高考数学高频考点专题复习之数列与简易数论问题的研究与拓展
高考数学如何利用数列解决复杂的数论问题
高考数学如何利用数列解决复杂的数论问题数论作为数学的一个重要分支，研究整数及其性质，经常被高考数学考察。
在高考数学中，数列是一个重要的概念，它广泛应用于解决各种数论问题。
本文将讨论如何利用数列解决复杂的数论问题。
一、数列的定义与性质在进入数列与数论的结合之前，我们先来回顾一下数列的基本定义与性质。
数列是按照一定规律排列的一组数，可以表示为{a₁, a₂,a₃, ...} 。
其中，a₁, a₂, a₃等分别表示数列的第1项，第2项，第3项等。
数列除了可以按照顺序排列数，还有其他的特殊数列，如等差数列、等比数列等。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差；等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
数列的性质有多种，包括有界性、递增性等。
数列的有界性是指数列中的数有上界或下界，也可以同时兼顾上下界。
递增数列是指数列中的每一项都比前一项大，递减数列则相反，每一项都比前一项小。
二、数列在数论中的应用2.1 质数数列质数数列是指由质数按照一定规律排列而成的数列。
质数在数论中是一个重要的研究对象，质数数列可以帮助我们研究质数之间的规律和性质。
例如，通过观察质数数列，我们可以发现质数分布不均匀，存在一些间隔较小的质数对，这被称为质数间隔猜想。
质数数列的研究对于解决一些重要的数论问题具有重要意义。
2.2 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的数列，在高考数学中也经常被考察。
斐波那契数列的前两项为1，从第三项开始，每一项等于前两项之和。
即F₁=1，F₂=1，Fₙ=Fₙ₋₁+Fₙ₋₂。
斐波那契数列不仅在数论中有着重要的应用，还广泛出现在自然界中。
在高考中，通过对斐波那契数列的研究，可以帮助我们解决一些关于数列性质的问题，如递推关系、通项公式等。
2.3 等差数列与等差中数定理等差数列是数论中最基本的数列之一，在高考中也经常出现。
等差数列的性质以及利用等差数列解决问题的方法被称为等差中数定理。
高中数学数列解题方法研究
高中数学数列解题方法研究数列是数学中的一个重要概念，也是高中数学必修的一部分。
学习数列不仅能够帮助学生提高数学思维能力，还能够为学生打下坚实的数学基础。
对于很多学生来说，数列的解题方法常常是一个难点，因此有必要对高中数学数列解题方法进行深入的研究，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、数列的基本概念在深入研究数列的解题方法之前，首先需要了解数列的基本概念。
数列是按照一定规律排列的一组数，其中每个数称为数列的项。
数列通常用通项公式或者递推公式进行表示，其中通项公式指的是数列中第n项的表达式，而递推公式指的是数列中第n项与第n-1项之间的关系式。
在解题过程中，研究和掌握数列的规律对于解题至关重要。
二、常见数列的解题方法在高中数学中，常见的数列包括等差数列、等比数列等。
下面我们分别对这些常见数列的解题方法进行研究。
等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
对于等差数列，常见的解题方法包括求通项公式、求和公式等。
对于等差数列，其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通过这个公式，我们可以很方便地求得等差数列中的任意一项的值。
对于等差数列的求和问题，我们可以利用求和公式Sn = n/2 * (a1 + an)来求得前n项和。
在解题过程中，我们可以根据题目给出的条件，利用这个求和公式来解决问题，从而更快速地得出答案。
数列在实际应用中有着广泛的应用，而数列的解题方法也是解决实际问题的重要工具。
在金融领域中，数列可以用来描述利息的增长规律；在自然科学中，数列可以用来描述物质的变化规律。
掌握数列的解题方法对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
在数列的解题方法的实际应用中，我们需要灵活运用数列的通项公式、递推公式以及求和公式等，根据具体问题的条件来选择合适的解题方法。
通过大量的例题训练和实际问题的分析，学生可以逐渐提高数列解题的能力，掌握解决实际问题的方法。
高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧
高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。
一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。
掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。
以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。
同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。
掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。
数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。
3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。
通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。
三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。
以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。
解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。
（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。
（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。
（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。
高二升高三数学数列知识点
高二升高三数学数列知识点作为高中数学的重要内容之一，数列是数学中的基础知识点之一，对于高二的学生来说，掌握好数列的相关知识内容对于顺利升入高三学习来说至关重要。
本文将从数列的定义、等差数列和等比数列的表示方法、性质以及常用的数列求和公式等方面展开讨论。
首先，数列的定义是指按照一定规律排列的一系列数的表达形式。
数列通常用字母表示，常用字母有a、b、c等，表示数列中的一般项，顺序为第一项、第二项、第三项等。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指数列的项数有限，无限数列则是指数列的项数无限。
在高中数学中，我们主要关注的是无限数列。
接下来，讨论等差数列和等比数列的表示方法及其性质。
等差数列是指数列中的各项之间的差都相等的数列。
常用的表示方法是通过给出第一项和公差来表示等差数列。
例如，若第一项为a，公差为d，则等差数列形式可以表示为a，a+d，a+2d，...，a+(n-1)d。
等比数列是指数列中的各项之间的比都相等的数列。
常用的表示方法是通过给出第一项和公比来表示等比数列。
例如，若第一项为a，公比为r，则等比数列形式可以表示为a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
在讨论等差数列和等比数列的性质时，我们可以得出以下定理：对于等差数列，其第n项的表达式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
而对于等比数列，第n项的表达式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
这些定理给出了计算数列中任意一项的通项公式，为解决数列问题提供了便利。
最后，我们来讨论数列的求和公式。
求和公式是针对数列的各项进行求和的公式。
对于有限数列，求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中n为数列的项数，a1为首项，an为末项。
对于无限数列，求和公式为Sn=a1/(1-r)，其中a1为首项，r为公比。
这些公式的运用可以简化数列求和的过程，提高计算效率。
以上是高二升高三数学数列的主要知识点的简要介绍。
高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题39 数列与数学归纳法-人教版高三全册数学试题
专题 39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜 想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数 n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设 n k 成立，再结合其它条件去证 n k 1成立即可.证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从 n 1开始成立，可从任意一个正整数 n0 开始，此时归纳验证从 n n0 开始（2）归纳假设中，要注意 k n0 ，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的 n k ，命题成立，是证明 n k 1命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找 n k 1与 n k 的联系 4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设 n k 命题成立时，可用的条件只有 n k ，而不能默认其它 n k 的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假 设 n k ，命题均成立，然后证明 n k 1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证 n n0 （ n0 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设 n k k n0,n N 成立，证明当 n k 1时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论： n n0, n N 时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认 n 的初始值 n0 不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例 1.【2018 届重庆市第一中学 5 月月考】已知 为正项数列 的前 项和，列 的前 项和为 ，则的最小值为______.【答案】 【解析】分析：由题意首先求得 ，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可.详解：由题意结合，，记数以下用数学归纳法进行证明：当时，结论是成立的，假设当 时，数列的通项公式为：，则，由题意可知：，结合假设有：，解得：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：，，利用等差数列前 n 项和公式可得：，则，结合对勾函数的性质可知，当 或 时，取得最小值，当时，当时，由于，据此可知的最小值为 .点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的 推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性 命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 例 2. 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，满足 Sn＝2an－2 (n∈N*)（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式 an；（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【答案】（1）；（2）见解析.当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜想：(n∈N*)．(2)证明：①当 n＝1 时，a1＝2，猜想成立．②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，猜想成立，即，那么 n＝k＋1 时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak∴ak＋1=2ak，这表明 n＝k＋1 时，猜想成立，由①②知猜想成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例 3．已知数列 满足：，.（Ⅰ）试求数列 ， ， 的值；（Ⅱ）请猜想 的通项公式 ，并运用数学归纳法证明之.【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），证明见解析.由此猜想.下面用数学归纳法证明之：当时，，结论成立；假设 时，结论成立，即有，则对于时，∴当时，结论成立.综上，可得对，成立点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1、第一步：归纳奠基（即验证 时成立）；第二步：归纳递推（即假设 时成立，验证时成立）；3、两个条件缺一不可，在验证时成立时一定要用到归纳假设前面的完全一致.时的结论，最后得到的形式应与例 4.【2018 届浙江省温州市高三 9 月一模】已知数列 中，，（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（）．（3）设，记数列 的前 项和为 ，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2）化简，由可得是等差数列；（3）由（2）可得，从而可得，先证明，利用放缩法及等比数列求和公式可证结论.（2）由，得，所以 即， ，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，∴，因此 当 时，，， ，即 时，，所以 时，，显然，只需证明 ，即可．当 时，．例 5.已知函数 f x ax b 2ln x, f 1 0x（1）若函数fx在 x 1处切线斜率为 0 ，an1f' an1 n1 n2 1 ，已知 a14 ，求证：an2n 2（2）在（1）的条件下，求证： 1 1 1 21 a1 1 a21 an 5【答案】见解析下面用数学归纳法证明： an 2n 2当 n 1时， a1 4 2n 2 成立 假设 n k k N 成立，则 n k 1时ak1 ak ak 2k 1ak 2k 2ak1 2k 2 2 1 4k 5 2k 1 2n k 1时，不等式成立n N , an 2n 2（2） an1 an2 2nan 1 an an 2n 1由（1）可知 an 2n 2 an1 2an 1 an112 an 11 an1 11 21 an 11 11 1 111 an 1 2 an1 1 22 an2 12n1 a1 11 1 1 a1 1 a211 1 11 an 1 a1 2 1 2n 1 1 a1 1 1 2n 1 1 2 5 1 1 2n 2 52例 6．【浙江省绍兴市 2018 届 5 月调测】已知数列 中.（1）证明：；（2）设数列 的前 项和为 ，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1）数学归纳法：①当 时，，，显然有.②假设当，结论成立，即，那么 即 综上所述， ，成立.（2）由（1）知：，即，，， ；点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式 的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现 了在知识交汇点上命题的特点．例 7．【福建省南平市 2018 届 5 月检查】己知函数.（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若函数 的最小值为-1，，数列 满足，，记， 表示不超过 的最大整数．证明：．【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.详解：（Ⅰ）函数 的定义域为.1、当 时，，即 在上为增函数；2、当 时，令得 ，即 在上为增函数；同理可得 在 上为减函数.（Ⅱ）有最小值为-1， 由（Ⅰ）知函数 的最小值点为 ，即，则，令当 时， 所以当 时∵，∴， ，故 在上是减函数.（未证明，直接得出不扣分）则.由得，从而.∵，∴.猜想当时，.下面用数学归纳法证明猜想正确.1、当 时，猜想正确.2、假设时，猜想正确.即时，.当时，有，由（Ⅰ）知 则是 上的增函数，，即，例 8.已知函数 ，（1）求 的解析式；，在原点 ．处切线的斜率为（2）计算，并由此猜想出数列 的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想．，数列 满足【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．为常数且（2），则，，由此猜想数列的通项公式应为（3）①当 时，猜想显然成立，②假设时，猜想成立，即， ．，则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，例 9.已知数列 是等差数列， (1)求数列 的通项公式 ；对一切正整数 都成立． .(2)设数列 的通项(其中 且 )记 是数列 的前 项和，试比较 与的大小，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）当 时，,当时，，证明见解析.详解：(1) 设数列{bn}的公差为 d,由题意得,∴bn=3n－2 .(2)证明：由 bn=3n－2 知 Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+ )…(1+)］而 logabn+1=loga,于是，比较 Sn 与 logabn+1 的大小比较(1+1)(1+ )…(1+)与取 n=1，有(1+1)=的大小取 n=2，有(1+1)(1+推测 (1+1)(1+ )…(1+)＞(*)①当 n=1 时，已验证(*)式成立②假设 n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+ )…(1+)＞则当 n=k+1 时，, 即当 n=k+1 时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数 n 都成立 于是，当 a＞1 时，Sn＞ logabn+1 ,当 0＜a＜1 时，Sn＜ logabn+1 . 例 10.【2018 年浙江省高考模拟】已知数列 xn 满足： x1 1, xn xn1 xn1 1 1 .证明：当 n N* 时，（1） 0 xn1 xn ；（2） 3xn1 2xnxn xn1 3；（3） 2 3n1 xn 2 3n2 .【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析由数列的递推式，以及（2）的结论可得1 xn11 33 2 1 xn13 0 ，根据等比数列的通项公式即可证明xn 3 n2 2 ，再结合已知可得 xnxn1xn11 1 3 2xn1 ，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明： xn 0当 n 1 时， x1 1 0 成立假设 n k 时 xk 0 ，成立，那么 n k 1 时，假设 xk1 0 ，则 xk xk1 xk1 1 1 0 ，矛盾所以 xk1 0 ，故 xn 0 得证所以 xn xn1 xn1 1 1 xn1 ，故 0 xn1 xn（2）由 xn xn1 xn1 1 1 得 xn xn1 9xn1 6xnx2 n1xn1 6xn 1 4xn1 6设 f x x2 x 6 x 1 4x 6(x 0)则f 'x 2x x 1 x 6 4 2 x 15 2 x 11 x 1 2 x11 42 49 8（3）由（2）得1 xn11 332 1 xn13 0 ，则1 xn1 3 1 x11 3 3 2n1 3 2n2 所以xn 3 2n2 又x 1 1 1 x x 0 ，所以 2xn11 11 2xn1 ，所以xnxn1xn11 1 3 2xn1 ，故xn12 3xn所以xn 2 3n1 ，所以 2 3n1 xn 2 3n2 【精选精练】1．用数学归纳法证明“推证时，左边应增加的项为__________ .【答案】”时，由时等式成立点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为 8，公差为 6，因此第 n 项为x+kw3．已知数列 中，且.（1）求 ， ， ；（2）根据（1）的结果猜想出 的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明；（3）若，且【答案】（1）；（2），求.，证明见解析；（3） .（2）由此猜想.下面用数学归纳法加以证明：①当时，由（1）知成立；②假设，结论成立，即则当时，有，即成立.即时，结论也成立；由①②可知， 的通项公式为.（3）由（2）知，4．已知数列 的前 项和为 ，且满足，.（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 明猜想的结论.. . （2）用数学归纳法证由此猜想，（2）下面用数学归纳法证明，①当 时，显然成立，②假设当 由题意得时猜想成立，即， ，∴，∴ ∴当， 时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即.点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的时的假设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2）看到或 ，要注意联想到项和公式解题.5．已知数列 满足，.（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想；（2）下面用数学归纳法证明，①当 时，显然成立，②假设当时猜想成立，即，由题意得，∴当时猜想也成立；由①和②，可知猜想成立，即.6．已知数列 满足且.（1）计算 、 、 的值，由此猜想数列 的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1） ，；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由,的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于，将代入上式计算出 、 、，用数学归纳法证明即可.①当 时，证即当时，结论也成立，由①②得，数列 的通项公式为.7．在数列 中，，， ，， ．（ ）计算 ， ， 的值．（ ）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】（1） ， ， ；（2），证明见解析.（ ）由（ ）可猜想：，证明：当 时， ，等式成立，假设 时，等式成立，即，则当时，，即当综上所述，对任意自然数，．8．已知数列数列{an}的通项公式 an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn 为其前 n 项和．时，等式也成立，(1)求 S1，S2，S3，S4 的值； (2)猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)根据 an 1n 2n 1 ，代入 n 1, 2,3, 4 计算，可求 S1, S2 , S3, S4 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想 Sn 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验 n 1 时等式成立，假设 n k 时命题成立，证明 n k 1时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得 S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4； (2)猜想：Sn＝(－1)n·n. 证明：①当 n＝1 时，猜想显然成立；②假设当 n＝k 时，猜想成立，即 Sk＝(－1)k·k， 那么当 n＝k＋1 时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)． 即 n＝k＋1 时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用.9．设 t 0 ，fxttx x，令a11，an1 f an ，n N . （1）写出 a2 ， a3 ， a4 的值，并猜想数列 an 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1)a1＝1，a2＝tt 1，a3＝t2t2 2t；a4＝ t3t3 3t 2，猜想 an＝ t n1 t n1 n 1t n2（n∈N+）；(2)证明见解析.试题解析：（1）∵a1＝1，∴a2＝f（a1）＝f（1）＝ t ， t 1a3＝f（a2）＝t2t2 2t；a4＝f（a3）＝t3t3 3t 2， 猜想 an＝ tn1 t n1 n 1t n2（n∈N+）；（2）证明：①易知，n＝1 时，猜想正确. ②假设 n＝k 时猜想正确，即 ak＝ tk1 t k1 k 1t k 2， 则 ak＋1＝f（ak）＝ t ak t akt t k1 t k 1 k 1t k 2=t t k1 t k 1 k 1t k 2= tktk kt k1.这说明 n＝k＋1 时猜想正确. 由①②知，对于任何n∈N+，都有an＝ t n1t n1 n 1t n2.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和 (2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．10.【2017 浙江，22】已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（ n N ）．证明：当 n N 时，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1− xn≤ xn xn1 ； 2（Ⅲ） 1 ≤xn≤ 1 ．2n12n2【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】（Ⅱ）由 xnxn1 ln(1 xn1 )xn1 得 xn xn1 4xn1 2xnx2 n12 xn 1(xn12)ln(1xn1)【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理 论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数 f (x) x2 2x (x 2) ln(1 x)(x 0) ，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明． 11．【2018 届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列an的首项a11 2，1 an11 2 an1 an ,nN*.（Ⅰ）证明： 0 an 1 ； （Ⅱ） 记 bn an an1 2 ， an an 1Tn 为数列bn的前 n 项和，证明：对任意正整数 n ，Tn3 10.【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证， （Ⅱ）由已知an1 an2 an2 1 1 ，即 an1an ，可得数列an为递增数列.又1 an1 an11 an12 an1 an 12 1 an an ，易知 1 an an 为递减数列，试题解析：（Ⅰ）证明：①当 n 1 时显然成立； ②假设当 n k k N* 时不等式成立，即 0 ak 1，那么当 n k 1时，1 ak 11 2 ak 1 ak 1·2 2ak?1 ak 1，所以 0 ak1 1 ，即 n k 1时不等式也成立.综合①②可知， 0 an 1 对任意 n N* 成立. （Ⅱ）an1 an2 an2 1 1 ，即 an1an ，所以数列an为递增数列.又1 an1 an11 an1 2 an 1 an 12 1 an an ，易知 1 an an 为递减数列，所以 1 an1 an1 也为递减数列， 所以当 n 2 时， 1 1 an an11 2 1 a2a2 1 2 5 44 5 9 40 所以当 n 2 时，bn an an1 2 an an 1an1 an 1 an1 an1 9 40an1 an当 n 1时，TnT1b19 403 10，成立；当 n 2 时， Tn b1 b2 bn9 409 40a3a2a4a3 an1 an 9 409 40 an1a29 409 401a29 409 401 4 5 27 1003 10综上，对任意正整数 n ，3 Tn 1012．已知，.（1）若，求 的值；（2）若，求 的值；（3）若 是展开式中所有无理项的二项式系数和，数列 是各项都大于 1 的数组成的数列，试用数学归纳法证明: 【答案】（1）. . （2）165.（3）见解析.所以 （3）因为 所以. ，所以要得无理项， 必为奇数，，要证明，只要证明 （Ⅰ）当时，左边=右边，当 时，∴时，不等式成立.，用数学归纳法证明如下： ，综合（Ⅰ）（Ⅱ）可知对一切均成立.∴不等式成立 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.时结论正确，证明时结论。
数列的应用与拓展
数列的应用与拓展【数列的应用与拓展】数列是数学中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度展示数列的应用，并介绍数列相关的拓展内容。
一、数列在数学中的应用1. 等差数列的应用等差数列是最常见的一种数列形式。
它的应用非常广泛，尤其在数学建模中发挥重要作用。
例如，在经济学中，等差数列可以用来分析人口增长、收入分配等问题；在物理学中，等差数列可以描述运动物体的加速度、速度等变化。
2. 等比数列的应用等比数列是指数列中的每个数都是前一个数乘以同一个常数得到的。
在实际问题中，等比数列也有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，等比数列可以用来计算复利的增长；在生物学中，等比数列可以用来描述细胞的增长过程。
3. 斐波那契数列的应用斐波那契数列是一个特殊的数列，它的每个数都是前两个数之和。
这个数列在生物学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
例如，在自然界中，斐波那契数列可以用来描述植物的分枝、螺旋等规律；在计算机领域中，斐波那契数列可以用来优化算法的效率。
二、数列的拓展内容除了常见的等差、等比、斐波那契数列，数列还有许多其他拓展内容。
1. 奇偶数列奇偶数列是指数列中的元素按照奇数和偶数进行排列。
这种数列常常用于解决递归问题或者进行特殊排列。
例如，著名的拓展问题“猴子吃桃”就是一个奇偶数列问题。
2. 等摆数列等摆数列是指数列中每个数的绝对值与前一个数的绝对值之差保持一定的比例。
这种数列在物理学、工程学等领域中有着重要的应用。
例如，在电路中，等摆数列可以用来描述电流、电压等变化。
3. 递推数列递推数列是指数列中的每个数都是前面若干个数的特定函数运算得到的。
这种数列在数学中有着广泛的应用。
例如，杨辉三角就是一个递推数列，它在组合数学中有着重要的地位。
三、总结数列的应用与拓展内容涵盖了数学、经济学、物理学、生物学等众多领域。
了解数列的应用和学习拓展内容，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高问题解决的能力。
高三数列专题复习
高三（文科数学）第二轮专题复习数列及其应用一、基本概念：1. 数列的定义及表示方法.2. 数列的项与项数.3. 有穷数列与无穷数列.4. 递增（减）、摆动、循环数列.5. 数列{a n }的通项公式a n .6. 数列的前n 项和公式S n .7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.二、基本公式：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n nn . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.4.等差中项公式：2b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).6.等比数列的前n 项和公式：（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；（2）当q ≠0时，（1）qq a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).三、有关等差、等比数列的结论1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d .10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3qa , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;3.分裂项法求和，如a n = )1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;5.公式法求和;6.观察规律求和.五.数列的综合应用数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.六、数列实际应用例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。
版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析
版高考数学一轮总复习数列与数学归纳法典型题型分析在高考数学中，数列与数学归纳法是一个非常重要的知识点。
准确地掌握数列的性质以及数学归纳法的运用方法，对于解答各类数学题目具有重要的指导作用。
本文将针对数列与数学归纳法的典型题型进行分析，并给出解题思路和方法。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数。
2. 数列的表示方法：通项公式或递推公式。
3. 数列的性质：等差数列、等比数列、等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式等。
二、数列的应用1. 等差数列：寻找等差数列的通项公式和前n项和公式，解决与等差数列相关的各类问题。
2. 等比数列：寻找等比数列的通项公式和前n项和公式，解决与等比数列相关的各类问题。
3. 递推数列：寻找数列的递推关系，解决与递推数列相关的各类问题。
三、数学归纳法的基本思想与运用1. 数学归纳法的基本思想：证明一个命题在自然数范围内成立的方法。
2. 数学归纳法的步骤：基础步骤、归纳假设和归纳证明。
3. 数学归纳法在数列中的应用：利用数学归纳法证明数列的性质、递推公式等。
四、典型题型分析与解题思路1. 求等差数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等差数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。
2. 求等比数列的通项公式和前n项和公式：通过观察等比数列的规律，寻找通项公式和前n项和公式。
3. 利用数学归纳法证明数列的性质：首先通过观察数列的规律猜测数列性质，然后使用数学归纳法证明其正确性。
4. 利用数学归纳法证明数列的递推公式：通过观察数列的递推关系猜测递推公式，然后使用数学归纳法证明其正确性。
通过对高考数学中数列与数学归纳法的典型题型进行分析，我们可以看出这些题型的解答方法主要是通过观察规律，寻找通项公式和前n 项和公式，利用数学归纳法证明数列的性质和递推公式等。
只有掌握了这些解题方法，才能在考试中迅速准确地解答相关的题目。
总结起来，数列与数学归纳法是高考数学中的重要知识点，需要我们熟练掌握其中的概念、性质和应用方法。
数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结
数学高考数学中的数列与数学归纳解题方法总结数学是高考中最重要的科目之一，其中数列与数学归纳是数学题中常见的解题方法。
在本文中，我们将对数学高考中的数列与数学归纳解题方法进行总结与讨论。
一、数列的基本概念数列是由一系列数按照一定规律排列而成的，通常用数学符号表示为{an}或{a1，a2，a3，...}。
其中，an代表数列中的第n个数。
二、数列的分类数列可以分为等差数列、等比数列和通项公式数列等等。
对于不同类型的数列，解题的方法也有所差异。
1. 等差数列等差数列的特点是每相邻两项之间的差值保持不变，常用的解题方法是找出公差d，然后运用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d进行计算。
2. 等比数列等比数列的特点是每相邻两项之间的比值保持不变，常用的解题方法是找出公比q，然后运用等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)进行计算。
3. 通项公式数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，它们的通项公式需要通过观察数列的规律来确定。
解题时需要注意观察数列中数字之间的关系，然后推导出通项公式。
三、数学归纳法数学归纳法是一种常用的解题方法，它通过找到数列的规律，然后进行数学归纳来解决问题。
1. 递推关系在用数学归纳法解题时，首先需要找到数列中相邻的两项之间的递推关系。
通过观察数列中数值的变化，可以推测出相邻两项之间的关系式。
2. 归纳假设在数学归纳法中，需要假设前n项成立。
即假设当n=k时，命题成立。
然后通过归纳步骤证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 归纳证明归纳证明是通过证明当n=k成立的情况下，当n=k+1时也必然成立，从而证明命题对于所有自然数都成立。
通过以上的步骤，数学归纳法可以帮助我们解决一些复杂的数学问题，特别是那些涉及到数列的题目。
四、数列与数学归纳解题方法的综合应用在高考中，数列与数学归纳解题方法常常结合运用。
解题时，我们需要先确定数列的类型（等差数列、等比数列等），然后找出数列的递推关系和通项公式。
高中数学的归纳数列与数论的性质与应用
高中数学的归纳数列与数论的性质与应用（文章正文）在高中数学中，归纳数列和数论是两个重要的概念。
归纳数列是指通过观察数列的规律，猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法证明该公式的正确性。
而数论则研究整数之间的性质和关系，并在实际问题中应用数论的知识解决问题。
一、归纳数列的概念和性质归纳数列是由一系列的数按照一定的规律排列而成，可以用以下形式表示：a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……。
其中a₁，a₂，a₃，……为数列的前n项，aₙ为数列的第n项。
归纳数列的通项公式是用来表示数列的第n项和n的关系的。
归纳数列的性质有以下几个方面：1. 公式性质：归纳数列的通项公式是数列的重要性质之一，它可以用来求解数列的各项数值。
2. 递推性质：归纳数列的后一项可以通过前一项计算得到，可以利用递推关系简化计算过程。
3. 递归性质：一些归纳数列的通项公式可以通过将前一项插入到式子中得到，这种递归关系可以被用来证明数列的正确性。
4. 初项和公差：对于等差数列来说，初项和公差是数列的重要性质，可以通过这两个参数确定数列的特征。
二、数论的概念和应用数论是研究整数之间的性质和关系的数学分支。
它与归纳数列有着紧密的联系，并且在实际问题中有着广泛的应用。
数论的主要研究内容包括素数、最大公约数、同余等。
数论的应用主要体现在以下几个方面：1. 密码学：数论的相关理论和方法在密码学中有着广泛的应用。
例如，RSA加密算法就是基于质数分解的难题设计的，利用了数论中的一些重要性质。
2. 信息编码：数论的一些性质和理论在信息编码中也有重要的应用。
其中，汉明码和循环码都是基于数论相关概念设计的。
3. 计算机科学：在计算机算法设计中，数论的相关知识可以用来设计高效的算法，并解决一些时间复杂度较高的问题。
4. 数字证书：在网络安全领域，数字证书的生成和验证涉及到数论中的一些概念和算法，用来确保通信的安全性和可信度。
总结：高中数学的归纳数列与数论的性质与应用是数学学习中重要的部分。
高考数学数列知识点归纳
高考数学数列知识点归纳在高考数学中，数列是一个重要的概念，无论是在选择题还是解答题中，数列都是经常出现的考点之一。
为了帮助同学们更好地复习和应对高考数学考试，下面将对数列的相关知识点进行归纳和总结。
一、数列的基本概念和性质1. 数列的定义：数列是按一定顺序排列的一列数，根据数的规律可以分为等差数列、等比数列等。
2. 数列的通项公式和递推公式：通项公式表示数列中任意一项的公式；递推公式表示数列中每一项与其前一项之间的关系。
3. 数列的前n项和公式：前n项和公式是指数列前n项的和，对于等差数列和等比数列，都有相应的求和公式。
二、等差数列的相关知识点1. 等差数列的通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。
三、等比数列的相关知识点1. 等比数列的通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q)，其中q不等于1。
四、数列的应用题1. 求等差数列或等比数列的未知项：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列中的未知项。
2. 求等差数列或等比数列的和：通过数列的已知项和数列的性质，可以求解等差数列或等比数列的前n项和。
五、数列的题型分类1. 判断题：根据数列的定义、性质和公式，判断给定的数列是等差数列还是等比数列。
2. 填空题：根据数列的定义和给定的条件，填写数列中的未知项或求数列的和。
3. 选择题：根据数列的定义、性质和公式，选择与给定数列相应的特征或关系。
总而言之，在高考数学中，数列是一个必须掌握的知识点，它既有一定的规律性，又有一定的计算性。
在复习数列的过程中，同学们应该牢记数列的定义、通项公式、递推公式和前n项和公式，并通过大量的练习题加深对数列的理解和运用能力。
高三数学二轮复习专题11.数列与简易数论
（1）若 a1 4,d 2 ，判断该数列是否为 “封闭数列 ”，并说明理由？
（2）试问：数列 an 为 “封闭数列 ”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明
.
练习：
1. 设 a1, a2, , a50 是从－ 1,0,1 这三个整数中取值的数列，若 a1 a2
（2）找出所有数列
an 和 bn ，使对一切 n N * , an 1 an
bn ,并说明理由
引例 3：从数列 { an } 中取出部分项， 并将它们按原来的顺序组成一个数列， 称之为数列 { an } 的一个子数列．设数列 { an} 是一个首项为 a1 、公差为 d (d 0) 的无穷等差数列． （1）若 a1 ， a2 ， a5 成等 比数列，求其公比 q ． （2）若 a1 7d ，从数列 { an} 中取出第 2 项、 第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项， 试问该数列是否为 { an} 的无穷等比子数列，请说明理由．
则q .
（3） { an} 满足 a1
1,d
2, 试证明任给 m N ,总存在 p
N 使 a , a , a 成等比数列 . 1mp
引例 2：已知 an 是公差为 d 的等差数列， bn 是公比为 q 的等比数列。 （1）若 an 3n 1 ，是否存在 m、 k N * ，有 am am 1 ak ?说明理由；
a2 b2 a1 ．
（1）若 b3 ai （ i 是某个正整数） ，求证： q 是整数， 且数列 bn 中的每一项都是数列 an
中的项；
（2）是否存在这样的正数 q ，使等比数列 bn 中有三项成等差数列？若存在，写出一个
q
题型五 数列 ——高考数学高频题型专项讲解
题型五 数列——高考数学高频题型专项讲解一、思路分析数列的概念和递推公式是高考的热点，主要考查已知递推关系求通项公式、由n a 与n S 的关系求通项公式、利用数列的性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度中等.等差数列是高考的重点考查知识，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式等，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题，要善于运用函数与方程思想和整体代入思想解决有关等差数列问题，同时要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.等比数列是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意证明题或以数学文化为背景的数列题，考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等，要会运用函数与方程思想、转化与化归思想和分类讨论思想解题，也要注意探索创新和生活实践情境载体下的试题训练.数列求和及数列综合应用是高考的热点题型，其中等差、等比数列的通项与求和，数列与函数、不等式的综合，以数学文化为背景的数列题是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，难度中等，要注重常规考法，也要注重数列与其他知识的综合创新，同时也要注重对结构不良类试题的训练. 二、考纲要求1.数列的概念和递推公式（1）了解数列的概念及表示方法，理解数列的通项公式的意义. （2）理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项. （3）理解n a 与n S 的关系.2.等差数列（1）理解等差数列的概念和通项公式的意义.（2）掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.（3）了解等差数列与一次函数的关系.3.等比数列（1）理解等比数列的概念和通项公式的意义（2）掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.（3）了解等比数列与指数函数的关系.4.数列求和及数列综合应用（1）掌握几种常用的数列求和方法.（2）掌握数列的综合应用.三、方法技巧1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略：（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法.（2）具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑤对于符号交替出现的情况，可用(1)k-，*(1)k+-或1k∈N处理.2.等差数列前n项和的最值求解的常用方法（1）通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；（2）前n 项和法：其基本思想是利用前n 项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值.3.利用等差数列前n 项和解决实际问题的步骤： （1）判断问题中涉及的数列是否为等差数列； （2）若是等差数列，找出首项、公差、项数； （3）确认问题是求n a 还是n S ；（4）选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解.4.解决等差数列前n 项和的基本运算题的思路方法及注意事项： （1）注意公式1()2n n n a a S +=与1(1)2n n n S na d -=+的选择使用； （2）等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1a ，n a ，d ，n ，n S ，已知其中三个就能求另外两个，注意方程思想的应用；（3）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法，同时注意灵活应用等差数列的性质以简化计算过程.5.应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤 （1）构建等比数列模型；（2）明确1a ，q ，n ，n a 等基本量； （3）利用11n n a a q -=求解； （4）还原为实际问题.6.判定数列是等比数列的常用方法： （1）定义法：验证1nn a q a -=（q 为常数且不为0）是否成立，但应注意必须从第二项（即2n）起所有项都满足此等式；（2）等比中项法：验证211n n n a a a -+=（n *∈N ，2n且0n a ≠）是否成立；（3）通项公式法：验证11n n a a q -=是否成立，但应注意隐含条件是10a ≠，0q ≠.7.解决等比数列前n 项和的实际应用问题的基本步骤（1）将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； （2）构建等比数列模型；（3）利用等比数列的前n 项和公式求解等比数列问题； （4）将所求结果还原到实际问题中.8.等比数列基本运算中的常用技巧：（1）（对称设元）一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为x x xq q，，，，；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为33x x xq xq q q，，，，，（注意：此时公比20q >，并不适合所有情况）.这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便.（2）求解等比数列基本量时注意运用整体思想、设而不求等，同时还要注意合理运用3232121121n nn n a a a a a a q a a a a a a --+++=====+++.9.用错位相减法解决数列求和问题的步骤：（1）判断结构：若数列{}n n a b ⋅是由等差数列{}n a 与等比数列{}n b （公比q ）的对应项之积构成的，则可用此法求和；（2）乘公比：设{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，然后两边同乘以q ；（3）错位相减：乘以公比q 后，向后错开一位，使含有*()k q k ∈N 的项对应，然后两边同时作差；（4）求和：将作差后的结果求和，从而表示出n T .10.利用裂项相消法求和的基本步骤（1）裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； （2）累加：将数列裂项后的各项相加（3）消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和.11.解决数列与不等式综合问题的一般步骤（1）由已知条件和数列性质求基本量，确定数列的特性（等差或等比数列）； （2）求出n a 或n S 的通项公式；（3）分析n a ，n S 涉及的函数或不等式，利用相关函数或不等式性质解决题目中的问题；（4）得出结果，叙述完整；（5）回顾反思，查验“n ”的取值是否符合要求，运算过程是否有不当之处.12.数列与不等式的综合问题的解题策略（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性或者是借助数列对应的函数的单调性求解.（2）对于与数列有关的不等式的证明问题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，有时需构造函数，利用函数的单调性，最值来证明.13.数列与函数的综合问题的解题策略（1）已知函数条件，解决数列问题，一般利用函数的性质、图象等进行研究. （2）已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的有关公式对式子化简变形.（3）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解.14.数列在实际应用中的常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差.（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的非零常数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n 项n a 与第(1)n +项1n a +（或者相邻三项等）之间的递推关系还是前n 项和n S 与前(1)n +项和1n S +之间的递推关系.15.解答数列实际应用题的步骤（1）审题：仔细阅读题目，认真理解题意.（2）建模：将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，分清数列是等差数列、等比数列，还是递推数列，是求通项还是求前n 项和. （3）求解：求出该问题的数学解.（4）还原：将所求结果还原到实际问题中.。
数列知识点总结与展望
数列知识点总结与展望一、数列概念定义数列是按照一定的顺序排列的一组数。
数列可以是有限个数或无限个数的排列。
数列的各个数的排列顺序可以是按照从小到大或者从大到小的顺序。
二、数列的表示方法1. 通项公式表示法通项公式表示法是数列中的各项数都可以用一个公式来表示。
通项公式的一般形式为an = f(n)，其中an表示数列的第n项，f(n)表示数列中的第n项的表达式。
2. 递推关系表示法递推关系表示法是数列中的各项数都可以用前一项或前几项来表示。
递推关系的一般形式为an = an-1 + d，其中an表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项，d表示公差。
三、等差数列1. 定义等差数列是一个数列，其中相邻两项的差是一个常数。
这个常数叫做等差数列的公差。
等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
2. 性质（1）等差数列的前n项和Sn = (a1 + an)n/2，其中a1表示等差数列的首项，an表示等差数列的第n项。
（2）等差数列的前n项和与后n项和相等。
（3）等差数列的性质还有许多，如等差数列的性质之间存在关系，可以通过等差数列的通项公式来求解等差数列的各种性质。
四、等比数列1. 定义等比数列是一个数列，其中相邻两项的比是一个常数。
这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1表示等比数列的首项，q表示等比数列的公比。
2. 性质（1）等比数列的前n项和Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)，其中a1表示等比数列的首项，q 表示等比数列的公比。
（2）等比数列的前n项和与后n项和的比与公比的次幂的关系。
（3）等比数列的性质之间还存在许多关系，可以通过等比数列的通项公式来求解等比数列的各种性质。
五、数列的和1. 等差数列的和等差数列的前n项和可以用通项公式表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = n * a1 + (n*(n-1)/2)d，其中a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差。
数学复习拓展数列知识
数学复习拓展数列知识一、什么是数列？在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列中的每个数称为该数列的项，通常用字母表示。
数列的一般形式可以表示为：{a₁，a₂，a₃，...，aₙ}，其中a₁表示数列的首项，a₂、a₃等分别表示数列的第二项、第三项，而aₙ表示数列的第n项。
二、常见数列的分类数列在形式上可以分为等差数列、等比数列、等差减项数列和等差翻项数列等。
在下面的部分，我们将逐一介绍这些常见的数列，并提供相应的例题进行分析和解答。
1. 等差数列等差数列是指数列中的任意两项之间的差值保持不变的数列。
换句话说，等差数列中的每一项与它的前一项之间的差值都是相等的。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则等差数列的一般表示形式为：{a₁，a₁+d，a₁+2d，...，a₁+(n-1)d}。
例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求其前5项的和。
解析：首项a₁=3，公差d=4，要求前5项的和。
根据等差数列的求和公式Sn = (2a₁+n-1d)n/2，带入数据可得：S5 = (2×3+4×(5-1))×5/2 = (6+4×4)×5/2 = 50答案：前5项的和为50。
2. 等比数列等比数列是指数列中的任意两项之间的比值保持不变的数列。
换句话说，等比数列中的每一项与它的前一项之间的比值都是相等的。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的一般表示形式为：{a₁，a₁r，a₁r²，...，a₁r^(n-1)}。
例题2：已知等比数列的首项为2，公比为3，求其前4项的和。
解析：首项a₁=2，公比r=3，要求前4项的和。
根据等比数列的求和公式Sn = a₁(r^n-1)/(r-1)，带入数据可得：S4 = 2(3^4-1)/(3-1) = 98答案：前4项的和为98。
3. 等差减项数列等差减项数列是指数列中的任意两项之间的差的绝对值递减的数列。
高考数学数列与数学归纳法复习指南掌握数列的性质和数学归纳法的应用
高考数学数列与数学归纳法复习指南掌握数列的性质和数学归纳法的应用高考数学数列与数学归纳法复习指南在高考数学考试中，数列及其相关的数学归纳法是重要的考点之一。
正确掌握数列的性质以及数学归纳法的应用，对于顺利解答高考数学题目至关重要。
本文将为大家提供一份高考数学数列与数学归纳法复习指南，帮助大家全面理解和掌握该知识点。
一、数列的基本概念数列是指按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列中的每一个数称为项，用an表示。
根据数列的规律可以分为等差数列、等比数列、递推数列等多种类型。
1. 等差数列在等差数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都是一个常数d，该常数称为公差。
等差数列可以使用通项公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，n为项数。
2. 等比数列在等比数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之比都是一个常数q，该常数称为公比。
等比数列可以使用通项公式an=a1*q^(n-1)来表示，其中a1为首项，n为项数。
3. 递推数列递推数列是指前一项与后一项之间存在递推关系的数列。
递推数列通常需要通过已知条件和递推关系求解。
二、数列的性质1. 数列的有界性如果数列中的所有项都在某一范围内，那么这个数列就是有界的。
有界数列可以是上有界、下有界或者同时上下有界的。
2. 数列的单调性如果数列中的每一项与它的前一项相比，满足某种单调关系（递增或递减），那么这个数列就是单调的。
3. 数列的极限数列的极限是指随着项数无限增加，数列逐渐趋于某个稳定的值。
数列可能存在极限，也可能不存在极限。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，特别适用于证明关于正整数的命题。
它分为三个步骤：证明基本事实、假设条件、进行归纳推理。
1. 数学归纳法的基本思想数学归纳法的基本思想是：首先证明当n取某个固定的值时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
通过归纳假设，证明了当n取任意正整数值时命题成立。
10. 数列中简易数论问题的研究
专题：数列中简易数论问题的研究一、问题提出问题1：设1250,,,a a a ⋅⋅⋅是从－1,0,1这三个整数中取值的数列，若12509a a a ++⋅⋅⋅+=， 2221250(1)(1)(1)107a a a ++++⋅⋅⋅++=，则1250,,,a a a ⋅⋅⋅中数字0的个数为 . 7问题2：已知,,,a b c d 是正整数，a b c d <<<，7d a -=，若,,a b c 成等差数列，,,b c d 成等比数列，则这四数依次为 .问题3：已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = .. 53n -问题4：一个正数，它的小数部分、整数部分及它本身，依次构成等比数列，则这个正数为 . 问题5：设等比数列2,,,,a aq aq L 其中q 是整数，试问数列中存在三项构成等差数列吗？二、思考探究探究1：设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列. （1）若31n a n =-，是否存在,m k N *∈，使1m m k a a a ++=？（2）数列{}n b 中，若11b =，公比1(0,)2q ∈，且k N *∀∈，12k k k b b b ++--仍是{}n b 中的项，则q = .（3）{}n a 满足11,2,a d ==试证明任给N m *∈,总存在p ∈N *使1,,m p a a a 成等比数列.探究2：已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。
（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n na b a +=,并说明理由.探究3： 从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列． （1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．探究4：设数列{}n a ，对任意*n N ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++L ，(其中k 、b 、p 是常数)（1）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a ++++L ；（2）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问是否存在封闭数列{}n a ，对任意*n N ∈，且都有0n S ≠,12311111111218n S S S S <++++<L 若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，1123()42()n n a a a a a +-=++L ， ① 用1n +去代n 得，111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++L ， ② ②-①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴13n na a +=， 数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴123n a a a a ++++L =312n -（2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++L ， ③ 用1n +去代n 得，11121(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++L ， ④④-③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥⑥-⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， ∴数列{}n a 是等差数列 ∵33a =，915a =，∴公差93293a a d -==-，∴23n a n =-（3）由（2）知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-。
高中数学数列解题方法研究
高中数学数列解题方法研究数列是高中数学中的重要概念，掌握数列的解题方法是学习数学的关键之一。
本文将从数列的定义、常见的数列类型以及解题方法等方面对高中数学数列解题进行研究和探讨。
数列是指按照一定顺序排列的一列数，数列中的每个数称为该数列的项。
常见的数列有等差数列、等比数列、等差-等比数列等。
下面将对这些数列进行简要介绍。
1. 等差数列：等差数列是指一个数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
在解题过程中，可以根据数列的特点和已知条件选用不同的解题方法，其中常用的解题方法有以下几种。
1. 递推法：递推法是指通过观察数列的前几项，找到数列的递推关系，从而求得数列的通项公式。
递推法可以用于解决等差数列、等比数列等简单的数列问题。
2. 数学归纳法：数学归纳法是指通过证明数列的递推关系在任意正整数上都成立，从而证明数列通项公式的正确性。
数学归纳法一般用于证明数列通项公式的正确性，对于具体数值的计算较为繁琐。
3. 和差法：和差法是指通过对数列相邻项进行加减操作，将数列转化成等差或等比数列，从而简化问题的解决过程。
4. 数列性质法：数列性质法是指根据数列的性质和已知条件推断数列的具体性质，从而解决问题。
对于等差数列，可以通过数列的项数、首项和末项求得数列的和；对于等比数列，可以通过数列的项数、首项和公比求得数列的和等。
高中数学数列解题方法的选择和运用需要具体问题具体分析。
要根据数列的特点和已知条件选用合适的解题方法，同时也要灵活运用数列性质和相关定理，通过观察和归纳总结数列的规律，从而解决数列问题。
掌握数列解题方法，不仅可以提高数学解题的效率，还有助于培养逻辑思维和问题解决能力。
高考数学必考知识点：数列问题篇知识点总结
高考数学必考知识点：数列问题篇知识点总结高考数学之数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。
高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.。
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数列与简易数论问题的研究与拓展
【探究拓展】
探究1：设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列. （1）若31n a n =-，是否存在,m k N *∈，使1m m k a a a ++=？
（2）数列{}n b 中，若11b =，公比1
(0,)2q ∈，且k N *∀∈，12k k k b b b ++--仍是{}n b 中的项，则q = .
（3）{}n a 满足11,2,a d ==试证明任给N m *∈,总存在p ∈N *使1,,m p a a a 成等比数列. 探究2：已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列。
（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*
n N ∈,
1
n n n
a b a +=,并说明理由 探究3：从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列．设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列． （1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．
（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．
拓展：若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．
探究4：设数列{}n a ，对任意*
n N ∈都有112()()2()n n kn b a a p a a a +++=++，(其中k 、b 、p 是
常数)
（1）当0k =，3b =，4p =-时，求123n a a a a +++
+；
（2）当1k =，0b =，0p =时，若33a =，915a =，求数列{}n a 的通项公式；
（3）若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
当1k =，0b =，0p =时，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，212a a -=，试问是否存在封闭数列{}n a ，
对任意*
n N ∈，且都有0n S ≠,
123
11111111218
n S S S S <++++
< 若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由 解：（1）当0k =，3b =，4p =-时，1123()42()n n a a a a a +-=++， ①
用1n +去代n 得，111213()42()n n n a a a a a a +++-=+++， ②
②-①得，113()2n n n a a a ++-=，13n n a a +=， 在①中令1n =得，11a =，则n a ≠0，∴
1
3n n
a a +=， 数列{}n a 是以首项为1，公比为3的等比数列，∴123n a a a a ++++=31
2
n - （2）当1k =，0b =，0p =时，112()2()n n n a a a a a +=++， ③
用1n +去代n 得，1112
1(1)()2()n n n n a a a a a a ++++=+++， ④
④-③得， 11(1)0n n n a na a +--+=， ⑤ 用1n +去代n 得，211(1)0n n na n a a ++-++=， ⑥
⑥-⑤得，2120n n n na na na ++-+=，即211n n n n a a a a +++-=-， ∴数列{}n a 是等差数列 ∵33a =，915a =，∴公差93
293
a a d -=
=-，∴23n a n =-
（3）由（2）知数列{}n a 是等差数列，∵212a a -=，∴12(1)n a a n =+-。
又{}n a 是“封闭数列”，得：对任意,m n N *∈，必存在p N *∈使
1112(1)2(1)2(1)a n a m a p +-++-=+-，得12(1)a p m n =--+，故1a 是偶数，
又由已知，
11111
1218
S <<，故1181211a <<
一方面，当
118
1211
a <<时，1(1)n S n n a =+-0>，对任意*n N ∈，都有
123
1111
11112
n S S S S S ++++
≥> 另一方面，当12a =时，(1)n S n n =+，
1111
n S n n =-+，。