数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第三章

证明：对于n都有
1 那么对于 , 取N [ ] 1, 对于n N , 总有


因此可知 lim
n
n2 n 1. n n为偶数 . n为奇数 1 1 1 n 1 1 .则对于 0, 取N [ ] 1,当n N时总有 n n n
n 1 n (3).lim xn 1, 其中xn n n 1 n 证明：对于n, 都有 xn 1 xn 1
n
我们取1 a b, 可知存在N1 , 当n N1时有 an a a b,即b an 2a b.得证。
(4).若 lim an a, 且an 0, 则 lim an a .
n n
证明：由于 lim an a,那么由极限的定义可以知道:对于 0, N ,当n N时有 an a .
n
反之不成立，例如an (1) n , 有 lim an 1 , 而 lim an 1(极限不存在).
n n
(3).若 lim an a, 且a b, 则存在N ,当n N时,有an b;
n
证明：由于 lim an a,那么由极限的定义可以知道:对于 0, N , 当n N时有 an a .
3 3n 2 n 3 3 3 那么对于 , 取N [ ] 1, 对于n N , 总有 2 . 2n 1 2 n 3

因此可知 lim
3n n 3 . n 2n 2 1 2
2
-3-
(2).lim
n
n2 n 1; n n2 n 1 n n2 n n n 1 1 , n n2 n n n ( n 2 n n) n n2 n 1 1 1 . n n 1

因此有 lim (2).lim
n 1 0. n n 2 1
sin n ; n n
1 证明：对于 0, 取N [ ] 1, 则对于n N , 总有

sin n 1 1 1 . n n N 1

于是可知 lim 1 ; n!
n
sin n 0. n
n n n n
-5-
6.设xn a yn (n 1, 2,), 且 lim( yn xn ) 0, 求证： lim yn lim xn a.
n n n
证明：由于xn a yn，因此有a xn 0, yn a 0; 于是有 yn a yn a yn a a xn yn xn , xn a a xn a xn yn a yn xn ; 又因为 lim ( yn xn ) 0，即对于 0, N , 当n N时,有yn xn yn xn ; 那么对于
n4 n4 n 1 . (3 n n)(2 n ) 6 n n n n n n n
1 1 那么对于 0, 分别取N 2 [ ] 1, N 3 [ 2 ] 1, N max( N 2 , N 3 ), 于是当n N时有


i.当n 3k时， xn 3 3 3 0 ; ii.当n 3k 1时， xn 3 xn 3

2 2 n n n n . n 2 1 2 2 ( 1) a a n 2 n(n 1) 2 2 因此 lim n 0. n a n
(8).lim
n! ; n n n n! 1 2 3 n 1 n 1 1 ;因此对于 0, 取N [ ] 1, 则对于 n n n n n n n n n! 1 1 1 . nn n N 1
n 3k n 3k 1 (k 1, 2,). n 3k 2
3n 1 1 1 3 ； n n n 1 n 1 n 3 n n 2 n 3 3 n n 3 n n 3 n n
xn 3 2 当n 3k 2时，

n (1) 2 2n 2 2 2 . 2 n 1 n n n 1 [ 2 ] 1

于是可知 lim
n (1) 0. n n2 1
2
-1-
(5).lim( n 1 n );
n
证明： lim( n 1 n ) lim
n
n
那么对于 '

a
0, N , 当n N时有： an a
an a an 0 an a '. an a a a
因此有 lim an a成立.
n
4.极限的定义是否可以改成下面的形式？其中“ ( ”是逻辑符号，表示“存在” ) (1) 0, N 0, 当n N时,有 xn a ; (2) 0, N 0,当n N时,有 xn a ; (3) 0, N 0, 当n N时,有 xn a M ( M 为常数). 答：这三种都是可以的，它们都是可以很容易的推导出课本中给的定义，也很容易用课 本中的定义推导出这三者。不过第三个里面的“M 为常数”，最好改为“M 为正常数”。 5.若{xn yn }收敛，能否断定{xn }{ ， yn }也收敛？ 答：不能； 例如：xn (2) n , yn (1)n , 显然 lim xn yn lim(2) n (1) n 2，而 lim xn与 lim yn不存在。
1 1 ; iii.当n 3k 2时，有 n N
1 1 .即对任意n N , 都有 xn 3 ; 故有 lim xn 3. n n N
-4-
3.用定义证明: (1).若 lim an a, 则对任一个正整数k , 总有 lim an k a;

因此 lim
1 2 3 n 0. n n3
1 (10).lim( a n ), a 1. n n 证明：由(7)可知对于 1，N1 ,当n N1时，有 2 [ ] 2, N max( N1 , N 2 )则对于n N , 总有 n 1 1 1，即 n ；因此对 0, 取N 2 n a a n
(3).lim
n
1 1 1 1 1 证明：对于 0, 取N [ ] 1, 则对于n N , 总有 . n! n N 1

于是可知 lim
n
1 0. n!
(4).lim
n (1) 2 ; n n2 1
2 证明：对于 0, 取N [ ] 2, 则对于n N , 总有
第三章 极限与函数的连续性
第一节 极限问题的提出 第二节 数列的极限 1.用定义证明下列极限为零： n 1 (1) lim 2 n n 1 2 证明：对于 0, 取N [ ] 1, 则对于n N , 总有

n 1 2n 2 2 2 . n2 1 n2 n N 2
n
(2).若 lim an a, 则 lim an a ; 反之是否成立？ ;
n n
证明：由于 lim an a, 那么由定义可以知道：对 0, N ,当n N时有 an a .
n
由于 an a an a (第二章第二节习题1), 那么可以知道对 0, N ,当n N时有 an a an a 于是有 lim an a .
n
0, N , 当n N时,有 yn a yn xn yn xn , xn a yn xn yn xn ; 于是得 lim yn lim xn a.
n n
7.利用极限的四则运算法则求极限：
(2) lim (2) n 3n n ( 2) n 1 3n 1 2 3 ( )n ( )n 3 3 lim n 2 n 1 3 3 ( ) 3 ( ) n 1 3 3 2 3 lim( ) n lim( ) n n 3 n 3 2 n 1 3 lim 3 ( ) lim 3 ( ) n 1 n n 3 3 0 1 1 . 03 3
10n ; n n ! 1010 10n 10 10 10 10 10 M lim M .那么对于 0, 取N [ , 则 lim ] 1, n n n! n 10! 11 12 13 10n 10 10 10 10 10 10 10n M M M .因此 lim 0. n n ! 10 M n! n n 11 12 13
证明：对于n, 总有 n N , 总有

因此 lim
n
n! 0. nn
-2-
(9).lim
1 2 3 n ; n n3
n 1 n 1 2 3 n n 1 2n 1 1 2 证明：对于n, 总有 2 2 ;因此对 0, 取N [ ] 1, 3 3 n n 2n 2n n 则对于n N , 总有 1 2 3 n 1 1 1 . n3 n N 1
n n
证明：由于 lim an a, 那么由定义可以知道：对 0, N1 , 当n N1时有 an a .
n
那么取N N1 k , 则对 0, N , 当n k N N1 k时有 an k a . 因此 lim an im xn 1. n n N 1

3 3n 1 (4).lim xn 3, 其中xn n n 1 n 2 3 n n xn 3 3 3 0； 证明：当n 3k时， xn 3 当n 3k 1时，