第6讲 分解因式的应用(接上一讲)
因式分解讲义精讲
教育教学讲义
学员姓名：年级：学科教师：
上课时间：辅导科目：数学课时数：2
课题因式分解
教学目标讲解因式分解的三种方法 1 提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1因式分解
谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：。
因式分解方法汇总
因式分解是代数运算中最重要的恒等变形。
因式分解是把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解方法灵活，技巧性强。
学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。
分解因式注意点：确定公因式的方法：用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：1、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；2、公因式系数是各项系数的最大公约数；3、公因式中的字母是各项都含有的字母；4、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；5、若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出。
提取公因式时候容易出现的错误：1、提公因式时丢项分解因式：4a²b-6ab²+2ab错解：4a²b-6ab²+2ab=2ab（2a–3b）错误原因：误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略。
正解：4a²b-6ab²+2ab =2ab（2a–3b+1）2、提公因式时不完全提取分解因式：6（a–b）²–12（a–b）错解：6（a–b）²–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）错误原因：没有按提取公因式的规则找出公因式：即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。
正解：6（a–b）²–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）3、提取公因式后，有同类项不合并分解因式：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)错解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]错误原因：分解因式时，能合并同类项而没有合并，造成分解不彻底．正解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]= x(x+y)(x+y–x+y)=2xy(x+y)分解方法可归纳如下：1、提公因式法提取公因式法是因式分解的最基本的方法之一，就是如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
因式分解教案5篇
式分解教案5篇因式分解教案篇一教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力。
2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法。
3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想。
教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式。
教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解。
什么叫因式分解？知识详解知识点1因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
例如:(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验。
怎样把一个多项式分解因式？知识点2提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式。
ma+mb+mc二m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如:x2-x=x(x-l),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1)。
探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1用提公因式法将下列各式因式分解。
(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a);分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a 化成-(a-b)，然后再提取公因式。
因式分解完整讲义
因式分解【知识要点】1．分解因式 （1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________； 分解因式是____________________________________________________； 所以，分解因式和整式乘法为_______关系。
3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。
（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。
（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号。
4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________（2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1）3241626m m m -+- （2）2()3()x y z y z +-+（3）2()()()x x y x y x x y +--+ （4）(34)(78)(1112)(78)a b a b a b a b --+--【例2】（1）已知5x y +=，6xy =，求2222x y xy +的值。
（2）已知6b a -=，7ab =，求22a b ab -的值。
【随堂练习】1．分解因式：（1）3423222102x y x y x y -+ （2）()()()(2)m n m n n m m n +---+（3）(23)()(32)()x y a b x y a b -++-+ （4）32222(2)(2)(2)x x x x x x ---+-注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。
因式分解教案模板(10篇)
因式分解教案模板（10篇）因式分解教案 1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1)._2-4y2=(_+2y)(_-2y)因式分解(2).2_(_-3y)=2_2-6_y整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1整式乘法(4)._2+4_+4=(_+2)2因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9整式乘法(6).m2-4=(m+4)(m-4)因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r)因式分解2、规律总结(教师讲解)：分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点：(1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.(3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6_2+6_y+3_=-3_(2_-2y-1)公因式的概念;公因式的求法公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。
现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：场景一：正方形折叠演示师：这就是我们得到的正方形。
下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
因式分解教案4篇
因式分解教案4篇因式分解教案篇1教学目标1．知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．2．过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．3．情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．重、难点与关键1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．教学方法采用“激趣导学”的教学方法．教学过程一、创设情境，激趣导入请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗？1．ma+mb+mc=（）（）；2．2－4=（）（）；3．2－2y+y2=（）2．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．三、小组活动，共同探究（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①（+1）（－1）=2－1；②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；③7－7=7（－1）．（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．①92（______）+y2=（3+y）（_______）；②2－4y+（_______）=（－_______）2．四、随堂练习，巩固深化课本练习．计算：993－99能被100整除吗？五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1．什么叫因式分解？2．因式分解与整式运算有何区别？六、布置作业，专题突破选用补充作业．板书设计15.4.1 因式分解1、因式分解例：练习：15.4.2 提公因式法教学目标1．知识与技能能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．2．过程与方法使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．3．情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．重、难点与关键1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．•公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．教学方法采用“启发式”教学方法．教学过程一、回顾交流，导入新知下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？（1）22+4=2（2+2）；（2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；（3）2+4y－y2=（+4y）－y2；（4）m（+y）=m+my；（5）2－2y+y2=（－y）2．问题：1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？2．多项式42－和y2－yz－y呢？请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在42－中的公因式是，在y2－yz－y中的公因式是y．概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．二、小组合作，探究方法多项式42－86，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．三、范例学习，应用所学把－42yz－12y2z+4yz分解因式．解：－42yz－12y2z+4yz=－（42yz+12y2z－4yz）=－4yz（+3y－1）分解因式，3a2（－y）3－4b2（y－）2观察所给多项式可以找出公因式（y－）2或（－y）2，于是有两种变形，（－y）3=－（y－）3和（－y）2=（y－）2，从而得到下面两种分解方法．解法1：3a2（－y）3－4b2（y－）2=－3a2（y－）3－4b2（y－）2=－[（y－）23a2（y－）+4b2（y－）2]=－（y－）2 [3a2（y－）+4b2]=－（y－）2（3a2y－3a2+4b2）解法2：3a2（－y）3－4b2（y－）2=（－y）23a2（－y）－4b2（－y）2=（－y）2 [3a2（－y）－4b2]=（－y）2（3a2－3a2y－4b2）用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．引导学生观察并分析怎样计算更为简便．解：0.84×12+12×0.6－0.44×12=12×（0.84+0.6－0.44）=12×1=12．在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？四、随堂练习，巩固深化课本P167练习第1、2、3题．利用提公因式法计算：0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结，发展潜能1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．•在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．六、布置作业，专题突破课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．板书设计15.4.2 提公因式法1、提公因式法例：练习：15.4.3 公式法（一）教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）2－9y2；（2）164－y4；（3）12a22－27b2y2；（4）（+2y）2－（－3y）2；（5）m2（16－y）+n2（y－16）．在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．分四人小组，合作探究．解：（1）2－9y2=（+3y）（－3y）；（2）164－y4=（42+y2）（42－y2）=（42+y2）（2+y）（2－y）；（3）12a22－27b2y2=3（4a22－9b2y2）=3（2a+3by）（2a－3by）；（4）（+2y）2－（－3y）2=[（+2y）+（－3y）][（+2y）－（－3y）] =5y （2－y）；（5）m2（16－y）+n2（y－16）=（16－y）（m2－n2）=（16－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化课本P168练习第1、2题．1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．板书设计15.4.3 公式法（一）1、平方差公式：例：a2－b2=（a+b）（a－b）练习：15.4.3 公式法（二）教学目标1．知识与技能领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．2．过程与方法经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．3．情感、态度与价值观培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．重、难点与关键1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，•达到能应用公式法分解因式的目的．教学方法采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．教学过程一、回顾交流，导入新知1．分解因式：（1）－92+4y2；（2）（+3y）2－（－3y）2；（3） 2－0.01y2．因式分解教案篇2学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。
分解因式
【本章学习目标】本章主要内容是分解因式的意义及分解因式的四种基本方法．分解因式是整式乘法的逆变形．分解因式的结果须满足下列条件：①积的形式；②每一个因式都是整式；③随着数范围的扩大，因式分解的结果也不相同，现阶段在有理数范围内的分解，必须保证每一个因式不能再分解．分解因式的四种基本方法：①提公因式法．这是分解因式最基本的也是最常用的方法，其关键是找出多项式各项的公因式．公因式的系数取各项系数的最大公约数，字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．②运用公式法．将五个乘法公式反过来运用就得到了因式分解公式．用公式法因式分解的关键是要熟悉各公式的形式和特点，根据多项式的项数、次数来选择运用公式．③分组分解法．它是为提公因式法和运用公式法来创造条件，即把多项式各项先适当分组，分组后能够提公因式或适用于某一公式进行分解因式．④十字相乘法．它是分解二次三项式的一种常用方法，可将二次三项式c bx ax ++2的二次项系数a及常数项c ，分解为两个因数的乘积，如：，然后按斜线交叉相乘，若有21c a +12c a b =(一次项系数)，则有：))((22112c x a c x a c bx ax ++=++．由于分解因式题型广泛，方法灵活，所以熟练地掌握这四种基本方法，具体问题具体分析，合理地运用是非常重要的．同时这部分内容将在分式通分和约分时有着直接的应用，在解方程以及三角函数式的恒等变形等方面也经常用到．因此，读者应给予足够重视．【基础知识精讲】1．经历从分解因数到分解因式的类比过程．2．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系． 3．感受分解因式在解决相关问题中的作用．【重点难点解析】掌握从因数分解到因式分解的类比思想方法十分重要． A ．重点、难点提示1．经历从分解因数到分解因式的类比过程。
2．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的关系。
（这一点很重要）3．感受分解因式在解决相关问题中的作用。
06.秋季-八年级-第6讲-一元二次方程之整数根(教师版)
第六讲 一元二次方程——整数根问题 姓名：_____【例1】 如图所示，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，交CD 于F ，//FG AB 交BC 于G ．求证：（1）CE CF =；（2）CE GB =．【解析】（1）90ACB ∠=︒，90BAC ABC ∴∠+∠=︒．CD AB ⊥，90ACD CAD ∴∠+∠=︒．ACD ABC ∴∠=∠． AE 平分BAC ∠， BAE CAE ∴∠=∠． CEF BAE ABC ∠=∠+∠，CFE CAE ACD ∠=∠+∠， CEF CFE ∴∠=∠．CE CF ∴=（等角对等边）． （2）过E 作EH AB ⊥于H ，∵EH AB ⊥，∴90EHA ∠=︒，∴EHA ACB ∠=∠ AE 平分BAC ∠，∴CAE HAE ∠=∠ 在ACE ∆和AHE ∆中CAE HAE ACE AHE AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴..ACE AHEA A S ∆∆≌（） =EH EC CF ∴=． //FG AB ，CGF EBH ∴∠=∠．CD AB ⊥，EH AB ⊥， 90CFG EHB ∴∠=∠=︒． 在CFG ∆和EHB ∆中CGF EBH CFG EHB CF EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴..CFG EHB A A S ∆∆≌（）． CG EB ∴=．CE GB ∴=．【例2】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为AC 上一点，M 为BC 上一点．若AM BP⊥于点E ．①如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，求证：PA PM =； ②如图2，BP 为ABC ∆的中线，求证：BP AM MP =+．【解析】（1）①证明：如图1中，AB AC =，90BAC ∠=︒，E GF D C A B HEGF DCAB45ABC ACB ∴=∠=︒， BP 平分ABC ∠，22.5ABP PBC ∴∠=∠=︒， 67.5APB ∴∠=︒，BE BE =，90AEB BEM ∠=∠=︒， BEA BEM ∴∆≅∆，BA BM ∴=，AE EM =， PB ∴垂直平分线段AM ， PA PM ∴=，EP AM ⊥， 67.5BPM BPA ∴∠=∠=︒， 45CPM C ∴∠=∠=︒， 90PMC ∴∠=︒，PA AB ⊥，BP 平分ABC ∠， PA PM ∴=．②如图2中，作CH AC ⊥交AM 的延长线于H ． 90APB PAE ∠+∠=︒，90PAE H ∠+∠=︒， APB H ∴∠=∠，90BAP ACH ∠=∠=︒，AB AC =， BAP ACH ∴∆≅∆，PA CH PC ∴==，PB AH =，CM CM =，45PCM MCH ∠=∠=︒， CMP CMH ∴∆≅∆， PM MH ∴=，PB AH AM MH AM PM ∴==+=+．【知识要点】一、 判别式法1、 运用判别式法解决整数根问题，方程需要满足两个条件 （1）判别式是完全平方数； （2）b −±∆是2a 的整数倍．2、对于含参的一元二次方程，判别式有以下几种常见形式（1）判别式是一次式且参数所在范围已知，利用判别式为完全平方数求参数值； （2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（3）判别式是一次式但参数范围未知，可设其为平方数，代入原方程求解.【例题精讲】【例1】 设m 为整数，且440m <<，又方程222(23)41480x m x m m −−+−+=有两个整数根.求m 的值及方程的根.【解析】考察判别式=421)m ∆+（，因是关于m 的一次式， 由已知4<40m <，可知921<81m <+.为使判别式为完全平方数，只有2125m +=或2149m +=. 当2125m +=时，12m =，方程两根分别为16，26； 当2149m +=时，24m =，方程两根分别为38，52.【例2】 当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m −−++=的两根都是整数？ 【解析】设方程的两整数根分别是1x ，2x ，由韦达定理得121x x m +=−① 121x x m ⋅=+②由②−①消去m ，可得12212x x x x −−= 12(1)(1)3131(3)x x −−==⨯=−⨯−则有121113x x −=⎧⎨−=⎩ 或121113x x −=−⎧⎨−=−⎩解得：1224x x =⎧⎨=⎩ 或1202x x =⎧⎨=−⎩由此128x x ⋅=或0，分别代入②，得7m =或1m =−二、 直接求根法直接求根法即运用因式分解、公式法等方法直接求出方程的根，来解决整数根问题.【例3】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x −−−−+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值． 【解析】 当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =−，当9k ≠时，解得196x k =−，269x k=−， 当6139k −=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =−，，，，；当91236k −=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数．【例4】 关于x 的二次方程22(815)2(133)80k k x k x −+−−+=的两根都是整数，求实数k 的值. 【解析】由于k 是实数，所以不能利用判别式来求解.先求出方程的两根125x k =−，243x k=−，由于1x 、2x 是整数，所以从上面两式消去k ，得到关于1x 、2x 的不定方程，解出1x 、2x ，便求得k .原方程为2(3)(5)2(133)80k k x k x −−−−+=；[(5)2][(3)4]0k x k x −+−+=，所以125x k =−，243x k=−；125k x =−，243k x =−，消去k ，得12242x x −=，121220x x x x +−=，即12(1)(2)2x x −+=−，则1212,1,1,221,2,2,1x x −=−−⎧⎨+=−−⎩，解得1211x x =−⎧⎨=−⎩，1200x x =⎧⎨=⎩（舍），1224x x =⎧⎨=−⎩，1233x x =⎧⎨=−⎩，从而121357,4,3k x =−=；所以4k =或7或133三、 因式分解：【例5】 当m 为何整数时，方程222525x mx m −+=有整数解． 【解析】将方程222525x mx m −+=左边因式分解可得(2)(2)5x m x m −−=故2521x m x m −=⎧⎨−=⎩，或2125x m x m −=⎧⎨−=⎩，或2521x m x m −=−⎧⎨−=−⎩，或2125x m x m −=−⎧⎨−=−⎩解得31x m =⎧⎨=⎩，13x m =−⎧⎨=−⎩，31x m =−⎧⎨=−⎩，13x m =⎧⎨=⎩【例6】 若方程2218x m m x +=+−有正整数解，求正整数m 的值. 【解析】方程化为：2218()(1)18x m m x x m x m −+−=−⇒−+−=−所以()(1)x m x m −+−、都为-18的因数，一正一负.因为此两数和为 21x −为正奇数，因此两因数需为一奇一偶，且正因数绝对值大于负因数. 又因为()0(1)x m x m −+−＜＜， 因此有=19(1)=1810x m x x m m −−=⎧⎧⇒⎨⎨+−=⎩⎩；=241=96x m x x m m −−=⎧⎧⇒⎨⎨+−=⎩⎩.=321=65x m x x m m −−=⎧⎧⇒⎨⎨+−=⎩⎩四、 韦达定理法如果一元二次方程的两根均为整数，那么两根之和与两根之积也都为整数，这时可以运用韦达定理综合求解.【例7】 若m 为正整数，求方程23mx x m =++的正整数解.【解析】22330mx x m x mx m =++⇒−++=，设方程的正整数根为1x 、2x ()12x x ≥，()()121212*********x x mx x x x x x x x m +=⎧⇒=++⇒−−=⎨=+⎩，因为1x 、2x 为正整数，且12x x ≥，所以110x −≥，210x −≥，1211x x −≥−，则112214,25,311,22,3x x x x −==⎧⎧⇒⎨⎨−==⎩⎩，所以方程的正整数解为12x =、23x =、35x =.【例8】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +−+=的两根都是整数，求a 的值． 【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得12126x x ax x a +=−⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++= ⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=−⎧⎨+=−⎩ 即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =−⎧⎨=−⎩．所以120a x x ==或16．点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于1x ，2x 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．【例9】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)320rx r x r +++−=有根且只有整数根. 【解析】当0r =时，原方程化为220x −=，解得1x =，满足原方程有根且只有整数根；当0r ≠时，设关于x 的一元二次方程2(2)320rx r x r +++−=的两个实数根为1x 、2x （12x x ≤），由韦达定理，122r x x r ++=−，1232r x x r −=；所以1212322()()4r r x x x x r r−+−+=−−=； 所以121212[(+x )]1(1)(1)415x x x x x −+=−−=+=；因为12,x x 都是整数，所以11x −、21x −都是5的约数； 因为12x x ≤，所以1211x x −≤−；所以121115x x −=⎧⎨−=⎩或121511x x −=−⎧⎨−=−⎩；所以1226x x =⎧⎨=⎩或1240x x =−⎧⎨=⎩；所以29r =−或23r =；综上所述，0r =或29r =−或23r =.第六讲 一元二次方程——整数根问题（回家作业）1. 已知方程210x ax a −++=的两个根均为质数，确定a 的值.【解析】设所给方程两根为p 、q ，则p q a +=，1pq a =+，所以1pq p q =++，所以(1)(1)2p q −−=；因为2是质数，所以12p −=，11q −=或11p −=，12q −=； 即3p =，2q =或2p =，3q =，这时5a p q =+=.2. 若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x −−−+=有两个相异正整数根，求k 的值．【解析】原方程变形、因式分解为()()()211631720k k x k x +−−−+=，()()112160k x k x +−−−=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．即1121x k =+，261x k =−．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k −为正整数得2,3,4,7k =． 所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符， 所以，只有2k =为所求．3. 若两个质数p ，q 是整系数方程2990x x m −+=的两根，试求q pp q+的值.【解析】由于两个质数p 、q 是整系数方程2990x x m −+=的两个根，由韦达定理，99p q +=，pq m =，由p 、q 均为质数，只能p 、q 分别为2与97，因此2979413972194q p p q +=+=.4. 求满足如下条件的所有k 的值；使关于x 的方程2(1)(1)0kx k x k +++−=的根都是整数. 【解析】当0k =时，原方程化为10x −=，原方程的根1x =是整数；当0k ≠时，原方程为二次方程，设原方程的两个根是1x 、2x （12x x ≤）；由韦达定理，得12111k x x k k ++=−=−−，12111k x x k k−==−； 两式相减，得1212()2x x x x −+=，12(1)(1)3x x −−=； 因为1x 、2x 是整数，所以11x −、21x −是整数；所以121113x x −=⎧⎨−=⎩或121311x x −=−⎧⎨−=−⎩，..或1220x x =−⎧⎨=⎩；所以17k =−或1综上所述，0k =或1或17−.5. 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m −++=有两个整数根，求整数m ．【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ∆=+−=+必然是一个完全平方数． 又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=⇒=．此时原方程的两个实数根为：1,250142x ±==，不妨设12x x >，则132x =，218x = 故24m =．满足∆为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．6. 已知关于x 的方程224(1)3220x m x m m k −−+−+=对于任意有理数m 均有有理根，试求k 的值. 【解析】因为关于x 的方程224(1)3220x m x m m k −−+−+=有有理根；所以方程224(1)3220x m x m m k −−+−+=的判别式2222[4(1)]413224(642)3)52x m m m k m m k m k ∆=−−−⨯⨯−+=−+−=−−−（必为有理数的平方；所以520k −−=，所以52k =−.。
_七年级秋季班-第6讲：因式分解(一)-教师版
本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．1、因式分解的概念：（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：因式分解多项式（和的形式 整式的积（积的形式）整式乘法因式分解（一）内容分析知识结构模块一：提取公因式法知识精讲2、因式、公因式的定义（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab中，6、a、b就是6ab 的因式．（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式+-中都含有因式m，则m就是这个多项式的公因式．ma mb mc3、确定公因式的方法（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．4、提取公因式法（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；二提：第二步将所找出的公因式提出来；三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．5、注意事项（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．【例1】 填空：（1）单项式22233221284a b c a b a b c -，，应提取的公因式是_______； （2）多项式2226a b ab c -应提取的公因式是________；（3）()()22921()()b a x y a b y x -----应提取的公因式是_________；（4）多项式32234812a b a b ab -+提取公因式后，另一个因式是_______________； （5）多项式2963x xy x --+提取公因式后，另一个因式是_______________； （6）24()3()x x y y x ---提取公因式()x y -后，另一个因式是_________________． 【难度】★【答案】（1）224a b ； （2）2ab ； （3）23()()a b x y --； （4）2223a ab b -+； （5）321x y +-； （6）3x y +． 【解析】略．【总结】本题考察了公因式的概念．【例2】在下列等式右边的括号前填上“+”号或“－”号，使等式成立．（1）()22____()a b b a -=-；（2）()33____()a b b a -=-； （3）()22____()a b a b --=+；（4）()33____()a b a b --=+； （5）()23231(2)____(1)(2)a b a b --=--； （6）()1(2)____(1)(2)x x x x --=--． 【难度】★【答案】（1）+； （2）－； （3）+； （4）－； （5）－； （6）+． 【解析】略．【总结】本题考察了添括号法则的运用．例题解析【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（）．A .21231(23)x x x x ++=++B .242228=⨯⨯⨯C .11(1)xy xy xy-=-D .221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭【难度】★ 【答案】D【解析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，A 选项右侧不是乘积形式； B 选项左侧不是多项式； C 选项右侧出现了分式作为因式；故选择D ． 【总结】本题考察了因式分解的概念．【例4】多项式22(1)n a a n -≥提取公因式后，另一个因式是（）． A .n aB ．1n a -C .211n a --D .221n a --【难度】★ 【答案】D【解析】原式=222(1)n a a --，故选择D ． 【总结】本题考察了提公因式法分解因式．【例5】把33244239a b a b -分解因式的结果是_________________．【难度】★ 【答案】232(6)9a b a b -．【解析】原式=232(6)9a b a b -．【总结】本题考察了提公因式法因式分解．【例6】（1）如果24,3x y xy +==，那么222x y xy +的值是____________；（2）多项式25(2)2(2)a b a a b +-+的值等于15，且3103a b +=，则2____a b +=．【难度】★★【答案】（1）12；（2）5． 【解析】（1）原式=(2)12xy x y +=；（2）由已知得：(2)[5(2)2]15a b a b a ++-=，即(2)(310)15a b a b ++=3103a b +=，25a b ∴+=．【总结】本题考察了提公因式法进行因式分解．【例7】把下列各式因式分解（1）332154530a b a b ab -+-；（2）323432224164896a b c a b c a b c +-；（3）22643ax x a -+-；（4）2()()()()m n p q n m q p -----；（5）3(4)(4)(4)x x y x y x y --+-+； （6）2(1)(1)(1)p q r q r q q r -+--+-+--； （7）112n n n x x x +--+（n 为大于1的整数）；（8）21214612n n n n n x y x y x y ++--+（n 是大于2的整数）． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2215(32)ab a b a --+； （2）原式=2222216(36)a b c ac a b c +-； （3）原式=22(96)3ax x a --+；（4）原式=2()()()()m n p q m n p q --+--()()[1()]m n p q m n =--+- ()()(1)m n p q m n =--+-；（5）原式=3(4)(4)(4)(4)(7)x x y x y x y x y x y -++-=-+ （6）原式=2(1)(1)(1)p q r q q r q r -+--+-++- =(1)(1)q r p q q r +---++- =(1)(q r -+-（7）原式=12(2)n x x x --+；（8）原式=21222(236)n n n x y x y x y ---+； 【总结】本题考察了提公因式法因式分解；【例8】利用简便方法计算：（1）5.781247 5.78 5.7841⨯+⨯+⨯；（2）2017201651010⨯-．【难度】★★【答案】（1）578； （2）20174.910⨯． 【解析】（1）原式=5.78(124741)578++=； （2）原式=2016201710(501) 4.910-=⨯． 【总结】本题考察了提公因式法在简便运算中的应用．【例9】已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是()1214x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求m n 、的值．【难度】★★【答案】1124m n =-=-，．【解析】由已知得：212(21)()4x mx n x x ++=-+，22112224x mx n x x ∴++=--，∴1124m n =-=-，．【总结】本题考察了因式分解的概念．【例10】试判断181920555++能否被31整除． 【难度】★★ 【答案】能．【解析】原式=182185(155)531++=⨯，能被31整除． 【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例11】已知代数式11111)(11)(1)261220x x x x ++++++++（）（ (1)190x ++（）的值是27， 求x 的值．【难度】★★★ 【答案】29x =．【解析】由已知得：111(1)()272690x ++++= 111(1)()271223910x ++++=⨯⨯⨯ 11111(1)(1)27223910x +-+-++-= 1(1)(1)2710x +-= 解得：29x = 【总结】本题考察了提公因式法的应用．【例12】若多项式()()()()M b a b a c c a b c a =--+--，且234a b c ==，求Mabc的值． 【难度】★★★【答案】112-．【解析】()()()()()()()M b a b a c c a b a c a b a c b c =-----=---， 设233a k b k c k ===，，， 则原式=()(2)()123412k k k k k k ---=-⋅⋅．【总结】本题考察了提公因式法的应用．师生总结观察最后的结果，分解因式与整式乘法有什么区别呢？1、公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． 2、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是： （1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式； （3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 3、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的 绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 4、补充公式（1）3322()()a b a b a ab b +=+-+ ； （2） 3322()()a b a b a ab b -=-++； （3）3223333()a a b ab b a b +++=+；（4）3223333()a a b ab b a b -+-=- ； （5）2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++．模块二：公式法知识精讲【例13】因式分解()219x --的结果是（ ）．A .()()81x x ++B .()()24x x +-C .()2(4)x x -+D .()()108x x -+【难度】★ 【答案】B【解析】原式=(13)(13)(2)(4)x x x x -+--=+-． 【总结】本题考察了利用平方差公式分解因式．【例14】下列因式分解正确的是（）． A .2244(4)x x x ++=+B .()2242121x x x -+=-C .2296()()(3)m n m n m n --+-=--D .2222()a b ab a b --+=--【难度】★ 【答案】D【解析】A 选项应为：2(2)x +； B 选项不满足完全平方公式，不能因式分解； C 选项应为：22[3()](3)m n m n --=-+；D 选项正确． 【总结】本题考察了完全平方公式因式分解．例题解析【例15】分解因式：（1）2249______a b -=；（2）24______n x -=； （3）()22()_________a b c d +--=； （4）39_______a b ab -=；（5）219_______9a -+=；（6）2258064___________a a -+=；（7）22168____________xy x y ---=； （8）()()269_________a b a b +-++=． 【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=(23)(23)a b a b +-； （2）原式=(2)(2)n n x x +-； （3）原式=()()a b c d a b c d ++-+-+； （4）原式=2(91)(31)(31)ab a ab a a -=+-； （5）原式=211(811)(91)(91)99a a a --=-+-；（6）原式=2(58)a -；（7）原式=222(168)(4)xy x y xy -++=-+； （8）原式=2(3)a b +-．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．【例16】请写出6421-的两个因数_____________________． 【难度】★【答案】3216(21)(21)25517531++、、、、、、（任写两个）． 【解析】∵64321684221(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)-=++++++-， 6421∴-的因数是：3216(21)(21)25517531++、、、、、、． 【总结】本题考察了平方差公式分解因式．【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式：（1）66a b -；（2）338x y +；（3）523972x x y -．【难度】★★ 【答案】见解析；【解析】（1）原式=33332222()()()()()()a b a b a b a ab b a b a ab b +-=+-+-++； （2）原式=22(2)(42)x y x xy y +-+；（3）原式=2332229(8)9(2)(24)x x y x x y x xy y -=-++． 【总结】本题考察了立方和和立方差公式进行因式分解．【例18】分解因式： （1）()22425()x y x y --++； （2）()44()x y x y +--； （3）()344a b a b +--；（4）2214xy x y --；（5）2()4()4()x m n x n m n m -----．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=[5()2()][5()2()](73)(37)x y x y x y x y x y x y ++-+--=++； （2）原式=222222[()()][()()]8()x y x y x y x y xy x y ++-+--=+；（3）原式=32()4()()[()4]()(2)(2)a b a b a b a b a b a b a b +-+=++-=++++-； （4）原式=22211(441)(21)44x y xy xy --+=--；（5）原式=22()4()4()()(2)x m n x m n m n m n x -+-+-=-+． 【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例19】分解因式： （1）117147m m m a a a +--+；（2）()24(1)a b a b +-+-；（3）()22248(4)16a a a a ++++； （4）()()()212222221025n n nx y x y x y ++---+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=12127(21)7(1)m m a a a a a ---+=-； （2）原式=22()4()4(2)a b a b a b +-++=+-； （3）原式=224(44)(2)a a a ++=+；（4）原式=2222222()[()10()25]n x y x y x y ----+ =222()()(5)n n x y x y x y +---．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的合理运用．【例20】利用简便方法计算：（1）2250420172015-；（2）29984-；（3）221515105+⨯+；（4）2219821989898-⨯⨯+．【难度】★★【答案】（1）116； （2）996000； （3）400； （4）10000． 【解析】（1）原式=5045041(20172015)(20172015)4032216==+-⨯； （2）原式=(9982)(9982)996000+-=； （3）原式=2(155)400+=； （4）原式=2(19898)10000-=．【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的应用．【例21】计算：222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】12n n+．【解析】原式=111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233n n-+-+-+=1324112233n n n n-+⨯⨯⨯⨯=112n n+⨯=12n n+． 【总结】本题考察了公式法因式分解在分数运算中的运用．【例22】已知2220162016x x y y -=-=，，且x y ≠，求222x xy y ++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：22()()0x x y y ---=，即220x y x y --+=， ∴22()0x y x y ---=，即()(1)0x y x y -+-=．x y ≠，2()1x y ∴=+=原式．【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例23】已知多项式1442a b a b S ++=+-，问：S 是否一定是非负数？请说明理由． 【难度】★★【答案】S 一定是非负数．【解析】222(2)222(2)(22)0a a b b a b S =-⋅⋅+=-≥， ∴S 一定是非负数．【总结】本题考察了完全平方公式分解因式．【例24】已知2222210a ab b a b ++--+=，求22a a b b -+-的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知，得：2()2()10a b a b +-++=，即2(1)0a b +-=． 10a b ∴+-=，∴原式=22()()()(1)0a b a b a b a b ---=-+-=． 【总结】本题考察了公式法因式分解的运用．【例25】请观察以下解题过程；分解因式：4261x x -+．解：4242261241x x x x x -+=--+()()()()422222222141(2)1212x x xx x x x x x =-+-=--=-+--以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：4279a a -+． 【难度】★★★【答案】22(3)(3)a a a a -+--． 【解析】原式=42269a a a --+ =422(69)a a a -+- =222(3)a a --=22(3)(3)a a a a -+--．【总结】本题考察了利用拆项法进行分解因式．【例26】已知多项式()2222224S a b c a b =+--，求：（1）对于S 进行因式分解；（2）当a b c 、、是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．【难度】★★★【答案】（1）()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--； （2）0S <． 【解析】（1）原式=222222(2)(2)a b c ab a b c ab +-++-- =2222[()][()]a b c a b c +---=()()()()a b c a b c a b c a b c +++--+--；（2）由已知得：000a b c a b c a b c a b c ++>+->-+>--<，，，， 0S ∴<．【总结】本题一方面考察了公式法因式分解的运用，另一方面考查三角形三边关系的运用．【习题1】 分解因式：（1）2()()()a a b a b a a b +--+； （2）22(1)1a b b b b -+-+-； （3）22122x y -+； （4）44a b -；（5）3269x x x -+；（6）2243()27()x x y y x ---； （7）2121()()m m p q q p +--+-；（8）()24520(1)x y x y ++-+-．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=()()2()a a b a b a b ab a b +---=-+； （2）原式=222(1)(1)(1)(1)a b b b b b b a -+--+=-+-； （3）原式=2211(4)(2)(2)22x y x y x y --=-+-；（4）原式=222222()()()()()a b a b a b a b a b +-=++-； （5）原式=22(69)(3)x x x x x -+=-； （6）原式=2243()27()x x y x y --- =2223()[9()]x y x x y ---=23()[3()][3()]x y x x y x x y -+--- =23()(43)(23)x y x y x y ----； （7）原式=2121()()m m p q p q +---- 212()[()1]m p q p q -=---21()(1)(1)m p q p q p q -=--+--；（8）原式=224()20()25(225)x y x y x y +-++=+-． 【总结】本题主要考察分解因式的综合运用．随堂检测【习题2】 若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．A ．大于零B ．小于零C ．大于或等于零D ．小于或等于零【难度】★ 【答案】B【解析】原式=22()()()a b c a b c a b c --=-+--0,0a b c a b c -+>--<0∴<原式，选择B ．【总结】本题考察了因式分解的运用及三角形三边的关系的运用．【习题3】 已知长方形的长为23x y -，面积为2249x y -，则此长方形的周长为________． 【难度】★ 【答案】8x ．【解析】249(23)(23)x y x y x y -=+-， 23x y ∴+宽为：，2(2323)8x y x y x ∴=-++=周长．【总结】本题考察了利用平方差公式进行因式分解在实际问题中的运用．【习题4】 已知12x y xy -==，，则32232x y x y xy -+的值为___________． 【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222(2)()2xy x xy y xy x y -+=-=． 【总结】本题考察了利用因式分解进行代数式的求值．【习题5】 分解因式：（1）75()()a b b a -+-；（2）61264x y -；（3）22224946a b c d ac bd -+-++；（4）()()222248416x x x x ++++；（5）2222x y z yz ---； 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=75()()a b a b --- =52()[()1]a b a b ---=5()(1)(1)a b a b a b --+--； （2）原式=3636(8)(8)x y x y +-=22242224(2)(42)(2)(42)x y x xy y x y x xy y +-+-++； （3）原式=22(2)(3)(23)(23)a c b d a c b d a c b d +--=++-+-+； （4）原式=224(44)(2)x x x ++=+；（5）原式=22()()()x y z x y z x y z -+=++--．【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解，注意公式的准确运用．【习题6】 分解因式：（1）2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数； （2）22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+--+--； （3）322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=22()(22)()()n n x y x y x z y z x y y z ---++-=--； （2）原式=22()()[()()]b c a c a b a b a b +-+-+-- =()()()()b c a c a b a b a b a b a b +-+-++-+-+ =4()()ab b c a a c b +-+-；（3）原式=322()()()()()x x y z y z a x z x y z x y x y z x z a +-+--+--+--- =2()[()()]x x y z x y z a z y x z a +-+----- =2()()x x y z xz ax z yz ay +---++．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意对恰当方法的选择．【习题7】 不解方程组2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．【难度】★★ 【答案】21；【解析】原式=237(3)2(3)y x y x y -+- =2(3)[72(3)]x y y x y -+- =2(3)(2)x y x y -+， ∴原式=2166⨯=．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值章的应用．【习题8】 利用分解因式证明：712255-能被120整除． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】原式=14121221211555(51)5245120-=-=⨯=⨯， ∴原式能被120整除．【总结】本题考察了因式分解在数整除中的应用．【习题9】 已知 3.43 3.14x y ==，，求221222x xy y ---的值． 【难度】★★ 【答案】50-．【解析】原式=22211(44)(2)22x xy y x y -++=-+，当 3.43 3.14x y ==，时，原式=2110502-⨯=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题10】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-， 其中23x =-．【难度】★★ 【答案】4-．【解析】原式=22(32)(21)(32)(21)(21)(32)x x x x x x x -+--+-+- =(32)(21)(3221)x x x x x -+---- =3(32)(21)x x --+，当23x =-时，原式=43(4)(1)43-⨯-⨯-+=-．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【习题11】 化简下列多项式：()()()()23201611111x x x x x x x x x ++++++++++．【难度】★★★ 【答案】2016(1)x +．【解析】原式=232016(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ++++++++++ =232015(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++ =2232014(1)[1(1)(1)(1)(1)]x x x x x x x x x ++++++++++=2015(1)(1)x x ++ =2016(1)x +． 【总结】本题考察了因式分解的综合运用．【习题12】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ． 【难度】★★★【答案】(21)m a b =±+-．【解析】化简得：22(2)2(2)1a b a b m +-++=，即22(21)a b m +-=， 所以(21)m a b =±+-．【总结】本题考察了因式分解的运用．【习题13】 已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a a b c b c a b c b c a --+-+++-的值． 【难度】★★★ 【答案】83．【解析】原式=222()()()333a a b c b c a b c b c a --+-+++-=222()()()333a a b c b a b c c a b c --------=2()()3a b c a b c ----=22()3a b c --，2b c a +-=-，∴原式=228233⨯=．【习题14】 若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么a b c 、、之 间有什么关系？ 【难度】★★★ 【答案】a b c ==．【解析】化简得：4442222220a b c a b a c b c ++---=，则2222221[()()()]02a b a c b c -+-+-=． 222a b c ∴==， ∵a ，b ，c 为正数， a b c ∴==．【总结】本题考察了因式分解的应用，综合性较强，注意认真分析．【作业1】把多项式223436129m n m n n --+分解因式时，应提取的公因式是（）．A .226m n -B .26n -C .223m n -D .23n -【难度】★ 【答案】D 【解析】略【总结】本题考察了公因式的概念．【作业2】因式分解221448x y xy --+的结果是（）．A .()()12124(2)x x y y x +---B .21(22)x y --C .()()122122x y x y +--+D .()()122122x y x y ++--【难度】★ 【答案】C【解析】原式=22214(2)14()(122)(122)x xy y x y x y x y --+=--=+--+，选择C ； 【总结】本题考察了利用公式法进行因式分解．课后作业【作业3】已知2x y +=，求221122x y xy ++的值．【难度】★ 【答案】2．【解析】原式=222111(2)()42222x xy y x y ++=+=⨯=．【总结】本题考察了因式分解的应用．【作业4】若关于x 的多项式()()24217x ax b --+可提取公因式21x -，且3a b -=，a b 、为整数，则_________a b ==，．【难度】★ 【答案】2， －1．【解析】设2a k b k ==-，， 则：2()3k k --=，解得：1k =， 21a b ∴==-，． 【总结】本题考察了利用提公因式法进行分解因式．【作业5】分解因式： （1）34xy xy -；（2）3222524261352xy z xy z x y z -++；（3）22()()a x y b y x -+-；（4）22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；（5）22229()6()()a b a b a b ++-+-．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）原式=2(4)(2)(2)xy y xy y y -=+-； （2）原式=224213(214)xy z y x z ---；（3）原式=22()()()()()x y a b x y a b a b --=-+-； （4）原式=22[(5)(3)]16(2)m n n m m n +--=-； （5）原式=22(33)4(2)a b a b a b ++-=+．【总结】本题考察了因式分解的综合运用，注意方法的合理运用．【作业6】用合理方法计算：（1）201720161.11010⨯-； （2）10595⨯； （3）221.25141258.6⨯-⨯． 【难度】★★【答案】（1）201710； （2）9975； （3）－9000． 【解析】（1）原式=20162016201710(1.1101)101010⨯-=⨯=； （2）原式=(1005)(1005)10000259975+-=-=；（3）原式=22221.2514 1.2586 1.25(1486) 1.25100(72)9000⨯-⨯=-=⨯⨯-=-． 【总结】本题考察了因式分解在简便运算中的运用．【作业7】已知9692a b ==，，求222669a ab b a b -+-++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】原式=22()6()9(3)a b a b a b ---+=--， 当9692a b ==，时，原式=1．【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业8】已知22106210x xy y x ++-+=，求()20102x y +的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由已知得：222(96)(21)0x xy y x x +++-+=，即22(3)(1)0x y x ++-=． 3010x y x ∴+=-=，， 解得：13x y ==-，，1∴=原式． 【总结】本题考察了因式分解在代数式求值中的应用．【作业9】当x a b y a b =-=+，时，求代数式()222222()x y x y +--的值．【难度】★★【答案】224()()a b a b -+．【解析】原式=22222222()()x y x y x y x y ++-+-+ =224x y ，当x a b y a b =-=+，时， 原式=224()()a b a b -+． 【总结】本题考察了因式分解的应用；【作业10】因式分解：()139()nn a b b a +---． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当n 为偶数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +-+-=-+-； （2）当n 为奇数时，原式=13()9()3()(133)n n n a b a b a b a b +---=--+． 【总结】本题考察了因式分解的应用，注意对n 的分类讨论．【作业11】证明：当n 为整数时，3n n -的值必定是6的倍数． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】原式=2(1)(1)(1)n n n n n -=+-．11n n n -+、、为相邻三个自然数，则必有一个数为偶数，一个数为3的倍数，3n n ∴-必定是6的倍数．【总结】本题考察了因式分解在数的整除中的应用．【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．分解因式：44x+．解：4422222+=++-=+-x x x x x x4444(2)422（．=++-+22)(22)x x x x以上解法中，在44x+的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与44x+的值保持不变，必须减去同样的一项．请用上述方法分解下列各式：（1）4224x y+．++；（2）4464x x y y【难度】★★★【答案】（1）2222x y xy x y xy(84)(84)-+-+x y xy x y xy()()+++-；（2）2222【解析】（1）原式=422422=+--2222()()x y xy x y xyx y x y=+++-；()x x y y x y2++-22222（2）原式=442222x y x y--(8)16++-=22222166416x y x y x y=2222-+-+．x y xy x y xy(84)(84)。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧
因式分解是一种重要的数学技巧，用于将一个多项式分解成更简单的因式乘积。
我们可以使用以下方法和技巧来进行因式分解：
1. 提取公因式：首先，我们可以检查多项式中是否有公因式，然后将其提取出来。
这可以通过找到多项式中的最大公因式来实现。
2. 分组：有时候，我们可以对多项式进行分组，然后利用分组因式分解的方法来分解多项式。
这通常发生在四项多项式中。
3. 使用因式公式：对于一些特定的多项式形式，例如二次多项式或立方多项式，我们可以利用因式公式来进行因式分解。
4. 试除法：对于一些多项式，我们可以使用试除法来找到因式分解的结果。
这通常适用于高次多项式。
以上是因式分解的一些常用方法和技巧。
通过灵活运用这些方法，我们可以更轻松地进行因式分解，从而简化复杂的多项式表达式。
因式分解教案 (优秀5篇)
因式分解教案（优秀5篇）因式分解教案篇一【教学目标】1、了解因式分解的概念和意义；2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）（1）若a=101,b=99,则a2-b2=___________；（2）若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；（3）若x=-3,则20x2+60x=____________。
㈡、探究新知1、请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。
（多媒体出示答案）(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000；(3)20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0。
2、观察：a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2 = (a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。
（等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？）3、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。
（学生概括，老师补充。
）板书课题：§6.1 因式分解因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
㈢、前进一步1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2, (a-b)2= a2-2ab+b2，20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2 （a+b）（a-b）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。
因式分解-讲义--资料
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +- ⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
八年级上册分解因式
八年级上册分解因式
在八年级上册，分解因式是一个重要的数学概念。
在这个阶段，你将开始学习如何将多项式进行因式分解。
下面是一些常见的分解因式的方法和示例：
1.公因式提取法：
当一个多项式中的每一项都有一个公共因子时，可以使用公因式提取法来分解因式。
例如：
将多项式2x+4分解为公因式2和多项式x+2：2(x+2)。
将多项式3x^2+6x分解为公因式3x和多项式x+2：3x(x+2)。
2.二次因式分解法：
当一个二次多项式可以被分解为两个一次因式的乘积时，可以使用二次因式分解法来分解因式。
例如：
将多项式x^2+5x+6分解为两个一次因式的乘积：(x+2)(x+3)。
将多项式x^24x5分解为两个一次因式的乘积：(x5)(x+1)。
3.特殊因式分解法：
在特定情况下，我们可以使用特殊因式分解法来分解因式。
例如：
将差平方公式应用于多项式x^24：(x2)(x+2)。
将平方差公式应用于多项式x^2y^2：(xy)(x+y)。
这些是分解因式的一些常见方法。
在八年级上册，你将继续学习更多的分解因式的技巧和方法。
记住，在处理多项式时要仔细观察其中的模式和规律，以便找到
正确的分解因式的方法。
用分解因式法解一元二次方程[上学期]--北师大版(中学课件201908)
![用分解因式法解一元二次方程[上学期]--北师大版(中学课件201908)](https://img.taocdn.com/s3/m/8a70088b76a20029bc642d4f.png)
因式分解在实际生活中的应用
因式分解在实际生活中的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式，而有些运算积比和算起来要简单，因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用．一、提取公因式法的应用例1某市为适应经济的快速发展，现需要将一条长3300m的道路重新拓宽，预计3个月完成，已知第一个月完成34%，第二月完成36%，问这两个月共完成多少米的拓宽任务？分析：总共有3300m的道路，第一个月完成了34%，即完成了3300×34%第二月完成了36%，即完成了3300×36%，两个月共完成了3300×34%+3300×36%，如果直接运算的话，显然麻烦些，如果将3300×34%+3300×36%提取公因式，就简单多了．解：3300×34%+3300×36%=3300（34%×36%）=3300×70%=2310所以这两个月共完成2310m拓宽任务．例2在电学公式：U=IR1+ IR2 +IR3，当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时，求U的值分析：直接代入数值，U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6，如果直接计算，太麻烦，不妨提取公因式解：当R1=12.9 R2=18.5 R3=18.6，I=2时U=IR1+ IR2 +IR3=2×12.9+2×18.5+2×18.6=2×（12.9+18.5+18.6）=2×50=100 评注：某些实际问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单．二、平方差公式的应用例3学校在一块边长为13.2m的正方形场地，准备在四个角落各建一个边长为3.4m的正方形喷水池，剩余的部分修成绿地，若购买130m2的草坪，够不够铺绿地？分析：原有的面积为13.22，四个正方形水池的面积为4×3.42，剩余部分的面积为13.22-4×3.42，如果先乘方，再减法，运算量较大，如果按照平方差公式分解因式，较简单解：依题意得13.22−4×3.42=13.22−(2×3.4)2=13.22−6.82=(13.2+6.8)(13.2−6.8)=20×6.4=128 因为130>128所以购买130m 2的草坪，够铺绿地．例4一种圆筒状包装的保鲜膜，如下图所示，其规格为“”，经测量这筒保鲜膜的内径φ1、外径φ的长分别为、，则该种保鲜膜的厚度约为_____（取3.14，结果保留两位有效数字）．分析：圆筒状包装的保鲜膜展开与未展开体积是相同的．设厚度为xcm ，展开时体积为x×20×6000(cm 3)未展开的体积为20×3.14×2)24.4(− 20×3.14×2)26.3( 解：设设厚度为xcm ，依题意得x×20×6000=20×3.14×2)24.4(−20×3.14×2)26.3( x×20×6000=20×3.14×(2.22−1.82)6000x=3.14×(2.2+1.8)(2.2−1.8)6000x=5.024解之得 x=8.4×10−4评注：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式．三、完全平方公式的应用例5 达活泉公园有一块长为 51.2m 的正方形绿地，为了便于游人通行，决定修两条互相垂直的小路，如图小路宽 1.2m ，问剩余绿地的面积是多少？分析：用整块绿地的面积减去小路的面积就是剩余绿地的面积解：51.22−(2×1.2×51.2−1.22)=51.22−2×1.2×51.2+1.22=(51.2−1.2)2=502=2500所以剩余绿地的面积为2500m2评注：由实际问题列出的代数式满足完全平方公式的结构特点，且写成两个数和或两个数的差的平方又容易计算，通常应用完全平方公式．四、因式分解的综合应用例6（05年浙江）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4−y4，因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2)，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x－y)=0，(x+y)=18，(x2+y2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3y−xy3，取x = 10，y = 10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)．分析：按照原理，需把4x3y−xy3分解因式，再代入求值，就可以产生密码解：4x3y−xy3= x(4x2−y2) = x(2x+y)(2x−y)当x = 10，y = 10，各因式的值是：x = 10，(2x+y) = 30，(2x−y) = 10又因为这六个数字不考虑顺序，所以产生的密码为103010；101030；301010评注：在进行因式分解时，首先提取公因式，然后再考虑用公式，注意每一个因式要分解彻底．新课标第一网系列资料。
第6讲 因式分解及提公因式法
个性化教学辅导教案学科：数学年级：八年级任课教师：授课时间年月日教学课题因式分解及提公因式法教学目标1.了解因式分解的概念及与整式乘法的关系；2.熟练掌握提公因式法进行因式分解。
教学重难点提公因式法的灵活运用。
教学过程因式分解1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．2、因式分解与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是相反方向的变形．如：(a＋b)(a－b)a2－b2即多项式乘以多项式或单项式乘以多项式(整式乘法)是“积化和”，而因式分解则是“和化积”.3、注意事项：（1）可用整式乘法来检验因式分解的正确性。
（2）分解因式的结果一定是积的形式。
（3）分解因式结果中的每一个因式都必须是整式。
（4）分解因式的对象是多项式。
典型例题：例1、下列由左到右的变形，哪些是分解因式？哪些不是？为什么？（1）()a x y ax ay+=+（2）(2)(3)(3)(2)x x x x-+=+-（3）227(7)ax a a x+=+（4）221()()1x y x y x y--=+--（5）2222x x y y-+-= 22()2()x y x y---例2、如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a b>），剩下部分可拼成一个矩形，分别计算这两个图中阴影部分面积，验证了公式。
例3、求代数式123U U UR R R++的值，其中120R=，230R=，360R=，6U= .针对练习：一、选择题：1、 下列各式从左边到右边的变形，是因式分解的是 （ ）A 、3353()5x y x y +-=+-B 、2(1)(1)1x x x +-=-C 、2111()()()422x x x -=+-D 、()(1)y x y x x+=+2、 下列分解因式正确的是 （ ）A 、32(1)a a a a -+=-+B 、2422(2)a b a b -+=-C 、224(2)a a -=-D 、2221(1)a a a -+=- 3、 在一个边长为17.55cm 的正方形内剪去一个边长为2.45cm 的正方形，则剩下部分的面积是( )A 、 20 2cmB 、 15.1 2cmC 、 302 2cmD 、 300 2cm4、 下列分解因式错误的是 （ ）A 、2116(14)(14)a a a -=+-B 、32(1)x x x x -=-C 、222()()a b c a bc a bc -=+-D 、224220.01(0.1)(0.1)933m n n m m n -=+- 二、 填空题5、 运算3()33a b a b +=+ 是 运算 。
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
因式分解16种方法
因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2• x=-x3x —1)分解因式技巧1•分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2. 分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
因式分解的常用方法（目前最牛最全的教案）因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解 决许多数学问题的有力工具•因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分 解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用•初中 数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法•本讲及下一讲在中学数 学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.一、 提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、 运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a -b) = a 2-b 2 ----- a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a ± b)2 = a 2 ± 2ab+b 2 ------ a 2 土 2ab+b 2=(a ± b)2;22333322(3) (a+b)(a -ab+b) =a +b ------ a +b =(a+b)(a -ab+b);(4) (a -b)(a 2+ab+t >) = a 3-b 3 ——a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2).下面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;333222(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca)； 三、 分组分解法.(一) 分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an • bm ■ bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看， 这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解, 然后再考虑两组之间的联系。
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第六讲
分解因式的应用（接上一讲）
一、分解因式四大基本方法。
【例1】 把下列各式分解因式。
（1）22865y xy x -+
（2）12224+--+b ab a a
（3）6222-+-+-y x y xy x
（4）2379234--+-x x x x
二、利用分解因式解高次方程。
【例2】（1）08652=-+x x （2）043=-x x
变式：
（1） x 2-2x-3=0 （2） x 2-12=4x （3）（x+1)(x+8)=-12 （4）（2x-1）2
+3（2x-1）+2=0
★思考【】解方程2410542=--x x x
三、利用分解因式化解分式。
【例3】的值。
求x y x xy ay x a y xy x a ,0,1)
3()3(692222≠=+-+-+-
变式：当6
33622-++÷---x x x x x x x x 的倒数时，求分式等于的值。
四、利用分解因式化简根式。
【例4】化简242)41(44122⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+--÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+a a a a a a a a a
变式训练： 计算：246234716251
--++-
课堂挑战：
一、填空题
1．计算：)200411()311)(21
1(222--- = .
2．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则=++z y x .
3．若多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式为2-+y x ，则b a +的值等于 .
4．若12345+++++x x x x x =0，则12320022003++++++x x x x x = .
5．若正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ca c b bc b a ab ，则)1)(1)(1(+++c b a = .
6．已知a 2+2ab-3b 2
=0，求ab b a a b b a 2
2+--的值为 . 二、解答题
1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且0422224=--+b c a c b a ，试判断△ABC 的形状。
2．若多项式n mx x ++2既是323223--+x x x 的一个因式，也是a x a x x +-+-)1(2223的因式，求a 的值.。