(高一下数学期末40份合集)苏州市重点中学2019届高一下学期数学期末试卷合集
2019级高一下学期数学期末考试试卷答案
a1q 2
1 2
，
3 2
，解得 q
1 2
， a1
2.
综上所述：
a1
1 2
或
a1
2
.
16.【答案】5.设 m (2x y)2 , n (x 2 y)2 , 则 4 9 1 ，且 m n 5x2 5 y2 , mn
∴
x2
y2
m
n
m
n
(
4
9)
13 （4n m
9m ） n
3.【答案】D.利用赋值法:令 a 1, b 0 排除 A,B,C,选 D.
合 肥六中卫星 联 校 专用A
4.【答案】C .
m 1
n 3
,
m n
1. 3
5.【答案】B.根据几何概型概率计算公式，即可求出结果.
6.【答案】B.根据茎叶图中数据的分布可得， A 班学生的分数多集中在 70,80 之间， B 班
2
BC
1
BA
AB ， AB
，所以选项
CE 0 ，所以选项
B 错误；
A
错误;
33
以 E 为原点，EA，EC 分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
如图所示， E(0, 0), A(1, 0), B(1, 0),C(0, 3), D(1 , 2 3 ) ，
33
设 O(0, y), y (0,
综上所述，当 a 3时，不等式解集为 R ； 当 a 3时，不等式的解集为 (,3] [a, ) ； 当 a 3 时，不等式的解集为 (, a] [3, ) .…………………………………………12 分
3),
BO
(1,
y),
DO
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题含解析
江苏省苏州市2019-2020学年高一下期末联考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在上的奇函数，且当时，2cos ,08,(){6log ,8,xx f x x x π<≤=>，那么（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，，故，故选C ．考点：分段函数的应用.2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】，故选C.3．．若0ac >且0bc <，直线0ax by c 不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限，【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为0ac >且0bc <，所以0c b ->，0ab->， 又直线0ax by c 可化为a cy x b b=--，斜率为0a b ->，在y 轴截距为0cb->，因此直线过一二三象限，不过第四象限. 故选：D.4．下列结论正确的是（ ） A ．ac bc a b <⇒<B ．若0a b <<，则b aa b>C ．当0x >且1x ≠时，1lg 2lg x x+≥ D a b <⇒<【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行分析，对错误的命题可以举反例说明． 【详解】当0c <时，A 不正确；0a b <<，则1a bb a>>，B 错误；当01x <<时，lg 0x <，1lg 0lg x x +<，Ca b <⇒<正确． 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式性质是解题关键．可通过反例说明命题错误．5．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是( ) A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】D 【解析】设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x ，则23612x =+ ，解得x ＝1． 故选D6．设0,0x y >>且1x y += ，41x y+的最小值为( ) A ．10 B ．9C ．8D ．272【答案】B 【解析】 【分析】 由()4141x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】()41414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当4y x x y =，即2x y =时取等号）41x y∴+的最小值为9 故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活利用“1”，配凑出符合基本不等式的形式.7．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 【答案】A 【解析】 【分析】先计算周期得到1T ωπ=⇒=，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案. 【详解】直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1 则t n 1a y T x ωππ=⇒=⇒=tan y x π=的对称中心横坐标为：()22k kx x k Z ππ=⇒=∈ 对称中心为,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案选A 【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.8．已知4log 5a =，2log 3b =，sin2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性可知,a b 都大于1，把4log 5化成2log ,a b 的大小，从而可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为4log y x =及2log y x =都是()0,∞+上的增函数，故44log 5log 41sin 2>=>，22log 3log 21sin 2>=>，又42221log 5log 5log 5log 32==<，故c a b <<，选B. 【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递. 9．已知函数41()x f x e -=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+【答案】B 【解析】()411ln 22m en t -=+=，则()1211ln 1,42t m t n e -=+=， 所以()12111ln 244t n m e t h t --=--=，则()1211'24t h t e t-=-，易知，1'02h ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()h t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 所以()min 11ln 224h x h +⎛⎫==⎪⎝⎭，故选B 。
2018-2019学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题(解析版)
江苏省苏州市高一下学期期末数学试题一、单选题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l x y -=的倾斜角为（ ） A ．0︒ B ．45︒C ．90︒D ．135︒【答案】B【解析】设直线:0l x y -=的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，解得θ． 【详解】设直线:0l x y -=的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒．tan 1θ∴=，解得45θ=︒．故选：B ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（ ） A ．13B ．14C ．12D ．23【答案】D【解析】先求出基本事件总数，A 被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A 被选中的概率． 【详解】从A ，B ，C 三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：,,AB AC BC ，共3个，A 被选中包含的基本事件为：,AB AC ，共2个，A ∴被选中的概率23p =． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．3．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】D【解析】利用异面直线1AA 与BC 所成角的的定义，平移直线BC ，即可得答案． 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，易得190A AD ∠=︒．//AD BC Q∴异面直线1AA 与BC 垂直，即所成的角为90︒.故选：D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】Q 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， ∴丙是最佳人选，故选：C ．【点睛】本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.5．在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，–1）到直线l ：4x –3y +4=0的距离为（ ） A ．3 B ．115C ．1D ．【答案】A【解析】由点到直线距离公式计算． 【详解】3d ==．故选：A ． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为d =．6．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3A π=，则sin c C的值为（ ） A ．4 B．3C．D．4【答案】B【解析】由正弦定理可得，sin sin a cA C=，代入即可求解． 【详解】 ∵2a =，3A π=，∴由正弦定理可得，sin sin a cA C=，则sin c C ==故选：B ． 【点睛】本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题． 7．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A ．B C ．4D ．2【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为212 ，所以直观图的面积是12244⨯⨯ 选C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为（ ） A ．0.16 B ．0.26C ．0.56D ．0.74【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解． 【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为：1(0)(1)P P X P X =-=-=10.10.16=--0.74=．故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题． 9．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-【答案】D【解析】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，CosC=1-4,选D 10．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ） A ．49π B ．494πC ．14πD ．143π【答案】C【解析】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，由已知面积求得a ，b ，c 的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则236ab bc ac =⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2a =，1b =，3c =． ∴．则长方体的外接球的半径为2， ∴此长方体的外接球的表面积等于24142ππ⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.11．已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ=I ，在下列说法中，①若m n ⊥，则m l ⊥；②若m l ⊥，则m β⊥；③若m β⊥，则m n ⊥. 正确结论的序号为（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】D【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③． 【详解】平面α⊥平面β．直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ=I ， ①若m n ⊥，可得m ，l 可能平行，故①错误；②若m l ⊥，由面面垂直的性质定理可得m β⊥，故②正确； ③若m β⊥，可得m n ⊥，故③正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．12．已知ABC V 中，2AB =，3BC =，4CA =，则BC 边上的中线AM 的长度为（ ） A ．312B ．31C ．231D ．314【答案】A【解析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求AM 的长． 【详解】延长AM 至D ，使MD AM =，连接BD 、CD ，如图所示；由题意知四边形ABDC 是平行四边形，且满足22222()AD BC AB AC +=+， 即22223(2)2(24)AM +=+，解得31AM =， 所以BC 边上的中线AM 的长度为312． 故选：A ． 【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为______. 【答案】1【解析】由10a -=，解得a ，经过验证即可得出． 【详解】由10a -=，解得1a =．经过验证可得：1a =满足直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行， 则实数1a =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为30°，航标B 在南偏东60︒，俯角45︒，且两个航标间的距离为200米，则h =__________米.【答案】200【解析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出h 的值． 【详解】航标A 在正东方向，俯角为30°，由题意得60APC ∠=︒，30PAC ∠=︒． 航标B 在南偏东60︒，俯角为45︒，则有30ACB ∠=︒，45CPB ∠=︒． 所以BC PC h ==，3tan 30PCAC h ==︒；由余弦定理知2222cos AB BC AC BC AC ACB =+-∠g g ，即223400003232h h h h =+-g g ， 可求得200h =（米)． 故答案为：200． 【点睛】本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题． 15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F 、1E ，1F ，则AEEB的值是__________.21【解析】设AE k AB =，则EFk BC=，由题意得：111111212AEF A E F ABC A B C V k V --==，由此能求出AE EB 的值． 【详解】设AE k AB =，则EFk BC=， 由题意得：1111111211sin 1212sin 2AEF A E F ABC A B C AE EF AEF AA V k V AB BC ABC AA --⨯⨯⨯∠⨯===⨯⨯⨯∠⨯，解得2k =， ∴22122AE EB ==-． 21． 【点睛】本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC V 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________. 【答案】[4,2]--【解析】由题意画出图形，写出以原点为圆心，以25为半径的圆的方程，与直线方程联立求得x 值，则答案可求． 【详解】如图所示，当点A 往直线两边运动时，BAC ∠不断变小，当点A 为直线上的定点时，直线,AB AC 与圆相切时，BAC ∠最大， ∴当ABOC 为正方形，则25OA =，则以O 为圆心，以25为半径的圆的方程为2220x y +=．联立22620y x x y =+⎧⎨+=⎩，得2680x x ++=． 解得4x =-或2x =-．∴点A 横坐标的取值范围是[4,2]--．故答案为：[4,2]--．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点. （1）求点P 的坐标；（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)；（2）2340x y -+=【解析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线方程为230x y m -+=，代入点P 的坐标求得m 的值，可写出l 的方程． 【详解】（1）由直线20x y -=与直线30x y +-=组成方程组，得2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(1,2)；（2）设与直线3210x y +-=垂直的直线l 的方程为230x y m -+=， 又直线l 过点(1,2)P ，所以260m -+=，解得4m =， 直线l 的方程为2340x y -+=． 【点睛】本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知30A =︒，105B =︒，10a =. （1）求c ：（2）求ABC V 的面积.【答案】（1）（2）25+【解析】（1）由已知可先求C ，然后结合正弦定理可求c 的值；（2）利用两角和的正弦函数公式可求sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）30A =︒Q ，105B =︒，45C ∴=︒，10a =Q ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得：10sin 21sin 2a Cc A===g .（2）sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 454︒=︒+︒=︒︒+︒︒=Q ，11sin1025224ABCS ac B∆∴==⨯⨯=．【点睛】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程ˆy bx a=+中，()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix y nxy x x y ybx nx x x====---==--∑∑∑∑，a y bx=-，其中,x y为样本平均数）【答案】（1）ˆ0.5 2.3y x=+；（2）6.8千元．【解析】（1）由表中数据计算x、y，求出回归系数，得出y关于x的线性回归方程；（2）利用线性回归方程计算2020年对应9x=时ˆy的值，即可得出结论．【详解】（1）由表中数据，计算1(1234567)47x=⨯++++++=，1(2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.37y=⨯++++++=，71()()i iix x y y=--∑3( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.510.92 1.6314=-⨯-+-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=，7222222221((3)(2)(1)0)12328iixx==-+-+-++++=-∑，71721()()140.528()iii ii x x y y b x x ==--∴===-∑∑， 4.30.54 2.3a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为：ˆ0.5 2.3y x =+；（2）利用线性回归方程，计算9x =时，ˆ0.59 2.3 6.8y =⨯+=（千元）， ∴预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，12AA =，点N 为AB 中点，点M 在边AB 上.（1）当点M 为AB 中点时，求证：1//C N 平面1ACM ； （2）试确定点M 的位置，使得1AB ⊥平面1ACM . 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）推导出1//C N CM ，由此能证明1//C N 平面1ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，推导出1AA CM ⊥，AB CM ⊥，从而CM ⊥平面11AA B B ，进而1A M CM ⊥，推导出△11AA M BAB ∆∽，从而11AB A M ⊥，由此能证明1AB ⊥平面1ACM ． 【详解】（1）Q 在直三棱柱111ABC A B C -中， 点N 为11A B 中点，M 为AB 中点，1//C N CM ∴，1C N ⊄Q 平面1ACM ，CM 平面1ACM ， 1//C N ∴平面1ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，使得1AB ⊥平面1ACM ． 证明如下：Q 在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，1AA ，点N 为11A B 中点，点M 是AB 中点，1AA CM ∴⊥，AB CM ⊥，1AA B A A ⋂=Q ，CM ∴⊥平面11AA B B ， 1A M ⊂Q 平面11AA B B ，1A M CM ∴⊥，Q 1A M ==1AB ==∴111A M AA AB AB=，∴△11AA M BAB ∆∽， 11AA M BAB ∴∠=∠，11AMA AB B ∠=∠，11AB A M ∴⊥，1A M CM M ⋂=Q ，1AB ∴⊥平面1ACM ． 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,6)P ，圆22:10100C x y x y +++=. （1）求过点P 且与圆C 相切于原点的圆的标准方程； （2）过点P 的直线l 与圆C 依次相交于A ，B 两点. ①若AO PB ⊥，求l 的方程；②当ABC V 面积最大时，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2）①85300x y -+=；②0x =或48655y x =+． 【解析】（1）设所求圆的圆心为1C ，而所求圆的圆心与C 、O 共线，故圆心1C 在直线y x =上，又圆1C 同时经过点O 与点(0,6)P ，求出圆1C 的圆心和半径，即可得答案；（2）①由题意可得OB 为圆C 的直径，求出B 的坐标，可得直线l 的方程；②当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，求出A ，B 的坐标，得到ABC ∆的面积；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为6y kx =+．利用基本不等式、点到直线的距离公式求得k ，则直线方程可求． 【详解】（1）由2210100x y x y +++=，得22(5)(5)50x y +++=，∴圆C 的圆心坐标(5,5)--，设所求圆的圆心为1C ．而所求圆的圆心与C 、O 共线，故圆心1C 在直线y x =上， 又圆1C 同时经过点O 与点(0,6)P ，∴圆心1C 又在直线3y =上，则有：3y xy =⎧⎨=⎩，解得：33x y =⎧⎨=⎩，即圆心1C 的坐标为(3,3)，又1||OC ==r =， 故所求圆1C 的方程为22(3)(3)18x y -+-=；（2）①由AO PB ⊥，得OB 为圆C 的直径，则OB 过点C ，OB 的方程为y x =，联立22(5)(5)50y xx y =⎧⎨+++=⎩，解得(10,10)B --， ∴直线l 的斜率10681005k --==--，则直线l 的方程为865y x =+，即85300x y -+=；②当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，此时(0,0)A ，(0,10)B -，(5,5)C --，1105252ABC S ∆=⨯⨯=；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为6y kx =+．再设直线被圆所截弦长为2a ，则圆心到直线的距离d ，则12252ABCS a ∆===g ． 当且仅当2250a a =-，即5a =时等号成立． 此时弦长为10，圆心到直线的距离为55=，解得4855k =．直线方程为48655y x =+． ∴当ABC ∆面积最大时，所求直线l 的方程为：0x =或48655y x =+． 【点睛】本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，(10,0)B ，(11,3)C ，(10,6)D .（1）①证明：cos cos 0ABC ADC ∠+∠=；②证明：存在点P 使得PA PB PC PD ===.并求出P 的坐标；（2）过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E ，求点E 的坐标.【答案】（1）①见解析；②见解析，(6,3)；（2）143(,)55. 【解析】（1）①利用夹角公式可得cos cos 0ABC ADC ∠+∠=；②由条件知点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，根据0AB BC =u u u r u u u rg ，可得AB BC ⊥，四边形ABCD 外接圆的圆心为AD 的中点，然后求出点P 的坐标；（2）根据条件可得9ED AE =uu u r uu u r ，然后设E 的坐标为(,)x y ，根据109(2)69x x y y -=-⎧⎨-=⎩，可得E 的坐标． 【详解】（1）①(2,0)A Q ，(10,0)B ，(11,3)C ，(10,6)D ，∴(8,0)BA =-u u u r ，(1,3)BC =u u u r ，(8,6)DA =--u u u r ，(1,3)DC =-u u u r，∴cos 10||||BA BC ABC BA BC ∠===-u u u r u u u r g u u u u r u u u u u r ，cos ||||DA DC ADC DA DC ∠===u u u r u u u r g u u u u u r u u u u u r ，cos cos 0ABC ADC ∴∠+∠=；②由PA PB PC PD ===知，点P 为四边形ABCD 外接圆的圆心，Q (8,0)AB =u u u r ，(0,6)BC =u u u r ，∴0AB BC =u u u r u u u rg ，AB BC ∴⊥，四边形ABCD 外接圆的圆心为AD 的中点，∴点P 的坐标为(6,3)；（2）由两点间的距离公式可得，8AB =，BC CD ==，10AD =，Q 过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，∴9ED AE =uu u r uu u r ，设E 的坐标为(,)x y ，则(10,6)ED x y =--u u u r ，(2,)AE x y =-u u u r，∴109(2)69x x y y -=-⎧⎨-=⎩，∴14535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点E 的坐标为143(,)55．【点睛】本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。
江苏省苏州市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学联考试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ） A ．8B ．8πC ．4πD ．2π2．若关于x ，y 的方程组211x y x my +=⎧⎨+=⎩无解，则m =（ ）A ．12B ．12-C ．2D ．2-3．在中，内角，，的对边分别为，，.若，则A ．B ．C ．D ．4．在ABC 中，π4ABC ∠=，5AC =，3BC =，则sin BAC ∠=（ ） A ．10 B ．10 C ．310D ．5 5．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出465S =，则输入m 的值为（ ）A ．240B ．220C ．280D ．2606．在投资生产A 产品时，每生产100t 需要资金200万，需场地2200m ，可获得300万；投资生产B 产品时，每生产100t 需要资金300万，需场地2100m ，可获得200万，现某单位可使用资金1400万，场地2900m ，则投资这两种产品，最大可获利( )A ．1350万B ．1475万C ．1800万D ．2100万7．函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为（ ） A ．2πB ．32π C ．πD ．2π8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a B b A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形9．已知AB 是圆O 的一条弦，2AB =，则AO AB ⋅=( ) A ．2-B ．1C ．2D ．与圆O 的半径有关10．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围（ ） A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<11．不等式223x x -≤+的解集是（ ） A ．(,8]-∞-B ．[8,)-+∞C ．(,8][3,)-∞-⋃-+∞D ．(,8](3,)-∞-⋃-+∞12．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能二、填空题：本题共4小题13．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．14．如图，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC EG 、剪开，拼成如图所示的平行四边形KLMN ，且中间的四边形ORQP 为正方形.在平行四边形KLMN 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是______________15．已知实数0,0a b >>，2是8a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是______． 16．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）（考试时间为120分钟，满分为150分）一、选择题：本大题共25小题，每小题3分，共75分．1．在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理：222a b c +<， 故为2220a b c +-<，又∵222cos 2a b c c ab+-=，∴cos 0c <， 又∵0πc <<， ∴ππ2c <<， 故B ．2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为1P ，2P ，3P ，则（）． A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =< D ．123P P P ==【答案】D【解析】无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选D ．3．若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是（）．A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<< 【答案】C【解析】A ．a b >，c 不一定为正，错；B ．同A ，a 不一定为正，错；C ．||||a b a c b c >⇒->-正确；D ．反例：1a =，1b =-，2c =-，1111a b=>=-错误， 选C ．4．函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】A【解析】由1n n a a +>，2n n a a >，∴(1)0n n a a ->， ∴1n a >或0n a <， 而[1,0]n a ∈-时， 1n n a a +>不对n 恒成立，选A ．5．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“0||1x <”的概率为（）． A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】()(1)050101x s x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩， ∴{}|1,15P x x x =≠-<<， ||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A ．120B ．240C ．280D ．60【答案】A【解析】选从5双中取1双，15C ， 丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只， 24C 2224⨯⨯=，∴15C 24120N =⨯=． 选A ．7．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b ++-≥CD ．3322a b ab +≥【答案】D【解析】332222()()a b ab a b a ab b +=-+--，当a b <<有3322a b ab +<， 故D 项错误，其余恒成立． 选D ．8．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．A ．02B ．1429【答案】D【解析】从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号为： 08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）．A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】S K0 11 25 314 4⇒出14S =．选C ．10．如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）．（注：标准差s =x 为1x ，2x ，，n x 的平均数）3272010*******7632组1组A ．12x x <，12s s <B ．12x x <，12s s >C ．12x x >，12s s >D ．12x x >，12s s <【答案】A【解析】第1组7名同学体重为： 53，56，57，58，61，70，72，∴11(535672)61kg 7x =+++=， 222211[(5361)(7261)]43kg 7S =-++-=，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，21(545673)62kg 7x =+++=，222221[(5462)(7362)]63kg 7S =-++-=，∴12x x <，2212S S <．故选A ．11．如图给出的是计算111112468100+++++的一个程序框图，则判断框内应填入关于i 的不等式为（）．A ．50i <B ．50i >C ．51i <D ．51i >【答案】B 【解析】11124100+++进行了50次， 第50次结束时，102n =，=51i ， 此时输出，因此50i >． 选B ．12．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13【答案】D【解析】()n x y +的展开式第七项系数为6C n ，且最大， 可知此为展开式中间项， 当展开式为奇数项时：62n=，12n =， 当有偶数项时162n +=，11n =， 或172n +=，13n =， 故11n =，12，13． 选D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）．A ．25B ．35C ．23D ．910【答案】D【解析】从袋中5球随机摸3个， 有35C 10=，黑白都没有只有1种， 则抽到白或黑概率为1911010-=． 选D ．14．已知数列{}n a 的前n 项的乘积为2n n T c =-，其中c 为常数，*n ∈N ，若43a =，则c =（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】44433232T ca T c-===-， ∴4c =． 选A ．15．组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【答案】A【解析】若小张或小赵入选，有选法：113223C C C 24⋅⋅=种，若小张，小赵都入选，有：2323A A 12⋅=种，可知共有241236+=种． 选A ．16．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】令1x =，4014(2a a a +++=+，令1x =-，401234(2a a a a a -+-+=-+， 而2202413()()a a a a a ++-+024*******()()a a a a a a a a a a =++++-+-+444(2(2(34)1=-+=-=．选A ．17．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（）．A ．63125B ．62125C ．63250D ．31125【答案】B【解析】4个人乘10节车厢的火车， 有41010000=种方法，没有两人在一车厢中有410A 10987=⨯⨯⨯种， ∴至少有两人在同一车厢概率为：4104A 49606211010000125p =-==． 选B ．18．某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）．A ．14B ．12C ．23D ．13【答案】B【解析】设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为6种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，12p =． 选B ．19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A ．151B ．168C ．1306D ．1408【答案】B【解析】共有318C 17163=⨯⨯种事件数， 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =，由1、4、7、10、13、16，可得4种， 12a =，由2、5、8、11、14、17，可得4种，3n a =，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．20．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A【解析】①数列0，2，4，6，j i a a +，(13)j i a a j i j -≤≤≤， 两数中都是该数列中项， 432a a -=，①正确，若{}n a 有P 性质，去{}n a 中最大项n a ，n n a a +与n n a a -至少一个为{}n a 中一项，2n a 不是，又由120n a a a ≤≤≤，则0是，0n a =，②正确，③1a ，2a ，3a 有性质P ，1230a a a <<≤， 13a a +，31a a -，至少有一个为{}n a 中一项，1︒．13a a +是{}n a 项，133a a a +=，∴10a =，则23a a +，不是{}n a 中项， ∴322a a a -=⇒∴1322a a a +=．2︒．31a a -为{}n a 中一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒；②若312a a a -=，则32a a =与23a a <不符； ③311a a a -=，312a a =． 综上1322a a a +=，③正确， 选A ．21．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）．A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D 【解析】观察选项有12，1-，1，2． 当2a =时，y ax z =+与22y x =+重合时，纵截距最大，符合， 1a =-时，y ax z =+与y x z =-+重合时，纵截距最大，符合， 12a -<<时，y ax z =+经过(0,2)B 时，纵截距最大，不符合，12，1舍去， 故2a =或1-， 选D ．12x 222．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）．A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<， 可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,]x ∈+∞，使22()440f x x kx k k =-+-<成立，由于22()44f x x kx k k =-+-的对称轴为 21x k =≤，所以22()44f x x kx k k =-+-，连[1,]x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <， 即21440k k k -+-<，解得114k <<， 又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，2(2)0(2)0f x k k x k k --<⇔---<恒成立，综上，14k >． 选D ．23．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB △中OBOA的最大值为（）． A ．43B ．53C ．54D ．45【答案】见解析 【解析】(4,3)A ， 3sin 5AOB =∠，sin sin AB OBAOB A=∠，∴sin 5sin sin 3OB A A AB AOB ==∠， 由(0,π)A ∈得sin (0,1]A ∈， ∴当π2A =时55sin 33OB A AB ==， 为最大值：选B ．24．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】见解析【解析】若{}n a 递增， 1|1|||0n n a a n c n c +-=+--->22(1)()n c n c +->-．∴有12c n <+， ∵1322n +>， ∴1c ≤为{}n a 递增充分不必要条件． 选A ．25．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】1︒，5个1分在同列，5m =，2︒，5个1分在两列，则这两列出现最大数至多为3，故2515320m ⨯+⨯=≤，有10m ≤， 3︒，5个1在三列，3515253m ⨯+⨯+⨯≤，∴0m ≤，4︒，若5个1在至少四列中，其中某一列至少有一个数大于3，矛盾，∴1M ≤， 如图可取10． 故选C ．二、填空题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．把答案填在题中横线上．26．执行如图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =__________；若输出的14S =，则整数M = __________．【答案】见解析 【解析】n S 0 01 2 1M =时，2S =， 2 63 14 当3n =时出来，故3M =．27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 【答案】见解析【解析】7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．28．在一个有三个孩子的家庭中，（1）已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． （2）已知年龄最小的孩子是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有2228⨯⨯=种，只有男孩1种除去，只有女孩有1种， ∴161817p =-=-．29．在AOB △的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有__________个． 【答案】见解析【解析】3331267C C C 16S --=，连12个点中任取3个点，除去同一直线上点．30．如图，在23⨯的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．【答案】见解析【解析】直角边长为1时，2464=⨯个，7214⨯=个， 直角边长为2时，248⨯=个，时，4个， ∴总共有24148450+++=．31．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,4,6中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有5315⨯=种， b a >有共9种， ∴93155P ==．32．已知正方形ABCD ．（1）在A ，B ，C ，D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．（2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB △的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是__________． 【答案】见解析【解析】（1）共有24C 6=种， 异侧2种， ∴2163P ==．（2）在CDFE 内，14ABC PAB D S S >⋅平行四边形△，【注意有文字】而12CEDF ABCD S S =⋅，∴12P =． OF E CB A D33．已知当实数x ，y 满足12121x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≤时，1ax by +≤恒成立，给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3． ②22x y +的最大值等于2．③以a ，b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5． ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-． 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】见解析 【解析】①13322S ==≠，d =②当1x =-，1y =-时， 222x y +=取最大，②对；③1ax by +≤恒成立， 当且仅当111b a a b ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤，③193322S =⨯⨯=，③对；④1a b ==时，2a b +=最大， 12a b ==-时，1a b +=-最小，④对． 综上②③④．34．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（ⅰ）若1t =，则P =__________． （ⅱ）P 的最大值是__________． 【答案】见解析【解析】①不等式组4040x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥0≥平面区域为M ，184162M S =⨯⨯=，不等式组(04)04t x tt y t-⎧⎨-⎩≤≤≤≤≤≤， 表示的面积为2(4)t t - 22(2)8t =--+． 1t =时，283168P -+==． ②2t =时，081162P +==， 且2(4)t t -最大，P 最大．35．若不等式*1111()1232a n n n n n++++>∈+++N 恒成立，则a 的范围__________．【答案】见解析 【解析】设11()12f n n n=+++ 111(1)2212(1)f n n n n +=++++++ 111(1)()212(1)1f n f n n n n +-=+-+++ 1102122n n =->++． ∴()f n 是关于n 递增数列(,2)n n ∈N ≥， ∴7()(2)12f n f =≥， ∴712a <．36．当[1,9]x ∈时，不等式22|3|32x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是__________． 【答案】见解析【解析】等价为22|3|32x x x k x -++≥， 设22|3|32()x x x f x x-++=，当13x ≤≤，32()3f x x=+，在[1,3]上单减， min 41(3)3f f ==，当39x <≤，32()2323f x x x =+-≥， 当且仅当322x x=，4x =成立， ∴()f x 最小值为13． ∴13k ≤．三、解答题：（本大题共6小题，每题7分，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）37．已知ABC △为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 2sin c A =． （1）求角C ．（2）当c =ABC △面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）正弦定理：sin sin a cA c=，∵π02c <<，∴π3c =． （2）余弦定理是：2222cos c a b ab c =+-， ∴2212a b ab =+-， 又∵22a b ab ab +-≥， ∴12ab ≤，1sin 2ABC S ab c ==△≤当仅当a b =时取得∴max S =38．已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦，0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．39．在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．a（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）10.30.150.10.050.05a =----- 0.035=．（Ⅱ）[40,50)有0.00510402⨯⨯=人， [59,60)有0.0110404⨯⨯=人，两名学生都在[50,60)概率为： 2426C 62C 155P ===， ∴23155P =-=求．【注意有文字】40．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，13(2)n n n b b a n -=+≤． （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）11(31)(31)n n n n n a S S --=-=--- 123n -⋅，2n ≥，∴123(*)n n a n -=⋅∈N ，即11112323233n n n n n n n b b b b -----=+⋅⇔=+， ∴112233n n n n b b ----=， ∴13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）1nn i c T b ==∑，∴112(1)213nn b n n -=+-=-， ∴1(21)3n n b n -=-⋅， ∴11333(21)3n n T n -=⨯︒+⨯++-⋅ 231333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅ ∴21212(333)(21)3n n n T n -=--++++-⋅(1)31n n T n =-⋅+，*n ∈N ．41．某大学调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：A 餐厅分数频率分布直方图频率分数B 餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0030.0050.012)100.2P =++⨯=， 1000.220N =⨯=人．（Ⅱ）记A 指数比B 高为事件C ，A 评价指数为1为事件1A ，为2为事件2A ，B 评价指数数为0为事件0B ，为1为事件1B ．∴1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=，2()0.4P A =，0235()0.1100P B ++==， 14015()0.55100P B +==， 102021()()P C P A B A B A B =++，()0.40.10.40.10.40.550.3P C =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）A ：0.4 1.2⨯=， ()00.10.55120.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，EX EY <．选B ．42．设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ．（Ⅲ）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵{}|12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -+++=的两根， 1x =-代入得(31)2(1)0m m m ++++=，∴12m =-．（Ⅱ）(2)[(1)]0x mx m --+>， 当0m >时，112x =，21m x m+=． ①12m m+=时，1m =，2x ≠； ②12m m +>时，01m <<，2x <或1m x m+>；③12m m +<时，1m >，2x >或1m x m+<． 综上01m <<，1|2,m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭，1m =，{}|72,2P x x x =∈≠， 1m >，1|,2m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭． （Ⅲ）(3,2)x ∈-时，2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 0m =时，20x -+>，{}|2P x x =<合题， 0m >时，由（I ）得01m <≤合题， 0m <时，1112m m m+=+<， ∴1|2m P x x m +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时13m m +-≤，解得104m -<≤， 综上，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．四、附加题43．已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1n n a q -=， 111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -⋅--=，∵0q ≠， ∴2210q q --=，解得：1q =或12q =-．44．从某校高一年级随机抽取n 名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：频率（Ⅰ）求n 的值．（Ⅱ）若10a =，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为7.84，求a ，b 的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）2500.04n ==． （Ⅱ）组号 分组 频数 频率1 [5,6) 20.04 2[6,7) 10 0.20 3[7,8) 100.20 4[8,9) 20 0.40 5[9,10)80.16（Ⅲ）112 5.5+10 6.5+7.58.589.578450210950a b a b ⎧⨯⨯⨯+⨯+⨯=-⎪⎨⎪++++=⎩，1515a b =⎧⎨=⎩， ∴158230.465050P +===．频率睡眠时间45．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若a 随机选自集合{}0,1,2,3,4，b 随机选自集合{}0,1,2,3，求方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 随机选自区间[0,4]，b 随机选自区间[0,3]，求方程有实根的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）可能发生有4520⨯=个， 有14个符合题意， ∴1472010P ==， 22(2)40a b ∆=-->，∴a b ≥， 此时符合题意．（Ⅱ）[0,4]a ∈，[0,3]b ∈，∴区域{}Ω=()|04,03a b a b ⋅≤≤≤≤， 面积Ω=3412μ⨯=，事件A 为有实根， {}()|04,03,A a b a b a b =⋅≤≤≤≤≥，153433212A μ=⨯-⨯⨯=， ∴1552()Ω128M P A μμ===．46．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．(分钟)（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ，5组人为1C ，共有28C 15=种， 符合有：11()A B 12()A B 21()A B 22()A B 31()A B 32()A B 12()B B 11(,)B C 21(,)B C 9种，∴93155P ==．47．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）共有3666=⨯种， 和为6的共5种， ∴536P =． （Ⅱ）1526C 1C 3P ==为抽2个球，有6的概率，∴2232122C (1)3339P P -=⨯⨯=为所求． （Ⅲ）X 可取3，4，5，6， 3336C 1(3)C 20P x ===，2336C 3(4)C 20P x ===，2436C 63(5)C 2010P x ====，2336C 1(6)C 2P x ===．（Ⅳ）11(1)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33321331117(2)C C 666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331121219(3)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331131337(4)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331141461(5)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32221331151591(6)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．48．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数，现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20（Ⅰ）根据题中数据，估计这240（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）55540.220R P N ===， ∴2400.248N =⨯=人． （Ⅱ）X 可取0，1，2，216220C 12(0)C 19P X ===，11164220C C 32(1)C 95P X ⋅===，24220C 3(2)C 95P X ===．X 0 1 201219959595EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）定义2121[()()]i i n n S P P P P n=-++-i P 为第i 题预估难度，且0.05S <，则合理222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．∵0.0120.05S =<， ∴合理．49．已知数列{}n a 的通项公式为12(1)(1)n n a n n λ+=+-⋅+，其中λ是常数，*n ∈N ． （Ⅰ）当21a =-时，求λ的值．（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意*n ∈N ，都有0n a >，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2n =时2321a λ=-=-， ∴2λ=．（Ⅱ）13a λ=+，232a λ=-，373a λ=+，474a λ=-， 若存在入使{}n a 为等差数列 有：2132a a a =+， 2(32)(3)(73)λλλ-=+++ ∴12λ=-，21332a a λ-=-=，43172a a λ--=-=， 矛盾，∴不存在入使{}n a 为等差数列． （Ⅲ）∵0n a >，∴12(1)(1)0n n n λ++-⋅+>，即1(1)(1)2n nnλ+--⋅<+，n ∈N ．①当n 为正偶数：12nλ<-，随n 增大变大，13222λ<-=．②当n 为正奇数：12nλ<--，随n 变大而变大，2λ-≥． 综上：31,2λ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．50．设a ∈R ，*n ∈N ，求和：231n a a a a +++++=__________．【答案】见解析【解析】当0a =时，211n a a a ++++=，当1a =时，11n a a n +++=+，当0a ≠，且1a ≠时1111n na a a a+-++=-，∴11,11,11n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．51．设数列{}n a 的通项公式为*3()n a n n =∈N ，数列{}n b 定义如下：对任意*m ∈N ，m b 是数列{}n a 中不大于23m 的项的个数，则3b =__________；数列{}m b 的前m 项和m S =__________． 【答案】见解析【解析】633n ≤，∴243n ≤， ∴3243b =， 由233m n ≤， ∴213m n -≤ ∴213m m b -=，3(19)3(91)198m mm S -==--，故243；3(91)8m-．52．已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R ．当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则m 的取值范围为__________． 【答案】见解析【解析】0m <，2(1)(13)4f mx m x =+--开口朝下， 13311222n m x m m-=-=->， 若0(1,)x ∃∈+∞使0()0f x >，则2(13)160m m -+>， 即291010m m ++>， ∴1m <-或109m -<<，综上：1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．53．设不等式组23034057200x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤，表面的平面区域是W ，则W 中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）．A ．231B ．230C ．219D ．218【答案】见解析【解析】3405720x y x y -⎧⎨--⎩≥，8060x y =-⎧⎨=-⎩，∴(80,60)A -，23057200x y x y -=⎧⎨--=⎩，6040x y =⎧⎨=⎩， (60,40)B ，分别取80x =-，79-，60，求出y 值， 可知总数有231， 选A ．2x 3。
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）（考试时间为120分钟，满分为150分）一、选择题：本大题共25小题，每小题3分，共75分．1．在ABC △中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC △的形状是（）．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．无法确定【答案】B【解析】由正弦定理：222a b c +<， 故为2220a b c +-<，又∵222cos 2a b c c ab+-=，∴cos 0c <， 又∵0πc <<， ∴ππ2c <<， 故B ．2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率依次为1P ，2P ，3P ，则（）． A ．123P P P =< B ．231P P P =< C ．132P P P =< D ．123P P P ==【答案】D【解析】无论三种中哪一抽法都要求个体被抽概率相同． 选D ．3．若非零实数a ，b ，c 满足a b c >>，则一定成立的不等式是（）．A ．ac bc >B ．ab ac >C ．||||a c b c ->-D ．111a b c<< 【答案】C【解析】A ．a b >，c 不一定为正，错；B ．同A ，a 不一定为正，错；C ．||||a b a c b c >⇒->-正确；D ．反例：1a =，1b =-，2c =-，1111a b=>=-错误， 选C ．4．函数2()f x x =，定义数列{}n a 如下：1()n n a f a +=，*n ∈N ，若给定1a 的值，得到无穷数列{}n a 满足：对任意正整数n ，均有1n n a a +>，则1a 的取值范围是（）．A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,0)(1,)-∞+∞C ．(1,)+∞D ．(1,0)-【答案】A【解析】由1n n a a +>，2n n a a >，∴(1)0n n a a ->， ∴1n a >或0n a <， 而[1,0]n a ∈-时， 1n n a a +>不对n 恒成立，选A ．5．已知不等式501x x -<+的解集为P ，若0x P ∈，则“0||1x <”的概率为（）． A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】()(1)050101x s x x x x -+<⎧-<⇒⎨+≠+⎩，∴{}|1,15P x x x =≠-<<， ||111x x <⇒-<<，∴1(1)15(1)3P --==--．选B ．6．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）．A ．120B ．240C ．280D ．60【答案】A【解析】选从5双中取1双，15C ， 丙从剩下4双任取两双，两双中各取1只， 24C 2224⨯⨯=，∴15C 24120N =⨯=． 选A ．7．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立的是（）．A ．12a a+≥B ．222(1)a b a b ++-≥CD ．3322a b ab +≥【答案】D【解析】332222()()a b ab a b a ab b +=-+--，a b <<有3322a b ab +<， 故D 项错误，其余恒成立． 选D ．8．总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，利用下面的随机数表选取4个个体．选取的方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为（）．A ．02B ．14 29【答案】D【解析】从表第1行5列，6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号为： 08，02，14，29．∴第四个个体为29． 选D ．9．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）．A ．1B ．5C ．14D ．30【答案】C【解析】S K0 11 25 314 4⇒出14S =．选C ．10．如图是1，2两组各7名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（）．（注：标准差s x 为1x ，2x ，，n x 的平均数）3272010*******7632组1组A ．12x x <，12s s <B ．12x x <，12s s >C ．12x x >，12s s >D ．12x x >，12s s <【答案】A【解析】第1组7名同学体重为： 53，56，57，58，61，70，72，∴11(535672)61kg 7x =+++=，222211[(5361)(7261)]43kg 7S =-++-=，第2组7名同学体重为：72，73，61，60，58，56，54，21(545673)62kg 7x =+++=，222221[(5462)(7362)]63kg 7S =-++-=，∴12x x <，2212S S <．故选A ．11．如图给出的是计算111112468100+++++的一个程序框图，则判断框内应填入关于i 的不等式为（）．A ．50i <B ．50i >C ．51i <D ．51i >【答案】B 【解析】11124100+++进行了50次， 第50次结束时，102n =，=51i ， 此时输出，因此50i >． 选B ．12．在()n x y +的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于（）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13【答案】D【解析】()n x y +的展开式第七项系数为6C n ，且最大， 可知此为展开式中间项， 当展开式为奇数项时：62n=，12n =， 当有偶数项时162n +=，11n =， 或172n +=，13n =， 故11n =，12，13． 选D ．13．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均等，则抽到白球或黑球的概率为（）．A ．25B ．35C ．23D ．910【答案】D【解析】从袋中5球随机摸3个， 有35C 10=，黑白都没有只有1种， 则抽到白或黑概率为1911010-=． 选D ．14．已知数列{}n a 的前n 项的乘积为2n n T c =-，其中c 为常数，*n ∈N ，若43a =，则c =（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】44433232T ca T c-===-， ∴4c =． 选A ．15．组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司仪、司机思想不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这思想工作，则不同的选派方案共有（）．A ．36种B ．12种C ．18种D ．48种【答案】A【解析】若小张或小赵入选，有选法：113223C C C 24⋅⋅=种，若小张，小赵都入选，有：2323A A 12⋅=种，可知共有241236+=种． 选A ．16．若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（）．A ．1B ．1-C ．0D ．2【答案】A【解析】令1x =，4014(2a a a +++=+，令1x =-，401234(2a a a a a -+-+=-， 而2202413()()a a a a a ++-+024*******()()a a a a a a a a a a =++++-+-+444(2(2(34)1=-=-=．选A ．17．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（）．A ．63125B ．62125C ．63250D ．31125【答案】B【解析】4个人乘10节车厢的火车， 有41010000=种方法，没有两人在一车厢中有410A 10987=⨯⨯⨯种， ∴至少有两人在同一车厢概率为：4104A 49606211010000125p =-==． 选B ．18．某车站，每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某人某天准备在该车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略；先放过第一辆车，如果第二辆车比第一辆车则上第二辆，否则上第三辆车，那么他乘上上等车的概率为（）．A ．14B ．12C ．23D ．13【答案】B【解析】设三车等次为：下、中、上， 它们先后次序为6种： 下 中 上 ×→没乘上上等 下 上 中 √→乘上上等 中 下 上 √ 中 上 下 √ 上 下 中 × 上 中 下 × 情况数为3，12p =． 选B ．19．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A ．151B ．168C ．1306D ．1408【答案】B【解析】共有318C 17163=⨯⨯种事件数， 选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-，11a =，由1、4、7、10、13、16，可得4种， 12a =，由2、5、8、11、14、17，可得4种， 3n a =，由3、6、9、12、15、18，可得4种，4311716368p ⨯==⨯⨯．选B ．20．已知数列1:A a ，2a ，，12(0,3)n n a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论： ①数列0，2，4，6具有性质P ． ②若数列A 具有性质P ，则10a =．③数列1a ，2a ，3123(0)a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=， 其中，正确结论的个数是（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】A【解析】①数列0，2，4，6，j i a a +，(13)j i a a j i j -≤≤≤， 两数中都是该数列中项， 432a a -=，①正确，若{}n a 有P 性质，去{}n a 中最大项n a ，n n a a +与n n a a -至少一个为{}n a 中一项，2n a 不是，又由120n a a a ≤≤≤，则0是，0n a =，②正确，③1a ，2a ，3a 有性质P ，1230a a a <<≤， 13a a +，31a a -，至少有一个为{}n a 中一项，1︒．13a a +是{}n a 项，133a a a +=，∴10a =，则23a a +，不是{}n a 中项， ∴322a a a -=⇒∴1322a a a +=．2︒．31a a -为{}n a 中一项，则311a a a -=或2a 或3a ，①若313a a a -=同1︒；②若312a a a -=，则32a a =与23a a <不符； ③311a a a -=，312a a =． 综上1322a a a +=，③正确， 选A ．21．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤≤≥，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）．A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D 【解析】观察选项有12，1-，1，2． 当2a =时，y ax z =+与22y x =+重合时，纵截距最大，符合， 1a =-时，y ax z =+与y x z =-+重合时，纵截距最大，符合， 12a -<<时，y ax z =+经过(0,2)B 时，纵截距最大，不符合，12，1舍去， 故2a =或1-， 选D ．12x 222．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）．A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】当12k ≤时，20x k -≥，因此(2)0f x k k --<， 可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,]x ∈+∞，使22()440f x x kx k k =-+-<成立，~由于22()44f x x kx k k =-+-的对称轴为 21x k =≤，所以22()44f x x kx k k =-+-，连[1,]x ∈+∞单调递增，因此只要(1)0g <， 即21440k k k -+-<，解得114k <<， 又因12k ≤，所以1142k <≤，当12k >时，2(2)0(2)0f x k k x k k --<⇔---<恒成立，综上，14k >． 选D ．23．设O 为坐标原点，点(4,3)A ，B 是x 正半轴上一点，则OAB △中OBOA的最大值为（）． A ．43B ．53C ．54D ．45【答案】见解析 【解析】(4,3)A ， 3sin 5AOB =∠，sin sin AB OBAOB A=∠，∴sin 5sin sin 3OB A A AB AOB ==∠， 由(0,π)A ∈得sin (0,1]A ∈， ∴当π2A =时55sin 33OB A AB ==， 为最大值：选B ．24．数列{}n a 的通项公式为*||()n a n c n =-∈N ，则“1c ≤”是“{}n a 为递增数列”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】见解析【解析】若{}n a 递增， 1|1|||0n n a a n c n c +-=+--->22(1)()n c n c +->-．∴有12c n <+， ∵1322n +>， ∴1c ≤为{}n a 递增充分不必要条件． 选A ．25．将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为（）．A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】1︒，5个1分在同列，5m =，2︒，5个1分在两列，则这两列出现最大数至多为3，故2515320m ⨯+⨯=≤，有10m ≤， 3︒，5个1在三列，3515253m ⨯+⨯+⨯≤，∴0m ≤，4︒，若5个1在至少四列中，其中某一列至少有一个数大于3，矛盾，∴1M ≤， 如图可取10． 故选C ．二、填空题：本大题共11小题，每小题3分，共33分．把答案填在题中横线上．26．执行如图所示的程序框图，若1M =，则输出的S =__________；若输出的14S =，则整数M = __________．【答案】见解析 【解析】n S 0 01 2 1M =时，2S =， 2 63 14 当3n =时出来，故3M =．27．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________． 【答案】见解析【解析】7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=．28．在一个有三个孩子的家庭中，（1）已知其中一个是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． （2）已知年龄最小的孩子是女孩，则至少有一个男孩的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有2228⨯⨯=种，只有男孩1种除去，只有女孩有1种， ∴161817p =-=-．29．在AOB △的边OA 上有5个点，边OB 上有6个点，加上O 点共12个点，以这12个点为顶点的三角形有__________个． 【答案】见解析【解析】3331267C C C 16S --=，连12个点中任取3个点，除去同一直线上点．30．如图，在23⨯的矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的等腰直角三角形共有__________个．【答案】见解析【解析】直角边长为1时，2464=⨯个，7214⨯=个， 直角边长为2时，248⨯=个，时，4个， ∴总共有24148450+++=．31．从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a ，从{}2,4,6中随机选取一个数为b ，则b a >的概率是__________． 【答案】见解析【解析】共有5315⨯=种， b a >有共9种， ∴93155P ==．32．已知正方形ABCD ．（1）在A ，B ，C ，D 四点中任取两点连线，则余下的两点在此直线异侧的概率是__________．（2）向正方形ABCD 内任投一点P ，则PAB △的面积大于正方形ABCD 面积四分之一的概率是__________． 【答案】见解析【解析】（1）共有24C 6=种， 异侧2种， ∴2163P ==．~（2）在CDFE 内，14ABC PAB D S S >⋅平行四边形△，【注意有文字】而12CEDF ABCD S S =⋅，∴12P =． OF E CB A D33．已知当实数x ，y 满足12121x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≤时，1ax by +≤恒成立，给出以下命题：①点(,)P x y 所形成的平面区域的面积等于3． ②22x y +的最大值等于2．③以a ，b 为坐标的点(,)Q a b 所形成的平面区域的面积等于4.5． ④a b +的最大值等于2，最小值等于1-． 其中，所有正确命题的序号是__________． 【答案】见解析 【解析】①13322S ==≠，d =②当1x =-，1y =-时， 222x y +=取最大，②对；③1ax by +≤恒成立， 当且仅当111b a a b ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≤≤，~③193322S =⨯⨯=，③对；④1a b ==时，2a b +=最大， 12a b ==-时，1a b +=-最小，④对． 综上②③④．34．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（ⅰ）若1t =，则P =__________． （ⅱ）P 的最大值是__________． 【答案】见解析【解析】①不等式组4040x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥0≥平面区域为M ，184162M S =⨯⨯=，不等式组(04)04t x tt y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤≤≤， 表示的面积为2(4)t t - 22(2)8t =--+． 1t =时，283168P -+==． ②2t =时，081162P +==， 且2(4)t t -最大，P 最大．35．若不等式*1111()1232a n n n n n++++>∈+++N 恒成立，则a 的范围__________．~【答案】见解析 【解析】设11()12f n n n=+++ 111(1)2212(1)f n n n n +=++++++ 111(1)()212(1)1f n f n n n n +-=+-+++ 1102122n n =->++． ∴()f n 是关于n 递增数列(,2)n n ∈N ≥， ∴7()(2)12f n f =≥， ∴712a <．36．当[1,9]x ∈时，不等式22|3|32x x x kx -++≥恒成立，则k 的取值范围是__________． 【答案】见解析【解析】等价为22|3|32x x x k x -++≥， 设22|3|32()x x x f x x-++=，当13x ≤≤，32()3f x x=+，在[1,3]上单减， min 41(3)3f f ==，当39x <≤，32()2323f x x x =+-≥， 当且仅当322x x=，4x =成立， ∴()f x 最小值为13． ∴13k ≤．三、解答题：（本大题共6小题，每题7分，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）37．已知ABC △为锐角三角形，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 2sin c A =． （1）求角C ．（2）当c =时，求ABC △面积的最大值． 【答案】见解析 【解析】（1）正弦定理：sin sin a cA c=，∵π02c <<，∴π3c =． （2）余弦定理是：2222cos c a b ab c =+-， ∴2212a b ab =+-， 又∵22a b ab ab +-≥， ∴12ab ≤，1sin 2ABC S ab c ==△≤当仅当a b =时取得∴max S =38．已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值． （Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦，0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．39．在参加某次社会实践的学生中随机选取40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中．a（Ⅰ）求a 的值及成绩在区间[80,90)内的学生人数．（Ⅱ）从成绩小于60分的学生中随机选2名学生，求最多有1名学生成绩在区间[50,60)内的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）10.30.150.10.050.05a =----- 0.035=．（Ⅱ）[40,50)有0.00510402⨯⨯=人， [59,60)有0.0110404⨯⨯=人，两名学生都在[50,60)概率为：2426C 62C 155P ===， ∴23155P =-=求．【注意有文字】40．已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =-，其中*n ∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，13(2)n n n b b a n -=+≤． （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．（ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）11(31)(31)n n n n n a S S --=-=--- 123n -⋅，2n ≥，∴123(*)n n a n -=⋅∈N ，即11112323233n n n n n n n b b b b -----=+⋅⇔=+， ∴112233n n n n b b ----=， ∴13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为2的等差数列． （Ⅱ）1nn i c T b ==∑，∴112(1)213nn b n n -=+-=-， ∴1(21)3n n b n -=-⋅， ∴11333(21)3n n T n -=⨯︒+⨯++-⋅ 231333(21)3n n T n =⨯+⨯++-⋅ ∴21212(333)(21)3n n n T n -=--++++-⋅(1)31n n T n =-⋅+，*n ∈N ．41．某大学调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：A 餐厅分数频率分布直方图频率分数B 餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A （Ⅱ）从该校在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0030.0050.012)100.2P =++⨯=， 1000.220N =⨯=人．（Ⅱ）记A 指数比B 高为事件C ，A 评价指数为1为事件1A ，为2为事件2A ，B 评价指数数为0为事件0B ，为1为事件1B ．∴1()(0.020.02)100.4P A =+⨯=， 2()0.4P A =，~0235()0.1100P B ++==， 14015()0.55100P B +==， 102021()()P C P A B A B A B =++，()0.40.10.40.10.40.550.3P C =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）A ：0.4 1.2⨯=， ()00.10.55120.35 1.25E Y =⨯+⨯+⨯=，EX EY <．选B ．42．设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （Ⅰ）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （Ⅱ）当0m >时，求集合P ．（Ⅲ）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）∵{}|12P x x =-<<，∴1-，2为2(31)2(1)0mx m x m -+++=的两根， 1x =-代入得(31)2(1)0m m m ++++=，∴12m =-．（Ⅱ）(2)[(1)]0x mx m --+>， 当0m >时，112x =，21m x m+=． ①12m m+=时，1m =，2x ≠； ②12m m +>时，01m <<，2x <或1m x m +>； ③12m m +<时，1m >，2x >或1m x m+<．~综上01m <<，1|2,m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭，1m =，{}|72,2P x x x =∈≠， 1m >，1|,2m P x x x m +⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭． （Ⅲ）(3,2)x ∈-时，2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 0m =时，20x -+>，{}|2P x x =<合题， 0m >时，由（I ）得01m <≤合题， 0m <时，1112m m m+=+<， ∴1|2m P x x m +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时13m m +-≤，解得104m -<≤， 综上，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．四、附加题43．已知数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）1n n a q -=， 111(1)n n n n n a a q q q q --+-=-=-，当01q <<时：有10n q ->，10q -<， ∴10n n a a +-<， ∴{}n a 为递减数列．（Ⅱ）∵k a ，2k a +，1k a +成等差数列， ∴112()0k k k q q q +--+=， 12(21)0k q q q -⋅--=，∵0q ≠， ∴2210q q --=， 解得：1q =或12q =-．44．从某校高一年级随机抽取n名学生，获得了他们日平均睡眠时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表：频率（Ⅰ）求n的值．（Ⅱ）若10a=，补全表中数据，并绘制频率分布直方图．（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，若上述数据的平均值为7.84，求a，b的值，并由此估计该校高一学生的日平均睡眠时间不少于8小时的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2500.04n==．（Ⅱ）组号分组频数频率1[5,6)20.042[6,7)100.203[7,8)100.204[8,9)200.405[9,10)80.16（Ⅲ）112 5.5+10 6.5+7.58.589.5784 50210950a ba b⎧⨯⨯⨯+⨯+⨯=-⎪⎨⎪++++=⎩，1515a b =⎧⎨=⎩， ∴158230.465050P +===．频率睡眠时间45．已知关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=，其中a ，b ∈R ．（Ⅰ）若a 随机选自集合{}0,1,2,3,4，b 随机选自集合{}0,1,2,3，求方程有实根的概率． （Ⅱ）若a 随机选自区间[0,4]，b 随机选自区间[0,3]，求方程有实根的概率． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）可能发生有4520⨯=个， 有14个符合题意， ∴1472010P ==， 22(2)40a b ∆=-->，∴a b ≥， 此时符合题意．（Ⅱ）[0,4]a ∈，[0,3]b ∈，∴区域{}Ω=()|04,03a b a b ⋅≤≤≤≤， 面积Ω=3412μ⨯=，事件A 为有实根， {}()|04,03,A a b a b a b =⋅≤≤≤≤≥，153433212A μ=⨯-⨯⨯=， ∴1552()Ω128M P A μμ===．46．经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于0与50之间（单位：分钟）．现从在校学生中随机抽取100人，按上学所学时间分组如下：第1组(0,10]，第2组(10,20]，第3组(20,30]，第4组(30,40]，第5组(40,50]，得打如图所示的频率分布直方图．(分钟)（Ⅰ）根据图中数据求a 的值．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分成抽样的方法抽取6人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若从这6人中随机抽取2人参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1人被抽中的概率．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）(0.0050.010.030.035)101a ++++⨯=， 0.02a =．（Ⅱ）第3组人数为1000.330⨯=人， 第4组人数为0.210020⨯=人， 第5组人数为0.110010⨯=人， ∴比例为3:2:1，∴第3组，4组，5组各抽3，2，1人． （Ⅲ）记3组人为1A ，2A ，3A ，4组人为1B ，2B ，5组人为1C ，共有28C 15=种， 符合有：11()A B 12()A B 21()A B 22()A B 31()A B 32()A B 12()B B 11(,)B C 21(,)B C 9种，∴93155P ==．47．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率． （Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列．~【答案】见解析【解析】（Ⅰ）共有3666=⨯种， 和为6的共5种， ∴536P =． （Ⅱ）1526C 1C 3P ==为抽2个球，有6的概率，∴2232122C (1)3339P P -=⨯⨯=为所求． （Ⅲ）X 可取3，4，5，6， 3336C 1(3)C 20P x ===，2336C 3(4)C 20P x ===，2436C 63(5)C 2010P x ====，2336C 1(6)C 2P x ===．（Ⅳ）11(1)6216P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33321331117(2)C C 666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331121219(3)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331131337(4)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331141461(5)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32221331151591(6)C C 66666216P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅-+⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．48．在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数，现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20（Ⅰ）根据题中数据，估计这240（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差，设i P '为第i 题的实测难度，请用i P 和i P '设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理． 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）55540.220R P N ===， ∴2400.248N =⨯=人． （Ⅱ）X 可取0，1，2，216220C 12(0)C 19PX ===，11164220C C 32(1)C 95P X ⋅===， 24220C 3(2)C 95P X ===．33801219959595EX =⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）定义2121[()()]i i n n S P P P P n=-++-~i P 为第i 题预估难度，且0.05S <，则合理222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．∵0.0120.05S =<， ∴合理．49．已知数列{}n a 的通项公式为12(1)(1)n n a n n λ+=+-⋅+，其中λ是常数，*n ∈N ． （Ⅰ）当21a =-时，求λ的值．（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？证明你的结论． （Ⅲ）若对于任意*n ∈N ，都有0n a >，求λ的取值范围． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）2n =时2321a λ=-=-， ∴2λ=．（Ⅱ）13a λ=+，232a λ=-，373a λ=+，474a λ=-， 若存在入使{}n a 为等差数列 有：2132a a a =+， 2(32)(3)(73)λλλ-=+++ ∴12λ=-，21332a a λ-=-=，43172a a λ--=-=， 矛盾，∴不存在入使{}n a 为等差数列． （Ⅲ）∵0n a >，∴12(1)(1)0n n n λ++-⋅+>，即1(1)(1)2n nnλ+--⋅<+，n ∈N ．①当n 为正偶数：12nλ<-，随n 增大变大，13222λ<-=．②当n 为正奇数：12nλ<--，随n 变大而变大，2λ-≥． 综上：31,2λ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭．50．设a ∈R ，*n ∈N ，求和：231n a a a a +++++=__________．【答案】见解析【解析】当0a =时，211n a a a ++++=，当1a =时，11n a a n +++=+，当0a ≠，且1a ≠时1111n na a a a+-++=-，∴11,11,11n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩．51．设数列{}n a 的通项公式为*3()n a n n =∈N ，数列{}n b 定义如下：对任意*m ∈N ，m b 是数列{}n a 中不大于23m 的项的个数，则3b =__________；数列{}m b 的前m 项和m S =__________． 【答案】见解析【解析】633n ≤，∴243n ≤， ∴3243b =， 由233m n ≤， ∴213m n -≤ ∴213m m b -=，3(19)3(91)198m m m S -==--，故243；3(91)8m-．52．已知函数2()(13)4f x mx m x =+--，m ∈R ．当0m <时，若存在0(1,)x ∈+∞，使得0()0f x >，则m 的取值范围为__________． 【答案】见解析【解析】0m <，2(1)(13)4f mx m x =+--开口朝下， 13311222n m x m m-=-=->， 若0(1,)x ∃∈+∞使0()0f x >， 则2(13)160m m -+>， 即291010m m ++>， ∴1m <-或109m -<<，综上：1(,1),09⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．53．设不等式组23034057200x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪--⎩≥≥≤，表面的平面区域是W ，则W 中的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数是（）．A ．231B ．230C ．219D ．218【答案】见解析【解析】3405720x y x y -⎧⎨--⎩≥，8060x y =-⎧⎨=-⎩，∴(80,60)A -，23057200x y x y -=⎧⎨--=⎩，6040x y =⎧⎨=⎩， (60,40)B ，分别取80x =-，79-，60，求出y 值， 可知总数有231， 选A ．2x 3。
江苏省苏州市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)
江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．803．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．207．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．江苏省苏州市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（）A．16πB．20πC．36πD．40π【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．解：由圆锥的底面半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积为S侧＝π×4×5＝20π．故选：B．2．苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是（）A．20 B．40 C．60 D．80【分析】根据老年人抽取的人数计算抽取比例，再根据这个比例求青年人中需抽取的人数．解：由题可知抽取的比例为k＝＝，故青年人应该抽取人数为N＝800×＝40．故选：B．3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10．利用列举法求出这两个数之和等于5包含的基本事件有2个，由此能求出这两个数之和等于5的概率．解：从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，基本事件总数n＝＝10．这两个数之和等于5包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2个，则这两个数之和等于5的概率为p＝．故选：C．4．在同一平面直角坐标系中，两直线﹣＝1与﹣＝1的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据直线方程的截距式可知，直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m，然后结合选项，对m和n的正负性进行分析即可作出判断．解：直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为m，﹣n；直线﹣＝1在两坐标轴上的截距分别为n，﹣m．对于A，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在n的取值上互相矛盾；对于B，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一正一负（即n＞0，﹣m＜0，则m＞0），在m的取值上互相矛盾；对于C，一条直线的两截距均为负（不妨取m＜0，﹣n＜0，则n＞0），而另一条直线的两截距一负一正（即n＜0，﹣m＞0，则m＜0），在n的取值上互相矛盾；对于D，一条直线的两截距均为正（不妨取m＞0，﹣n＞0，则n＜0），而另一条直线的两截距均为负（即n＜0，﹣m＜0，则m＞0），符合．故选：D．5．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出从中取出的2粒是同一种颜色的概率，由此能求出取出的2粒颜色不同的概率．解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1＝＝，∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1﹣＝．故选：D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BB1上靠近B的三等分点，点F是棱CC1的中点，且三棱锥A1﹣AEF的体积为2，则平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为（）A．8 B．12 C．18 D．20【分析】设四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，由已知三棱锥A1﹣AEF的体积为2可得Sd的值，即平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．解：设平行四边形ABB1A1的面积为S，平面ABB1A1与平面DCC1D1的距离为d，则△AA1E的面积为S，∵＝×S×d＝2，∴Sd＝12，则．故选：B．7．已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝60°，且△ABC的面积为，则b的取值范围是（）A．[2，）B．[，）C．[2，6）D．[4，6）【分析】由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，再由正弦定理可得b＝＝，可得b2＝，对于sin A sin（120°﹣A）化简整理可得sin （2A﹣30°）+，再根据三角函数的性质即可求出．解：∵B＝60°，△ABC的面积等于＝ac sin B＝ac，解得：ac＝4，∴A+C＝120°，∵△ABC为锐角三角形，∴30°＜A＜90°，由正弦定理可得＝＝，∴b＝＝，∴b2＝＝，由sin A sin（120°﹣A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin A cos A+sin2A＝sin2A+＝（sin2A﹣cos2A）+＝sin（2A﹣30°）+，∵30°＜A＜90°，∴30°＜2A﹣30°＜150°，∴＜sin（2A﹣30°）≤1，∴＜sin（2A﹣30°）+≤∴4≤＜6，∴4≤b2＜6，∴2≤b＜故选：A．8．在平面直角坐标系xOy中，两圆O1，O2均过点（3，0），它们的圆心分别为（x1，0），（x2，0），满足+＝，若两圆与y轴正半轴分别交于（0，y1），（0，y2），则y1y2的值为（）A．2 B．6C．9 D．与x1，x2的取值有关【分析】根据圆上两点列方程，用x1，x2表示出y1，y2，再根据x1，x2的关系计算（y1y2）2即可得出答案．解：因为（3，0）和（0，y1）在圆O1上，O1（x1，0），∴|3﹣x1|＝，化简可得：y12＝9﹣6x1，同理可得：y22＝9﹣6x2，∴（y1y2）2＝（9﹣6x1）（9﹣6x2）＝81﹣54（x1+x2）+36x1x2，∵+＝＝，∴x1+x2＝x1x2，∴81﹣54（x1+x2）+36x1x2＝81，又y1＞0，y2＞0，∴y1y2＝9．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图饼图：则下面结论中正确的有（）A．乡村振兴建设后，种植收入减少B．乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C．乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D．乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【分析】根据某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍，利用饼图的性质直接求解．解：对于A，设乡村振兴经济计划前农村经济收入为a，则经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入为2a，∴乡村振兴经济计划前种植收入为a×60%＝0.6a，经过三年的乡村振兴建设种植收入为2a×37%＝0.74a，∴乡村振兴建设后，种植收入增加，故A错误；对于B，乡村振兴经济计划前其它收入为a×4%＝0.04a，经过三年的乡村振兴建设其它收入为2a×5%＝0.1a，∴乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上，故B正确；对于C，乡村振兴经济计划前养殖收入为a×30%＝0.3a，经过三年的乡村振兴建设养殖收入为2a×30%＝0.6a，∴乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍，故C正确；对于D，乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为：30%+28%＝58%，超过了经济收入的一半，故D正确．故选：BCD．10．已知函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，则实数a的可能值为（）A．B．C．D．【分析】求出复合函数的单调增区间，取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，再由函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增求得a的范围得答案．解：由，k∈Z，得，k∈Z．取k＝0，可得f（x）在[﹣，]上单调递增，又函数f（x）＝sin（2x+）在区间[﹣a，0]上单调递增，∴，即0＜a≤．∴实数a的可能值为，．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b＝2，∠B＝，若添加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是（）A．c＝3 B．c＝C．c＝4 D．c＝【分析】由B的度数求出sin B的值，再由b的值，利用正弦定理得出c与sin C的关系式，同时由B的度数求出A+C的度数，再根据三角形只有一解，可得C只有一个值，根据正弦函数的图象与性质得到C的范围，且当C为直角时，也满足题意，进而由C的范围，求出正弦函数的值域，根据c与sin C的关系式，由正弦函数的值域即可可得出c的范围解：∵B＝，b＝2，根据正弦定理得：＝＝＝4，∴c＝4sin C，又A+C＝π﹣＝，且三角形只一解，可得C有一个值，∴0＜C≤，又C＝90°时，三角形也只有一解，∴0＜sin C≤，或sin C＝1，又c＝4sin C，∴c的取值范围为（0，2]∪{4}故选：AC．12．如图，点E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A．直线AD与直线C1M始终是异面直线B．存在点M，使得B1M⊥AEC．四面体EMAC的体积为定值D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC【分析】当M为BD1的中点时可知A错误，证明BD1∥平面EAC可知C正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD即可．解：（1）当M为BD1的中点时，直线AD与直线C1M是相交直线，交点为A，故A错误；（2）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，0，），B（1，1，0），D1（0，0，1），B1（1，1，1），∴＝（﹣1，0，），＝（0，0，﹣1），＝（﹣1，﹣1，1）．＝λ（0≤λ≤1），则＝+＝（﹣λ，﹣λ，λ﹣1），若B1M⊥AE，则•＝0，即λ+（λ﹣1）＝0，解得λ＝，∴当M为线段BD1的靠近B的三等分点时，B1M⊥AE，故B正确；（3）连接BD，取BD的中点O，连接EO，则O也是AC的中点，由中位线定理可知BD1∥EO，∴BD1∥平面ACE，故V E﹣MAC＝V M﹣ACE＝V B﹣ACE，故C正确；（4）∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥OE，AC⊥OM，故∠EOM为二面角E﹣AC﹣M的平面角，当D1M＝2BM时，M（，，），又O（，，0），∴＝（，，），＝（﹣，﹣，），∴＝﹣﹣+＝0，∴OE⊥MO，故平面EAC⊥平面MAC，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动．现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为40．【分析】由频率分布直方图先求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率，由此能求出该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数．解：由频率分布直方图得：该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的频率为：1﹣（0.005+0.020+0.035）×10＝0.4，则该100名学生中成绩在80分（含80分）以上的人数为：100×0.4＝40．故答案为：40．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为2．【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sin C的值，再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．解：∵cos C＝，∴C∈（0，π），可得sin C＝＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝2，故答案为：2．15．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y＝0和x+ay＝5上，且线段AB的中点为P（0，5），则|AB|＝2．【分析】由两直线互相垂直可得a＝2，AB为直角三角形AOB的斜边，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝5，由此能求出|AB|．解：由已知两直线互相垂直可得：2×1+（﹣1）×a＝0，解得a＝2，∵线段AB中点为P（0，5），且AB为直角三角形AOB的斜边，联立，得O（1，2），∴|OP|＝＝，直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且|PO|＝，∴|AB|＝2|PO|＝2，故答案为：2．16．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为17π，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为．【分析】设球O半径为R，然后求出R，再求出球O的表面积；先求出OP＝，根据条件可知，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝，然后求出最小值．解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，设球O半径为R，则R＝＝，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．∵P为线段AD的中点，∴OP＝＝，当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，截面圆半径r＝＝＝，∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：S截面min＝＝．故答案为：17π；．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，M，N分别为BC，AC的中点，侧面A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°．（1）求证：AB∥平面A1MN；（2）求证：平面A1ACC1⊥平面A1MN．【分析】（1）由已知结合三角形中位线定理可得MN∥AB，再由直线与平面平行的判定得AB∥平面A1MN；（2）由已知证明A1N⊥AC，再由AB⊥AC，MN∥AB，可得MN⊥AC，利用直线与平面垂直的判定可得AC⊥平面A1NM，从而得到平面A1ACC1⊥平面A1MN．【解答】证明：（1）∵M，N分别为BC，AC的中点，∴MN是三角形ABC的中位线，可得MN∥AB，∵MN⊂平面A1MN，AB⊄平面A1MN，∴AB∥平面A1MN；（2）连接A1C，∵A1ACC1是菱形，∠A1AC＝60°，∴△A1AC是等边三角形，又N是AC的中点，∴A1N⊥AC，∵AB⊥AC，又由（1）知MN∥AB，∴MN⊥AC，而MN∩A1N＝N，∴AC⊥平面A1NM，而AC⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面A1MN．18．已知圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），且圆心C在直线x+y﹣2＝0上．（1）求圆C的方程；（2）过点M（0，3）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．【分析】（1）由题意设圆心C的坐标，再由圆C经过两点P，Q可得|PC|＝|QC|，可得圆心及半径的值，进而求出圆的方程；（2）分直线AB的斜率存在和不存在两种情况设直线AB的方程，求出圆心到直线AB 的距离d，由d2＝r2﹣（）2，可得直线AB的方程．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣2＝0上所以设圆心C的坐标（a，2﹣a），半径r＝，因为圆C经过两点P（1，﹣1），Q（﹣1，1），所以|PC|＝|QC|，即（a﹣1）2+（3﹣a）2＝（a+1）2+（1﹣a）2，解得a＝1，所以圆心C（1，1），r＝2，所以圆C的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4；（2）由（1）可得圆心C（1，1），r＝2，①当直线AB的斜率不存在时，及直线AB的方程为：x＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝1，弦长|AB|＝2＝2＝2符合条件；②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，可得圆心C到直线AB的距离为d＝，因为|AB|＝2，而d2＝r2﹣（）2，即（）2＝4﹣3＝1，解得：k＝﹣，综上所述：直线AB的方程为：x＝0或y＝﹣x+3．19．随着我国中医学的发展，药用昆虫的需求愈来愈多，每年春暖花开后，昆虫大量繁殖．研究发现某类药用昆虫的个体产卵数y（单位：个）与温度x（单位：℃）有关，科研人员随机挑选了3月份中的5天进行研究，收集了5组观测数据如表：温度x/℃9 11 13 12 8产卵数y/个23 25 30 26 20科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立y关于x的线性回归方程，再用后两组数据进行检验．（1）求y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过2个，则认为线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（附：回归直线的斜率和截距的公式分别为＝，＝﹣．）【分析】（1）由已知数据求出与的值，可得y关于x的线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，分别取x＝12与8，求得y值，再与实际观测数据作差取绝对值，与2比较大小得结论．解：（1），，＝＝，＝﹣＝26﹣1.75×11＝6.75．∴y关于x的线性回归方程为；（2）当x＝12时，＝27.75，|27.75﹣26|＝1.75＜2．当x＝8时，，|20.75﹣20|＝0.75＜2．∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．在①b cos A﹣c＝0，②a cos B＝b cos A，③a cos C+b＝0这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，满足____．（1）请写出你的选择，并求出角A的值；（2）在（1）的结论下，已知点D在线段BC上，且∠ADB＝，求CD长．【分析】（1）依次代入条件①②③，可得①②不成立，故只能选③；（2）由（1）结论再结合余弦定理可得cos C，进而得到sin C，结合两角和差公式得到sin ∠CAD，利用正弦定理得到CD．解：（1）若选条件①，则有cos A＝＝＝2＞1，不合题意；若选条件②，由余弦定理可得a•＝b•，整理得a＝b，又因为此时a+b＝2＜4，不符合题意；若选条件③，由余弦定理可得a•+b＝0，即a2+3b2﹣c2＝0，所以a2＝c2﹣3b2＝16﹣6＝10，则cos A＝＝＝，因为A∈（0，π），所以A＝；故（1）答案选：③；（2）由（1）的cos C＝＝＝﹣，因为c∈（0，π），则sin C＝＝，sin∠CAD＝sin（﹣C）＝sin cos C﹣cos sin C＝，在△ACD中，因为＝，则CD＝＝＝．21．如图所示，等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，满足AD ＝1，DE⊥AB．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，连接A1B，A1C．（1）求二面角C﹣A1B﹣D的余弦值；（2）线段A1E上是否存在点P，使得直线CP与平面A1BC所成的角为60°？若存在，求出A1P的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题易知，∠A1DB为二面角A1﹣DE﹣B的平面角，即∠A1DB＝90°，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求出平面A1BC的法向量，由线面垂直的判定定理易证得DE⊥面A1BD，推出平面A1BD 的法向量为＝（0，1，0），然后根据空间向量数量积的坐标运算求出cos＜＞即可得解；（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），根据空间向量的线性坐标运算可求得点P（0，λ，1﹣λ），从而得，由sin60°＝|cos ＜，＞|＝建立关于λ的方程，解之，若λ∈[0，1]，则存在点P符合，否则，不存在．解：（1）由题可知，BD⊥DE，A1D⊥DE，∵二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥BD，以D为原点，DB、DE和DA1分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，0，0），C（，，0），A1（0，0，1），E（0，，0），∴＝（2，0，﹣1），＝（，，﹣1），设平面A1BC的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝，z＝2，∴＝（1，，2），∵BD⊥DE，A1D⊥DE，且A1D、BD⊂面A1BD，A1D∩BD＝D，∴DE⊥面A1BD，∴平面A1BD的法向量为＝（0，1，0），∴cos＜＞＝＝，∵二面角C﹣A1B﹣D为锐二面角，故二面角C﹣A1B﹣D的余弦值为．（2）设线段A1E上存在点P（x，y，z）满足题意，且（λ∈[0，1]），则（x，y，z﹣1）＝λ（0，，﹣1），∴x＝0，y＝λ，z＝1﹣λ，即点P（0，λ，1﹣λ），∴＝（，，1﹣λ），由（1）知，平面A1BC的法向量为＝（1，，2），而CP与平面A1BC所成的角为60°∴sin60°＝|cos＜，＞|＝＝＝，解得λ＝或∉[0，1]，故不存在点P满足题意．22．如图，点P（x0，y0）是圆O：x2+y2＝9上一动点，过点P作圆O的切线l与圆O1：（x ﹣a）2+（y﹣4）2＝100（a＞0）交于A，B两点，已知当直线l过圆心O1时，|O1P|＝4．（1）求a的值；（2）当线段AB最短时，求直线l的方程；（3）问：满足条件＝的点P有几个？请说明理由．【分析】（1）依题意计算，可得结果；（2）解法1（代数法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，再求出d 的最大值即可得结果；解法2（几何法）：当圆心O1到直线l的距离d最大时，线段AB最短，当且仅当O1，O，P三点共线时，d取得最大值，从而得解；（3）采用分类讨论，O1，O在直线AB同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得d2+（2t）2＝100，并得t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2或t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2计算即可判断．解：（1）当直线l过圆心点O1时，，解得a＝3（负值舍去）．（2）解法1（代数法）：因为OP与圆O相切，所以直线l的方程为x0x+y0y＝9，且，所以圆心O1到直线l的距离，记z＝3x0+4y0，则直线3x0+4y0﹣z＝0 与圆有公共点，所以圆心（0，0）到直线3x+4y﹣z＝0 的距离，所以﹣15⩽z⩽15，所以当z＝﹣15 时，d max＝8，此时弦长|最短，由，解得，所以直线l的方程为3x+4y+15＝0．解法2（几何法）：如图，过O1作O1M⊥AB，则M为弦AB的中点，设d＝|O1M|，当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，因为d⩽|O1P|⩽|OO1|+|OP|＝8，当且仅当O1，O，P三点共线时，取得最大值，此时OO1⊥AB，因为，所以直线OO1的方程为，由，解得（P点在第 3 象限）所以直线l的方程为3 x+4y+15＝0．（3）因为，所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t（t＞0），所以|AB|＝4t，所以d2+（2t）2＝100 ①，（i）如图，当O1，O在直线AB同侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d﹣3）2②，由①②得d＝6 或d＝2，当d＝6 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝36 的公切线，此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，d＝2 时，直线AB可看作是圆x2+y2＝9 与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4 的公切线，此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点P有2个，（ii）如图，当O1，O在直线AB异侧时，t2＝|MP|2＝25﹣（d+3）2，③由①③可得d＝﹣6 或d＝﹣2（舍），满足条件的P点不存在，综上，满足条件的点P共有4个．附：当d＝6 时，即|3x0+4y0﹣9|＝18，由，解得P（﹣3，0）或，当d＝2 时，即|3x0+4y0﹣9|＝6，由，解得或或舍去）．。
(高一下数学期末30份合集)江苏省重点中学2019届高一下学期数学期末试卷合集
高一下学期期末数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，要想中奖机会最大，应选择的游戏盘是 ( )1. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有１个黑球与都是黑球 B ．至少有１个黑球与至少有１个红球 C ．恰有１个黑球与恰有２个红球 D ．至少有１个黑球与都是红球2. 在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ) A.112 B.110 C.15 D.310如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） A ．2018 B ．2018C ．2018D ． 用秦九韶算法计算多项式 1876543)(23456++++++=x x x x x x x f当4.0=x 时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是 ( ) A. 6 , 6 B. 5 , 6 C. 5 , 5 D. 6 , 53. 不等式2601x x x ---＞的解集为( ) A ．{}2,3x x x -＜或＞ B ．{}213x x x -＜，或＜＜ C ．{}213x x x -＜＜，或＞D ．{}2113x x x -＜＜，或＜＜4. 各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ）A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215-或215+ 三角形的某两边之差为2，这两边夹角的余弦值为35，面积为14，那么此三角形的这两边长分别是（ ）A.3,5 B ．4,6 C ．6,8 D ．5,7下列函数中，最小值为6的是（ ） A ．)0(9≠+=x xx yB ．9x x y e e -=+⋅C ．)0(sin 9sin π<<+=x xx yD ．2log 9log 2x x y +=已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为 ( ) A ．)0,4(-B.]0,4(- C ．),0()4,(+∞⋃--∞D ．),0[)4,(+∞⋃--∞二、填空题（每题4分，共24分）5. 某学院的A ，B ，C 三个专业共有2018名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。
江苏省苏州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题
苏州市2018~2019学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学注意事项答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页.包合选择题（第1题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题~第22题）本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：球的表面积24S R π=，其中R 为球的半径；棱柱的体积V Sh =，其中S 为棱柱的底面积，h 为高.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置.1.在平面直角坐标系xOy 中，直线:0l x y -=的倾斜角为（）A.0︒B.45︒C.90︒D.135︒2.从A ，B ，C 三个同学中选2名代表，则A 被选中的概率为（）A.13B.14C.12 D.233.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（）A.30°B.45︒C.60︒D.90︒4.甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（）人数据甲乙丙丁平均数x8.68.98.98.2方差2s 3.53.52.15.6A.甲B.乙C.丙D.丁5.在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，–1）到直线l ：4x –3y +4=0的距离为（）A.3B.115C.1D.6.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，3A π=，则sin c C的值为（）A.4B.3C. D.47.用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A.2B.4C.64D.628.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：排队人数12345≥概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为（）A.0.16B.0.26C.0.56D.0.749.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于（）A.23B.23-C.13-D.14-10.若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（）A.49πB.494π C.14πD.143π11.已知平面α⊥平面β，直线m ⊂平面α，直线n ⊂平面β，l αβ= ，在下列说法中，①若m n ⊥，则m l ⊥；②若m l ⊥，则m β⊥；③若m β⊥，则m n ⊥.正确结论的序号为（）A.①②③B.①②C.①③D.②③12.已知ABC 中，2AB =，3BC =，4CA =，则BC 边上的中线AM 的长度为（）A.2B.C. D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应的位置.13.在平面直角坐标系xOy 中，若直线22x ay a +=+与直线10x y ++=平行，则实数a 的值为______.14.如图，某人在高出海平面方米的山上P 处，测得海平面上航标A 在正东方向，俯角为30°，航标B 在南偏东60︒，俯角45︒，且两个航标间的距离为200米，则h =__________米.15.一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E ，F 、1E ，1F ，则AEEB的值是__________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知直角ABC 中，直角顶点A 在直线60x y -+=上，顶点B ，C 在圆2210x y +=上，则点A 横坐标的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是直线20x y -=与直线30x y +-=的交点.（1）求点P 的坐标；（2）若直线l 过点P ，且与直线3210x y +-=垂直，求直线l 的方程.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知30A =︒，105B =︒，10a =.（1）求c ：（2）求ABC 的面积.19.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2012201320142015201620172018年份代号x 1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y 与x 线性相关，求y 关于x 的线性回归方程；（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.（附：线性回归方程ˆybx a =+中，()()()1122211n ni ii ii i nniii i x y nxy x x y y b xnx x x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，其中,xy 为样本平均数）20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，1AA =，点N 为AB 中点，点M 在边AB 上.（1）当点M 为AB 中点时，求证：1//C N 平面1A CM ；（2）试确定点M 的位置，使得1AB ⊥平面1A CM .21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,6)P ，圆22:10100C x y x y +++=.（1）求过点P 且与圆C 相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P 的直线l 与圆C 依次相交于A ，B 两点.①若AO PB ⊥，求l 的方程；②当ABC 面积最大时，求直线l 的方程.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A ，(10,0)B ，(11,3)C ，(10,6)D .（1）①证明：cos cos 0ABC ADC ∠+∠=；②证明：存在点P 使得PA PB PC PD ===.并求出P 的坐标；（2）过C 点的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E ，求点E 的坐标.。
最新江苏省苏州市高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019 学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题tan 1 ，解得45故选： B ．点睛】 本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力， 属于基础题．2．从 A ， B ，C 三个同学中选 2 名代表，则 A 被选中的概率为（答案】 D中的概率． 【详解】从 A ， B ， C 三个同学中选 2名代表， 基本事件总数为： AB,AC,BC ，共 3个，A 被选中包含的基本事件为： AB,AC ，共 2个，2A 被选中的概率 p 3．3故选： D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．3．正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，异面直线 AA 1与 BC 所成角的大小为（1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : xA ． 0B ． 45【答案】 B【解析】 设直线 l :x y 0 的倾斜角为【详解】设直线 l :x y 0 的倾斜角为 ， [0y 0 的倾斜角为（ ）C ． 90D ．135[0 ，180 ） ，可得 tan 1，解得A ．B ． 1C ．D ．解析】 先求出基本事件总数， A 被选中包含的基本事件个数 2 ，由此能求出 A 被选、单选题，180 ) ．【答案】 D【解析】 利用异面直线 AA 1与 BC 所成角的的定义，平移直线 BC ，即可得答案． 【详解】在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，易得 A 1AD 90 ．Q AD//BC异面直线 AA 1 与 BC 垂直，即所成的角为 90 . 故选： D ． 【点睛】本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题 .4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】 C【解析】 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人 中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】Q 甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， 丙是最佳人选， 故选： C ．A ． 30°B ． 45C ． 60D ． 9点睛】 本题考查平均数和方差的实际应用， 考查数据处理能力， 求解时注意方差越小数据越稳定. 5．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P （ 2，– 1）到直线 l ： 4x – 3y +4=0 的距离为（ ） A ．3 【答案】 A B ．11 C ．1 D ． 3 5 解析】 由点到直线距离公式计算． 详解】 4 2 3 ( 1) 4 42 ( 3)2 故选： A ． 点睛】 本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点 P(x 0, y 0 )到直线Ax By C 0 的距离为 d Ax 0 By 0 C 6．在VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a2，Ac 则sin cCA ．4B ． 43 3C ． 2 3【答案】 B 【解析】 由正弦定理可得， a sin A c，代入即可求解 sinC【详解】值为（ ） D ． 342， A 3 ，∴由正弦定理可得，3ac sin A sinCc 2 4 3 则sinC 3 3 2故选： B ． 【点睛】 本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想， 考查运算求解能力， 属于基础题．7．用斜二测画法画一个边长为 2 的正三角形的直观图，则直观图的面积是：A．B．1C．31D．4A．3B．3C．6D．6 2442【答案】C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为31 2=6，2 2 4所以直观图的面积是126=6，2 4 4选 C.点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：则至少有两人排队的概率为（）A．0.16 B．0.26 C．0.56【答案】D【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解．【详解】由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得：至少有两人排队的概率为：P 1 P(X 0) P(X 1) 1 0.1 0.16 0.74．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题．9．在△ ABC中，如果sin A :sin B:sin C 2:3: 4 ，那么cosC等于（）D．0.743第 4 页共16 页答案】 C解析】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ， b ，c ，由已知面积求得 a ，b ，c 的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】 设长方体过一个顶点的三条棱长分别为 a ，b ， c ，ab 2则 bc 3 ，解得 a 2， b 1， c 3．ac 6长方体的对角线长为 22 12 32 14 ． 则长方体的外接球的半径为 14 ，2 此长方体的外接球的表面积等于 4 （ 14）2 14 ．2故选： C ． 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的求法， 考查空间想象能力和运算求解能力， 求解时注意 长方体的对角线长为长方体外接球的直径 .11 ．已知平面平面 ，直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ，在下列说法中，①若 m n ，则 m l ；②若 m l ，则 m ；③若 m ，则 m n . 正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③【答案】 D【解析】 由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①； 由面面垂直的性质定理可判断 ②；由线面垂直的性质定理可判断③． 详解】答案】 D解析】 解：由正弦定理可得； sinA ： sinB ：sinC=a ： b ：c=2： 3：4 可设 a=2k ，b=3k ，c=4k （k > 0） 10．若长方体三个面的面积分别为 1 由余弦定理可得， CosC=- , 选 D42，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于 （ ） A ． 49B ． 494C ．1414D ．32平面 平面 ．直线 m 平面 ，直线 n 平面 ， I l ， ① 若 m n ，可得 m ，l 可能平行，故①错误；② 若 m l ，由面面垂直的性质定理可得 m ，故②正确； ③ 若 m ，可得 m n ，故③正确． 故选： D ．【点睛】 本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推 理能力，属于基础题．12．已知 VABC 中，AB 2 ，BC 3，CA 4 ，则 BC 边上的中线 AM 的长度为 (由题意知四边形 ABDC 是平行四边形，且满足 AD 2 BC 2 2(AB 2 AC 2) ，2 2 2 2即 32 (2AM )2 2(22 42) ，故选： A ． 点睛】C ． 2 31D ． 314答案】 A解析】 利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求 AM 的长．CD ，如图所示；解得 AM31 2所以 BC 边上的中线 AM 的长度为2详解】，连接 BD 、本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题， 想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题13．在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 x ay 2a 2与直线 x y 1 0 平行，则实 数 a 的值为 _____________ . 【答案】 1【解析】 由a 1 0，解得 a ，经过验证即可得出． 【详解】由 a 1 0 ，解得 a 1 ． 经过验证可得： a 1满足直线 x ay 2a 2 与直线 x y 1 0 平行， 则实数 a 1 ． 故答案为： 1．【点睛】 本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上 P 处，测得海平面上航标 A 在正东方向，俯角为 30°，航标 B 在南偏东 60 ，俯角 45 ，且两个航标间的距离为 200 米，则【答案】 200【解析】 根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出 h 的 值． 【详解】航标 A 在正东方向，俯角为 30°，由题意得 APC 60 ， PAC 30 ． 航标 B 在南偏东60 ，俯角为 45 ，则有 ACB 30 ， CPB 45 ．所以 BC PC h ， AC PC 3h ；tan30由余弦定理知 AB 2 BC 2 AC 2 2BCgACgcos ACB ，考查函数与方程思可求得 h 200（米 ） ． 故答案为： 200．【点睛】 本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题， 考查余弦定理应用问题， 是中档题．15 ．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图 1，底面处于水平状态） ，将容器放倒（如图 2，一个侧面处于水平状态）E AE B 2 222 1．故答案为： 2 1 ． 点睛】三棱柱的体积等基础知识， 考查运算求解能力， 是中档题．，这时水面与各棱交点分别AE解析】 设ABk ，EF BCV AEF A 1E 1F 1k，由题意得： VV ABC A 1B 1C 1k 2 1AE，由此能求出 的2EB值． 详解】AE AB k ，则 EFBC k ，由题意得： V AEF A 1E 1F 1V ABC A 1B 1C 1AE EF sin AEF AA 1 k 2AB BC sin ABC AA 112，解得 k 22 ，本题考查两线段比值的求法、 AE为 E ，F 、 E 1， F 1，则 的值是 _________EB16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直角 VABC 中，直角顶点 A 在直线 x y 6 0 上，顶点 B ，C 在圆 x 2 y 2 10上，则点 A 横坐标的取值范围是 ____________ . 【答案】 [ 4, 2]【解析】 由题意画出图形，写出以原点为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程，与直线方 程联立求得 x 值，则答案可求． 【详解】如图所示，当点 A 往直线两边运动时， BAC 不断变小， 当点 A 为直线上的定点时，直线AB, AC 与圆相切时， BAC 最大， ∴当 ABOC 为正方形，则 OA 2 5 ，则以 O 为圆心，以 2 5 为半径的圆的方程为 x 2 y 2 20． 解得 x 4或 x 2 ．点 A 横坐标的取值范围是 [ 4, 2] ． 故答案为： [ 4, 2] ．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑 推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用 .三、解答题17．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是直线 2x y 0与直线 x y 3 0 的交点 . （ 1）求点 P 的坐标；2）若直线 l 过点 P ，且与直线 3x 2y 1 0垂直，求直线 l 的方程 .答案】（ 1） （1,2） ；（ 2） 2x 3y 4 0联立x62y 220，得 6x 8 0 ．【解析】（ 1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线方程为 2x 3y m 0，代入点 P 的坐标求 得 m 的值，可写出 l 的方程．2x y 0与直线 x y 3 0 组成方程组，0 xy30所以点 P 的坐标为 （1,2） ；（ 2）设与直线 3x 2y 1 0垂直的直线 l 的方程为 2x 3y m 0， 又直线 l 过点 P （1,2） ，所以 2 6 m 0，解得 m 4 ， 直线 l 的方程为 2x 3y 4 0．【点睛】 本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻 辑推理能力和运算求解能力 .18．在 VABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 A 30 ，B 105 ，a 10.（ 1）求 c ：（2）求 VABC 的面积 .答案】（ 1） 10 2 ；（2）25 3 25解析】（ 1）由已知可先求 C ，然后结合正弦定理可求 c 的值；sin B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．详解】1)Q A 30 ， B 105 ， C 45 ，acQ a 10 ，由正弦定理 ，可得： c sin A sinC详解】 1）由直线得2x y 解得x1y2agsin C sin A10 2 .2）利用两角和的正弦函数公式可求2)Q sin105 sin(60 45 ) sin60 cos45 cos60 sin4562 41 1 6 2S ABC acsin B 10 10 2 25 3 25 ．2 2 4【点睛】 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查 逻辑推理能力和运算求解能力 .19．某地区 2012 年至 2018 年农村居民家庭人均纯收入 y （单位： 千元） 的数据如下表：1）已知 y 与 x 线性相关，求 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用（ 1）中的线性回归方程，预测该地区 2020 年农村居民家庭人均纯收入a y bx ，其中 x,y 为样本平均数）答案】（ 1） y? 0.5x 2.3 ；（ 2） 6.8 千元．2020 年对应 x 9 时 y?的值，即可得出结论．详解】11)由表中数据，计算 x (1 2 3 4 5 6 7) 4 ，71 y (2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9) 4.3 ，7(x i x)(y i y) i13 ( 1.4) ( 2) ( 1) ( 1) ( 0.7) 0 0.5 1 0.9 2 1.6 3 14 ，72 2 2 22 2 22(x ix)2 ( 3)2( 2)2( 1)202 12 223228，i1附：线性回归方程 y? bx a 中， bnnx i y inxyx i x y i y i1 i 1，nn ，222x i nx x i xi1i1解析】（ 1）由表中数据计算 x y ，求出回归系数，得出 y 关于 x 的线性回归方程；2）利用线性回归方程计算(x i x)(y i y)b i 1 7i i140.5 ，72 28(x i x)i1a y bx 4.3 0.5 4 2.3 ，y关于x 的线性回归方程为：y? 0.5x 2.3；（2）利用线性回归方程，计算x 9时，y? 0.5 9 2.3 6.8 （千元），预测该地区2020 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．【点睛】本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，查数据处理．20．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC ，AB 2 ，AA1 AB中点，点M在边AB上.1）当点M为AB中点时，求证：C1N / / 平面A1CM ；2）试确定点M的位置，使得AB1 平面A1CM .答案】（1）见解析；（2）见解析解析】（1）推导出C1N//CM ，由此能证明C1N //平面A1CM2）当点M 是AB中点时，推导出AA1 CM ，AB CM ，从而CMAA1B1B，进而A1M CM ，推导出△ AA1M ∽ BAB1 ，从而AB1 A1M 明AB1平面A1CM ．【详解】（1）Q 在直三棱柱ABC A1B1C1 中，点N 为A1B1 中点，M 为AB中点，，点N 为平面由此能证C1N / /CMQC1N 平面A1CM ，CM平面A1CM ，C1N / / 平面A1CM ．（2）当点M 是AB 中点时，使得AB1 平面A1CM ．证明如下：Q在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC BC，AB 2，AA1 2，点N 为A1B1中点，点M 是AB 中点，AA1CM ，AB CM ，Q AA1AB A，CM 平面AA1B1B ，Q A1M平面AA1B1B，A1M CM ，Q A1M12( 2)23，AB122( 2)26 ，A1M AA1 ，△AA1M∽BAB1，AB1ABAA1M BAB1 ，AMA1AB1B，AB1A1M ，Q A1M CM M ，AB1平面A1CM ．【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0,6），圆C : x2 y2 10x 10y 0.（1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程；（2）过点P的直线l 与圆C依次相交于A，B两点.①若AO PB ，求l 的方程；②当VABC 面积最大时，求直线l 的方程.2 2 48【答案】（1）（ x 3）2（y 3）2 18 ；（2）① 8x 5y 30 0；②x 0或y x 6．55【解析】（1）设所求圆的圆心为C1 ，而所求圆的圆心与C 、O共线，故圆心C1在直线y x上，又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，求出圆 C 1的圆心和半径，即可得答案；( 2)①由题意可得 OB 为圆 C 的直径，求出 B 的坐标，可得直线 l 的方程； ②当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x 0，求出 A ， B 的坐标，得到 ABC 的面 积；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．利用基本不等式、点到直线的距 离公式求得 k ，则直线方程可求． 【详解】(1)由 x 2 y 2 10x 10y 0，得 (x 5)2 (y 5)2 50，圆 C 的圆心坐标 ( 5, 5) ，设所求圆的圆心为 C 1 ． 而所求圆的圆心与 C 、 O 共线，故圆心 C 1在直线 y 又圆 C 1同时经过点 O 与点 P(0,6) ，当且仅当 a 2 50 a 2，即 a 5 时等号成立．此时弦长为 10，圆心到直线的距离为 5，由 | 5k 5 2 6| 5，解得 k 48 1 k 2 55x 上，圆心C 1 又在直线 y3上，则有：x，解得：33，即圆心 C 1 的坐标为 (3,3) ，3又 |OC 1 | 32 32 3 2 ，即半径故所求圆 C 1 的方程为(x 3)2(y 3)2 18；2)①由 AO PB ，得 OB 为圆 C 的直径，则 OB 过点 C ，OB 的方程为 y x ，联立 y x 2(x 5)2(y5)2 50，解得 B( 10, 10) ，直线 l 的斜率则直线 l 的方程为 y 10 6 8 ，10 0 5 8x 6，即 8x 5y 30 0 ；5②当直线 l 的斜率不存在时， 直线方程为 x 0，此时 A(0,0) ，B(0, 10) ，C( 5, 5) ，1S ABC 210 5 25 ；当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 y kx 6 ．再设直线被圆所截弦长为 2a ，则圆心到直线的距离 d 50 a 2 ，则S ABC12g2ag 50 a 2 a 2(50 a 2), (22a 50 a 2 ．2)225 ．1)①Q A(2,0) ， B(10,0) ， C(11,3)， D(10,6) ，直线方程为 y 48x 655当 ABC 面积最大时，所求直线 l 的方程为： x 0或 y 48x 6． 55本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化 归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力22．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,0) ， B(10,0) ，C(11,3)， D(10,6) .圆的圆心为 AD 的中点，然后求出点 P 的坐标；可得 E 的坐标．详解】cos ADC 0 ； ②证明：存在点 P 使得 PA PB PC PD . 并求出 P 的坐标；2)过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为 E ，求点 E 的坐标 . 答案】( 1)①见解析；②见解析， 解析】( 1)①利用夹角公式可得 14 3 (6,3) ；(2) (14,3). 55 cos ABC cos ADC 0 ；②由条件知点 P 为四 边形 ABCD 外接圆的圆心，根据 u A u B ur g u B u C ur 0，可得 AB BC ，四边形 ABCD 外接2)根据条件可得uu ur EDuuur 9AE ，然后设 E 的坐标为 (x,y) ，根据 10 x 9(x 2)，6 y 9y点睛】uuur uuur(1,3) ， DA ( 8, 6)， DC uuur uuur BAgBC 810 cos ABC uuuur uuuuur ，| BA||BC | 8 10 10uuur uuur DAgDC 10 10cos ADC uuuuur uuuuur，| DA ||DC | 10 10 10 cos ABC cos ADC 0 ；PD 知，点 P 为四边形 ABCD 外接圆的圆心，uuur uuurQ AB (8,0) ， BC (0,6) ，AB BC ，四边形 ABCD 外接圆的圆心为 AD 的中点，点 P 的坐标为 (6,3) ； ( 2)由两点间的距离公式可得， AB 8， BC CD 10 ， AD 10 ，Q 过 C 点的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分， uuur uuur ED 9AE ，uuur uuur设 E 的坐标为 (x,y) ，则 ED (10 x,6 y) ， AE (x 2,y) ，10 x 9(x 2) 6 y 9y14 3点 E 的坐标为 (14,3) ．55【点睛】 本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函 数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力 .uuur uuurBA ( 8,0) ， BC(1, 3) ，②由 PA PB PCuuur uuur ABgBC 0 ，14。
2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析) (2)
2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在括号里）1．已知:1231p x -<-<，:(3)0q x x -<，则p 是q 的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】解：∵1230x -<-<，可得12x <<，设集合A 为{}|12x x <<， 又∵(3)0x x -<，可得03x <<，设集合B 为{}|03x x <<， 则A B Ü，可得p 是q 的充分不必要条件．2．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）．A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy =D ．1y x x=+【答案】A【解析】解：A 项、ln(2)y x =+在(2,)-+∞上为增函数，符合题目要求． 故选A ．3．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像沿x 轴向左平移π8个单位，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（）．A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6【答案】C【解析】解：∵sin(2)y x ϕ=+左移π8个单位，函数变为ππsin 2sin 284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵πsin 24y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数，取x 为x -，则ππsin 2sin 244x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ22π()44x x k k ϕϕ++-++=∈Z ， ∴π2π2k ϕ=-，取1k =， 得π4ϕ=，即ϕ一个可能取值为π4． 故选C ．4．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（）．A ．10-B ．5-C ．10D ．5【答案】C【解析】解：521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开项215535155C ()()(1)C k k k k k k k T x x x ----+=-=-，令354k -=，可得3k =， ∴553355(1)C (1)C 10k k---=-=．故选C ．5．将4名学生分到两个班级，每班至少1人，不同的方法有（）种．A ．25B ．16C ．14D ．12【答案】C【解析】解：4名学生中有2名学生分在一个班的种数为24C 6=，有3名学生分在一个班有3242C A 8⋅=种结果，∴6814+=种，共有14种结果． 故选C ．6．右图是求样本1x ，2x ，，10x 平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容的（）．A ．n S S x =+B ．10nx S S =+ C ．S S n =+D ．xS S n=+【答案】A【解析】解：该程序的作用是求样本1x ，210x x ，平均数x ，∵“输出x ”的前一步是“Sx n=”， ∴循环体的功能是累加个样本的值，应为n S S x =+． 故选A ．7．将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）．A ．221B ．463C ．121D ．263【答案】B【解析】解：将正整数1，2，3，4，5，6，7随机分成两组，使得每组至少有一个数，共有分法：123777C C C 63++=种，其中满足两组中各数之和相等的分法如下4种， ①1，2，4，7；3，5，6． ②1，3，4，6；2，5，7． ③1，6，7；2，3，4，5． ④1，2，5,6；3，4，7． ∴两组中各数之和相等的概率463P =． 故选B ．8．已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯，其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠，则A 中所有元素之和是（）．A ．120B ．112C ．92D ．84【答案】C【解析】解：根据集合A 的形式，可以把0a ，1a ，2a ，3a 看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵30a ≠，∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得891592++=． 故选C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．在ABC △中，若2a =，cos A ，1cos 4B =-，b =__________．【解析】解：∵cos A ，sin A =，由正弦定理sin sina bA B=，∴sin2sina BbA==．10．在等比数列{}n a中，若2420a a+=，4660a a+=，则b=__________．【答案】【解析】解：设等比数列{}n a中公比为q，∵242462420(=60a aa a q a a+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩），∴23q=，∴q=11．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么||a b+=__________．【解析】解：∵222||()||||2cos,a b a b a b a b a b+=+=++⋅⋅<>==12．设函数2,(),x x af xx x a<⎧=⎨⎩≥，对任意实数b，关于x的方程()0f x b-=总有实数根，则a的取值范围是__________．【答案】[0,1]【解析】解：∵对任意实数b，关于x的方程()0f x b-=总有实数根，即对任意实数b函数()f x的图像与直线y b=总有交点，奇函数()f x的值域为R，在同一坐标系中画出y x=与2y x=的图像，由图可得，当[0,1]a ∈时，函数()f x 的值域为R ， ∴[0,1]a ∈．13．若422345123345(1)x mx a x a x a x a x a x a x -=+++++，其中26a =-，则实数m =__________． 12345a a a a a ++++=__________．【答案】32；116【解析】解：由题意4(1)mx -的展开式的通项为14()C r r rr T m x +=-，令1r =得24a m =-， ∵26a =-，∴64m -=-，解得32m =， 在展开式中令1x =得412345312a a a a a ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，即12345116a a a a a =++++．14．设M 为不等式组40400x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥所表示的平面区域，N 为不等式组04t x t y t -⎧⎨-⎩≤≤≤≤所表示的平面区域，其中[0,4]t ∈，在M 内随机取一点A ，记点A 在N 内的概率为P ．（1）若1t =，则P =__________． （2）P 的最大值是__________． 【答案】38；12【解析】解：由题意可得，当1t =时，如图，233448P =⨯=，如图，当2(4)t t -取得最大值时，P 最大，最大值为12．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4cos 5B =，2b =． （1）若53a =，求角A 的度数．（2）求ABC △面积的最大值． 【答案】（1）30︒． （2）3．【解析】（1）∵4cos 5B =，3sin 5B ，由正弦定理sin sin a bA B=， ∴5131sin sin 3252a A Bb ==⨯⨯=，∴30A =︒．（2）∵2224cos 25a c b B ac +-==， ∴22845a c ac +-=，∵222a c ac +≥，∴8245ac ac -≤，∴10ac ≤，当且仅当a c = 1sin 32S ABC ac B =△≤，∴ABC △的面积的最大值为3．16．（本小题满分13分）已知函数2()(1)cos f x x x =．（1）求函数()f x 的定义域及其单调减区间． （2）求函数()f x 的值域．【答案】（1）定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】解：（1）∵2()(1)cos f x x x =+21cos x ⎛= ⎝2cos cos x x x =11cos2222x x =++ ππ1sin cos2cos sin2662x x =++π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵ππ32π2π2π262k x k +++≤≤ π42π2π+2k π33k x +≤≤ π2πππ63k x k ++≤≤，即()f x 单调递减区间为π2π,ππ63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，∵tan x 中ππ2x k ≠+，k ∈Z ， ()f x 定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．（2）∵πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13(),22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．17．（本小题满分14分）一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13．求：（1）这名学生在途中遇到2次红灯次数的概率． （2）这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率． （3）这名学生至少遇到一次红灯的概率． 【答案】（1）80243．（2）827．（3）211243． 【解析】解：（1）设事件A 为在途中遇到2次红灯，251122280()=C 33333243P A ⨯⨯⨯⨯⨯=．（2）设首次停车前经过3个路口，为事件B ， 说明前3个交通岗都是绿灯， 328()327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（3）设至少遇到一次红灯为事件C ，则其互斥事件为全遇到绿灯，设互斥事件为D ， ∴()1()P C P D =- 5221113243⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．18．（本小题满分13分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6． （1）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次,求取出的两个球编号之和为6的概率． （2）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率． （3）若一次从袋中随机抽取3个球，求球的最大编号为4的概率． 【答案】（1）536．（2）29．（3）12． 【解析】解：（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m ，n ， 则两次取球的编号的一切可能结果(m,)n 有6636⨯=种，其中和为6的结果有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种， 则所求概率为536P =．（2）每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率12C 1C 3b b P ==， ∴3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122C (1)3339P P ⎛⎫⎛⎫-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（3）若3个球中最大编号为4，说明一定抽到4，剩下两个在1，2，3中任选2个，所求概率2336C 1C 2P ==，19．（本小题满分14分）设m ∈R ，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>的解集记为集合P ． （1）若{}|12P x x =-<<，求m 的值． （2）当0m >时，求集合P ．（3）若{}|32x x P -<<⊆，求m 的取值范围． 【答案】见解析．【解析】解：（3）依题意，当(3,2)x ∈-时，不等式2(31)2(1)0mx m x m -+++>恒成立， 当0m =时，原不等式化为20x -+>，即{}|2P x x =<，符合题意， 当0m >时，由（2）知01m <<时，符合题意， 当0m <时， ∵1112m m m+=+<， ∴12m P xx m ⎧+⎫=<<⎨⎬⎩⎭， 此时一定有13m m +-≤成立，解得104m -<≤， 综上，若{}|32x x P -<<⊆，1,14m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．20．（本小题满分13分）已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=．（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数()g m 的最小值．【答案】（1）(1)2g =-；(2)3g =-；(3)4g =-；(4)4g =-；(5)4g =-． （2）100-．【解析】解：（1）根据题目中定义，12k =，21k =，30k =，41k =，0(5,6,7)j k j ==，12b =，2213b =+=，32103b =++=，44b =，4(5,6,7)m b m ==， 1(1)412g b =-⨯=-， 12(2)423g b b =+-⨯=-， 123(3)b 434g b b =++-⨯=-，1234(4)444g b b b b =+++-⨯=-， 12345(5)454g b b b b b =++++-⨯=-．（2）∵1(1)()m g m g m b n ++-=-，由“数列A 含有n 项”及bj 的含义知1m b n +≤， ∴(1)()0g m g m +-≤， 即()(1)g m g m +≥， 又∵设整数{}12max ,n M a a a =，当m M ≥时，必有m b n =，∴(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M -==+≥≥≥， ∴()g m 最小值为(1)g M -， ∵1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++-2334()()()M M M k k k k k k k =----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++12()n M a a a b =-++++，∵123100n a a a a n ++++-=．(1)100g M -=-，∴()g m 最小值为100-．。
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高一下学期期末数学试卷一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 已知等差数列{}n a 中，282a a += ，5118a a +=，则其公差是（ ） A ． 6 B ．3 C ．2 D ．12. 已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都 在[10,50)（单位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方 图如右图所示，则n 的值为（ ）A ．100B ．120C ．130D ．3904.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） 7.已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A.[]2,1--B. []1,2-C. []2,1-D.[]1,28.设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1n n b a =+，*n N ∈，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( ) A ．43-B ．32-C ．32-或23- D ．34-或43-A ．1 BC ．2 D． 10. (原创) 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若A B φ＝，则实数m 的取值范围是（ ）A21m ≤≤B. 02m <<+C. 21m m <->D. 122m m <>+或第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 11. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b12.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ． 13.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为 14. (原创)给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；其中正确的命题有 （请填上所有正确命题的序号） 15. (原创) 数列{}n a 满足*1142(1),()32nn n n a a a n N a n++==∈+－,则n a 的最小值是三、解答题 ：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).16.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列. （1）求n a ； （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒． (1)求sin sin a bA B++的值；(2)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．18. （本小题满分13分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时 间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，（1）求m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙， 并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行 检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格” 的概率． （注：方差2222121[()()()n s x x x x x x n=-+-++-，x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）19. （本小题满分12分） (原创)已知函数f (x) =bx ax ++（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =,当x ∈[1-，2]时， 21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围.20. （本小题满分12分）(原创)已知圆M ：22224x y y +-= ，直线l ：x ＋y ＝11,l 上一点A 的横坐标为a , 过点A 作圆M 的两条切线1l , 2l , 切点分别为B ,C.（1）当a ＝0时，求直线1l , 2l 的方程； （2）当直线 1l , 2l 互相垂直时，求a 的值； （3）是否存在点A ，使得2AB AC ∙=-？若存在， 求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：2*1121()n n n a a a n N n--=+∈ （1）若数列{}n a 是以常数1a 为首项，公差也为1a 的等差数列，求1a 的值； （2）若00a >，求证：21111n n a a n--<对任意*n N ∈都成立； （3）若012a =，求证：12n n a n n +<<+对任意*n N ∈都成立； 参考答案1—②③ 15.8-； 16.（13分）【解】（1）设{}n a 的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，得13244a a a +=. 又11a =，则244q q +=，解得2q =. ∴12n n a -=（*N n ∈ ）.（2）12log 21n n b n -==-，∴11n n b b +-=，{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列， 它的前n 项和(1)2n n n S -=. 17. （13分）18. （13分）解：（1）m=3,n=8(2)25.2S 甲＝, 2S 乙＝2,所以两组技工水平基本相当，乙组更稳定些。
（3）基本事件总数有25个，事件A 的对立事件A 含5个基本事件，故P （A ）＝541255－＝ 19. （12分）解:（1）1(1)0x af x x-+-=< ①当01>-a ，即1<a 时，不等式的解集为：(0,1)a - ②当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为：x φ∈③当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为：(1,0)a - （2）211()(1)1()x x b x x b x b +->⇔++>-++ （※）且x b ≠-，不等式恒成立，则[2,1]b ∉-； 又当x=－1时，不等式（※）显然成立；当12x -<≤时，111(1)11b x x x x >--=-++++，故b>－1.综上所述，b>120. （12分）解：（1））圆M ：22(1)25x y +-= ,圆心M(0 , 1) , 半径r=5,A(0, 11) , 设切线的方程为y ＝k x ＋11,圆心距5d ==,∴k =11+（2）当l 1 ⊥l 2时，四边形MCAB 为正方形， ∴ |||AM MB ==设A(a , 11－a), M(0 , 1) =又sin ||r AM θ=，故2222502550(25)(1)752AB AC AM AM AM AM⨯∙=--=+-，又圆心M 到直线l的距离是∴ 250AM ≥，25505075050AB AC ⨯∙≥+-=，故点A 不存在 21. （12分）解：（1）由题意，1n a na =，又由2*1121()n n n a a a n N n--=+∈得 21121n n n a a a n---=，即2211[(1)]n a n a =-对一切*n N ∈成立，所以10a = （2）由10n n a a ->>得1121n n n n a a a a n --<+，两边同除以1n n a a -得21111n n a a n --< （3）22200112111111111111()()()123n n n a a a a a a a a n --=-+-++-<++++1111121223(1)n n n <++++=-⨯⨯-，将012a =代入，得n a n<由11n a n -<-得211112211n n n n n n a a a a a n n -----=+<+，所以2121n n n a a n n ->+- 221111222111n n n n n n n a a a a a a n n n n ----=+>+∙+-，所以221111111(2)11n n n a a n n n n n n -->>=-≥+-++ 从而1122311111111111()()()21n n n a a a a a a a a n --=-+-++->-+ 又由012a =得134a =所以1512611n n a n n +<+<++，从而12n n a n +>+，综上，12n n a n n +<<+高一下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。
把答案填在答题卡上。
1．sin 600o的值是( )A ．12; B ; C ． D ．12-2．与直线013=++y x 垂直的直线的倾斜角为 （ ） A ． 6π B ． 3π C ． 32 πD ．65π3．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于 ( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°4．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721a a a ( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 5、若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ）A ．c b c a -≥+B ．bc ac >C ．02>-ba c D ．0)(2≥-cb a6．设z=x -y, 式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为 （ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-37．若),(y x M 在直线上012=++y x 移动，则yx42+的最小值是 （ ）A ．22 B ．2 C ．22 D ．248、为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点 ( )A ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） B ．向左平移2π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D ．向左平移2π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）10、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 （ ） Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．1011．△ABC 的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l ：a x =将△ABC 分割成面积相等的两部分,则a 的值是（ ） A ． 3 B ．221+ C ． 331+ D ．212．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对应边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列，则∠B 的范围是( )A ．(0，π6]B ．(0，π3] C ．[π6，π)D ．[π3，π)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。