折叠式高空作业车臂架系统的动力学建模.

系统建模方法作业折叠式高空作业车臂架系统的动力学建模课程名称：系统建模方法姓名：学号：专业班级：高空作业车是用来运送工作人员和使用器材到达指定现场进行高空作业的专用汽车。

高空作业车按伸展结构的类型可分为伸缩式、折叠式、混合式、垂直升降式等四个系列,其中折叠式高空作业车如图1所示。

图 1 折叠式高空作业车高空作业车的臂架系统是一个典型的柔性多体系统，如何对臂架实现自动控制，以期提高安全性、可靠性、舒适性，引起了国内外许多学者的重视。

目前，针对伸缩式高空作业车柔性变形对整个系统动态特性的影响开展了较多研究，但是，很少有文献论述折叠式高空作业车柔性臂架系统的研究或分析，此文将工作台固定在上臂末端，对折叠式高空作业车双节臂臂架系统进行动力学建模与仿真分析，但对于柔性变形对工作台的摆动缺少进一步的研究。

而在实际的工作工程中，臂架的变形及工作台摆动比较明显，为了抑制臂架及工作台的振荡，准确控制末端轨迹，这方面的研究是不容忽视的。

本文以双节臂折叠式高空作业车的臂架系统为研究对象，将臂杆模拟成柔性机械臂。

以柔性多体动力学的递推列式为基础，运用拉格朗日方程建立臂架的柔性多体动力学方程，并对其进行数值求解和动力学仿真分析。

1 臂架柔性多体动力学模型建立在臂架运动过程中，刚性运动与变形运动互相影响、强烈耦合，本文以弹性力学和结构力学为基础，采用拉格朗日方程和形函数法等推导臂架的柔性多体动力学方程。

藉此研究臂架柔性变形对臂架系统在竖直平面内运动的动态特性的影响，文中基于折叠式高空作业车的物理模型建立了臂架平面坐标系的示意图，如图2所示。

图 2 臂架平面坐标系示意图1.1 臂架系统动能的计算如图2所示，XOY 为臂架的惯性坐标系，k k k Z Y X )3,2,1( k k 为臂杆的动坐标系。

A k 为从动坐标系k k k Z Y X 到惯性坐标系XOY 的旋转变换矩阵，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=k k k kk A θθθθcos sin sin cos （1） 式中k θ为动坐标系k X 轴与惯性坐标系X 轴的夹角。

假设kP 为臂杆k 上的任意一点，k r为kP 点在坐标系k k k Z Y X 中的位置矢量，k r可表示为:()Tk kk u x r = （2）式中，k x 为k r在动坐标系中的X 坐标，k u为k P 点的横向变形（扰度）。

k P 点的位置矢量k r可通过旋转变换矩阵k A 从动坐标系k k k Z Y X 变换到惯性坐标系XOY 中去。

假设k R为k P 点在惯性坐标系XOY 中的位置矢量，则 330220113220112111r A r A r A R r A r A R r A R++=+== （3）因此，k P 点在惯性坐标系XOY 中的速度矢量可表示为:333332022101132222210112111111θθθθθθ r BA r A r BA r BA R r BA r A r BA R r BA r A R +++=++=+= （4） 其中111θ BA A =，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110B ，()00k k l r =表示臂杆k 末端的位置矢量。

假设臂杆1，2（上，下两臂杆）为均质杆，臂杆3（摆臂）为无质量杆，其末端有集中质量（工作台和载物总质量）m ，则臂杆k 的密度表示为:111l m =ρ，222l m =ρ，)(333l x m -⨯=δρ （5） 于是系统的动能可表示为:i i T i i l i i i dx R R T T i∑⎰∑====3103121ρ （6） 由于摆臂假设为五边形无质量杆，因此在计算臂杆3的动能时，仅计算臂杆3末端工作台的动能。

假设工作台在惯性坐标系的位置矢量为p R ，则上式可表示为：pT p i p T i i l i pi i i i R R m dx R R T T T T i21212102131+=+==∑⎰∑∑===ρ （7）1.2 臂架系统势能的计算由于摆臂假设为五边形无质量杆，因此在计算臂杆3的动能时，仅计算臂杆3末端工作台的动能。

假设工作台在惯性坐标系的位置矢量为p R ，则上式可表示为:i i i i k k k i i i i i l i i i i il i i i i i mgl l l g m dx u g l m dx x u EI V i iθθθθsin sin sin 2cos 213111121021022221∑∑∑⎰∑⎰∑==--===+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （8）式中E 为材料的弹性模量，I 为臂杆的断面的惯性矩。

其中第二项为臂杆变形引起的重力势能变化，通常忽略不计。

臂杆的变形 k u 为时间t 和k x 的函数，将臂杆k 上k u 点的变形用里兹基函数kp ϕ的线性组合表示为：()kp n p kp t x k q u kk ∑==1,ϕ n k ,,2,1⋅⋅⋅= （9）式中kp q 为对应kp ϕ的广义坐标，kp ϕ为k 臂杆的p 阶基函数，k n 为k 臂杠所取的里兹基函数阶数，通常取k n =2就可以得到令人满意的近似，则k u 可表示为:()()()k k k k k k x q x q t x u 2211,ϕϕ+= (10)式中1ϕ，2ϕ为杆的前两阶模态函数。

()lxx πϕsin11=，()lxx πϕ2sin12= 1.3 广义力的计算取[]T q q q q 22211211321θθθδ=作为动力学建模拉格朗日方程的广义坐标，同时记[]T 321θθθθ=，[]T q q q q q 22211211=，驱动力矩[]T 21τττ=，假设[]Tq Q Q Q θ=为对应于广义坐标δ的广义力它可通过计算作用在系统上的驱动力矩τ在广义位移上的虚功得到，从而可求从驱动力矩τ转换到广义力Q 的传递矩阵C ，令[]T q C C C θ=，则可得[]τθTq C C Q = （11）其中[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==2211110022001011l l l l l l C C C Tq ππππππθ 1.4 柔性多体系统动力学方程的建立把式()()10~3代入到拉格朗日第二类方程j j j Q L Ldt d =∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂δδ ()7,,2,1 =j (12) 其中V T L -=，[]T q θδ=，[]T q Q Q Q θ=。

则整理后臂架柔性多体动力学方程表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++q q T q qq qqq Q v m q k q m Q g v q m m 22θθθθθθθθθθθθθ （13） 式中θθm ，q m θ，和qq m 为质量矩阵，表示如下()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2321322131213222221212213121212221cos cos cos 31cos 21cos cos 21311m l l m l l m l l m l l m m l l m m l m l l l m m l m m m m θθθθθθθθθθθθθθ()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=000200cos 22222221121111l m l m l m l m l m m q ππθθπππθ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22112100021000021000021m m m m m qq θq v 和θθv 为速度的二次项矩阵，表示如下()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=000000000sin 2002112θθπθl m v q()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------⎪⎭⎫⎝⎛+---⎪⎭⎫⎝⎛+=0sin sin sin 0sin 21sin sin 21032322121323221212212121212θθθθθθθθθθθθθθl m l l m l l m l l l m m l m l l l m m vqq k 为广义坐标q 的刚度矩阵，表示如下⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3141324131413141800020000800002l EI l EI l EI l EI k qq ππππ θg 为重力矩矩阵。

在方程（13）处理的过程中，与变形有关的项很小。

因此，忽略与广义坐标q 相关的项。

刚体模型可通过去除方程（13）弹性变形k u 求得。

2 数值仿真将方程（13）进行降阶处理以利于求解器求解，则降阶后方程表示为:()()t y f dtdyy M ,= （14） 式中广义惯性矩阵()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯qq T qq m m m m I y M θθθθ000077，[]Tq q y θθ= 由于上面的动力学方程是强非线性的，不仅有三根臂杆的刚性耦合，还存在大范围的刚性运动和小幅度的弹性变形的耦合。

对此类的刚性方程，需要MA TLAB 中的ode15 s 求解器求解。

折叠式高空作业车的基本参数选取为：m l 5.71=，m l 5.82=，kg m 6501=，kg m 5502=，kg m 150=，281102.1m N EI ⋅⨯=，282100.1m N EI ⋅⨯=，下、上两臂的驱动力矩方向为逆时针，力矩大小分别为：()()m N t t ⋅-=2750005.0sin 39000031πτ，初始条件为()00=δ，()[]00002/00ππδ-=。

柔性多体动力学方程的数值仿真结果如图3―图7所示。

从图3可看出：柔性模型的转角存在小幅高频振动，由此可见弹性变形对刚性转角存在一定的影响，因此振荡控制需要进一步研究。

图 3 刚柔模型转角1θ随时间变化曲线对比图 4 刚柔体模型上臂末端X坐标对比q随时间变化曲线图 5 弹性坐标11图 6 刚柔模型下臂转动角速度曲线对比图7 工作台摆角随时间变化曲线从图4可看出：由于柔性模型臂架存在弹性变形，工作台的运动轨迹存在一定的偏差，因此，工作台的精确定位控制需要进一步研究。

从图5可看出：臂架的变形由一个准静态变形和一个高频振动叠加而成，其中准静态变形引起大部分轨迹偏差，而高频振动导致末端工作台的抖动。

图6也显示臂架在运动过程中存在高频振荡。

因此，为了实现工作台的平稳作业，需要抑制臂架运动过程中产生的振动。

从图7可看出：由于柔性模型臂架存在弹性变形，工作台摆角大幅低频振荡中混合有小幅高频振荡。

因此，工作台摆角的消摆及振荡抑制需要进一步研究。

3 系统建模小结本文基于柔性多体动力学理论建立了折叠式高空作业车臂架系统的柔性多体动力学微分方程，仿真结果表明臂架在柔性模型下的柔性变形比较明显，各臂杆都有不同程度的高频振动，臂架的末端运动也有很大的偏移。