湖北省宜城市学年高二数学3月月考试题理

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湖北省高二下学期3月联考数学试题(解析版)

一、单选题1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（）()2216010m/s 2s t gt g =-=4t =A ． B ． C ． D ．20m/s 30m/s 40m/s 50m/s 【答案】A【分析】利用导数的概念即可求出结果.【详解】因为，所以当时，. 60s gt '=-4t =20m/s s '=故选：A.2．直线与平行，则（） 320ax y -+=()2210a x y ---==a A ．6 B ．C ．或3D ．36-2-【答案】A【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果. 【详解】已知直线与平行， 320ax y -+=()2210a x y ---=由，得.经验证，符合题意. ()322a a --=-6a =故选：A.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（）()f x ()f x '()f xA ．和B ．C ．D ．1x 4x 2x 3x 5x 【答案】D【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项. 【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当()3,x x ∈-∞()0f x ¢>()f x ()35,x x x ∈()0f x '<时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极()5,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()35,x x ()5,x +∞()f x 小值点为. 5x 故选：D.4．已知等比数列满足，则（）{}n a 1352112nn a a a a -+++⋅⋅⋅+=-234a a a =A ．8B ．C ．D ．168-【答案】C【分析】利用等式数列前n 项和公式求出，，进而即可求出结果.22q =11a =-【详解】设等比数列的公比为，由， {}n a q ()211352121121nn n a q a a a a q-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+++⋅⋅⋅+==--解得，.22q =11a =-所以. ()332234318a a a a a q ===-故选：C.5．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r （单位：40.1πr cm ）是瓶子的半径.已知每出售1mL 的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm ，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm【答案】A【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答. 【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，34344()0.3π0.1)π0.1π(43f r r r r r =⨯-=-08r <≤则，令，得，当时，，当时，2()0.4π(3)f r r r =-'()0f r '=3r =(0,3)r ∈()0f r '>(3,8)r ∈()0f r '<，因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值， ()f r (0,3)(3,8]3r =()f r 所以当每瓶液体材料的利润最大时，. 3r =故选：A6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>2F 离为1，点在双曲线上，若的面积为（） P 12tan F PF ∠=12F PF △A ． BCD【答案】B【分析】根据点到该双曲线渐近线的距离为1，可以求出，利用双曲线定义和余弦定理可以2F 1b =得到，再根据，进而可以求出()121221cos 4PF PF F PF -∠=12tan F PF ∠=121cos 5F PF ∠=结果.【详解】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为， 2(,0)F c by x a=±.1b ==由， ()12222121212222cos PF PF a c PF PF PF PF F PF ⎧-=⎪⎨=+-∠⎪⎩可得.()2121221cos 44PF PF F PF b -∠==因为， 12tan F PF ∠=12sin F PF ∠=121cos 5F PF ∠=所以，1212251cos 2PFPF F PF ==-∠故的面积为12F PF △1212115sin 222PF PF F PF ∠=⨯=故选：B.7．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式()0,∞+()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()20f =的解集为（）()()10x f x ->A ． B ． C ． D ．()0,2()1,2()0,1()2,+∞【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结()()f xg x x=()g x ()0,∞+()20f =果.【详解】设，则，因为，所以在上()()f x g x x=()()()2xf x f x g x x '-'=()()0xf x f x '-<()g x ()0,∞+单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式()20f =()20g =02x <<()0f x >2x >()0f x <的解集为.()()10x f x ->()1,2故选：B.8．若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃{}n a i a 1i a +2i a +()()2210i i i i a a a a +++-->数列”，下列说法中正确的是（） A ．存在等差数列是“跳跃数列”{}n a B ．存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”{}n aC ．若等比数列是“跳跃数列”，则公比 {}n a ()1,0q ∈-D ．若数列满足，则为“跳跃数列” {}n a 121n n a a +=+{}n a 【答案】C【分析】由可判断A ；由可()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+判断B ；解不等式可判断C ；由得()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>121n n a a +=+，计算可判断D.243n n a a +=+()()221i i i i a a a a +++--【详解】若是等差数列，设公差为，则，所以不存在等差数{}n a d ()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤列是“跳跃数列”，故A 错误；{}n a 若是等比数列，设公比为，则，当时，{}n a q ()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+0q >，所以B 错误；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+≤由，得，所以C 正确；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>()1,0q ∈-因为，所以，所以121n n a a +=+212143n n n a a a ++=+=+，故D 错误.()()()()()()()22214343213322610i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a +++--=--+--=--+=-+≤故选：C.二、多选题9．已知函数的导函数为，则下列选项正确的有（） ()f x ()f x 'A ．若，则 ()()ln 21f x x =-()221f x x ='-B ．若()f x =()2535f x x -'=C ．若，则()cos sin x f x x =π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭D ．若，则 ()3xf x =()31ln 3f '=【答案】AC【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A ，B ，C ；根据指数函数的求导公式判断选项D. 【详解】对于A ，令，，因为，，所以ln y μ=21x μ=-1y μ'=2μ'=()12221f x y x μμ'=⨯='⋅'=-，故A 正确；对于B ，因为，所以，故B 不正确；()53f x x ==()2353f x x ='对于C ，因为，所以，故C 正确；()()()22cos sin sin cos 1sin sin x x x x f x x x''=-'-=π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭对于D ，因为，所以，故D 不正确.()3ln3xf x ='()13ln3f '=故选：AC.10．如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD A π2ABC ∠=122AB PA CD ===，M 为PC 的中点，则（）BC =A ．直线AM 与BC 所成的角为π4B ．DM = C．直线AM 与平面 ADP D ．点M 到平面ADP 【答案】ACD【分析】过A 作，垂足为E ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一AE CD ⊥判断各个选项即可.【详解】过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 2DE =以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A AE AB AP 则，，，，，，()0,2,0B ()2,0C ()2,0D -()002P ,,)M)AM =，.()BC = ()DM =对于A ，因为cos ,AM BC AM BC AM BC ⋅===所以直线AM 与BC 所成的角为，故A 正确. π4对于B B 不正确. =对于C ，设平面的法向量为，ADP (),,n x y z =因为，，()2,0AD =- ()0,0,2AP = 所以令.20,20,n AD y n AP z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩x)n = 设直线与平面所成的角为，则，AM ADP αsincos ,AM n AM n AM n α⋅====所以直线与平面C 正确. AM ADP 对于D ，设点到平面的距离为，则M ADPd AM n d n⋅=== 即点到平面D 正确. M ADP故选：ACD.11．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对()ln 1f x x x =+()e xg x ax -=+()f x ()g x 称的点，则a 的取值可以是（） A ．2e B ． C ． D ．e 2+e 1+2e 【答案】ABD【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在()f x ()g x ()f x ()g x --上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.(0,)+∞a 【详解】因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点， ()f x ()g x 所以方程有且仅有两解.()()0f x g x +-=由，得. ()()ln 1e 0xf xg x x x ax +-=++-=e 1ln x a x x+=+设，则与的图象有两个交点，()e 1ln x x x x ϕ+=+y a =()e 1ln xx x xϕ+=+因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且两边趋向正无()()()21e 1x x x x ϕ-'+=()x ϕ()0,1()1,+∞穷，所以，故，所以. ()()min 1e 1x ϕϕ==+()1e 1a ϕ>=+()e 1,a ∞∈++故选：.ABD 12．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线与C 交于点，，则下列结论2:4C y x =()11,A x y ()22,B x y 正确的是（）A ．若，则直线AB 的斜率为1 124y y +=B ．若，则 124x x +=8AB =C ．的最小值为4AB D ．若直线AB 的斜率为1，则AF BF -=【答案】ACD【分析】利用点差法求直线AB 的斜率判断选项A ；根据焦点弦长公式求解判断选项B ；对于选项C ，D ，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C ，D 选项.AB α,AF BF 【详解】对于A ，因为所以，，则. 2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-12x x ≠1212124y y x x y y -=-+因为，所以直线的斜率为，故A 正确.124y y +=AB 12121y yx x -=-对于B ，，故B 错误. 12122622p pAB AF BF x x x x =+=+++=++=对于C ，如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.A AH x ⊥H 1AA 1A设直线的倾斜角为.，则，即AB α1cos AF AA p FH p AF α==+=+()1cos AF p α-=，同理可得.，当且仅当1cos pAF α=-1cos p BF α=+22244sin sin p AB AF BF αα=+==≥90α=︒时，等号成立，故C 正确.对于D ，因为直线的斜率为1，所以AB cos α=，故D 正确.1cos p AF BF α-=-故选：ACD.三、填空题13．已知数列满足，，则______. {}n a 11a =1n n a a n +=-4a =【答案】5-【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 11a =1n n a a n +=-所以，，， 211a a -=-232a a -=-433a a -=-累加可得，解得. 411236a a -=---=-45a =-故答案为：.5-14．函数的导函数为，若，则______.()f x ()f x '()()31e 03xf x x f x '=++()0f '=【答案】2【分析】可以求出导函数，代入可得．()()31e 03xf x x f x '=++0x =()0f '【详解】由，得，()()31e 03xf x x f x '=++()()2e 01x f x x f ''=++得. ()02f '=故答案为：2.15．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=m __________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）4,5,6【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为， 22:(3)(1)1C x y ++-=C ()3,1C -1所以圆心到直线的距离为()3,1C -4320x y m ++=d因为直线与圆相交 4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=所以，解得，2915m -<27m <<所以整数的所有可能取值为.m 3,4,5,6故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.4,5,6四、双空题16．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点()f x '()f x ()f x ''()f x '()y f x =()(),x f x 处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则()()()()3221f x K f x =+'''()13e x f x -=()21g x x=1x =1K 2K ______；设余弦曲线的曲率为K ，则的最大值为______ 12K K =()cos h x x =2K 【答案】【分析】根据曲率的定义求得，，从而求得，求得的表达式，结合导数求得的最大1K 2K 12K K 2K 2K 值.【详解】因为，所以，，()13e x f x -=()13e x f x -='()13e x f x -=''所以，，所以.()13f '=()13f ''=()()()()()32133222133101911f K f -===⨯+'+''因为，所以，. ()21g x x =()32g x x -=-'()46g x x -=''所以，，所以，()21g '=-()16g ''=()3223266514K -==⨯+所以35212322310265K K ---⨯===⨯因为，所以，则， ()cos h x x =()sin h x x =-'()cos h x x =-''所以.()()2223322cos cos 1sin 2cos xxK x x ==+-令，则.[]2cos 0,1t x =∈()()232tK h t t ==-因为，所以在上单调递增，()()42202t h t t +=>-'()h t []0,1当，即时，有最大值，所以.1t =2cos 1x =2K ()11h =2max 1K =；1.五、解答题17．已知函数.()3223129f x x x x =--+(1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)求在上的最值. ()f x []3,3-【答案】(1) 1280x y +-=(2)最小值为，最大值为16. 36-【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程；（2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.()f x []3,3-()()3,3f f -【详解】（1）因为，所以.()3223129f x x x x =--+()26612f x x x '=--因为，，()112f '=-()14f =-所以所求切线方程为，即.()4121y x +=--1280x y +-=（2），令，得或.()()()26612621f x x x x x '=--=-+()0f x '==1x -2x =当时，，单调递增； [)3,1x ∈--()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()1,2x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增，(]2,3x ∈()0f x ¢>()f x 所以，当时，取极大值；当时，取极小值， =1x -()f x ()116f -=2x =()f x ()211f =-又因为，，()336f -=-()30f =所以在上的最小值为，最大值为16.()f x []3,3-36-18．如图1，在中，，，AD 是BC 上的高，沿AD 把折起，ABC A 60ABC ∠=︒90BAC ∠=︒ABD △使，如图2.=90BDC ∠︒(1)证明：.AB CD ⊥(2)设E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ADB DEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，验证即可；0AB DC ⋅=（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可得出答案. ADB DEF 【详解】（1）由题意可知，DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设，以为坐标原点，以，2DB =D DB，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， DC DA则，，，，.(0,0,A ()2,0,0B ()0,6,0C ()1,3,0E (F因为，(2,0,AB =- ()0,6,0DC =所以，故. (200600AB DC ⋅=⨯+⨯+-⨯= AB CD ⊥（2）设平面的法向量为，DEF (),,n x y z =因为，，()1,3,0DE=(DF = 所以令，得.30,30,n DE x y n DF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1y =(3,1,n =- 取平面的一个法向量为.ADB ()0,1,0m =设平面与平面所成的锐二面角为，则ADB DEF αcos m n m nα⋅=== 故平面与平面. ADB DEF 19．已知函数.()22e xf x x ax =--(1)若函数在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；()f x (2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a 的取值范围. ()1,1-()y f x =【答案】(1)证明见解析(2) 2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得在上恒成立，分离参数后即可求出结果；()0f x '≤R （2）设切点为，表示出切线方程，进而转化为的图象与直线()()00,x f x ()2212e xh x x x x =++-有三个交点，研究图像即可求出结果.y a =()h x 【详解】（1）因为在上单调递减，所以在上恒成立，()f x R ()0f x '≤R 因为，()22e xf x x a =--'所以，即.22e 0x x a --≤22e x a x ≥-令，则，()22e x g x x =-()()22e 21e x xg x =-=-'所以在上单调递增，在上单调递减， ()g x (),0∞-()0,∞+所以， ()()max 02g x g ==-故实数的取值范围是.a [)2,-+∞（2）设切点为，则， ()()00,x f x ()020002e x f x x ax =--()00022e x f x x a =--'所以切线方程为 ()()()00200002e 22e x x y x ax x a x x ---=---将点代入得，()1,1-()()()002000012e 22e 1x x x ax x a x ---=----整理得，02000212e 0x x x x a ++--=即关于的方程有三个不同根，x 2212e 0x x x x a ++--=等价于的图象与直线有三个交点.()2212e xh x x x x =++-y a =因为，()()()()()2121e 211e x xh x x x x =+-=+-'+所以在，上单调递减，在上单调递增. ()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-因为，， ()21eh -=()01h =所以实数的取值范围是.a 2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭20．设等差数列的公差为d ，前n 项和为，等比数列的公比为q .已知，，{}n a n S {}n b 11b a =29b =，.q d =10165S =(1)求，的通项公式 {}n a {}n b (2)当时，记，求数列的前n 项和. 1d >nn na cb ={}n c n T 【答案】(1)或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；（2）由题设有，应用错位相减法求Tn ．113n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意知，119,1045165a d a d =⎧⎨+=⎩解得或 13,3a d =⎧⎨=⎩127,22,3a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）因为，所以.1d >13133n n n n n a n c n b -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭因为，012111111233333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得121211111333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11133131322313nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭21．已知椭圆，四点，，，中恰有三()2222:10x y C a b a b+=>>(1P ()21,1P )3P ()4P 点在C 上. (1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，证明为定值，并求出定值.2243x y +=OA B OB A ⋅【答案】(1)22142x y +=(2)【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进C 3P 4P 2P 3P 1P C 而求出结果；(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到l OA OB ⊥l ，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.()22341m k =+OA OB ⊥【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.3P 4P y C 3P 4P 与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.2P 3PC 2P C 所以在上.1P C 则，解得，22211b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故的方程为.C 22142x y +=（2）当切线的斜率不存在时，得l :l x =当，. :l x=AB，则.0OA OB ⋅== OA OB⊥当时，同理可证. :l x =当切线的斜率存在时，设.l :l y kx m =+因为与圆相切， l 2243x y +=所以圆心到的距离为()0,0l d ==即，()22341m k =+联立得.22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，. ()11,A x y ()22,B x y 122412km x x k +=-+21222412m x x k -=+ ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++. 22243412k m k -+-=+由，得，则.()22341m k =+0OA OB ⋅= OA OB ⊥综上，若圆的切线与交于点A ，B ，则， 2243x y +=l C OA OB ⊥所以由等面积法可得OA OB d AB⋅==所以为定值，定值为OA B OB A ⋅【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数，.()22e xa f x x =0a ≠(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数a 的取值范围. ()ln ln x xf x a -≤【答案】(1)答案见解析(2). 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对进行求导，得，分类讨论和两种情况，利用导()f x ()()222e 21x a x f x x'-=0<a 0a >数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；()f x （2）根据题意，将原不等式转化为，令，即，根据ln 22e e xxax x a ≥()e xu x x =()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()x μ的单调性及函数值的正负得出恒成立，参变分离得，构造新函数，利用2ln x x a ≥2e x xa ≥()2ex x v x =导数研究的单调性和最值，从而得出实数a 的取值范围.()v x 【详解】（1）因为，，()22e xa f x x=()(),00,x ∈-∞⋃+∞所以. ()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=当时，由，得，由，得，且，0a >()0f x ¢>12x >()0f x '<12x <0x ≠故的单调递增区间为，单调递减区间为，；()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，由，得，且，由，得， 0<a ()0f x ¢>12x <0x ≠()0f x '<12x >故的单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x (),0∞-10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）易知，.0x >0a >由，可得， ()ln ln x xf x a -≤22e ln ln lnxx a x a a≥-=所以恒成立，即恒成立22e ln xx x x a a ≥ln 22e e ln x x ax x a≥设，则，()e xu x x =()()1e xu x x '=+当时，，当时，， 1x <-()0u x '<1x >-()0u x '>所以在上单调递减，在上单调递增. ()u x (),1-∞-()1,-+∞因为当时，，当时，，0x <()0u x <0x >()0u x >所以恒成立, 即恒成立,等价于恒成立，ln 22e e ln xxaxx a ≥()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2ln x x a ≥即对恒成立.2exxa ≥()0,x ∈+∞设，，则. ()2e x x v x =0x >()212ex xv x -'=当时，；当时，.10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0v x '>1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0v x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()v x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，所以，即的取值范围是.()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭12e a ≥a 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证能够分离出函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，一般导函数能够分解因式，再利用分类讨论，可得答案.。

高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案

高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（）对（）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥，则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。

2023-2024学年湖北省新高考月考高二下学期3月月考数学质量检测模拟试题 (含解析)

2023-2024学年湖北省新高考联考高二下册3月联考数学模拟试题一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1．数列121-⨯，122⨯，123-⨯，124⨯，…的通项公式为（）A ．1(1)n a n n =-B ．1(1)2n n a n+-=C ．(1)(1)nn a n n -=-D ．(1)2nn a n-=2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点(3,)(0)M m m >到其焦点F 的距离等于4，则直线MF 的倾斜角为（）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π3．定义在区间1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 在区间(1,4)上单调递增B ．函数()f x 在区间(1,3)上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取得极大值D ．函数()f x 在0x =处取得极大值4．在等比数列{}n a 中，3a 、7a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则5a =（）A ．2-或2B ．2-C ．D ．25．正方形的面积及周长都随着边长的变化而变化，则当正方形的边长为3cm 时，面积关于周长的瞬时变化率为（）A ．23B ．32C ．38D ．836．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1050S =，若直线()*11:3430N n n l x y a a n -++++-=∈与圆()2224:(1)025n n C x y a a -+=>相切，则15S =（）A ．90B ．70C ．120D ．1007．高斯（Gauss ）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++ 的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050⨯=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n 项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且120231a a =，试根据以上提示探求：若24()1f x x=+，则()()()122023f a f a f a +++= （）A ．2023B ．4046C ．2022D ．40448．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误．．的是（）A ．点1C 到直线CQ 的距离是63B ．122CQ AB AD AA =--+ C ．平面ECG 与平面1BC D 的夹角余弦值为13D ．异面直线CQ 与BD 二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9．下列求导运算正确的是（）A ．1(ln 7)7'=B ．()()222sin 2sin 2cos x x x x x x'⎡⎤+=++⎣⎦C ．222e e x x x x x '⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．1[ln(32)]32x x '+=+10．已知双曲线22:C px qy r -=，且p ，q ，r 依次成公比为2的等比数列，则（）A ．C 的实轴长为4B ．CC ．CD ．过焦点与C 相交所得弦长为4的直线有3条11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若150S >，981a a <-，则下列结论正确的是（）A ．98a a >B ．当8n =时n S 最大C ．使0n S >的n 的最大值为16D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最小项为第9项12．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，导函数为()f x '，满足()()(1)e xxf x f x x '-=-，（e 为自然对数的底数），且(1)0f =，则（）A ．3(2)2(3)f f <B ．(1)(2)(e)f f f >>C ．()f x 在2x =处取得极小值D ．()f x 无最大值三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，若O 、A 、B 、C 四点共面，则x =__________．14．已知定义在区间[0,]π上的函数()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递增区间是__________．15．已知双曲线22221x y a b-=右焦点为)F，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点O 对称．若PF QF ⊥，且PQF △的面积为4，则双曲线的离心率e =__________．16．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复n 次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n 个正三角形），则图中至少__________个正三角形的面积之和超过91327．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD的中点．（1）证明：直线1BD ∥平面ACE ；（2）求直线1CD 与平面ACE 所成角的正弦值．18．（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________．请在①31520a a +=；②2a ，5a ，11a 成等比数列；③20230S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1n n b a =-，求数列{}2nn b ⋅的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题12分）已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．（1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．20．（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，焦距为（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，记直线OP ，OQ 的斜率分别为OP k ，OQ k ；线段PQ 的长度为||PQ ，已知OP k ，12PQ ，OQ k 依次成等比数列，求直线l 的方程．21．（本小题12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且1n a =+．（1）证明：{}n a 是等差数列．（2）设数列1n n n S a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若满足不等式n T m <的正整数n 的个数为3，求m 的取值22．（本小题12分）已知函数()()ln 3()f x x a x x a a R =--+-∈（1）若0a =，求()f x 的极小值；（2）讨论函数()f x '的单调性；（3）当2a =时，()f x λ≤恒成立，求λ的最大整数值．2023年湖北省新高考协作体高二3月联考高二数学答案一、单选题1—4DCAD 5—8BCBA1．D【详解】解：数列11(1)2121--=⨯⨯，21(1)2222-=⨯⨯，31(1)2323--=⨯⨯，41(1)2424-=⨯⨯，……，所以第n 项为(1)2n n -，所以通项公式为(1)2nn a n-=，故A 、B 、C 错误，D 正确．2．C【详解】依题意可知||342p MF =+=，∴2p =，∴m =，MF k =，∴倾斜角3πθ=．3．A【详解】在区间(1,4)上()0f x '>，故函数()f x 在区间(1,4)上单调递增，故A 正确；在区间(1,3)上()0f x '>，故函数()f x 在区间(1,3)上单调递增，故B 错误；当(0,4)x ∈时，()0f x '>，可知函数()f x 在(0,4)上单调递增，故1x =不是函数()f x 的极值点，故C 错误；当1,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，故函数()f x 在0x =处取得极小值，故D 错误．4．D【详解】因为321()4413f x x x x =-+-，所以2()84x x x f '=-+．又因为3a 、7a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，即3a 、7a 是方程2840x x -+=的两根，则有374a a =，由{}n a 为等比数列可知：25374a a a ==，因为3780a a +=>，且374a a =，所以30a >，70a >，则有50a >，所以52a =．【详解】易得正方形的面积y 与周长x 的函数关系为2116y x =，求导得1()8y f x x '==，边长为3，即12x =，故3(12)2f '=．6．C【详解】圆C 的圆心为(1,0)，半径25n r a =，由直线与圆相切得11255n n n a a a -++=，即112n n n a a a -+=+，所以{}n a 为等差数列．在等差数列{}n a 中，5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，所以()105515102S S S S S -=+-，则152(5010)1050S ⨯-=+-，即15120S =．7．B【详解】120231a a ⋅=，∵函数24()1f x x=+，∴222214444()41111x f x f x x x x+⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+，令()()()122023T f a f a f a =+++ ，则()()()202320231T f a f a f a =+++ ，∴()()()()()()120232202220231242023T f a f a f a f a f a f a =++++++=⨯ ，∴4046T =．8．A【详解】()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以选项B 正确；如图以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0)B ，1(1,1,0)C -，1(1,0,0)D -，(0,1,1)Q -，(1,1,1)C --，1(1,2,1)QC =-- ，面ECG 的法向量为1(2,2,2)n =，面1BC D 的法向量为2(1,1,1)n =-- ，121cos ,3n n =所以选项C 正确；因为11(1,1,0)BD B D ==--，所以cos ,CQ BD ==tan ,CQ BD =D 正确．设173||QC CQ m CQ ⋅==- ，则点1C 到直线CQ的距离53d ===，所以选项A 错误．二、多选题9．BC 10．AC11．ABD12．AD9．BC【详解】对于A ，(ln 7)0'=，故A 错误；对于B ，()()()()22222sin 2sin 2(sin )2sin 2cos x x x x x x x x x x '⎡⎤'+=+++=++⎣⎦，故B 正确；对于C ，()()()22222e e 2e e e x x x x x x x x x x '''-⎛⎫-== ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，3[ln(32)]32x x '+=+，故D 错误．10．AC【详解】因为p ，q ，r 依次成公比为2的等比数列，所以2q p =，4rp=，即2q p =，4r p =．所以C 的方程可化为22142x y -=，则24a =，2422c =-=，即2a =，2c =A ，C 的实轴长为4，故A 正确；对于B ，离心率为62，故B 错误；对于C ，焦渐距为2b =，故C 正确；对于D ，交于同一支时弦长最小值为222b a=，交于两支时弦长最小值为24a =．因为对称性，所以有5条，故D 错误．11．ABD【详解】∵等差数列{}n a ，()151158151502S a a a =+=>，∴80a >，又∵981a a <-，∴980a a <-<，890a a +<，∴98a a >，A 正确；∵80a >，90a <，∴当8n ≤，0n a >，9n ≥，0n a <，所以当8n =时n S 最大，B 正确；∵890a a +<，∴()()16116891616022S a a a a =+=+<，150S >，使0n S >的n 的最大值为15，C 错误；分析n S ，n a 的符号变化情况，可得D 正确．12．AD【详解】设()()(0)f x g x x x =>，则22()()(1)e e ()x x xf x f x x g x x x x ''⎛⎫--'=== ⎪⎝⎭，可设e ()x g x c x =+，则(1)e 0g c =+=，解得e c =-，故e ()e xg x x=-，即()e e x f x x =-，令()0g x '>，则1x >，故()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴(2)(3)g g <，即(2)(3)23f f <，则3(2)2(3)f f <，A 正确；∵()e e xf x '=-，令()e e 0xf x '=->，解得1x >，则()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，∴(1)(2)(e)f f f <<，()f x 在1x =处取得极小值，无最大值，B 、C 均错误，D 正确．三、填空题13．814．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭区间端点开闭均可1516．713．8【详解】∵(0,0,0)O ，(2,2,2)A --，(1,4,6)B -，(,8,8)C x -，∴(2,2,2)OA =-- ，(1,4,6)OB =- ，(,8,8)OC x =-，∵O 、A 、B 、C 四点共面，则有OC OA OB λμ=+ ，即2,824,826. x λμλμλμ=-+⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩解得8x =．14．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭区间端点开闭均可【详解】对函数()sin cos f x x x x =+进行求导，()sin cos sin cos x x x x x x x f =+-='当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭．15因为双曲线的右焦点)F，c =，设其左焦点为1F ，因为PF QF ⊥，P ，Q 关于原点O对称，所以||2||PQ OF ==由PQF △的面积为4，所以1||||42S PF QF =⋅=，得||||8PF QF ⋅=，又222||||||20PF QF PQ +==，所以||2PF QF -=‖‖．又由双曲线的对称性可得1QF PF =，由双曲线的定义可得122PF PF a -==，所以1a =，故离心率e =16．7【详解】设第n 个正三角形的边长为n a ，面积为n b ，第1n +个正三角形的边长为1n a +，面积为1n b +，易得24n n b a =，由条件可知：13a =，14b =，又由图形可知：222112122cos 603333n n n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22113n n a a +=，0n a >，所以113n n b b +=，所以{}n b是首项为14b =，公比为13的等比数列，{}n b 的前n 项和为2731183nn S ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由91327n S >，解得6n >，所以n 的最小值为7．四、解答题17．（1）证明见解析（2）36【解】（1）连接直线BD ，设直线BD 交直线AC 于点O ，连接EO ，如图，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 中点，又因为E 为1DD 的中点，所以1BD EO ∥，又因为EO ⊂平面ACE ，1BD ⊂/平面ACE ，所以直线1BD ∥平面ACE ．（2）根据题意，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，不妨设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2)D ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E ，故1(0,2,2)CD =-，(2,2,0)AC =- ，(2,0,1)AE =- ，设平面ACE 的法向量(,,)n x y z = ，则0AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，2z =，故(1,1,2)n =，设直线1CD 与平面ACE 所成角为θ，则1113sin cos ,6||CD n CD n CD n θ⋅==== ，所以直线1CD 与平面ACE所成角的正弦值为6．18．（1）1n a n =+（2）12(1)2n n T n +=+-【解】（1）11n n n S S a +=++，所以11n n n S S a +-=+，即11n n a a +=+，所以数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列．若选①：由31520a a +=，得1121420a d a d +++=，即122016a d =-，解得12a =．所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+，即数列{}n a 的通项公式为1n a n =+．若选②：由2a ，5a ，11a 成等比数列，得()()()2111410a d a d a d +=++，解得12a =，所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+．若选③：因为2011201920201902302S a d a d ⨯=+⨯=+=，解得12a =，所以1(1)2(1)11n a a n d n n =+-=+-⨯=+．（2）1n n b a n =-=，则22n n n b n ⋅=⋅，则1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ，两式相减得：()23411212222222212n nn n n T n n ++--=+++++-⋅=-⋅- ，故12(1)2n n T n +=+-．19．（1）12210x y +-=（2）912m -≤<【解】（1）∵2()326f x x ax '=+-，∴(1)236f a '=-=-，解得：32a =-，∴323()612f x x x x =--+，则311(1)16122f =--+=-，∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：116(1)2y x +=--，即12210x y +-=．（2）由（1）知：323()612f x x x x =--+，则2()3363(2)(1)f x x x x x '=--=-+，∴当[2,1)(2,4]x ∈--⋃时，()0f x '>；当(1,2)x ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在[2,1)--，(2,4]上单调递增，在(1,2)-上单调递减，又(2)1f -=-，9(1)2f -=，(2)9f =-，(4)17f =，∴max ()17f x =，min ()9f x =-，由()()0g x f x m =-=，有()m f x =，即函数y m =与()y f x =的图像有三个交点，由图像可得，m 的取值范围为912m -≤<．20．【解】（1）由题意可得322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得()222210x mx m -+-=．则()()222481420m m m∆=--=->，且1220x x m +=>，()212210x x m =->，得到m的范围为1m <<．则()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．弦长12||PQ x x =-==，()()22121221212121111542||2424OP OQ x x m x x m y y k k PQ m x x x x -++⎛⎫=====- ⎪⎝⎭，解得5m =±，∵m 的范围为1m<<5m =，故直线l 的方程为13525y x =-+，即5100x y +-=．21．（1）证明见解析（2）610,79⎛⎤ ⎥⎝⎦【解】（1）由()1n a =+可得()241n n S a =+，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式相减可得()221142n n n n n a a a a a --=-+-，∴()22112n n n n a a a a ---=+，∵0n a >，∴12(2)n n a a n --=≥，又由11a =+可得11a =+，解得11a =，∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可得1(1)221n a n n =+-⨯=-，2[1(21)]2n n n S n +-==，所以2211111111111(21)(21)44144(21)(21)482121n n n S n a a n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫==+=+⋅=+- ⎪ ⎪-+-+--+⎝⎭⎝⎭，所以1111111111114834835482121n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅-++⋅-+++-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 111111111111111483352121482148(21)8n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+⋅-+-++-=+⋅-=-+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 因为14y x =，18(21)y x =-+在(0,)+∞内单调递增，所以11148(21)8n T n n =-++，*N n ∈单调递增，因为367T =，4109T =，所以满足不等式n T m <的正整数n 的个数为3，m 的取值范围为610,79⎛⎤ ⎥⎝⎦．22．（1）4-（2）答案见解析（3）4-【解】（1）当0a =时，()ln 3f x x x x =--，()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 11ln x x f x +-'==，所以()f x 在区间(0,1)，()0f x '<，()f x 递减；在区间(1,)+∞，()0f x '>，()f x 递增．所以当1x =时，()f x 取得极小值(1)4f =-．（2）()()ln 3f x x a x x a =--+-的定义域为(0,)+∞，()ln 1ln x a a f x x x x x -'=+-=-．令()ln (0)a h x x x x =->，221()a x a h x x x x+'=+=，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在(0,)+∞上递增．当0a <时，()h x 在区间(0,)a -，()0h x '<，()h x 即()f x '递减；在区间(,)a -+∞，()0h x '>，()h x 即()f x '递增．（3）当2a =时，()(2)ln 1f x x x x =---，2()ln f x x x'=-，由（2）知，()f x '在(0,)+∞上递增，(2)ln 210f '=-<，2(3)ln 303f '=->，所以存在0(2,3)x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =．()f x 在区间()00,x ，()0f x '<，()f x 递减；在区间()0,x +∞，()0f x '>，()f x 递增．所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，∵0(2,3)x ∈，∴004134,3x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()010,33f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭．由()f x λ≤恒成立，得()0f x λ≤，故λ的最大整数值为4-．。

湖北省高二数学下学期3月月考试卷(含解析)新人教A版

高二（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）32．（5分）（2008•重庆）若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p据双曲线解：双曲线的左焦点坐标为：的准线方程为，所以3．（5分）一质点运动时位移与时间的关系式为s（t）=t2﹣t+6，作直线运动，则此物体在4的斜率为﹣=4x5．（5分）平面内有一长度为2的线段AB和一动点P满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围6．（5分）（2010•丹东二模）已知命题p：∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命题q：∀x∈（0，），时，，时，7．（5分）函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示，则等于（），﹣+=故答案为：．22y=3⇔，sin=3=，]9．（5分）设1≤a≤b≤c≤d≤100，则的最小值为（）+最小，只需++≥≥2=2×=10．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x∈[0，+∞）时f（x）=x3﹣2x2+x+a，则当a＜0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）求函数的最小值．利用分离常数把函数化为：…（，所以12．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）= 6 ．13．（5分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x﹣y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，则PA+PB的最小值为．， PA+PB=++2﹣+2=2PB=﹣，∴PA+PB=﹣+2﹣+2y=故答案为：﹣14．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．相切的直线的斜率是＞＞15．（5分）已知关于x方程cos2x﹣sinx+a=0，若0＜x≤程有解，则a取值范围是（﹣1，1]＜x≤得三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知命题p：关于x的方程有负根；命题q：不等式|x+1|+|2x﹣1|＜a的解集为φ．且“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．的方程，我们易得的取值范围为：，根⇔⇔＞且17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为F1（0，﹣），F2（0，），且离心率．（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围．，由焦点可得2×）设椭圆方程为，，，所以所以椭圆的方程为；中点的横坐标为2×（﹣），②，或，＜﹣18．（12分）已知函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又，g（1）=0．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）是否存在实数m，使得命题p：f（m2﹣m）＜f（3m﹣4）和满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．）=1∴∴，+∞）上是减函数∴（解得的取值范围为：19．（12分）（2006•福建）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？时，汽车从甲地到乙地行驶了小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为20．（13分）（2008•东城区二模）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为1，F1，F2是双曲线的左、右焦点．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求k PM•k PN的值．轴上，且其一条渐近线方程为，可得方程组：在双曲线上，可得，将其坐标代入．，21．（14分）已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（﹣1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m﹣1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若x1、x2∈[﹣1，1]，求证：f（x1）﹣f（x2）≤4．+2bx+c∴）≤m＜2…（。

高二数学3月月考试题理含解析试题

一中2021-2021-2学期高二年级3月考试试题数学〔理〕一、选择题〔本大题一一共12 小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.〕1.假设，那么等于〔〕A. －2B. －1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意结合导函数的定义求解的值即可.【详解】由导数的定义可知：，那么.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导数的定义及其应用等知识，属于根底题.2.函数f(x)的导函数为，且满足〔e为自然对数的底数〕，那么〔〕A. B. e C. - D. - e 【答案】C【解析】【分析】由题意可得：，令可得的值.【详解】由题意可得：，令可得：.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导数的运算法那么，方程思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.等于〔〕A. 0B. 1C. 2D.【答案】B【解析】【分析】由题意，利用定积分的几何意义，将原问题转化为求解平面图形面积的问题，据此确定定积分的值即可.【详解】如下图，由定积分的几何意义可知表示图中阴影局部的面积，故：.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察定积分的几何意义，属于根底题.4.函数f (x) = 2x3 – 6x2+ m〔m为常数〕在[–2，2]上有最大值3，那么f (x)在[–2，2]上最小值为〔〕A. -37B. -29C. -5D. -11【答案】A【解析】因为由，f′〔x〕=6x2-12x，有6x2-12x≥0得x≥2或者x≤0，因此当x∈[2，+∞〕，〔-∞，0]时f〔x〕为增函数，在x∈[0，2]时f〔x〕为减函数，又因为x∈[-2，2]，所以得当x∈[-2，0]时f〔x〕为增函数，在x∈[0，2]时f〔x〕为减函数，所以f〔x〕max=f〔0〕=m=3，故有f〔x〕=2x3-6x2+3所以f〔-2〕=-37，f〔2〕=-5因为f〔-2〕=-37＜f〔2〕=-5，所以函数f〔x〕的最小值为f〔-2〕=-37．答案为A5.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，那么f2021(x)＝〔〕A. sin xB. －sin xC. cos xD. －cos x 【答案】D【解析】【分析】由题意计算的值确定函数的周期性，然后结合周期性确定f2021(x)的值即可.【详解】由题意可得：，，，，，据此可得的解析式周期为，注意到，故.此题选择D选项.【点睛】此题主要考察导数的运算法那么，周期性及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.6.内接于半径为R的圆的矩形的周长的最大值为( )．A. RB. 2RC. RD. 4R【答案】C【解析】【分析】由题意可得矩形的边长分别为：，据此得到周长的表达式，最后由三角函数的性质可得周长的最大值.【详解】由题意可得矩形的边长分别为：，那么矩形的周长为：，结合三角函数的性质可知，当时，周长获得最大值：.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察三角函数的性质及其应用，实际应用题的解法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.方程-ln x -2=0的根的个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】令，利用导函数研究函数的单调性可知函数的单调区间，然后结合零点存在定理确定方程根的个数即可.【详解】令，那么，当时，单调递减；当时，单调递增；且：，，，结合函数零点存在定理可知函数在上存在一个零点，在区间上存在一个零点，方程-lnx -2=0的根的个数为2.此题选择C选项.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，函数零点存在定理及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.8.由曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：可得：，，结合定积分的几何意义可知曲线y＝x2与曲线y2＝x所围成的平面图形的面积为：.此题选择B选项.【点睛】此题主要考察定积分的概念与计算，属于中等题.9.设函数在区间[a－1，a＋1]上单调递减，那么实数a的取值范围是( )A. [－∞，2)B. (1，2]C. (0，3]D. (4，＋∞]【答案】B【解析】【分析】函数的定义域为，由导函数的解析式可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围.【详解】函数的定义域为，由函数的解析式可得：，据此可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，结合题意有：，解得：，即实数a的取值范围是(1，2].此题选择B选项.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，属于中等题.10.以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，那么此物体到达最高时的高度为〔〕A. mB. mC. mD. m 【答案】A【解析】由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝(40－10t2)d t＝＝80－＝ (m)．选A.11.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现理解到以下情况：〔1〕甲不是最高的；〔2〕最高的是没报铅球；〔3〕最矮的参加了跳远；〔4〕乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛工程是〔〕A. 跑步比赛B. 跳远比赛C. 铅球比赛D. 不能断定【答案】A【解析】分析：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由〔1〕，〔3〕，〔4〕可知，乙参加了铅球，由〔2〕可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由〔1〕可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.应选：A.点睛：此题考察合情推理，考察学生分析解决问题的才能.12.如图，直线l和圆C，当l从l0开场在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到〔转到角不超过90°〕时，它扫过的圆内阴影局部的面积S是时间是t的函数，这个函数的图像大致是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知：S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢〞，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢〞，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求.应选D.【点睛】此题主要考察实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.二、选择题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,将答案写在答题卡上．．．．．．．．．.〕13.曲线在点M(π，0)处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，据此可得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：，所求切线的斜率为：，由于切点坐标为，故切线方程为：.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公一共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公一共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，那么直线与曲线可能有两个或者两个以上的公一共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的构造形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.14.在用数学归纳法证明不等式的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．【答案】【解析】【分析】分别写出和时左侧对应的代数式，然后比拟两者的表达形式即可确定左边需要增加的代数式.【详解】当时，等式左侧为：，当时，等式左侧为：，据此可得，左边需要增加的代数式是.【点睛】此题主要考察数学归纳法的应用，整体思想的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.15.假设函数f(x)＝x3＋x2＋4ax＋c(a>0)在(－∞，＋∞)内无极值点，那么a的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】很明显，且，结合题意可知，据此可得实数a的取值范围.【详解】很明显，由函数的解析式可得：，函数在(－∞，＋∞)内无极值点，那么：,整理可得：.即a的取值范围是.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的极值点，二次不等式的解法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.16.定义域为的可导函数的导函数是，且满足，那么不等式的解集为__________．【答案】【解析】令，，可得函数在R上为减函数，又，故不等式即.不等式的解集为 .点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从外表上看似乎与函数的单调性无关，但假如我们能挖掘其内在联络，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进展全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进展解题，是一种常用技巧.许多问题，假如运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的成效.三、解答题〔本大题一一共6 小题，一共70分〕17.求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知x>－1，构造函数f(x)＝e x－(1＋x)，利用函数f(x)的最小值可证明e x≥1＋x．构造函数g(x)＝1+x－ln(1＋x)，利用函数g(x)的最小值可证明1＋x >ln(1＋x)．【详解】根据题意，应有x>－1，设f(x)＝e x－(1＋x)，那么f′(x)＝e x－1，由f′(x)=0，得x=0.当－1< x < 0时，f′(x)<0；当x > 0时，f′(x)>0．∴f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min= f(0)=0．∴当x>－1，f(x)≥f(0)=0，即e x≥1＋x．设g(x)＝1+x－ln(1＋x)，那么，由g′(x)=0，得x=0.当－1< x < 0时，g′(x)<0；当x > 0时，g′(x)>0．∴g(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，g(x)min=g(0)=1．∴当x>－1，g(x)≥g(0)=1>0，即1＋x >ln(1＋x)．综上可得：.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，利用导函数证明不等式的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.18.函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不连续的曲线，且f(x)在区间[a，b]上单调，f(a)>0，f(b)<0.试用反证法证明：函数y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.【答案】见解析【解析】【分析】由题意可知y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1〔x1≠x0〕，利用反证法证明假设不成立即可证得题中的结论.【详解】因为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像连续不连续，且f(a)>0，f(b)<0，即f(a)·f(b)<0.所以函数y=f(x)在区间[a，b]上一定存在零点x0，假设y=f(x)在区间[a，b]上还存在一个零点x1〔x1≠x0〕，即f(x1)=0，由函数f(x)在区间[a，b]上单调且f(a)>0，f(b)<0知f(x)在区间[a，b]上单调递减；假设x1>x0，那么f(x1)< f(x0)，即0<0，矛盾，假设x1<x0，那么f(x1) > f(x0)，即0>0，矛盾，因此假设不成立，故y=f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点.【点睛】应用反证法时必须先否认结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推理，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.19.如下图，在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【答案】见解析【解析】【分析】设箱子的底边长为x cm，那么箱子高h＝cm.故其体积V(x)＝ (0<x<60)．V′(x)＝60x－x2＝0，据此结合函数的单调性确定箱子容积的最大值即可.【详解】设箱子的底边长为x cm，那么箱子高h＝cm.箱子容积V＝V(x)＝x2h＝ (0<x<60)．求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－x2＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.当x在(0,60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x (0,40) 40 (40,60)V′(x) ＋0 －因此在x＝40处，函数V(x)获得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×＝16 000(cm3)．所以箱子底边长取40 cm时，容积最大，最大容积为16 000 cm3.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的最值，实际问题抽象为数学模型的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.，是否存在关于自然数n的函数，使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论．【答案】存在，证明见解析．【解析】试题分析：由，得的值，归纳猜测，再利用数学归纳法证明．试题解析：当时，由，得，当时，由，得，猜测，下面用数学归纳法证明：当时，等式恒成立．〔1〕当时，由上面计算可知，等式成立；〔2〕假设且时，等式成立，即成立，那么当时，，∴当时，等式也成立．由①②知，对一切的自然数n，等式都成立，故存在函数，使等式成立．考点：归纳猜测及数学归纳法的应用．【方法点晴】此题主要考察了归纳猜测、数学归纳法的应用，属于中档试题，此题中根据的值，归纳猜测，再用数学归纳法的一般步骤：〔1〕验证时，命题成立；〔2〕假设时成立，利用假设和条件证明也成立；〔3〕由上述〔1〕〔2〕得命题成立，其中假设时成立，利用假设和条件证明也成立过程中，无视应用假设是解答的一个易错点，同时利用数学的递推关系的运算，作出合理猜测也是此题的一个难点．21.假设函数,当时,函数有极值为,(1)求函数的解析式；(2)假设有个解,务实数的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】由题意可得f′(x)＝3ax2－b.(1)满足题意时有，据此确定可得a,b的值，从而确定函数的解析式；(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，据此确定函数的极大值和极小值，原问题等价于直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，据此可得k的取值范围.【详解】f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得解得故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或者x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－x－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)2)f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) －因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值，所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如下图．假设f(x)＝k有3个不同的根，那么直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－<k<.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.22.设函数f(x)=ax2-a-ln x，其中a ∈R.〔I〕讨论f(x)的单调性；〔II〕确定a的所有可能取值，使得在区间〔1，+∞〕内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)

湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题足()()f x f x '<恒成立，若01a <<，则()30f ，()f a ，()1af 三者的大小关系为（）A ．()()()130af f a f >>B ．()()()301f f a af >>C ．()()()301f af f a >>D ．()()()301f a f af >>二、多选题三、填空题14．函数2sin sin2y x x =+在()0,π上的最大值为15．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，点的最小距离为.16．某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，按照乙、甲、丙先后顺序排列而不一定相邻，那么不同的安排数为四、解答题17．在()*413,2nx n n N x ⎛⎫-≥∈ ⎪⎝⎭的展开式中，第数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()1e xf x x ax =--．(1)当e a =时，求函数在区间[]1,3-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 的两个极值点分别为1x ，()212x x x <，证明：121x x <．参考答案：16．34800【分析】根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答．【详解】第一种情况：甲、乙、丙中只选两人，有23C 种选法，再从余下安排到周一到周六有66A 种，因此，共有不同安排种数为：第二种情况：当甲、乙、丙三人都参加时，从余下乙丙三人全排列有33A 种方法，在种；由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为故答案为：34800．17．(1)证明见解析(2)2214x 和764x【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出式的通式，令x 的次数为0计算即可；（2）求出使x 的次数为整数的r 【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得2n =（舍去）或7n =4712x x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式的通式为有2022123202323202320232a a a a ++++=⋅ ，∵2023(1)x +二项展开式中2023202320232023C C r rr r a a --===，∴20222022202120200123202323202323202320232a a a a a a a a ++++=++++=⋅ .19．(1)()32694f x x x x =+++(2)15m <<【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，由()f x 在=1x -时有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，两式联立可求常数a ，b 的值，检验所得a ，b 的值是否符合题意，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数k 的取值范围.【详解】（1）由()3223f x x ax bx a =+++可得()236f x x ax b '=++，因为()3223f x x ax bx a =+++在=1x -时有极值0，所以()()1010f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，函数()f x 在R 上单调递增，不满足在=1x -时有极值，故舍去，当2a =，9b =时满足题意，所以常数a ，b 的值分别为2a =，9b =，所以()32694f x x x x =+++．（2）由（1）可知()32695h x x x x m =++-+，()()()()2343313h x x x x x '=++=++，令()0h x '=，解得11x =-，23x =-，∴当3x <-或1x >-时，()0h x '>，当31x -<<-时，()0h x '<，∴()h x 的递增区间是(),3-∞-和()1,-+∞，单调递减区间为()3,1--，当3x =-时，()h x 有极大值m 5-+；当=1x -时，()h x 有极小值1m -，。

《精编》湖北省宜昌市宜都一中高二数学下学期3月月考试卷理(含解析)新人教A版.doc

2021-2021学年湖北省宜昌市宜都一中高二〔下〕3月月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔每小5题，总分值50分〕1．〔5分〕离散型随机变量X的分布列如右表，那么常数q的值为〔〕x 0 1 2p q2A．﹣1 B．1C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．分析：利用概率的根本性质即可得出．解答：解：由概率的标准性可得：，化为2q2+q﹣1=0，又q≥0，解得．应选D．点评：正确理解概率的根本性质是解题的关键．2．〔5分〕命题p：∀x∈R，x≥0的否认是〔〕A．￢p：∃x∈R，x＜0 B．￢p：∃x∈R，x≤0C．￢p：∀x∈R，x＜D．￢p：∀x∈R，x≤0考点：命题的否认．专题：阅读型．分析：这个一个全称命题，否认方法是：先将关键词任意改成存在，再否认后面的结论，由此可以得出正确选项．解答：解：全称命题的否认是特称命题，同时否认结论，将“∀〞改成“∃〞，再将结论改成“x＜0〞即可应选A．点评：此题考查了“含有量词的命题的否认〞，属于根底题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．3．〔5分〕根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．那么在吹东风的条件下下雨的概率为〔〕A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：利用条件概率的计算公式即可得出．解答：解：设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P〔B|A〕==．应选B．点评：正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．4．〔5分〕如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，假设△PBD 的面积为f〔x〕，那么f〔x〕的图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：棱柱的结构特征；函数的图象．专题：图表型．分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，那么PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f〔x〕=BD×PO，再在在三角形PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f〔x〕的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．解答：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，那么PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f〔x〕=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f〔x〕=××=，画出其图象，如以下列图，对照选项，A正确．应选A．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于根底题．5．〔5分〕F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，那么cos∠F1PF2=〔〕A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：设|PF1|=2|PF2|=2m，那么根据双曲线的定义，可得m=2∴|PF1|=4，|PF2|=2∵|F1F2|=4∴cos∠F1PF2===应选C．点评：此题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．6．〔5分〕〔2021•潍坊一模〕某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且假设甲、乙同时参加，那么它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为〔〕A．720 B．600 C．520 D．360考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法〞即可得出．解答：解：由题意可分为以下3类：①只有甲汽车被选中，那么可有=240种方法；②只有乙汽车被选中，那么可有=240种方法；③假设甲乙两辆汽车都被选中，且它们出发时不能相邻，那么不同排法种数==120种方法．综上由分类加法计数原理可知：所要求的不同排法种数=240+240+120=600．应选B．点评：熟练掌握分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法〞是解题的关键．7．〔5分〕以下命题中不正确的命题个数是〔〕①假设A、B、C、D是空间任意四点，那么有+++=0；②|a|﹣|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③假设a、b共线，那么a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，假设=x+y+z〔其中x、y、z∈R〕，那么P、A、B、C四点共面．A．1B．2C．3D．4考点：向量的共线定理．专题：综合题．分析：①由向量的运算法那么知正确②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．④利用空间向量的根本定理知错．解答：解：易知只有①是正确的，对于②，|a|﹣|b|=|a+b|⇔=⇔⇔反向，故②错．对于③共线，那么它们所在直线平行或重合对于④，假设O∉平面ABC，那么、、不共面，由空间向量根本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．应选C．点评：此题考查向量的运算法那么、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量根本定理．8．〔5分〕〔2021•安徽〕〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是〔〕A．﹣3 B．﹣2 C．2D．3考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，故可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得；第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，可得2×〔﹣1〕5=﹣2∴〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是5+〔﹣2〕=3应选D．点评：此题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．9．〔5分〕〔2021•成都一模〕设集合S={1，2，3，4，5，6}，定义集合对〔A，B〕：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数为n，那么的值为〔〕A．B．C．D．考点：计数原理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先确定满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数，再对满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论，可得满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数，从而可求概率．解答：解：∵S={1，2，3，4，5，6}，A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素，且A∪B=S，∴A={1，2，3}，B={4，5，6}，∴满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数为m=2满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论A={1，2，3}时，B={3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，4，5，6}，有7个，A={1，2，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A={1，3，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A={2，3，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个当A={1，2，5}或A={1，3，5}或A={1，4，5}或A={1，2，3，5}或A={2，4，5}或A={3，4，5}时，B={5，6}，有6个，故满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数为n=22，那么=应选A．点评：此题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．10．〔5分〕〔2021•龙泉驿区模拟〕集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．假设点A〔1，f〔1〕〕、B〔2，f〔2〕〕、C〔3，f〔3〕〕，△ABC的外接圆圆心为D，且，那么满足条件的函数f〔x〕有〔〕A．6个B．10个C．12个D．16个考点：分类加法计数原理；向量的共线定理．专题：压轴题．分析：此题从，说明△ABC是等腰三角形，f〔1〕=f〔3〕；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用．解答：解：由，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f〔1〕=f〔3〕，f〔1〕≠f〔2〕；点A〔1，f〔1〕〕、当f〔1〕=1=f〔3〕时f〔2〕=2、3、4，三种情况．f〔1〕=f〔3〕=2；f〔2〕=1、3、4，有三种．f〔1〕=f〔3〕=3；f〔2〕=2、1、4，有三种．f〔1〕=f〔3〕=4；f〔2〕=2、3、1，有三种．因而满足条件的函数f〔x〕有12种．应选C点涉及向量，和三角形的转化，函数的定义；△ABC是等腰三角形，且BA=BC⇒f〔1〕评：=f〔3〕，这是解题的关键．二、填空题〔每小5题，总分值25分〕11．〔5分〕在〔1﹣x2〕20展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，那么T4r= ﹣15504X30．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得=，求得 r=4，可得 T4r=T16=•〔﹣x2〕15，运算求得结果．解答：解：由题意可得=，∴4r﹣1=r+1，或 4r﹣1+r+1=20，r∈N．解得 r=4，∴T4r=T16=•〔﹣x2〕15=﹣15504x30，故答案为﹣15504x30．点评：此题主要考查二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．〔5分〕高二某班要办文明礼仪的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一局部只写一种颜色，如以下列图，相邻两块颜色不同，那么不同颜色的书写方法共有180 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：利用分步乘法计数原理，按照A→B→C→D顺序依次写，注意相邻两块颜色不同．解答：解：第一步，先选一种颜色写黑板A局部，有5种选法；第二步，选一种颜色写黑板B局部，有4种选法；第三步，选一种颜色写黑板C局部，有3种选法；第四步，选一种颜色写黑板D局部，有3种选法，根据分步乘法计数原理，不同颜色的书写方法共有5×4×3×3=180〔种〕，故答案为：180．点评：此题考查简单计算原理，正确理解分步乘法计数原理及分类加法计数原理是解决该类问题的根底，属根底题．13．〔5分〕直线为α的法向量，上的投影为m，那么l与α的距离为|m| ．考点：点、线、面间的距离计算；平面向量数量积的含义与物理意义．专题：向量法；空间位置关系与距离．分析：作出示意图，把线面间距离转化为点A到平面的距离d，由图象得d=d=•|cos ＜，＞|=||，根据向量的投影定义即可求得答案．解答：解：如以以下列图所示：因为直线l∥α，A∈l，所以点A到平面α的距离即为直线l与α的距离，设为d，那么d=•|cos＜，＞|=||=|m|，所以直线l与α的距离为|m|，故答案为：|m|．点评：此题考查点、线、面间的距离计算及平面向量数量积的含义与物理意义，解决此题的关键是正确理解向量投影的定义，属中档题．14．〔5分〕F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M〔2，2〕，那么△ABF的面积等于 2 ．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：利用点斜式设过M的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据AB的中点坐标求得k，进而求得直线方程，求得AB的长度和焦点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：设过M的直线方程为y﹣2=k〔x﹣2〕，由∴，，由题意，于是直线方程为y=x，x1+x2=4，x1x2=0，∴，焦点F〔1，0〕到直线y=x的距离∴△ABF的面积是×4×=2故答案为2点评：此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法〞设而不求计算弦长〔即应用弦长公式〕15．〔5分〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：如图，易证明BD1⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有条直线与直线BD1垂直．与直线BD1垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A1C1B，共有直线条，而所有的直线共有条，从而求得任取一条，它与对角线BD1垂直的概率．解答：解：如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，容易证明BD1⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有条直线与直线BD1垂直．与直线BD1垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A1C1B，共有直线条．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线〔每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条〕，故对角线BD1垂直的概率为．故答案为．点评：此题考查古典概型及其概率计算公式的应用，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．三、解答题〔总分值75分〕16．〔12分〕7名身高互不相等的学生，分别按以下要求排列，各有多少种不同的排法？〔1〕7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；〔2〕7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；〔3〕任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：〔1〕将较高的3个学生捆成一个元素，按“先捆绑，再松绑〞的方法即可求得答案；〔2〕最高的站在中间，从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边即可求得答案；〔3〕按先取后排〔先排第一列，再排第二列，最后排第三列〕即可．解答：解：〔1〕将较高的3个学生捆成一个元素，与另4个学生构成5个学生自由排列有种方法，捆成一个元素的三学生内部可自由排列，有种方法，∴共有•=720种；〔2〕∵最高的站在中间，∴从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边，共有•=20种；〔3〕从7名身高互不相等的学生中选出6人有种方法，再从6人中任选2人排在第一列〔前矮后高〕，有种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列〔前矮后高〕，有种方法，最后剩余的两人排在第三列〔前矮后高〕，有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有=630种方法．点评：此题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．17．〔12分〕表示焦点在y轴上的椭圆； q：直线y﹣1=k〔x+2〕与抛物线y2=4x有两个公共点．假设“p∨q〞为真，“p∧q〞为假，求k的取值范围．考点：复合命题的真假；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．再把直线方程代入抛物线方程消去x，求得方程得判别式，分别根据判别式大于0，求得k的范围．由复合命题的真值表，结合p∨q为真，p∧q为假，可得p和q一真一假，分类讨论后可得k的取值范围．解答：解：∵方程，表示焦点在y轴的椭圆，∴2﹣2k＞1+k＞0，解不等式得，故假设p为真命题，那么：，消去x得y2﹣y+2k+1=0△=4﹣k〔2k+1〕＞0，即，即时，直线与抛物线有二个公共点；假设q为真命题，那么：，又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．即p为真，q为假；或p为假，q为真．∴得k=0或．∴k的取值范围是k=0或．点评：此题考查含有字母参数的方程表示椭圆，直线与圆锥曲线的关系问题，复合命题的真假判断．属于根底题．18．〔12分〕如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．〔Ⅰ〕证明：A1C⊥平面BED；〔Ⅱ〕求二面角A1﹣DE﹣B的大小．考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：法一：〔Ⅰ〕要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF 都垂直；〔Ⅱ〕作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B的大小．法二：建立空间直角坐标系，〔Ⅰ〕求出，证明A1C⊥平面DBE．〔Ⅱ〕求出平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．解答：解：解法一：依题设知AB=2，CE=1．〔Ⅰ〕连接AC交BD于点F，那么BD⊥AC．由三垂线定理知，BD⊥A1C．〔3分〕在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，由于，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以A1C⊥平面BED．〔6分〕〔Ⅱ〕作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角．〔8分〕，，．，．又，．．所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．〔〔12分〕〕解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如以下列图直角坐标系D﹣xyz．依题设，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，E〔0，2，1〕，A1〔2，0，4〕．，．〔3分〕〔Ⅰ〕因为，，故A1C⊥BD，A1C⊥DE．又DB∩DE=D，所以A1C⊥平面DBE．〔6分〕〔Ⅱ〕设向量=〔x，y，z〕是平面DA1E的法向量，那么，．故2y+z=0，2x+4z=0．令y=1，那么z=﹣2，x=4，=〔4，1，﹣2〕．〔9分〕等于二面角A1﹣DE﹣B的平面角，所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．〔12分〕点评：此题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19．〔12分〕有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号．从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球．求：〔1〕取出的3个小球都是0号的概率；〔2〕取出的3个小球号码之积是4的概率；〔3〕取出的3个小球号码之积的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；〔2〕利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；〔3〕利用互斥事件和独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列即可得出．解答：解：〔1〕欲使取出3个小球都为0号，那么必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球中取出另外2个0号小球．记A表示取出3个0号球那么有：=．〔2〕取出3个小球号码之积是4的情况有：情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号；情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号记B表示取出3个小球号码之积为4，那么有：P〔B〕===．〔3〕取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8设X表示取出小球的号码之积，那么有：P〔X=0〕==，P〔X=2〕==，P〔X=4〕==，．所以分布列为：X 0 2 4 8P点评：熟练掌握互斥事件和独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列是解题的关键．20．〔13分〕杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：〔1〕求第20行中从左到右的第4个数；〔2〕假设第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值；〔3〕求n阶〔包括0阶〕杨辉三角的所有数的和；〔4〕在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中〔从右上到左下〕前k 个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k〔m，k∈N×〕的数学公式表示上述结论，并给予证明．第0行 1 ………………………………第1斜列第1行 1 1 ……………………………第2斜列第2行 1 2 1 …………………………第3斜列第3行 1 3 3 1 ………………………第4斜列第4行 1 4 6 4 1 ……………………第5斜列第5行 1 5 10 10 5 1 …………………第6斜列第6行 1 6 15 20 15 6 1 ………………第7斜列第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 ……………第8斜列第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 …………第9斜列第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………第10斜列第10行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ……第11斜列第11行111 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 …第12斜列11阶杨辉三角考点：二项式定理的应用．专题：探究型．分析：〔1〕据第20行各个数是〔a+b〕20的展开式的二项式系数〔2〕据杨辉三角中第n行中的各个数是〔a+b〕n的展开式的二项式系数，列出方程解得．〔3〕据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，〔a+b〕n的二项式系数和为2n得解．〔4〕利用二项式系数的性质C n m﹣1+C n m=C n+1m证明．解答：解：〔1〕C203=1140〔2〕由，即，解得n=34〔3〕1+2+22+…+2n=2n+1﹣1〔4〕C m﹣1m﹣1+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=C m+k﹣1m证明：左式=C m﹣1m﹣1+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=C m m+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1C m+1m+C m+1m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=…=C m+k﹣2m+C m+k﹣2m﹣1=右式点评：此题考查二项式系数、二项式系数和公式、二项式系数性质等．21．〔14分〕〔2021•湖南〕如图，椭圆C1：=1〔a＞b＞0〕的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．〔Ⅰ〕求C1，C2的方程；〔Ⅱ〕设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E．〔i〕证明：MD⊥ME；〔ii〕记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l ，使得=？请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：〔Ⅰ〕先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；〔Ⅱ〕〔i〕把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；〔ii〕先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入就可知道是否存在直线l 满足题中条件了．解答：解：〔Ⅰ〕由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．〔Ⅱ〕〔i〕由题得，直线l的斜率存在，设为k，那么直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为〔0，﹣1〕，所以k MA•k MB==== =﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．〔ii〕设直线MA的斜率为k1，那么直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．那么点A的坐标为〔k1，k12﹣1〕．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为〔﹣，﹣1〕．于是s1=|MA|•|M B|=•|k1|••|﹣|=．由得〔1+4k12〕x2﹣8k1x=0．解得或，，那么点D的坐标为〔，〕．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为〔，〕．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．点评：此题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．。

高二数学3月月考试题理A 试题(共5页)

2021年3月高二质量(zhìliàng)检测理科数学本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

一共150分。

考试时间是是120分钟。

第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1. 向量与向量平行,那么x,y的值分别是〔〕A. 6和-10B. –6和10C. –6和-10D. 6和102．在平行六面体中，为与的交点，假设,，，那么以下向量中与相等的向量是〔〕A． B． C． D．3．抛物线的焦点坐标是 ( )A． B． C． D．4．双曲线的渐近线方程是 ( )A． B． C． D．5．抛物线上一点Q,且知Q点到焦点的间隔为10，那么焦点到准线的间隔是〔〕A． 4 B ．8 C． 12 D． 166.函数上既有极大值又有极小值，那么的取值范围为A． B． C． D．7．曲线(qūxiàn)在点P 处的切线与直线垂直，那么点P 的坐标〔〕A ．(1,0)B ．(1,0)或者C ．D ．(2,8)或者(1,4)--8. 函数有〔〕A ．极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值29．如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，AB ＝BC ＝2，AA1＝1，那么BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.255 C.155 D.10510. 设函数在定义域内可导，的图象如下图，那么导函数的图象可能是〔〕A. B. C. D.第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕o yoy oxyo yy ox11．函数.假设是()f x 的一个极值点，那么()f x 在上的极大值是__________。

12．设双曲线的—个焦点(ji āodi ǎn)为F ，虚轴的—个端点为B ，假如直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为。

高二数学3月月考试题理 2(共3页)

高级中学2021-2021学年高二数学(shùxué)3月月考试题理〔无答案〕一选择题〔每一小题5分，一共60分〕1．复数(m)为纯虚数，那么〔〕A〕m=1,m=-3 B〕m=1 C〕m=-3 D〕m=32凡自然数是整数，是自然数，所以4是整数.〞以上三段推理 ( )A.完全正确B. 不正确，因为两个“自然数〞概念不一致3有一个奇数列1,3,5,7,9,┅，如今进展如下分组：第一组含一个数，第二组含两个数，第三组含三个数，第四组含四个数，┅，现观察猜测每组内各数之和与其组的编号数的关系为〔〕A．等于 B.等于 C.等于 D.等于4假设函数在上是增函数，那么实数的取值范围〔〕A. B. C.D．5做一个底面为正三角形的体积为V的直棱柱，要求其外表积最小，那么底面边长为〔〕A. B. C. D.23V6设0<<b，且f (x)＝，那么以下大小关系式成立的是( ).(A)f (a)< f ()<f () (B)f (2ba+)<f (b)< f (ab)(C)f (ab)< f (2ba+)<f (a) (D)f (b)< f (2ba+)<f (ab) 7给出以下命题：⑴假设，那么f(x)>0；⑵;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，那么；其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0二填空题〔每一小(y ī xi ǎo)题5分，一共20分〕 13.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等〞,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“_______________〞这个类比命题的真假性是________14．设的个位数为，如那么15为一次函数，且，那么)(x f =_______ 16如图是由长为1的小木棒拼成的一列图形，其中第n 个图形由n 个正方形组成：观察图形，根据第1个，第2个，第3个，第4个图形中小木棒的根数，答复以下问题：第5个图形中，小木棒的根数为________；第n 个图形中，小木棒的根数为________ 三解答题〔17题10分，其余每一小题12分，一共70分〕17求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 和y ＝2x 围成的图形的面积．19函数在处获得极值，〔1〕求a,b 的值及其单调区间，〔2〕假设对x ［-1，2］不等式恒成立，求c 的取值范围 20．数列{a n }满足S n +a n =2n+1,(1)写出a 1,a 2,a 3, 并推测a n 的表达式,(2)用数学归纳法证明所得的结论.21如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点. (1) 求证：； (2) 在任意中有余弦定理： .拓展(tu ò zh ǎn)到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，21f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln x x，x ∈(0，e]，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12； (3)是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？假设存在，求出a 的值；假设不存在，请说明理由22设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)假设存在x 0≥1，使得f (x 0)<a a －1，求a 的取值范围．内容总结（1）假设存在，求出a的值。

2022年湖北省襄阳市宜城第三高级中学高二数学理月考试题含解析

2022年湖北省襄阳市宜城第三高级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，其中为虚数单位，则( )(A) (B) 1 (C)2 (D) 3参考答案：B略2. 若随机变量，若X落在区间和内的概率是相等的，则k等于（）Ａ．2 Ｂ．10 Ｃ．Ｄ．可以是任意实数参考答案：A略3. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程的一个根位于下列区间的（）....参考答案：A 4. 已知i为虚数单位，则复数i（1－i）所对应点的坐标为A. （－1，1）B. （1，1）C. （1，－1）D. （－1，－1）参考答案：B5. 函数是定义在[0,+∞)上的可导函数，且，则对任意正实数a，下列式子恒成立的是（）A．B．C．D．参考答案：A由题得：构造函数且定义在上的可导函数，即)->，，故在上单调递减，因为正实数，故，故选A.6. 抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．10参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．【解答】解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B7. 双曲线的两焦点为,，点P在双曲线上，且直线,倾斜角之差为则的面积为（）A. B. C. D.参考答案：A8. 某一算法流程图如右图，输入，则输出结果为（）A.B. 0C.D.参考答案：A 【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果. 【详解】由题意，因为，所以计算，因此输出.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.9. 某射手射击所得环数X 的分布列如表，已知X 的数学期望E （X ）=8.9，则y 的值为（）参考答案：B【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；消元法；概率与统计．【分析】利用离散型随机变量的分布列和数学期望列出方程组，能求出y 的值．【解答】解：∵X 的数学期望E （X ）=8.9， ∴由射手射击所得环数X 的分布列，得：，解得x=0.2，y=0.4．故选：B ．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.参考答案： D 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为的直线与曲线C 交于点P ，若，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．参考答案：取双曲线的渐近线为，，∴过F 2作斜率为的PF 2的方程为，因为所以直线PF 1的方程，联立方程组，可得点P 的坐标为，∵点P 在双曲线上，，即，，整理得，，故答案为.12. 过点P （ 2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________ 参考答案：略13. 有下面四个判断： ①命题：“设、，若，则”是一个假命题②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题 ③命题“、”的否定是：“、”④若函数的图象关于原点对称，则其中错误的有 .参考答案：① ② ③ ④ 略14. （5分）（2014秋?郑州期末）设x ，y 均为正数，且+=，则xy的最小值为．参考答案：9【考点】：基本不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．解：∵x，y 均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y 时取等号，故答案为：9【点评】：本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．15. 椭圆+=1（a ＞b ＞0）与圆x 2+y 2=（+c ）2（c 为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是．参考答案：【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆的半径，要使椭圆与圆有四个不同交点，则圆的半径大于椭圆短半轴小于椭圆长半轴长，由此得到不等式求得椭圆离心率的范围．【解答】解：由圆x 2+y 2=（+c ）2是以原点为圆心，以为半径的圆，∴要使椭圆+=1（a＞b＞0）与圆x2+y2=（+c）2有四个不同交点，则，由，得b＜2c，即a2﹣c2＜4c2，即；联立，解得或e＞1（舍）．∴椭圆离心率的取值范围是．故答案为：．16. 如图，在三棱锥P—ABC中，∠ABC =∠PBC = 90°，三角形PAB是边长为1的正三角形，BC = 1，M是PC的中点，点N在棱AB上，且满足AB⊥MN，则线段AN的长度为____.参考答案：解析: 取PB中点Q，则MQ⊥面PAB，连结NQ，则由MN⊥AB得NQ⊥AB，易得AN =17. 若一个三位数的十位数字均小于个位和百位数字，我们称这个数是“凹形”三位数．现用0，1，2,…，9这十个数字组成没有重复数字的三位数，其中是“凹形”三位数有个(用数值作答)．参考答案：240三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二下3月月考数学(理)试卷

高二下3月月考数学(理)试卷高二下3月月考数学(理)试卷第一卷一选择题(每小题4分共40分)1, 如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为－2i－2,3,下面的四个不等式: ①②③④,其中不成立的有1个2个3个4个4, 甲.乙.丙三家公司承包6项工程, 甲承包3项,乙承包2项,丙承包1项,不同的承包方案有( )种5, 已知随机变量_的分布列如下表(其中a为常数):_1234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是6, 在的展开式中,常数项是7, 有一段演绎推理是这样的:〝直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线∥平面,直线平面,则直线∥直线〞的结论显然是错误的,这是因为推理形式错误大前提错误小前提错误非以上错误8,除以8的余数是71329, 甲.乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲.乙两人各射击一次,有下列说法:① 目标恰好被命中一次的概率为② 目标恰好被命中两次的概率为③ 目标被命中的概率为④目标被命中的概率为以上说法正确的序号依次是②③①②③②④①③10, 平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,则这条直线把平面分割成( )个区域二, 填空题(每小题4分共16分)11, 若复数同时满足为虚单位), 则12, 对于下式,有如下结论:① ②③ 正确的结论为:(只填正确选项的序号)13, 已知某种子的发芽率为, 现随机种下这样的种子3粒,则恰好有2粒发芽的概率为14,一个类似于杨辉三角的三角形数组(如下图)满足:(1)第1行只有1个数1;(2)当n≥2时,第n行首尾两数均为n;(3)当n_gt;2时,中间各数都等于它肩上两数之和,则第n行(n≥2)的第2个数是___________122343477 4 …………………………………………………………高二下3月月考数学(理)试卷第二卷二.填空题答案 (每小题4分共16分)11. ;12.;13. ; 14. ;三.解答题(共44分)15,(满分8分) 已知抛物线(1) 若直线与抛物线相切于点,试求直线的方程? (4分)(2)若直线过点,且与轴平行,求直线与抛物线所围成的封闭区域的面积?(4分)16, (满分9分)(1) 6个人站成一排, 其中甲.乙.两三必须相邻的排法有多少种? (3分) (作具体数字作答)(2) 从1.3.5.7中任选两个数, 从0.2.4.6中任选两个数, (3分)一共可以组成多少个四位数? (用具体数字作答)(3) 若,求出的值 (算出具体数字) (3分)17, 已知6件产品中, 有2件次品,现从中任取3件,试求 (9分)(1) 所取出的3件产品中最多有1件次品的概率? (概率用分数表示) (3分)(2) 取出的3件产品中所含次品数的分布列? (概率用分数表示) (6分)18, (满分9分)某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比,已知当速度为10千米/小时,燃料费10元/小时,其他与速度无关的费用每小时160元,设每千米航程成本为,(1) 试用速度表示轮船每千米航程成本(3分)(2) 轮船的速度为多少时,每千米航程成本最低? (6分)19, (满分9分)(1) 已知的三条边分别为, 用分析法证明: (3分) (不用分析法证明给分)(2) 已知数列的通项公式,记 (6分),①求并猜出的表达式. (2分)②用数学归纳法证明你的猜想. (4分)参考答案一, 选择题1,B2, A 3,B 4,B5,D 6,C 7, C 8, C 9,A 10,C二,填空题11, 12,0.20736 13, 14, 一三,解答题15,(1) 或(2) 且(3)16,(1)1631 (2) 156 (3) 11517,(1)的分布列为1234(2)18,(1) (2) 耗油 11.25升19,(1) ,猜想:(2) 证明:略。

高二数学3月联考试题理C卷,试题(共6页)

鄂西北2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)3月联考试题理〔C 卷，无答案〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1、命题p ：“，使得〞，命题q ：“,表示椭圆〞，那么以下命题为真的是〔〕 A 、B 、C 、D 、2、x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，那么命题“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，〞的否认命题应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 3、双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，那么m 等于( )A ．－14B ．－4C ．4D ．144、以下命题中：①假设x 2-3x +2=0,那么x =1或者x =2 ②假设,那么〔x +2〕(x -3)≤0③假设x =y =0,那么x 2+y 2=0④假设x 、y ∈N *,x +y 是奇数，那么x 、y 中一个是奇数，一个是偶数.那么〔〕 A.①的逆命题为真 B.②的否命题为假 C.③的逆否命题为假 D.④的逆命题为假F xyABCO5、过内的一点P(2，－1)的弦，恰被P 点平分，那么这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝06、,是双曲线的两个(liǎnɡ ɡè)焦点，P 在双曲线上，且,那么的面积等于〔〕A 、B 、C 、24D 、487、设，,假设是的必要而不充分条件,那么实数的取值范围是〔〕 A ．B ．C ．D ．8、如图，过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，假设，且，那么此抛物线的方程为〔〕 A ．B ．C ．D ．9、设双曲线C ：的离心率为，那么斜率为的直线与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是〔〕 A ． B ．C ．D ． 10、椭圆与双曲线一共焦点，那么椭圆的离心率的取值范围为〔〕A 、B 、C 、D 、11、两圆,,动圆M 与两圆C 1、C 2都相切，那么(nà me)动圆圆心M 的轨迹方程是〔〕 A 、x=0 B 、〔x〕 C 、114222=-y x D 、114222=-y x 或者x=0 12、如下图, F 1 ，F 2是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点,以坐标原点O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A,B,且ΔF 2AB 是等边三角形,那么双曲线的离心率为〔〕A ．B ．C ．D ．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕 13、命题，假设命题p ⌝是假命题，那么实数的取值范围是 ▲ ； 14、AB 是过椭圆左焦点F 1的弦，且，其中是椭圆的右焦点，那么弦AB 的长是 ▲ ； 15、是等腰三角形，，以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线离心率为▲ ； 16、抛物线上一点M (,4) 到焦点F 的间隔 |MF |＝0x ，那么直线MF 的斜率▲．三. 解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共70分；解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17、〔本小题满分是12分〕命题p：指数函数在R上单调递减，命题q：关于的方程的两个实根均大于3,假设为真，为假，务实数a的取值范围．18、〔本小题满分是12分〕设1F,2F分别是椭圆E：+=1〔0﹤﹤1〕的左、右焦点，过1F的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列．〔1〕求AB；〔2〕假设直线l的斜率为1，求b的值．19、〔本小题满分是12分〕双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的间隔为32，其中A (0，－b )，B (a,0)． (1)求双曲线的HY 方程(fāngchéng)；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，．求直线l 的方程．20、〔本小题满分是12分〕如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)任作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)． (1)证明：y 1y 2为常数，并求当y 1y 2＝－8时抛物线C 的方程；(2)假设直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．21、〔本小题满分是12分〕定点，是圆〔为圆心〕上的动点，线段的垂直平分线与交于点．〔1〕求动点E的轨迹(guǐjì)方程；〔2〕设直线与E的轨迹交于两点，且以为对角线的菱形的一顶点为，求面积的最大值及此时直线l的方程．22、〔本小题满分是10分〕椭圆上有一点M〔-4，〕在抛物线〔p>0〕的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.〔1〕求椭圆方程；〔2〕假设点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q，求|MN|+|NQ|的最小值．内容总结。

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湖北省宜城市2016-2017学年高二年级下学期3月月考数学（理科）
试题
★祝考试顺利★
时间：120分钟分值150分_
第I卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（）
A.k＞1
B.k＜-1
C.-1＜k＜1
D.-1＜k＜0或0＜k＜1
2.△ABC的两个顶点为A（-4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（）
A.+=1 （y≠0）
B.+=1（y≠0）
C.+=1 （y≠0）
D.+=1（y≠0）
3.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（）
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.以上都不对
4.方程表示椭圆的必要不充分条件是（）
A.m∈（-1，2）
B.m∈（-4，2）
C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）
D.m∈（-1，+∞）
5.椭圆的两个焦点为F1、F2，弦AB经过F2，则△ABF1的周长为（）
A.22
B.23
C.24
D.25
6.已知p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
7.椭圆mx2+ny2+mn=0（m＜n＜0）的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
8.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（）
A.x≥0
B.x＜0或x＞2
C.x＜-
D.x≤-或x≥3
9.设P为椭圆+=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2为焦点，如果∠PF1F2=75°，∠PF2F1=15°，
则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
10.已知θ为斜三角形的一个内角，曲线F：x2sin2θcos2θ+y2sin2θ=cos2θ是（）
A.焦点在x轴上，离心率为sinθ的双曲线
B.焦点在x轴上，离心率为sinθ的椭圆
C.焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的双曲线
D.焦点在y轴上，离心率为|cosθ|的椭圆
11.若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件为＜x＜，则实数m的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.如果椭圆+=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）
A.x+2y-3=0
B.2x-y-3=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y+3=0
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13.下列命题中：①、若m＞0，则方程x2-x+m=0有实根．②、若x＞1，y＞1，则x+y＞2的逆命题．③、对任意的x∈{x|-2＜x＜4}，|x-2|＜3的否定形式．④、△＞0是一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件．是真命题的有 ______ ．
14.过点（，-），且与椭圆+=1有相同的焦点的椭圆的标准方程 ______ ．
15.设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P为直角三角
形，该三角形的面积为 ______ ．
16.下列命题中，
①“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题
②若命题“非P”与命题“P或Q”都是真命题，则命题Q为真命题
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”
④“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件
是真命题的是 ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.已知椭圆+=1的一个焦点是（，0），且截直线x=所得弦长为，求该
椭圆的方程．
18.设命题p：点（2x+3-x2，x-2）在第四象限；命题q：x2-（3a+6）x+2a2+6a＜0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.已知命题p：方程的图象是焦点在x轴上的椭圆；命题q：“∀x∈R，
x2+2mx+1＞0”；命题S：“∃x∈R，mx2+2mx+2-m=0”．
（1）若命题S为真，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真，￢q为真，求实数m的取值范围．
20.已知椭圆C的长轴长为，左焦点的坐标为（-2，0）；
（1）求C的标准方程；
（2）设与x轴不垂直的直线l过C的右焦点，并与C交于A、B两点，且，试求直线l的倾斜角．
21.设P：方程+=1表示椭圆，Q：（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，若P∧Q是真命题，求实数a的取值范围．
22.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
高二数学测试题答案
1.D
2.D
3.C
4.C
5.C
6.A
7.C
8.B
9.D 10.B 11.A 12.A
13.③ 14.=1 15.16.②③
17.解：由题意知，c=，直线x=过椭圆焦点，且垂直于x轴，
由得，y=，
因为截直线x=所得弦长为，所以，①
又a2=b2+2，②，
联立①②解得，a2=6、b2=4，
所以该椭圆的方程是．
18.解：若点（2x+3-x2，x-2）在第四象限；
则，即，解得-1＜x＜2．即p：-1＜x＜2．
由x2-（3a+6）x+2a2+6a＜0得（x-a）[x-（2a+6）]＜0，
对应方程的根为a，2a+6，若a=2a+6，得a=-6，
若a=-6，则不等式的解集为∅，
若a＞-6，a＜2a+6，则不等式的解为a＜x＜2a+6，
若a＜-6，a＞2a+6，则不等式的解为2a+6＜x＜a，
若¬p是¬q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，
则必有a＞-6，且满足，即，
解得-2≤a≤-1．
19.题解：（1）∵命题S为真，当m=0时2=0，不合题意，
当m≠0时△=（2m）2-4m（2-m）≥0，
∴m＜0或m≥1；
（2）若p为真⇒解得0＜m＜2，
若q为真⇒（2m）2-4＜0⇒-1＜m＜1，
∵若p∨q为真，￢q为真，
∴p真q假，
∴解得1≤m＜2．
20.解：（1）由题意可知：椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：（a＞b＞0），则c=2，2a=2，a=，b==2，
∴C的标准方程；
（2）由题意可知：椭圆的右焦点（2，0），设直线l的方程为：y=k（x-2），设点A（x1，y1），
B（x2，y2）；整理得：（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0，
韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，
丨AB丨
=•=•=，由丨AB丨=，=，解得：k2=1，故k=±1，
经检验，k=±1，符合题意，因此直线l的倾斜角为或．
21.解：若p为真命题，则，
解得-1＜a＜3且a≠1；…（3分）
对于Q：当a=2时，-4＜0恒成立；…（5分）
当a≠2时，则，
解得-2＜a＜2，
∴Q为真命题时-2＜a≤2；…（9分）
∵P∩Q是真命题，
∴-1＜a≤2且a≠1…（10分）
22.解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2-c2=4-3=1，
故所求椭圆C的方程为+x2=1．
（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．
理由如下：
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线l的方程y=kx+代入+x2=1，
并整理，得（k2+4）x2+2 kx-1=0．（*）
则x1+x2=-，x1x2=-．
因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，
所以•=0，即x1x2+y1y2=0．
又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，
于是--+3=0，解得k=±，
经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．
所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O。