,∴观察到x 2≥0.∴x 2+1≥1.∴函数y=x 2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函数y=x 2+1是二次函数，其定义域是x∈R ，则函数y=x 2+1的最小值是f(0)=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x 2或|x|或x 时，通常利用常见的结论x 2≥0,|x|≥0,x ≥0等，直接观察写出函数的最值； 公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=432+x x 的最大值和最小值. 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值.解：（判别式法）由y=432+x x 得yx 2-3x+4y=0， ∵x∈R ，∴ 关于x 的方程yx 2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y 2≥0.∴0<y 2≤169.∴43-≤y<0或0<y≤43. 综上所得，43-≤y≤43. ∴ 函数y=432+x x 的最小值是43-，最大值是43. 点评：形如函数y=fcx dx c bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎨⎧≠≥-.0,042m mk n 此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.例4函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数分析：函数f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线x=a ，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=2-+x a x ，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+1x a -2)-(x 2+2x a -2) =(x 1-x 2)+(-1x a 2x a )=(x 1-x 2)(121x x a -)=(x 1-x 2)2121x x a x x -. ∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0.∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f(x 1)与f(x 2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D 上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值.变式训练求函数f(x)=1-x 2的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=u ，u=x 2-1， 当x≥0时，u=x 2-1是增函数，y=u 也是增函数， 又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在［1,+∞)上是增函数.当x≤0时，u=x 2-1是减函数，y=u 也是增函数， 又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在(-∞,-1］上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f ［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f ［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f ［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.思路2例1集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.分析：集合B 是关于x 的方程mx-1=0的解集，∵B ⊆A ，∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，关于x 的方程mx-1=0无解，则m=0；当B≠∅时，x=m 1∈A，则有(m 1)2m 3--4=0，即4m 2+3m-1=0.解得m=-1,41. 答案：-1,0,41 黑色陷阱：本题任意忽视B=∅的情况，导致出现错误m=-1,41.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练已知集合A={x|⎩⎨⎧≥-≥+0502x x }，B={x|p+1≤x≤2p -1}，若A∩B=B，求实数p 的取值范围.分析：理解集合A 是不等式组⎩⎨⎧≥-≥+05,02x x 的解集是关键，又A∩B=B 说明了B ⊆A ，包含=∅和B≠∅两种情况，故要分类讨论解决问题.解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴B ⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，p+1>2p-1，解得p<2.当B≠∅时，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-<+.512,21,121p p p p 解得2≤p≤3.综上所得实数p 的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；要重视常见结论A∩B=B ⇔A∪B=A ⇔B ⊆A 的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-.2,4,22,2,2,4x x x x -4,2x,4, x≤-2,-2<x<2,x≥2.其图象如图1-2所示:图1-2由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，图1-3观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4. 点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.例3求函数y=x+x4,x∈［1,3］的最大值和最小值. 分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性. 解：可以证明当x∈［1,2］时，函数y=x+x 4是减函数， 此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.可以证明当x∈［2,3］时，函数y=x+x 4是增函数， 此时函数的最大值是f(3)=313，最小值是f(2)=4. 综上所得，函数y=x+x4,x∈［1,3］的最大值为5，最小值为4. 点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b ］上是减函数，在区间［b,c ］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b ］上是增函数，在区间［b,c ］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例4求函数y=x 4+2x 2-2的最小值.解：函数的定义域是R ，设x 2=t ，则t≥0.则y=t 2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，则当t=0时，y 取最小值-2，所以函数y=x 4+2x 2-2的最小值为-2.点评：求形如函数y=ax 2m +bx m +c(ab≠0)或y=ax+c bx +(ab≠0)的最值时，常用设x m =t 或c bx +=t ，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例5定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(xyy x ++1). (1) 求证：函数f(x)是奇函数；(2) 若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y 是解题关键；（2）定义法证明，其中判定21121x x x x --的范围是关键. 解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f(xyy x ++1)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0100++)，∴f(0)=0. 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(21xx x --)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)＝f(21121x x x x ---). ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0. 又(x 2-x 1)-(1-x 1x 2)=(x 2-1)(x 1+1)<0，∴0＜x 2-x 1<1-x 1x 2.∴-1<21121x x x x ---<0.由题意知f(21121x x x x ---)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练1.已知集合P={x∈N |1≤x≤10},集合Q ={x∈R |x 2+x-6=0},则P∩Q 等于( )A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2}D.{2}分析：明确集合P 、Q 的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q ={-3,2},则P∩Q ＝{2}.答案：D点评：解决本题关键是集合P 是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q 是方程x 2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S∪T)等于( )A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 分析：直接观察（或画出Venn 图）得S∪T={1,3,5,6}，则(S∪T)＝{2,4,7,8}. 答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、Venn 图写出运算结果.3.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）=1和f （x ＋1）-f （x ）=2x.（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f （x ）是二次函数，用待定系数法求f （x ）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.解：（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1，可知c ＝1.而f （x ＋1）-f （x ）＝［a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ］-（ax 2＋bx ＋c ）＝2ax ＋a ＋b.由f （x ＋1）-f （x ）＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝-1.故f （x ）＝x 2-x ＋1.（2）∵f(x)=x 2-x+1=(x-21)2+43， ∴当x∈[-1，1]时，f （x ）的最小值是f(21)=43，f （x ）的最大值是f （-1）＝3. 拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1-4图1-5思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH 为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF ，∠ECF=90°,∴△CFE 为等腰直角三角形，同理可得△CFG、△CGH、△CEH 为等腰直角三角形.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ，则BE=0.4-x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)， W=21x 2·3a+21×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x)］a =a(x 2-0.2x+0.24)=a ［(x-0.1)2+0.23］(0<x<0.4).由于a>0，则当x=0.1时，W 有最小值，即总费用为最省.即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.课堂小结本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业复习参考题任选两题.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.。
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高一数学课本目录第一章集合与函数概念1.1 集合的概念与运算集合的定义及表示方法集合的基本性质集合的基本运算：并集、交集、补集1.2 函数的概念及其表示函数的概念与定义域、值域函数的表示方法：解析式、列表、图像函数的简单性质：单调性、奇偶性1.3 函数的基本性质函数的单调性及其应用函数的奇偶性及其应用函数的最大值与最小值第二章指数与对数函数2.1 指数的概念与运算指数的定义及性质指数幂的运算规则2.2 指数函数及其性质指数函数的定义与图像指数函数的性质2.3 对数的概念与运算对数的定义及性质对数的运算规则2.4 对数函数及其性质对数函数的定义与图像对数函数的性质第三章幂函数与基本初等函数3.1 幂函数的概念与性质幂函数的定义与图像幂函数的性质3.2 基本初等函数的综合应用指数函数、对数函数、幂函数的综合应用函数的图像变换与平移第四章函数的应用与模型4.1 函数在日常生活中的应用利率、折扣、增长率的计算函数在物理、化学中的应用4.2 函数模型及其应用函数模型的构建与求解函数模型在解决实际问题中的应用第五章空间几何体的结构5.1 几何体的基本概念点、线、面的定义及性质空间几何体的分类5.2 几何体的基本结构多面体的结构特点旋转体的结构特点第六章三视图与直观图6.1 三视图的概念与绘制三视图的基本规则三视图的绘制方法6.2 直观图的概念与绘制直观图的定义及特点直观图的绘制步骤与技巧第七章表面积与体积计算7.1 几何体的表面积计算多面体表面积的计算方法旋转体表面积的计算方法7.2 几何体的体积计算多面体体积的计算方法旋转体体积的计算方法第八章复习与巩固提高8.1 集合与函数的综合复习集合与函数的基本概念与性质的回顾集合与函数的综合应用题目的训练8.2 空间几何体的综合复习空间几何体的基本概念与结构的回顾三视图与直观图的绘制与识别能力的训练8.3 解题方法与技巧的总结与提高函数与几何问题的解题策略与方法的总结综合应用题的解题思路与技巧的训练本目录涵盖了高一数学的主要知识点，从集合与函数的基本概念开始，逐步引入指数与对数函数、幂函数等基本初等函数，再进一步探讨函数的应用与模型。
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必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3集合的基本运算1．2 函数及其表示1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1．3 函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值1.3.2奇偶性第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2.1.1指数与指数幂的运算2..1.2指数函数及其性质2．2 对数函数2.2.1对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3．2 函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2函数模型的应用实例必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.1.2简单组合体的结构特征1．2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图1.2.3空间几何体的直观图1．3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2球的体积与表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定3．2 直线的方程3.2.1直线的点斜式方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程3．3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1.1.1算法的概念1.1.2程序框图与算法的基本逻辑结构1．2 基本算法语句1.2.1输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3 算法案例（进位制等）阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体分布2.2.2.用样本的数字特征估计总体的数字特征阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3概率的基本性质阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3.2.1古典概率3.2.2（整数值）随机数的产生3．3 几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1.1.1任意角1.1.2弧度制1．2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图像1.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.4.3正切函数的性质与图像1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量2．2 平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2．4 平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2．5 平面向量应用举例2.5.1平面几何的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的简单几何性质2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的简单几何性质2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念3.1.3导数的几何意义3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数3.3.2函数的极值与导数3.3.3函数的最大（小）值与导数3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2．2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3．2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1.3 简单的逻辑联结词1.3.1且（and）1.3.2或（or）1.3.3非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程2.2 椭圆2.2.1椭圆及其标准方程2.2.2椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程2.3.2双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4.2抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算3.1.3空间向量的数量积运算3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1.1.3导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及其导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数1.3.2函数的极值与导数1.3.3函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1定积分在的几何中应用1.7.2定积分在物理中应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法2.2.2反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念3.1.2复数的几何意义3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义3.2.2复数代数形式的乘除运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3 二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1条件概率2.2.2事件的相互独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值2.3.2离散型随机变量的均差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面1.平面与球面的位置关系2.直线与球面的位置关系和球幂定理3.球面的对称性第二讲球面上的距离和角1.球面上的距离2.球面上的角第三讲球面上的基本图形1.极与赤道2.球面二面角3.球面三面角第四讲球面三角形1.球面三角形三边之间的关系2.球面“等腰“三角形3.球面三角形的周长4.球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式1.球面多边形及其内角和公式2.简单多面体的欧拉公式3.用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系1.球面上的正玄定理和余弦定理2.用向量方法证明球面上的余弦定理3.从球面上的正弦定理看球面与平面4.球面上余弦定理的应用——求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何1.平面几何与球面几何的比较2.欧式平行公里与非欧几何模型——庞加莱模型3.欧式几何与非欧几何的意义选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质1.平行线等分线段定理2.平行线分线段成比例定理3.相似三角形的判定及性质4.直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系1.圆周角定理2.圆内接四边形的性质与判定定理3.圆的切线的性质与判定定理4.弦切角的性质5.与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨1.平行射影2.平面与圆柱面的截线3.平面与圆锥面的截线选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵1.线性变换与二阶矩阵2.二阶矩阵与平面向量的乘法3.线性变换的基本性质第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法1.复合变换与二阶矩阵的乘法2.矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.二阶行列式与逆矩阵3.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量1.变换的不变量——矩阵的特征向量2.特征向量的应用选修4-3选修4-4第一讲坐标系1.平面直角坐标系2.极坐标系3.简单曲线的极坐标方程4.柱坐标系与球坐标系的简介第二讲参数方程1.曲线的参数方程2.圆锥曲线的参数方程3.直线的参数方程4.渐开线与摆线选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式1.不等式2.绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法1.比较法2.综合法与分析法3.反证法与缩放法第三讲柯西不等式与排序不等式1.二维形式的柯西不等式2.一般形式的柯西不等式3.排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式1.数学归纳法2.用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7 第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9 第一讲风险与决策的基本概念人教版高中数学目录第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介11。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
1.3 函数的基本性质(人教版高中数学必修1 第1章集合与函数概念)
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f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
2. f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x)
f(x)为偶函数 f(-x)=f(x)
定义域
x≠0
3. f(x)为奇函数，且f(x)在 x=0 处有定义 f(0)=0
f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x) 当 x=0 时，有 f(0) = -f(0)，因此有f(0)=0
函数的奇偶性
5. 根据函数奇偶性的特征，可以简化函数图象的画法.
偶函数图象关于 y轴 对称. 奇函数图象关于 原点 对称.
例3、已知函数 y=f(x) 是偶函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
y
相等
0
x
例3、已知函数 y=f(x) 是奇函数，它在 y 轴右边的图象如下 图，画出在 y 轴左边的图象.
即f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 所以，函数 f ( x ) = 3x+2 在 R上是单调增函数。
练习1 证明：函数 f ( x ) = x2+3 在 （0,+∞）上是单调增函数.
练习2 证明函数 y 1 在 （0,+∞）上是单调性. x
证明：设x1, x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
若函数在此区间上是增函数，则区间为单调递增区间
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.2 奇偶性课件 新人教A版必修1
函数单调性与奇偶性的综合
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大
小关系为
()
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和 f(－10)关系不定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又 f(x)在[0，＋∞)
(× )
(2)奇函数的图象一定通过原点．
(× )
(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．
(× )
(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0. ( √ )
2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，aห้องสมุดไป่ตู้(a＞－1)是奇函数，则 a 等于 ( )
A．－1
B．0
C．1
1．3.2 奇偶性
预习课本 P33～36，思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
[新知初探]
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件 定
义 结论
对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)＝ f(x)
利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
[解] 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是奇函 数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x－3.
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2.1函数的奇偶性课件新人教A版必修1
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 又 f(－x)＝－1x－(－x)＝－1x＋x＝－1x－x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是 R，关于原点对称， 又 f(－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数．
第三十二页，共42页。
2．已知 y＝f(x)是偶函数，且 f(4)＝5，那么 f(4)＋f(－4)的值
为( )
A．0
B．10
C．8
D．不确定
答案：B 解析：∵y＝f(x)是偶函数，且 f(4)＝5， ∴f(－4)＝f(4)＝5，故 f(4)＋f(－4)＝10.
第三十三页，共42页。
3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1)＝( )
4．奇偶性的应用中常用到的结论 (1)若函 数 f(x)是定义 在 R 上的 奇函数， 则必有 f(0)＝ ________. (2)若奇函数 f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值 M，则 f(x) 在[－b，－a]上是________函数，且有最小值________． (3)若偶函数 f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有 f(x)在(0，＋ ∞)上是________．
答案：－1 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－ (2×12－1)＝－1.
第三十五页，共42ห้องสมุดไป่ตู้。
5．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x23＋x 3； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x. 解：(1)f(x)的定义域是 R， 又 f(－x)＝－3·x－2＋x3＝－x23＋x 3＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性课件新人教必修
如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数，我们就说函数 f(x) 具
奇偶性 有_______.
温馨提示：注意函数奇偶性定义中 x 的任意性，不能认为
某个(或某些)x使定义中的等式成立，这个函数就是奇函数 或偶函数. 2.奇偶函数的图象对称性
原点 对称 .反过来，若一个函数 (1) 奇函数的图象关于 _____
类型二
奇偶函数的图象问题
【例 2】已知奇函数 f(x)的定义域为[－5，5]， 且在区间[0，5]上的图象如图所示，则使函 数值 y<0 的 x 的取值集合为________.
解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 y＝f(x)在 [－5， 5]上的图象关于原点对称.由 y＝f(x)在[0， 5]上的图象，可知它在[－5，0]上的图象，如 图所示.由图象知， 使函数值 y<0 的 x 的取值集 合为(－2，0)∪(2，5).
规律方法
1. 用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求
定义域，看是否关于原点对称；②若定义域关于原点
对称，再判断f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否恒成立. 2.若已知函数的图象或可以作出函数的图象，则观察 图象是否关于原点或y轴对称，依此判断函数的奇偶性.
【训练 1】判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝3－2|x|； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； 2x (3)f(x)＝ . x－3
(2)由 1－x2≥0，得－1≤x≤1.由|x＋2|－2≠0，得 x≠0 且 x≠－4. 故函数 f(x)的定义域是[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称. 1－x2 1－x2 当 x∈[－1，0)∪(0，1]时，x＋2>0，则 f(x)＝ ＝ x . |x＋2|－2 1－（－x）2 1－x2 ∵f(－x)＝ ＝－ x ＝－f(x)， －x 1－x2 ∴f(x)＝ 是奇函数. |x＋2|－2 (3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当 x>0 时， －x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x<0 时， －x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0， ＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性教材梳理素材新人教A版必修1
1.3.2 奇偶性疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、函数奇偶性的定义1.奇函数一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=-f （x ），那么函数f （x ）就叫做奇函数.例如：函数f （x ）=41x 3，它的定义域为R ，因f （x ）=41x 3，f （-x ）=41（-x ）3=-41x 3，所以f （-x ）=-f （x ），即对于定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=-f （x ）.所以它是奇函数.2.偶函数一般地，如果对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （-x ）=f （x ），那么函数f （x ）就叫做偶函数.例如：函数f （x ）=x 2，它的定义域为R ，因为f （-x ）=（-x ）2=x 2=f （x ），即对于定义域的任意一个x 都有f （-x ）=f （x ），所以它是偶函数.要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f （-x ）与f （x ）之间关系的，其中f （-x ）是把f （x ）解析式中的x 换成“-x ”而得到的.因为x ∈D ，-x ∈D ，所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f （-x ）与f （x ）的关系.函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.二、奇偶函数的图象特征1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.若f （x ）为奇函数，（x ，f （x ））在图象上，则（-x ，f （-x ））即（-x ，-f （x ））也在f （x ）的图象上.2.偶函数的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.若f （x ）为偶函数，（x ，f （x ））在图象上，则（-x ，f （-x ））即（-x ，f （x ））也在f （x ）的图象上.如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出函数在另一部分上的性质和图象.我们不难发现，如果奇函数y=f （x ）的定义域内有零，则由奇偶函数的定义知f （-0）=-f （0），即f （0）=-f （0）.∴f （0）=0.误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y 轴对称，指的是函数图象本身，而不是两个函数图象之间的关系.奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数则相反.问题·思路·探究问题 定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数；定义域关于原点对称的一定是奇偶函数.这两句话对吗？思路：定义域关于原点对称，且满足f （-x ）=f （x ）或f （-x ）=-f （x ）的函数才是偶函数或奇函数.其中f （-x ）=f （x ）⇔f （-x ）-f （x ）=0⇔)()(x f x f -=1（f （x ）≠0），f （-x ）=-f （x ）⇔f （-x ）+f （x ）=0⇔)()(x f x f -=-1（f （x ）≠0）， 即可利用f （x ）与f （-x ）的变形形式去证明它的奇偶性.探究：定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数，如函数f （x ）=x 4+1，x ∈［-1，2］.由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，-x 没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f （x ）=x 4+1，x ∈［-1，2］是非奇非偶函数.定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数.如f （x ）=x 2+x ，g （x ）=x 3+1，它们的定义域都是R ，因为f （-x ）=（-x ）2+（-x ）=x 2-x ≠f （x ）≠-f （x ），所以它是非奇非偶函数.同理可证g （x ）=x 3+1也是非奇非偶函数.典题·热题·新题例1 判断下列函数的奇偶性.（1）f （x ）=x+x 1； （2）f （x ）=x 2+21x； （3）f （x ）=x x 1+； （4）f （x ）=1122-•-x x ；（5）f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+.0,121,0,12122x x x x 思路解析：判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f （-x ）与f （x ）的关系.解：（1）定义域为A={x ｜x ∈R ，且x ≠0}.∵对定义域内的每一个x ，都有f （-x ）=-x+x -1=-（x+x 1）=-f （x ）， ∴f （x ）=x+x1为奇函数. （2）定义域为A={x ｜x ∈R ，且x ≠0}. ∵对定义域内的每一个x ，都有f （-x ）=（-x ）2+2)(1x -=x 2+21x =f （x ）， ∴函数f （x ）=x 2+21x 为偶函数. （3）函数的定义域为A={x ｜x ＞0}，关于原点不对称，∴函数f （x ）=x x 1+为非奇非偶函数.（4）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-,01,0122x x 得x 2=1.∴x=±1. ∴函数的定义域为{-1，1}.于是f （x ）=0，x ∈{-1，1}，满足f （-x ）=f （x ）=0，f （-x ）=-f （x ）=0.∴f （x ）既是奇函数，又是偶函数.（5）分段函数f （x ）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称.当x ＞0时，-x ＜0，f （-x ）=-21（-x ）2-1=-（21x 2+1）=-f （x ）； 当x ＜0时，-x ＞0，f （-x ）=21（-x ）2+1=21x 2+1=-（-21x 2-1）=-f （x ） . 综上所述，在（-∞，0）∪（0，+∞）上总有f （-x ）=-f （x ），∴f （x ）是奇函数.深化升华 注意此处空半格(1)根据函数奇偶性的定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数.②再看f （-x ）与f （x ）的关系.③然后得出结论.(2)定义域关于原点对称，满足f （-x ）=-f （x ）=f （x ）的函数既是奇函数也是偶函数，如f （x ）=0，x ∈R .(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与-x 的所在范围，及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域. 例2 (2006辽宁高考)设f （x ）是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数思路解析：据奇偶函数性质，易判定f(x)f(-x)是偶函数，f(x)-f(-x)是奇函数，f(x)|f(-x)|的奇偶性取决于f(x)的性质，只有f(x)+f(-x)是偶函数.答案：D例 3 已知函数y=f(x)(x ∈R 且x ≠0)，对于任意两个非零实数x 1、x 2，恒有f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2)，试判断函数f(x)的奇偶性.思路解析：对抽象函数奇偶性的判定，因无具体的解析式，因此需要利用给定的函数方程式，对变量x 1、x 2赋值，将其变成含有f(x)、f(-x)的式子加以判断.答案：由题意知f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.令x 1=x 2=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0，令x 1=x 2=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0，取x 1=-1，x 2=x ，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，∴函数是偶函数.深化升华 注意此处空半格不管函数的表达式多复杂或有没有给出，判断奇偶性时都要先考虑函数的定义域是不是关于原点对称.对于未给出函数解析式的抽象函数，判断奇偶性的关键是寻求f （-x ）与f （x ）的关系，为此要给x 赋以恰当的值来完成.例4 若f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x （1-x ），求当x ≥0时，函数f （x ）的解析式.思路解析：将x ＜0时f （x ）的解析式转化到x ＞0上，这是解决本题的关键.解：由f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）=-f （x ）=-{（-x ）［1-（-x ）］}=x （1+x ）； 当x=0时，f （0）=-f （0），即f （0）=0.∴当x ≥0时，f （x ）=x （1+x ）.深化升华 注意此处空半格判断分段函数的奇偶性，对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值范围确定相应的函数表达式，最后要综合得出在定义域内总有f （-x ）=f （x ）或f （-x ）=-f （x ），从而判定其奇偶性.例5 设f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有f （2a 2+a+1）＜f （3a 2-2a+1），求a 的取值范围.思路解析：要求a 的取值范围，就要布列关于a 的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是关键.答案：由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（-∞，0）上递增知f （x ）在（0，+∞）上递减. ∵2a 2+a+1=2（a+41）2+87＞0，3a 2-2a+1=3（a-31）2+32＞0， 且f （2a 2-2a+1）＜f （3a 2-2a+1），∴2a 2+a+1＞3a 2-2a+1，即a 2-3a ＜0.解之得0＜a ＜3.深化升华 注意此处空半格该例在求解过程中，事实上用到了前面提到的减函数定义的逆命题，要善于运用化归的思想解决问题.例6 （经典回放）函数f （x ）=x 2+|x-a|+1，x ∈R .（1）讨论f （x ）的奇偶性；（2）求f （x ）的最小值.思路解析：解决此题的关键应寻求对字母a 讨论的标准.讨论f （x ）的奇偶性，就需要找f （x ）、f （-x ）的关系.从而发现要对a 是否为零展开讨论.（2）求f （x ）的最小值，由绝对值的定义展开对a 的讨论，分x ≤a ，x ≥a.解：（1）∵f （x ）=x 2+|x-a|+1，∴f （-x ）=x 2+|x+a|+1.∴a=0时，f （x ）=f （-x ）.此时f （x ）为偶函数.a ≠0时，f （x ）≠f （-x ）且f （x ）+f （-x ）=2（x 2+1）+|x-a|+|x+a|≠0.∴f （x ）既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x ≤a 时，函数f （x ）=x 2-x+a+1=（x-21）2+a+43. 若a ≤21，则函数f （x ）在（-∞，a ］上单调递减，从而函数f （x ）在（-∞，a ］上的最小值为f （a ）=a 2+1；若a ＞21，则函数f （x ）在（-∞，a]上的最小值为f （21）=43+a ，且f （-21）≤f （a ）.②当x ≥a ，函数f （x ）=x 2+x-a+1=（x+21）2-a+43； 若a ≤-21，则函数f （x ）在［a ，+∞］上的最小值为f （-21）=43-a ，且f （-21）≤f （a ）.若a ＞-21，则函数f （x ）在［a ，+∞）上单调递增，从而，函数f （x ）在［a ，+∞）上的最小值f （a ）=a 2+1.综上，若a ≤-21，则f （x ）min =43-a.若-21＜a ≤21，则f （x ）min =a 2+1. 若a ＞21，则f （x ）min =a+43. 深化升华 注意此处空半格分类讨论思想是中学数学的重要思想，利用该思想解题过程中的关键是分类讨论的标准和依据.例7 已知f(x)、g(x)均为奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+∞)上有最大值7，则在(-∞，0)上F(x)的最小值为___________________.思路解析：本题根据已知条件直接去求解是不可取的，因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此充分利用“f(x)、g(x)均为奇函数”这一条件，构造一个新函数来帮助求解. 解：∵F(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+∞)上有最大值7，∴F(x)-5=af(x)+bg(x)在(0，+∞)上有最大值2.由于f(x)、g(x)均为奇函数，所以F(x)-5=af(x)+bg(x)亦为奇函数，故其图象关于原点对称，因此F(x)-5=af(x)+bg(x)在(-∞，0)上有最小值-2，即F(x)=af(x)+bg(x)+5在(-∞，0)上有最小值3.答案：3深化升华 注意此处空半格通过构造出一个辅助函数，利用两个奇函数的和仍为奇函数，结合奇函数的图象与性质，使问题得到巧妙的解决.例8 已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图:则F(x)=f(x)·g(x)的图象可能是下图中的( )思路解析：这是一道函数图形题，解题的关键在于从图形中提炼出数学问题，并将其转化成数学条件，再利用该条件解决问题.解：由已知图象可知，y=f(x)与y=g(x)均为奇函数，∴F(x)=f(x)·g(x)为偶函数，且定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，故D 是错误的. 又∵在y 轴的左侧附近有f(x)＞0，g(x)＜0，∴F(x)＜0，在y 轴的右侧附近有f(x)＜0，g(x)＞0，∴F(x)＜0，故选A.答案：A深化升华 注意此处空半格本题是数形结合中的以形助数类型的题，首先从已知图象判断两函数的奇偶性，得出F(x)=f(x)·g(x)为偶函数，其图象是关于y 轴对称的，排除D ，然后利用在y 轴的附近f(x)和g(x)的符号判断出正确的图象.。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第13课时函数的奇偶性aa高一数学
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5．函数 f(x)＝1x－x 的图象关于( )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
解析：选 C f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－1x＋x＝－
f(x)，∴f(x)为奇函数，故 f(x)的图象关于坐标原点对称，故选 C．
在 y＝f(x)的图象上，故选 D．
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7．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数 y＝f(x)是奇函数，其 部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数 f(x)的图象； (2)比较 f(1)与 f(3)的大小．
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解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，根据 对称性，作出 f(x)的图象如图所示．
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9．已知函数 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
那么 a＋b＝( )
Hale Waihona Puke A．0B．12C．13
D．－1
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解析：选 C
a－1＋2a＝0， 依题意有－2ba＝0，
解得a＝13， b＝0.
∴a＋b＝13.故选 C．
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6．若函数 y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函
数 f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a))
B．(－a，－f(－a))
C．(－a，f(a))
D．(－a，－f(a))
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2019-2020学年高中数学第一章《集合与函数的概念》1.3函数的奇偶性第1
课时教学说明新人教版必修1
一．教材分析
“函数奇偶性”是选自人教版高中数学必修第四章第三节的教学内容。
函数奇偶性是函数重要性质之一，函数奇偶性既是函数概念的延续和拓展，也是今后研究各种基本初等函数的基础。
这一节利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学的教学与学习当中。
从方法论的角度来看，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。
同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以函数的奇偶性应重点研究。
二．教学目标分析
1．知识目标：了解奇函数与偶函数的概念。
2．能力目标：
（1）能从数和形两个角度认识函数奇偶性。
（2）能运用定义判断函数的奇偶性。
3．情感目标：
（1）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合、从特殊到一般的数学思想。
（2）通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。
三．教学设计思路说明
学情分析：
思维方面：高一学生已具有一定的形象思维能力，已能从直观的角度来认识一些简单的图形，但分析、归纳、抽象的思维能力还是比较薄弱，通过恰当的培养和引导能够使得学生的分析归纳能力得到提高。
知识方面：通过初中所学的对称图形以及对称的概念的学习，对函数定义域、值域的理解和学习，学生也基本掌握了从哪些方面来认识和学习函数，但是学生的分析归纳能力以及对事物本质的认识能力还比较弱，所以我们必须引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识。
问题诊断：
学生对图象的对称已有一个初步认识，通过问题1的设置，引导学生回忆，为下一步对函数奇偶性概念的认识做铺垫。
同时通过回忆让学生感受对称与我们的生活密切相关，进而激发学生的学习兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。
学生对对称图形比较熟悉，在举例时可能会举出长方形，正方形，圆等不是函数的对称图形，为强调
本节课研究的是函数的对称性问题，问题2的设置将对称图形限制在了函数范围内，于是学生就很容易得到一次函数、反比例函数、二次函数图形等对称图形，从而引入概念。
学生对图象的认识由感性上升到理性，这是一个难点。
如何突破难点？这里以学生较熟悉的3)(x x f =切入，顺应了学生的认知规律做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，既做到了“直观、具体”，又很好的把握了教学内容的整体性和联系性。
这里恰当运用几何画板的动态演示图象上运动的两点坐标之间的关系，直观得到这两点横坐标总是互为相反数（可加问题，两横坐标的对称性是什么？学生可得出关于y 轴对称(易)或原点对称（较难），为得出后面结论2埋下伏笔），纵坐标互为相反数，使学生获得由“形”到“数”的理性认识，从而得出奇函数的概念（对概念有了初步的认识），让学生体验了数学概念的形成过程。
问题4突出奇函数的“形”的特征。
几何画板演示2)(x x f =图象，在类比奇函数的概念学生容易总得出偶函数的概念及图象性质。
由于学生的代数变形能力、判断归纳能力较差，为了防止学生在对例题第（3）小题的解答时，出现
)()2()(2)()(2525x f x x x x x f -=+-=-+-=-这种生拉硬套的错误解答，所以我在板书例题（1）
（2）时将判断函数奇偶性的步骤分为了三步：
第一步：先求出函数定义域是否关于原点对称。
第二步：写出)(x f -与)(x f -的表达式并化简。
第三步：确定)()(x f x f =-与)()(x f x f -=-是否成立？是一个成立还是两个都成立，还是两个都不成立？
第（3）小题的另一作用是为了加深对概念中“任意”两字的理解。
讲解完例题的前三个小题后总结：这三个小题的定义域都是R ，而函数奇偶性判断的结果却不一样，学生自然容易得出结论2（对函数奇偶性概念有了比较深入的认识、理解）。
第（4）小题加强函数奇偶性的判断。
第（5）小题强调结论2。
由于学生做题时缺乏化简的意识，故我设置了第（6）小题，强调对于较复杂的函数在判断其奇偶性时要有化简的意识。
课堂练习与课后作业的设置是为了加深学生对函数奇偶性概念的理解及函数奇偶性判断的强化。
拓展是为了开阔学生的视野，同时加强学生对函数奇偶性概念的理解及函数奇偶性性质的运用。
四．教法特点及预期效果
1．教法分析
《新课标》指出：“学生在整个教学活动中，始终是认识与发展的主体。
”遵循“教必须以学为基础”的原则，结合学生在形象思维能力及概括、理解能力上的差异，我选择的是“教师引导下的合作探究”的
教学方法。
2．学法分析
立足于学生已有的知识经验和认知发展的水平，在教师引导下积极参与充满合作、探索的学习过程，亲身经历概念的形成过程，充分发挥学生的动手参与实践的能力，使学生的学习过程成为在教师指导下的知识“再创造”过程。
在这一过程中，师生之间、生生之间的交流显得充分自然，合作学习的能力会得到较好的发展。
预期效果：
（1）学生对“数形结合”思想有更深的了解
（2）能提高学生的代数变形能力及归纳能力
（3）培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。