大数定律和中心极限定理40页PPT

大数定律与中心极限定理通用课件

01
中心极限定理
定义
中心极限定理：在大量独立同散布的随机变量下，这些随机变量的平均值的散布趋近于正态散布，即使这些随机变量的散布本身并不一定是正态散布。
中心极限定理是概率论和统计学中的一个基本概念，它在许多领域都有广泛的应用，如金融、生物、社会科学等。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同散布的随机变量，这些随机变量的散布可以是任何散布，不一定是正态散布。
实际应用案例
股票市场分析
总结词
股票市场分析
详细描述
大数定律和中心极限定理在股票市场分析中有着广泛的应用。股票价格的波动受到多种因素的影响，包括市场情绪、公司事迹、宏观经济状况等。通过运用大数定律和中心极限定理，投资者可以对股票价格进行概率分析和预测，从而做出更加理性的投资决策。
保险精算
总结词：保险精算
深化理论分析
虽然大数定律和中心极限定理已有较为完善的理论体系，但在某些特定场景下，其理论分析仍需进一步深化和完善。例如，对于非独立同散布样本的情况，这两个定理的适用性和证明方法仍需进一步探讨和研究。
与其他理论的结合
大数定律和中心极限定理可以与其他概率论和统计学中的理论相结合，形成更为完善的理论体系。例如，可以与贝叶斯统计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等理论相结合，用于解决更为复杂和实际的问题。
本课件采用了理论分析和实证研究相结合的方法，对大数定律和中心极限定理进行了深入探讨。通过分析大量的实证数据，我们发现这两个定理在许多实际场景中都得到了验证和应用，为相关领域的研究和实践提供了重要的理论支持和实践指点。
未来研究方向
拓展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，大数定律和中心极限定理的应用领域将不断拓展。例如，在人工智能和大数据领域，这两个定理可以用于设计和优化算法，提高数据分析和预测的准确性和效率。

大数定律及中心极限定理.ppt

高斯在研究误差理论时已经用到正态分布，以炮弹射击误
差为例，设靶心是坐标原点，多次射击的结 Y
果，炮弹弹着点为(X,Y)，它是二维随机变量，都认为它服从正态分布，它的每一个
M (X,Y)
y
分量X和Y服从正态分布，这到底为什么？要搞清误差是怎样？
一般来说，如果某个随机变量是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的，而其中每一项因素对总和的影响是“均匀微小的”，那么可以断定这个随机变量服从或近似服从正态分布中心极限定理是用极严格的数学推导来论证这一事实。下面介绍中心极限定理的基本形式。
二、两个中心极限定理
定理3（同分布的中心极限定理）设随机变量X1, X2, …,X n…独立同分布,且E(Xk)= ,D(Xk)=2≠0，
n n
引人随机变量
Xk
1，在第k次试验中A发生 0，在第k次试验中A不发生, k
1，2，, n
n
因而 n
X
，
k
k 1
X
1，X
，
2
X
n
相互独立均服从两点分布，
EXk p，DXk p1 p，
由切比雪夫大数定律，有
1
lim
n
P
|
n
n
Xk
k 1
p
|
l i m P | n
n n
p | 1
X = X1 + X2 + X3 + X4 + ······
而且这些小误差可以看成彼此相互是独立的，因此要讨论 X的分布，就要讨论独立随机变量和的分布问题，中心极限定理就是研究在什么条件下独立随机变量序列和的极限分布服从正态分布的一系列定理的总称。由于正态分布在概率论理论和应用中占有中心地位，因此这些定理称为中心极限定理。

第五章大数定律与中心极限定理《概率论》PPT课件

概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中心极限定理表明，若随机变量序列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …，则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理, 也称列维——林德伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币正面出现频率
生产过程中的字母使用频率废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即

理学大数定律及中心极限定理PPT课件

k 1
其中 X 1 ,, X n 相互独立且都服从于两点分布，且
EX k p，DX k pq
n
X k n
由定理1有结论成立。
lim P{ k1
n
n
x}
1
x t2
e 2 dt
2
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第五章大数定律及中心极限定理
推论：
lim
P{
n
np
n
npq
P{X r} 0.999
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第五章大数定律及中心极限定理
而 P{X r}
P{a n b}
( b np ) ( a np )
npq
npq
( r 200 0.6 ) ( 200 0.6 )
200 0.6 0.4
200 0.6 0.4
设不超过的界限为，则应有：
P
X 6000
-
1 6
0.99
由德莫佛-拉普拉斯定理目录前一页后一页退出第20页/共29页
第五章大数定律及中心极限定理
P
X 6000
-
1 6
n 6000, p 1 / 6.
lim
P{
n
np
x}
( x)
n
npq
P
X 6000 1/ 6
6000
EX k , DX k 存在，令：
n
n
Yn ( Xk EXk ) /
k 1
k 1
n
DXk ,
k 1
若对任意 x R1 有
1 x t2
lim
n
P{Yn

大数定律和中心极限定理.ppt

n
X i n
i 1
n
3
近似服从标准正态分布
于是所求概率为

P
1 n
n i 1
Xi

P

n i1
Xi
n

n

n

P i1 X i n
3n

2
3n 1

n

3

(2)当n 36, 1/ 6时,所求概率为
（1）保险公司一年的利润不少于6万元的概率；
（2）保险公司亏本的概率。
解设参加保险的一万人中一年内的死亡的人数为X ,
则X ~ b10000,0.006,其分布律为
PX

k
1k0000
0.006k

0.994 10000k
k 0,1,2,,10000
lim n
P
n np
np1 p

x
x
1
t2
e2
dt

Φ

x
2π
当n充分大时,对任意a b,有
Pa n b P
a np
np1 p

n np
np1 p
b np
np1 p
Φ
第五章大数定律和中心极限定理
第一节第二节
大数定律中心极限定理
第一节大数定律
定义1设Y1,Y2 ,,Yn ,是一个随机变量序列, a是一个常
数, 若对任何正数 , 有
limP Yn a 1
n
则称序列Y1,Y2 ,,Yn ,依概率收敛于a,记为Yn Pa 依概率收敛的序列有如下性质：设X n Pa,Yn Pb,又设g(x, y)在点(a,b)连续,则

大数定律及中心极限定理PPT课件

3
n) 1, 2
n 1,2
证明:{X n}服从大数定律.
证明： k 1,2, E
Xk

1 3 2
k

1 (3 2
k ) 0,
2
DX k

E
X
2 k

k3.
由切比雪夫不等式可得
相互独立
P

1 n
n k 1

1 n
n
EXk
k 1

lim
n
Fn
(
y)

lim
n
P(Yn

y) ( y)
例1.一加法器同时收到100个噪声电压Vk (k 1, 2,, 100),设它们是相互独立的随机变量, 且都在区间
100
(0,10)上服从均匀布, 记V Vk , 求P{V 520}的近似值. k 1
解 :易知E(Vk ) 5，D(Vk ) 100/12(k 1, 2, ,100).
由独立同分布的中心极限定理知
P{V 520} P{ V -100 5 520 -100 5 } 100/12 100 100/12 100
1 { 520 -100 5 ) 100/12 100
1- (0.693) 0.245.
练习：某种电子元件40个，其寿命服从参数为0.1(小时-1)的指数分布，让他们依次工作, 求总工作时间不足380小时的概率。

1
D( 1 n n k 1
2
Xk)
1
n2
k3
k 1
n2 2
1
2
2

《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理

有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量，相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为

统计基础二大数定律与中心极限定理PPT课件

白色纸条代表总体的数据；绿色纸条代表平均值的样本；我们用MINITAB来模拟做这个练习。
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[例题1] 中心极限定理应用模拟
让我们用MINITAB产生一些模拟的数据来验证我们的理论。首先用MINITAB产生9列各250个数据，假设这些数据来自一个
平均值=70、标准偏差=9的正态分布: 则列C1-C9 代表白色纸条然后求出各行9个数据的平均值，其结果放在列C10，则 C10代表绿色纸条。我们用描述统计的方法求出各列数据的平均和标准偏差。
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1、用Chi-Square分布随机产生9列，每列各有250个数据
第22页/共28页
2、用产生的数据进行点图描绘和正态检验
在这里看到，这是一个很偏移的分布，我们用它来验证中心极限定理
99.9
99
95
Dotplot of C9
90
80
Percent
70 60 50 40 30
20
独立同分布中心极限定理：
“随机变量x1，x2，…独立，且服从同一分布，若存在有限的数学期望E(xi)=u和方差D(xi)=σ2，当n→∞时，随机变量的总和Σxi趋于均值为nu，方差为n σ2的正态分布。（即算术平均数1/n Σxi=xbar趋于均值为u，方差为σ2/n的正态分布）”
➢ 不论总体服从何种分布，只要它的数学期望和方差存在，从中抽取容量为n的样本，则这个样本的总和或平均数是随机变量，当n充分大时， Σxi或 xbar趋于正态分布。
C4
250 71.108 0.577 71.120 9.125 70.722
C5
250 70.398 0.542 70.402 8.574 70.105

大数定律和中心极限定理课件

分布都趋于正态分布。
大数定律是中心极限定理的一种特例，当随机变量数量趋于无穷时，中心极限定理可以看作是大数定律的一种推广。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变量的和或积的分布。
中心极限定理的证明
中心极限定理定义
无论随机变量的分布形式如何，当样本量足够大时，样本均值的分布趋近于正态分布。
证明过程
利用概率论中的中心极限定理，通过数学归纳法和极限定理的推导，证明中心极限定理的正确性。
06
实际应用案例
大数定律应用案例
保险业
统计学
大数定律是保险业的基础，根据大数定律，保险公司可以预测未来的损失，从而制定合理的保费和赔付方案。
大数定律和中心极限定理课件
• 大数定律 • 中心极限定理 • 大数定律与中心极限定理的应用 • 大数定律与中心极限定理的关联
与区别 • 理论证明与推导 • 实际应用案例
目录
01
大数定律
定义
01
大数定律是指在大量重复实验中，某一事件发生的频率将趋近于该事件发生的概率。
02
大数定律是概率论和统计学中的基本概念，它描述了随机现象在大量重复实验中呈现出的规律性。
决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定的情况下做出决策。例如，通过模拟大量可能的结果并计算其分布，可以评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的
关联与区别
关联性分析