成都七中19届高二文科数学上学期半期考试试卷
四川省成都七中高2019届高三上学期期中考文科数学试题
成都七中高2019届高三上学期期中数学试题（文科）满分150分，考试时间120分钟 出题人：江海兵 审题人：廖学军一、选择题，本大题有10个小题，每小题5分，共50分，每小题有一个正确选项，请将正确选项涂在答题卷上.1.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若13, 2.cos()3a b A B ==+=，则c =（ ）.4..3.A B C D 答案：D解析：22211cos ,2cos 94232()1733C c a b ab C =-=+-=+-⋅⋅-=2．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则每天）C390.根据等差数列前n 项b 的取值范围是（ ）解析：由题意可知()02bf x x x '=-+≤+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x ≤+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，2()(2)2f x x x x x =+=+且(1,)x ∈-+∞()1f x ∴>-∴要使(2)b x x ≤+，需1b ≤-故答案为1b ≤-，选D4．已知c ＞1，( ) A ．a ＜bD ．a 、b 大小不定 答案：A，易看出分母的大小，所以a ＜b5．已知数列{}n a 满足*110,n a a n N +==∈，则2015a 等于( ) .0...A B C D答案：B解析：根据题意，由于数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1，那么可知∴a 1=0，a 2=-，a 3=a 4=0，a 5=-a 6=故可知数列的周期为3，那么可知20152a a ==，选B.6．在ABC ∆中，若a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且cos2cos cos()1B B A C ++-=，则有（ ）A ．,,a c b 成等比数列B ．,,a c b 成等差数列C ．,,a b c 成等差数列D ．,,a b c 成等比数列 答案：D解析：由cos 2cos cos()1B B A C ++-=变形得：cos cos()1cos 2B A C B +-=-，[]2cos cos ()cos(),cos212sin B A C A C B B π=-+=-+=-，∴上式化简得：2cos()cos()2sin A C A C B --+=，22sin sin()2sin A C B ∴--=，即2sin sin sin A C B =，由正弦定理:sin :sin :sin a A b B c C ==得：2ac b =，则,,a b c 成等比数列．故选D7.设M 是ABC ∆所在平面上的一点，且330,22MB MA MC D ++=是AC 中点，则MD BM 的值为（ ）11...1.232A B C D答案：A解析：D 为AC 中点，33()2322MB MA MC MD MD ∴=-+=-⋅=- 13MD MB ∴=8．已知函数9()4,(0,4),1f x x x x =-+∈+当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x bg x a+=的图像为（ ）答案：B 解析：因为x ∈（0，4），∴x+1＞1，故99()41551,(0,4),11f x x x x x x =-+=++-≥=∈++当且仅当911x x +=+时取得等号，此时函数有最小值1，∴a=2，b=1，可知g(x)的解析式进而作图可知结论选B.9．下列说法正确的是（ ）A ．函数y f x =()的图象与直线x a =可能有两个交点；B ．函数22log y x =与函数22log y x =是同一函数；C ．对于[]a b ,上的函数y f x =()，若有0f a f b ⋅()()＜，那么函数y f x =()在()a b ,内有零点；D ．对于指数函数x y a = (1a ＞)与幂函数n y x = (0n ＞)，总存在一个0x ,当0x x ＞时，就会有x n a x ＞． 答案：D解析：因为选项A 中最多有个交点，选项B 中，不是同一函数，定义域不同，选项C 中，函数不一定是连续函数，故选D.10．若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a = ( )A. 1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7答案：A解析：由3y x =求导得2'3y x =设曲线3y x =上的任意一点300(,)x x 处的切线方程为320003()y x x x x -=-，将点()1,0代入方程得00x =或032x =.（1）当00x =时：切线为0y =，所以215904ax x +-=仅有一解，得2564a =-（2）当032x =时：切线为272744y x =-,由22727441594y x y ax x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩得24309ax x --=仅有一解，得1a =-.综上知1a =-或2564a =-.5分，共25分，请将正确答案填在答题卷上. 11sin155cos35cos 25cos 235-= __ ．12.已知指数函数()y f x =，对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图像都过1(,2)2P ，如果123()()()4f x g x h x ===，那么123x x x ++=答案：32解析：令(),()log ,()x c b f x a g x x h x x ===则12111()2,()log log 22222b b f a g ====-=，11()()222c h ==11123114,1()441,,244x a b c f x x x x ∴===-∴==⇒===12332x x x ∴++=136,62,a b ta b ta b ==+-若与 的夹角为钝角答2,0)(0,2) 解析：t a b+-与 的夹角为钝角，∴2222()0,0,36720,ta b ta b t a b t t +⋅-<∴-<∴-<<<)(又因为ta b +与ta b -不共线,所以0t ≠,所以(,0)(0,2)t ∈ 14.已知命题p ：函数2()2f x x ax =+-在[1,1]-内有且仅有一个零点．命题q ：23(1)20x a x +++≤在区间13[,]22内恒成立．若命题“p 且q”是假命题，实数a 的取值范围是 ．答案：52a >-提示：先确定p 且q 为真命题的a 的取值范围，然后取补集可得结果.15.给出定义：若11,,()22x m m m Z ⎛⎤∈-+∈ ⎥⎝⎦，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数{}()f x x x =-的四个命题：①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；③函数()y f x =的图像关于直线()2kx k Z =∈对称；④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.其中正确命题的序号是 答案：②③④解析：11,22x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，{}()0f x x x x =-=-，当13,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()1f x x =-当35,22x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()2f x x =-，作出函数的图像可知①错，②，③对，再作出ln y x =的图像可判断有两个交点，④对三、解答题，本大题共6个小题，共75分，请将答案及过程写在答题卷上.16.（12分）已知函数2()42cos (2)14f x x x π=-++（1）求()f x 得最小正周期；（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围.解析：（1）()4cos(4)4sin 42sin(4),233f x x x x x x T πππ=-+=+=+∴=（2）4,4,sin(4)1 6433323 x x x ππππππ-≤≤∴-≤+≤∴-≤+≤()f x∴的取值范围为2⎡⎤⎣⎦17. （12分）已知数列{}na满足11121,(*)2nnn nnaa a n Na++==∈+.（Ⅰ）证明数列2nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）设(1)b n n a=+，求数列{}b的前n项和S.2nn++⋅，12nn+++⋅2n n++-为一个等腰三角形形状的空地，腰AC的长为的长为4（百米）.现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S和2S.（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；（2）若小路的端点,E F两点分别在两腰上，求12SS得最小值.解：（1）E为AC中点，333,34222AE EC∴==+<+，F∴不在BC上，故F在AB上，可得72AF=，在ABC∆中，2cos3A=，在AEF∆中，222152cos2EF AE AF AE AF A=+-⋅=，EF∴=（2）若小路的端点,E F两点分别在两腰上，如图所示，设,CE x CF y==，则5x y+=1221sin991121111125sin22ABC CEF ABCCEF CEFCA CB CS S SSS S S xy x yCE CF C∆∆∆∆∆⋅-==-=-=-≥-=+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭当且仅当52x y==时取等号，故12SS的最小值为1125.19．(12分)关于x（Ⅰ）当1m =（Ⅱ）设函数|)7||3lg(|)(--+=x x x f ，解析：（1）当1m =时，原不等式可变为0|3||7|10x x <+--<，7}.x << （2）设|3||7|t x x =+--，则由对数定义及绝对值的几何意义知100≤<t ，∴所求a 的取值范围是 21.（14分）已知函数2(),()()sin 2f x xg x f x x λ'==+，其中函数()g x 在[]1,1-上是减函数.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求λ得取值范围.（3）关于x 的方程ln (1)2f x x m +=-，1 1.1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦有两个实根，求m 的取值范围.解析：（1）2(),()2,(1)2f x x f x x f ''=∴==，∴在点(1,(1)f 处的切线方程为12(1)y x -=-， 即210x y --=（2）()sin ,()cos ,()g x x x g x x g x λλ'=+∴=+在[]1,1-上单减()0g x '∴≤在[]1,1-上恒成立，即cos x λ≤-在[]1,1-上恒成立，1λ∴≤-，又()g x 在[]1,1-单减，[]ma x()(1)s i n 1g x g λ∴=-=- ()3sin1g x λ≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，∴只需sin13sin1λλ--≤+恒成立，2sin1λ∴≥- sin30sin1,12sin1,2sin11λ<<∴-≤≤- （3）由（1）知2(1)(1)f x x +=+∴方程为2ln(1)2x x m +=-，设2()ln(1)2h x x x m =+-+，则方程2ln(1)2x x m +=-根的个数即为函数()h x 图像与x 轴交点的个数.22()211xh x x x-'=-=++，当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x '>∴在(1,0)-上为增函数,当(,1)(0,)x ∈-∞-+∞时，()0,()h x h x '<∴在(,1)(0,)x ∈-∞-+∞和都是减函数.()h x ∴在1,01e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭上为减函数，在(]0,1e -上为减函数.()h x ∴在1,11e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦上的最大值为(0)h m =，又12(1),(1)42h m h e m e e e -=--=+-且224e e ->，∴所求方程有两根需满足1(1)0(0)0(1)0h e h h e ⎧-≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩20m e ⇒<≤时原方程有两根，20,m e ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦。
成都七中高三上期文科数学上学期半期考试试卷【附答案】
（1）证明：平面 ECD 定平中面 EAD ；
（2）求直线 BD 与州直康线 EC 所成角的余弦值.
孜
甘
省
川
图①
图②
四
供
仅
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19．2019 年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十 一”的先机，对成都地区年龄在 15 到 75 岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随 机抽取了 100 人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）
A. (0, 2]
B. (1, 2)
C. (1, )
2．已知 i 为虚数单位，若复数 z 3 i ,则| z | （ ） 1 i
A．1
B．2
C． 2
3.若 a b ,则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 2a 2b
B. ln(a b) 0
1
1
C. a 3 b3
D． 5
ex cos x sin xex ex 2
cos
x ex
sin
x
,
x
,
2
.………….2
分
当 f ' x 0，即 cos x sin x 0 时， 3 x 或 5 x 2 .
4
44
当 f ' x 0，即 cos x sin x 0时， x 3 或 x 5 .
32 7
，
由参数的几何意义得
AM BM = t1 t2
32 . 7
………….10 分
23.解：(1) 2x 1 2 x m 2 恒成立，即 x 1 x m 1 ， 2
成都七中2019学年上期2019级半期考试数学试卷
成都七中2019学年上期2019级半期考试数学试卷(参考答案)考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）CDBA DACB BCAC二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 13. {x|x<3，且x≠0} 14. [-1，1]15. （1，3） 16. ① ② ④三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.解：（1）由0x 1x 1>-+，得01x 1x <-+，则1x 1<<-, ∴}1x 1|x {A <<-=. ……3分由0x 3≥-，得3x ≤，}3x |x {B ≤=. ……6分（2）}1x 1|x {B A <<-= ; ……9分又}1x ,1x |x {A C R ≥-≤=或，C R B={x|x>3},∴}3x |x {)B C ()A C (R R >= . ……12分18.解：（1）由04mx x 2=++有实根，得016m 2≥-=∆，则4m -≤或4m ≥； ……2分由0m 2x 2x 2=-+有实根，得0m 84≥+=∆，则21m -≥． ……4分 综上得4m -≤或21m -≥． ……6分 （2）由⎩⎨⎧>-=<-=-0m 23)1(g 0m 2)2(g ，得⎪⎩⎪⎨⎧<>23m 0m ，则23m 0<< . ……12分 19.解：当1x 0≤<时，x A P =，2x )x (f = ; ……2分 当2x 1≤<时，2)1x (1AP -+=，1)1x ()x (f 2+-= ; ……4分 当3x 2≤<时，2)x 3(1AP -+=，1)3x ()x (f 2+-=; ……6分 当4x 3≤<时，x 4A P -=，2)x 4()x (f -= . ……8分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+-∈+-∈=4)(3,x )4x (]3,2(x 1)3x (]2,1(x 1)1x (]1,0(x x y 2222. ……10分……12分 20.解：令x 2t =，则22)(2+-=at at t g （4t 41≤≤） 当0a =时，32)(≠=t g ，舍去a=0； ……4分 当0a ≠时，a t a t g -+-=2)1()(2；当a>0时，328)4()(max =+==a g t g ，∴81a =． ……7分 当a<0时，32)(max =-=a t g ，∴1a -=． ……10分 综上，81a =或1a -=． ……12分 21.解：（1）由x≠0，f(x)为奇函数，得0)x (f )x (f =+- ∴2c=0，即c=0，xb ax )x (f +=. 又f(x)的图象过A 、B ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+12b a 21b a ，解得⎩⎨⎧=-=2b 1a ． ∴x2x )x (f +-= （x≠0）． ……4分 x（2）证明：设任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1<x 2． ∴2112221121x 2x 2)x x ()x 2x ()x 2x ()x (f )x (f -+-=+--+-=- 211212x x )x x (2)x x (-+-= 212112x x )2x x )(x x (+-=. 由x 1，x 2∈（0，+∞），得x 1x 2>0，x 1x 2+2>0． 由x 1<x 2，得0x x 12>-．∴0)x (f )x (f 21>-，即)x (f )x (f 21>． ∴函数x2x )x (f +-=在（0，+∞）上为减函数． ……8分 （3）由f(x)为奇函数，知f(x)在（0,∞-）也为减函数． 当]1,2[x --∈时，1)1(f )x (f min -=-= 当]2,1[x ∈时，1)2(f )x (f min -==综上，1)x (f min -=，从而1|1t |≤-∴2t 0≤≤． ……12分22.解：（1）由函数n mx x f +=)(的图像经过点A （1,2），B （-1,0）， 得2=+n m ，0-=+n m ，解得1==n m ，从而1)(+=x x f . ……2分 由函数x p x h 2)(=（p>0）与函数1)(+=x x f 的图像只有一个交点， 得 012-=+x p x ，0442=-=∆p ，又0>p ，从而1=p ，()h x ∴=x ≥0）． ……4分（2）2()11)F x x =-= （x ≥0）.1=，即1x =时，min ()0F x =． ……6分 )x (F 在[0,1]为减函数，在[1,)+∞为增函数． ……8分（3）原方程可化为x 4log x a log )1x (log 224---=-， 即()x 41x log x 4log )1x (log 21x a log 2222-⋅-=-+-=-. ⎪⎩⎪⎨⎧+--=<<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=->->->-⇔5)3x (a a x 4x 1)x 4)(1x (x a 0x a 0x 401x 2 . ……10分 令5)3x (y 2+--=，y=a.如图所示，①当4a 1≤<时，原方程有一解a 53x --=； ②当5a 4<<时，原方程有两解a 53x 1--=，a 53x 2-+=； ③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解． ……14分。
四川省成都市第七中学2018-2019学年度(上)高三年级半期考试考试数学试卷(文科)
成都七中2018-2019学年度（上）高三年级半期考试考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}2．观察下列散点图，其中变量x，y之间有线性相关关系的是（）A．B．C．D．3．命题“∃x0∈（0，π），sin x0＞x0”的否定是（）A．∀x0∉（0，π），sin x0＞x0B．∀x0∈（0，π），sin x0＜x0C．∀x∈（0，π），sin x≤x D．∀x0∉（0，π），sin x0≤x04．函数f（x）＝log4x的零点所在区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．某路口的交通信号灯在绿灯亮15秒后，黄灯闪烁数秒，然后红灯亮12秒后，如此反复，已知每个交通参与者经过该路口时，遇到红灯的概率为0.4，则黄灯闪烁的时长为（）A．2秒B．3秒C．4秒D．5秒6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．16 C．20 D．257．设实数x，y，满足＞＞＜，则2x+y的取值范围（）A．（4，6）B．（3，6）C．（3，5）D．（3，4）8．已知m是直线，α，β是两个不同平面，且m∥α，则m⊥β是α⊥β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知复数z满足z（1﹣i）＝﹣3+i（期中i是虚数单位），则z的共轭复数在复平面对应的点是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．函数（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小周期为π的偶函数C．最小周期为2π的奇函数D．最小周期为2π的偶函数11．已知两个单位向量，的夹角为60°，设x y（其中x，y∈R），若||＝3，则xy的最大值（）A．2 B．C．3 D．12．若函数满足f（x），，＜，的值域为[﹣4，4]，则实数的a的取值范围（）A．[1，+∞）B．，C．，D．[1，2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量（﹣1，3），（2，﹣1），则•（）＝．14．双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线均与x2+y2﹣4x+1＝0相切，则该双曲线离心率等于．15．我国古代数学巨著《九章算术》中将“底面为矩形，且有两个侧面都与底面垂直的四棱锥”叫做“阳马”，如图是一个阳马的正视图和俯视图，则其外接球的表面积为16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），则．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知函数数列{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求{a n}的通项公式；（2）求证：＞．18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD垂直底面ABCD，∠P AD＝∠ABC，设．（1）求证：AE垂直BC；（2）若直线AB∥平面PCD，且DC＝2AB，求证：直线PD∥平面ACE．19．某中学学校对高三年级文科学生进行了一次自主学习习惯的自评满意度的调查，按系统抽样方法得到了一个自评满意度（百分制，单位：分）的样本，如图分别是该样本数据的茎叶图和频率分布直方图（都有部分缺失）．（1）完善频率分布直方图（需写出计算过程）；（2）分别根据茎叶图和频率分布直方图求出样本数据的中位数m1和m2，并指出选用哪一个数据来估计总体的中位数更合理（需要叙述理由）．20．（12分）如图，F1（﹣2，0），F2（2，0）是椭圆C：＞，＞的两个焦点，M是椭圆C上的一点，当MF1⊥F1F2时，有|MF2|＝3|MF1|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，3）作直线l与轨迹C交于不同两点A，B，使△OAB的面积为（其中O为坐标原点），问同样的直线l共有几条？并说明理由．21．设函数，其中a为常数：e≈2.71828为自然对数的地数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若∀x＞0，不等式＜恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）的坐标满足（t 为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的极坐标方程为ρsin（θ+φ）＝cosφ（其中φ为常数，且φ，）（1）求动点P的轨迹C的极坐标方程；（2）设直线l与轨迹C的交点为A，B，两点，求证：当φ变化时，∠AOB的大小恒为定值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知不等式|x+1|＞|2﹣x|+1的解集为M，且a，b，c∈M．（1）比较|a﹣b|与|1﹣ab|的大小，并说明理由；（2）若，求a2+b2+c2的最小值．1．A2．D3．C4．C5．B6．D7．B8A9．B10．11．C12．D二、13．向量（﹣1，3），（2，﹣1），（﹣3，4），则•（）＝3+12＝15．14．圆x2+y2﹣4x+1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝3，∴圆心坐标C（2，0），半径为，∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，渐近线和圆x2+y2﹣4x+1＝0相切，∴，∴b2＝3a2，∴c2＝4a2，∴双曲线的离心率为e＝2．15．根据“阳马”的定义与正视图、俯视图的信息，可知该四棱锥立体图如右图，则本题的四棱锥可以内嵌于同长、宽、高的长方体，所以内接于同一个球，设球的半径为R，∴，∴，∴S＝4πR2＝6π．16．根据c2＝3（a2﹣b2），得，因为cos B，即3sin A cos B＝2sin C＝2sin（A+B），整理得sin A cos B＝2cos A sin B，则有2，三、17．（1）数列{a n}的前n项和，①．当n＝1时，解得a1＝1，当n≥2时，②，①﹣②得（首项符合通项）．故．证明：（2）由于，所以，则（2+2+2+…+2）2n＞2n﹣2＝2（n﹣1）．18．证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠P AD，∴P A⊥AD，∵侧面P AD垂直底面ABCD，侧面P AD∩底面ABCD＝AD，∴P A⊥底面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，∵∠ABC，∴AB⊥BC，∵P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB ， ∵AE ⊂平面P AB ，∴AE 垂直BC ． （2）连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，∵直线AB ∥平面PCD ，ABCD 是平面图形，∴AB ∥CD ， ∴△ABO ∽△CDO ， ∵，且DC ＝2AB ， ∴，∴OE ∥PD ，∵OE ⊂平面ACE ，PO ⊄平面ACE ， ∴直线PD ∥平面ACE ．19．（1）∵抽取的成绩在[50，60）的试卷份数是2份，频率是0.008×10＝0.08， ∴一共抽取了25人．∴抽取的成绩在[80，90）的试卷份数为：25﹣2﹣7﹣10﹣2＝4份， 频率为0.16，频率组距0.016； 成绩在[70，80）的频率为0.4，频率组距 0.04； 成绩在[60，70）的频率为 0.28，频率组距0.028；画出频率分布直方图如图所示；（2）根据茎叶图计算样本数据的中位数是m 1（73+74）＝73.5；根据频率分布直方图求出样本数据的中位数是m2＝70+1073.5；根据统计学原理知用频率分布直方图得到的中位数估计总体的中位数更合理．20．（1）由题可知，c＝2 即a2﹣b2＝2﹣﹣﹣﹣①又∵|MF2|＝3|MF1|且|MF1|+|MF2|＝2a，∴．又∵MF1⊥F1F2，∴，即a2＝2b2﹣﹣﹣﹣②由①②可知，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题可设，直线l的方程为：y＝kx+3（k≠0），令y＝0，则x．，即直线l与x轴的交点D坐标为（，），设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．联立，消去x，整理可得，（2k2+1）y2﹣6y+9﹣8k2＝0，则有＞，，．又∵S△AOB＝S△ODA+S△ODB，∵，即，整理可得，k4﹣5k2+4＝0，解出k＝±1或k＝±2．∴直线l有四条．21．（1）f′（x），f′（0）＝1﹣a，f（0）＝1，故切线方程是y＝（1﹣a）x+1，由已知得1，解得：a＝2；（2）当a＜0时，取x0∈（0，），f（x0）＞0，而＜0这与已知矛盾，当a＞0时，对∀x＞0，f（x）＜⇔＜⇔1＜1⇔ax+1＜e x，设函数g（x）＝e x﹣ax﹣1（x＞0），则g′（x）＝e x﹣a（x＞0），①当0＜a≤1时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＞g（0）＝0，（x＞0），从而不等式ax+1＜e x对任意x＞0恒成立，于是f（x）＜对任意x＞0恒成立，②当a＞1时，由g′（x）＜0，得0＜x＜lna，故g（x）在（0，lna）递减，故g（lna）＜g（0）＝0，这与g（x）＞0对任意x＞0恒成立矛盾，故a∈（0，1]．22．（1）∵动点P（x，y）的坐标满足（t为参数），∴动点P的轨迹C的普通方程为y＝x2，又由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴为sinθ＝ρcos2θ∴动点P的轨迹C的极坐标方程为sinθ＝ρcos2θ，即ρ．（2）证明：将直线l与曲线C联立，消去ρ得•sin（θ+φ）＝cosφ，∴得•（sinθcosφ+cosθsinφ）＝cosφ，∵φ，，∴cosφ≠0，∴tan2θ+tanφ•tanθ﹣1＝0，设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），由韦达定理得tanθ1•tanθ2＝﹣1，即sinθ1•sinθ2＝﹣cosθ1•cosθ2，∴cosθ1•cosθ2+sinθ1•sinθ2＝cos（θ1﹣θ2）＝0，∴θ1﹣θ2＝kπ，k∈Z故当φ变化时，∠AOB的大小恒为定值．23．（1）设f（x）＝|x+1|﹣|2﹣x|，，＜＜，，由f（x）＞1，得M＝{x|x＞1}，∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＝a2b2﹣a2﹣b2+1＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，（a＞1，b＞1），∴|a﹣b|＜|1﹣ab|；（2）由已知a＞1，b＞1，c＞1，而3，结合已知得3，故a2+b2+c2≥39，故a2+b2+c2的最小值是9（当且仅当a＝b＝c时取得）．。
2020-2021学年四川省成都七中2019级高二上学期10月月考数学(文)试卷无答案
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2020-2021学年四川省成都七中2019级高二上学期10月月考数学（文）试卷
（2）若 l 与曲线 E 交于不同的C 、 D 两点，用且COD 120 ( O 为坐标原点)，求直线l 的斜率； 使
学 中 二 第 县 源 20．如图，矩形 ABCD市中汉， AB 2 2 ， AD 2 ，M 为 DC 的中点，将DAM 沿 AM 折到DAM 安 的位置， AD B雅M ． 省 （1）求证：川平面 DAM 平面 ABCM ； 四 （2）若供E 为 D'B 的中点，求三棱锥 A DEM 的体积． 仅
18．如图，在正三棱柱 ABC A1 B1C1中，点 D 在边 BC 上， AD C1 D. （1）求证： AD 平面 BCC1B1 ； （2）如果点 E 是 B1C1 的中点，求证： A1E //平面 ADC1 .
19．已知两个定点 A(0, 4)， B(0,1)， 动点 P 满足| PA | 2 | PB | ，设动点 P 的轨迹为曲线 E ，直线l ： y kx 4 . （1）求曲线 E 的轨迹方程；
成都七中高 2022 届高二（上）数学 10 月阶段测试（文科）
一、单选题（12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．已知命题 p : x R, x sin x ，则命题 p 的否定为（ ）
A． p : x0 R, x0 sin x0
B． p : x R, x sin x
C． p : x0 R, x0 sin x0
D． p : x R, x sin x
2．直线 l ： y 1 k x 1 和圆 x2 y2 4x 0 的位置关系是（ ）
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(文)试题答案
成都七中2018～2019学年度上期高2020届数学半期考试试题（文科）参考答案一、选择题（共12题，每题5分，共60分）二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. 8 14. 2 15. 45 16.2291(0)5y x y +=≠三、解答题17.解：（1）线段AB 的中垂线方程为：x =2,由{x =2 3x +2y =0，得y =−3,∴圆心C 为(2,−3), 又半径r =|AC|=5,∴圆C 的方程为(x −2)2+(y +3)2=25. ……5分（2）直线l 的方程为：2x −3y =0,所以点C 到直线l 的距离为：d =4+9√4+9√13，∴|MN |==4√3，∴S △MCN =12×|MN |×d =12×4√3×√13=2√39. ……10分18.解：（1）由已知得b a =2c =，解得1,a b ==∴双曲线E 的方程为x 2−y 22=1. ……4分（2）设直线l 方程为:y −1=k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{y =kx +(1−2k )x 2−y 22=1 ，得(2−k 2)x 2+2k (2k −1)x −(1−2k)2−2=0 (∗)……6分∴{2−k 2≠0 Δ=4k 2(2k −1)2+4(2−k 2)[(1−2k )2+2]>0…①……8分 ∴x 1+x 2=2k (2k−1)k 2−2，由M(2,1)为AB 的中点，得x 1+x 22=k (2k−1)k 2−2=2，解得k =4，适合①……10分∴直线l 的方程为y −1=4(x −2)，即4x −y −7=0……12分说明：学生也可以用点差法求解，如果没有检验0∆>的学生，扣1分.19.解：（1）令抛物线上一点P(x 0,y 0),设E(x,y).由已知得x 0=x,y =12y 0,∵P(x 0,y 0)满足y 2=16x ，∴y 02=16x 0,则4y 2=16x ，即y 2=4x .∴曲线E 的方程为：y 2=4x . ……6分（2）由{y =x −4y 2=4x，可得x 2−12x +16=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由于2124160,∆=-⨯> 由韦达定理可知：x 1+x 2=12,x 1x 2=16，y 1y 2=(x 1−4)(x 2−4)=x 1x 2−4(x 1+x 2)+16=−16，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴OA ⊥OB . ……12分20.解：设生产甲种肥料x 车皮，乙种肥料y 车皮，能够产生利润z 万元，目标函数为z =x +0.5y ,其中x ，y 满足以下条件：{4x +y ≤1018x +15y ≤66x ≥0y ≥0……4分 可行域如右图：……6分把z =x +0.5y 变形为y =−2x +2z ，……8分得到斜率为−2，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线，当直线y =−2x +2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大，联立方程{4x +y =1018x +15y =66,得M(2,2). ……10分 ∴z max =2+1=3. ……11分答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元. ……12分21.解：（1）设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.∵A ,B ,C 都在圆上,∴ {29+5D −2E +F =09+3E +F =017+4D +E +F =0 , 解得{D =0E =4F =−21. ∴所求圆P 的方程为x 2+y 2+4y −21=0. ……6分（2）由x 2+(y +2)2=25，知圆心P(0,−2)，半径r =5，如右图，由直线l 被圆p 截得的弦长为8，得圆心距d =22=3 ……8分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 方程为：y +3=k(x +3),即kx −y +3k −3=0,∴圆心P 到直线l 距离d =|3k−1|2=3，化简得−6k =8，则k =−43. ∴直线l 方程为：y +3=−43(x +3)，即4x +3y +21=0. ……10分 当直线l ⊥x 轴时，直线l 方程为x =−3，代入圆方程得y 2+4y −12=0，解得y 1=−6，y 2=2，∴弦长仍为8,满足题意. ……11分 综上，直线l 的方程为4x +3y +21=0,或x =−3. ……12分22.解：（1）由2b =4，得b =2.由e =√53=c a ，得a 2−4a 2=59，解得a 2=9. ∴椭圆的方程为x 29+y 24=1. ……3分（2）设A (x 0,y 0),D (x 1,y 1)，则B (−x 0,−y 0).∴{x 029+y 024=1…①x 129+y 124=1…②由①−②得：(x 0−x 1)(x 0+x 1)9+(y 0−y 1)(y 0+y 1)4=0, 即(x 0−x 1)(x 0+x 1)9=−(y 0−y 1)(y 0+y 1)4，−49=(y 0−y 1)(y 0+y 1)(x 0−x 1)(x 0+x 1)， 即k AD ∙k BD =−49. ……7分（3）由（2）知k AD ∙k BD =−49，设A (3cos θ,2sin θ),则B (−3cos θ,−2sin θ).又k BD =k BP =2sin θ1+3cos θ,则k AD =−2(1+3cos θ)9sin θ, ∴直线AD 方程为：y −2sin θ=−2(1+3cosθ)9sinθ(x −3cos θ) …③ 同理k BC ∙k AC =−49,又k AC =k AP =2sin θ3cos θ−1,则k BC =−2(3cosθ−1)9sinθ,∴直线BC 方程为：y +2sin θ=−2(3cos θ−1)9sin θ(x +3cos θ)…④ 由③−④得：−4sin θ=−29sin θ[(1+3cos θ)(x −3cos θ)−(3cos θ−1)(x +3cos θ)],化简得x =9.∴点M 在定直线x =9上. ……12分。
四川省成都七中实验学校2021-2022学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案
成都七中试验学校高二（上）期中考试 文科数学试题一、选择题：（本大共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．）1．若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是A ．12m <B ．1m <C ．12m > D ．12m ≤2．直线310ax y --=与直线2()103a x y -++=垂直，则a 的值是 A ．－1或13 B ．1或13 C ．－13或－1 D ．－13或13．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过 A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 其次、三、四象限4．下列四个命题中，其中真命题的是A ．假如两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合B ．两条直线可以确定一个平面C ．若M M l M l αβαβ∈∈=∈，，，则D ．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内5．与两条异面直线分别相交的两条直线A ．可能是平行直线B ．肯定是异面直线C ．可能是相交直线D ．肯定是相交直线6.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 A.96 B.136C.152D.1927．已知圆1O ：22()()4x a y b -+-=，2O ：22(1)(2)1x a y b --+--= ()a b R ∈，，那么两圆的位置关系是A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切8.给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题，其中正确命题的个数是 （1）A l m =⋂⊂αα,,点m A ∉则l 与m 不共面；（2）m l ,是异面直线，αα//,//m l 且m n l n ⊥⊥,则α⊥n ； （3）若βαβα//.//,//m l 则m l //；（4）若ββαα//,//,,,m l A m l m l =⋂⊂⊂，则βα//， （5）若l α⊥，l n ⊥，则n//αA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. ),(y x P 是圆1)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是 A ．]12,21[--- B ．),12[+∞- C ．),21[+∞- D ．)12,21(---10．直线l ：30mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是A 相离B 相切C 相交D 有公共点11．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为A.23B.33C.23D.6312.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱B 1C 1的中点，动点P 在底面ABCD 内，且PA 1＝A 1E ，则点P 运动形成的图形是A.线段B.圆弧C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,下列结论中正确的是 (只填序号). ①AD 1∥BC 1； ②平面AB 1D 1∥平面BDC 1； ③AD 1∥DC 1； ④AD 1∥平面BDC 1.14.把一个半径为5错误！未找到引用源。
四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题 数学文【含解析】
四川省成都市成都市第七中学2019-2020学年度高二数学第一学期期中试题数学文【含解析】一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值x ，忘记了n的值，但输出v的值为56，则可推断出输入n的值为的一个实例，若输入n，x时只记得1（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+ ⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6C. 12D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况， ②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，数据位于[)25,30的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 前两个矩形的面积之和为0.0150.20.25⨯+=， 前三个矩形的面积之和为0.050.20.0750.6++⨯=， 所以，中位数位于区间[)30,35，设中位数为a ，则有()0.050.2300.070.5a ++-⨯=，解得33.6a ≈（岁），故选C ．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：时间x 2 3 5 8 9 12 工资y 30406090120140则小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为（ ） A. 5818377y x =+B.11.4 5.9y x =+C. 804077y x =+D.8.624.1y x =+【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求． 【详解】解：()12358912 6.56x =+++++=，()130406090120140806y =+++++=． 616222222222162303405608909120121406 6.58011.423589126 6.56i i i i i x y xy b x x ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++++-⨯-∑∑，8011.4 6.5 5.9a y b x =-=-⨯=．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为11.4 5.9y x =+．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.对具有线性相关关系的两个变量x ，y ，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y20m 6070n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m n += （ ）A. 119B. 120C. 129D. 130【答案】B 【解析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m n +的值． 【详解】解：()12456855x =++++=，()115020607055m ny m n ++=++++=， ∴样本点的中心的坐标为1505,5m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入线性回归方程，得15010.55 1.55m n++=⨯+，解得120m n +=．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A. e m =0m =xB. e m =0m <xC. e m <0m <xD. 0m <e m <x【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝ 5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（ ） A. 27个 B. 28个C. 29个D. 30个【答案】B【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，①四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，此时,有23620+⨯=个符合条件的四位数；②四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有628+=个符合条件的四位数；则有20828+=个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合计数原理，先排E，F，G，然后根据A，B，C，D的情况讨论．【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题． 二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数7n =，3m =，那么输出的p 等于______.【答案】210 【解析】 【分析】讨论k 从1开始取，分别求出p 的值，直到不满足3k <，退出循环，从而求出p 的值. 【详解】解：模拟程序的运行，可得7n =，3m =，1k =，1p = 5p =，满足条件3k <，执行循环体，2k =，30p = 满足条件3k <，执行循环体，3k =，210p = 不满足条件3k <，退出循环，输出p 的值为210． 故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题． 10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46 【解析】 【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数． 【详解】解：由茎叶图得： 该样本的中位数是：4547462+=． 故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11. 曲线214y x 与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ）A. 34k ≥B. 35412k -≤<- C. 512k >D.53124k <≤ 【答案】D 【解析】 【分析】由曲线方程可知曲线为以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分，又直线恒过()2,4A ，由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时k 的取值，进而得到结果. 【详解】214y x 可化为()()22141x y y +-=≥∴曲线214y x 表示以()0,1为圆心，2为半径的圆的1y ≥的部分又直线()24y k x =-+恒过定点()2,4A 可得图象如下图所示：当直线()24y k x =-+为圆的切线时，可得23221k d k -==+，解得：512k =当直线()24y k x =-+过点()2,1B -时，413224k -==+由图象可知，当()24y k x =-+与曲线有两个不同交点时，53124k <≤ 故选：D【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识来进行求解.12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4名大学生中录用3人，有3443224A =⨯⨯=种录取情况； ②4名大学生全部录用，有23436636C A =⨯=种录取情况， 则有243660+=种录用种数； 故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 62638228（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.800.06900.261000.381100.221200.08100质量指标值的样本方差为22222s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x ，物理成绩y 进行分析．下面是该生前5次考试的成绩． 数学 120 118 116 122 124 物理 7979778283附()121(),()nii i ni i x x y y b a y b x x x ==--==--∑∑．22121()1()ni i i ni i y y R y y ==-=--∑∑．()1已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，求物理成绩y 与数学成绩x 的回归直线方程；()2我们常用2R 来刻画回归的效果，其中2R 越接近于1，表示回归效果越好．求2R ． ()3已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？【答案】（1）3104y x =-；（2）0.9375；（3）89分.【解析】 【分析】()1计算x 、y ，求出回归系数b 、a ，写出回归方程； ()2利用回归方程计算y 对应y 值，求出相关系数2R 的值；()3利用回归方程计算132x =时y 的值即可．【详解】解：()1计算()11201181161221241205x =⨯++++=， ()17979778283805y =⨯++++=；()()()()()()5152222221()01214322433(1)(1)(3)234()i i i i i x x y y b x x ==--⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯===-+-+-++-∑∑；380120104a yb x =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是3104y x =-；()2由题意，填表得y79 7977 8283 y8078.5 7781.583计算相关系数2222212222221()(1)0.500.501151110.9375(1)(1)(3)231616()ni i i n ii y y Ry y ==--++++=-=-=-==-+-+-++-∑∑； 所以2R 接近于1，表示回归效果越好；()3第6次考试该生的数学成绩达到132，计算3310132108944y x =-=⨯-=，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆221132x y C +=：，抛物线222(0)C y px p =>：，过2C 上一点(P 异于原点)O 作2C 的切线l 交1C 于A ，B 两点，切线l 交x 轴于点Q ．()1若点P 的横坐标为1，且1112AQ BQ -=，求p 的值． ()2求OAB 的面积的最大值，并求证当OAB 面积取最大值时，对任意的0p >，直线l 均与一个定椭圆相切．【答案】（1）6；（26. 【解析】 【分析】()1不妨设(2.P p 计算出AQ ，BQ 的长度代入条件计算出p 值；()2设()00,P x y 则()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0.x ty x =-表示出OAB 的面积，求出其最大值，验证直线l 与椭圆221.322x y +=相切；【详解】解：()1点(1,2P p ，由对称性不妨设(2P p ． 于是2l py px p =+：，于是()1,0.Q -所以点Q 是1C 的左焦点． 设.AQO α∠=焦准距为2m =．类比抛物线的焦半径算法可得,11m mAQ BQ cos cos eeαα==-+． 于是11212cos cos AQ BQ m αα-===32p=6p =． ()2设()00,.P x y 于l ：00y y px px =+．于是()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0x ty x =-． 联立()22222000123426032x y t y x ty x x ty x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩． 设()11,A x y ，()()22220,.2423B x y t x =-+．()()222002220122222323116266222323232OABx t x x t x SOQ y y x t t t +-+-+=-==≤=+++．当且仅当220232t x +=取等，且满足0.>所以OAB 6注意到220232t x +=即为2202320.t x +-=这个等式类似于()22012223t x =-+；于是猜想椭圆221.322x y +=联立2201322x y x ty x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22200234230t y tx y x +-+-=；()()()222222000164223122230t x t x t x =-+-=-+=；故当OAB 面积取最大值时，直线l 均与一个定椭圆221322x y +=相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
四川省成都市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(文科)Word版含解析
四川省成都市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）每小题4个选项均只有1个是正确的．1．直线x=﹣1的倾斜角等于（）A．0° B．90°C．135°D．不存在2．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=03．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或24．圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切5．下列命题中，真命题是（）A．∃x∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件6．直线（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0必过定点（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞28．曲线+=1与+=1（0＜k＜9）的关系是（）A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不同的焦距，不同的焦点C．有相等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，310．已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0，则下列命题是真命题的是（）A．（￢p1）∧p2B．p1∨p2C．p1∧（￢p2）．D．（￢p1）∨（￢p2）11．已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线交双曲线C于P、Q两点，若△F2PQ为正三角形，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．2 C．3 D．12．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题13．双曲线﹣=1的离心率为，则m等于．14．已知点A（﹣3，4）B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围．15．如果直线l：x+y﹣b=0与曲线有公共点，那么b的取值范围是．16．椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．三、解答题：17．求满足下列条件的直线的一般式方程：（Ⅰ）经过两条直线2x﹣3y+10=0 和3x+4y﹣2=0 的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4=0 （Ⅱ）与两条平行直线3x+2y﹣6=0及6x+4y﹣3=0等距离．18．若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．19．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．20．已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．21．已知中心在原点，一焦点为F（0，）的椭圆被直线l：y=3x﹣2截得的弦的中点横坐标为．（1）求此椭圆的方程；（2）过定点M（0，9）的直线与椭圆有交点，求直线的斜率k的取值范围．22．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．四川省成都市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）每小题4个选项均只有1个是正确的．1．直线x=﹣1的倾斜角等于（）A．0° B．90°C．135°D．不存在【考点】直线的倾斜角．【分析】直线x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，进而可得其倾斜角．【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选B．2．求经过圆x2+2x+y2=0的圆心G，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y﹣1=0 D．x+y+1=0【考点】圆的一般方程．【分析】将圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1求其圆心G（﹣1，0），根据直线垂直的斜率关系，求出与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，根据点斜式即可写出所求直线方程．【解答】解：圆的方程x2+2x+y2=0可化为，（x+1）2+y2=1∴圆心G（﹣1，0），∵直线x+y=0的斜率为﹣1，∴与直线x+y=0垂直的直线的斜率为1，∴由点斜式方程可知，所求直线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0，故选：A．3．空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，则x等于（）A．2 B．﹣8 C．2或﹣8 D．8或2【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）与点B（x，﹣1，6）的距离为，所以=，所以（x+3）2=25．解得x=2或﹣8．故选C．4．圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的位置关系是（）A．相交B．外切C．相离D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2+2x+6y+9=0与圆x2+y2﹣6x+2y+1=0的分别化为标准方程得：（x+1）2+（y+3）2=1，（x﹣3）2+（y+1）2=9，故圆心坐标分别为（﹣1，﹣3）和（3，﹣1），半径分别为r=1和R=3，∵圆心之间的距离d==2，R+r=4，R﹣r=2，∵，∴R+r＜d，则两圆的位置关系是相离．故选：C．5．下列命题中，真命题是（）∈R，≤0 B．∀x∈R，2x＞x2A．∃xC．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用．【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以∀x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确．故选D．6．直线（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0必过定点（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】恒过定点的直线．【分析】把直线的方程化为m（3x﹣2y+5）+2x+y+1=0，此直线过直线3x﹣2y+5=0 和直线2x+y+1=0的交点．【解答】解：直线l：（3m+2）x﹣（2m﹣1）y+5m+1=0 即 m（3x﹣2y+5）+2x+y+1=0，过直线3x﹣2y+5=0 和直线2x+y+1=0的交点（﹣1，1），故选D．7．双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．m≥1 C．m＞1 D．m＞2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的标准形式，可以求出a=1，b=，c=．利用离心率e大于建立不等式，解之可得 m＞1，最后利用充要条件的定义即可得出正确答案．【解答】解：双曲线，说明m＞0，∴a=1，b=，可得c=，∵离心率e＞等价于⇔m＞1，∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m＞1．故选C．8．曲线+=1与+=1（0＜k＜9）的关系是（）A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不同的焦距，不同的焦点C．有相等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的共同特征．【分析】判断两个椭圆的焦点坐标与焦距的大小即可得到结果．【解答】解：曲线+=1与+=1（0＜k＜9）都是椭圆方程，焦距为：2c==8， =8，焦距相等， +=1的焦点坐标在x轴， +=1的焦点坐标在y轴，故选：C．9．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3【考点】简单线性规划．【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值．【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．10．已知命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0；命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0，则下列命题是真命题的是（）A．（￢p1）∧p2B．p1∨p2C．p1∧（￢p2）．D．（￢p1）∨（￢p2）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p1，p2的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：x2+x+1=0的△=1﹣4=﹣3＜0，故命题p1：∃x∈R，使得x2+x+1＜0为假命题；x∈（﹣1，1）时，x2﹣1＜0，故命题p2：∀x∈[﹣1，2]，使得x2﹣1≥0为假命题；故（￢p1）∧p2，p1∨p2，p1∧（￢p2）均为假命题．（￢p1）∨（￢p2）为真命题，故选：D．11．已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线交双曲线C于P、Q两点，若△F2PQ为正三角形，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．2 C．3 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用直角三角形中含30°角所对的边的性质及其双曲线的定义、勾股定理即可得到a，c的关系．【解答】解：由△F2PQ是正三角形，则在Rt△PF1F2中，有∠PF2F1=30°，∴|PF1|=|PF2|，又|PF2|﹣|PF1|=2a．∴|PF2|=4a，|PF1|=2a，又|F1F2|=2c，又在Rt△PF1F2中，|PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，得到4a2+4c2=16a2，∴=∴e=．故选A．12．椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x，y）（x≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y）（x≠±2），则，得．∵=， =，∴==，∵，∴，解得．故选B．二、填空题13．双曲线﹣=1的离心率为，则m等于9 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，又离心率为，则，解得m=9．故答案为9．14．已知点A（﹣3，4）B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围45°≤α≤135°．【考点】直线的斜率．【分析】由题意画出图形，求出P与线段AB端点连线的倾斜角得答案．【解答】解：如图，当直线l过B时设直线l的倾斜角为α（0≤α＜π），则tanα==1，α=45°当直线l过A时设直线l的倾斜角为β（0≤β＜π），则tanβ==﹣1，β=135°，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°．故答案为45°≤α≤135°．15．如果直线l：x+y﹣b=0与曲线有公共点，那么b的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系；函数的零点．【分析】根据同角三角函数关系，换元得到点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π．因此问题转化为方程cosα+sinα﹣b=0，在区间[0，α]上有解，利用变量分离并结合正弦函数的图象与性质，即可算出实数b的取值范围．【解答】解：对于曲线，设x=cosα，则y==sinα（0≤α≤π）因此点M（cosα，sinα）是曲线C上的点，其中0≤α≤π∵线l：x+y﹣b=0与曲线C有公共点∴方程cosα+sinα﹣b=0，在区间[0，α]上有解即b=cosα+sinα=sin（）∵∈[，]，可得sin（）∈[﹣，1]∴b=sin（）∈[﹣1，]即直线l：x+y﹣b=0与曲线有公共点时，b的取值范围是[﹣1，] 故答案为：[﹣1，]16．椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．三、解答题：17．求满足下列条件的直线的一般式方程：（Ⅰ）经过两条直线2x﹣3y+10=0 和3x+4y﹣2=0 的交点，且垂直于直线3x﹣2y+4=0 （Ⅱ）与两条平行直线3x+2y﹣6=0及6x+4y﹣3=0等距离．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线3x﹣2y+4=0垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）设出直线方程，利用平行线之间的距离求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由得交点为（﹣2，2），由题所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y﹣2=﹣（x+2），即2x+3y﹣2=0；（Ⅱ）由题可设所求的直线方程为6x+4y+m=0，则由题有|m+12|=|m+3|，∴m=﹣，∴所求直线的方程为12x+8y﹣15=0．18．若满足方程：x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9=0（t∈R）的点的轨迹是圆．（1）求t的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点P（3，4t2）恒在所给的圆内，求t的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）已知方程可化为（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9，由此能求出t的取值范围．=，此时圆的面积最大，并能（2）r==，由此能求出rmax求出对应的圆的方程．（3）由点P恒在所给圆内，得（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，由此能求出0＜t＜．【解答】解：（1）已知方程可化为：（x﹣t﹣3）2+（y+1﹣4t2）2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣16t4﹣9∴r2=﹣7t2+6t+1＞0，即7t2﹣6t﹣1＜0，解得﹣＜t＜1，t的取值范围是（﹣，1）．（2）r==，当t=∈（﹣，1）时，=，rmax此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x﹣）2+（y+）2=．（3）圆心的坐标为（t+3，4t2﹣1）．半径 r2=（t+3）2+（1﹣4t2）2﹣（16t4+9）=﹣7t2+6t+1∵点P恒在所给圆内，∴（t+3﹣3）2+（4t2﹣1﹣4t2）2＜﹣7t2+6t+1，即4t2﹣3t＜0，解得0＜t＜．19．已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（1）求过M点的圆的切线方程；（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相切，求a的值；（3）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）点M（3，1）在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外，故当x=3时满足与M相切，由此能求出切线方程．（2）由ax﹣y+4=0与圆相切知=2，由此能求出a．（3）圆心到直线的距离d=，l=2，r=2，由r2=d2+（）2，能求出a．【解答】解：（1）∵点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d==＞2=圆半径r，∴点M在圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4外，∴当x=3时满足与M相切，当斜率存在时设为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1=0，由，∴k=．∴所求的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0．（2）由ax﹣y+4=0与圆相切，知=2，解得a=0或a=．（3）圆心到直线的距离d=，又l=2，r=2，∴由r2=d2+（）2，解得a=﹣．20．已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；【解答】解：（1）由得5x2+2mx+m2﹣1=0，当直线与椭圆有公共点时，△=4m2﹣4×5（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥0，解得﹣，所以实数m的取值范围是﹣；（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，，，所以弦长|AB|===•=，当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．21．已知中心在原点，一焦点为F（0，）的椭圆被直线l：y=3x﹣2截得的弦的中点横坐标为．（1）求此椭圆的方程；（2）过定点M（0，9）的直线与椭圆有交点，求直线的斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设椭圆为，由已知条件推导出a2=b2+50， =，由此能求出椭圆．（2）设过定点M（0，9）的直线为l，若斜率k不存在，直线l方程为x=0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5）和下顶点（0，﹣5）；若斜率k存在，直线l的方程为：y=kx+9，k ≠0，代入椭圆方程，由△≥0，能求出直线的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆中心在原点，一焦点为F（0，），∴设椭圆为，（a＞b＞0），a2=b2+c2=b2+50，①把y=3x﹣2代入椭圆方程，得a2x2+b2（3x﹣2）2=a2b2，（a2+9b2）x2﹣12b2x+4b2﹣a2b2=0，∵椭圆被直线l：y=3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，∴=，整理，得a2=3b2，②由①②解得：a2=75，b2=25，∴椭圆为：．（2）设过定点M（0，9）的直线为l，①若斜率k不存在，直线l方程为x=0，与椭圆交点是椭圆的上顶点（0，5）和下顶点（0，﹣5）；②若斜率k=0，直线l方程为y=9，与椭圆无交点；③若斜率k存在且不为0时，直线l的方程为：y=kx+9，k≠0联立，得（3+k2）x2+18kx+6=0，△=（18k）2﹣24（3+k2）≥0，解得k≥或k≤﹣．综上所述：直线的斜率k的取值范围k≥或k≤﹣或k不存在．22．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0，且q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合一元二次不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），得3a＜x＜a，即p：3a＜x＜a．由x2﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，由x2+2x﹣8＞0得x＞2或x＜﹣4．即q：x≥﹣2或x＜﹣4．因为q是p的必要不充分条件，所以a≤﹣4或﹣2≤3a，解得a≤﹣4或a≥﹣，因为a＜0，所以a≤﹣4或＜0．即a的取值范围a≤﹣4或＜0．。
【全国百强校】四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期半期考试数学(文)试题(pdf版)
21.已知圆 P 过������(5,−2)，������(0,3)，������(4,1). （1）求圆 P 的方程； （2）若过点������(−3,−3)的直线 l 被圆 P 所截得的弦长为 8，求直线 l 的方程.
22.已知椭圆������������22
+
������2 ������2
=
1(������
9 16
������. ������ = ± 3 ������ ������. ������ = ± 9 ������
4
16
������. ������ = ± 16 ������ ������. ������ = ± 4 ������
9
3
4.直线2������ + ������ = 2在 y 轴上的截距为（ ）
3
������. (0, 1]
2
������. [1 , 1)
2
9.点������(������, ������)满足关系式√������2 + (������ + 3)2 + √������2 + (������ − 3)2 = 6，则点 M 的轨迹是（ ）
������.椭圆
������.双曲线
������.双曲线的一支
3x y 3 0.
16. 点������为椭圆 x2 y2 1上一点， F1, F2 为椭圆的两个焦点，则 F1MF2 的重心的轨迹方程为
95
______________________.
三、解答题（17 题 10 分，18～22 每小题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤．） 17.已知圆 C 的圆心在直线3������ + 2������ = 0上，并且与 x 轴的交点分别为������(−2,0),������(6,0)，
四川省成都市第七中学2018-2019学年高二上学期入学考试数学(文)试题
成都七中高2020届高二上期入学考试数学试卷（文科）考试时间:120分钟满分:150分一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）1． sin 390°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32 2．直线123xy-=-在轴上的截距是( )A.2B.3C.-2D.-33．点(2,5)P 关于直线1x y +=的对称点的坐标是( )A ．(5,2)--B ．(4,1)--C ．(6,3)--D ．(4,2)--4．已知数列{}n a 的首项12a =，且1(1)n n n a na ++=，则5a =( ).A 8.B 9.C 10.D5．下列说法中正确的是( ).A 斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形.B 水平放置的正方形的直观图有可能是梯形.C 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体.D 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )A. 2B. 4C. 6D. 87．两个公比均不为的等比数列{}{},n n a b ，其前项的乘积．．．．．分别为,n n A B ，若52a =，则9A =( ).A 512.B 32.C 8.D8．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：匹4=丈，丈10=尺）那么此问题的答案为( ).A 12尺.B 815尺.C 1631尺.D 1629尺9．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示， 要得到函数()sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()f x 的图象( ) .A 向右平移12π长度单位.B 向左平移24π长度单位 .C 向左平移12π长度单位.D 向右平移24π长度单位10．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10° 11．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程220x x --=的两根，单调递减数列{}()n b n N *∈通项公式为27n b n a n λ=+⋅．则实数λ的取值范围是( )A. (),3-∞-B. 1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()3,-+∞12．△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C. 且sin B ＋sin C ＝1，则△ABC 是( )A ．等腰钝角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）14．已知tan 2α=，则cos sin 22_______sin()3cos()ππααπαπα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+．15．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=4，AA 1=5，则直线AC 1与平面ABCD 所成角的大小为．16．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）17．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知向量)2,cos 2cos a c C A --=（与),(cos b B =平行.（1）求AC sin sin 的值；（2）若1cos cos =+B c C b ，ABC ∆周长为5，求b 的长．18．如图，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，且AB=AD ，BC=DC ．（1）求证：BD ∥平面EFGH ；（2）求证：四边形EFGH 是矩形．19．已知直线l 在y x ,轴上截距相等,且到点)2,1(的距离等于2,求直线l 的方程.20．已知等比数列{}n a 中，1232a a a +=，且123,,1a a a -成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）当数列{}n a 为正项数列时，若数列{}n b 满足21(*)n n b n a n N =-+∈，记数列{}n b 的前项和为n S ，试比较n S 与22n n +的大小．21请阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+…………①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-…………②由①+②得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=…………③令,A B αβαβ+=-=有,22A B A B αβ+-== 代入③得sin sin 2sincos 22A B A B A B +-+=．（Ⅰ）试证明：cos cos 2sin sin 22A B A B A B +--=-； （Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 满足2cos 2cos 22sin A B C -=，试判断ABC ∆的形状．22．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（Ⅰ）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于的函数，并标明其定义域；（Ⅱ）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（1）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S；（2）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积V ．成都七中高2020届高二上期入学考试（文科）参考答案一、选择题：1～5：ACBCD 6～10：CADDB 11～12：BA部分解析：10．解:B 如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°.11．解:311,a a 是220x x --=的两根，∴3111a a +=．（或两根为3112,11a a -⇒+=）∵{}n a 等差，∴31177122a a a a +=⇒=，∴212n b n n λ=+．∵{}n b 递减，∴10n n b b +-<对n N *∈恒成立，2211(1)(1)()022n n n n λλ⇒+++-+<1(21)02n λ⇒++<，∴142n λ<-+对n N *∈恒成立．∵min 11()426n -=-+，∴16λ<-．∴选B. 12、解: 由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°. 方法一 由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin Bsin C ，又A ＝120°，∴sin 2B ＋sin 2C ＋sin Bsin C ＝34，∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B. ∴sin 2B ＋(1－sin B)2＋sin B(1－sin B)＝34， 即sin 2B －sin B ＋14＝0.解得sin B ＝12.故sinC ＝12. ∴B ＝C ＝30°.所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 A ＝120°，∴B ＋C ＝60°，则C ＝60°－B ，∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B)＝sin B ＋32cos B －12sin B ＝12sin B ＋32cos B ＝sin(B ＋60°)＝1，∴B ＝30°，C ＝30°.∴△ABC 是等腰的钝角三角形．二、填空题：13．414．3515．045由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c)·r＝12bcsin A 得r ＝3155.∴S 内切圆＝πr 2＝27π5.三、解答题：17．解：（1）由已知得B a c C A b cos )2(cos 2cos -=-）（, 由正弦定理，可设,0sin sin sin ≠===k Cc B b A a 则B A k C k B k C A cos )sin sin 2(sin )cos 2(cos -=-,即B A C B C A cos )sin sin 2(sin )cos 2(cos -=- , ……3分 化简可得)sin(2)sin(C B B A +=+，又π=++C B A ，所以A C sin 2sin =，因此2sin sin =AC . ……5分 （2）,12222cos cos 2222222===-++-+⋅=+a aa acbc a c ab c b a b B c C b ……7分 由（1）知2,2sin sin ===c AC a c 则，……9分 由周长2,5==++b c b a 得. ……10分18．证明：（1）∵E ，H 分别为AB ， DA 的中点．∴EH ∥BD ，又BD ⊄平面EFGH ，EH ⊂平面EFGH,BD ∴∥平面EFGH ；……4分(2)取BD 中点O ，连结OA ，OC ．∵ AB=AD ，BC=DC ．∴AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，又AO∩CO=O．∴BD ⊥平面AOC ．∴BD ⊥AC ．……7分∵E ，F ，G ，H 为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．11∴EH ∥FG ，且EH=FG ．∴四边形EFGH 是平行四边形．……10分由（2）可知AC ⊥BD ，又EF ∥AC ，EH ∥BD ．∴EF ⊥EH ．∴四边形EFGH 为矩形．……12分19．解：当直线l 在y x ,轴上截距都等于0时，设直线l 的方程为.y kx ==解得2k =-±所以直线l的方程为(2.y x =-………………6分当直线l 在y x ,轴上截距不等于0时，设直线l 的方程为 1.x y a a+==解得1,a =或 5.a =所以直线l 的方程为5010.x y x y +-=+-=或……………11分综上所述，直线l的方程为(2,y x =-或5010.x y x y +-=+-=或…12分20．解：（Ⅰ）记{}n a 的公比为，由1232a a a +=可得22q q +=，解得1q =-或又由132(1)2a a a +-=，可得211112a a q a q +-=，即121(1)a q =- 那么（1）当1q =-时，可解得114a =，此时有11(1)4n n a -=⨯- （2）当2q =时，可解得11a =，此时有12n n a -=综上，数列{}n a 的通项公式为11(1)4n n a -=⨯-或12n n a -= …………………6分 （Ⅱ）由已知，12n n a -=，则1212n n b n -=-+从而2112[13(21)](1222)n n n S b b b n -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+2(121)1221212nn n n n +--=+=+-- 由2(2)10n n S n -+=-<，故22nn S n <+．…………………12分21．解：（Ⅰ）因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，②①-②得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③令,A B αβαβ+=-=有,22A B A B αβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A B A B +--=-． …………………6分 （Ⅱ）解法一：由二倍角公式,2cos 2cos 22sin A B C -=可化为22212sin 12sin 2sin A B C --+=,即222sin sin sin A C B +=.设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a c b +=.根据勾股定理的逆定理知，ABC ∆为直角三角形．…………………………12分解法二：利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，2cos 2cos 22sin A B C -=可化为 ()()22sin sin 2sin A B A B C -+-=，因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+.又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠,所以()()sin sin 0A B A B ++-=. 从而2sin cos 0A B =.又因为sin 0A ≠,所以cos 0B =，即2B π∠=.所以ABC ∆为直角三角形． ……………………………………………12分22．（结合人教版必修2教材37页复习参考题B 组4题及练习手册课时作业1之13题改编）略解：（Ⅰ）结合平面图形数据及三棱柱直观图，易求得：三棱柱的高632x h cm ⎫=-⎪⎝⎭，其底面积224S x cm =则三棱柱容器的容积23223664324282x x x x V Sh x x ⎫⎛⎫==⋅-=-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即所求函数关系式为323(012)82x V x x =-+<<．（注：未写定义域扣1分）……6分（Ⅱ）（1）此时6x cm =，而相应棱柱的高h =，故236S =⨯=侧（注：侧面积求法不唯一） ………9分（2）结合底面边长和棱柱的高的数据可得：；②底面正三角形的内切圆半径为163⨯=，由此易知球体体积最大时，其直径应与高相等，则球体半径R =，故球体最大体积333443322V R cm ππ⎛'=== ⎝⎭…………………12分。
2018-2019学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(文科)(附答案详解)
2018-2019学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不在曲线x 2−xy +2y +1=0上的点的坐标是( )A. (1,−2)B. (2,−3)C. (3,10)D. (0,−12) 2. 抛物线y 2=12x 的焦点为( )A. (6,0)B. (0,6)C. (3,0)D. (0,3) 3. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. y =±34xB. y =±43xC. y =±169xD. y =±916x 4. 直线2x +y =2在y 轴上的截距为( )A. 2B. 1C. −2D. −15. 直线3x −4y +12=0与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 12B. 6C. 3D. 26. 若x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则2x +y 的最小值为( )A. −3B. 0C. 32D. 3 7. 设P 为双曲线y 2−x 23=1上任一点，F(0,−2)，则以FP 为直径的圆与以双曲线实轴长为直径的圆( ) A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含 8. 已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点，F 1，F 2为椭圆焦点，且|PF 1|=3|PF 2|，则椭圆离心率的范围是( )A. (0,13]B. [13,1)C. (0,12]D. [12,1) 9. 点M(x,y)满足关系式√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=6，则点M 的轨迹是( )A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段10. 圆C ：x 2+y 2−x +2y =0关于直线l ：x +y +1=0对称的圆的方程为( )A. x 2+y 2+4x −3y +4=0B. x 2+y 2−2x +y =0C. x 2+y 2+3y +1=0D. x 2+y 2+2x −y =011.设点A(−5,0)，B(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当k=−1时，点M的轨迹方程为；x2+y2=25；②当k=49时，点M的轨迹方程为x225−9y2100=1(x≠±5)；③当k=0时，点M的轨迹方程为y=0．其中正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 312.已知圆O：x2+y2=1，直线l：y=ax+2，在直线l上存在点M作圆O的两条切线，切点为A，B，且四边形OAMB为正方形，则实数a的范围是()A. −1≤a≤1B. a≤−1或a≥1C. −12<a≤12D. a≤−12或a≥12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线25x2−16y2=400的实轴长为______．14.F1，F2为椭圆x25+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则△F1PF2的面积最大值为______．15.已知x，y满足约束条件{2x+y−2≥0x−y+4≥03x−y−3≤0，则z=x2+y2的最小值为______．16.点M为椭圆x29+y25=1上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△F1MF2的重心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C的圆心在直线3x+2y=0上，并且与x轴的交点分别为A(−2,0)，B(6,0)．(1)求圆C的方程；(2)若直线l过原点且垂直直线3x+2y=0，直线l交圆C于M，N，求△MCN的面积．18.已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±√2x，焦距为2√3.过点M(2,1)作直线l交双曲线E于A，B两点，且M为AB的中点．(1)求双曲线E的方程；(2)求直线l的方程．19.从抛物线y2=16x上各点向x轴作垂线，垂线段中点的轨迹为E．(1)求曲线E的方程；(2)若直线y=x−4与曲线E相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．20.某县一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．先库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．若生产1车皮甲种肥料产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料产生的利润为5000元．那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮能产生最大的利润？21.已知圆P过A(5,−2),B(0,3),C(4,1)．(1)求圆P的方程；(2)若过点M(−3,−3)的直线l被圆P所截得的弦长为8，求直线l的方程．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，短轴长为4，直线AB过原点O交椭圆于A，B，P(1,0)，直线AP，BP分别交椭圆于C，D，且直线AD，BC交于点M，图中所有直线的斜率都存在．(1)求椭圆方程；(2)求证：k AD⋅k BD=−49；(3)求证：点M在定直线上．答案和解析1.【答案】B【解析】解：曲线x 2−xy +2y +1=0，(1,−2)代入方程，可得1+2−4+1=0，所以(1,−2)在曲线x 2−xy +2y +1=0上，(2,−3)代入方程，可得4+6−6+1≠0，所以(2,−3)不在曲线x 2−xy +2y +1=0上， (3,10)代入方程，可得9−30+20+1=0，所以(3,10)在曲线x 2−xy +2y +1=0上， (0,−12)代入方程，可得−1+1=0，所以(0,−12)在曲线x 2−xy +2y +1=0上， 故选：B ．利用点的坐标代入方程，验证即可．本题考查切线与方程的应用，是基本知识的考查．2.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=12x 的焦点在x 轴上，且p =6，∴p 2=3，∴抛物线y 2=12x 的焦点坐标为(3,0)．故选：C确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是x 29−y 216= 0，即y =±43x ， 故选：B ．把双曲线的标准方程中的1换成0，即得其渐近线的方程．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0，即得渐近线方程．【解析】解：由直线2x+y=2，令x=0，可得y=2，∴直线2x+y=2在y轴上的截距为2．故选：A．利用截距的定义即可得出．本题考查了截距的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：直线3x−4y+12=0与坐标轴的交点分别为(−4,0)，(0,3)．×4×3=6，∴直线3x−4y+12=0与坐标轴围成的三角形的面积=12故选：B．求出直线3x−4y+12=0与坐标轴的交点，即可得出直线3x−4y+12=0与坐标轴围成的三角形的面积．本题考查了直线与坐标轴的交点、三角形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,−1)，令z=2x+y，化为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3．故选：D．由约束条件作出可行域，令z=2x+y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入即可得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．【解析】解：P为双曲线y2−x23=1上任一点，F(0,−2)，则以FP为直径的圆，以双曲线实轴长为直径的圆如图：由双曲线的定义可知：||PF2|−|PF||=2a，Q与O分别为两个圆的圆心，也是所在线段的中点，所以|QO|=12|PF|+a，所以两个圆的位置关系是外切．故选：A．画出图形，利用双曲线的定义，转化求解判断即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力数形结合的应用．8.【答案】D【解析】解：P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且|PF1|=3|PF2|，可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=32a≤a+c，∴e≥12．∴椭圆离心率的范围是[12,1)故选：D．利用已知条件以及椭圆的性质，列出不等式求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.【答案】D【解析】解：点M(x,y)，等式√x2+(y+3)2+√x2+(y−3)2=6的几何意义为动点M到两定点A(0,−3)，B(0,3)的距离和为6，直接由√x 2+(y +3)2+√x 2+(y −3)2=6的几何意义，即动点M 到两定点A(0,−3)，B(0,3)的距离和为6得点M 的轨迹．本题考查轨迹方程，考查两点间距离公式的应用，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆关于直线对称的圆的方程，求出圆心的对称点即可得【解答】解：圆C 方程标准化为(x −12)2+(y +1)2=54，得圆心C(12,−1)，根据特殊对称，得C 关于l 的对称点C′(0,−32)从而得圆C′的方程为x 2+(y +32)2=54整理得x 2+y 2+3y +1=0．故选C ． 11.【答案】B【解析】解：设M(x,y)，k =y x+5⋅y x−5，①当k =−1时，即有x 2+y 2=25点M 的轨迹方程为；x 2+y 2=25(x ≠±5)，故①错误；②当k =49时，即有x 225−9y 2100=1， 点M 的轨迹方程为x 225−9y 2100=1(x ≠±5)，故②正确；③当k =0时，即有y =0，点M 的轨迹方程为y =0(x ≠±5)，故③错误．故选：B ．本题考查轨迹方程的求法，注意运用直线的斜率公式，考查化简运算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=1，圆心为O(0,0)，半径r=1，若过点M作圆O的两条切线，切点为A，B，且四边形OAMB为正方形，则|OM|=√2，则M的轨迹为以O为圆心，√2为半径为圆，其方程为x2+y2=2，若在直线上存在点M，则直线l与圆x2+y2=2有交点，则有d=√1+a2≤√2，解可得：a≤−1或a≥1．故选：B．首先将原问题转化为直线与圆的位置关系的问题，然后由题意得到关于a的不等式，求解不等式即可确定实数a的取值范围．本题主要考查直线与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，属于基础题．13.【答案】8【解析】解：双曲线25x2−16y2=400的标准方程为：x216−y225=1，可得a=4，所以双曲线的实轴长为8．故答案为：8．利用双曲线的方程，直接求解实轴长即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2【解析】解：F1，F2为椭圆x25+y24=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则△F1PF2的面积取得最大值时，P在短轴的端点，所以三角形的面积的最大值为：12×2c⋅b=12×2×2=2．本题考查了椭圆的定义及余弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】2√55【解析】解：画出满足条件{2x +y −2≥0x −y +4≥03x −y −3≤0的平面区域，如图所示： ， 而z =x 2+y 2的几何意义表示平面区域内的点到原点的最小值，显然(0,0)到直线2x +y −2=0的距离是最小值，由d =√4+1=2√55，得最小值是2√55， 故答案为：2√55． 画出满足条件的平面区域，结合z =x 2+y 2的几何意义以及点到直线的距离求出z 的最小值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．16.【答案】x29+9y 25=1【解析】解：由椭圆的方程可得a 2=9，b 2=5，所以可得c 2=a 2−b 2=4，解得c =2，所以可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，设△F 1MF 2的重心G(x,y)，M(x 0,y 0)，则{x =−2+2+x03y =0+0+y 03，可得{x 0=3x y 0=3y ，而M 在椭圆上，所以(3x)29+(3y)25=1，即△F 1MF 2的重心的轨迹方程为：x 29+9y 25=1； 故答案为：x 29+9y 25=1．由椭圆的方程可得左右焦点F 1，F 2的坐标，设三角形的重心G 及M 的坐标，由重心的定义可得M ，G 的坐标的关系，将M 的坐标代入椭圆的方程可得重心G 的轨迹方程． 本题考查椭圆的性质及相关点法求点的轨迹方程，属于中档题．17.【答案】解：(1)设圆C 的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2，AB 中垂线方程：x =2，则{3a +2b =0a =2， ∴{a =2b =−3，r =|AC|=√(2+2)2+(−3−0)2=5， ∴圆C 的方程为(x −2)2+(y +3)2=25；(2)l ：2x −3y =0由{2x −3y =0(x −2)2+(y +3)2=25得13x 2−108=0， ∴x 1+x 2=0，x 1x 2=−10813， |MN|=√1+49√4×10813=4√3，圆心C 到直线l 的距离d =4+9=√13， S △MCN =12|MN|d =12×4√3×√13=2√39．【解析】(1)先求圆心坐标，即两直线3x +2y =0，AB 中垂线x =2的交点坐标，再求半径r =|AC|，得圆的标准程；(2)求弦长|MN|，圆心C 到直线l 的距离d ，利用三角形面积公式可得结果．本题主要考查圆的方程求法，弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，熟练掌握方程和公式是关键．18.【答案】解：(1)∵双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±√2x ，焦距为2√3． ∴{b a =√22c =2√3c 2=a 2+b 2，解得a =1，b =√2，∴双曲线E 的方程为x 2+y 22=1．(2)∵过点M(2,1)作直线l 交双曲线E 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4y 1+y 2=2， 把A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入双曲线方程，得：{x 12−y 122=1x 22−y 222=1， 二式相减，得：2(x 12−x 22)−(y 12−y 22)=0，即4(x 1−x 2)=2(y 1−y 2)=0，∴直线l 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=2， ∴直线l 的方程为y −1=2(x −2)，即2x −y −3=0．【解析】(1)由双曲线的渐近线方程为y =±√2x ，焦距为2√3，列方程组，求出a =1，b =√2，由此能求出双曲线E 的方程．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=4y 1+y 2=2，把A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)代入双曲线方程，利用点差法能求出直线l 的方程．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查双曲线、直线方程、点差法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设点E 的坐标(x,y)，则过E 作与x 轴的垂线与抛物线的交点的坐标为(x,2y)，将点(x,2y)代入抛物线的方程可得：4y 2=16x所以点E 的轨迹方程为：y 2=4x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =x −4y 2=4x消x 可得：y 2−4y −16=0， 可得y 1y 2=−16，所以可得x 1x 2=(y 1y 2)24×4=16，所以可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=16−16=0， 所以：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即证得OA ⊥OB ．【解析】(1)设E 的坐标，由题意可得抛物线的点的坐标，代入抛物线的方程可得E 的轨迹方程；(2)设A ，B 的坐标直线与抛物线联立求出两根之积，求出数量积OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为0，可得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，进而可得证得的结论． 本题考查相关点法求点的轨迹方程及直线与抛物线的综合，用数量积为0证明直线的相互垂直，属于中档题．20.【答案】解：设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：{ 4x +y ≤1018x +15y ≤66x ≥0y ≥0x,y ∈Z；(6分) 再设分别生产甲、乙两种肥料各x 、y 车皮产生的利润为z =10000x +5000y =5000(2x +y)，由{4x +y =1018x +15y =66得两直线的交点M(2,2).(10分) 令t =2x +y ，当直线L ：y =−2x +t 经过点M(2,2)时，它在y 轴上的截距有最大值为6，此时z =30000．故分别生产甲、乙两种肥料各2车皮时产生的利润最大为30000元．(13分)．【解析】先设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，根据题意列出约束条件，再利用线性规划的方法求解最优解即可．利用线性规划知识解决的应用题．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．21.【答案】解：(1)设圆P 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，由题意得{25+4+5D −2E +F =09+3E +F =016+1+4D +E +F =0，解得{D =0E =4F =−21，∴圆P 的方程为：x 2+y 2+4y −21=0；(2)圆P 的标准方程为：x 2+(y +2)2=25，圆心P(0,−2)，半径r =5，设直线l ：y +3=k(x +3)，即kx −y +3k −3=0，圆心P 到直线l 的距离d =|3k−1|√1+k 2，∵d =√52−42=3，∴k =−43，l ：y +3=−43(x +3)，即4x +3y +21=0；当直线l 斜率不存在时，即x =−3，圆心P 到直线l 的距离为3，弦长为2√52−32=8，满足题意．综上可知，直线l 的方程为：4x +3y +21=0或x =−3．【解析】本题考查圆的方程求法，方法是待定系数法；考查了半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的应用．本题需注意斜率不存在的情况．(1)设圆的一般方程，把三点坐标代入得方程组，解之可得；(2)斜率存在时，利用半径、弦心距、半弦长构成直角三角形可得，斜率不存在也满足题意．22.【答案】(1)解：因为椭圆的短轴长为4，则2b =4，所以b =2，又椭圆的离心率为√53，则e =c a =√1−4a 2=√53，解得a 2=9，所以椭圆的方程为x 29+y 24=1；(2)证明：设A(x 0,y 0)，D(x 1,y 1)，则B(−x 0,−y 0)，所以{x 029+y 024=1①x 129+y 124=1②， 由①−②可得，(x 0−x 1)(x 0+x 1)9+(y 0−y)(y 0+y 1)4=0， 即(x 0−x 1)(x 0+x 1)9=−(y 0−y 1)(y 0+y 1)4， 所以−49=(y 0−y 1)(y 0+y 1)(x 0−x 1)(x 0+x 1)， 故k AD ⋅k BD =−49；(3)证明：由(2)可知，k AD ⋅k BD =−49，设A(3cosθ,2sinθ)，则B(−3cosθ,−2sinθ)，又k BD =k BP =2sinθ1+3cosθ，所以k AD =−2(1+3cosθ)9sinθ，则直线AD 的方程为y −2sinθ=−2(1+3cosθ)9sinθ(x −3cosθ)③，同理可得k BC⋅k AC=−4，9，又k AC=k AP=2sinθ3cosθ−1，故k BC=−2(3cosθ−1)9sinθ(x+3cosθ)④，所以直线BC的方程为y+2sinθ=−2(3cosθ−1)9sinθ[(1+3cosθ)(x−3cosθ)−(3cosθ−1)(x+3cosθ)]，由③−④可得，−4sinθ=−29sinθ化简可得x=9，又直线AD，BC交于点M，故段M在定直线x=9上．【解析】(1)利用短轴长求出b，由离心率求出a，即可得到椭圆的方程；(2)设A(x0,y0)，D(x1,y1)，则B(−x0,−y0)，利用“点差法”两点间斜率公式化简即可得到证明结论；(3)设A(3cosθ,2sinθ)，则B(−3cosθ,−2sinθ)，分别求出直线AD和直线BC的方程，联立方程组，求解得到x=9，即可证明结论．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
2019四川省高二上学期数学(文)期中考试试卷
高二上学期期中考试数学（文）试题A．［－1,) B．(－，－1］C．[1，)D．(－，1］数学8．圆A．B．与直线l相切于点，则直线l的方程为C．D．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘9．为顶点的正四面体A．B．C．的底面积为，为D．的中点，则与所成角的余弦值为号位贴在答题卡上的指定位置。
10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为封密不座号场考2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．下列命题中正确的是A．经过点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示A．B．C．D．3订C．经过任意两个不同点的直线都可用方程11．已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA 平面ABC，ABC是边长装号表示D．不经过原点的直线都可以用方程表示为2的等边三角形，若球O的体积为823，则直线PC与平面PAB所成角的正切值为证考准2．设是两条不同的直线，A．若，则是两个不同的平面，下列命题中正确的是B．若,则A．31111B．21111C．31010D．1010只C．若3．已知直线A．B．,则C．或D．若D．，则平行，则实数的值为在曲线12．点最大值为，若，，则的最小值为A．1B．2C．3D．4上运动，，且的卷4．已知实数x，y满足x+y=1，则x+y的取值范围是此名姓A．（-2，2）5．已知直线值是B．（-，2]C．过定点，点D．（-2，+）在直线上，则的最小二、填空题13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于14．已知直线：和：面对称的点的坐标为__________垂直，则实数的值为_________．A．B．C．D．15．若P 2,1为圆x 1y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是级班6．若直线过点，斜率为1，圆A．B．C．D．上恰有3个点到的距离为1，则的值为__________________.16．若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段222为，且，则的取值范围为________.7．已知直线l：y＝x＋m与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围是（1）求证：平面 ；三、解答题（2）求直线与平面所成角的正弦值.17．设直线 的方程为．（1）若 在两坐标轴上的截距相等，求 的方程；（2）若 不经过第二象限，求实数 的取值范围．18．已知直线 ：(1)求证：无论 为何实数，直线 恒过一定点 ；.(2)若直线 过点 ，且与 轴负半轴、 轴负半轴围成三角形面积最小，求直线 的方程.19．已知两圆 x +y ﹣2x+10y ﹣24=0 和 x +y +2x+2y ﹣8=0（1）判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程及公共弦的长20．已知圆 M 过 C(1,-1),D(-1,1)两点，且圆心 M 在 x+y-2=0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设点 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点，PA,PB 是圆 M 的两条切线，A,B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．21．如图所示，在四棱锥中，平面 ， ， ，.（1）求证：；（2）当几何体的体积等于 时，求四棱锥的侧面积.22．如图所示，四棱锥中，底面 ， ，，， ，， ， 为的中点.2 22 2数学答案故C错；对于D，因为，，所以，而，所以．参考答案1．C【解析】【分析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.【详解】综上，选D．【点睛】本题考查立体几何中的点、线、面的位置关系，具有一定的综合性．解决这类问题，可选择一些常见的几何模型，在模型中寻找符合条件的位置关系或反例．3．A【解析】【分析】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；故选C.【点睛】【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的直线方程都有其局限性，斜当m≠﹣3，﹣5 时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.∵两条直线平行，∴，综上可得：m=﹣7．≠，解得m=﹣7．2．D【解析】【分析】以正方体为模型逐个验证四个选项后可得正确的选项．【详解】故选：A．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．4．C【解析】【分析】设【详解】,则，再求函数的取值范围.设,则，所以x+y的取值范围是.如图，平面平面，平面，平面，但，故A故答案为：C【点睛】错；本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和平面，平面，平面，，但平面，平面，但平面平面，故B错；平面，分析推理能力.5．B 【详解】【解析】根据题意，可得曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，【分析】令直线 的参数 的系数等于零，求得定点 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，其中 表示在 轴上的截距，作出图象，如图所示，求得的最小值.从图中可知之间的平行线与圆有两个交点，在 轴上的截距分别为 ，【详解】直线，即，过定点，所以实数 的取值范围是，故选 B.点在直线上， ，，故当【点睛】时，取得最小值为 ，故选 B.本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题. 6．D【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中作出曲线的图象和明确直线【解析】表示平行于的直线，其中 表示在 轴上的截距，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数【分析】设直线的 的方程 ，由题意得，由此求得结果，得到答案.【详解】由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为 ，设直线的 的方程 ，形结合思想的应用，属于中档试题.8．B【解析】【分析】根据圆 x +y +4x+2=0 与直线 l 相切于点 A （-3，-1），得到直线 l 过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．由题意知，圆上恰由 3 个点到直线 的距离等于 1，【详解】可得圆心到直线的距离等于 1，即，解得.∵圆 x +y +4x+2=0 与直线 l 相切于点 A （-3，-1），【点睛】∴直线 l 过（-3，-1）且与过这一点的半径垂直，圆心为 -本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解答是要注意直线与圆的位置关系的合理应用，同时注意数形结合法在直线与圆问题的中应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础 题.7．B【解析】【分析】∵过（-3，-1）的半径的斜率是 -∴直线 l 的斜率是﹣1，∴直线 l 的方程是 y+1=﹣（x+3）即 x+y+4=0故选：B ．【点睛】，由曲线表示一个半圆，直线表示平行于的直线，作出图象，利用数本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是根据圆的切线具有的性质，做出圆的切线的 形结合思想，即可求解.斜率，本题是一个基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较2 2 2 2- -少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。
2019-2020 学年上期半期考试高二数学试卷
成都七中实验学校2019-2020学年上期半期考试高二年级 数学试题命题人：夏祖凤 审题人：张发友满分:150分 时间:120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：(每小题5分，共60分。
)1、命题“200x x ∀>>，”的否定是（ ）A ．20000x x ∃≤>，B ．20000x x ∃><，C ．20000x x ∃≤≤，D ．20000x x ∃>≤，2、抛物线24x y =的准线方程是（ ）A ．1y =B ．1y =-C ．116x =D ．116x =- 3、“2a <“是“方程22220x y x y a +-++=表示圆“的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条D ．既不充分也必要条件4、双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是（ ）A ．4B ．C ．2D 5、两圆x 2+（y ﹣2）2＝1和（x +2）2+（y +1）2＝16的位置关系是（ ）A ．相离B ．内切C ．相交D ．外切6、下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤”B ．若命题p 是真命题，q 是假命题, 则p q ⌝∨ 为真命题C ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为假命题D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆命题为假命题7、若方程221210x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2＜k ＜10 B ．k ＞10 C ．k ＜2或k ＞10 D ．以上答案均不对8、已知抛物线24y x =上的一点P 到抛物线的准线的距离为1d ，到直线3490x y -+=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．125B ．2C ．65 D9、直线l 过双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的右焦点，斜率2=k ，若l 与双曲线的两个交点分别在左、右两支上，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．(1C ．)+∞D ．(1 10、已知双曲线E 的中心为原点，()30F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A B 、两点，且AB 的中点为()1215N --， ，则E 的方程式为（ ）A ． 22145x y -=B ．22136x y -=C ．22163x y -=D ．22154x y -= 11、已知12,F F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为,A B ，若1ABF ∆为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）1 B.1- C. 12- D. 12- 12、等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥且()21201AB AD DC x x ===<<，，，以A B 、为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C D 、为焦点，且过点A 的椭圆离心率为2e ，则12e e +的取值范围为（ ）A.( B ．)+∞ C. ⎛ ⎝⎭ D.⎫⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分。
成都七中高三上期文科数学上学期半期考试试卷
成都七中2019—2020学年度上期高2020届高三半期考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 满分：150分一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|log (1)}A x y x ==-，2{|}B y y x ==，则A B =（ ）A. (0,2]B. (1,2)C. (1,)+∞D. (1,2]2．已知i 为虚数单位，若复数31iz i-=+,则||z =（ ） A ．1B ．2CD3.若b a >,则下列不等式恒成立的是（ ）A.ba 22< B.0)ln(>-b a C.3131b a > D.||||b a > 4．已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量CD 在AB 方向上的投影为（ ） A．2B．C．2-D．-5．成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：55～8：35，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：55～9：35之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．126．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是等差数列”是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 已知()()sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ<，()f x 是奇函数，直线1y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ）A. ()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B. ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 仅供四川省甘孜州康定中学使用四川省甘孜州康定中学使用仅供15.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等.则平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为____________.16.已知函数()323f x x x bx c -=++有极值,且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点，给出命题:①1;c>- ②若0c >,则存在00x <,使得()00f x =;③若()f x 有两个极值点12,x x ，则()()12+0;f x f x >④若1<0c -<，且y kx =是曲线()()0C y f x x =<：的一条切线，则k 的取值范围是27,2;4⎛⎫-- ⎪⎝⎭则以上命题正确序号是____________.三. 解答题（本大题共7小题，17-21题各12分，22或23题10分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数2())4sin 26y f x x x π==-+-.（1）用“五点作图法”作出()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC ∆中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且BC 求ABC ∆周长的最大值.18.如图①，是由矩形ABCD ,Rt EAB ∆和Rt FAD ∆组成的一个平面图形，其中3,4AB AE AF AD ====.将其沿,AB AD 折起使得,AE AF 重合，连结EC 如图②. （1）证明：平面ECD ⊥平面EAD ；（2）求直线BD 与直线EC 所成角的余弦值.图① 图②仅供四川省甘孜州康定中学使用19．2019年电商“双十一”大战即将开始.某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对成都地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？（2）若从年龄在[55，65）的样本中随机选取2人进行座谈，求选中的2人中恰好有1 人“使用网上购物”的概率． 参考数据：参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++仅供四川省甘孜州康定20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1M -，，直线l 经过抛物线的焦点F 与抛物线交于,A B 两点.（1）若直线l 的方程为2y x =-，求AB 的值；（2）若直线,OA OB 的斜率为12,k k ，且122k k +=,求直线l 的方程.21.已知函数()sin x x f x e = ，()16g x ax =+，[],2x ππ∈-，其中a 为正实数, e 为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意给定的[]0,2x ππ∈-，在区间[],2ππ-上总存在两个不同的12,x x ,使得()()()120f x f x g x ==成立？若存在，求出正实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.请考生用2B 铅笔将答题卡上所做题目的题号涂黑. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的方程为221416x y += ，直线恒过定点M ()12，，倾斜角为α.（1）求曲线和直线的参数方程； （2）当=3πα时，若直线交椭圆于,A B 两点，求AM BM ⋅的值． 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x x m =+++，m R ∈. （1）若不等式()+2f x x m +≥对x R ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围； （2）当1m >时，求不等式()2f x m -<的解集.xOy C l C ll 仅供四川省甘孜州康定中学使用。
2018-2019学年四川省成都七中高二(上)入学数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年四川省成都七中高二（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）1．（5分）sin390°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）直线在y轴上的截距是（）A．2B．3C．﹣2D．﹣33．（5分）点P（2，5）关于直线x+y＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣5，﹣2）B．（﹣4，﹣1）C．（﹣6，﹣3）D．（﹣4，﹣2）4．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝2，且（n+1）a n＝na n+1，则a5＝（）A．8B．9C．10D．115．（5分）下列说法中正确的是（）A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台6．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）两个公比均不为1的等比数列{a n}，{b n}，其分前n项的乘积分别为A n，B n，若，则＝（）A．512B．32C．8D．28．（5分）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹＝4丈，1丈＝10尺）那么此问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺9．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象（）可得的图象A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10．（5分）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A 在点B的（）A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°11．（5分）已知等差数列{a n}中，若a3，a11是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，单调递减数列{b n}（n∈N*）通项公式为b n＝λn2+a7•n．则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）B．C．D．（﹣3，+∞）12．（5分）△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．且sin B+sin C＝1，则△ABC是（）A．等腰钝角三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）13．（5分）已知x2+y2＝8，则x+y的最大值为．14．（5分）已知tanα＝2，则＝．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为．16．（5分）已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为．三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量与平行．（1）求的值；（2）若b cos C+c cos B＝1，△ABC周长为5，求b的长．18．（12分）如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，且AB＝AD，BC＝DC．（1）求证：BD∥平面EFGH；（2）求证：四边形EFGH是矩形．19．（12分）已知直线l在x，y轴上截距相等，且到点（1，2）的距离等于，求直线l 的方程．20．（12分）已知在等比数列{a n}中，a1＝1，且a1，a2，a3﹣1成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，数列{b n}的前n项和为S n，试比较S n与n2+2n的大小．21．（12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）＝2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β＝A，α﹣β＝B有代入③得．（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：；（Ⅱ）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A﹣cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）22．（12分）一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（Ⅰ）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域；（Ⅱ）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（1）请指出此时x的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S；（2）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积V'．2018-2019学年四川省成都七中高二（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．）1．【解答】解：利用诱导公式可得：sin390°＝sin（360°+30°）＝sin30°＝故选：D．2．【解答】解：直线方程的截距式为：∴直线在y轴上的截距是3．故选：B．3．【解答】解：设点P（2，5）关于直线x+y＝1的对称点Q的坐标为（m，n），则由题意可得，且+＝1，求得，故选：B．4．【解答】解：（n+1）a n＝na n+1，则a n+1＝a n，∵a1＝2，∴a2＝a1＝4，a3＝a2＝6，a4＝a6＝8，a5＝a4＝10，故选：C．5．【解答】解：由斜三棱柱的各个侧面为平行四边形，侧面展开图只能为平行四边形构成，且上下边不平行，故A错误；由直观图的画法，以及平行性不变，可得B错误；一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，该直四棱柱不一定是长方体，还要看俯视图是不是矩形，故C错误；由定义可得，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，故D正确．故选：D．6．【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V＝．故选：C．7．【解答】解：因为A9＝a1a2a3…a9＝a59，B9＝b1b2b3…b9＝b59，所以则＝（）9＝512，故选：A．8．【解答】解：设每天多织布d尺，由题意每天织布的量是等差数列，且a1＝5，得：30×5+＝390，解得d＝，故选：D．9．【解答】解：由图象得A＝1，＝﹣＝，即T＝π，由T＝＝π，则ω＝2，即f（x）＝sin（2x+φ），∵f（）＝sin（2×+φ）＝﹣1，∴sin（+φ）＝﹣1，即+φ＝+2kπ，得φ＝﹣+2kπ＝+2kπ，∵，∴当k＝0时，φ＝，则f（x）＝sin（2x+），＝sin（2x﹣++]＝sin[2（x﹣）+]，即将函数f（x）的图象向右平移个长度单位可得的图象，故选：D．10．【解答】解：如图，∵AC＝BC，由图可知，∠CAB＝∠CBA＝45°，利用内错角相等可知，A位于B北偏西15°．故选：B．11．【解答】解：∵a3，a11是x2﹣x﹣2＝0的两根，∴a3+a11＝1．∵{a n}是等差数列，∴，∴．又∵{b n}是递减数列，∴b n+1﹣b n＜0对n∈N*恒成立，则＜0，∴对n∈N*恒成立．∵，∴．故选：B．12．【解答】解：由已知，根据正弦定理得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，即a2＝b2+c2+bc．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，故cos A＝﹣，∵0＜A＜π，∴A＝120°．方法一由（1）得sin2A＝sin2B+sin2C+sin B sin C，又A＝120°，∴sin2B+sin2C+sin B sin C＝，∵sin B+sin C＝1，∴sin C＝1﹣sin B．∴sin2B+（1﹣sin B）2+sin B（1﹣sin B）＝，即sin2B﹣sin B+＝0．解得sin B＝．故sin C＝．∴B＝C＝30°．所以，△ABC是等腰的钝角三角形．方法二∵A＝120°，∴B+C＝60°，则C＝60°﹣B，∴sin B+sin C＝sin B+sin（60°﹣B）＝sin B+cos B﹣sin B＝sin B+cos B＝sin（B+60°）＝1，∴B＝30°，C＝30°．∴△ABC是等腰的钝角三角形．故选：A．二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．）13．【解答】解：由基本不等式可得，＝4∴x+y≤4，当且仅当x＝y时取最大值4故答案为：414．【解答】解：∵已知tanα＝2，则＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：连接AC，则∠C1AC为直线AC1与平面ABCD所成角∵AB＝3，AD＝4，∴AC＝5，∵AA1＝5，∴∠C1AC＝45°故答案为：45°16．【解答】解：根据题意，如图等腰△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，设该三角形底边上的高为AD，其内切圆半径为r，BD＝BC＝3，AD＝＝3，则S△ABC＝×BC×AD＝9，而S△ABC＝×r×（AB+AC+BC）＝9，则r＝，则其内切圆面积S＝πr2＝；故答案为：．三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．）17．【解答】解：（1）由已知向量与平行∴b（cos A﹣2cos C）＝（2c﹣a）cos B，由正弦定理，可设，则（cos A﹣2cos C）k sin B＝（2k sin C﹣k sin A）cos B，即（cos A﹣2cos C）sin B＝（2sin C﹣sin A）cos B，…（3分）化简可得sin（A+B）＝2sin（B+C），又A+B+C＝π，所以sin C＝2sin A，因此．…（6分）（2），…（8分）由（1）知，∴c＝2，…（10分）由a+b+c＝5，得b＝2．…（12分）18．【解答】证明：（1）∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH∥BD，又BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH．…（4分）（2）取BD中点O，连续OA，OC，∵AB＝AD，BC＝DC．∴AO⊥BD，CO⊥BD．又AO∩CO＝0．∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC．…（7分）∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点．∴EH∥BD，且EH＝BD；FG∥BD，且FG＝BD，EF∥AC．∴EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．…（10分）由AC⊥BD、EF∥AC、EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形．…（12分）19．【解答】解：当直线l在x，y轴上截距都等于0时，设直线l的方程为y＝kx．由已知得．解得所以直线l的方程为．………………（6分）当直线l在x，y轴上截距不等于0时，设直线l的方程为．由已知得．解得a＝1，或a＝5．所以直线l的方程为x+y﹣5＝0或x+y﹣1＝0．……………（11分）综上所述，直线l的方程为，或x+y﹣5＝0或x+y﹣1＝0．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1，a2，a3﹣1成等差数列，∴2a2＝a1+（a3﹣1）＝a3，∴，∴．（Ⅱ）∵b n＝2n﹣1+a n∴＝[1+3+5+…（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）＝．∵，∴．21．【解答】满分（12分）．解法一：（Ⅰ）因为cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，①cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ，②…（2分）①﹣②得cos（α+β）﹣cos（α﹣β）＝﹣2sinαsinβ．③…（3分）令α+β＝A，α﹣β＝B有，代入③得．…（6分）（Ⅱ）由二倍角公式，cos2A﹣cos2B＝2sin2C可化为1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin2C，…（8分）即sin2A+sin2C＝sin2B．…（9分）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2+c2＝b2．…（11分）根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式，cos2A﹣cos2B＝2sin2C可化为﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）＝2sin2C，…（8分）因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C＝π，所以﹣sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2（A+B）．又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，所以sin（A+B）+sin（A﹣B）＝0．从而2sin A cos B＝0．…（10分）又因为sin A≠0，所以cos B＝0，即．所以△ABC为直角三角形．…（12分）22．【解答】解：（Ⅰ）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得：三棱柱的高，其底面积，则三棱柱容器的容积，即所求函数关系式为（0＜x＜12）；（Ⅱ）（1）此时x＝6cm，而相应棱柱的高，故；（2）结合底面边长和棱柱的高的数据可得：该正三棱柱的高为；底面正三角形的内切圆半径为．要使球体体积最大时，其直径应与高相等，则球体半径，故球体最大体积．。
四川省成都市第七中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学文试题含答案
成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文）试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线y 2＝-8x 的准线方程是（ ）A ．y ＝2B ．x ＝4C ．x ＝-2D ．x ＝22．椭圆2212516x y +=的短轴长为（ ）A ．B ．10C ．8D ．63．双曲线22:149y x C -=的渐近线方程为（ ）A ．94y x =±B ．49y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±4．以下直线中，将圆x 2＋y 2-4x -2y ＋1＝0平分的是（ ）A ．x -y -1＝0B ．x -y ＋1＝0C ．2x -y ＝0D ．2x -y ＋3＝05．双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上且|PF 1|＝20，则|PF 2|等于（ ）A ．12或28B ．14或26C ．16或24D ．17或236．已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2为等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A ．12B C D7．圆：x 2＋y 2＝4与圆：（x -3）2＋（y -4）2＝9的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离8．已知m ∈R ，则“m ＞3”是“方程22113x y m m -=--表示双曲线”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．F 为椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为第一象限内C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若C 的离心率为13，则直线AB 的斜率为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．4310．A ，B 是抛物线x 2＝2y 上的两点，O 为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB 的面积为则∠AOB ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 11．如果实数x ，y 满足x 2＋y 2-6x ＋4＝0，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C D 12．A 为椭圆22:184x y C +=的下顶点，B 为y 轴右侧椭圆C 上的点．若直线AB 与以M （0，13-）为圆心的圆相切于点P ，且14AP AB =，则直线AB 的斜率是（ ）A B ．12C D 二、填空题（本大题共4小题）13．命题“若a ＝-1，则a 2＝1”的逆命题是________．14．抛物线y 2＝4x 上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________．15．双曲线22:122x y C -=的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线C 于A ，B 两点，O为坐标原点，则OA OB ⋅＝________． 16．已知点A （3，0），B （0，4），点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值为________．三、解答题（本大题共6道小题，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知p ：∀x ∈R ，|x|＋1≥m ． q ：∃x ∈[0，π3]，tanx≥m ． （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若⌝p 为真命题，p ∨q 也为真命题，求实数m 的取值范围． 18．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F （2，0）． （1）求p ；（2）斜率为1的直线过点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 19．圆M 经过三点：A （-2，2），B （0，-2），C （4，0）． （1）求圆M 的方程； （2）求圆M 与圆N ：（x -3）2＋y 2＝25的公共弦的长．20．已知A （-2，0），B （2，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点N （1，1）作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，若点N 是线段PQ 的中点，求直线m 的方程．21．已知抛物线x 2＝2py （p ＞0）过点P （2，4）． （1）求该抛物线的方程；（2）过点Q （-2，6）作动直线l 与该抛物线交于A ，B 两点（都与P 不重合），设直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．22．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞00，1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点． ①求|AB|（用实数k ，m 表示）；②O 为坐标原点，若0OA OB ⋅=，且2305AB =，求k 的值．2020—2021学年度上期高2022届半期考试成都七中2020—2021学年度上期高2022届高二半期考试数学（文） 参考答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．B 二、填空题13．若a 2＝1，则a ＝-1． 14．5 15．2 16．17 三、解答题 17．解：（1）∵∀x ∈R ，m≤|x|＋1，∴m≤（|x|＋1）min ．又∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴x ＝0时，（|x|＋1）min ＝1．∴m≤1，即p 为真命题时，m 的取值范围是（-∞，1]． （2）∵⌝p 是真命题，∴p 为假命题，∴由（1）得m ＞1．又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题．由∃x ∈[0，π3]，m≤tanx ，∴max π(tan )tan 3m x ≤=．综上，1m <≤m 的取值范围是（1．18．解：（1）∵22p=，∴p ＝4．（2）直线方程为y ＝x -2，联立y 2＝8x ，得（x -2）2＝8x ，∴x 2-12x ＋4＝0．∴Δ＞0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x 1＋x 2＝12．∴焦点弦弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16． 解2：焦点弦弦长222816sin sin 45p AB θ===︒． 19．解：（1）设圆M 方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．∵圆M 过A （-2，2），B （0，-2），C （4，0），∴442204201640D E F E F D F +-++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得D ＝-2，E ＝-2，F ＝-8， ∴圆M 方程为：x 2＋y 2-2x -2y -8＝0．（2）圆N 的一般方程为：x 2＋y 2-6x -16＝0，两圆方程相减，得相交弦所在直线为：4x -2y ＋8＝0．∴N （3，0）到直线距离d ==，∴相交弦长=== 20．解：（1）设M （x ，y ），∴2AM y k x =+，2BM yk x =-，其中x≠±2，∴2212242AM BM y y y k k x x x =⋅==-+--，整理得轨迹C 的方程为：22142x y +=（x ≠±2）． （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），∴2211142x y +=，2222142x y +=，作差得22221212042x x y y --+=， ∴12121212()()()()24y y y y x x x x -+-+=-，∴121212122()2214()422PQ y y x x k x x y y -+⨯==-=-=--+⨯． ∴直线m 方程为：11(1)2y x -=--，即1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，且直线m 不经过A ，B ，∴满足条件， ∴直线m 方程为：x ＋2y -3＝0．解2：由题，直线m 斜率存在，设m 方程y -1＝k （x -1），联立y ＝kx ＋1-k 与x 2＋2y 2＝4，得x 2＋2（kx ＋1-k ）2＝4，整理得（2k 2＋1）x 2＋4k （1-k ）x ＋2（1-k ）2-4＝0．∵N （1，1）在轨迹C 内部，∴Δ＝[4k （1-k ）]2-4（2k 2＋1）[2（1-k ）2-4]＞0必成立． 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则1224(1)221k k x x k -+==+，解得12k =-． ∴直线m 方程为：1322y x =-+，即x ＋2y -3＝0．21．解：（1）∵抛物线过P （2，4），∴22＝2p ×4，∴12p =，∴抛物线方程为x 2＝y ． （2）由题，l 斜率存在，设l 方程为y -6＝k （x ＋2），联立x 2＝y ，得x 2＝kx ＋6＋2k ， ∴x 2-kx -2k -6＝0，Δ＝k 2-4（-2k -6）＝（k ＋4）2＋8＞0成立． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝-2k -6．∴2211121212121211114444(2)(2)2()42222y y x x k k x x x x x x x x x x ----⋅=⋅=⋅=++=+++---- ＝-2k -6＋2k ＋4＝-2，∴k 1·k 2为定值-2，得证． 22．解：（1）∵C 过（0，1），∴b ＝1．又c e a ==a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， ∴C 的方程为：2214x y +=（2）①联立y ＝kx ＋m 与x 2＋4y 2＝4，得x 2＋4（kx ＋m ）2＝4，∴（4k 2＋1）x 2＋8kmx ＋4m 2-4＝0．∴Δ＝（8km ）2-4（4k 2＋1）（4m 2-4）＝16（4k 2＋1-m 2）＞0，∴4k 2＋1＞m 2． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+．∴AB ==．②∵12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴x 1x 2＋（kx 1＋m ）(kx 2＋m)＝0，即（k 2＋1）x1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2＝0．∴22222448(1)04141m kmkkm m k k --+⋅+⋅+=++，∴2222222222(1)(44)8(41)54404141k m k m m k m k k k +--++--==++，∴224(1)5k m +=．∴AB ==∴2（1＋k 2）(16k 2＋1)＝3（4k 2＋1）2，∴16k 4-10k 2＋1＝0，∴（2k 2-1）(8k 2-1)＝0．∴212k =或218k =．此时222224(1)1616(41)16[41](161)055k k m k k +∆=+-=+-=+>均成立，∴k =。