2019-2020学年浙江省温州中学高二下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省温州中学高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝Z，集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{0，1}D．{﹣1，3}2．若α是钝角，cosα＝﹣，则sin（π﹣α）＝（）A．B．﹣C．﹣D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2021＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 5．函数f（x）＝（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．6．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝（）A．1B．9C．1或9D．77．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1＝a，S3＝b，S5＝c，则（）A．a+c＝2b B．a•c＝b2C．15a+3c＝10b D．3a+15c＝10b 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C，b cos B，cos A成等差数列，且a+c＝8，则AC边上中线长的最小值是（）A．2B．4C．2D．49．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面ABB1A1是矩形，M是线段AB 上的动点，记直线A1M与直线AC所成的角为α，直线A1M与平面ABC所成的角为β，二面角A1﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．α≤β，β≤γB．β≤α，β≤γC．α≤β，β≥γD．β≤α，β≥γ10．已知，，，，…，（k∈N+）是平面内两两互不相等的向量，||＝1，且对任意的i＝1，2及j＝1，2，…，k，||∈{1，2}，则k最大值为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．若（2x2+1）5＝a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，则a5＝，a1+a2+a3+a4＝．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于，表面积等于．13．若正数a，b满足ab＝2a+2b+5，则ab的最小值是，a+b的最小值是．14．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为X，则P（X＝3）＝，E（X）＝．15．设，是单位向量，且，的夹角为，若，，则＝；在方向上的投影为．16．已知|x|≤2，|y|≤2，θ∈R，则{（x，y）|x cosθ+y sinθ＝1}围成的区域的面积为．17．已知函数f（x）＝x3﹣3x，若对任意的实数x，不等式f（x+t）＞f（x）+t（t≠0）恒成立，则实数t的取值范围．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若且，求cos2x0的值．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC ＝60°，点F为线段AP的中点．（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．20．已知数列{a n}满足a1＝a2＝1，且满足a n+1+＝a n+2．（1）求a3，a4，并判断{}是否为等差数列？并说明理由；（2）记b n＝，n∈N+，且b1+b2+…+b n＜c恒成立，求实数c的取值范围．21．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．22．已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣ax+3．（1）是否存在实数a使得x0＝1为f（x）唯一零点？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若存在x0∈（1，2）使得f（x0）＝0，求证：x0＞2a﹣7．参考答案一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝Z，集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，3}，则（∁U M）∩N＝（）A．{﹣1}B．{3}C．{0，1}D．{﹣1，3}【分析】已知全集U＝Z，集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，3}，求出∁U M，再根据交集的定义进行求解；解：∵全集U＝Z，集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，3}，∴∁U M＝{…﹣4，﹣3，﹣2，2，3，4，…}，∵N＝{0，1，3}，∴（∁U M）∩N＝{3}，故选：B．2．若α是钝角，cosα＝﹣，则sin（π﹣α）＝（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵α是钝角，cosα＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝＝＝．故选：D．3．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＞0”是“S2021＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用等比数列的前n项和公式和简易逻辑的充分条件和必要条件的应用求出结果．解：由于数列{a n}为等比数列，，由于所以⇔a1＞0，所以“a1＞0”是“S2021＞0”的充要条件．故选：C．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【分析】由线线的位置关系，结合面面垂直，可判断A；由线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理、结合面面垂直的判定定理，可判断B；由面面的位置关系可判断C；由面面平行的定义和线线的位置关系可判断D．解：对于A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，可得m，n相交或平行、异面，故A错误；对于B，若m⊥α，m∥n，可得n⊥α，又n∥β，可得过n的平面γ与β的交线l∥n，又n⊥α，则l⊥α，l⊂β，可得α⊥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β可能平行或相交，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行或异面，故D错误．故选：B．5．函数f（x）＝（a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】当a＝0时，，是反比例函数，符合选项B；当a≠0时，可知函数f（x）有唯一零点x＝0，显然选项D错误．解：当a＝0时，是反比例函数，对应着选项B的函数图象；当a≠0时，令f（x）＝0，则x＝0，即函数f（x）有唯一零点x＝0，而选项D的函数图象有三个零点，不符合．故选：D．6．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若|PF1|＝5，则|PF2|＝（）A．1B．9C．1或9D．7【分析】求得双曲线的a，b，c，判断P的位置，结合双曲线的定义，可得所求值．解：双曲线的a＝2，b＝2，c＝＝4，点在P双曲线的右支上，可得|PF1|≥a+c＝6，点在P双曲线的左支上，可得|PF1|≥c﹣a＝2，由|PF1|＝5可得P在双曲线的左支上，可得|PF2|﹣|PF1|＝2a＝4，即有|PF2|＝5+4＝9．故选：B．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1＝a，S3＝b，S5＝c，则（）A．a+c＝2b B．a•c＝b2C．15a+3c＝10b D．3a+15c＝10b 【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，能求出结果．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S1＝a，S3＝b，S5＝c，∴，解得d＝，c＝5a+10×，解得15a+3c＝10b．故选：C．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C，b cos B，cos A成等差数列，且a+c＝8，则AC边上中线长的最小值是（）A．2B．4C．2D．4【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求B，然后结合向量数量积的性质及基本不等式即可求解．解：由题意可得，2b cos B＝a cos C+c cos A，由正弦定理可得，2sin B cos B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，因为sin B＞0，所以cos B＝，由B为三角形的内角可得B＝，设AC的中点D，则，∴＝（）＝（a2+c2+ac）＝＝＝12，当且仅当a＝c＝4时取等号，故BD的最小值2故选：C．9．斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面ABB1A1是矩形，M是线段AB 上的动点，记直线A1M与直线AC所成的角为α，直线A1M与平面ABC所成的角为β，二面角A1﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．α≤β，β≤γB．β≤α，β≤γC．α≤β，β≥γD．β≤α，β≥γ【分析】由最小角定理（线面角是最小的线线角）得β≤α，由最大角定理（二面角是最大的线面角）得β≤γ．解：斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面ABB1A1是矩形，M是线段AB上的动点，记直线A1M与直线AC所成的角为α，直线A1M与平面ABC所成的角为β，二面角A1﹣AC﹣B的平面角为γ，由最小角定理（线面角是最小的线线角）得β≤α，由最大角定理（二面角是最大的线面角）得β≤γ，∴β≤α，β≤γ．故选：B．10．已知，，，，…，（k∈N+）是平面内两两互不相等的向量，||＝1，且对任意的i＝1，2及j＝1，2，…，k，||∈{1，2}，则k最大值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】设＝（0，0），＝（0，1），＝（x，y），推导出＝1或＝2，＝1或＝2，k的最大值为四个圆的交点个数总和．解：设＝（0，0），＝（0，1），＝（x，y），∵对任意的i＝1，2及j＝1，2，…，k，|﹣|∈{1，2}，∴＝1或＝2，＝1或＝2，∴k的最大值为四个圆的交点个数总和，如图所示，共有6个．故选：D．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）11．若（2x2+1）5＝a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，则a5＝32，a1+a2+a3+a4＝210．【分析】令x＝1可得35＝a0+a1+a2+…+a5，令x＝0可得1＝a0；再根据a5＝•25＝32；即可求解结论．解：（2x2+1）5＝a0+a1x2+a2x4+…+a5x10，令x＝1可得35＝a0+a1+a2+…+a5，令x＝0可得1＝a0；再根据a5＝•25＝32；∴a1+a2+a3+a4＝35﹣1﹣32＝210；故答案为：32，210．12．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于20，表面积等于．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：该几何体的体积V＝V ABC﹣DEF﹣V D﹣ABC＝＝20由于△BCD的边长BC＝5，BD＝，，利用余弦定理和三角形的面积公式，解得+＝．故答案为：20；13．若正数a，b满足ab＝2a+2b+5，则ab的最小值是25，a+b的最小值是10．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：因为正数a，b满足ab＝2a+2b+5，解可得，≥5，解可得ab≥25，当且仅当a＝b时取等号，因为2a+2b+5＝ab，当且仅当a＝b时取等号，解可得，a+b≥10，故答案为：25，1014．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取2个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后再放回，此时盒中黑球的个数为X，则P（X＝3）＝，E（X）＝．【分析】根据古典概型概率公式求得概率，期望即可．解：X＝3表示取出的为一个白球，∴P（X＝3）＝＝，X＝2表示取出两个黑球，P（X＝2）＝＝，X＝3表示取出的为一个白球，∴P（X＝3）＝＝，X＝4表示取出2个球为白球，P（X＝4）＝＝，E（X）＝3×+2×+4×＝，故答案为：；．15．设，是单位向量，且，的夹角为，若，，则＝；在方向上的投影为．【分析】根据平面向量数量积的定义可求出与，并计算出平面向量的模，然后代数可求出在方向上的投影．解：由平面向量数量积的定义可得＝，，，则，所以，在方向上的投影为，故答案为：；．16．已知|x|≤2，|y|≤2，θ∈R，则{（x，y）|x cosθ+y sinθ＝1}围成的区域的面积为15．【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换求出x2+y2≥1，进一步利用线性规划的可行域求出该阴影表示的面积．解：θ∈R，则x cosθ+y sinθ＝1表示为，即，故，所以x2+y2≥1．所以根据线性规划的可行域为：表示的区域面积，如图所示：故S＝4×4﹣1＝15．故答案为：1517．已知函数f（x）＝x3﹣3x，若对任意的实数x，不等式f（x+t）＞f（x）+t（t≠0）恒成立，则实数t的取值范围（4，+∞）．【分析】由两数和的立方公式化简可得3x2t+3xt2+t3﹣4t＞0（t≠0）恒成立，讨论t＞0，t＜0，结合判别式的符号，解不等式可得t的范围．解：函数f（x）＝x3﹣3x，若对任意的实数x，不等式f（x+t）＞f（x）+t（t≠0）恒成立，则（x+t）3﹣3（x+t）＞x3﹣3x+t，即x3+3x2t+3xt2+t3﹣3x﹣3t＞x3﹣3x+t，所以3x2t+3xt2+t3﹣4t＞0（t≠0）恒成立，所以t＞0，且△＝（3t2）2﹣4•3t•（t3﹣4t）＝﹣3t4+48t2＜0，解得t＞4，又t＜0时，不等式不恒成立．综上，t的范围是（4，+∞）．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若且，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求ω的值．（Ⅱ）先求出，再利用两角和的余弦求出cos2x0的值．解：（Ⅰ）＝，因为T＝＝π，所以ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且，∴，因为，所以．因为，所以，．．19．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC ＝60°，点F为线段AP的中点．（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）在△PBC中，根据余弦定理可求得PC＝，再由勾股定理可知，PC ⊥BC，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）以C为原点，CA的垂线所在的直线为y轴，CA和CP分别为x、z轴建立空间直角坐标系，写出向量、和，再根据法向量的性质求出平面PBC的法向量，设直线BF与平面PBC所成角为α，则sinα＝＝，最后利用空间向量数量积的坐标运算即可得解．解：（1）在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得，PC2＝PB2+BC2﹣2PB•BC cos∠PBC＝16+4﹣2×4×2×＝12，∴PC ＝，∵PC2+BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，AB、BC⊂面ABC，∴PC⊥面ABC．（2）以C为原点，CA的垂线所在的直线为y轴，CA和CP分别为x、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，），A（2，0，0），B（1，，0），F（1，0，），∴，，，设平面PBC的法向量为，则，即，令x＝，则y＝﹣1，z＝0，∴，设直线BF与平面PBC所成角为α，则sinα＝＝＝．故直线BF与平面PBC所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}满足a1＝a2＝1，且满足a n+1+＝a n+2．（1）求a3，a4，并判断{}是否为等差数列？并说明理由；（2）记b n＝，n∈N+，且b1+b2+…+b n＜c恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）可令n＝1，n＝2，计算可得a3，a4，再由等差数列的定义，推得{}为等差数列；（2）求得b n＝﹣，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质和不等式恒成立思想，可得所求范围．解：（1）a1＝a2＝1，由a n+1+＝a n+2，可得a3＝1+1＝2，a4＝2+＝6，可得{}为等差数列，理由：因为＝+1，可得{}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）b n＝＝•＝•＝﹣，b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝﹣＜，由b1+b2+…+b n＜c恒成立，可得c≥，可得实数c的取值范围是[，+∞）．21．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：（a＞b＞0）交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．（1）求椭圆C2的离心率；（2）设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，记△ABQ，△ABP的面积分别为S1，S2，问：是否存在椭圆C2，使得S1＝2S2？请说明理由．【分析】（1）设切点A（m，n），分别对抛物线方程和椭圆方程求导，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得a，b的关系，结合离心率公式可得所求值；（2）假设存在椭圆C2，使得S1＝2S2．求得切线l1的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得P的纵坐标，以及P到直线AB的距离；求得切线l2的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，求得Q的纵坐标，以及Q到直线AB的距离．再由三角形的面积公式，解方程可得n，进而求得b2，可得所求结论．解：（1）设切点A（m，n），可得m2＝4n，x2＝4y即y＝的导数为y′＝x，可得切线l1的斜率为m，对椭圆+＝1两边对x求导，可得+＝0，即有y′＝﹣，则椭圆C2在点A处的切线l2的斜率为﹣，由题意可得率为m•（﹣）＝﹣1，化为b2＝a2，则e＝＝＝＝；（2）假设存在椭圆C2，使得S1＝2S2．由抛物线C1在点A处的切线l1的方程为mx＝2（y+n），与椭圆方程x2+2y2＝2b2联立，消去x可得（4+2m2）y2+8ny+4n2﹣2b2m2＝0，则n+y P＝﹣＝﹣，解得y P＝﹣，可得|y P﹣n|＝|﹣﹣n|＝，又椭圆C2在点A处的切线l2的方程为mx+2ny＝2b2，与抛物线方程x2＝4y联立，可得nx2+2mx﹣4b2＝0，可得mx Q＝﹣，即x Q＝﹣＝﹣＝﹣，y Q＝x Q2＝•＝，所以|y Q﹣n|＝，由S1＝2S2，可得＝2•，即为2n2＝1+2n，解得n＝+（负的舍去），则2b2＝m2+2n2＝4n+2n2＝4+3，所以存在椭圆C2，且方程为+＝1，使得S1＝2S2．22．已知函数f（x）＝2lnx+x2﹣ax+3．（1）是否存在实数a使得x0＝1为f（x）唯一零点？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若存在x0∈（1，2）使得f（x0）＝0，求证：x0＞2a﹣7．【分析】（1）先由f（1）＝0解出a，再验证函数只有唯一零点即可；（2）由f（x0）＝0，可把a用x0来表示，所以要证x0＞2a﹣7，即证，利用导数求出最值易证．解：（1）若x0＝1 为f（x）零点，则f（1）＝2ln1+12﹣a+3＝0，即a＝4，当a＝4 时，，所以此时，f（x）在定义域内单调递增，即x0＝1 为f（x）唯一零点，故存在a＝4，使得x0＝1 为f（x）唯一零点．（2）∵，∴，要证x0＞2a﹣7，即证，∵x0∈（1，2），即证，即证，设，当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，即g（x）在（1，2）上递减，故g（x）＜g（1）＝0，所以（*）式得证，故x0＞2a﹣7．。