2020-2021学年鲁教版(五四制)八年级数学第一学期第二章分式与分式方程单元检测卷(附答案)
2021秋八年级数学上册第二章分式与分式方程2、4分式方程第3课时分式方程的应用鲁教版五四制
5×20×（1＋20%）×2
4y00＋2
400·(10－2)＝24
000.
解得 y＝480.
经检验，y＝480 是原方程的根，且符合题意．
故原计划安排的工人人数为 480 人．
11．【 中考·日照】某市为创建全国文明城市，开展 “美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区 绿化总面积新增360万平方米．该项活动自 2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原 计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
解：问题1 设A型“小黄车”的成本单价为x元，则B型“小黄车” 的成本单价为(x＋100)元，依题意得50x＋50(x＋ 100)＝25 000. 解得x＝200.∴x＋100＝300. 故A，B两种型号“小黄车”的成本单价分别是200 元和300元．
问题 2：投放方式 该公司决定采取如下投放方式：甲街区每 1 000 人 投放 a 辆“小黄车”，乙街区每 1 000 人投放8a＋a240 辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放 1 500 辆，乙街区共投放 1 200 辆，如果两个街区共 有 15 万人，试求 a 的值．
(1)甲、乙两种货车每辆可装多少件帐篷？
解：设甲种货车每辆车可装 x 件帐篷，乙种货车每辆 车可装 y 件帐篷，依题意有x1＝0x0y0＋＝2800y，0， 解得xy＝＝8100.0，经检验，xy＝＝81000，是原方程组的解，且 符合实际．故甲种货车每辆车可装 100 件帐篷，乙种 货车每辆车可装 80 件帐篷．
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔 和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子 都买，请列出所有购买方案．
解：设恰好用 100 元可购买这种笔 m 支，购买这种本子 n 本，由题意得 10m＋6n＝100，整理得 m＝10－35n. ∵m，n 都是正整数，∴n＝5 时，m＝7；n＝10 时，m ＝4；n＝15，m＝1.∴有三种方案： ①购买这种笔 7 支，购买这种本子 5 本； ②购买这种笔 4 支，购买这种本子 10 本； ③购买这种笔 1 支，购买这种本子 15 本．
鲁教版五四制八年级上册数学第二章 分式与分式方程 阶段核心归类 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
15．若分式方程x＋2 1＋x－3 1＝x2m－1的解是正数，求 m 的取值范 围． 解：去分母，得 2(x－1)＋3(x＋1)＝m，解得 x＝m－5 1.
∵原方程的解为正数，∴x＞0 且 x≠1，
即m－5 1＞0 且m－5 1≠1，∴m＞1 且 m≠6.
16．当 a 为何值时，关于 x 的分式方程x－1 1－2－a x＝2x（2－a3＋x＋1）2总 无解．
11．若关于 x 的分式方程x2－m3＋x－1＝2x无解，求 m 的值．
解：原方程可化为2mx＋x(x－1)(x－3)＝2(x－3)． 由分式方程无解，得x(x－3)＝0，即x＝0或x＝3. 把x＝0代入整式方程无解； 把x＝3代入整式方程，得6m＝0， 即m＝0.∴m的值是0.
12．若关于 x 的分式方程x－x 3－2m＝x－m3无解，求 m 的值．
8．当 k 为何值时，关于 x 的方程x－k 3＋2＝4x－－x3不会产生增根？ 解：方程两边都乘(x－3)， 得 k＋2(x－3)＝4－x，解得 x＝10－3 k. ∵方程x－k 3＋2＝4x－－x3不会产生增根， ∴10－3 k－3≠0.解得 k≠1.
9．若关于 x 的方程x－x 1－x2－k 1＝x＋x 1不会产生增根，求 k 的值． 解：原方程可化为x－x 1－（x＋1）k（x－1）＝x＋x 1. 方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)－k＝x(x－1)，解得 x＝12k. ∵方程x－x 1－x2－k 1＝x＋x 1不会产生增根，∴x≠±1. ∴12k≠±1，即 k≠±2.
LJ版八年级上
第二章分式与分式方程
阶段核心归类 巧用分式方程的解求字母的值或取
值范围
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鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习能力提升训练题(含答案)
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习能力提升训练题（含答案）一．选择题：1．在盒子里放有三张分别写有整式2，x+3，5的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．2．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2B．x＝﹣4，或x＝2C．x＝﹣4D．x＝23．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零B．分式无意义C．若a≠﹣时，分式的值为零D．若a≠时，分式的值为零4．已知＝＝＝，则＝（）A．B．C．D．5．下列分式的约分中，正确的是（）A．＝﹣B．＝1﹣yC．＝D．＝6．若数a使得关于x的分式方程﹣＝5有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．47．以下给出三个结论（）（1）若1﹣（x﹣1）＝x，则2﹣x﹣1＝2x；（2）若，则；（3）若x﹣，则x﹣1＝﹣1．其中正确的结论共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．0或﹣29．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（）A．+＝t B．+＝tC．•+•＝t D．+10．甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（）A．240m B．360m C．480m D．600m二．填空题：11．观察下列分式：，，，，，…，猜想第n个分式是．12．若式子有意义，则x的取值范围是．13．若分式的值为0，则x的值是．14．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝．15．约分的结果是．16．若关于x的方程＝无解，则m的值是．17．分式方程＝1的解是x＝．18．解分式方程+＝时，设＝y，则原方程化为关于y的整式方程是．19．若解关于x的方程产生增根，则m的值为．20．为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为．三．解答题：21．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：＝＝+＝1+．（1）请写出分式的基本性质；（2）下列分式中，属于真分式的是；A.B.C．﹣D.（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．22．约分（1）（2）23．计算题①|﹣2|﹣（﹣1）0+（﹣）﹣2+（﹣1）2019②（2x﹣3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）③④（x2y﹣2xy2+y3）÷y+（x+2y）（x﹣y）24．计算：．25．已知关于x的分式方程+＝（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该分式方程无解，试求m的值．26．（1）解方程：．（2）解不等式组：．27．整体思想就是通过研究问题的整体形式从面对问题进行整体处理的解题方法．如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：28．我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：每施工一天，甲工程队要1.1万元，乙工程队要0.8万元，工程小组根据甲、乙两队标书的测算，有三种方案：（A）甲队单独完成这个工程，刚好如期完成；（B）乙队单独完成这个工程要比规定时间多用5天；（C）**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．方案C中“星号”部分被损毁了．已知，一个同学设规定的工期为x天，根据题意列出方程：（1）请将方案（C）中“星号”部分补充出来；（2）你认为哪个方案节省工程款，请说明你的理由．参考答案:一．选择题：1．在盒子里放有三张分别写有整式2，x+3，5的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A．B．C．D．解：分母含有字母的式子是分式，整式2，x+3，中，抽到x+3做分母时组成的都是分式，共有3×2＝6种情况，其中x+3分母的情况有2种，所以能组成分式的概率＝＝．故选：A．2．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2B．x＝﹣4，或x＝2C．x＝﹣4D．x＝2解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，∴x＝2，故选D．3．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零B．分式无意义C．若a≠﹣时，分式的值为零D．若a≠时，分式的值为零解：由3x﹣1≠0，得x≠，故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a≠时，即a≠﹣时，分式的值为零．故选：C．4．已知＝＝＝，则＝（）A．B．C．D．解：∵＝＝＝，∴b＝2a，d＝2c，f＝2e，把b＝2a，d＝2c，f＝2e代入＝＝＝，故选：C．5．下列分式的约分中，正确的是（）A．＝﹣B．＝1﹣yC．＝D．＝解：A．＝，此选项约分错误；B．不能约分，此选项错误；C．＝＝，此选项正确；D．＝＝，此选项错误；故选：C．6．若数a使得关于x的分式方程﹣＝5有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（）A．1B．2C．3D．4解：解方程﹣＝5，得：x＝，∵分式方程的解为正数，∴a+2＞0，即a＞﹣2，又x≠1，∴≠1，即a≠2，则a＞﹣2且a≠2，∵关于y的不等式组有解，∴a﹣1≤y＜6﹣2a，即a﹣1＜6﹣2a，解得：a＜，综上，a的取值范围是﹣2＜a＜，且a≠2，则符合题意的整数a的值有﹣1、0、1，3个，故选：C．7．以下给出三个结论（）（1）若1﹣（x﹣1）＝x，则2﹣x﹣1＝2x；（2）若，则；（3）若x﹣，则x﹣1＝﹣1．其中正确的结论共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个解：（1）方程两边都乘2得2﹣x+1＝2x，错误；（2）由于不确定x+1是否为0，所以不能两边都除以，错误；（3）方程两边都乘x﹣1得x（x﹣1）﹣1＝﹣1，错误．故选：A．8．若分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．0或﹣2解：方程两边都乘（x+a）（x﹣2），得x+a+3（x﹣2）（x+a）＝（a﹣x）（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母（a+x）（x﹣2）＝0，∴增根是x＝2或﹣a，当x＝2时，方程化为：2+a＝0，解得：a＝﹣2；当x＝﹣a时，方程化为﹣a+a＝2a（﹣a﹣2），即a（a+2）＝0，解得：a＝0或﹣2．当a＝﹣2时，原方程可化为+3＝，化为整式方程得，1+3（x﹣2）＝﹣x﹣2，即：x＝，不存在增根，故不符合题意，当a＝0时，原方程可化为，化为整式方程得，x+3x（x﹣2）＝﹣x（x﹣2），解得x＝或x＝0，此时，有增根为x＝0，∴a＝0符合题意，故选：B．9．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（）A．+＝t B．+＝tC．•+•＝t D．+解：设小水管的注水速度为x立方米/分钟，可得：，故选：C．10．甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（）A．240m B．360m C．480m D．600m解：如图，设圆形跑道总长为2s，又设甲乙的速度分别为v，v′，再设第一次在C点相遇，根据题意得：化简得：，解此方程得S＝0（舍去）或S＝240．所以2S＝480米．经检验是方程的解；故选：C．二．填空题：11．观察下列分式：，，，，，…，猜想第n个分式是．解：由分析可得第n项的分母应为x n+1，分子为：，第n个分式是，故答案为：．12．若式子有意义，则x的取值范围是x≠3．解：∵式子有意义，∴x的取值范围是：x﹣3≠0，解得：x≠3．故答案为：x≠3．13．若分式的值为0，则x的值是﹣1．解：由分式的值为0，得x+1＝0且x﹣1≠0．解得x＝﹣1，故答案为：﹣1．14．不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，则＝．解：＝＝，故答案为：．15．约分的结果是﹣．解：＝﹣＝﹣，故答案为：．16．若关于x的方程＝无解，则m的值是1．解：去分母得：x﹣1＝m，由分式方程无解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m＝1，故答案为：117．分式方程＝1的解是x＝1．解：＝1，去分母，得3x＝x+2．整理得2x＝2，解方程得x＝1．经检验x＝1是原分式方程的解．故原分式方程的解是x＝1．故答案为：1．18．解分式方程+＝时，设＝y，则原方程化为关于y的整式方程是y2﹣y+1＝0．解：设＝y，则原方程化为y+﹣＝0两边都乘以y，得y2﹣y+1＝0，故答案为：y2﹣y+1＝0．19．若解关于x的方程产生增根，则m的值为3．解：方程两边同乘x﹣1得：x+3＝m+1，解得：x＝m﹣2，方程产生增根，当x﹣1＝0，即x＝1时，方程产生增根，∴m﹣2＝1，∴m＝3．故答案为：3．20．为了美化校园环境，某中学今年春季购买了A，B两种树苗在校园四周栽种，已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元，用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同．若设A种树苗的单价为x元，则可列出关于x的方程为＝．解：设A种树苗的单价为x元，则B种树苗的单价为（x﹣10）元，所以用600元购买A 种树苗的棵数是，用450元购买B种树苗的棵数是．由题意，得＝．故答案是：＝．三．解答题：21．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：＝＝+＝1+．（1）请写出分式的基本性质分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．；（2）下列分式中，属于真分式的是C；A.B.C．﹣D.（3）将假分式，化成整式和真分式的形式．解：（1）分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的分式值不变．（2）根据题意得：选项C的分子次数是0，分母次数是1，分子的次数小于分母的次数是真分式．而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式．故选C．（3）＝m﹣1+22．约分（1）（2）解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝．23．计算题①|﹣2|﹣（﹣1）0+（﹣）﹣2+（﹣1）2019②（2x﹣3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）③④（x2y﹣2xy2+y3）÷y+（x+2y）（x﹣y）解：①原式＝2﹣﹣1+9﹣1＝9﹣；②原式＝4x2﹣12x+9﹣（4x2﹣9）＝4x2﹣12x+9﹣4x2+9＝﹣12x+18；③原式＝﹣••（﹣）＝；④原式＝x2﹣2xy+y2+x2﹣xy+2xy﹣2y2＝2x2﹣xy﹣y2．24．计算：．解：原式＝，＝，＝，＝﹣1．25．已知关于x的分式方程+＝（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若该分式方程无解，试求m的值．解：分式方程去分母得：2（x+2）+mx＝x﹣1，整理得：（m+1）x＝﹣5．（1）当m＝4时，（4+1）x＝5，解得：x＝﹣1经检验：x＝﹣1是原方程的解．（2）∵分式方程无解，∴m+1＝0或（x+2）（x﹣1）＝0，当m+1＝0时，m＝﹣1；当（x+2）（x﹣1）＝0时，x＝﹣2或x＝1．当x＝﹣2时m＝；当x＝1是m＝﹣6，∴m＝﹣1或﹣6或时该分式方程无解．26．（1）解方程：．（2）解不等式组：．解：（1）去分母，得1＝3（x﹣3）﹣x．（1分）去括号，得1＝3x﹣9﹣x．（2分）解得x＝5．（3分）经检验，x＝5 是原方程的解．（4分）（2）解不等式（1）得：x≥1；…（1分）解不等式（2）得：x＜5；…（2分）所以不等式组的解集为1≤x＜5．…（4分）27．整体思想就是通过研究问题的整体形式从面对问题进行整体处理的解题方法．如此题设“＝a，＝b”得方程解得∴利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，求甲、乙公司单独完成装修任务各需多少周？解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得：设＝a，＝b，原方程化为：②×3﹣①×2得：27b﹣12b＝1∴b＝③将③代入②得：4a+9×＝1∴a＝∴∴甲公司单独完成需10周，乙公司单独完成需15周．28．我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：每施工一天，甲工程队要1.1万元，乙工程队要0.8万元，工程小组根据甲、乙两队标书的测算，有三种方案：（A）甲队单独完成这个工程，刚好如期完成；（B）乙队单独完成这个工程要比规定时间多用5天；（C）**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．方案C中“星号”部分被损毁了．已知，一个同学设规定的工期为x天，根据题意列出方程：（1）请将方案（C）中“星号”部分补充出来甲、乙两队合作4天；（2）你认为哪个方案节省工程款，请说明你的理由．解：（1）根据题意及所列的方程可知被损毁的部分为：甲、乙两队合作4天；故答案为：甲、乙两队合作4天；（2）设规定的工期为x天，根据题意列出方程：，解得：x＝20．经检验：x＝20是原分式方程的解．这三种施工方案需要的工程款为：（A）1.1×20＝22（万元）；（B）0.8×（20+5）＝20（万元）；（C）4×1.1+20×0.8＝20.4（万元）．综上所述，B方案可以节省工程款。
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题(含答案)
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题（含答案）1．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（）A．B．C．D．2．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．B．C．D．3．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）A．13小时B．13小时C．14小时D．14小时4．若＝2，则＝5．•＝．6．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，＝．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝．7．直接写出结果：（1）＝；（2）＝．8．已知＝，则代数式的值是．9．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为．10．已知：，则（y﹣x）的值是．11．方程组的解是．12．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝；②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝．13．甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等，又知甲、乙两人每小时共做35个机器零件，问甲、乙每小时各做多少个机器零件．解：设甲每小时做x个机器零件，则乙每小时做个机器零件，依题意可列方程．14．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．15．约分（1）（2）．16．通分，，．17．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：①若＞0，则或②若＜0，则或．根据上述规律，①求不等式＜0的解集．②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．18．已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，求m的取值范围．19．探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝，＝；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．20．解方程：．21．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．参考答案：1．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（）A．B．C．D．解：＝1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a ＝b＝c＝d＝2；将a、b、c、d结果代入＝．故选：D．2．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A．B．C．D．解：设实际参加游览的同学共x人，根据题意得：﹣＝3．故选：D．3．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（）A．13小时B．13小时C．14小时D．14小时解：设甲单独完成任务需要x小时，则乙单独完成任务需要（x﹣5）小时，则＝．解得x＝20经检验x＝20是原方程的根，且符合题意．则丙的工作效率是．所以一轮的工作量为：++＝．所以4轮后剩余的工作量为：1﹣＝．所以还需要甲、乙分别工作1小时后，丙需要的工作量为：﹣﹣＝．所以丙还需要工作小时．故一共需要的时间是：3×4+2+＝14小时．故选：C．4．若＝2，则＝解：由＝2，得x+y＝2xy则＝＝＝．故答案为．5．•＝．解：•＝．故答案为：．6．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，＝．类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（B+1）﹣（A+1）＝．解：＝+＝＝，∵＝，∴＝，则，解得：，所以（B+1）﹣（A+1）＝3﹣2＝，故答案为：．7．直接写出结果：（1）＝；（2）＝．解：（1）＝1+＝；（2）＝a+＝a+＝．8．已知＝，则代数式的值是9．解：∵＝，∴a﹣b＝3ab，∴原式＝＝＝9．故答案为9．9．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为1．解：，解①得，x＜5；解②得，∴不等式组的解集为；∵不等式有且只有四个整数解，∴，解得，﹣2＜a≤2；解分式方程得，y＝2﹣a（a≠1）；∵方程的解为非负数，∴2﹣a≥0即a≤2；综上可知，﹣2＜a≤2且a≠1，∵a是整数，∴a＝﹣1，0，2；∴﹣1+0+2＝1故答案为1．10．已知：，则（y﹣x）的值是4．解：∵，∴，则有；方程组可化为：，解得．经检验：是原方程的解．∴（y﹣x）＝4．故答案为：4．11．方程组的解是．解：原方程组化为令x+y+z＝k，代入得由（1）+（2）+（3）得由（4）分别减去（1）（2）（3）得由（5）×（6）×（7）得（8）由（8）分别除以（5）（6）（7）得将（9）（10）（11）代入x+y+z＝k，得，从而原方程组的解为：．故答案为：．12．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝3；②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝﹣1．解：①把x＝3代入原方程，得，解得a＝3，经检验，a＝3是分式方程的解．②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），把x＝1代入得，k＝﹣1．13．甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等，又知甲、乙两人每小时共做35个机器零件，问甲、乙每小时各做多少个机器零件．解：设甲每小时做x个机器零件，则乙每小时做（35﹣x）个机器零件，依题意可列方程．解：甲做90个机器零件所用的时间为：，乙做120个所用的时间为：．所列方程为：＝．14．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式1﹣的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为0，﹣2，2，﹣4．解：（1）分式是真分式；（2）假分式＝1﹣；（3）＝＝2﹣．所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4．15．约分（1）（2）．解：（1）＝；（2）＝＝．16．通分，，．解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），，，．17．自学下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．反之：①若＞0，则或②若＜0，则或．根据上述规律，①求不等式＜0的解集．②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．（1）解：由题意得：或第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．（2）或等，18．已知关于x的分式方程﹣2＝的解是正数，求m的取值范围．解：去分母可得：3x﹣2（x﹣6）＝m∴3x﹣2x+12＝m∴x＝m﹣12将x＝m﹣12代入最简公分母可知：m﹣12﹣6≠0，∴m≠18∵分式方程的解是正数，∴m﹣12＞0，∴m＞12∴m的取值范围为m＞12且m≠1819．探索发现：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根据你发现的规律，回答下列问题：（1）＝﹣，＝﹣；（2）利用你发现的规律计算：+++…+（3）灵活利用规律解方程：++…+＝．解：（1）＝﹣，＝﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（3）（﹣+﹣+…+﹣）＝，（﹣）＝﹣＝，＝，解得x＝50，经检验，x＝50为原方程的根．故答案为﹣，﹣．20．解方程：．解：设y＝，则原方程可化为：y﹣＝1；两边同乘以y整理得y2﹣y﹣2＝0，解得y1＝2，y2＝﹣1．当y1＝2时，＝2，化为；2x2+x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝；当y2＝﹣1时，＝﹣1，化为；x2﹣x+1＝0，∵△＜0，∴此方程无实数根；经检验x1＝﹣1，x2＝都是原方程的根∴原方程的根是x1＝﹣1，x2＝．21．若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．解：去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，当x＝2时，4+4+2m＝0，即m＝﹣4；当x＝﹣2时，﹣2m＝﹣12，即m＝6，综上，m的值是﹣4或6。
新八年级数学上册第二章分式与分式方程分式方程2教案鲁教版五四制
第五步：随堂练习
x=）( x=-3/2)
无解
（x=3/2）
第六步：补充练习
1如果有增根,那么增根为
x=( 2 )
2解关于x的方程产生增根,则常数m=( -2 )
3若关于x的方程无解，则a=( 1 )
启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程的解法．
具体明晰
导语设计
引导学生回忆解一元一次方程过程与方法
精炼灵活紧扣学习目标
板书设计
知识结构纲要化
“幸福课堂”模式教学过程
研讨修改
第一步：引入新课
1．回忆：一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
5产生增 根的原因：在把分式方程转化为整式方程时，分式的两边同时乘以了零
6验根的方法：把求得的根代入最简公分 母，看它的值是否为零。 使最简公分母值为零的根是增根，不为零的根是原方程的根
7解分式方程的一般步骤：
（1）．在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；――化整
（2）．解这个整式方程；――解整
教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因
疑点及分析和解决办法：
解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．
恰当具体可测
媒体运用
多媒体教学和学生练习相结合
鲁教版五四制八年级上册数学第二章 分式与分式方程 专训1 与分式的意义及性质有关的四种题型
2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分 式，共有____6____个．
【点拨】以a－1为分母，可构成3个分式； 以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共 可构成6个分式．
3．【 中考·武汉】若代数式a－1 4在实数范围内 有意义，则实数 a 的取值范围为( D ) A．a＝4 B．a>4 C．a<4 D．a≠4
9．下列各式正确的是( D )
A.ab＝ab22
B.ab＝aa＋bb
C.ab＝ab＋＋cc
D.ab＝abb2
10．要使式子 x－1 3＝x2－x＋x－2 6 从左到右的变形成立，源自x 应满足的条件是( D )
A．x＞－2
B．x＝－2
C．x＜－2
D．x≠－2
11．已知
x4＝6y＝7z≠0，求
x＋2y＋3z 6x－5y＋4z
4．当 x＝___±__1___时，分式xx2－－11无意义．
5．已知不论 x 为何实数，分式x2－3x6＋x＋5 m总 有意义，试求 m 的取值范围．
解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)． 因为(x－3)2≥0，所以当m－9＞0，即m＞9时，
x2－6x＋m始终为正数，分式总有意 义．
6．若x2－x＋2x2＋1的值为正数，则 x 的取值范围是( C )
A．x＜－2
B．x＜1
C．x＞－2 且 x≠1 D．x＞1
【点拨】x2－2x＋1＝(x－1)2.因为分式的值 为正数，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2 且x≠1.
7．若分式32x－－x4的值为负数，则 x 的取值范围 是_x_＞__2__或__x_＜__43____．
8．已知分式aa2－－1b2的值为 0，求 a 的值及 b 的 取值范围． 解：因为分式aa2－－1b2的值为 0，所以 a－1 ＝0 且 a2－b2≠0.解得 a＝1 且 b≠±1.
2020八年级数学上册第二章分式与分式方程分式方程3教案鲁教版五四制0
分式方程课题分式方程课型审核签字序号学习目标与重难点1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法重点难点：1、了解分式方程必须验根的原因；2、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
恰当具体可测媒体运用多媒体整合点准确恰当教学思路练习巩固，拓展提高具体明晰导语设计解分式方程的方法是什么？如何验证分式方程的增根？精炼灵活紧扣学习目标板书设计知识结构纲要化分式整式去分母目标x＝a解整式方程检验“幸福课堂”模式教学过程研讨修改一．复习引入 解方程：（1）51144x x x --=-- 解： 51144x x x -+=-- 方程两边同乘以 ，得． ∴检验：把x =5代入 x -5，得x -5≠0 所以，x =5是原方程的解.（2）22162242x x x x x -+-=+-- 解：方程两边同乘以 ，得， ∴．检验：把x =2代入 x 2—4，得x 2—4=0。
所以，原方程无解。
.思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？ 学生活动：小组讨论后总结 二．总结a 是分式方程的解a 不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0（1）为什么要检验根？在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
（2）验根的方法一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解。
鲁教版(五四制)2020-2021学年八年级数学上册第二章分式与分式方程单元检测题(附答案)
第二章分式与分式方程单元测试题1．下列是最简分式的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列各式：①1a ，②1x π+，③15x -，④22x y +，其中是分式的有（ ） A ．①②③④ B ．①④ C ．①②④ D ．②④3．已知m-n 2=,则112n m mn ⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．2 B ．22 C ．22- D ．2- 4．下列运算正确的是（ ）A ．x y x y x y x y ---=-++B ．()222a b a b a b a b --=+-C ．()222+a b a b a ba b -=-- D ．21111x x x -=-+ 5．每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰. 据测定，杨絮纤维的直径约为0.000 010 5米，将0.000 010 5用科学记数法可表示为（ ）A ．1.05×105B ．1.05×10-5C ．0.105×10-4D ．10.5×10-66．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．分式 x 5x 6-+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x 6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5=8．若34x =， 97y =，则23x y -=（ ）A ．449 B ．47 C ．34 D ．7169．嘉怡同学在化简1m 口215m m -中，漏掉了“口”中的运算符号，丽娜告诉她最后的化简结果是整式，由此可以猜想嘉怡漏掉的运算符号是( )A ．＋B ．－C ．×D ．÷10．若实数m 满足，则下列对m 值的估计正确的是（ ）A ．﹣2＜m ＜﹣1B ．﹣1＜m ＜0C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜211．当x ________时，分式有意义． 12．分式方程31=2x x 1- 的解为______． 13．若解分式方程产生增根，则m ＝_____． 14．若分式的值为正数，则x 的取值范围_____．15．计算： ()201201692π-⎛⎫---+= ⎪⎝⎭_________． 16．当x __________时，(x －4)0＝1.17．观察给定的分式：1x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x …，猜想并探索规律，那么第n 个分式是 __．18．若42x x +-有意义，则x 的取值范围是___________________. 19．若分式的值为0，则x 的值等于_______． 20．分式245a b c ， 232c a b ， 710b ac的最简公分母是____. 21．先化筒，再求值： 222a 3a a 3a 1·a a a 1a 1--+÷+--，其中a=2017.22．符号“|a c |b d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： |a c |b d =ad-bc ，请你根据上述规定求出等式211|x -111|x - =1 中x 的值.23．先化简，再求值：（1+32a -）÷214a a +-，其中a 是小于3的正整数．24．解方程：1231313xx x=---（）25．225342c d dab abc÷.26．计算：（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．27．某市为了美化城市，计划在某段公路旁栽480棵树，由于有志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请根据以上信息，提出一个能用分式方程解决的问题，并写出这个问题的解答过程．28．（1）计算: (-1)3×2+-；（2）化简：.参考答案1．C2．B3．A4．C5．B6．B7．A8．B9．D10．A11．≠±112．x＝313．-314．x>715．016．x≠417．1 2nnx-.18．x≥-4且x≠2 19．320．10a2b2c21．原式= a+1=2018 22．x=423．a+2，3．24．13 x=25．3 5 6 c b26．（1）；（2）.27．原计划每天栽树多少棵？3028．（1）-4（2）1-a1、学而不思则罔，思而不学则殆。
鲁教版(五四制)八年级数学上册第二章第四节《分式方程》练习讲评教案(二)
第二章分式与分式方程4．分式方程(二)课型:讲评主备人：审核人：初三数学组一、教学目标：1、知道分式方程的概念。
2、会准确、熟练地解分式方程。
二、重点：掌握分式方程的解法。
三、难点：掌握分式方程的解法。
四、教学方法：自主探索、合作交流；讲练结合五、教具设计：多媒体课件、练习题六、教学过程：（一）学生自主订正自己能解决的问题在题号上打上“√”，自己不能解决的问题在题号上打上“×”．（学生课前解决）错误反思：（反思自己在考试过程中会做而出错的题的出错原因，总结教训，避免下次再犯同类错误）（二）四人小组合作订正针对上一步骤中不能解决的问题，四人小组交流与合作，讨论完成．（要求：通过交流讨论，每名学生解决自己的疑难，明确考查的知识点，总结出规律、方法及应注意的问题。
）（三）教师讲评4、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 【思路点拨】本题的等量关系为：甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．【答案与解析】解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种()2x+棵树．由题意可得60662x x=+，解这个方程，得20x=．经检验20x=是原方程的根且符合题意．所以222x+=(棵)．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树． 【总结升华】解此题的关键是设出未知数后，用含x 的分式表示甲、乙两班种树所用的时间．7、两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快? 【答案】 解：设乙队单独施工1个月能完成工程的1x ，总工程量为1． 根据工程的实际进度，得1111362x++=． 方程两边同时乘以6x ，得236x x x ++=．解这个方程得1x =．检验：当1x =时，6x ＝6≠0，所以1x =是原分式方程的解．由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队施工速度快．答：乙队施工速度快．14. 甲工人工作效率是乙工人工作效率的212倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?【解析】解：设乙工人每小时加工x 个零件，甲工人每小时加工52x 个零件， 由题意，得：150015001852x x =+ 整理得，55150015001822x ⨯=+⨯，解得50x =. 经检验，是50x =原方程的根.51252x =.答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.15. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600千米的普通公路，另一条是全长480千米的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度每小时快45千米，由高速公路从甲地到乙地所需时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．求该客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度．【解析】解：设客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为x千米/时，列方程得：600480245x x=⨯+．解得：75x=．经检验75x=是原方程的解且符合题意．答：客车由普通公路从甲地到乙地的平均速度为75千米/时．（五）课堂小结分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.（四）巩固练习1、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，功效是原来的1.5倍，这样加工同样多就少用10小时。
鲁教版(五四制)数学八年级上册第二章《分式与分式方程》复习课件
2
x 16
4 x
4 x
2
2
(3 x )
4 x
( x 2)
( x 4)( x 4) x 3 ( 2 x )( 2 x )
2
( x 3)( x 2)
( x 4)( x 2)
2
x2 x 6
2
x 2x 8
例4.计算：
x y
x 3 x 3x x
的值.
x
x6
1
解:
2
x 3 x 3x x
x2
x6
x3
x ( x 3) x ( x 3) x ( x 3)
x2 9
( x 3)( x 3)
x3
x ( x 3)
x ( x 3)
x
200 3 203
当x=200时，原式=
2
)
(
)
1
,
2. (
2
2
2
a b a 2ab b
a b a b
2
其中 a , b 3
3
5. 求值
+
（1） 3
, 其中 = 5,
2
2
+ 2 +
7
= ；
2
1 1
5 + − 5
（2） − = 3, 求
的值；
− −
+ +
（3） = = , 求 2
的值；
2
2
山东省2020-2021学年八年级鲁教版(五四制)数学上册课件：23分式的
复习导入
【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减.
【异分母的分式加减法的法则】
异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的 分式,再加分母：
2、所有字母因式的最高次幂。
教学目标
1.掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行 分式的混合运算. 2.会用分式的加减解决简单的实际问题.
你有几种解法？
知识应用：
1.如果 a 2，求
b
3ab a2 a2 b2
a 3b ab
的值.
2.先化简再求值：
a 3 ( 5 a 2), 其中a 4. 2a 4 a 2
做一做
• 根据规划设计，某工程队准备修建一 条长1120m的盲道。由于采用新的施工方 式，实际每天修建盲道的长度比原计划 增加10m，从而缩短了工期。假设原计划 每天修建盲道 x m,那么
合作探究
1.分数的混合运算的顺序:
先算乘除，后算加减，有括号的先算括号 里面的。
2.尝试计算：x(2
1) x
x2
x
2x
(x2
4)
3.用类比的方法归纳分式的混合运算的顺序。
分式的混合运算的顺序: 先算乘方，再乘除，然后算加减，有括号的先 算括号里面的。
●分式的混合运算的关键是明确运算顺序。
例题引领
当堂达标
见导学案上的当堂达标.
布置作业
课本Ｐ36: 习题2.7 1--4题
例5 计算：
（1） x2 x 1 x 1
(2)( 1 1 ) a ab ab ab
●温馨提示： 首先明确运算顺序。
知识应用
计算：
（1）（1- 1 ） 3 a a 2 2a 4
鲁教版(五四制)初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习
鲁教版（五四制）初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习1、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即事先，分式才有意义；〔4〕判别一个代数式能否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能依据它的原本面目停止判别。
例如：关于来说，，我们不能由于是整式，就判别也是整式，理想上是分式。
2、分式有意义、有意义，分式的值为零的条件〔1〕分式有意义的条件是分式的分母不为0；〔2〕分式有意义的条件是分式的分母为零；〔3〕分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成局部，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
假设分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，那么分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
〔4〕假设没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能疏忽〝〞这一条件. 如，变形时，必需满足2x+1≠0。
〔2〕分式的基本性质要求〝同乘〔或除以〕一个不等于0的整式〞即分式的分子、分母要做相反的变形，要防止只乘〔或除以〕分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘〔或除〕以的整式必需相反。
〔3〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化。
鲁教版五四制八年级上册数学第二章 分式与分式方程 认识分式
6．当 x＝－1 时，下列分式中有意义的是( C )
1
2
x
4
A.x＋1 B.|x|－1 C.x－1 D.x2－1
7．使分式2x－＋x2无意义的 x 满足的条件是( B ) A．x＝2 B ．x＝－2 C ．x≠2 D ．x≠－2
8．下列各式中，无论 x 取何值分式都有意义的
是( D )
1
x 3x＋1 x2
15．若 a，b 为实数，且（a－2）b＋2＋4|b2－16|＝0，求 3a－b 的值．
（a－2）2＝0， a－2＝0， 解：由已知得|b2－16|＝0， 即b2－16＝0，
b＋4≠0，
b≠－4，
解得ab＝＝24，. 所以 3a－b＝3×2－4＝2.
16．当 x 为何值时，分式4xx－＋53的值为 1？当 x 为何值 时，分式4xx－＋53的值为－1?
【方法总结】若分式gf＝1，则 f 与 g 相等；若分 式gf＝－1，则 f 与 g 互为相反数．同时要注意 检验分式是否有意义．
解：因为分式4xx－＋53的值为 1，所以 4x＋3＝x－5，解得 x＝－83.当 x＝ －83时，x－5＝－83－5＝－233≠0，故当 x＝－83时，分式4xx－＋53的值为 1. 因为分式4xx－＋53的值为－1，所以这个分式的分子、分母互为相反数， 即(4x＋3)＋(x－5)＝0，解得 x＝25.当 x＝25时，x－5＝25－5＝－253≠0， 故当 x＝25时，分式4xx－＋53的值为－1.
17．已知当 x＝－1 时，分式xx－＋ba无意义；当 x＝4 时，分式xx＋－ab的值为 0；求 a＋b 的值．
解：∵当 x＝－1 时，分式xx－＋ba无意义，则－1＋a ＝0，即 a＝1.当 x＝4 时，分式xx－＋ba的值为 0，则 4 －b＝0，即 b＝4.∴a＋b＝1＋4＝5.
鲁教版五四制八年级上册数学第二章 分式与分式方程 分式的基本性质
12．【 中考·宜昌】计算（x＋y）24－xy（x－y）2的 结果为( A )
A．1
1 B.2
1 C.4
D．0
13．【 中考·滨州】下列分式中，最简分式是( A ) x2－1 x＋1 x2－2xy＋y2 x2－36
A.x2＋1 B.x2－1 C. x2－xy D.2x＋12 【点拨】选项 A 为最简分式；选项 B 化简，原式＝（x＋1x）＋（1x－1）
18．当 a＝ 2＋1，b＝1－ 2时，求a2－a22－abb＋2 b2的值．
解：a2－a22－abb＋2 b2＝（a＋（ba）－（b）a－2 b）＝
aa－＋bb，当 a＝ 2＋1，b＝1－ 2时，
原式＝
2＋1－（1－ 2＋1＋1－
2）＝2 2
2
2＝
2.
19．对分式aa2－＋bb2的变形： 甲同学的解法是：aa2－＋bb2＝（a＋ba）＋（ba－b）＝a－b； 乙同学的解法是：aa2－＋bb2＝（（aa2－＋bb）2）（（aa－－bb））＝ （a2－ba22）－（b2a－b）＝a－b. 请判断甲、乙两位同学的解法是否正确，不正确的请说
）.
2．下列式子从左到右的变形一定正确的是( C )
A.ab＋＋33＝ab
B.ab＝abcc
C.33ab＝ab
D.ab＝ba22
3．如果把x5＋xy中的 x 与 y 都扩大到原来的 20 倍，那 么这个式子的值( A )
A．不变
B．扩大到原来的 10 倍
C．扩大到原来的 20 倍 D．缩小到原来的210
22．(1)【中考·天水】若 x＋1x＝3，求x4＋xx22＋1的值． 解：∵x＋1x＝3，∴x≠0. ∴x4＋xx22＋1＝x2＋11＋x12＝x＋1x21－2＋1＝ 32－12＋1＝18.
2021秋八年级数学上册第二章分式与分式方程2、4分式方程第2课时解分式方程鲁教版五四制
答案显示
1．把分式方程x＋2 4＝1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘 (D ) A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
2．【中考·淄博】解分式方程1x－ －x2＝2－1 x－2 时，去分母变形正确
的是( D ) A．－1＋x＝－1－2(x－2) B．1－x＝1－2(x－2) C．－1＋x＝1＋2(2－x) D．1－x＝－1－2(x－2)
19．当 m 为何值时，关于 x 的方程x＋2 1＋1－5 x＝x2m－1会产生增 根？
解：方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得 2(x－1)－5(x＋1)＝m. 整理，得 m＝－3x－7. 分式方程的增根是 x＝1 或 x＝－1. 当 x＝1 时，m＝－3－7＝－10， 当 x＝－1 时，m＝3－7＝－4， 因此，当 m＝－10 或 m＝－4 时，关于 x 的方程x＋2 1＋1－5 x＝x2m－1 会产生增根．
3．【中考·上海】用换元法解方程x＋x21＋x＋x21＝2 时，若设x＋x21＝ y，则原方程可化为关于 y 的方程是( A ) A．y2－2y＋1＝0 B．y2＋2y＋1＝0 C．y2＋y＋2＝0 D．y2＋y－2＝0
4．【中考·哈尔滨】方程x＋2 5＝x－1 2的解为( D ) A．x＝－1 B．x＝5 C．x＝7 D．x＝9
【点拨】先求分式方程的解得到 k 的值，再代入方程x＋2 3＝x＋3 k －1 中求解即可．
解：将方程y2－y 9＋3－1 y＝y＋3 3两边同乘 y2－9，得 y－(y＋3)＝3(y －3)．解这个一元一次方程，得 y＝2.经检验，y＝2 是原分式方 程的解，所以 k＝2.所以x＋2 3＝x＋3 2－1. 去分母，得 3(x＋3)＝2(x＋2)－6.去括号，得 3x＋9＝2x＋4－6. 移项，得 3x－2x＝4－6－9.合并同类项，得 x＝－11.
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第二章分式与分式方程单元测试题
1．下列是最简分式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．下列各式：①1a ，②1x π+，③15x -，④22x y +，其中是分式的有（ ） A ．①②③④ B ．①④ C ．①②④ D ．②④
3．已知m-n 2=,则112n m mn ⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．2 B ．22 C ．22- D ．2- 4．下列运算正确的是（ ）
A ．x y x y x y x y ---=-++
B ．()222a b a b a b a b --=+-
C ．()222+a b a b a b
a b -=-- D ．21111x x x -=-+ 5．每年四月北京很多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰. 据测定，杨絮纤维的直径约为0.000 010 5米，将0.000 010 5用科学记数法可表示为（ ）
A ．1.05×105
B ．1.05×10-5
C ．0.105×10-4
D ．10.5×10-6
6．某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7．分式 x 5x 6
-+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x 6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5=
8．若34x =， 97y =，则23x y -=（ ）
A ．
449 B ．47 C ．34 D ．716
9．嘉怡同学在化简1m 口215m m -中，漏掉了“口”中的运算符号，丽娜告诉她最后的化简结果是整式，由此可以猜想嘉怡漏掉的运算符号是( )
A ．＋
B ．－
C ．×
D ．÷
10．若实数m 满足，则下列对m 值的估计正确的是（ ）
A ．﹣2＜m ＜﹣1
B ．﹣1＜m ＜0
C ．0＜m ＜1
D ．1＜m ＜2
11．当x ________时，分式
有意义． 12．分式方程31=2x x 1- 的解为______． 13．若解分式方程
产生增根，则m ＝_____． 14．若分式的值为正数，则x 的取值范围_____．
15．计算： ()2
01201692π-⎛⎫---+= ⎪⎝⎭_________． 16．当x __________时，(x －4)0＝1.
17．观察给定的分式：
1x ， 22x ， 34x ， 48x ， 516x …，猜想并探索规律，那么第n 个分式是 __．
18．若42
x x +-有意义，则x 的取值范围是___________________. 19．若分式
的值为0，则x 的值等于_______． 20．分式245a b c ， 232c a b ， 710b ac
的最简公分母是____. 21．先化筒，再求值： 222a 3a a 3a 1·a a a 1a 1
--+÷+--，其中a=2017.
22．符号“|a c |b d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： |a c |b d =ad-bc ，请你根据上述规定求出等式2
11|x -
111|x - =1 中x 的值.
23．先化简，再求值：（1+32a -）÷214
a a +-，其中a 是小于3的正整数．
24．解方程：
1
2
31313
x
x x
=-
--
（）
25．
2
2
53
42
c d d
ab abc
÷.
26．计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
27．某市为了美化城市，计划在某段公路旁栽480棵树，由于有志愿者的支援，实际每天栽树比原计划多，结果提前4天完成任务．请根据以上信息，提出一个能用分式方程解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
28．（1）计算: (-1)3×2+-；
（2）化简：.
参考答案1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．B
7．A
8．B
9．D
10．A
11．≠±1
12．x＝3
13．-3
14．x>7
15．0
16．x≠4
17．
1 2n
n
x
-
.
18．x≥-4且x≠2 19．3
20．10a2b2c
21．原式= a+1=2018 22．x=4
23．a+2，3．
24．
1
3 x=
25．
3 5 6 c b
26．（1）；（2）.
27．原计划每天栽树多少棵？30
28．（1）-4（2）1-a
1、生活不相信眼泪，眼泪并不代表软弱。
20.7.287.28.202009:3309:33:06Jul-2009:33
2、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。
二〇二〇年七月二十八日2020年7月28日星期二
3、成功都永远不会言弃，放弃者永远不会成功。
09:337.28.202009:337.28.202009:3309:33:067.28.202009:337.28.2020
4、不要为它的结束而哭，应当为它的开始而笑。
7.28.20207.28.202009:3309:3309:33:0609:33:06
5、生命的成长，需要吃饭，还需要吃苦，吃亏。
Tuesday, July 28, 2020July 20Tuesday, July 28, 20207/28/2020
6、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。
9时33分9时33分28-Jul-207.28.2020
7、放眼前方，只要我们继续，收获的季节就在前方。
20.7.2820.7.2820.7.28。
2020年7月28日星期二二〇二〇年七月二十八日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。
09:3309:33:067.28.2020Tuesday, July 28, 2020
亲爱的读者： 春去春又回，新桃换旧符。
在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
1、盛年不重来，一日难再晨。
及时宜自勉，岁月不待人。
20.7.287.28.202009:3309:33:06Jul-2009:33
2、千里之行，始于足下。
2020年7月28日星期二
3、少年易学老难成，一寸光阴不可轻。
09:337.28.202009:337.28.202009:3309:33:067.28.202009:337.28.2020
4、敏而好学，不耻下问。
7.28.20207.28.202009:3309:3309:33:0609:33:06
5、海内存知已，天涯若比邻。
Tuesday, July 28, 2020July 20Tuesday, July 28, 20207/28/2020 6莫愁前路无知已，天下谁人不识君。
9时33分9时33分28-Jul-207.28.2020
7、人生贵相知，何用金与钱。
20.7.2820.7.2820.7.28。
2020年7月28日星期二二〇二〇年七月二十八日
8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。
09:3309:33:067.28.2020Tuesday, July 28, 2020 亲爱的读者：
春去春又回，新桃换旧符。
在那桃花盛开的地方，在
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。