离散型随机变量及其分布律

5.离散型随机变量及其分布律
【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律
【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。

随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。

【学情分析】：
1、知识经验分析
学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。

2、学习能力分析
学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。

【教学目标】：
1、知识与技能：
了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布，
2、过程与方法
由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。

3、情感态度与价值观
通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。

【教学重点、难点】：
重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。

难点：伯努利试验，两点分布。

【教学方法】：讲授法 启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、问题引入（离散型随机变量的概念）
例1：观察掷一个骰子出现的点数。

随机变量 X 的可能值是 ：
1， 2， 3， 4， 5， 6。

例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,
.
例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随机
变量 X 记为“击中目标的次数”，
则 X 的所有可能取值为：
0,1,2,3,
,30.
定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。

【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。

二、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为
,2,1,}{===k p x X P k k
由概率的定义，k p 满足如下两个条件：
1）)21(0 ，，
=≥k p k ； 2）∑∞
==1
1k k
p
（分布列的性质）
称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。

常用表格形式来表示X 的概率分布：
n i n p p p p x x x X 2121
【设计意图】：给出分布律的概念和性质，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，
同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。

例1：()()1,2,
,C k P X k k N X N
⋅===若为随机变量的分布律，是确
定常数C 。

解：由分布律特征性质 1 知 C ³ 0 ， 由其特征性质 2 知
1
()1N k P X k ==
=∑ 1
N
k C k N =⋅=∑ )(12C N N
++
=+ ()
12
C N += 21C N ∴=+
【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。

例2 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号
灯的工作是相互独立的），求X 的分布律。

解： ,p 设为每组信号灯禁止汽车通过的概率
()
()
()
()
2
3
4
0123 4...........
1111............
i
X p p
p p p p p p p ----
1
2
p =
将代入得 0123 4...........
0.50,250.1250.06250.0625............
i
X p
【设计意图】：通过这个例子，让学生体会分布律能反映随机现象的统计规律性。

三、常见的离散型随机变量的分布
1、两点（0-1）分布 设随机变量X 值可能取0与1两个值，它的分布律是
k k p p k X p --==1)1(}{，=k 0，1()()=1-01P A p p <<
则称X 服以p 为参数的（0—1）分布或两点分布，简记为()0,1X 分布。

（0—1）分布的分布律也可写成
其中01P <<，则称X 服从以p 为参数的两点分布，亦称X 服从（0—1）分布，简记为
()0,1X
分布。

2、(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次， 若各次试验的结果互不影响 ， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果， 则称这 n 次试验是相互独立的， 或称为 n 次重复独立试验。

（2） n 重伯努利试验
伯努里试验：设实验E 只有两个可能结果：A A 及，则称E 为伯努里试验。

n 重伯努里试验：设()()=01P A p p <<此时()()=1-01P A p p <<，将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努里试验。

【设计意图】：两点分布是一重伯努利试验。

例6 抛一枚硬币观察得到正面或反面。

若将硬币抛 n 次，就是n 重伯努利试验。

例7 抛一颗骰子n 次，观察是否 “出现 1 点”， 就是 n 重伯努利试验。

四、思考与提问： 两点分布的实际背景是什么？
五、内容小结
离散型随机变量的分布律及常见的两点分布。

六、课外作业：
P55： 2 ， 3 ， 4
七、板书设计
离散型随机变量及其分布律
一、问题引入（离散型随机变量的概念）
例1：观察掷一个骰子出现的点数。

随机变量 X 的可能值是 ： 1，
2， 3， 4， 5， 6。

例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则
X 的可能值是： 1,2,3,.
例3 设某射手每次射击打中目标
的概率是0.8，现该射手射了30次，则随机变量 X 记为“击中目标的次数”，
则 X 的所有可能取值为：
0,1,2,3,
,30.
定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。

二、离散型随机变量 的分布律
定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为
,2,1,}{===k p x X P k k
由概率的定义，k p 满足如下两个条件：
1）)21(0 ，，=≥k p k ； 2）
∑∞
==1
1
k k
p
（分布列的性质）
称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。

常用表格形式来表示X 的概率分布：
n i n p p p p x x x X 2121
例4：
()()
1,2,
,C k P X k k N N
X C ⋅===若为随机变量的分布律，试确定常数。

例5 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四组信号灯，每组信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过，以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的分布律。

三、常见的离散型随机变量的分布 1、两点（0-1）分布 设随机变量X 值可能取0与1两个值，它的分布律是
k k p p k X p --==1)1(}{，=k 0，
1()()=1-01P A p p <<
则称X 服以p 为参数的（0—1）分布或两点分布，简记为()0,1X
分布。

（0—1）分布的分布律也可写成
其中01P <<，则称X 服从以p 为参数的两点分布，亦称X 服从（0—1）分布，简记为()0,1X
分布。

2、(1) 重复独立试验
将试验 E 重复进行 n 次， 若各次试验的结果互不影响 ， 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果， 则称这 n 次试验是相互独立的， 或称为 n 次重复独立试验。

（2） n 重伯努利试验
伯努里试验：设实验E 只有两个可能结果：A A 及，则称E 为伯努里试验。

n 重伯努里试验：设()()=01P A p p <<此时()()=1-01P A p p <<，将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努里试验。

例6 抛一枚硬币观察得到正面或反面。

若将硬币抛 n 次，就是n 重伯努利试验。

例7 抛一颗骰子n 次，观察是否 “出现 1 点”， 就是 n 重伯努利试验。