高中数学4.2.2第2课时圆锥曲线的极坐标方程及应用学案苏教版选修4_420181002312

第2课时 圆锥曲线的极坐标方程及应用1．掌握极坐标系中圆锥曲线的方程． 2．会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．3．感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的完美统一．[基础·初探]圆锥曲线的统一极坐标方程 ρ＝ep1－e cos θ，(***)其中p 为焦点到相应准线的距离，称为焦准距． 当0＜e ＜1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示椭圆；当e ＝1时，方程(***)为ρ＝p1－cos θ，表示抛物线；当e ＞1时，方程ρ＝ep1－e cos θ表示双曲线，其中ρ∈R .[思考·探究]1．用圆锥曲线统一极坐标方程的标准形式判别圆锥曲线需注意什么？【提示】 应注意统一极坐标方程的标准形式，只有方程右边分母中的常数为1时，cos θ的系数的绝对值才表示曲线的离心率．如果该常数不是1，一定要将其转化为1，再去判别，例如方程ρ＝42－cos θ的离心率不是1，其不表示抛物线，将方程变形为ρ＝4×121－12cos θ，则e ＝12，表示椭圆．2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问4：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________已知A 、B 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，OA ⊥OB (O 为原点)．求证：1OA2＋1OB 2为定值．【自主解答】 以O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度单位不变建立极坐标系，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1中得1ρ2＝cos 2θa 2＋sin 2θb 2.设A (ρ1，α)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，α±π2.1OA2＋1OB2＝1ρ21＋1ρ22＝1a 2＋1b2(为定值)． [再练一题]1．本例条件不变，试求△AOB 面积的最大值和最小值． 【解】 由例题解析得，S △AOB ＝12ρ1ρ2，而ρ1＝ab a 2sin 2α＋b 2cos 2α，ρ2＝aba 2cos 2α＋b 2sin 2α，∴S △AOB ＝12·a 2b 2a 2sin 2α＋b 2cos 2αa 2cos 2α＋b 2sin 2α＝12·a 2b 2b 2＋c 2sin 2αa 2－c 2sin 2α＝12a 2b 2－c 4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α－122＋a 2b 2＋14c4∴当sin 2α＝1时，(S △AOB )max ＝12ab ；∴当sin 2α＝12时，(S△AOB )min ＝a 2b2a 2＋b2.过双曲线x 24－y 25＝1的右焦点，引倾斜角为π3的直线，交双曲线于A 、B两点，求AB .【思路探究】 求出双曲线极坐标方程，得出A 、B 两点极坐标，进而求AB . 【自主解答】 双曲线x 24－y 25＝1中，a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以e ＝32，p ＝b 2c ＝53.取双曲线的右焦点为极点，x 轴正方向为极轴正方向建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.代入数据并化简，得ρ＝52－3cos θ.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π＋π3，于是AB ＝|ρ1＋ρ2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－3cos π3＋52－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π3＝807.应用圆锥曲线的极坐标方程求过焦点(极点)的弦长非常方便．椭圆和抛物线中，该弦长都表示为ρ1＋ρ2，而双曲线中，弦长的一般形式是|ρ1＋ρ2|.[再练一题]2．已知双曲线的极坐标方程是ρ＝94－5cos θ，求双曲线的实轴长、虚轴长和准线方程．【解】 双曲线方程ρ＝94－5cos θ可以化为ρ＝54×951－54cos θ，所以e ＝54，p ＝95.设c ＝5r ，a ＝4r ，则b 2＝c 2－a 2＝9r 2.由p ＝b 2c ＝95，得r ＝1.所以2a ＝8,2b ＝6.所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为6.准线方程ρcos θ＝－p ，即ρcos θ＝－95；或ρcos θ＝－p －2a2c ，即ρcos θ＝－415.(1)以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程； (2)过F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角．【自主解答】 (1)极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(2)设A (ρ1，θ)，B (ρ2，π＋θ)．AB ＝ρ1＋ρ2＝21－cos θ＋21－π＋θ＝4sin 2θ＝16，即sin 2θ＝14得sin θ＝±12. 故l 的倾斜角为π6或56π.[再练一题]3．平面直角坐标系中，有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．【导学号：98990015】【解】 过定点F 作定直线l 的垂线，垂足为K ，以F 为极点，FK 的反向延长线Fx 为极轴，建立极坐标系．由题意，设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ，∵定点F (2,0)，定直线l ：x ＝－2， ∴p 为F 点到直线l 的距离，为2－(－2)＝4. 又∵常数12＝e ，∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ，即ρ＝42－cos θ.[真题链接赏析](教材第33页习题4.2第10题)我国自行研制的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，轨道的近地点和远地点分别为439 km 和2 384 km.若地球半径取6 378 km ，试写出卫星运行轨道的极坐标方程．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝31－2cos θ，过极点作直线与它交于A ，B两点，且AB ＝6，求直线AB 的极坐标方程．【命题意图】 本题主要考查圆锥曲线的统一极坐标方程和直线的极坐标方程． 【解】 设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则ρ1＝31－2cos θ1，ρ2＝31－θ1＋π＝31＋2cos θ1. AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|31－2cos θ1＋31＋2cos θ1|＝|61－4cos 2θ1|＝6， ∴11－4cos 2θ1＝±1. ∴cos θ1＝0或cos θ1＝±22. 故直线AB 的极坐标方程为θ＝π2或θ＝π4或θ＝3π4.1．抛物线ρ＝41－cos θ(ρ＞0)的准线方程为______．【答案】 ρcos θ＝－42．设椭圆的极坐标方程是ρ＝42－λcos θ，则λ的取值范围是________．【导学号：98990016】【解析】 ρ＝42－λcos θ＝21－λ2cos θ，所以离心率e ＝λ2，由0＜λ2＜1，得λ∈(0,2)．【答案】 (0,2)3．椭圆ρ＝42－cos θ的焦距是________．【答案】 834．双曲线ρ＝42－3cos θ的焦点到准线的距离为________．【答案】 43我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。