用特殊化思想巧解高考选择题
用特殊化思想巧解高考中的抽象函数题
域为 Ｒ的函数 ， ｚ 在 （ ， ｏ 上为减 函数 ， 函 ｇ ） （ ） ８ ＋ｏ ） 且 可得 ＿ ｚ 为 Ｒ上 的奇函数 ， （ ） Ｒ上的偶 厂 ） （ ｇｚ 为 数 —ｆ ｘ ） （ ＋８为偶 函数 ， （ 则 ） 函数， 于是令 ，ｚ 一 ｇ ＝ 。 （） ， （） ．可得 ／（ ） 一
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组”从 而避免 向量 问题通过繁杂 的作图计算． ，
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【 ３ 如图： Ｉ 茄 １ ， ， 夹角 例 】 Ｉ —ｌ —１ 蔬 １０，２， 夹角 ３。 ￣ ５用 ， 表示 ２￣－ － ｏ ｏ， － ， Ｄ 蔬
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责任编辑 ： 马红
【 作者单位 ： 北省黄石市第三 高级 中学】
【 解答】 设 一
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涪 数 外 司 高 考 数 学
【 般解 法 】由 ， 一 ） 一 ， ｚ ， － ｘ 一 一 （ 一 （ ） ｇ（ ）
Ａ．厂 ６＞ 厂７ （） （ ）
Ｃ． ７ ＞ 厂９ ） （）
．
Ｂ 厂６ ＞ 厂 ９ ． （ ） （） Ｄ． 厂７＞ ｆ １ ） （） （Ｏ
１ ｇ （ ） ｘ， ， ｚ ＝２ 从而得 出正确答案为 Ｂ．
【 ４ （０ ７年 高考 辽宁卷 ， １ ） 例 】 ２０ 文 ３ 已知 函 【 一般解法】由 —ｆ ｘ＋８ 为偶 函数 可得 ， 数 一 ，（ 为 奇 函数 ， ，（ ）一ｆ（ ） １ 则 （ ） ） 若 ３ ２一 ， （ ８ 一 厂 一 ＋８ ， ｚ ｚ＋ ） （ ） 用 一８代替其 中的 Ｘ得 ， ， 一２ 一， 一 ３ 一— — ． （ ） （ ）
例谈“特殊化法”在高考数学选择题中的应用
例谈“特殊化法”在高考数学选择题中的应用作者：董颖来源：《读写算》2012年第86期【摘要】特殊化法是从题干或选项出发，通过取特殊值代入，将问题特殊化的解题方法。
高考数学选择题的结论唯一，可以适当选取一个或一些满足题设条件的特殊值来确定其结果，从而节省推理、论证、演算的过程，加快解题速度。
【关键词】特殊数值特殊位置特殊模型近几年，高考的选择题减少了运算量，增加了思维的空间。
如果这种题目处理不当可能用时较长，但是如果概念运用熟练，思维灵活，能够直接抓住题目的实质，就可以用简缩的思维解决问题。
有的学生解选择题慢而不准，一个重要的原因是只把选择题的题干作为已知条件，把选择题当作解答题来做。
事实上，除了题干之外，选择题还有两个信息：一是四个选项，二是四个选项中只有一个是符合题目要求的。
充分利用这两个信息，就可以使解题有创造性，就可以小题小做，小题巧做，小题活做。
众所周知，一个普遍成立的命题，对特殊情形也必然成立；对特殊情形不成立的命题，对普遍情形也不成立。
把辩证法的这一原理用到数学的解题和学习中就是特殊化法。
特殊化法是指运用满足题设条件的某些特殊值对各选择支进行检验或推理，根据“一般成立特殊成立，特殊不成立一般不成立”的原理得到正确结论。
特殊化法就是依据这一原理来否定三支，从而来肯定一个选择支的，从而清晰、快捷地得到正确的答案，起到事半功倍的效果。
此法的主要特征是取特例（如特殊数值、特殊位置、特殊模型等），进行合理科学的判断——否定或肯定。
在解选择题时，用特殊化法就是考虑到选择题的特征，把题干、选项及四选一的要求结合起来，创造性地解题。
用特殊化法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊，效果愈好。
下面通过几道高考题来说明用特殊化解题的方法。
这种解法正是根据问题的条件和结论特点，通过联想、构造符合题意的数学模型，从而通过特殊模型解决了抽象函数的选择题。
通过以上例题可以看出用特殊化方法解选择题，不仅能够节省解题时间，保证解题的准确，而且对学生的思维能力的培养与提高也大有好处。
用特殊化思想巧解高考数学选择题
但其结论唯一 或 题 设 条 件 中 提 供 的 信 息 时 ， 取一些符 合 条 件 的 恰 当 特 殊 值 （ 或 特 殊 角， 特殊 图 形 特 殊 位 置， 特 殊 点， 特 殊 方 程， 或特殊 数列， 特殊模型等 ） 进 行 处 理， 从而得出探求的结 函数 ， 论， 从而大大简化推理 、 论证的过程 ．
２ ） 为增函数的区间是 －狓
（ ）
］ Ａ．［ －１， １ ］ Ｂ．（ －∞ ， －１ １， ＋∞ ） ∪［ ］ ］ Ｃ．（ －∞ ， －１ ０， １ ∪［ ］ Ｄ．［ －１， ０ １， ＋∞ ） ∪［ 思路分 析 （ 设 特 殊 函 数） 这是一个抽象函 数问题 ， 涉 及 到 复 合 函 数 的 单 调 性， 要具体分析
０ １ ５ 年第 ３ 期 ２
数学教育研究
·６ ３·
用特殊化思想巧解高考数学选择题
沈 辉 张征红 （ 湖北省安陆市第二高级中学 ４ ） ３ ２ ６ ０ ０
近几 年 数 学 高 考 试 题 的 一 个 显 著 的 特 点 是 没有追求特别的 解 题 技 巧 ， 而是突出考查基本的 数学思想 和 方 法 ． 目 前， 很多学生对解答选择题 没有掌握一定的技 缺乏正确的解题 思 路 和 方 法 ， 巧， 既费时 又 容 易 出 错 ． 由于选择题的特点是在 已经给定 的 选 项 中 寻 找 正 确 的 答 案 和 不 要 求 书 写解题过程 ， 因此 在 解 题 方 法 上 有 一 定 的 特 殊 性 和技巧性 ． 数学教 育 家 希 尔 伯 特 曾 经 说 过 ： “ 在讨 我相信特殊化比一般化起着更为 论数学问题时 ， 重要的作用 ． ” 因此， 在用直接法解数学问题感到 困难时 ， 如 果 能 调 整 思 路， 采用特殊化策略去考 虑解题的 方 法 ， 往往能“ 柳 暗 花 明 又 一 村” ， 使问 本文 拟 就 如 何 运 用 特 殊 化 策 略 解 数 题迎刃而解 ． 学选择题在此浅作例谈 ． 例 １ 已 知 矩 形 的 四 个 项 点 犃（ ， ０， ０） 犅（ ２， ） ， ） 和 犇（ ） ， 一质点从 犃 ０ 犆（ ２， １ ０， １ 犅 的中点 犘０ 沿 与犃 依 犅 夹角 为θ 的 方 向 射 到 犅 犆 上 的 点 犘１ 后 ， 入 次反射到 犆 犇、 犇犃 和 犃 犅 上 的 点 犘２ 、 犘３ 和 犘４ （ 射解等于反射角 ） ， 设 犘４ 坐 标 为 （ ， 若 １＜狓 狓 ０） ４， ４ 则ｔ ａ ｎ ＜２， θ 的取值范围是 １ ２ ， １ Ｂ．（ ， ） （１ ３ ） ３ ３ ２ １ ２ ２ Ｄ．（ ， ） Ｃ．（ ， ） ５ ２ ５ ３ Ａ． 思路分 析 （ 取 特 殊 点） 结合矩形的对称性 可以考虑设 犘０ 射 到 犅 和反射的物理性质 ， 犆 的中 点上， 这 样 依 次 反 射 最 终 回 到 犘０ 这 样 一 种 临 界 １ 由题设条 情况 （ ） ， 此 时 容 易 求 出ｔ 狓 ａ ｎ θ＝ ， ４ ＝１ ２ １ 排除 、 、 ， 件知 ， ， 则ｔ １＜狓 ａ ｎ Ａ ＢＤ 故 θ≠ ， ４ ＜２ ２ 选 Ｃ． 方法提炼 在 解 选 择 题 时 用 特 殊 化 方 法 就 是考虑到 选 择 题 的 特 征 ， 把 题 干、 选项及四选一 的要求结 合 起 来 ， 创 造 性 地 解 题 的 一 种 方 法． 也 就是说 ， 当题目已知条件中含有某些不确定的 （ ）
浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用
浅谈高考数学选择题中“特殊化法”的应用特殊化法是指运用满足题设条件的某些特殊值对各选择支进行检验或推理，根据“一般成立?圯特殊成立，特殊不成立?圳一般不成立”的原理得到正确结论。
此法的主要特征是取特例（如特殊数值、特殊位置、特殊模型等），解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊，效果愈好。
下面举几个例子来说明用特殊化解题的方法。
一、特殊数值从条件或者选择支中，取一些方便于计算和推理的数值进行验证，从而否定答案，包括取特殊值构造特殊数列或构造特殊项数、取特殊的角等等。
有时候一次能成功，但是有时候必须取两次、三次甚至更多，切忌“一次成功”。
例１.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log35解法１：由9=a5a6=a1q4×a1q5=a12q9，可得a1a2…a10=a110q1+2+3+…+9=a110q45=（a12q9）5=q5=310原式=log3a1a2…a10=10因此选Ｂ。
解法２：由等比中项性质可得9=a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7，原式＝log3（a 5 a 6 ）5=5log39=10。
这两种解法虽然都正确，都是把一道选择题当作一道解答题求解，并没有考虑到选项及选项只有一个是正确的这两个信息。
从这两个信息思考，不管这个数列的通项公式{an}是什么，答案都是唯一确定的。
既然如此，为什么不取一个特殊数列？解法3：令a5=a6=3，满足已知条件，此时是一个公比为１的等比数列，因此各项均为３，而log33=1，于是10个１相加得10，故选Ｂ。
解法3相对于前两个解法减少了运算量，甚至没有运算量，用的时间自然就少，解法自然就简捷。
二、特殊位置对于具有动态的问题，可以优先考虑问题极端情况，包括在中点、端点时的情形、在相等时取到最值的情形、在某个不断变换时的变化趋势和极限状态等。
特殊化思想巧解2012年高考题
－ － １ １ ．
为
解 Ｅ， Ｆ 分 别 为 线 段 ＡＡ， ， Ｂ Ｃ 上 的
评注 本题考查 了等 比数 列的概念 ， 前 项 和与通 项公式 的应 用 ， 是 一道 基 础 性题 ．
点， 假设 Ｅ与 Ａ 点重合 ， Ｆ与 Ｃ重合 ， 则
一
１
＝
一
１
一
１
这里通过任取一个 满足要求的 竹值 ， 使得问 题 的化 简更 为简 洁．
ｒ
６ ． 故 由根与系数的关系， 一口 ＝６ ， ｂ －ｃ ＝Ｏ ， 所
以口 一６ ， ４ ｂ ＝ａ 。 ＝３ ６ ， ｂ ＝ｃ ＝９ ．
１
Ｌ
ｌ
ｊ
评注 本题考查 了函数与方 程、 二次不 等 式的求解 和 根 与 系数 的关 系． 这 里通 过 取 ７ ｎ为特殊值， 节省 了化简 、 运算时间， 轻松求 得ｃ 值。
｛ Ｘ ） 除第 １ 项外 ， 从第 ２ 项起以后的项是以
２ 为周期重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ性 的出现 ， 因此此时不存在正
本题考查 函数的 图像 ， 涉及 函数
第 ３ ２ 卷第 １ Ｏ期
２ ０ １ ３ 年 １ ０月
数学教学研究
３ ３
整数 忌 ， 使 得 当 ≥ 志时 总 有 ｚ 一Ｘ ｋ ， 故 ② 不 正 确．
（ Ａ）
（ Ｂ ）
例３ （ ２ ０ １ ２ 年四川卷理） 记［ ｚ ］ 为不超
ｌ
过实数 ｚ的最大整数． 例如［ ２ ］ 一２ ， ［ １ ． ５ ］ ＝
’
厂
（ Ｃ）
３
Ｃ。
１ ， ［ 一Ｏ ． ３ ］ ＝ ＝ ＝ 一１ ． 设口 为正整数 ， 数列 ｛ ） 满
从一道高考试题看特殊化思想在解题中的运用
从一道高考试题看特殊化思想在解题中的运用作者：***来源：《广东教学报·教育综合》2021年第80期哲学知识告诉我们，特殊寓于一般之中，在具体问题中，一般成立的情况下特殊地进行运用，是极为重要的数学思想。
教师在平时的教学中，一方面要加强对学生进行双基方面的教学，处理好注重通法和淡化特技的关系，又要有意识地培养学生的特殊化思想。
特别是在高考时间特别紧的情况下，在做选择和填空题的过程中，掌握了特殊化的思想方法，将取得事半功倍的效果。
1.试题呈现（2020全国高考山东数学试题）已知a>0， b>0，且a+b = l，则（）2.解法分析以下是官方分析及解答，本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.根据a+b=l，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.2评述：这是一道高考试题中的选择题，官方给出的解答是正确的，但是，这样做完成是一种小题大做，即将一个小小的选择题当成了一个解答题在做。
事实上，有特殊化思想的学生做此题，根据一般成立特殊用的思想，其实只要假设a = Z>= ！及假设a=1 b=|彳艮容易得到结论。
3.常见拓展類型1特殊数值评述：令a =4，b =2，c =;，可以说基础好的同学一分钟内得到答案。
对一般成绩的同学也可以在两分钟得出答案。
评述：此题直接推导特别麻烦，其实根据题意，令a弓，b =：，很容易得出结论。
类型2特殊数列官方分析及解答为：取m = l，可得出数列{%}是等比数列，求得数列{%}的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k的等式，由EN，可求得k的值.本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题评述：此题官方给出的解答极为繁杂，读者可以参阅有关资料。
事实上，根据一般成立特殊用的原理，加上这是一个填空题而非解答题，因此我们在解决此题时可以选择特殊位置的情况。
特殊化解题方法及其在解题中的作用
贝 Ｅ＝ Ａ ，Ｆ＝ Ａ ． ０ Ａ ÷ Ａ ÷ ｃ
ｊ ｊ
由正 弦 定 理
繁琐 的运 算 或 论 证 无 法 求 出 结 果 ， 通 过 取 反 例 或 取 特 殊 但 值 的方 法 便 可 直 观 地 得 Ｓ Ⅲ ＝ Ａ Ａ ｓ Ａ ÷ Ｅ‘ Ｆ ｉ ｎ
± ． 口 ｂＣ ≥ ｑ ｒ
我们 又必 须 借 助 一 般 特 殊 化 进 行 检 验 ． 举 例 如 下 ： 先
一
、
辩 谬 误
三式相加 ， ａ 得 ＋ｂ Ｃ ≥Ｕ ｂ Ｃ ＋ ｒ Ｃ ＋ａ ｂ ． ＋ ｐ ａｂ ｑ
１ 选 择 题 ．解 选 择 题 要 求 学 生 对 题 目所 提 供 的选 择 支 迅 速 的 正 确 的
的 ， 为 有 效 的特 例 （ 括 特 殊 点 、 殊 值 等 ） 较 包 特 ． 例 ２ 设 ｛ ， ｂ 是 公 比 不 为 ０ 的 等 比 数 列 ， ＝ ａ ｝ ｛ ｝ Ｃ ａ ＋ｂ ， 证 ： ｃ ｝ 是 等 比 数 列． 求 ｛ 不 分析
ｃ
把 △Ａ Ｃ分成 两个 部分 ， 证 ： 两 个部 分 的 Ｂ 求 这 面积 之差 不 大于 △Ａ Ｃ面积 的九分 之 一． Ｂ
＝
１
１ ．以 退 为 进找 方 法 般 性 的数 学 问 题 不 易 解 决 时 ， 将 它 化 为 特 殊 情 况 常
一
÷・ ｃＡ鲁…， Ａ・ ｓ ＝ ｓ ｉ ｎ
’ ・ ・
来 处 理 ， 特 殊 情 况 的观 察 中发 现 一 般 规 律 ， 而 得 到 一 般 从 进
●
解 题 技 巧 与 方 法
礴 ●
．
●
．
． Ｉ， ０ －
特 化 题
高考语文选择题秒杀法怎样快速答题
高考语文选择题秒杀法怎样快速答题要想快速答题，就需要掌握一定的答题技巧，下面是为大家整理的高中语文选择题的秒杀答题技巧，以供参考借鉴，一起来看看吧！高考语文选择题秒杀法1、排除法即逐一否定错误的选项，达到选择的目的。
选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正确结论。
可通过筛除一些较易判定、不合题意的结论，缩小选择的范围，再从其余的结论中求得正确的答案。
2、特殊值法(特值法、极限法)在不影响结论的前提下，将题设条件特殊化，从而得出正确结论。
有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往十分简单。
对于有范围限制的选择题，或包括的情形比较多的选择题，求解时，可运用极限思想，让变量无限靠近某个值或取极端情形，求出极限，可得答案的求解方法。
3、分析法根据题意考查被选答案间的逻辑关系。
“八字诀”所代表的八种方法并不是孤立地使用的，解题时常应用其中的两三种或更多种，当然可能对某种方法有所侧重。
至于到底应用何种方法，并无固定的模式，只要将各种方法做到烂熟于心，加之思维活跃、应变能力强，就能在一定的问题情境下迅速作出合理的反应，很快地检索出最合适的解法。
秒杀语文选择题技巧1、因果关系型选择题此类题目关键着眼于历史状况的背景、条件、結果、影响等方面的考察。
要审清文题，明晰因果，弄清出题用意。
同一时间注重差别根源、直接缘由、主观缘由、客观性缘由、内外因等要求。
千万别因果关系倒置，相互混杂，不分主次等。
2、否定型选择题此类选择题一般要求选出和史实不符的选择项。
其特征是题目部分采取否定式的提醒或者限定，如用“不是”、“无”、“没有”、“错误”等词句，因此要非常注重反向逻辑思维。
3、推论型选择题解答这种题可采取推演法，根据必要的推论，来确定合乎文题的标准答案。
例析极限、特殊化思想在解题中的运用
例析极限、特殊化思想在解题中的运用高群安(湖北省襄州一中㊀４４１１０４)摘㊀要:极限思想㊁特殊化思想ꎬ在历年高考中都占有重要的地位.在解题中ꎬ它具有排除否定功能ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.关键词:极限思想ꎻ特殊化思想ꎻ广泛应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７２－０３收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高群安(１９６３－)ꎬ男ꎬ湖北省襄阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁数学思想概要特殊化思想㊀就是用特殊值㊁特殊点㊁特殊函数㊁特殊数列㊁特殊方程㊁特殊图形 去探求未知的题设结论ꎬ或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定ꎬ正确的结论则需要进一步的证明.极限思想㊀就是用极限的概念㊁理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想ꎬ它在探究㊁解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.极限思想㊁特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位.运用极限㊁特殊化思想解决有关数学问题ꎬ可以迅速排除错误结论ꎬ缩小目标范围ꎬ优化解题过程ꎬ提高解题效率.㊀㊀二㊁数学思想应用举例特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而ꎬ对一些解答题ꎬ若先用特值法探求结论ꎬ就能使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现ꎬ如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况ꎻ点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.１.求值问题例１㊀抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ与ｘ轴的两交点为Ａ㊁Ｂꎬ求｜ＡＢ｜的值.分析㊀取ｍ＝０ꎬ则抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法一㊀把抛物线按向量(－ｍꎬ０)平移后ꎬ顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ此时抛物线方程为ｙ＝－ｘ２＋１ꎬ｜ＡＢ｜的长度不变ꎬ易得｜ＡＢ｜＝２.解法二㊀ȵ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点坐标为(ｍꎬ１)ꎬ所以抛物线方程可化为ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１ꎬ令ｙ＝－(ｘ－ｍ)２＋１＝０得ｘ１＝ｍ－１ꎬｘ２＝ｍ＋１ꎬ｜ＡＢ｜＝｜ｘ２－ｘ１｜＝２.例２㊀求３ｘ＋ｘ＋８３ｘ－１３＋３ｘ－ｘ＋８３ｘ－１３之值.分析㊀当ｘȡ１时ꎬ原式有意义ꎬｘ＝１时ꎬ原式＝１＋１＝２ꎻｘ＝４时ꎬ原式＝３４＋４＋０＝２.由此猜想:原式的值是一个与ｘ无关的常数２.题中根式过多ꎬ能否通过换元转化ꎬ简化求解过程呢?解㊀设ｘ－１３＝ｔȡ０ꎬ则ｘ＝３ｔ２＋１ꎬｘ＋８３＝ｔ２＋３.ʑ原式＝３３ｔ２＋１＋ｔ(ｔ２＋３)＋３３ｔ２＋１－ｔ(ｔ２＋３)＝３(１＋ｔ)３＋３(１－ｔ)３＝１＋ｔ＋１－ｔ＝２.图１例３㊀如图１所示ꎬ在әＡＢＣ中ꎬ点Ｏ是ＢＣ的中点ꎬ过点Ｏ的直线分别交直线ＡＢꎬＡＣ于不同的两点ＭꎬＮꎬ若ＡＢң＝ｍＡＭңꎬＡＣң＝ｎＡＮңꎬ则ｍ＋ｎ的值为(㊀㊀).Ａ.１㊀Ｂ.２㊀Ｃ.３㊀Ｄ.４解法一㊀当点Ｍ与Ｂ重合时ꎬＮ与Ｃ重合ꎬ此时ｍ＝ｎ＝１ꎬｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.解法二㊀ȵＯ为ＢＣ的中点ꎬʑＡＯң＝１２(ＡＢң＋ＡＣң)＝１２(ｍＡＭң＋ｎＡＮң)＝ｍ２ＡＭң＋ｎ２ＡＮң.ȵＭꎬＯꎬＮ三点共线ꎬʑｍ２＋ｎ２＝１ꎬʑｍ＋ｎ＝２.故选Ｂ.例４㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤꎬøＢＡＤ＝øＢＣＤ＝９０ʎꎬ四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ则ＡＣ的长为.思路一㊀(利用极限思想探求答案)当ＣңＤ时ꎬＡＣңＡＤꎬ四边形ＡＢＣＤң等腰直角三角形ＡＢＤ.２７由１２ＡＢ ＡＤ＝１２ＡＤ２ң８⇒ＡＤң４ꎬＡＣң４.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３思路二㊀(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ＡＢＣＤꎬ则由ＡＢ２＝８⇒ＡＣ２＝２ＡＢ２＝１６⇒ＡＣ＝４ꎬ由此猜想ＡＣ＝４.解法一㊀如图３ꎬ连接ＢＤꎬ作ＡＯʅＢＤ于点Ｏꎬ作ＣＨʅＡＯ于点Ｈ.连接ＯＣ.依题意可设ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＣ＝ａꎬＯＨ＝ｂꎬＣＨ＝ｃꎬ则因为四边形ＡＢＣＤ的面积为８ꎬ所以１２ＢＤˑＡＨ＝８⇒ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ于是ＡＣ２＝(ａ＋ｂ)２＋ｃ２＝ａ２＋２ａｂ＋(ｂ２＋ｃ２)＝２ａ２＋２ａｂ＝２ａ(ａ＋ｂ)＝１６ꎬ故所求ＡＣ的长为４.点评㊀解答的关键是作辅助线由面积关系导出ａ(ａ＋ｂ)＝８ꎬ再由勾股定理㊁整体代换求出ＡＣ＝４.不作辅助线能否求出ＡＣ呢?解法二㊀在四边形ＡＢＣＤ中ꎬ设ＡＢ＝ＡＤ＝ａꎬＢＣ＝ｂꎬＣＤ＝ｃꎬＡＣ＝ｘꎬ由题设易得ａ２＋ｂｃ＝１６.由余弦定理得ｘ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＢꎬｘ２＝ａ２＋ｃ２－２ａｃｃｏｓＤꎬｃｏｓＢ＋ｃｏｓＤ＝０{⇒(ｃ＋ｂ)ｘ２＝ｃ(ａ２＋ｂ２)＋ｂ(ａ２＋ｃ２)⇒ｘ２＝ａ２＋ｂｃ＝１６ꎬｘ＝４ꎬ即ＡＣ＝４.２.参数范围问题例５㊀(２０１５课标１ 理１６)在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２ꎬ则ＡＢ的取值范围是.分析㊀如图４ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ＝２ꎬ角ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的大小确定ꎬ当ＤңＡ时ꎬｘ递增ꎻＤңＣ时ꎬｘ递减.图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬøＡ＝øＢ＝øＣ＝７５ʎꎬＢＣ＝２.设ＡＢ＝ｘꎬ则当ＡＤң０时ꎬｘң６＋２ꎻＤＣң０时ꎬｘң６－２.ʑＡＢɪ(６－２ꎬ６＋２).点评㊀本题是运用正弦定理解三角形ꎬ求取值范围问题.本解答抓住Ｄ点的动态变化ꎬ运用数形结合的思想㊁极限的思想ꎬ巧妙地解决了问题.３.求单调区间例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)ꎬ当ｘɪ(－ɕꎬ０]时单调递减ꎬ求ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间.分析㊀若取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝｜ｘ｜ꎬ则ｆ(２ｘ－ｘ２)＝｜ｘ２－２ｘ｜.画出图象ꎬ由图可知ꎬ递增区间为[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).解㊀利用复合函数的单调性.设ｕ＝ｕ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２＝－(ｘ－１)２＋１ꎬ则ｕȡ０⇔０ɤｘɤ２ꎬｕɤ０⇔ｘɤ０或ｘȡ２ꎬｕ(ｘ)在(－ɕꎬ１]单调递增ꎬ[１ꎬ＋ɕ)单调递减ꎬ函数ｙ＝ｆ(２ｘ－ｘ２)可看作是由ｙ＝ｆ(ｕ)ꎬｕ＝２ｘ－ｘ２复合而成的复合函数.根据复合函数同增异减的性质得 ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增 等价于 ｆ(ｕ)递增ꎬｕ(ｘ)递增ꎬ{或ｆ(ｕ)递减ꎬｕ(ｘ)递减{ ⇔ｕȡ０ꎬｘɤ１ꎬ{或ｕɤ０ꎬｘȡ１{⇔０ɤｘɤ１或ｘȡ２ꎬ即ｆ(２ｘ－ｘ２)的单调递增区间是[０ꎬ１]和[２ꎬ＋ɕ).４.比较大小例７㊀әＡＢＣ中ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎ２Ｃ>２ꎬ试判断әＡＢＣ的形状.分析㊀由对称性不妨设ＡɤＢɤＣꎬ试判断әＡＢＣ的形状实际上就是比较角Ｃ与直角的大小关系ꎬ取Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝６０ʎꎬ则左边＝３ˑ３/４＝９/４>右边ꎬ满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝４５ʎꎬＣ＝９０ʎꎬ则左边＝２ꎬ不满足条件ꎻ取Ａ＝Ｂ＝３０ʎꎬＣ＝１２０ʎꎬ则左边＝５/４<２ꎬ不满足条件.由此猜想әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ因此问题转化为证明最大角Ｃ<９０ʎ.５.否定错误选项例８㊀(２０１４课标１ 文１１)设ｘꎬｙ满足约束条件ｘ＋ｙȡａꎬｘ－ｙɤ－１ꎬ{且ｚ＝ｘ＋ａｙ的最小值为７ꎬ则ａ等号(㊀㊀).Ａ.－５㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.－５或３㊀㊀Ｄ.５或－３图６解析㊀画出不等式组对应的平面区域ꎬ如图所示.当ａɤ０时ꎬ在直线ｘ＋ｙ＝ａ上ꎬｘң－ɕꎬｙң＋ɕ时ꎬｚ＝ｘ＋ａｙң－ɕꎬｚ＝ｘ＋ａｙ无最小值ꎬ否定Ａ㊁Ｃ㊁Ｄ.故选Ｂ.点评㊀本解答的关键是利用极限思想ꎬ结合图形直观.当ａɤ０时ꎬ目标函数ｚ＝ｘ＋ａｙ没有最小值ꎬ否定选项ＡＣＤ.６.不等式问题例９㊀(襄阳市２０２０年５月高三月考试题１１)ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ则不等式４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(－ｘ６)的解集是.３７Ａ.(４ꎬ＋ɕ)㊀㊀㊀Ｂ.(－ɕꎬ－１２)ɣ(４ꎬ＋ɕ)Ｃ.(－１２ꎬ４)㊀Ｄ.(－ɕꎬ－１２)解法一(特值法)㊀取满足条件的特殊函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２ꎬ则由４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)得４ｘ２[－(ｘ３)２]>(１２－ｘ)２[－(２－ｘ６)２]⇒１６ｘ４<(ｘ－１２)４⇒４ｘ２<(ｘ－１２)２⇒ｘɪ(－１２ꎬ４).选Ｃ.如果是求解题ꎬ该怎么办呢?解法二(构造法)㊀构造函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)ꎬ因为ｆ(ｘ)是Ｒ上的偶函数ꎬｘȡ０时ꎬｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)ɤ０ꎬ即ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)ɤ０ꎬ所以当ｘȡ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｘ２ｆᶄ(ｘ)＋２ｘｆ(ｘ)＝ｘ[ｘｆᶄ(ｘ)＋２ｆ(ｘ)]ɤ０ꎬ所以偶函数ｇ(ｘ)＝ｘ２ｆ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)递减ꎬ４ｘ２ｆ(ｘ３)>(１２－ｘ)２ｆ(２－ｘ６)⇔３６(ｘ３)２ｆ(ｘ３)>３６(１２－ｘ６)２ｆ(１２－ｘ６)⇔ｇ(ｘ３)>ｇ(１２－ｘ６)⇔｜ｘ３｜<｜１２－ｘ６｜⇒－１２<ｘ<４.选Ｃ.点评㊀本题主要考查依据题设条件ꎬ构造函数模型ꎬ解决不等问题的能力.７.利用极限思想回避讨论例１０㊀过点Ｐ(－１ꎬ２)的直线ｌ被圆Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝４截得的弦长为２２ꎬ求直线ｌ的方程.解㊀由题设可得圆心Ｏ(０ꎬ０)到直线ｌ的距离ｄ＝１ꎬ设ｌʒｙ－２＝ｋ(ｘ＋１)ꎬ则由ｄ＝｜ｋ＋２｜ｋ２＋１＝１⇒ｋ＝－３４或ｋ＝ɕꎬ故所求直线ｌ的方程为ｘ＝１或３ｘ－４ｙ＋５＝０.点评㊀按常规解答本题应分直线ｌ的斜率存在与不存在两种情况讨论ꎬ本解答巧妙地应用了极限的思想: ｋңɕ时ｄң１ 得斜率不存在的情况满足条件ꎬ回避了分类讨论ꎬ简化了解答过程.８.利用极限思想优化解题过程例１１㊀(２０１２四川 文１２)㊀已知设函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－３)３＋ｘ－１ꎬ{ａｎ}是公差不为０的等差数列ꎬｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)＝１４ꎬ则ａ１＋ａ２＋ ＋ａ７＝(㊀㊀).㊀Ａ.０㊀㊀Ｂ.７㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.２１分析㊀明知山有虎ꎬ偏向虎山行.若取{ａｎ}为常数列ꎬ则易得ａｎ＝３ꎬ答案选Ｄꎬ但题设中{ａｎ}不是常数列呀!能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?解㊀ｆ(ｘ)是Ｒ上的连续函数ꎬ公差ｄң０时ꎬａｎңａ４ꎬ１４＝ｆ(ａ１)＋ｆ(ａ２)＋ ＋ｆ(ａ７)ң７ｆ(ａ４)⇒ｆ(ａ４)ң２⇒(ａ４－３)３＋ａ４－１＝(ａ４－３)[(ａ４－３)２＋１]＋２ң２⇒ａ４ң３ꎬʑａ１＋ａ２＋ ＋ａ７ң７ａ４ң２１.观察答案ꎬ选Ｄ.㊀９.利用极限思想解决定值问题例１２㊀(见文[２])已知椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的焦距为２３ꎬ点Ｐ(０ꎬ２)关于直线ｙ＝－ｘ的对称点在椭圆上.(１)求椭圆Ｍ的方程ꎻ(２)如图ꎬ椭圆Ｍ的上下顶点分别为ＡꎬＢꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于不同两点ＣꎬＤꎬ①求线段ＰＤ长度的最大值ꎻ②当ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｑ时ꎬ试问:点Ｑ的纵坐标是否定值?若是ꎬ求出该定值ꎻ若不是ꎬ请说明理由.解㊀(１)椭圆Ｍ的方程是ｘ２４＋ｙ２＝１.(过程略)(２)①ＰＤ长度的最大值是２２１３.(过程略)②当点ＣңＡ时ꎬＤңＢꎬ四边形ＡＣＤＢң直角梯形ꎬ利用相似形的性质易得ｙＱ＝１２ꎻ当点ＣңＤ时ꎬ椭圆的割线ＰＣＤң切线ＰＴꎬ点Ｑң切点Ｔꎬ利用方程易求得ｙＱ＝１２.下面证明:点Ｑ的纵坐标是定值１２.设直线ｌʒｙ＝ｋｘ＋２ꎬＣ(ｘ１ꎬｋｘ１＋２)ꎬＤ(ｘ２ꎬｋｘ２＋２)ꎬ由ｙ＝ｋｘ＋２ꎬｘ２＋４ｙ２＝４{⇒(４ｋ２＋１)ｘ２＋１６ｋｘ＋１２＝０ꎬʑｘ１ｘ２ｘ１＋ｘ２＝１２－１６ｋ⇒ｋｘ１ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２).设Ｑ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＡꎬＱꎬＤ共线及ＣꎬＱꎬＢ共线得ｙ－１ｘ＝ｋｘ２＋１ｘ２ꎬｙ＋１ｘ＝ｋｘ１＋３ｘ１{⇒ｙ－１ｙ＋１＝ｋｘ１ｘ２＋ｘ１ｋｘ１ｘ２＋３ｘ２＝－３４(ｘ１＋ｘ２)＋ｘ１－３４(ｘ１＋ｘ２)＋３ｘ２＝－１３⇒ｙ＝１２.可见ꎬ极限特殊化思想ꎬ具有排除否定功能.在求解题中ꎬ具有探求导向作用ꎬ它给我们观察㊁猜想㊁发现提供了有力的依据ꎬ使我们的求解过程有明确的努力方向ꎬ从而增强目标意识ꎬ提高我们的思维水平和解题效率.㊀㊀参考文献:[１]２０１２年全国及各省市高考试题解析[Ｍ].西安:陕西人民教育出版社ꎬ２０１２:１４８.[２]翟金成.高二数学测试题[Ｊ].中学生数理化(高二版)ꎬ２００９(０６):１９－２４.[责任编辑:李㊀璟]４７。
巧解高中数学选择题的10个方法
巧解⾼中数学选择题的10个⽅法⾼中数学选择题⽐其他类型题⽬难度较低，但知识覆盖⾯⼴，要求解题熟练、灵活、快速、准确。
⽅法君总结了以下⼗个选择题的答题技巧，帮助同学们提⾼答题效率及准确率。
1.排除法：利⽤已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从⽽达到正确选择的⽬的。
这是⼀种常⽤的⽅法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代⼊验证即可排除。
如下题，y=x为奇函数，y=sin|x|为偶函数，奇函数＋偶函数为⾮奇⾮偶函数，四个选项中，只有B选项为⾮奇⾮偶函数，凭此⼀点排除ACD。
2.特殊值检验法：对于具有⼀般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利⽤问题在某⼀特殊情况下不真，则它在⼀般情况下不真这⼀原理，达到去伪存真的⽬的。
值得注意的是，特殊值法常常也与排除法同时使⽤。
如下题，代⼊特殊值0，显然符合，排除AD；代⼊x=－1显然不符，排除C。
3.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进⾏分析，使因果关系变得更加明显，从⽽达到迅速解决问题的⽬的。
极端性多数应⽤在求极值、取值范围、解析⼏何、⽴体⼏何上⾯，很多计算步骤繁琐、计算量⼤的题，采⽤极端性去分析，就能瞬间解决问题。
如下题，直接取AB⊥CD 的极端情况，取AB中点E，CD中点F，连结EF，令EF⊥AB且EF⊥CD，算出的值即最⼤值，⽆须过多说明。
4.顺推破解法：利⽤数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的⽅法。
如下题，根据题意，依次将点代⼊函数及其反函数即可。
5.逆推验证法(代答案⼊题⼲验证法)：将选项代⼊题⼲进⾏验证，从⽽否定错误选项⽽得出正确答案的⽅法。
常与排除法结合使⽤。
如下题，代⼊x=0，显然符合，排除AD；代⼊x=－1显然不符，排除C。
选B。
6.正难则反法：从题的正⾯解决⽐较难时，可从选项出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反⾯出发得出结论，在做排列组合或者概率类的题⽬时，经常使⽤。
10.估算法：有些问题，由于题⽬条件限制，⽆法(或没有必要)进⾏精准的运算和判断，此时只。
例谈数学中的特殊与一般思想
例谈数学中的特殊与⼀般思想2019-05-20⼈们认识世界总是从特殊到⼀般，再从⼀般到特殊，数学研究也不例外. 对于⼀般情况下难以求解的问题，可以运⽤特殊化思想，取特殊值、特殊图形，从⽽使问题顺利求解. 本⽂结合⼀些例题来谈⼀下特殊与⼀般思想在数学中的运⽤.⼀、⽤“特殊化”思想解题“特殊”能在⼀定范围内反映或体现“⼀般”. 由于填空、选择题不要求严密完整的推理过程，若能⽤特殊化进⾏探索、猜想、验证，可以使解题过程简单，获取答案快速⽽且准确. ⽤特殊化⽅法解题的理论依据和逻辑基础是：若⼀般情况下成⽴，那么其包含于题⽬中的特殊情况也成⽴，这是⼀种巧法.1. 字母或⾓的取值特殊化【解析】这道题⽬要判断的四个不等式很“庞⼤”，⽤特殊值法可达到“秒杀”的效果. 因为【点评】在利⽤特殊化的⽅法解决问题时需要注意以下⼏点：（1）题⽬的答案必须是唯⼀确定的；（2）特殊值的选取必须符合题设条件；（3）特殊值的选取应尽可能简单，以便运算和⽐较.2. 点或图形位置特殊化例2 （2012·德州）如图1，两个反⽐例函数y=和y=-的图像分别是l1和l2. 设点P在l1上，PCx轴，垂⾜为C，交l2于点A，PDy 轴，垂⾜为D，交l2于点B，则PAB的⾯积为（）.A. 3B. 4C.D. 5【解析】在本题中，只要点P确定，那么A、B、C、D四点也就确定了. 本题给出的选项都是⼀个定值，也从侧⾯反映只要点P 在l1上，PAB的⾯积与点P的坐标⽆关. 不妨设点P的横坐标为1，那么P（1，1），A（1，-2），B（-2，1），所以PA=3，PB=3，PAB的⾯积为，故选C.例3 （2013·济宁）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上⼀动点，PEAC于E，PFBD于F，则PE+PF=______.【解析】这是⼀道与动点有关的问题. 以这种形式出现，最后结果肯定是⼀个定值. 既然点P在AD上运动，那么点P在线段AD 的任何位置PE+PF的值都不变. 因此可以让点P运动到点A，根据题意画出如图3所⽰的图形，此时PE=0，由AB=3，AD=4，可求出BD=5，利⽤ABD的⾯积可以求出PF=2.4，所以PE+PF=2.4.【点评】⽤特殊图形解决问题时，⼀定要注意特殊图形的选取必须要符合题设条件，且问题的答案必须是唯⼀确定的. 所以在构造特殊图形时，⼀般从以下⼏个⽅⾯来考虑：（1）线段上的特殊点⼀般取线段的中点或者端点，弧上的点⼀般选取弧的中点或端点；（2）线与线的位置关系可以特殊化为平⾏、垂直或重合；（3）任意四边形可特殊化为平⾏四边形、矩形、菱形或正⽅形.⼆、⽤“特殊⼀般特殊”思想解决问题1. 在中考中，经常会遇到探索规律的题⽬. 解决这类题⽬的⽅法是从简单、特殊、具体情形出发，通过特殊情况的研究，归纳出⼀般结论，有时还需⽤⼀般结论解决其他特殊情况.例4 （2013·淮安）观察⼀列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…则第2013个单项式是_______.【解析】本题先看系数变化规律：系数依次为1，3，5，7，9，11，…，2n-1；再看指数变化规律：x的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，2，2，……可见三个单项式⼀个循环，故可得第2013个单项式的系数为4025；因为2013÷3=671，所以第2013个单项式的指数为2.因此第2013个单项式是4025x2. 本题体现了由特殊到⼀般再到特殊的思维过程.2. 在某些⼏何图形中，有些点和线的位置是在不断变化的，在这个变化过程中，却有⼀些线段的长度或⽐值、⾓的⼤⼩等存在着⼀定的关系. 解决这类问题，⼀般是从特殊情况⼊⼿，逐步分析、⽐较、讨论，从中发现规律或者解答⽅法，再⽤这个规律或解答⽅法解决其他类似问题.例5 （2012·河南）类⽐、转化、从特殊到⼀般等思想⽅法，在数学学习和研究中经常⽤到，如下是⼀个案例，请补充完整.原题：如图4，在平⾏四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上⼀点，BF的延长线交射线CD于点G. 若=3，求的值.（1）尝试探究在图4中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是______，CG和EH的数量关系是______，的值是______.（2）类⽐延伸如图5，在原题的条件下，若=m（m>0），则的值是______（⽤含有m的代数式表⽰），试写出解答过程.（3）拓展迁移如图6，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的⼀点，AE和BD相交于点F. 若=a，=b，（a>0，b>0），则的值是______（⽤含a、b的代数式表⽰）.【解析】第（1）题，按照题中的提⽰⽅法利⽤三⾓形相似不难求出AB=3EH，CG=2EH，=. 第（2）题是第（1）题的⼀般情况，因此可以仿照第（1）题添加相同的辅助线，过点E作EH∥AB交BG于点H，利⽤类似的⽅法求出=. 第（3）题把原题中的平⾏四边形变为了梯形，有了前⾯两题的解题经验，对于这种特殊情况，仍可添加类似的辅助线：过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H（如图7），依旧是利⽤相似求出=ab.【点评】运⽤“特殊⼀般特殊”的思想⽅法，能使数学问题化难为易，⽽且能加深同学们对数学知识的理解，同时还能打开解题思路.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
例谈特殊化思想在数学解答题中的运用
2 n 2 n+ 2 n+ 1 x
假设存在常数 t , 使得{ S n - t } 为等比数 S n+ 1 - t 列 , 那么 S n - t 应为常数, 设为 c, 转化为方 程 S n+ 1 - t = c( S n - t) . 将 S n, S n+ 1 代入, 用 待定系数法解 , 将很繁琐. 可尝试联想一般与特殊的关系, 先将其 S2 - t S3 - t 特殊化 , 令 n = 1, 2, 则 = , 得t S1 - t S2 - t a2 = . 1- a a2 S n+ 1 - t 再 验证 : 当 t = 时, = 1- a Sn - t an+ 3 1- a () õ( ) = a 为常数 ( 非零 ) . 1- a an+ 2 a2 所以存在常数 t = , 使得数列 { S n 1- a - t} 为等比数列 .
例 2 ( 1989 年高考全国卷试题 ) 是否存 2 2 在 实数 a, b , c, 使等式 1 × 2 + 2 × 3 + … + 1 n ( n + 1) 2 = n ( n + 1) ( an 2 + bn + c) 对一 12 切非零自然数 n 都成立? 若存在, 求出 a , b , c; 若不存在, 请说明理由 . 2 2 解 假设等式 1 × 2 + 2 × 3 + … + n ( n + 1) 2 = 1 n ( n + 1) ( an 2 + bn + c) 对一 12 切非零自然数 n 都成立, 分别令 n = 1, 2, 3, 得 2 1 1×2 = × 2 × ( a + b + c) ; 12 1 1 × 22 + 2 × 32 = × 2 × 3 × ( 4a + 12 2b + c) ; 1 1 × 22 + 2 × 32 + 3 × 42 = ×3× 12 4 × ( 9a + 3b + c) . a + b + c = 24, 联立得到 4a + 2b + c = 44, 9a + 3b + c = 70. 解之得 a = 3, b = 11, c = 10. 2 下面用数学归纳法证明等式: 1 × 2 + 2 1 × 3 2 + … + n ( n + 1) 2 = n( n + 1) ( 3n 2 + 12 11n + 10) 对一切非零自然数 n 都成立 . ( 1) 当 n = 1 时 , 已证; ( 2) 假设当 n = k 时 , 等式 1 × 22 + 2 × 32 + 3 × 4 2 + … + k ( k + 2 1 2 1) = 12 k ( k + 1) ( 3k + 11k + 10) 对 k ∈ N * 成立 . 当 n = k + 1 时, 左边 = 1 × 22 + 2 × 3 2 + 3 × 42 + … + k ( k + 1) 2 + ( k + 1) ( k + 2) 2 1 2 = 12k ( k + 1) ( 3k + 11k + 10) + ( k + 2 1 1) ( k + 2) = ( k + 1) ( k + 2) [ k ( 3 k + 5) 12
特殊化策略在高考选择题中的应用
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≤１的x 的取值范围是
( )
A．[－２,２] B．[－１,１] C．[０,４] D．[１,３]
传统解法:因为f(x)为奇函 数,所 以 f(－１)＝ －f(１) ＝１,所以 －１≤f(x－２)≤１ 就 等 价 于 f(１)≤f(x－２)≤ f(－１),又 因 为 f(x)在 (－ ∞ ,＋ ∞ )上 单 调 递 减 ,所 以 －１≤ x－２≤１,所以１≤x≤３.故选 D.
关 键 词 :特 殊 化 策 略 ;解 题 策 略 ;数 学 解 题 ;特 殊 化
一 、主 要 思 想
想要有效的利用特殊化策略解决数 学 问 题,就 必 须 明 白
“特殊化”这一解 题 策 略 的 主 要 思 想. 特 殊 化 策 略 即 视 原 问
题为一般,构造其特 殊 问 题,通 过 对 特 殊 问 题 的 解 决 而 获 得
特殊化策略相 对 于 传 统 解 题 方 式 对 于 学 生 解 题 的 重 要 性.
并通过对比两种解题方式简单程度探讨特殊化解题策略的
有效性.
“特殊化法”速解高考选择题
“特殊化法”速解高考选择题作者：李昭平来源：《广东教育·高中》2011年第05期“特殊化法”，通常是指在研究一般情况比较困难时，往往从问题的特殊情形(特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数列等)出发，为一般情况的解决提供正确方向的一种解题策略. 特殊与一般的关系是，一般寓于特殊之中.“命题在一般情况下为真，则在特殊情况下也为真”，“命题在特殊情况下为假，则在一般情况下也为假”.为此,可以在高考选择题中大胆运用“特殊化法”, 为后面的大题的解答赢得时间.一、取特殊值例1．等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则前3m项的和为（）A． 130 B． 170 C． 210 D． 260解析：取特殊值m=1，则a1=S1=30，a1+a2=100，a2=70，a3=110，于是S3=a1+a2+a3=210, 选C.点评：这里，若构建关于首项a1和公差d的方程组，要涉及到比较复杂的运算，花时较多，易错；若根据Sm、S2m-Sm 、S3m-S2m成等差数列构建方程要熟记“Sm、S2m-Sm、S3m-S2m也成等差数列”这一重要性质; 而运用了特殊化法，通过取m的特殊值1，并根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”，使问题迅速获解. 特殊化法体现了思维的简缩性和快捷性，应该提倡.二、取特殊位置例2．若动点P、Q在椭圆9x2+16y2=144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于（）A. 6B. 5C. 2D.解析：由于本题的四个选项都是给出OH的一个唯一的值，这就表明互相垂直的OP、OQ 不论在什么位置上，OH的值都应有同一个结果，于是我们可以选一个特殊位置（如图）.令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2=16, b2=9得，OP=4，OQ=3，则OH=.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立” 可知，答案为C.点评：本题若直接求解，必须设动弦OP或OQ的一般式方程，并经历解方程组和相关变形的过程,费时较多.而运用“特殊化法”,解题过程十分简捷、明快.三、取特殊图形例3．从空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两所成的角都是60°，则二面角B-OA-C的余弦值为()A. B. - C. D. -解析：在射线OA、OB、OC上分别截取OA1、OB1、OC1，使OA1=OB1=OC1.由于OA、OB、OC两两所成的角都是60°，得三棱锥A1-OB1C1是正四面体.易求得二面角B-OA-C的余弦值为.选C.点评:这里，不规则四面体的二面角B-OA-C的余弦值不易求出,根据条件取特殊图形正四面体，则问题立即转化为求正四面体中两个面所成二面角的余弦值，使问题快速获解.在立几选择题中, 取特殊图形是我们的常用方法 .四、取特殊函数例4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，T又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)=0在闭区间[-T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（）Ａ． 0 Ｂ． 1 Ｃ． 3 Ｄ． 5解析：因正弦函数符合题中条件，在[-2，2]上，方程sinx=0有5个根，所以n可能为5, 选答案D.点评: 这里将抽象函数f(x)具体化（sinx），使一个复杂的问题被轻松、简单地解决了.熟练掌握一些基本函数的特征是解决问题的关键.五、取特殊数列例5．一般地，我们把各项的倒数成等差数列的数列叫做调和数列.若x,y,z是调和数列，且有ax=bx=cx（a,b,c为正数）,则a,b,c()A．成等差数列 B．成等比数列C．成调和数列 D．各项平方成等差数列解析：取特殊数列1，，显然其倒数1，2，3成等差数列1，，是调和数列.于是所以成b=a2,c=a3,a,a2,a3等比数列.选答案B.点评: 这里根据调和数列1，，，a,b,c的定义,取一个特殊数列的关系立即明朗化,避免了复杂的推理.以下几题供大家练习：1．设{an}为各项都是正数的等比数列，Sn是{an}的前n项和，则（）A. =B. ＞C. ＜D. ≤2．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则与的数量积为（）A. B. - C. 3 D. －33．△ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，=m（++），则实数的值为()A． -1 B． 1 C．－2 D． -3参考答案：1．解析：取等比数列的公比q是特殊值1，则a4=a1,S4=4a1,a6=a1,S6=6a1，于是=，=，所以＞. 答案为B.2．解析：对动直线AB，取其垂直于x轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1). 由于焦点F的坐标为（，0），则A（，-1）、B（，1），于是OA•OB= （，-1）•（，1）=-1=-.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案为B.3．解析：考虑特殊图形,不妨设△ABC 是∠A=90°的直角三角形，则O为BC的中点，H 为A点，此时由已知得==m，而≠0，所以m=1，故选B.（作者单位：安徽省太湖中学）责任编校徐国坚注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
浅析特殊化思想巧解选择题
浅析特殊化思想巧解选择题
王黎伟
【期刊名称】《高中数理化（高三）》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】在高考的数学试题中，选择题占全卷总分的40％，能否在选择题上得到高分，对高考数学成绩影响很大，而在有限时间内，如所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，同时有些题目也无法解答，所以选择正确的解题方法是争取时间获得高分的关键．本专题将对特殊化方法在解答选择题中的运用进行点拨，希望对参加高考的同学有所启发．所谓特殊化法是用满足条件的特例代替题设普遍条件，进行合理科学的判断——否定或肯定，从而达到快速解题目的．常用的特例有特
殊数值、特殊数列、特殊点、特殊角、特殊函数、特殊位置等．
【总页数】2页(P20-21)
【作者】王黎伟
【作者单位】黑龙江省大庆市十三中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.例谈特殊化思想在选择题求解中的应用 [J], 薛日琴
2.特殊化思想与选择题的"联姻" [J], 韩红军
3.用特殊化思想巧解高考数学选择题 [J], 沈辉;张征红;
4.用“特殊化”巧解选择题 [J], 蒋邕平
5.用特殊化思想解选择题的几种常见形式 [J], 刘桦
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高考数学解题思想之特殊与一般的思想
高考数学解题思想之特殊与一般的思想高考数学解题思想：专门与一样的思想由专门到一样,再由一样到专门，这种反复认识的过程是人们认识世界的差不多过程之一，对数学而言，这确实是我们常说的专门与一样的数学思想。
用这种思想解选择题有时专门有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其专门情形下也必定成立，依照这一点，我们能够直截了当确定选择题中的正确选项。
不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样杰出。
例10某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)能够表示为()。
A.y=[■]B.y=[■]C.y=[■]D.y=[■]分析：将班级人数用具体数据替代，即可得出正确结论。
解：当班级人数x=36时，可推选代表人数y=3，排除CD;当班级人数x=37时，可推选代表人数y=4，排除A;选B。
例11设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量■=(mx,y+1),向量■=(x,y -1),■⊥■,动点M(x,y)的轨迹为E。
(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知m=■,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程。
分析:(1)不难求得轨迹E的方程为mx2+y2=1。
(讨论略)(2)问题的关键是确定一个圆心在原点的圆，即求出圆的半径R，使得该圆的任意一条切线与曲线E交于A,B，且OA⊥OB，如何求出圆的半径呢?从专门位置入手是处理这类问题的有效方法。
解：(2)当m=■时，曲线E的方程为x2+4y2=4，取切线l:x=R，由x=Rx2+4y2=4?圳x=Ry=±■，因此A(R,■)，B(R,-■)又OA⊥OB，因此■·■=0?圳R2=■。
用特殊化思想解选择题的几种常见形式
作者： 刘桦
作者机构： 福建省松溪一中 (邮编:353500)
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 29-31页
主题词： 波利亚 解题方法 题设条件 竞赛试题 赋入 组对象 外接圆半径 中学教学 数值计算减函数
摘要： 波利亚指出:“特殊化是从考虑一组给定的对象,转化为考虑包含在其中的较少的一组对象”。
由于特殊情况比较简单,并且特殊问题的解决孕育着一般问题的解决,因此特殊化是一种常用的解题方法,尤其是用它来解单一型的数学选择题,效果更佳,下面笔者就以一些高考或竞赛试题为例,谈一谈特殊化思想解选择题的几种常见形式。
一、将字母特殊化取适合题设条件的特殊值,赋入某个字母,以简单的具体数值计算代替复杂的字母。
【高考数学二轮复习】特殊化法求解填空题、选择题与运用特殊与一般的辩证关系优化解题方法-解析版
第53讲 特殊化法求解填空题、选择题一般成立，其特殊也成立; 特殊不成立,其一般也不成立. 依据这一逻辑思维原理,当 填空、选择题的结论唯一或其值为定值时,可把题中参变量用特殊值(或特殊函数、特殊 点、特殊角、特殊数列、特殊图形位置、特殊方程、特殊模型)代替之, 则可得结论, 往往解题 速度快、效果好、正确率高. 特殊化法是一种以退为进的方法,在解答具有一般性的数学问 题时,直接推进有困难或无路可“进”,不妨从一般性的问题退到特殊性的问题上来,利用 问题在某一特殊情况下不真,则它在一般情况下也不真的原理获得结果或选项.典型例题【例 1 】(1) 在 ABC 中, 角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c , 若 ,,a b c 成等差数列,则cos cos 1cos cos A CA C+=+（ ）。
(2) 函数 ())02f x x π=的值域是 （ ）。
A. ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,0-C. ⎡⎤⎣⎦D. ⎡⎤⎣⎦（3）函数 ()f x 的定义域为 R , 若 ()1f x + 与 ()1f x - 都是奇函数,则（ ）.A. ()f x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. ()()2f x f x =+D. ()3f x + 是奇函数【分析】 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值或是一个确定的范围、或具有某种确定的性质时,可以把题中变化的不定量用特殊值代替,即可以得到正确结果. 第 ()1问采用特殊化法, 用符合题设的特殊三角形确定所求值; 第 ()2 问, 给出的四个选项中有真包含关系, 可考虑用特殊值法排除不可能选项;第 ()3问, 同样运用特殊化法即选择一个特殊的最为基本的函数排除不可能选项. 【解析】()1 令3,4,5a b c ===, 则 ABC 为直角三角形 4,cos ,cos 05A C ==, 从而所求值为45.(2) 令 sin 0,cos 1x x ==, 则 ()1f x ==-, 淘汰 A .令=得 26(sin 1)cos 4x x -+=, 当 sin 1x =- 时, 3cos 2x =,矛盾, ()f x ≠淘汰 C,D , 故选 B. (3)令()sin f x xπ=, 则()()()()1sin 1sin ,1sin 1sin f x x x f x x x ππππ+=+=--=-=-可知, 当 ()()1,1f x f x +- 都是奇函数时, ()f x 不是偶函数,淘汰 A .令()cos2f x xπ=,则()()()()1cos1sin,1cos1sin2222f x x x f x x x ππππ+=+=--=-=且 ()()2cos 2cos22f x x x ππ+=+=-.可知,当 ()()1,1f x f x +- 都是奇函数时, ()f x 不是奇函数, 且 ()(f x f x ≠+ 2), 淘汰 B,C , 故选D .在上述的分析中用两个 ()()1,1f x f x +- 都是特殊奇函数, 否定选项 A,B,C , 从 而选D .事实上, ()1f x + 是奇函数, 则 ()()()()11112;f x f x f x f x ⎡⎤=-+=---+=--+⎣⎦()1f x -是奇函数, 则 ()()()231(31)4f x f x f x f x ⎡⎤--+=--+-=--=-⎣⎦ ,()()4f x f x ∴=-.那么 ()()()3341f x f x f x +=+-=- 是奇函数, 因而知选D 。
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用特殊化思想巧解高考选择题
广西上思县上思中学
(文)王春雷（中学二级教师） (评注)凌旭球（中学特级教师）
如果对于一般条件A ，命题成立，那么对于一般条件A 中的特殊条件、具体问题，命题也应成立。
据此，对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做”，以降低难度，尽快确定正确答案。
这种解题思路就是所谓的数学解题中的特殊化思想。
本文拟就如何运用特殊化思想巧解高考选择题例举如下：
一、抓住特殊因素，寻求解题思路。
某些数学问题，有时难以识别它属于我们所熟悉的哪一类常规问题，或虽有常规方法，但解法将不胜其烦。
对于这类问题，应着眼于问题本身的特殊性，紧紧抓住一、两个重要的特殊因素，并以此作为突破口，去探求解题思路。
例1-1(1997年全国高考)定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间),0[+∞的图象与
)(x f 的图象重合。
设0>>b a ，给出下列不等式：
①)()()()(b g a g a f b f -->-- ②)()()()(b g a g a f b f --<-- ③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<-- 其中成立的是( )：
A 、①④
B 、②③
C 、①③
D 、②④
解：特取x x f =)(，||)(x x g =，则)(x f 、)(x g 满足题目条件。
设1,2==b a ，代入验证易知，①、③成立，故选C 。
评注：本例据抽象函数的性质和特征，从满足条件的特殊函数(特殊值)入手分析探求，寻求出问题的解题
思路和结论。
例1-2(2001年全国高考)设)(x f 、)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：
①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增 ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增 ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减 ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减 其中正确的命题是( )
A 、①③
B 、①④
C 、②③
D 、②④ 解：特取x x g x f ==)()(，知命题①错，排除A ，B
特取 x x g x f -==)()(，知命题④错，排除D ，从而选C 。
评注：本题从发现符合条件的特殊例子(有时是特殊数值)入手，借用特殊解决一般，收到事半功倍之效。
例1-3：(1999年全国高考)函数)0)(sin()(>+=ωϕωx M x f 在区间],[b a 上是增函数，且
,)(,)(M b f M a f =-=则函数)cos()(ϕω+=x M x f 在区间],[b a 上是( )
A 、增函数
B 、减函数
C 、可以取得最大值M
D 、可以取得最大值M - 解：不妨取]2
,2[],[,0,1,1π
πϕω-
====b a M ，得x x g x x f c o s )(,s i n )(==，画出函数图象，即知选C 。
评注：对于条件或结论是一般性的三角题，通常取特例(即考虑特殊角、特殊三角函数)进行验算解答，可
以起到以特殊估一般之效。
二、巧用特殊因素，优化解题方案。
对有些外形貌似熟题的数学问题，如果轻易套用常规方法，则会加大计算量，甚至无法求出结果，此时，应巧妙地运用特殊因素，寻求最优方案，方能收到事半功倍之效。
例2-1(2001年全国高考)若定义在区间)0,1(-内的函数)1(log )(2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是( )
A 、)21,0(
B 、]21,0(
C 、),2
1(+∞ D 、),0(+∞ 解：特取21,1-==x a 时，,0121log )21(2<-==-f 可排除C 、D ；而当2
1
=a 时，)(x f 无意义，故选A 。
评注：本例常规解法是：由于01<<-x ，知110<+<x ，则由对数函数性质得120<<a ，即2
1
0<
<a ，故选A 。
然而这里运用了特殊值求解，更显方法之优。
例2-2（2002年全国高考）已知10<<<<a y x ，则有（ ）
A 、0log <xy a
B 、1log 0<<xy a
C 、2log 1<<xy a
D 、2log >xy a 解：特取21,41,81===
a y x ，则25)2
1
(log )4181(log log 52121>==⨯=xy a
所以应选D 。
评注：对于某些只需比较大小的题目而言，若用常规方法来解（或证明），有时会不胜其烦，但若巧取特
殊值（如：10<<x 时可取2
1
=
x ，1>>y x 时可取2,4==y x 等等）则会大大优化解题过程。
例2-3(2001年北京春季高考)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量
n S (万件)近似地满足)12,,3,2,1)(521(90
2 =--=
n n n n
S n 。
按此计算，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A 、5月、6月
B 、6月、7月
C 、7月、8月
D 、8月、9月
解：设月的需求量为n a ，由备选项可取,7,6==n n 则5.1566=-=S S a ，
5.1677>-=S S a ，由此可排除A 、B 、D ，故选C 。
评注：本例从题设结构入手，巧取特殊项，从而减少运算量，简化了解题过程。
三、分析特殊因素，发现一般规律
对一些较为抽象的数学问题，一般规律又无显露，此时，可利用特殊因素来探路，进而发现规律，得出正确结论。
例3-1：（2001年全国高考）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜。
记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3。
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
(A )P 3=P 2>P 1
(B )P 3>P 2=P 1
(C )P 3>P 2>P 1
(D )P 3=P 2=P 1
解：令0=α，即可知选D 。
评注：由射影面积公式（ αcos S ⋅斜射＝S ）可知：射S 与斜面和水平面所成角α有关，而与斜面内图形
形状及图形放置无关。
本例抓住“所成角都是α”及“射影面积（民房面积）不变”，取特值0=α，将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房的房盖面积（即射影面积）全部相等，从而得解。
例3-2：(1999年全国高考)如图3-21，在多面体
中，已知
面ABCD
是边长为3的正方形，2
3,//=EF AB EF ，与面AC 的距离
为2，则该多面体的体积为（ ）
A 、
2
9
B
、5 C 、6 D 、2
15
解：特取直三棱柱BCF －AGD ， 如图3-22，则
|
|3
1
||EG S AB S V V ACD BCF AGD E ACD BCF ⋅-⋅=-∆∆--2
152332213133221=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= 故选D
评注对此，我们可用“割补法”补成规则图形或将图形规则化、特殊化，从而使问题化解。
由此可知，众多数学问题具备各自的特殊性，若能充分挖掘隐藏于数学问题中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点(线、面)、特殊位置、特殊关系…，就能巧妙地利用这些特殊因素使问题得以顺利求解。
总评：数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。
解决数学问题时，将一般问题特
殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。
数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学中的精髓，是联系各类数学知识的纽带，掌握它并能加以灵活运用，就可以巧妙地解题。
对学生作必要的数学思想方法在解题中的运用的指导，使学生走出模仿或传统学习的境地，能动地、创造性地学习，是大有脾益的。
因为数学思想方法在学习的全过程和考试中都发挥着重要的作用。