数学专题 高考数学压轴题15

新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数

2复合函数

3创新性函数

4抽象函数

5导函数（极值，单调区间）--不等式

6函数在实际中的应用

7函数与数列综合

8数列的概念和性质

9 Sn与an的关系

10创新型数列

11数列与不等式

12数列与解析几何

13椭圆

14双曲线

15抛物线

16解析几何中的参数范围问题

17解析几何中的最值问题

18解析几何中的定值问题

19解析几何与向量

20探究性问题

15.抛物线

例1．已知抛物线C ：2

2y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）如图，设

211(2)

A x x ，，

222(2)

B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，

由韦达定理得

122k

x x +=

，121x x =-，

∴

1224N M x x k

x x +===

，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为

284k k y m x ⎛

⎫-=- ⎪

⎝⎭， 将2

2y x =代入上式得2

2

2048mk k x mx -+-=，

直线l 与抛物线C 相切，

22

22282()0

48mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．

即l AB ∥．

（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =

，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，

1

||||2MN AB ∴=

．

由（Ⅰ）知121212111

()(22)[()4]

222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2

2142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．

MN ⊥ x 轴，22216

||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=

．

又

222121212

||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-

x A

y

1

1

2 M N B O

2

222114(1)116

22k k k k ⎛⎫

=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭ ．

22

2161116

84k k k +∴=++ ，解得2k =±．

即存在2k =±，使0=⋅NB NA ．

例 2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线

2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点

P Q ，．

（1）若2OA OB =

，求c 的值； （2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由． 解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，

将该方程代入2y x =得20x kx c --=． 令2()A a a ，，

2

()B b b ，，则ab c =-． 因为2222OA OB ab a b c c =+=-+=

，解得2c =， 或1c =-（舍去）．故2c =．

（2）由题意知2

a b Q c +⎛⎫

- ⎪

⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ

a c a ab

k a

a b a b a +-===+--

．

又2

y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ，

因此，AQ 为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设

0()

Q x c -，．

若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =，

又直线AQ 的斜率为

2200AQ

a c a a

b k a x a x +-==--，所以20

2a ab

a a x -=-，

A B C

P

Q

O

xOy

x y l

得

2

02ax a ab

=+，因0a ≠，有

02a b x +=

．

故点P 的横坐标为2a b

+，即P 点是线段AB 的中点．