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高等数学第七版下册教材pdf
高等数学第七版下册教材pdf 高等数学是大学本科数学专业中重要的一门学科，它是以微积分为基础，研究函数、极限、导数、积分等数学概念及其应用的学科。
作为数学专业的学生，学好高等数学对于日后的学习和工作具有重要的意义。
而高等数学第七版下册教材是我们学习高等数学的主要资料之一。
高等数学第七版下册教材PDF是一本电子书，它可以在电脑、平板和手机等设备上进行阅读。
相比于传统的纸质书籍，电子书具有便携、方便搜索和存储的优势。
而且通过使用PDF格式，可以确保内容的准确性和排版的整洁美观。
高等数学第七版下册教材PDF按照课程内容的顺序进行组织，包含了线性代数、无穷级数、多元函数微分学、多元函数积分学等多个章节。
每个章节都有明确的学习目标和详细的知识点介绍，配有示例和习题，有助于读者理解和掌握数学概念和解题技巧。
线性代数是高等数学的基础，它研究向量空间和线性变换等内容。
高等数学第七版下册教材PDF中的线性代数部分涵盖了向量的运算、线性方程组的解法、矩阵的性质以及特征值和特征向量等知识点。
通过阅读教材，我们可以了解线性代数的基本概念和基本操作，掌握线性代数的基本理论与方法。
无穷级数是数学中重要的一部分，它研究无穷个数相加或相乘的性质。
高等数学第七版下册教材PDF中的无穷级数部分介绍了级数的概念、收敛性判定、常见级数的性质以及幂级数的应用等内容。
通过学习无穷级数，我们可以深入理解数列和级数的性质，掌握级数求和的方法和技巧。
多元函数微分学是高等数学的重要内容，它研究多元函数的极限、连续性、偏导数和方向导数等内容。
高等数学第七版下册教材PDF中的多元函数微分学部分系统地介绍了多元函数的基本概念、偏导数的计算公式、全微分和极值等知识点。
通过研读教材，我们可以全面了解多元函数微分学的基本理论和方法，掌握多元函数的求导技巧。
多元函数积分学是高等数学的重要内容之一，它研究多元函数的积分和曲线曲面的面积、体积等内容。
高等数学第七版下册教材PDF中的多元函数积分学部分介绍了重积分的概念、重积分的计算方法、曲线曲面的面积和体积等知识点。
人教版六年级上期末数学真题(二).pdf
考点： 圆、圆环的周长；圆、圆环的面积． 菁优网版权所有
分析： （1）要求的问题即圆的半径，根据“r=C÷π÷2”代入数值解答即可； （2）根据圆的面积计算公式“S=πr2”解答即可．
解答： 解：（1）18.84÷3.14÷2， =6÷2， =3（厘米）； （2）3.14×32， =3.14×9， =28.26（平方厘米）； 故答案为：3，28.26．
24
；
故答案为：
；36．
点评： 此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法．
5．（1 分）两个长方形的面积相等，已知这两个长方形长的比是 8：5，它们的宽的比是 5：8 ．
考点： 长方形、正方形的面积． 菁优网版权所有
分析： 设这两个长方形的长分别为：8，5；宽分别为 a，b，根据题意可得：8a=5b，利用比例的基本性质即可解决． 解答： 解：设这两个长方形的长分别为 8，5；宽分别为 a，b，根据题意可得：
25．解方程（8 分）
x÷ =12
1÷（ +χ）=5
X﹣ X=3
五、实践操作（每小题分．共 6 分） 26．（4 分）在左边长为 4 厘米的正方形里画一个最大的圆． 要求：①要标明圆心． ②要标明半径是多少． ③要计算出这个圆周长是多少厘米．周长 _________ 厘米．
×+×． ⅹ+ ⅹ=15．
27．（2 分）画出下列图形的所有对称轴．
六、运用知识，解决问题（每小题 5 分．共 30 分） 28．（5 分）求阴影部分的面积（单位：厘米）．
29．（5 分）某修路队需要修一段公路，第一天修了 千米，第二天修了 千米，两天正好修了这段公路的 ，这段 公路长多少千米？ 30．（5 分）六年级同学给灾区的小朋友捐款．六一班捐了 500 元，六二班捐的是六一班的 ，六三班捐的是六二班 的 ．六三班捐款多少元？ 31．（5 分）青年旅行社在元旦期间推出优惠活动，原价 2800 元的“黄山游”现在打八五折，比原价便宜了多少钱？
2011年考研数学二真题及答案解析
x2 f x x2 f 0 2 f x3 2 f 0
lim x0
x3
f x f 0 f x3 f 0
lim x0
x
2
x3
f 0 2 f 0 f 0．
故答案选(B)． (3)【答案】(C)．
1
1
2
1 O
1
x
x2 y2 1 1
图１
(21) (本题满分 11 分)
已知函数 f (x, y) 具有二阶连续偏导数，且 f (1, y) 0 ，f (x,1) 0 ， f (x, y)dxdy a ，
D
其中 D (x, y) | 0 x 1,0 y 1 ，计算二重积分 I xy fxy (x, y)dxdy ．
(6)【答案】(B)．
【解析】因为 0 x 时， 0 sin x cos x 1 cot x ， 4
又因 ln x 是单调递增的函数，所以 ln sin x ln cos x ln cot x ．
故正确答案为(B)． (7)【答案】 (D)．
【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故
xyd ．
D
(14) 二次型 f (x1, x2, x3) x12 3x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2x3 ，则 f 的正惯性指数
为
．
三、解答题(15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定位置上．解答应写出文
．
xy x1
y 1
(18) (本题满分 10 分)
数学(二)试题 第 2 页 (共 13 页)
设函数 y(x) 具有二阶导数，且曲线 l : y y(x) 与直线 y x 相切于原点，记 为曲线 l
2014年考研数学二真题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题
目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
1
(1) 当 x 0 时，若 ln (1 2x) ，(1 cos x) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是( )
(A) (2, )
（）10(A)50 Nhomakorabea10
(B)
100
(C)10 10
(D) 5 10
(5)
设函数
f (x)
arctan x ，若
f
(x)
xf
(
)
，则
lim
x0
x
2 2
（）
(A)1
(B) 2 3
(C) 1 2
(D) 1 3
(6) 设函数 u(x, y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2u 0 xy
（）
(A) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x) (C) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(B) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x) (D) 当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
(4)
曲线
x y
t2 t2
7 4t
1
上对应于
t
1的点处的曲率半径是
lim x0
1
1
1 x
2
3x2
1 3
故选 D.
(D) 1 3
（）
(6) 设函数 u(x, y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足 2u 0 xy
及
2u x2
高中数学课本全套pdf
高中数学课本全套pdf篇一:人教版必修1高一数学全套打包,150页)人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生,在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而1不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程x2?1?0的解;(5) 某校2007级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
2对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性:一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
上海市普陀区2018-2019学年六年级下学期期末考试数学试题 (2).pdf
2018-2019学年上海市普陀区六年级（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．的相反数是．2．数轴上表示﹣7的点离开原点的距离是．3．比较大小：﹣1（填“＞”、“＜”或“=”）．4．上海辰山植物园占地面积达2070000平方米，为华东地区规模最大的植物园，这个数据用科学记数法可表示为平方米．5．计算：（﹣2）3+|﹣6|=．6．关于x的方程3x﹣2kx=3的解是﹣1，则k=．7．二元一次方程3x+y=7的正整数解是．8．如果﹣a＞﹣b，则．（填“=”，“＞”或“＜”）9．将两个边长为2cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了cm2．10．甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是度．11．上午8：30钟表的时针和分针构成角的度数是．12．已知线段a、b的长分别为6厘米、4厘米，如果在射线OP上截取OM=a，MC=b，那么线段OC=厘米．13．如果不等式4x﹣m≤0的正整数解是1、2、3，那么整数m可能取值的和是．14．如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A垂直的面用图中字母表示出来是．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15．下列说法正确的是（）A．分数都是有理数B．﹣a是负数C．有理数不是正数就是负数D．绝对值等于本身的数是正数16．下列说法正确的是（）A．方程3x=y﹣6的解是B．x=3是不等式组的解C．如果x＜﹣1，那么x＞﹣3D．不等式组无解17．已知a，b是不为0的有理数，且|a|=﹣a，|b|=b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b 时，正确的是（）A．B．C．D．18．一个长方体，无论从哪个角度看，不可能看到几个面（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、简答题（本大题共6题，每题6分，满分36分）19．计算﹣32+1÷4×﹣|﹣1|×（﹣0.5）2．20．解方程：．21．解方程组：．22．解方程组：．23．解不等式组，并写出不等式组的整数解．24．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．四、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分）25．如图，已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，OP是∠AOB的角平分线．（1）用圆规和直尺作出∠AOB的角平分线OP（不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；（2）在画出的图中找出能与∠AOP互余的角是；（3）在画出的图中找出能与∠AOB互补的角是．26．某商店销售一种电器，他们先将成本价提高30%后标价，后来又按照标价的八折优惠卖出，结果每销售一件该电器仍获得80元的利润，那么这种电器的成本价是多少元？27．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．2018-2019学年上海市普陀区六年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．的相反数是．【考点】相反数．【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．【解答】解：的相反数是，故答案为：．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．数轴上表示﹣7的点离开原点的距离是7．【考点】数轴；绝对值．【专题】数形结合．【分析】数轴上一个点离开原点的距离等于该所对应的数的绝对值，据此判断即可．【解答】解：数轴上表示﹣7的点离开原点的距离=|﹣7|=7．故答案为：7【点评】本题主要考查了数轴，解决问题的关键是掌握绝对值的概念．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．3．比较大小：＞﹣1（填“＞”、“＜”或“=”）．【考点】有理数大小比较．【专题】推理填空题．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得＞﹣1．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．4．上海辰山植物园占地面积达2070000平方米，为华东地区规模最大的植物园，这个数据用科学记数法可表示为 2.07×106平方米．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：2070000=2.07×106，故答案为：2.07×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．计算：（﹣2）3+|﹣6|=﹣2．【考点】有理数的乘方；绝对值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣8+6=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了有理数的乘方，以及绝对值，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．6．关于x的方程3x﹣2kx=3的解是﹣1，则k=3．【考点】一元一次方程的解．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】把x=﹣1代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x=﹣1代入方程得：﹣3+2k=3，解得：k=3，故答案为：3【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．7．二元一次方程3x+y=7的正整数解是．【考点】二元一次方程的解．【分析】采用列举法求得方程的所有正整数解即可．【解答】解：∵当x=1时，3+y=7，则y=4；当x=2式，6+y=7，则y=1，∴方程3x+y=7的正整数解和．故答案为：和．【点评】本题主要考查的是二元一次方程的解，应用列举法求解是解题的关键．8．如果﹣a＞﹣b，则＜．（填“=”，“＞”或“＜”）【考点】不等式的性质．【分析】根据不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加（或减）同一个数不等号的方向不变，可得答案．【解答】解：﹣a＞﹣b，＜，则＜，故答案为：＜．【点评】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．9．将两个边长为2cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8cm2．【考点】几何体的表面积．【分析】棱长为2cm的两个正方体拼成一个长方体，表面积减少两个面的面积．【解答】解：2×22=8cm2，故答案为8．【点评】本题考查了几何体的表面积，表面积减少两个边长为2cm面的面积．10．甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是南偏西40°度．【考点】方向角．【分析】甲看乙的方向是北偏东40°，是以甲为标准，反之乙看甲的方向是甲相对于乙的方向与位置．方向完全相反，角度不变．【解答】解：甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是南偏西40°，故答案为：南偏西40°．【点评】本题考查了方向角的定义，理解定义是关键．11．上午8：30钟表的时针和分针构成角的度数是75°．【考点】钟面角．【专题】常规题型．【分析】本题考查了钟表里的旋转角的问题，钟表表盘被分成12大格，每一大格又被分为5小格，故表盘共被分成60小格，每一小格所对角的度数为6°．分针转动一圈，时间为60分钟，则时针转1大格，即时针转动30°．也就是说，分针转动360°时，时针才转动30°，即分针每转动1°，时针才转动（）度，逆过来同理．【解答】解：∵8时30分时，时针指向8与9之间，分针指向6．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8时30分时分针与时针的夹角是2×30°+15°=75°．故答案为：75°．【点评】本题考查的是钟表表盘与角度相关的特征．能更好地认识角，感受角的大小．12．已知线段a、b的长分别为6厘米、4厘米，如果在射线OP上截取OM=a，MC=b，那么线段OC= 10或2厘米．【考点】两点间的距离．【分析】根据线段的和差，可得答案．【解答】解：C在线段OM上，OC=OM﹣MC=6﹣4=2cm，C在线段OM的延长线上，OC=OM+MC=6+4=10cm，故答案为：10或2．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．13．如果不等式4x﹣m≤0的正整数解是1、2、3，那么整数m可能取值的和是54．【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】先用m表示出不等式的解集，再根据不等式的正整数解是1、2、3得出m的值，再求出其和即可．【解答】解：解不等式4x﹣m≤0得，x≤，∵不等式的正整数解是1、2、3，∴12≤m＜16，∴m=12，13，14或15，∴12+13+14+15=54．故答案为：54．【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，先根据题意确定出m的取值范围是解答此题的关键．14．如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A垂直的面用图中字母表示出来是B、C、E、F．【考点】展开图折叠成几何体．【分析】根据正方体展开图的11种特征，本题属于正方体展开图的“141”结构，把它折成正方体后，A面与D面相对，其余的面都与A面垂直．【解答】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，面“A”与“D”是相对面，它们互相平行，剩下的面都与A面垂直；所以：围成正方体盒子，与面A垂直的面用图中字母表示出来是：B、C、E、F；故答案为：B、C、E、F．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15．下列说法正确的是（）A．分数都是有理数B．﹣a是负数C．有理数不是正数就是负数D．绝对值等于本身的数是正数【考点】有理数．【分析】根据有理数的概念及分类、绝对值性质判断即可．【解答】解：A、有理数包括整数和分数，故此选项正确；B、当a≤0时，﹣a是非负数，故此选项错误；C、π是正数但不是有理数，故此选项错误；D、绝对值等于本身的数有0和正数，故此选项错误；故选：A．【点评】本题主要考查有理数的有关概念，熟练掌握有理数的概念与分类及相反数、绝对值性质是关键．16．下列说法正确的是（）A．方程3x=y﹣6的解是B．x=3是不等式组的解C．如果x＜﹣1，那么x＞﹣3D．不等式组无解【考点】不等式的解集；二元一次方程的解．【分析】根据方程的解，不等式的解集，即可解答．【解答】解：A、方程3x=y﹣6的解有无数组，故错误；B、不等式组的解集为：﹣＜x≤4，∴x=3是不等式组的解，正确；C、如果x＜﹣1，那么x＜﹣3，故错误；D、不等式组的解集为x=3，故错误；故选：B．【点评】本题考查了不等式的解集和方程的解，解决本题的关键是求不等式组的解集．17．已知a，b是不为0的有理数，且|a|=﹣a，|b|=b，|a|＞|b|，那么用数轴上的点来表示a，b 时，正确的是（）A．B．C．D．【考点】数轴．【分析】先根据题意判断出a，b的符号，再由|a|＞|b|判断出两点到原点距离的大小，进而可得出结论．【解答】解：∵a，b是不为0的有理数，且|a|=﹣a，|b|=b，∴a＜0，b＞0．∵|a|＞|b|，∴点a到原点的距离大于点B到原点的距离，∴C正确．故选C．【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴的特点及绝对值的定义是解答此题的关键．18．一个长方体，无论从哪个角度看，不可能看到几个面（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】简单几何体的三视图．【分析】一个长方体，从垂直于某个面的方向看，只看到1个面；从一条棱看，只能看到2个面；从一个顶点看，能看到三个面；据此可得答案．【解答】解：一个长方体，无论从那个角度看，最多可以看到3个面，最少可以看到1个面，不可能看到4个面，故选：D．【点评】本题主要考查从不同角度观察几何体，观察几何体通常从正面、左面、上面观察．三、简答题（本大题共6题，每题6分，满分36分）19．计算﹣32+1÷4×﹣|﹣1|×（﹣0.5）2．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣9+﹣=﹣9．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．解方程：．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题．【分析】首先熟悉解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．【解答】解：去分母得：3（3x﹣1）﹣12=2（5x﹣7）去括号得：9x﹣3﹣12=10x﹣14移项得：9x﹣10x=﹣14+15合并得：﹣x=1系数化为1得：x=﹣1．【点评】特别注意去分母的时候不要发生1漏乘的现象，熟练掌握去括号法则以及合并同类项法则．21．解方程组：．【考点】解二元一次方程组．【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．【解答】解：解方程组，②×2，得8x+2y=18，③①+③，得11x=22，解得：x=2．把x=2代入②，得8+y=9．解得：y=1．所以原方程组的解为．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．22．解方程组：．【考点】解三元一次方程组．【专题】方程与不等式．【分析】根据加减消元法先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程即可求得方程的解．【解答】解：由①+②，得4x+5z=13④由④﹣③，得6z=6．解得，z=1，把z=1代入③，得x=2，把x=2，z=1代入①，解得，y=﹣3，故原方程组的解是．【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确解三元一次方程组的方法．23．解不等式组，并写出不等式组的整数解．【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．【专题】计算题．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞，∴不等式组的解集是：＜x≤2，∴不等式组的整数解为2．【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．24．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角．【考点】余角和补角．【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），由题意得，3（90°﹣x）=180°﹣x，解得：x=45，即这个角为45°．【点评】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．四、解答题（本大题共3题，每题8分，满分24分）25．如图，已知∠AOB=120°，∠BOC=30°，OP是∠AOB的角平分线．（1）用圆规和直尺作出∠AOB的角平分线OP（不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；（2）在画出的图中找出能与∠AOP互余的角是∠BOC、∠COP；（3）在画出的图中找出能与∠AOB互补的角是∠BOP、∠AOP．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作OP平分∠AOB；（2）先利用角平分线定义计算出∠AOP=∠BOP=60°，再计算出∠AOC=90°，然后根据互余的定义求解；（3）根据互补的定义求解．【解答】解：（1）如图，OP为所作；（2）∵OP平分∠AOB，∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=60°，而∠BOC=30°，∴∠AOP+∠BOC=90°，∠AOC=90°，即∠AOP+∠COP=90°，∴与∠AOP互余的角有∠BOC、∠COP；（3）∴∠AOB=120°，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB+∠AOP=180°，∠AOB+∠BOP=180°，∴与∠AOB互补的角有∠AOP、∠BOP；故答案为∠BOC、∠COP；∠BOP、∠AOP．【点评】本题考查了作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了余角与补角．26．某商店销售一种电器，他们先将成本价提高30%后标价，后来又按照标价的八折优惠卖出，结果每销售一件该电器仍获得80元的利润，那么这种电器的成本价是多少元？【考点】一元一次方程的应用．【分析】把这种服装的成本价看作单位“1”，按成本价提高30%后标价相当于原价的1+30%，又以8折优惠卖出，此时相当于原价的（1+30%）×80%，比原价还多（1+30%）×80%﹣1，即获利部分，正好是80元，因此列出方程解决问题．【解答】解：设那么每辆电动自行车的成本价为x元．根据题意，得0.8×（1+30%）x﹣x=80．解这个方程，得x=2000．答：这种电器的成本价是2000元．【点评】此题考查一元一次方程的应用，解答的关键，是把这种服装的成本价看作单位”1“，找出获利部分，即80元所占进价的分率，解决问题．27．“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【解答】解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，可得：，解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：，解得：，因为取整数，所以x取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．。
2012考研数学二真题及答案解析
dy
，所以
=
2x
dx ey +1
（10）计算
lim
x→∞
n
⎛ ⎜⎝
1
1 +n
2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
⎞ ⎟⎠
= ________。
3
π
【答案】：
4
∑ ∫ 【解析】：原式 = lim 1
n→∞ n
n
1
i=1
1
+
⎛ ⎜⎝
i n
⎞2 ⎟⎠
=
1 dx 0 1+ x2
=
arctan x 1 0
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) = 1+ x − 1 ，记 a = lim f (x)
sin x x,
x→0
（1）求 a 的值
（2）若当 x → 0 时， f (x) − a 是 xk 的同阶无穷小，求 k
D
∫∫ ∫ ∫ 【解析】：
xydσ = π dθ 1+cosθ r cosθ ⋅ r sin θ ⋅ rdr
0
0
D
∫ = 1 π sin θ ⋅ cosθ ⋅ (1 + cosθ )4 dθ 40
6
∫ = 16
πθ sin
cos θ
(2 cos2
θ
− 1) cos8
θ
dθ
022
2
22
π
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综合应用
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专题1 专题2 专题3
专题二 排列组合的解题方法 1.直接法(元素、位置优先考虑法) (1)特殊元素分析法:即以元素为主考虑,先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素. (2)特殊位置分析法:即以位置为主考虑,先安排有特殊要求的位 置,再考虑其他位置. 应用150件产品中有3件是次品,从中任意取4件. (1)至少有1件次品的抽法有多少种? (2)至多有两件次品的抽法有多少种?
集合 A 就是集合 S 的三元子集,其个数为C93 = 84. 在这些三元子集中能满足a1<a2<a3,且 a3-a2>6 的集合只有{1,2,9}, 故满足题意的子集个数为 84-1=83.
答案:C
专题1 专题2 专题3
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应用5用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数. (1)如果组成的四位数必须是偶数,那么这样的四位数有多少个? (2)如果组成的四位数必须大于6 500,那么这样的四位数有多少 个? 提示:本题的限制条件是:(1)个位数字必须是偶数.(2)千、百这两 个数位上的数受限制,因此,可以采用分步排位来求解.
(2)抽取的 4 件产品中至多有 2 件次品的抽法分没有次品、有 1
件次品、有 2 件次品 3 种情况,根据分类加法计数原理,共有C447 + C31C437 + C32C427 = 230 253 种抽法.
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2.插空法 不相邻问题常用插空法:我们可以根据题目的具体特点,先排某 些元素,再将余下的元素进行插空,这样处理有关的排列组合问题, 往往能收到良好的解题效果. 应用2马路上有9盏路灯,为了节约用电,可以关掉其中的三盏路 灯,要求关掉的路灯不能相邻,且不在马路的两头,那么不同的关灯 方案共有多少种? 解:本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空当里.6盏 亮着的灯排在一起,中间有5个空当,从5个空当中选出某3个,插进去 三盏关掉的路灯,因此,不同的关灯方案 共有C53 = 10 种.
湖南省长沙2022高二数学上学期第二次模块检测试题pdf
湖南省长沙市2022名二第一学期第二次栽块祫测数学本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，共8页。
时量120分钟。
满分150分。
第 1 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）＊1．直线3x+2y —l =O 的一个方向向址是A. (2,—3)B. (2,3)C .（—3,2) D.(3,2)*2．设m,n 是空间中两条不同的直线，a,/3是两个不同的平面，则下列说法正确的是A ．若m C a,n 亡(3,a//(3，则m //n B．若ml_a,n上(3,ml_n，则a上(3C ．若m//a,n//(3飞J_(3，则ml_nD．若m 亡a,n 亡{3,m//{3,n ／压，则劝倌*3.设数列{an}的前n项和Sn＝矿，则a 8=A.15B. 16*4．若O <x1<x三1，则A.e 气—e1>ln X2—ln x1 C. x 2e1 >x 1e 巧C. 49D. 64B. e 屯—e1<ln X2—ln x 1 D. X 2邑<:X 1e 气*5．如图，在正四棱台ABCD—儿B1C1队中，点E,F 分别是棱A 心1,B1 C 1的中点，1A戊＝—A B，则下列判断错误的是2 A. A ,A1,C,C 1共面B.E E平面ACFC.A E,C F,B 凡交千同一点D. D D1/／平面ACF一少文、、－－－－－－＼－＼－－－－－－－－－夕D夕夕、、、、,-－26．已知卢x)是函数f(x)的导函数，且/Cx)+f (x)>O ,f(2)＝飞，则不e 2等式j(ln X )＜—的解集是XA. (2,+=)C. (0平）B. (e 2，十=)D. (0,2)1 n+l7.已知数列{a n }满足a 1=—,a n +l = a n 9 (nE N*），若不等式飞＋2 n na n +1 n 1 —十入a n 多0对任意的nEN*都成立，则实数入的取值范围是n A.［—16，十=)C.［—10，十=)B.［—20，十=)D.[—18，十=)8．如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两，，：：＿－－－一心球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆，则该厂椭圆的离心率为｀屈/一一：：：｀3B.—3C. 迈D.22二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a1>0，公差d#-0，则下列命题正确的是A．若S5=S9，则S 14=0B．若S5=S9，则S 7是S n 中最大的项C．若S6>S1，则S 7>s8D．若S6>S1，则必有S s >S610．如图，正方体ABCD—儿从C心的棱长为1,E,F,GD ,分别为BC,CC1,B凡的中点，则 AA．直线D心与直线AF 垂直B ．直线A心与平面AEF平行长三二叶五AB9 C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为—8D ．点C与点G到平面AEF 的距离相等c,11.已知抛物线C:y2=2px(p>O)与圆O:x2+y2 =5交千A,B两点，且IABl=4，直线l过C的焦点F，且与C交于M,N两点，则下列说法正确的是忒A．若直线l的斜率为—，则I MN=83B. I M Fl+2INFI的最小值为3+2忒屈C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(o,—)，则点M的横坐标2为—3 2D．若点G(2,2)，则LGFM周长的最小值为3＋石12.巳知函数f(x)=x2+2x—7e x ，则下列结论正确的是A.函数f(x)有极小值B．函数f(x)在x=O处的切线与直线9y—x+l=O垂直C．若f(x)=k有三个实根，则k的取值范围为(—4e气订8e8D．若xE[O,t]时，f(x)max=飞，则t的最小值为3e第11卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）113.已知f(x)对任意xER都有f(x)+J(l—x)＝—．数列{a n}满足：a n=2f(O)＋叶）＋f勹）＋…十八勹）＋f(l)，则a n=.＞ ＞ ＞ *14．设空间两个单位向最OA=Cm, n, 0), OB= CO, n, p)与向量OC= (1,1,1)的夹角都等千i，则cos乙A OB=.2 215．设F1，凡是双曲线C：气—义＝l(a>O,b>O)的两个焦点若在C上存a2 b2在一点P，使PF1_l_PF2，且乙PF1F2=30°，则C的离心率为＿16．巳知函数f(x)=x+ l n x, f(x)为函数f(x)的导函数，若/(x)> k 对任意x>O恒成立，则整数K的最大值为l n(x+D+l四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知A点为圆T:(x—4)2+y2=16上的动点，B点坐标为(—4,0),P 点为线段AB的中点．(1)求P点的轨迹C的方程；(2)过点(—1,3)的直线l与轨迹C交于M,N两点，且IMNl=2瓦，求直线l的方程*18.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n=3S n—2(n EN勹．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和T汇*19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=2ln x—x2+ax(a E R).(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=l处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)—ax+m在区间门，e]上有两个零点，求实e数m的取值范围．20.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点．(1)求证：平面AEFl_平面B1BCC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45勹求三棱锥F-AEC的体积c lB l--－ >＜、A i.,,:王：一--－－－－－l__＿＿、：峓B21.（本小题满分12分）2I'Y2石巳知椭圆9：气＋斗＝l(a>b>O)的离心率为—，焦距为2.a b 5(1)求椭圆Q的标准方程；(2)过Q的右焦点F作相互垂直的两条直线l1山（均不垂直于x轴），h交Q千A,B两点山交Q于C,D两点．设线段AB,CD的中点分别为M,N，证明：直线MN过定点．22.（本小题满分12分）设函数f(x)=ax2+(2a—l)x—ln x(a ER).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数g(x)= f(x)—(2a—l)x—1存在两个零点X1，立，证明：1X江2>—.e数学参考答案一、二、选择题言答案A2-B3A4C5D6C7A: 1 ;1 ;: 1卢I ;；4. C 【解析】令f(x)—e-lnx，则f ＇(）xe x —l x — ，当x趋近于0时，xe-l<O，当x —1时，xe-l>O,因此在区间(0,1)上必然存在/(x)=O,因此函数f(x)在区间(0,1)上先递减后递增，故A、B均错误；e x 令g(x)——,g'(x)—,x e —e xx x当O<x<l时，矿(x)<O,:.g(x)在区间(0,1)上为减函数，• e x l � e 气·:o<x1<xz<l, :.—>—，即Xz邑＞X1e 究，．．．选项C正确，D 不正确．故选C.X1 Xz5.D 【解析】对于A选项，由棱台的性质，延长正四棱台ABCD-A1B1C1队的侧棱，相交于点P,A选项显然正确；对于B选项，连接EF ，则EF//A1C1，而A1C1//AC ，所以EF//AC,所以EF,AC共面，EE平面ACF,B选项正确；对于C选项，由于EF,AC共面，且AE,CF不平行，设AEncF —M,因为AE亡平面PAB,CF亡平面PBC，所以M亡平面PAB,M亡平面PBC,又平面PABn平面P BC —直线BB1,所以ME直线BB1,所以AE,CF,B片交于同一点，C选项正确；对于D选项，连接B D，交AC于0，连接OB 1,因为A1B]——AB，所以B]为B P 的中点，而0为BD的中点，2所以PD//B10，而B10与平面ACF 相交于点O,所以B10与平面ACF不平行，所以D队与平面ACF不平行，D选项错误．故选D.pB}、、飞'" ` A ”、人尽、、－－－、气一一一-\-\-----=二：：＝少D'，、｀， ------B卢::..::.:C6. C 【解析】令t —lnx，则x —e勹2 2因为j(ln X)＜—，所以f(t)＜了，即f(t)• e'<2,x e 设g(x)=e丁(x)，则g'(x)=e (J(x) + J '(x)),因为J(x)+ J '(x) >O，所以旷（x)>O，所以g(x)在R上单调递增，2因为J(2)=-5;,，所以g(2)=e叮（2)=2，所以J(t)• e'<2等价于g(t)<g(2),e则t<2，即lnx<2，解得O<x<e气2即不等式J(lnx)＜—的解集是(0平），故选C.X7.A 【解析】因为n+l a n a n +l = ，所以a n +l = na n ，所以1 1 ——=1,n na n +1 (n+1)（na 二1)（n+1)a n +1 na n 1 1 因为a尸上，所以勹[}是首项为2，公差为1的等差数列，所以—-——+（n —1)—n+l，所以a 厂12na n a l n(n+1)· 9 1 (9+n)（n+1)因为不等式了十—十入a n 彦0恒成立，所以入泛—恒成立，n -n n 因为(9+n)(n+D I , 9 n—(n+—+10尸(2p +10)— 16，当且仅当n —3时取等号，n''Vn所以入多—16.故选A .椭圆中心为O ，长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c,对圆柱沿轴截面进行切割，如图所示，反向延长AA 1和延长AA 1与轴截面相交于点C,C 1,过点0作O D_lDC，垂足为D，连接BB 1,AB,A 1B 1,5—2X1 3 AB 2在RtDABO中，AB —1,BO ———，所以si n 乙A OB ——-——,22 BO3 又因为si n乙AO B —sin 乙O CD ——-——,12 O C 33则a—OC——,2a —3，由平面与圆柱所截，可知椭圆短轴长即为圆柱底面直径长2b —2,2互则c—五了勹尸《广了了立二二立2 2'e a 立32．故选A.9.ABC 【解析】根据等差数列的性质，若Sg—Ss=as +a7 +as +ag =2(a7+as) =O,14(a 1 +a14) 则a7+as =O, S 14 =� =7 (a7 +as) =O，故A 正确；213 飞飞＋a 8=0, :.2a 1 + 13d =0,则a 1=——d,2·: a1>0,．．．公差d<O,131 5 ．五＝a 1+C n —l )d=—了d+C n —l )d=d(n —了），令a n=d(n —劂玄0，则n —巨句，解得n 冬亘2 2 2:.等差数列{a n }的前7项均为正数，从笫8项开始为负值，:．使得S n 最大的正整数n为7，故B正确；若S6>S7，则a7<0，那么d<O，所以as<O,所以S 8—S7<0，即S7>Ss，故C 正确；s6—S5=a 5，不能判断正负，故D错误．故选ABC.10. B C【解析】对于选项A，以D 点为坐标原点，DA,DC,DD 1所在的直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(l ,O,O),F(0,1，向），D 1(O,O, 1).x从而00i=co,o,1)，对＝（—1,1,—,12) ——1 从而DD 1•AF=—-#-0，所以直线D队与直线AF 不垂直，选项A 错误；2 对于选项B，取从C 1的中点为M，连接A 1M,GM，则易知A 1MIIAE,又A 1M亿平面AEF,AE亡平面AEF，故A 1M/／平面AEF,又GMIIEF，同理可得GMII 平面AEF,又A 1M门GM=M,A1M,GM亡平面A 1GM，故平面A 1MG/／平面AEF,又A心亡平面A 1MG，从而A心／／平面AEF，选项B正确；对于选项C，连接AD 1，从F，如图所示，正方体中AD 1IIB C 1II EF,:.A,E,F，从四点共面，.＼四边形AEF队为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形AEF队为梯形，岳又由勾股定理可得几F—AE——,AD1—迈_,EF——22'c,二F（＇A,C匕ABA,二F长三二叶五ABC:．梯形AE F队为等腰梯形，高为（石2凇—立）—（勹＝迈4':.s梯形AEFD1=-½x（迈＋迈迈9l 了）x 4 ＝百，选项C正确；对于选项D，由于S凶GE F=--;:.X X=�,S心釭｀＝X X=4 81 1而V A-GEF=�Sf"..EFG.A B,V A－兀F＝S凶兀F.A B,'V A-GEF—VA－兀F'即VG-AEF—V c-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的倍，从而D错误．故选BC..BCD 【解析】由题意得点(,)在抛物线C:y z—p x上，所以2—p，解得p—，所以C:y z—4x，则F(l,),设直线l:x—m y+，与y2—4x联立得y2-4m y-4—o,设M(x口y1),N(x口Y2)，所以Y1+Y z—4m,Y1Y2——4,所以I M N|＝/［二矿－IY1—y2 =』丁汇·✓(y1五）2—4y心2=4(l＋旷），当m—点时，IMN—6,A项错误；X厂x z+M F|＋|NF|—m++X2+—xm+x1+x2+1m(y1飞）＋4_ 4m2+4 —,(y心2)24m2+46十m(y1+y z)+3则IMFl+N Fl=CIMFl+INF)• ( ＋M F||N F|)＝+ IN F I I MF IMF I INF I十多3+迈，屈当且仅当IMF|—＋心，NF|—+—时等号成立，B项正确；如图，过点M作准线的垂线，垂足为M'，交y轴于M1,取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1,则MM1IIOF,DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得MM1=IMM'—|M1M'=IMF|—,所以I D D1I= OF|＋M M1二+|MF|—=M F|'所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以点（o立）为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为性，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为战，3又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为—,C项正确；过G作GH垂直于准线，垂足为H,所以l::,.G FM的周长为IM Gl+M Fl+IGF|—MG+IMM'|＋石�I G H|＋石—＋污，当且仅当点M的坐标为(,)时取等号，D项正确．故选BCD.yGX N.A D 【解析】由已知J'(x)(x+2)e—(x2 +zx—7)e 9—x2e红e x'j'(x)=⇒x＝豆，当x<—或x>时，j'(x)<O,—<x<3时，j'(x)>O,所以J(x)在区间(—~，—)和（3，十～）上递减，在区间(—,)上递增，8f(x)极小值＝j（—)＝—4e3,f(x)极大值＝f(3)＝飞，A正确；e切线斜率丸＝／（0)=9，直线9y—x+=的斜率耟＝—，K心＃—，两直线不垂直，B错误；9数学试题参考答案—x ----►—～时，f(x)----►＋气x ----►＋～时，f(x)----►O'8 若J(x)—K有三个实根，则kE(o ，言），当4e 2<k冬0时，f(x)=k只有两个根，C 错误；8若xE [O,t]时，f(x)max ＝飞，则t彦3,t的最小值为3,D正确．e故选AD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.n +l 414.2＋矗2—祁4 或 415．岛＋1【解析】如图所示，·:P F1l_PF 2,LPF1F2—30°，可得I P Fz|—c.由双曲线定义知，I P F1 =2a+c，由F 1F 212=P F1尸＋PF z尸得，4c 二(2a+c)气产，即2c 2-4ac -4a 2—o,即e 2-2e-2—o ,• _2±2忒.. e = 2,.'.e =l ＋屈．16. 3 【解析】/Cx)=l +-1:-心f'（x)>Kxln (x +1)＋1 对任意x>O 恒成立，则k<(x+ 1) [ln (x + 1) + l ](x>O)，令x+l —t>1,XF ly即k<t ln t +t (t>l)恒成立，令F(t)—t ln t 十t (t>l ),t —1 t —l —ln t 十t —2 1 t —1 F'(t)— (t —1)2 ，令g(t)——lnt+t —2，g'(t）———+1—>O (t >1)，则g(t)单调递增，又g(3)=1—ln 3<0,g(4)=2—ln 4>0, :3 t天（3,4),g(t。
考研数学二公式大全pdf
考研数学二公式大全pdf1. 介绍作为考研数学二的必修科目，数学考试的关键在于掌握公式。
公式是数学的基础，数学公式的掌握程度也是一个考生数学水平的重要体现。
本文将为考研数学二的考生提供一份全面的数学公式大全，旨在帮助考生打好数学基础，更好地备考数学考试。
2. 常用公式2.1 几何公式1. 三角形的面积公式：$$S=\frac{1}{2}ab\sin{C}$$2. 三角函数公式：$$\sin{A}=\frac{a}{c},\cos{A}=\frac{b}{c},\tan{A}=\frac{a }{b}$$3. 勾股定理：$$a^2+b^2=c^2$$4. 正弦定理：$$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$5. 余弦定理：$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$2.2 微积分公式1. 导数公式：$$\frac{d}{dx}[f(x)]'=\frac{d}{dx}f'(x)=f''(x)$$2. 积分公式：$$\int{f(x)}dx=F(x)+C$$3. 微积分基本公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$2.3 线性代数公式1. 向量的数量积公式：$$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=ab\cos{\theta}$$2. 向量的向量积公式：$$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}$$3. 矩阵的转置公式：$$\boldsymbol{A}^T=[a_{ij}]^T=[a_{ji}]$$4. 矩阵的行列式公式：$$\det{\boldsymbol{A}}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdot s&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$$2.4 概率统计公式1. 期望的线性性质：$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$2. 方差的性质：$$Var(aX+b)=a^2Var(X)$$3. 正态分布的公式：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]$$4. 卡方分布的公式：$$f(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}x^{\fr ac{n}{2}-1}exp(-\frac{x}{2})$$3. 总结本文列举了常用的数学公式，包括几何公式、微积分公式、线性代数公式和概率统计公式，这些公式对于考研数学二的考生来说是必备的知识点。
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2017年考研数学二真题及答案分析PDF版
）
( A) f ( x)dx 0
1 0
1
B 1 f ( x)dx 0 D 1 f ( x)dx 0 f ( x)dx
0 1
取 xn 1 ，排除 B,C.所以选 D. （4）微分方程的特解可设为 （A） Ae （C） Ae
2x
e 2 x (B cos 2 x C sin 2 x ) xe 2 x (B cos 2x C sin 2x )
（B） Axe
2x
e 2 x (B cos 2x C sin 2x ) e 2 x (B cos 2x C sin 2x )
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置上. ．．． (9) 曲线 y x 1 arcsin 【答案】 y x 2 【解析】
2 的斜渐近线方程为_______ x
lim
y 2 2 lim(1 arcsin ) 1, lim y x lim xarcsin 2, x x x x x x x y x2
【答案】-1
1 【解析】设 1 ，由题设知 A ，故 2 4 1 2 1 1 1 1 2 a 1 1 3 2a 3 1 1 2 2 2 2
故 a 1 . 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 ．．． 演算步骤.
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高等数学二教材pdf高等数学是大学阶段的一门重要课程，它承接了大学数学的基础知识，并深入探讨了更高级的数学概念和方法。
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二、高等数学二教材PDF的使用方法1. 阅读：高等数学二教材PDF可以使用电脑、平板电脑、手机等设备进行阅读。
打开PDF文件后，学生可以通过滑动屏幕或点击翻页按钮来浏览教材内容，同时可以利用文本搜索功能快速找到关键词或知识点。
2. 标注：学生可以使用PDF阅读软件的标注工具，在教材页面上做笔记、划重点或画重图。
这些标注可以帮助学生更好地理解和记忆知识点，并在复习过程中提供方便。
3. 打印：如果学生更喜欢使用纸质教材，他们可以将高等数学二教材PDF打印出来。
在打印之前，学生可以通过设置打印选项，选择需要打印的页面范围，以节省纸张和墨盒的使用。
4. 制作笔记：学生可以使用PDF阅读软件提供的批注工具，在教材页面上做笔记，并进行保存。
这样，学生在学习过程中可以随时翻阅自己的笔记，加深对知识点的理解。
5. 与他人分享：学生可以将高等数学二教材PDF发送给同学或老师，进行学习交流和共享资源。
高等数学二教材 pdf
高等数学二教材 pdf高等数学二教材PDF一、引言高等数学二是大学本科数学系相关专业的重要课程，是进一步学习数学知识的基础。
为了方便广大学生学习和参考，本文将介绍高等数学二教材pdf资源的获取方式以及一些关于该教材的相关信息。
二、高等数学二教材简介高等数学二教材是一本经过严格编写和审校的教材，内容包括极限、微分学、积分学等重要概念和理论。
其主要目的是培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
三、获取高等数学二教材pdf的途径1. 学校图书馆：很多大学图书馆都会提供电子书资源，可以通过学校图书馆网站或者图书馆自助借阅系统查找并下载高等数学二教材pdf。
2. 教师推荐：在课程开始前，教师可能会向学生推荐一些优秀的教材资源，包括电子版教材。
学生可以向教师咨询，并索取教材pdf。
3. 在线资源：互联网上有很多免费下载教材pdf的网站，如学术论坛、教育资源分享平台等。
通过搜索引擎输入相关关键词，可以找到相应的资源。
四、高等数学二教材pdf的优势1. 便携性：高等数学二教材pdf可以在电脑、平板电脑和手机等设备上进行阅读，随时随地学习和复习。
2. 检索功能：电子版教材具有关键词搜索功能，方便学生快速找到需要的内容，提高学习效率。
3. 印刷自由：若需要打印出纸质教材，学生可以按需选择打印整本或者打印特定章节，灵活性更高。
五、利用高等数学二教材pdf进行学习1. 预习：在课程开始前，可以通过阅读教材pdf，提前了解相关知识点，为课堂学习打下基础。
2. 复习：教材pdf可以作为复习的参考资料，帮助学生回顾和巩固已学过的知识。
3. 解题：教材中提供了大量的例题和习题，学生可以通过教材pdf 进行练习，巩固问题解决能力。
六、高等数学二教材pdf的使用建议1. 合理安排学习时间，制定学习计划，将教材pdf纳入学习任务。
2. 注重理解，遇到不懂的地方多思考，可与同学或老师进行交流讨论。
3. 注意归纳总结，对于重要的概念和公式，可以做一些笔记或制作思维导图，方便日后复习使用。
河北省部分学校2024-2025学年高三上学期第二次质检试题 数学 PDF版含解析
数学答案1【答案】D ．【详解】由2log (3)1x -<可得：35x <<，所以(3,5)B =， 由29200x x -+…可得：45x ……，所以[4A =，5]，所以(3A B = ，5]．故选：D ．2【答案】C ．【详解】 复数z 满足3(1)3i z i -=-，333(3)(1)241211(1)(1)2i i i i i z i i i i i -++++∴=====+---+，∴12z i =-．故选：C ． 3【答案】B ．【详解】1x y += ，12x y ∴++=，即1(1)12x y ++=， 非负实数x ，y ，0x ∴>，10y +>，∴11111111((1)(2)(22112212y x x y x y x y x y ++=+⨯++=+++=+++…， 当且仅当11y x x y +=+时取等号，∴111x y++的最小值为2．故选：B ． 4【答案】D 【详解】由||||||a b a b +=- 得()22||||||a b a b a b a b +=-⇒⋅ =-，因此可知,a b 方向相反，且||||a b ≥ ，对于A, ||a b a b +=- ，由于a b - 与b 的关系不确定，故A 错误， 对于B ，由于||a b a b a -=+> ，故B 错误，对于C ，||,||a b a b a b a b +=--=+ ，所以||||a b a b +<- ，故C 错误，对于D ，22()()0a b a b a b +⋅-=-≥ ，故D 正确，故选：D5【答案】C ．【详解】根据辅助角公式可知，()cos 2sin()6f x x x x πωωω=-=--，由题意可知3523()243124T πππωω=--=⨯⇒=， 所以()2sin(26f x x π=--， 对于A 项，当712x π=时，7()2sin()066f x ππ=--=，A 正确； 对于B 项，令32222[,]()26236k x k x k k k Z πππππππππ-+--+⇒∈-+-+∈……，此时函数()2sin(26f x x π=-- 单调递增，故B 正确； 对于D 项，()(2)2sin(4)6g x f tx tx π==--，(0,)x π∈，则当0t >时，4(,4)666tx t ππππ-∈--，此时()g x 有两个零点，即7134(,2](,62424t t ππππ-∈⇒∈，D 正确．故选：C ．6．【答案】D ．【详解】由题意，令242ax x c x ++=，则方程220ax x c ++=的解为1，所以44020ac a c =-=⎧⎨++=⎩ ，解得11a c =-⎧⎨=-⎩， 故可得22412(2)1y x x x =-+--=--+，显然当0x =时，3y =-；当2x =时，1y =；当3y =-时，0x =或4．由题意可得24m ……．故选：D ． 7【答案】B ．【详解】因为，则， 由，得x 2＞1，x 3＞0，作函数的图象，同时作出y ＝m ，如上图，变换m 的值可以发现x 3＞x 2＞x 1，x 2＞x 1＝x 3，x 2＞x 1＞x 3均能够成立，x 3＞x 1＞x 2不可能成立．故选：B ．8【答案】B ．【详解】因为5,,412B C AC ππ=====6,BC AB ==+以BC 所在直线为x 轴，y 轴经过点A，则(0,3A +，设(,0),(3,0),P a Q a D +，可得AP DQ +=则AP DQ +表示x 轴上的点P 与A 和(的距离和，利用对称性(关于x 轴的对称点为(E ，可得AP DQ +的最小值为AE ==． 故选：B ．9【答案】ABD ．【详解】 (3,4),(2,1)a b =-= ，∴2(1,6)a b -=-- ，(5,3)a b +=- ，||a b += 与向量a 平行的单位向量为34(,||55a a ±=±- ，向量a 在b 方向上的投影向量为64255||||a b b b b b b ⋅-⋅== ． 故选：ABD ．10【答案】BCD ．【详解】A ．因为AB AC ⋅= ，所以1cos sin 2bc A bc A ==，tan A =，又(0,)A π∈，所以6A π=，A 错；B ．若3b =，且6A π=，则sin b A a b <<，三角形有两解，B 正确；C ．若ABC ∆为锐角三角形，则02B π<<，62A B B ππ+=+>，所以32B ππ<<，sin 1B <<，sin sin b a B A =，sin 4sin sin a B b B A ==∈，C 正确； D ．若D 为BC 边上的中点，则1()2AD AB AC =+ ，222222111()(2cos )()444AD AB AC c bc A b b c =+=++=++ ，又222222cos 4a b c bc A b c =+-=+-=，224b c +=，∴2242(2b c bc bc =+=…，4(2bc =+…，当且仅当b c =时等号成立，所以21[(4)]174AD ==+ …所以||2AD + …当且仅当b c =时等号成立，D 正确．故选：BCD ．11．【答案】BCD ．【详解】由题意(),(0)a f x lnx ax x x=-+>得2221()a ax x a f x a x x x -+-'=--=， 由于()a f x lnx ax x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 即20ax x a -+=有2个正数根1x ，2x ，则121x x a+=，121x x =， 故需满足21401020a aa ⎧=->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩ ，解得102a <<， 对于A ，1212x x a +=>，A 错误； 对于121,22x x B a +=，故21211()()22222x x f f ln a a a +==--+， 令211()22,022g a ln a a a =--+<<，21411()40,02a g a a a a a -'=-+=<<<， 即21()222g a ln a a =--+在1(0,)2上单调递减，故1()(02g a g >=， 即12()02x x f +>，B 正确； 对于C ，12112212()()a a f x f x lnx ax lnx ax x x +=-++-+ 12121212()1()110a x x lnx x a x x ln a x x a +=-++=-⨯+=，C 正确；对于D ，21122112121212()()()()a x x lnx lnx a x x f x f x x x x x x x --+-+-=--121212122lnx lnx lnx lnx a a a x x x x --=--=---， 1212lnx lnx x x --可看作曲线y lnx =上两点1(x ，1)lnx ，2(x ，2)lnx 连线的斜率， 由于121212,1x x x x a+=>=，故不妨设11x <，21x >， 由于1,y lnx y x ='=，则曲线y lnx =在1x =处的切线斜率为1，由于11x <，21x >，故1(x ，1)lnx ，2(x ，2)lnx 连线的斜率小于1， 即12121lnx lnx x x -<-，所以1212212lnx lnx a a x x --<--，即1212()()12f x f x a x x -<--，D 正确． 故选：BCD ．12．【答案】211n -【详解】解：因为n n a b n=且1(1)2(1)n n na n a n n +-+=+， 所以1121n n n n a a b b n n ++-=-=+， 又因为119b a ==-，所以数列{}n b 是以9-为首项，2为公差的等差数列， 所以92(1)211n b n n =-+-=-.13.【答案】14-【详解】已知α，β满足5sin(2)12αβ+=，1cos()sin 3αββ+=， 则15sin(2)sin[()]sin()cos cos()sin sin()cos 312αβαββαββαββαββ+=++=+++=++=， 所以1sin()cos 12αββ+=， 所以111sin sin[()]sin()cos cos()sin 1234ααββαββαββ=+-=+-+=-=-． 14．【答案】8【详解】解：因为a 2+b 2+ab ＝c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，由余弦定理可得a 2+b 2+﹣c 2＝2ab cos C ，所以cos C ＝﹣，而C ∈（0，π），所以C ＝， 因为•＝||•||cos （π﹣C ）＝﹣ba cos C ＝ab ，由S △ABC ＝ab sin C ＝（b +a ）•CM sin ，即ab ＝•2（a +b ）， 可得ab ＝2（a +b ）≥2•2，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab ≥16， 所以•＝ab ≥•16＝8．即•的最小值为8． 15．【详解】（1）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25224a a +=，8100S =， ∴111224248781002a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，-------------------------3分 解得12a =，3d =，----------------------6分2(1)331n a n n ∴=+-⨯=-．{}n a ∴的通项公式为31n a n =-．----------------------8分（2）111111()(31)(32)33132n n n b a a n n n n +===--+-+，----------------------10分 ∴数列{}n b 的前n 项和为：11111111111(3255881134313132n T n n n n =-+-+-+-+----+111(3232n =-+64n n =+．--13分16．【详解】（Ⅰ）因为2cos 2b C a c =+，由正弦定理可得2sin cos 2sin sin B C A C =+，2分又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以2sin cos 2sin cos 2cos sin sin B C B C B C C =++，可得02cos sin sin B C C =+，------4分又sin 0C >，所以可得1cos 2B =-，又(0,)B π∈，所以23B π=；-----6分 （Ⅱ）因为23B π=，b =，由正弦定理2sin sin sin a c b A C B====，可得sin 2a A =，sin 2c C =，-----8分 又1sin sin 4A C =，所以1224a c ⋅=，可得1ac =，-----10分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22223()()1a c ac a c ac a c =++=+-=+-，---13分所以2a c +=．-----15分17.【详解】（1）由已知得()e 1x a f x x ='-+，则()00e 1f a a =-=-'，又()01f =，-----2分所以()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为()11y a x =-+，-----4分 将点(2,1)代入得()1211a =-+，解得1a =.-----6分（2）所以()()e ln 1x f x x =-+，定义域为(1,)-+∞，所以()()1e 11e 11x xx f x x x +-=-='++，-----8分 令()()()1e 1,1x g x x x =+->-，则()()2e x g x x =+'，易得()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立，所以()g x 在(1,)-+∞上单调递增，-----10分又(0)0g =，所以当10x -<<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()1,0-上单调递减，当0x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增，-----13分 所以()f x 的极小值为()01f =，无极大值.-----15分18．【详解】（1）因为2sin()6b c B aπ++=， 由正弦定理得：2sin sin()sin sin 6A B B C π+=+，-----2分所以sin cos )sin sin A B B B C +=+，因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos )sin sin cos cos sin A B B B A B A B +=++，sin sin cos sin sin cos cos sin A B A B B A B A B +=++，sin sin cos sin A B B A B =+，整理得sin cos 1)0B A A --=， 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠cos 10A A --=，-----4分cos 2sin()16A A A π-=-=，所以1sin(62A π-=，-----6分 因为(0,)A π∈，所以66A ππ-=，可得3A π=；-----8分 （2）因为3A π=，4c =，所以ABC ∆的面积1sin 2ABC S bc A ∆==，-----10分由正弦定理得24sin()sin 32sin sin C c B b C C π-⋅====+．-----12分 由于ABC ∆为锐角三角形，故02B π<<，02C π<<， 因为23B C π+=，所以62C ππ<<，----14分可得tan C ∈，)+∞，可得2(2,8)b =+∈，-----16分从而ABC S ∆<<ABC ∆面积的取值范围是．-----17分19．【详解】（1）证明：设，-----2分当x ∈（0，π）时，， 所以g （x ）在（0，π）上单调递减．-----4分又因为， 所以g （x ）在上有唯一的零点a ，-----6分即函数f′（x）在（0，π）上存在唯一零点，当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，a）上单调递增；当x∈（a，π）时，f′（x）＜0，f（x）在（a，π）上单调递减，所以f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点a．-----8分（2）①由（1）知：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点，所以，又因为，所以f（x）在（0，a）上恰有一个零点，-----10分又因为f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，所以f（x）在（a，π）上也恰有一个零点．-----12分②当x∈[π，2π）时，则sin x≤0，f（x）≤lnx﹣x，设，所以h（x）在[π，2π）上单调递减，所以h（x）≤h（π）＜0，所以当x∈[π，2π）时，f（x）≤h（x）≤h（π）＜0恒成立，所以f（x）在[π，2π）上没有零点．-----14分③当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤lnx﹣x+2，设，所以φ（x）在[2π，+∞）上单调递减，所以φ（x）≤φ（2π）＝ln2π﹣2π+2＜2﹣2π+2＝4﹣2π＜0，所以当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤φ（x）≤φ（2π）＜0恒成立，所以f（x）在[2π，+∞）上没有零点．-----16分综上，f（x）有且仅有两个零点．-----17分。
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1 （数学）2 （数学）单元专题训练一 ——集合及简易逻辑本卷分为选择题和非选择题两部分。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知全集U =R ，集合{}212M x x =−≤−≤和{}21, 1.2N x x k k ==−=⋅⋅⋅的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个2．设集合{}0,(3)01x A xB x x x x ⎧⎫=<=−<⎨⎬−⎩⎭，那么“m A ∈”是“m B ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．命题“对任意的3210x ,x x ∈−+≤R ”的否定是（ ）A ．不存在3210x ,x x ∈−+≤RB ．存在3210x ,x x ∈−+≤RC ．存在3210x ,x x ∈−+>RD ．对任意的3210x ,x x ∈−+>R4．设集合{}2120A x x x =+−=，集合{}10B x kx =+=，若A B A =∪，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为（ ） A ．112−和0 B ．112和112− C ．112和0 D ．14和112− 5．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x −+=，则3x =”的逆否命题：“若3x ≠，则2430x x −+≠”B ．“1x >”是“0x >”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题D ．命题p :“x ∃∈R 使得210x x ++<”，则p ¬：“ x ,∀∈R 均有210x x ++≥”6．已知p ：关于x 的不等式220x ax a +−>的解集是,q R ：10a −<<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分有非必要条件二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）7．设集合{}{}25,log (3),,A a B a b =+=，若{}1A B =∩，则A B =∪ 。
8．命题p ：方程2260x x a a −+−=有一正根和一负根，命题q ：函数2(3)1y x a x =+−+的图象与x 轴有公共点。
若命题“p q ∨”为真命题，而命题“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 9．已知集合{}261,,201A xx B x x x m x ⎧⎫=≥∈=−−<⎨⎬+⎩⎭R 。
（1）当3m =时，求A B ∪；（2）当{}14A B x x =−<<∩，求实数m 的值。
10．数列{}n a 中各项均为正数，n S 为其前n 项和，对任意的,n ∗∈N 总有2,,n n n a S a 成等差数列。
（1）求{}n a 的通项公式；（2）是否存在最大正整数p ，使得命题“,ln()2n n n p a a ∗∀∈+<N ”是真命题？若存在，求出p ；若不存在，请说明理由。
1题图学校 姓名 座位号 准考证号密……………………………………………………封………………………………………………… 线3 （数学）4 （数学）单元专题训练二——推理与证明本卷分为选择题和非选择题两部分。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知数列{}n a 的前n 项和2(2)n n S n a n =⋅≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a 等于（ ） A ．21(1)n +B ．2(1)n n +C ．121n− D ．221n − 2．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如图，如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值K ，那么甲的面积是乙的面积的K 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD ，乙：小矩形EFCB ）②（甲：大直角三角形ABC ，乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为（ ） A ．abB ．ab πC ．2a πD ．2b π3．分析法又称为执果索因法。
若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=<”索的因应是（ ） A ．0a b −>B ．0a c −>C ．()()0a b a c −−>D ．()()0a b a c −−<4．等式222225741232n n n −++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．n 为任意正整数时都成立B ．仅当n =1，2，3时成立C ．当4n =时成立，5n =时不成立D ．仅当4n =时成立5．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出2(1)(1)f k k +≥+成立”。
那么，下列命题总成立的是（ ） A ．若(1)1f <成立，则(10)100f <成立 B ．若(2)4f <成立，则(1)1f ≥成立C ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立D ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立6．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 的边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”。
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD Δ的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）7．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它。
1=1， 3+5=8， 7+9+11=27， 13+15+17+19=64， 21+23+25+27+29=125，则这个式子为 。
8．给出下列四个命题：①若0a b >>，则11a b>；②若0a b >>，则11a b a b −>−；③若0a b >>，则22a b a a b b +>+；④0,0a b >>且21a b +=，则21a b+的最小值为9.其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）。
三、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 9．已知,a b ∈R ，且1a b +=，求证：2225(2)(2)2a b +++≥。
10．在数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列()n ∗∈N 。
（1）求234,,a a a 及234,,b b b 的值，由此猜想{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论； （2）证明：1122111512n n a b a b a b ++⋅⋅⋅+<+++。
2题图密……………………………………………………封………………………………………………… 线5 （数学）6 （数学）单元专题训练三——不等式本卷分为选择题和非选择题两部分。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1(1,2,3)i a x i −<=都成立的x 的取值范围是（ ）A ．110,a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠B ．120,a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠C ．310,a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠D ．320,a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠2．若集合{}210A x ax ax =−+<=∅，则实数a 的值的集合是（ ）A ．{}04a a << B ．{}04a a ≤< C ．{}04a a <≤D ．{}04a a ≤≤3．已知不等式1()9a x y x y ⎛⎞++≥⎜⎟⎝⎠，对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．924．若0,0,0a ab ac >><，则关于x 的不等式cb a x>−的解集是（ ） A ．c x a x a a ⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭B ．c x x a x a b⎧⎫<−>⎨⎬⎩⎭或C ．c x a x a b ⎧⎫<<−⎨⎬⎩⎭ D ．c x x a x a b ⎧⎫<>−⎨⎬⎩⎭或5．若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．112ab ≥ B ．111a b +≤ C2≥D ．22118a b ≤+ 6．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，并且对每个项目的投资不能低于5万元。
对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）7．已知点(,)P a b 与点(1,0)Q 在直线2310x y −+=的两侧，则下列说法： ①2310a b −+>；②当0a ≠时，ba有最小值，无最大值； ③M ∃∈RM >恒成立； ④0a >且1,0a b ≠>时，则1b a −的取值范围为12,,33⎛⎞⎛⎞−∞−+∞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∪。
其中正确的是 （把你认为正确的命题序号都填上）。
8．设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y −−≤⎧⎪−+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b +的最小值为 。
三、解答题（本大题共2小题，每题9分，共18分） 9．已知函数1()22x xf x =−。
（1）若()2f x =，求x 的值；（2）若2(2)()0t f t mf t +≥对于[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
10．已知命题 p ：222111(1)(1)(1)222a x a a −−≤−+≤−，命题q ：23(1)2(31)0x a x a −+++≤，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围。