2012高考数学分类汇编---数列详解

2012高考数学分类汇编---数列详解2012高考数学分类汇编-数列1. 安徽 4.公比为2等比数列{}na 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =（ ） ()A 4()B 5()C 6 ()D 7【解析】选B：23311771072101616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔= 2. （安徽21）（本小题满分13分） 数列{}nx 满足：2*110,()n n n xx x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}nx 是单调递减数列的充分必要条件是0c <（II ）求c 的取值范围，使数列{}nx 是单调递增数列。

【解析】（I ）必要条件：当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}nx 是单调递减数列充分条件：数列{}nx 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=得：数列{}nx 是单调递减数列的充分必要条件是0c <（II ）由（I ）得：0C ≥，①当0c =时，10na a ==，不合题意 ②当0c >时，22132,201xc x x c c x c c =>=-+>=⇔<<2211010n n n n n x x c x x c x x c+-=->⇔<<⇔=≤<22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+- 当14c ≤时，1211102nn n n n xc x x x x +++<≤⇒+-<⇔-与1n nxx +-同号，由212100n nn nx x c x x x x ++-=>⇒->⇔>21lim lim()lim n nnnn n n x x x c x c +→∞→∞→∞=-++⇔=当14c >时，存在N ，使121112NN N N N xx x x x +++>⇒+>⇒-与1N Nxx +-异号与数列{}nx 是单调递减数列矛盾得：当104c <≤时，数列{}nx 是单调递增数列3.北京8.某棵果树前n 前的总产量S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。

m 值为（ ）A.5B.7C.9D.11【解析】由图知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C 。

【答】C 4.北京10．已知}{na 等差数列nS 为其前n 项和。

若211=a ，32a S=，则2a =_______。

【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ， 所以112=+=d a a，n n d n n na Sn4141)1(21+=-+=。

【答案】12=a，n n S n 41412+=5.北京20．（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零. 记(),S m n 为所有这样的数表组成的集合. 对于(),A S m n ∈，记()ir A 为A 的第i 行各数之和（1im剟），()jc A 为A 的第j 列各数之和（1jn剟）；记()k A 为1()r A ，2()r A ，…，()mr A ，1()c A ，2()c A ，…，()nc A 中的最小值.（1）对如下数表A ，求()k A 的值； 1 10.8-0.1 0.3- 1- （2）设数表()2,3A S ∈形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()2,21A S t ∈+，求()k A 的最大值.1 1 c a b 1-解：（1）由题意可知()11.2r A =，()21.2r A =-，()11.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（2）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为，即1a b c ++=-∴11c a b =---<-，与题目条件矛盾，∴()1k A ≤． 易知当0a b ==时，()1k A =存在，∴()k A 的最大值为1（3）()k A 的最大值为212t t ++.， 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2, (21)i jA ai j t ===+：1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211..., (1)(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+.经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t ≤≥+. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x=≤⋅++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾.因此()k A 的最大值为212++t t 。

6.福建2等差数列}{na 中，7,10451==+a a a，则数列}{na 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4考点：等差数列的定义。

难度：易。

分析：本题考查的知识点为复等差数列的通项公式dn a an)1(1-+=。

解答：273104211=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a 。

7.福建14.数列}{na 的通项公式12cos+=πn n a n，前n 项和为nS ，则=2012S___________。

【3018】考点：数列和三角函数的周期性。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。

解答： 1012cos )14(12)14(cos)14(14+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，1)24(1cos )24(12)24(cos)24(24++-=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，10123cos )34(12)34(cos )34(34+=+⨯+=++⨯+=+ππn n n a n ，14412cos )44(12)44(cos)44(44++=+⨯+=++⨯+=+n n n n a n ππ，所以++14n a ++24n a ++34n a 644=+n a 。

即30186420122012=⨯=S。

8.广东11. 已知递增的等差数列{}na 满足21321,4a a a ==-，则_____na = 【解析】_____na =21n -221321,412(1)4221na a a d d d a n ==-⇔+=+-⇔=⇔=-9.广东19.(本小题满分14分)：设数列{}na 的前n 项和为n S ，满足1*1221()n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列。

（1）求1a 的值；（2）求数列{}na 的通项公式。

（3）证明：对一切正整数n ，有1211132na a a+++<L【解析】（1）12112221,221n n nn n n S a S a +++++=-+=-+ 相减得：12132n n n a a +++=+12213212323,34613S a a a a a a =-⇔=+=+=+ 123,5,a a a +成等差数列13212(5)1a a a a ⇔+=+⇔=（2）121,5a a ==得132n n na a +=+对*n N ∀∈均成立 1113223(2)n n nn n n na a a a +++=+⇔+=+ 得：122112123(2)3(2)3(2)32n n n n n nn n n na a a a a -----+=+=+==+⇔=-L（3）当1n =时，11312a=< 当2n ≥时，23311()()23222222n n n n n n n a a ≥>⇔>⨯⇔>⇔<231211111111311222222n n n a a a +++<++++=+-<L L 由上式得：对一切正整数n ，有1211132na a a +++<L 10.湖北7．定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}na ， {()}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数：①2()f x x =； ②()2xf x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ② B ．③④C ．① ③D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算. 难易度：★解析：等比数列性质，212++=n n n a aa ，①()()()()122212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ； ②()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a a n n a f a f a f n n n n n ；③()()()122122++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；④()()()()122122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C11.湖北18．（本小题满分12分）已知等差数列{}na 前三项的和为3-，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}na 的前n 项和.18．解：（Ⅰ）设等差数列{}na 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35na n n =--=-+，或43(1)37na n n =-+-=-.故35na n =-+，或37na n =-.（Ⅱ）当35na n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.nn n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}na 的前n 项和为nS . 当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++L 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-L2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩12湖南19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，…… [来^&源:中教网@~%]（1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式.（2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A（n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列.【解析】解（１）对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()(),B n A nC n B n -=-即112,n n aa a ++-=亦即2121 4.n n aa a a +--=-=故数列{}na 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.nan n =+-⨯=-（Ⅱ）（１）必要性：若数列{}na 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0na>知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.（２）充分性：若对于任意N n *∈，三个数(),(),()A nB nC n 组成公比为q 的等比数列， 则：()(),()()B n qA nC n qB n ==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即 2121.n n a qa a a ++-=-由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n aqa ++-=.因为0na>，所以2211n n aa q aa ++==，故数列{}na 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{}na 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.13.江苏6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．【答案】35。