高中数学必修一定义域与值域(超全的方法!)之欧阳道创编
高一数学必修一函数的定义域和值域
课 题 函数的概念和图像授课日期及时段教学目的1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域2.能用描点法画函数的图像3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处教学内容1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22-=②1-=x y ③11+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定3.通常表示函数的方法有：4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。
函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。
讲授新课： 一、函数的判断例1.<1>下列对应是函数的是注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ①x y y x =→: ②12++→x x x <2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数A.()()()2,x x g x x f == B.()()2,x x g x x f ==C.()()24,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f ==练习：1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x xy x y ==,④()()x x y x x y =<>⎩⎨⎧-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10lg,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。
二：函数的定义域注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R.(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域： （1）2322---=x x xy （2）x x y -⋅-=11（3）xy --=113 （4）2253x x y -+-=（5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=xx x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
高一函数定义域和值域知识点
高一函数定义域和值域知识点在高中数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数是一个映射关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。
而函数的定义域和值域则是函数的两个基本性质，它们对于理解函数的性质和特点非常关键。
一、函数的定义域函数的定义域是指函数中所有可能输入的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输入可以采取哪些值。
例如，考虑一个简单的函数f(x) = √x。
这个函数的定义域是什么呢？我们知道平方根是一个实数运算，但是如果x取负值，那么该函数就无法定义了。
因此，这个函数的定义域是所有非负实数。
我们可以表示为：定义域D = [0, +∞)。
同样地，对于一个分式函数g(x) = 1/x，我们知道分母不能为零。
因此，该函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
我们可以表示为：定义域D = (-∞, 0)∪(0, +∞)。
另外，有些函数的定义域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑一个函数h(x) = log(x)，我们知道对数运算要求x必须大于0，因此，该函数的定义域是所有正实数。
我们可以表示为：定义域D = (0, +∞)。
二、函数的值域函数的值域是指函数中所有可能输出的取值范围。
也就是说，在定义一个函数时，我们需要确定函数的输出可以采取哪些值。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以通过平方运算得到一个非负数。
因此，该函数的值域是所有非负实数。
我们可以表示为：值域R = [0,+∞)。
同样地，对于函数g(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的取值范围是在[-1, 1]之间的所有实数。
因此，该函数的值域是[-1, 1]。
另外，有些函数的值域可能受到一些附加条件的限制。
比如，如果考虑函数h(x) = e^x，我们知道指数函数的取值范围是大于0的实数。
因此，该函数的值域是大于0的所有实数。
我们可以表示为：值域R = (0, +∞)。
总结起来，函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。
高一数学值域定义域知识点
高一数学值域定义域知识点数学中的值域（Range）和定义域（Domain）是描述函数的两个重要概念。
值域表示函数的所有可能输出值的集合，而定义域表示函数的所有可能输入值的集合。
在高一数学中，理解和应用这两个概念对于解决函数相关的问题至关重要。
一、定义域（Domain）定义域是指函数中所有可能的输入值的集合。
在数学中，定义域可以是实数集、整数集、有理数集或者其他特定的数集，根据具体问题而定。
为了确定一个函数的定义域，我们需要考虑以下几个因素：1. 根式的定义域：对于包含根式的函数，我们需要确保根式内的数值为非负数或者分母不为零。
2. 分式的定义域：对于包含分式的函数，我们需要注意分母不能为零，因为分母为零时函数无定义。
3. 对数函数的定义域：对于对数函数，底数必须为正数且不等于1，同时函数中的参数也必须满足相应的定义条件。
4. 指数函数的定义域：对于指数函数，底数必须为正数且不等于1。
在确定函数的定义域时，我们还需要考虑其他限制条件，如不等式、约束条件等。
通过合理的分析和推理，我们可以准确地确定一个函数的定义域。
二、值域（Range）值域是指函数中所有可能的输出值的集合。
通过确定一个函数的定义域以及函数的性质，我们可以进一步确定它的值域。
1. 线性函数的值域：对于形如y = kx + b的线性函数，值域是整个实数集。
由于线性函数的图像是一条直线，我们可以看到函数的输出可以取任意的实数值。
2. 幂函数的值域：对于形如y = x^n的幂函数，如果n为奇数，则值域是整个实数集（或者负实数集，根据函数的性质而定）；而如果n为偶数，则值域是非负实数集。
3. 指数函数的值域：对于形如y = a^x的指数函数，值域是正实数集。
通过观察函数的图像，结合函数的性质和定义域，可以帮助我们准确地确定一个函数的值域。
总结：值域和定义域是解决函数问题的重要概念，我们可以通过分析函数的性质、图像以及定义域的限制条件来确定一个函数的值域。
高一数学必修一函数的定义域和值域
课 题 函数的概念和图像授课日期及时段教学目的1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域2.能用描点法画函数的图像3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处教学内容1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22-=②1-=x y ③11+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定3.通常表示函数的方法有：4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。
函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。
讲授新课： 一、函数的判断例1.<1>下列对应是函数的是注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应）①x y y x =→: ②12++→x x x <2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2,x x g x x f == B.()()2,x x g x x f ==C.()()24,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f ==练习：1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x xy x y ==,④()()x x y x x y =<>⎩⎨⎧-=,0011⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10lg,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。
二：函数的定义域注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R.(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域：（1）2322---=x x xy （2）x x y -⋅-=11（3）xy --=113 （4）2253x x y -+-=（5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=xx x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
高一数学定义域和值域
高一数学定义域和值域
定义域和值域是高中数学课程中很重要的概念。
学习者必须了解它们，以完成一些数学函数的图形求解。
定义域是指函数f(x)的可能输入值，它是一个非空的子集，包含预期的输入
的所有可能的值，这是寻找函数的输出的第一步。
定义域有时也被称为实际域（或集合）。
根据所涉及的函数，定义域可以是所有实数，即定义域为R ，它也可以
是所有自然数或其他子集。
值域是函数f(x)映射至定义域之外的可能值，一般而言，值域被称为函数f(x)的可能输出或可能出现的值，可以是积分或有理数。
值域也可以是所有实数，或者是任何比实数更小的集合，包括有理数，自然数和负数。
定义域和值域的概念对于学习者来说很重要，因为需要使用它们来解决一些数学函数的图形求解问题。
学生需要对这两个概念有足够的了解，才能够联系起来，从而解决求解图标和函数问题。
通过定义域和值域，可以更好地理解数学函数，甚至可以绘制函数的图形，这给学生的学习带来帮助。
总的来说，定义域和值域是高中数学学习的重要概念，它能帮助学生有更良好的理解和掌握数学函数的图形求解的原理和知识，从而有助于提高学生的学习和解决图形问题的能力。
高一数学必修1 函数的定义域和值域doc
高一数学必修1 函数的定义域和值域
教学目标
知识与技能
（1）继续理解函数的概念和记号以及域函数概念相关的定义域、函数值、值域的概念。
（2）掌握两个函数是同一函数的条件。
（3）会求简单函数的定义域和值域。
过程与方法
（1）通过对函数的概念的学习，初步探索客观世界中各种运动域数量间的相互依赖关系。
（2）使学生掌握求函数是=式的值得方法。
（3）培养批判思维能力、自我调控能力、交流与合作能力。
情感、态度与价值观
（1）懂得变化、联系、制约的辩证唯物主意观点。
（2）学会全面的观察、分析、研究问题。
重点难点
重点：符号“y=f(x)”的含义。
难点：符号“y=f(x)”的含义。
教法学法：探讨研究
教学用具：多媒体
教学过程
板书设计
教学反思。
高中数学必修一定义域与值域(超全的方法)
高中数学精英讲解——函数(概念理解以及定义域) 【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一:函数得定义域1)已知解析式，求定义域例1、写出下列函数定义域(１)得定义域为＿_＿________;(2）得定义域为_＿_＿_＿__＿＿＿＿__;(3)得定义域为______＿_＿___(4)得定义域为＿＿___________＿___．例2.函数得定义域为__＿____＿_＿_＿__＿_＿__＿＿.例3．若函数得定义域为R,则实数得取值范围_＿________．变式1、函数得定义域就是(）Ａ.(,）Ｂ.(，) C．（,1) D.(,)变式2、求得定义域２)求抽象函数得定义域例1、已知函数定义域就是，则得定义域就是（ )A. B、C、 D、例2.设函数得定义域为,则函数得定义域为_______＿__。
变式１、已知函数得定义域为［0,4],求函数得定义域( )A．Ｂ. C.D．变式2、已知集合,，则___＿考点二:函数得解析式1)换元法,配凑法,求解析式例１、、已知,求得解析式.变式１、(１)已知,求及;（２)已知,求、2)已知解析式形式,求解析式例１、已知()就是一次函数,且满足，求;例2、已知二次函数得最小值等于４,且,求得解析式.变式１设二次函数满足(+２）=(2-),且方程得两实根得平方与为10, 得图象过点（0,３）,求()得解析式、３）求抽象函数得解析式例.已知 ( 0), 求.变式1.设（x-1)=３x-1，则(x)=________＿___________＿＿_____．考点三:抽象函数例．设函数对任意ｘ、y满足,且,则＝_＿_＿A.-2B.±C.±1 ﻩＤ.２变式.函数对于任意实数满足条件,若,求.考点四:分段函数例1．若函数，则＝ .例2已知函数若则实数得取值范围( ）A B Ｃ D例３、已知函数若,则、例4若函数则不等式得解集为____＿______＿、例5.已知则不等式≤５得解集就是__＿______变式1、若函数,则_______＿_＿__＿__＿__＿_变式2、函数则实数a得取值范围就是__＿____＿_＿＿___＿_变式３、定义在R上得函数f(x）= ，则ｆ(3)=( )Ａ、-1 B、－2 C、1 D、 2考点五:函数概念得应用例.判断下列各组中得两个函数就是同一函数得为( )⑴,；⑵,；⑶,；⑷,；⑸,。
函数定义域 函数值域高一数学知识点总结
函数定义域函数值域高一数学知识点总结函数定义域函数值域高一数学知识点总结「篇一」一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的.定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R。
②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。
3. 求函数值域(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;(3)、判别式法：(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。
必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)之欧阳与创编
函数的定义域（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合（2）求函数定义域的注意事项☉分式分母不为零；☉偶次根式的被开方数大于等于零；☉零次幂的底数不为零；☉实际问题对自变量的限制若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。
（3）抽象复合函数定义域的求法☉已知y=f（x）的定义域是A，求y=f（g（x））的定义域，可通过解关于g（x）∈A的不等式，求出x的范围☉已知y=f（g（x））的定义域是A，求y=f（x）的定义域，可由x∈A，求g（x）的取值范围（即y=g（x）的值域）。
例1．函数()f x=的定义域为()A. (－∞，4)B. [4，＋∞)C. (－∞，4]D. (－∞，1)∪(1,4]【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{ 10x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠所以函数()f x =的定义域为(－∞，1)∪(1,4]故选：D例2．函数y =( )A. {|11}x x x ≥≤-或B.{|11}x x -≤≤ C. {1} D.{-1,1}【答案】D 【解析】函数y 可知:2210{ 10x x -≥-≥,解得：1x =±.函数y =的定义域为{-1,1}.故选D. 例3．已知函数()21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________. 【答案】[]1,3-【解析】由函数()21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得：2113x -≤-≤，故函数f(x)的定义域是[]1,3-.例4．若函数()y f x =的定义域为[]0,2,则函数()()21f x g x x =-的定义域是（ ）A. [)0,1B. []0,1C. [)(]0,11,4⋃D. ()0,1【答案】A 函数()y f x =的定义域是[]0,2，022{10x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()2y f x =的定义域是（ ）A. []1,4-B. []0,16C. []2,2-D. []1,4【答案】C 【解析】解：由条件知：()1f x +的定义域是[]2,3-，则1x 14-≤+≤，所以214x -≤≤，得[]x 2,2∈-例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（）A ．[]052， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 【答案】 A 【解析】523,114,1214,02x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤例7．函数y =___________．【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.函数值域定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。
高一数学必修一函数的定义域和值域资料
高一数学必修一函数的定义域和值域资料
函数的定义域和值域是高一数学中的重要概念。
它们是相关函数与变量之间的关系，关系到函数求值。
因此，学习高一数学，必须深入了解它们。
定义域：定义域也称为函数的定义区域，是指给定函数f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量）的实变量x的取值范围的集合，也就是为了使f(x)的值确实存在，z取值范围的集合。
一般而言，x的取值范围通常为数轴上的所有实数或部分实数，也就是x∈R。
而如果有些函数涉及有理数，那么定义域x取值范围为:x∈Q，也就是定义域只能取到有理数。
值域：函数值域就是函数在给定定义域上可能出现的值集合，称为函数值域。
记f ←→y=f(x)（其中x,y为实变量），则值域Df={y：y=f(x)，x∈Df }，其中，Df为定义域。
举例说明：
1. 不等式f(x)<2的值域
当x∈R时，函数f(x)的定义域就是R，而值域为｛y:y<2,x∈R｝=｛y:y<2｝。
以上就是函数的定义域和值域的概念及其具体的表示方法的介绍，希望小伙伴们能够更好的理解这些概念，为学习数学提供助力。
高一数学重要知识点 定义域值域
高一数学重要知识点定义域值域高一数学重要知识点：定义域值域定义域指该函数的有效范围，其关于原点对称是指它有效值关于原点对称。
是高一数学的重要知识点，一起来复习下吧：(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。
其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的'值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
(1)化归法;(2)图象法(数形结合),学习规律;(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)根本不等式法等定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原那么，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
高中数学必修一定义域与值域(超全的方法!)之欧阳育创编
高中数学精英讲解——函数（概念理解以及定义域）【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：函数的定义域1）已知解析式，求定义域例1.写出下列函数定义域_________________________；_____________________________．例2_____________________．例3R围__________．变式1.B． C．1） D．A变式2.例1.（）A例2__________。
变式1.[0，4]的定义域（）A变式2.考点二：函数的解析式1）换元法，配凑法，求解析式例1..变式1.（1（22）已知解析式形式，求解析式例1.例2.4变式1两实根的平方和为10(0,3)的解析式.例．已知[]221)(,21)(xx x g f x x g -=-= (x 0)，求)21(f ．变式1．设f (x －1)=3x －1,则f (x)=___________________________． 考点三：抽象函数例．设函数()f x 对任意x 、y 满足()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，则(1)f -＝____A ．－2B ．±21C ．±1D ．2变式．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5f =-，求((5))f f ．考点四：分段函数 例1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =． 例2已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 例3.已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x =. 例4若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________. 例5．已知{1,0,()1,0,x f x x ≥=-<则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是变式2.a 的取值范围是变式3.定义在R 上的函数f （3）=（）A.-1 B. -2 C.1 D. 2考点五：函数概念的应用例．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）变式1.A ．B ．C ．D ．。
最新高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法
函数的定义域与值域的常用方法（一）求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
（二）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（三）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；（四）求函数的最值1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。
必修一函数的定义域及值域之欧阳引擎创编
个性化学科优化学案鹰击长空—基础不丢1．定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中确定的数f(x)和它→为集合A到集合的一个，记作：对应，那么就称:f A B2．函数的三要素、、3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；4.同一函数：相同，值域，对应法则.1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；③满足不等式a≤x<b 或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].这里的实数a和b叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b} 左闭右开区间[a，b]{x|a<x≤b} 左开右闭区间(a，b)这样实数集R也可用区间表示为(-”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，+∞)，（a，+∞）,(-∞,b],(-∞,b).注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；②有两个区间端点，且左端点小于右端点；③两个端点之间用“，”隔开.3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数5．定义域：自变量的取值范围求法：（1）给定了函数解析式：使式子中各部分均有意义的x的集合；(2) 活生实际中，对自变量的特殊规定.6.常见表达式有意义的规定：①分式分母有意义，即分母不能为0；② {|0}x x ≥ ③00无意义④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
函数定义域值域求法(全十一种)之欧阳引擎创编
高中函数定义域和值域的求法总结欧阳引擎（2021.01.01）一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π，③ 由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
函数单调性的判定方法之欧阳道创编
函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。
一般地，设f 为定义在D 上的函数。
若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f >时，称f 为D 上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。
用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例 1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
例 2.用定义证明函数x k x x f +=)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。
证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则)()(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((212121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ⇒0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ⇒0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。
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高中数学精英讲解——函数（概念理解以及定义域）
【第一部分】知识复习
【第二部分】典例讲解
考点一：函数的定义域
1）已知解析式，求定义域
例1.写出下列函数定义域
___________
______________；
____________
_________________．
例2
例3R
的取值范围__________．
变式1.
A
B． C．1）
D．
变式2.
2）求抽象函数的定义域
例1.
定义域是（）
A
例2
域为__________。
变式1.[0，4]，求函数
A
D
变式2.
考点二：函数的解析式
1）换元法，配凑法，求解析式
例1..
变式1.（1
（2
2）已知解析式形式，求解析式 例1.已知f (x )是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
例2.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．
变式1 设二次函数()f x 满足f (x +2)=f (2-x )，且方程
()0f x =的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式. 3）求抽象函数的解析式
例．已知[]2
2
1)(,21)(x
x x g f x x g -=-= (x
0)，求)21
(f ．
变式1．设f (x －1)=3x －
1,
则
f (x)=___________________________． 考点三：抽象函数
例．设函数()f x 对任意x 、y ()()()f x y f x f y +=+，且
(2)4f =，则(1)f -＝____ A ．－2 B ．±2
1
C ．±1
D ．2
变式．函数
()f x 对于任意实数x 满足条件1
(2)()
f x f x +=
，若(1)5f =-，求((5))f f ． 考点四：分段函数 例1．若函数
234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =． 例2已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0
,
40,4)(2
2x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实
数a 的取值范围（）
例3.
例4
例5的解集是
变式2.
a 的取值范围
是 变式3.定义在R 上的函数
则f （3）=（）A.-1 B. -2 C.1 D. 2
考点五：函数概念的应用
例．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）
变式1.
（）
A． B． C．
D．。