第十二章 无穷级数_4 函数展开成幂级数
第十二章 级数
n1
1 ( p 0)的敛散性。 p n
当 0 p 1 时 , 级数条件收敛， 当 p 1 时 , 级数绝对收敛。
例3。讨论下列级数 的敛散性，如果收敛， 是绝对收敛还是条件收 敛 ? (1) （） 1 3n n1
n1
sin
n
(2)
(1)
n1
n1
ln n n
第十二章
1。无穷级数的概念
级数
§1。无穷级数的概念及其基本性质
定义1。设一数列 u1 , u2 , un , 则和式
un u1 u2 un 称为无穷级数，
n1
简称级数。
un 称为级数的通项或一般 项。
sn uk u1 u2 un 称为级数的
n1
un 其中
un 0 (n 1,2,3,) 那么称它为交错级数。
定理1。 (莱布尼茨判别法 ) 若交错级数 ( 1) n1 u n (其中 u n 0 )满足条件：
n 1
(1) u n1 u n (n 1,2,3, ) (2) lim u n 0
收敛， q 1 时 发散， q 1 时
1 例3。讨论级数 ln(1 ) 的敛散性。 n n 1 1 例4。讨论级数 arctan 2 的敛散性。 2n n 1
例5。讨论级数 an a1 a2 1 a1 (1 a1 )(1 a2 ) (1 a )(1 a2 ) (1 an )
1 (3) sin(n ) ln n n2
常数项级数的敛散性判别法
un
n 1
un ？ 0
高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数
第十二章 无穷级数无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题.第一节 常数项级数的概念和性质教学目的：1、理解无穷级数的概念；2、理解级数的收敛或发散的概念；3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性；4、了解无穷级数的基本性质。
教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容：一、常数项级数的概念定义1 给定数列{}n u ，则称12n u u u ++++L L为常数项无穷级数，简称级数，记做1n n u ¥=å，即121n n n u u u u ¥==++++åL L式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。
级数1n n u ¥=å的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即12n n s u u u =+++L级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数1n n u ¥=å的部分和数列。
定义2 若级数1n n u ¥=å的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1n n u ¥=å收敛，或称1nn u ¥=å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作121n n n s u u u u ¥==++++=åL L而12n n n n r s s u u ++=-=++L称为级数的余项，显然有lim lim()0n n nnr s s =-=若{}n s 是发散数列，则称级数1n n u ¥=å发散，此时这个级数没有和。
第十二章 级数
第十二章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数∑∞=053n nn ，则其和为（ ）A21B 53D 352、 若0lim=∞→nn a ，则级数∑∞=1n na （ ）A 收敛且和为C 发散可能收敛也可能发散3 、若级数∑∞=1n nu 收敛于S ，则级数)(11∑∞=++n n n u u （ ）A 收敛于2SB 收敛于2S+1u2S-1u D 发散4、若+∞=∞→n n b lim ，0≠nb ,求 )11(11+∞=-∑n n nb b 的值解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n nb b b b b b b b b b所以11limb S nn =∞→5、若级数∑∞=1n na 收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。
6、若aa nn =∞→lim，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=nS 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故aa a a a a n n n n n -=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a aa a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =aa a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求 ∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数 ∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性 解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、判定敛散性 ∑∞=11n nnn解： n n= 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故nnn 1>n21,而级数∑∞=121n n发散，故∑∞=11n nnn发散3、判定敛散性 ∑∞=+111n na)0(>a ,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、判定敛散性 ∑∞=-++13221n nnn en en ne(收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、判定级数∑∞=1!.3n nnn n 的敛散性解：ea a nn n 3lim1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nnnn 发散6、判定级数∑∞=-1354n nnn的敛散性解：154lim1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n nnn收敛7、 ∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an ∑∞=+1)1(，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。
高等数学 第十二章 无穷级数
n 1
n 1
设法求出和函数s( x)
an xn ,
n 1
n(n 1)
例10 求 n 1
2n
的和.
1 将其转化成幂级数求和函数问题.
2
原式
s(
1 2
),
s(x)
n(n
n 1
1)xn
2x (1 x)2
.
3
推广：
n1
n（n 3n
1）
S
(
1
)，
3 n1
n（n 1
n1）
S(1) 5
.
5
n1 的和 .
n0
(2n1)!
解: 原式 = 1 (1)n (2n 1) 1
2 n0 ( 2 n 1)!
1 2
n0
(1)n ( 2 n)!
n0
(
(1)n 2 n 1)!
1 [cos1 sin 1 ].
2
（参见例6 ，也可用间接法解本题.）
（间接法）求数项级数和：
化
an an x0n s( x0 ),
0
0
n 0
∴
f(x)
x(1)nx2ndx(1)nx2n 1
(
x
1).
0 n0
n0 2n1
例13
将函数
(2
1
x )2
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
11
2
1
x 2
1 2
xn 2n
n0
1 2
n 1
n x n1 2n
x2 (
)n
x n1 2
1x12x2
x 2x2
,
高数书题目重点目录整理
高数书题目重点目录整理2015考研数学高等数学教材导学【注】1导学用书：同济大学《高等数学》（上、下册）（第6版）2 请各位学员认真研读课本内容及完成选择习题，打下一个牢固的基础。
无论是教材上的定理、例题，还是课后的习题，曾作为历年的考研真题出现过。
第1章函数、极限、连续1、映射与函数（一）复习内容P1-16(表示1至16页，下同)，双曲函数开始之后的不复习。
（二）选做习题P21-22 第4-12题，第14-16题。
2、数列的极限（一）复习内容P23-30（二）选做习题P30-31 第1、5、6题。
3、函数的极限（一）复习内容P31-37（二）选做习题P37-39 第1-4题，第12题。
4、无穷小与无穷大（一）复习内容P39-41（二）选做习题P42 第4、5、6、7题。
5、极限运算法则（一）复习内容P43-49（二）选做习题P49 第1-5题。
6、极限存在准则两个重要极限（一）复习内容P50-55（除Cauchy极限存在准则）（二）选做习题P56-57 第1、2、4题。
7、无穷小的比较（一）复习内容P57-59（二）选做习题P59-60 第1-4题。
8、函数的连续性与间断点（一）复习内容P60-64（二）选做习题P64-65 第1-5题，第7-8题。
9、连续函数的运算与初等函数的连续性（一）复习内容P66-69（二）选做习题P69-70 习题1-9全做P74 总习题一第1-13题。
第2章函数、极限、连续1、导数概念（一）复习内容P77-86（二）选做习题P86-88 习题2-1全做。
2、函数的求导法则（一）复习内容P88-96（例17不学）（二）选做习题P97-99 第1、5题，第5-11题，第13、14题。
3、高阶导数（一）复习内容P99-102（二）选做习题P103 习题2-3除第5题全做。
4、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（一）复习内容P104-111（二）选做习题P111-113 习题2-4除第9题全做。
教案《新编高等数学》(理工类)(第八版) (4)[8页]
![教案《新编高等数学》(理工类)(第八版) (4)[8页]](https://img.taocdn.com/s3/m/f59feed30912a216157929ed.png)
)
(x
x0
)
f
(x0 ) 2!
(x
x0 )2
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (x)
其中 Rn (x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(x
x0 )n1
(
ξ
在
0
与
x
之间),为拉格朗日余项。
在泰勒公式中,当 x0 0 则有麦克劳林公式
f (x)
f (0)
f (0) x 1!
f (0) x 2!
数 f (x) 在该区间内能展开成幂级数.
一、泰勒级数
1. 泰勒(Taylor)公式与麦克劳林 (Machaurin)公式
定理(泰勒定理)如果函数 f (x) 在 x0 的某邻域内有 n 1阶导数，则对此邻域内任意点 x ,
有 f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x)
f (x0 )
f
( x0 1!
n
取极限得，
lim
n
Sn1
(
x)
f
(x) ，即
f (x)
f (x0 )
f
(x0 ) (x 1!
x0 )
f
(x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 ) n!
(x
x0 )n
反之，若上式成立，则必有
lim
n
Rn
(
x)
0.
另外，还需要注意，为使上式成立，f (x) 在 x x0
的某邻域内必须有任意阶导数.
f x
n1
f
n (x0 n!
)
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数展开函数成幂级数是一种将一个函数用无穷级数的形式表示的方法。
这种方法在数学分析和物理学中有广泛的应用。
展开函数成幂级数的方法在很多情况下比较复杂，但对于一些特殊的函数，可以采用一些常见的技巧来进行展开。
首先，我们来回顾一下幂级数的定义。
如果给定一个函数f(x)，我们想要将它展开为幂级数的形式，那么我们需要找到一个函数g(x)以及一个常数c，使得f(x)可以表示为g(x)乘以伪幂级数(c+x+x^2+x^3+...)的形式。
这个伪幂级数在数学上称为幂级数的“标准形式”。
为了将一个函数展开成幂级数形式，需要进行以下几个步骤：1.确定展开点：选择一个展开点x=a。
通常情况下，我们会选择函数f(x)的一个曲线上的一个点为展开点。
2.求取各项系数：使用泰勒级数展开的方法，我们可以通过求取函数f(x)在展开点x=a处的各阶导数（包括一阶导数、二阶导数、三阶导数等）来计算幂级数的各项系数。
具体来说，幂级数的系数可以通过以下公式计算：cn = f^(n)(a)/n!其中，f^(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在x=a处的值。
n!表示n的阶乘。
3.整理幂级数的形式：将各项系数带入幂级数的标准形式(c+x+x^2+x^3+...)中，得到展开后的幂级数形式。
让我们通过一个例子来演示一下展开函数成幂级数的过程：假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成幂级数的形式。
首先，我们选择展开点x=0。
然后，我们可以使用泰勒级数展开的方法来计算各项系数。
由于sin(x)的各阶导数的周期性质，我们可以观察到以下规律：f^(2n+1)(0)=0f^(2n)(0)=(-1)^n*(2n)!通过计算，我们可以得到幂级数的系数：c0 = f(0)/0! = sin(0)/0! = 0/1 = 0c1 = f'(0)/1! = cos(0)/1! = 1/1 = 1c2 = f''(0)/2! = -sin(0)/2! = 0/2 = 0c3 = f'''(0)/3! = -cos(0)/3! = -1/6c4 = f''''(0)/4! = sin(0)/4! = 0/24 = 0...因此，函数f(x) = sin(x)的展开幂级数形式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...注意：在实际应用中，幂级数展开可以根据需要选择合适的截断级数，即只保留幂级数中的前几项。
函数展开幂级数常用公式
函数展开幂级数常用公式幂级数是数学中一个重要的概念，它在很多领域都有广泛的应用。
函数展开幂级数常用公式是一种用于将一个函数表示为幂级数形式的工具。
本文将介绍这个常用的公式，并探讨其应用。
一、幂级数的定义我们来了解一下幂级数的定义。
幂级数是一种形如∑(a_n*x^n)的无穷级数，其中a_n是一系列常数，x是变量。
幂级数是一种非常灵活的表示方法，可以用来表示各种各样的函数。
二、函数展开幂级数的意义为什么要将一个函数表示为幂级数形式呢？这是因为幂级数在计算上具有很大的优势。
通过将函数展开为幂级数，我们可以将原本复杂的函数转化为一系列简单的项相加，从而方便计算和分析。
而函数展开幂级数常用公式就是用来实现这一目的的工具。
三、函数展开幂级数常用公式函数展开幂级数常用公式有很多种，下面我们介绍其中一种常见的形式。
1.泰勒级数公式泰勒级数公式是幂级数常用公式中的一种。
它可以将任意光滑的函数展开为幂级数。
泰勒级数公式的具体形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)表示原函数，f'(x)表示f(x)的导数，a表示展开点。
泰勒级数公式是函数展开幂级数中最常用的一种形式，它在微积分和物理学等领域有广泛的应用。
四、函数展开幂级数的应用函数展开幂级数常用公式在科学和工程中有广泛的应用。
下面我们介绍其中一些常见的应用。
1.逼近法函数展开幂级数常用公式可以用来逼近函数的值。
通过将函数展开为幂级数，我们可以用有限项来逼近无穷项级数，从而得到一个近似值。
2.求解微分方程函数展开幂级数常用公式在求解微分方程时也非常有用。
通过将微分方程中的未知函数展开为幂级数，我们可以将微分方程转化为一系列代数方程，从而得到解析解。
3.信号处理函数展开幂级数常用公式在信号处理中也有广泛的应用。
函数展开成幂级数(课堂PPT)
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
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高数(同济第六版)下册无穷级数要点
若 lim S n = S ，称数列收敛， S 为级数的和，即：
n →∞
∑u
N =1
n
=S；
若 lim S n 不存在，称级数发散。
n →∞
�
性质：
（1） 若级数 � �
∑u ,∑v
n n
n
都收敛，则
∑ (u
± vn ) 也收敛，且 ∑ (un ± vn ) = ∑ un ± ∑ vn
也收敛，且
∑ cu
n =0
幂级数收敛定理——阿贝尔定理
∞
如果幂级数
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时收敛， 则对满足不等式 x < x0 的一切 x ， 幂级
数都收敛，并且是绝对收敛；
∞
如果幂级数 数都发散。
∑a x
n n =0
n
当 x = x0 ( x0 ≠ 0) 时发散， 则对满足不等式 x > x0 的一切 x ， 幂级
∑ u ( x) = u ( x) + u ( x ) + ⋯ + u ( x ) + ⋯ 为函数项级数。
n
1 2
∞
n
n =1
∞
�
函数项的收敛点： ∀x0 ∈ I ，
∑ u ( x ) 收敛，称 x 为函数项级数的收敛点；
n
0 0
n =1
∞
函数项的发散点： ∀x0 ∈ I ， � � 收敛域：收敛点的全体。
n →∞
p
∑u
n =1
n
收敛。
∞
�
比值审敛法：设
∑u
n =1
n
是正项级数，则 lim
湘潭大学《高等数学》课件-第12章无穷级数
级数, 且
则
为正项
证明提示:
对任意给定的正数
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
43
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
级数收敛 ; 但
级数发散 .
44
例6. 证明级数
收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 . 解:
由定理5可知该级数收敛 . 令
概念:
为收敛级数
绝对收敛
Leibniz判别法:
条件收敛
则交错级数
收敛
55
思考与练习
设正项级数
收敛, 能否推出
收敛 ?
提示:
由比较审敛法可知
收敛 .
注意: 反之不成立. 例如,
收敛 ,
发散 .
56
作业
P271 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ;
*3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5)
则所求误差为
45
二 、交错级数及其审敛法
则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
46
证:
是单调递增有界数列, 故 又 故级数收敛于S, 且
47
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 收敛 收敛
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( un vn )
必发散 . (用反证法可证)
n1
但若二级数都发散 ,
12高数第十二章
sn u1 u2 un ,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时 , 如果级数 un 的部分和
n 1
s , 即 lim sn s 则称无穷级数 数列 sn 有极限
n
s u 收敛 , 这时极限 叫做级数 un 的和. 并 n
n 1 n 1
写成 s u1 u2 u3
第一节 常数项级数的概念与性质
问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
性质 3 若级数 un 收敛,则
n 1
un 也收敛 n k 1
( k 1) .且其逆亦真.
证明
uk 1 uk 2 uk n n uk 1 uk 2 uk n sn k sk , 则 lim n lim sn k lim sk
若记
bk u pk 1 1 u pk
un n 1
任意加括号
则加括号后级数成为
记
un n 1
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1
的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2 1 级数收敛, 和为 . 2
函数能展开成幂级数的条件
函数能展开成幂级数的条件引言在数学的研究中，幂级数是一个非常重要的概念。
幂级数是无穷级数的一种特殊形式，其中每一项都是变量的幂次方乘以一个系数。
展开成幂级数可以帮助我们在计算中简化问题，建立起函数与无穷级数之间的关系。
那么，函数能够展开成幂级数的条件是什么呢？在本文中，我们将深入探讨这个问题。
一、函数的定义在开始讨论函数能够展开成幂级数的条件之前，我们首先需要对函数的定义进行了解。
函数是数学中的一个基本概念，表示一种变量之间的对应关系。
通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是与x对应的函数值。
函数的定义域是指所有可能的x的取值范围，而值域则是函数在定义域上所有可能的函数值。
函数可以是实数函数，也可以是复数函数。
二、幂级数的定义2.1 幂级数的形式幂级数是一种特殊的数学级数，可以表示为：∞(x−c)n=a0+a1(x−c)1+a2(x−c)2+⋯∑a nn=0其中a n是常数系数，c是常数。
2.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于变量x相对于常数c的距离。
如果存在一个非负数R，使得当|x−c|<R时，幂级数收敛，即级数部分和有界，那么我们称R为幂级数的收敛半径。
三、函数展开成幂级数的条件函数能够展开成幂级数的条件是存在一个与其相关的幂级数，使得该幂级数在函数的某个定义域上收敛。
下面是函数能够展开成幂级数的一些常见条件：3.1 连续性函数在展开成幂级数之前，通常要求在展开区间上具有一定的连续性。
连续性是指函数的图像没有间断点，即函数在任何点x的极限等于与该点相对应的函数值f(x)。
连续性的要求确保了函数在展开区间上的光滑性，从而使得幂级数能够更好地近似函数。
3.2 解析性展开成幂级数的函数通常要求在展开区间上是解析的，也就是说，函数在展开区间上可以用幂级数来表示。
解析性是函数展开成幂级数的确保条件，它保证了幂级数是函数的一个良好逼近。
3.3 全局收敛性幂级数的收敛半径R是一个非负数，表示幂级数收敛的范围。
12-无穷级数
an xn )′ =
∞ ∞ ∑︁ ∑︁ (an xn )′ = nan xn−1 (|x| < R), n=0 n=1
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.
韩参变量 (某某大学)
第十二章: 无穷级数
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一个例子
Example 35 求幂级数
∞ ∑︀ n=0 xn n+1
n=1 ∞ ∑︁ n=1
un = u1 + u2 + · · · + un + · · ·
其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. 称前 n 项和为级数的部分和, 记为 sn , 即
sn =
n ∑︁ i=1
ui = u1 + u2 + · · · + un .
韩参变量 (某某大学)
第十二章: 无穷级数
rn = s − sn = un+1 + un+2 + · · · .
韩参变量 (某某大学) 第十二章: 无穷级数
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几个例子
Example 3
讨论几何级数
∞ ∑︁ n=0
aqn = a + aq + aq2 + · · · + aqn + · · · (a
0)
的收敛性.
Example 4
韩参变量 (某某大学)
第十二章: 无穷级数
几个例子
Example 30 求幂级数
∞ ∑︀ n=1
(−1)n−1 xn 的收敛半径与收敛域.
n
Example 31 求幂级数
∞ ∑︀ n=1 xn n!
的收敛域.