二次函数的意义1
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思
二次函数作为中考重点考查内容的原因分析及教学反思在中考数学考试中，二次函数作为一个重点考查内容，具有重要的原因和意义。
本文将分析二次函数作为中考重点考查内容的原因，并对教学进行反思，以期提高学生的学习效果和应试能力。
一、二次函数的重要性及应用背景1. 与实际问题紧密相关二次函数在实际世界中有着广泛的应用，例如物体的抛射运动、抛物线的轨迹等等。
掌握二次函数的概念和性质，对于学生理解和应用数学知识到实际问题解决中起到了关键作用。
2. 发展数学思维二次函数作为高中数学的重要内容，涉及到函数的图像、变化趋势、极值点等概念和计算方法。
通过学习二次函数，学生可以培养和发展数学思维，提高逻辑推理和问题解决能力。
3. 培养创新能力二次函数作为重点考查内容，考察学生在解决实际问题时的创新能力。
通过解析几何、图像分析等方法，学生需要将数学理论与实际问题相结合，从而培养学生的创新思维和动手能力。
二、教学反思及改进措施1. 提高教学方法的多样性二次函数教学要注重培养学生的兴趣和主动参与，可以通过多媒体展示、实例分析等方式，加深学生对概念和性质的理解。
同时，可以增加小组合作学习的环节，让学生相互讨论、解决问题，提高教学的互动性和趣味性。
2. 引导学生理解与应用的结合针对二次函数的应用背景，教师应引导学生从实际中找到数学概念的具体应用，并培养学生解决实际问题的能力。
可以通过案例分析和实际模拟等方式，让学生将数学知识灵活运用到实际中，加深对知识的理解和记忆。
3. 针对性强化习题训练为了提高学生的应试能力，教师应及时纠正学生的错误并针对性地强化训练。
可以结合历年真题或模拟试题，针对性地组织习题训练，让学生熟悉考试题型和解题技巧，提高解题速度和准确度。
4. 增加拓展性教学在学生掌握基础知识之后，可以适当增加一些拓展性的教学和学习内容。
例如，介绍更高阶的多项式函数、不等式、函数的复合等内容，拓宽学生的数学视野，提高学生的学习兴趣和思维能力。
二次函数的意义
二次函数的意义二次函数是数学中的一个重要概念，是一种用于描述一些自然现象的数学模型。
在实际应用中，二次函数被广泛应用于物理、经济学、工程学等领域，具有重要的意义和作用。
本文将从二次函数的定义、图像和性质、应用等方面来探讨二次函数的意义。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠0。
二次函数的定义域为所有实数，值域为y≥c（当a>0）或y≤c （当a<0）。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，此时二次函数的最小值为c；当a<0时，抛物线开口朝下，此时二次函数的最大值为c。
二次函数的图像关于直线x=-b/2a 对称。
二、二次函数的图像和性质二次函数的图像具有以下特点：1. 抛物线开口的方向由二次项系数a的正负决定。
2. 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c)。
3. 抛物线与x轴相交的点称为根，当抛物线与x轴相切时，根的重合点称为重根，当抛物线不与x轴相交时，称为无实根。
4. 当a>0时，二次函数的最小值为c；当a<0时，二次函数的最大值为c。
5. 二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称中心为顶点。
6. 当a>0时，二次函数的值域为y≥c；当a<0时，二次函数的值域为y≤c。
三、二次函数的应用二次函数在实际应用中有着广泛的应用，具体包括以下几个方面： 1. 物理应用二次函数在物理学中有着重要的应用，如自由落体运动、抛体运动等。
自由落体运动可以用二次函数y=1/2gt来描述，其中g为重力加速度，t为时间。
抛体运动可以用二次函数y=-1/2gt+v0t+h来描述，其中v0为初速度，h为初高度。
2. 经济学应用二次函数在经济学中也有着广泛的应用。
例如，成本函数、收益函数等都可以用二次函数来描述。
成本函数可以用二次函数y=ax+bx+c来表示，其中a为边际成本，b为固定成本，c为总成本。
以二次函数为例管窥函数性质及意义论文
以二次函数为例管窥函数的性质及意义函数作为高中数学学习最基础、最核心的内容，对数学和其他学科的许多领域有着指导意义。
虽然我们在初中已经初步学习了函数的定义和基本思想，但在高中阶段我们还要集中学习映射和集合等函数概念，从映射和集合的角度来剖析函数的概念。
二次函数作为最基本的幂函数有着丰富的内涵和外延，因此本文通过剖析二次函数来分析函数的性质和概念，诸如：函数的奇偶性、单调性、区间阈值等问题。
一、掌握映射的角度来理解函数的概念二次函数，顾名思义即指未知数的最高次幂为二次的多项式函数，我们通常表达为：y=ax2+bx+c(a≠0)。
我们可以用集合的概念来描述二次函数：由集合定义域a到集合值域b上的映射，书写为f：a→b，也就是让集合b中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一对应集合a中的元素x，记作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，该式中的ax2+bx+c为对应法则，亦即定义域中的x在值域y中的象。
高一数学课上我们通过这样阐述来衔接初高中函数知识，很容易引导学生对函数的概念产生新的理解和认识，为接下来继续以二次函数为例引导学生从以下问题展开探究奠定基础：1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)由以上概念学习我们可以这样理解：f(x+1)即是自变量为x+1的函数值。
所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+42.进一步探索，反过来研究：设若f(x+1)=x2－2x+3,怎样求f(x)这个问题实际是探讨对应法则，我们可以用可逆思维理解在某对应法则f下，定义域范围内元素x+1的象为x2－4x+1。
于是我们可以悟出两种解答方式：①把反应对应关系的表达式配成x+1的多项式，然后对号入座。
f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，将x 替换x+1得出f(x)=x2－4x+6。
②设置代换：设x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6二、用直观的图像来研究和表达函数性质1、函数的单调性探讨函数单调性时我们必须要求学生参照定义对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞）上的单调性结论展开严格论证，当然我们还可以借助比较直观的函数图象关系，将抽象理论知识转化为学生的形象认识，再辅助科学的练习，大家就不难掌握图解二次函数单调性的技巧。
二次函数经典例题及解答
二次函数经典例题及解答二次函数一、中考导航图1.二次函数的意义2.二次函数的图像3.二次函数的性质顶点对称轴开口方向增减性4.待定系数法确定二次函数解析式5.二次函数与一元二次方程的关系三、中考知识梳理1.二次函数的图像二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像可以通过配方法化简为y=a(x+（b/2a））2+(4ac-b2)/4a2的形式。
确定顶点坐标后，可以对称求点列表并画图，或者使用顶点公式来求得顶点坐标。
2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上，对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大。
当a0）或左增右减（a<0）。
此时，当x=-b/2a时，y取最值，最小值或最大值的大小为|(4ac-b2)/4a|。
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法待定系数法是通过给定的条件来确定二次函数的解析式。
可以任意给定三个点或三组x，y的值来确定解析式，组成三元一次方程组来求解。
也可以在给定条件中已知顶点坐标、对称轴或最值时，设解析式为y=a(x-h)2+k。
在给定条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴时，设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解。
4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点可以转化为一元二次方程ax2+bx+c=0的解。
当抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不相等实根；当抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等实根；当抛物线与x轴无交点时，方程无实根。
5.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的开口方向由a的符号来确定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b的符号可以表示抛物线与y轴的交点在y轴的上方或下方。
c的符号可以表示抛物线与x轴的交点在x轴的上方或下方。
四、中考题型例析1.确定二次函数解析式例1：求满足以下条件的二次函数的解析式：1）图像经过点A（-1，3）、B（1，3）、C（2，6）；2）图像经过点A（-1，0）、B（3，0），函数有最小值-8；3）图像顶点坐标是（-1，9），与x轴两交点间的距离是6.分析：此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式。
二次函数复习讲义(完美)
二次函数最全面的复习讲义学习目标1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.二、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式：(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；(6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )A. B. C.D.【变式2】如果函数是二次函数，求m的值类型二、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．【答案】或．【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4，∴M(1，-4).课堂练习1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式【答案与解析】本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：解得∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）．（2）令，得，解方程，得，．∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．则有解得∴抛物线解析式为．解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．又，∴∴抛抛物物解析式为．课后巩固练习一、选择题1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．A． B． C． D．2．二次函数有( )A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-63．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x－3)2+2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x+3)2－24．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )A.(2，3)B.(3，2)C.(3，3)D.(4，3)5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )A．1 B．2 C．3 D．46．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：x -7 -6 -5 -4 -3 -2Y -27 -13 -3 3 5 3则当x＝1时，y的值为 ( )A．5 B．-3 C．-13 D．-27二、填空题7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：…-1 0 1 ……-2 -2 0 …则该二次函数的解析式为______________．12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为______________．三、解答题13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．(1)求证：AE×AO＝BF×BO；(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．一、选择题1.【答案】D；【解析】设抛物线的解析式为(a≠0)，将A、B、C三点代入解得，，c＝0．2.【答案】C；【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，∵a＝1＞0，∴x＝-1时，．3.【答案】A；4.【答案】D；【解析】∵点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，∴点A与点B关于对称轴x＝2对称，又∵A(0，3)，∴AB＝4，y B＝y A＝3，∴点B的坐标为(4，3)．5.【答案】B；【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴移动的距离．6.【答案】D；【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．∴x＝1时，y＝-27．二、填空题7.【答案】；【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．8.【答案】；【解析】设顶点式，再把点（0,0）代入所设的顶点式里即可．9.【答案】(1)x＝1；(1，3)；【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.10.【答案】；【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，∴对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.11.【答案】；【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，用待定系数法求解．设二次函数解析式为(a≠0)由表知解得∴二次函数解析式为．12.【答案】【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．三、解答题13.【答案与解析】(1)∵顶点是(1，2)，∴设(a≠0)．又∵过点(2，3)，∴，∴a＝1．∴，即．(2)设二次函数解析式为(a≠0)．由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得解得故所求的函数解析式为．(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，∴设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵过点(0，-3)，∴a(0-1)(0-3)＝-3，∴a＝-1，∴y＝-(x-1)(x-3)，即．14.【答案与解析】过C点作CD⊥x轴于D．在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，∴AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，∴C点的坐标为(3，1)．设所求抛物线的解析式为，则有，解得，∴所求抛物线的解析式为．15.【答案与解析】(1)证明：由题意知，点E、F均在反比例函数图象上，且在第一象限，所以AE×AO＝k，BF×BO＝k，从而AE×AO＝BF×BO．(2)将点E的坐标为(2，4)代入反比例函数得k＝8，所以反比例函数的解析式为．∵OB＝6，∴当x＝6时，点F的坐标为．设过点O、E、F三点的二次函数表达式为(a≠0)，将点0(0，0)，E(2，4)，三点的坐标代入表达式得：解得∴经过O、E、F 三点的抛物线的解析式为：．要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴) (0，0)(轴) (0，)(，0)(，)() 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．二次函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．【解析】将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：∴；，又A、B在抛物线对称轴左侧，∴a＜0，b＜0，即，∴【变式1】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则______．【答案】2.【变式2】不计算比较大小：函数的图象右侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a______b．答案】＞.2．已知y=(m+1)x是二次函数且其图象开口向上,求m的值和函数解析式.【答案与解析】由题意，，解得m=1，∴二次函数的解析式为：y=.3．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵该抛物线过点（3，-2），∴，解得．∴所求抛物线为．4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x____时，随x的增大而减小；当x____时，函数y有最____值，其最____值是____．【答案与解析】函数与的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大；1.课堂练习一、选择题1. 关于函数y=的图象,则下列判断中正确的是()A. 若a、b互为相反数,则x=a与x=b的函数值相等；B. 对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应；C. 对任一个实数y,有两个x和它对应；D. 对任意实数x,都有y＞0.2. 下列函数中，开口向上的是（）A. B. C. D.3. 把抛物线向上平移1个单位，所得到抛物线的函数表达式为()．A．B．C．D．4. 下列函数中，当x＜0时，y值随x值的增大而增大的是（）A. B. C. D.5. 在同一坐标系中，作出，，的图象，它们的共同点是（）．A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．关于原点对称，抛物线的顶点都是原点6. 晴天时，汽车的刹车距离s (m)与开始刹车时的速度v(m/s)之间满足二次函数，若汽车某次的刹车距离为2.25m，则开始刹车时的速度为( )．A. 10m/sB. 15m/sC. 20m/sD. 25m/s二、填空题7. 已知抛物线的解析式为y＝-3x2，它的开口向______，对称轴为______，顶点坐标是________，当x＞0时，y随x的增大而________．8. 若函数y＝ax2过点(2，9)，则a＝________．9. 已知抛物线y＝x2上有一点A，A点的横坐标是-1，过点A作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，则△AOB的面积为________．10. 写出一个过点（1，2）的函数解析式_________________．11. 函数，、的图象大致如图所示，则图中从里向外的三条抛物线对应的函数关系式是_____________________．12. 若对于任意实数x，二次函数的值总是非负数，则a的取值范围是____________．三、解答题13．已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．（1）求m的值；（2）画出函数的图象．14. 已知抛物线经过A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断B（-1，-4）是否在此抛物线上？（3）求此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.15．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．一、选择题1．【答案】A.2．【答案】D；【解析】开口方向由二次项系数a决定，a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下.3．【答案】A；【解析】由抛物线的图象知其顶点坐标为(0，0)，将它向上平移1个单位后，抛物线的顶点坐标为(0，1)，因此所得抛物线的解析式为．4．【答案】B；【解析】根据抛物线的图象的性质，当a＜0时，在对称轴（x=0）的左侧，y值随x值的增大而增大，所以答案为B.5. 【答案】C；【解析】y＝2x2，y＝-2x2，的图象都是关于y轴对称的，其顶点坐标都是(0，0)．6. 【答案】B；【解析】当s＝2.25时，，v＝15．二、填空题7．【答案】下；y轴；(0，0)；减小；8．【答案】；【解析】将点(2，9)代入解析式中求a.9．【答案】1 ；【解析】由抛物线的对称性可知A(-1，1)，B(1，1)，则.10．【答案】【解析】答案不唯一.11．【答案】，，．【解析】先比较，|1|，|3|的大小关系，由|a|越大开口越小，可确定从里向外的三条抛物线所对应的函数依次是y＝3x2，y＝x2，．12．【答案】a＞-1；【解析】二次函数的值总是非负数，则抛物线必然开口向上，所以a+1＞0.三、解答题13. 【解析】解：（1）∵为二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大，∴，∴，∴m=1.（2）由（1）得这个二次函数解析式为，自变量x的取值范围是全体实数，可以用描点法画出这个函数的图象．如图所示．14. 【解析】解：（1）∵抛物线经过A（-2，-8），∴-8=4a，∴a=-2，抛物线的解析式为：.（2）当x=-1时，y=-2=-2≠-4，∴点B（-1，-4）不在此抛物线上.（3）当y=-6时，即，得，∴此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标是（，-6）和（，-6）.15. 【解析】解：（1）将x=1，y=b代入y=2x-3，得b=-1，所以交点坐标是(1，-1)．将x=1，y=-1代入y=ax2，得a=-1，所以a=-1，b=-1．（2）抛物线的解析式为y=-x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x=0(即y轴)．（3）当x＜0时，y随x的增大而增大．（4）设直线y=- 2与抛物线y=-x2相交于A、B两点，抛物线顶点为O(0，0)．由,，得∴A(，-2)，B(，-2)．∴AB=|-(-)|=2，高=|-2|=2．∴．类型二、二次函数y=a（x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质1．将抛物线作下列移动，求得到的新抛物线的解析式．(1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位；(2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向．【答案与解析】抛物线的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a＝2，得到抛物线解析式为．(2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则，所得抛物线解析式为．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵抛物线开口反向，∴．故所得抛物线解析式为．2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b，c的值.【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x2-8x+14, 所以【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.3．已知与的图象交于A、B两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式；(2)当时，写出自变量x的取值范围．【答案与解析】(1)∵，的图象交于A、B两点，∴且解得且∴二次函数的解析式为，直线方程为．(2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x＜0或x＞1时，．4．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q 的坐标．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-）.【答案与解析】解：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1，将点O（0，0）的坐标代入得：4a+1=0，解得a=-．所以二次函数的解析式为y=-（x-2）2+1；（2）∵抛物线y=-（x-2）2+1的对称轴为直线x=2，且经过原点O（0，0），∴与x轴的另一个交点B的坐标为（4，0），∴S△AOB =×4×1=2；（3）∵点P（m，-m）（m≠0）为抛物线y=-（x-2）2+1上一点，∴-m=-（m-2）2+1，解得m1=0（舍去），m2=8，∴P点坐标为（8，-8），∵抛物线对称轴为直线x=2，∴P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标为（-4，-8）．如下图.课堂巩固一、选择题1．抛物线的顶点坐标是（）A．(2，-3)B．(-2，3)C．(2，3)D．(-2，-3)2．函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是（）A．y=(x－1)2+2 B．y=(x－1)2+C．y=(x－1)2－3D．y=(x+2)2－13．抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是( )A．y=(x+3)2－2B．y=(x－3)2+2C．y=(x－3)2－2 D．y=(x+3)2+2 4．把二次函数配方成顶点式为（）A． B．C．D．5．由二次函数，可知（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1D．当时，y随x的增大而增大6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）二、填空题7. 抛物线y=-（•x+•3）2•-•5•的开口向_______，•对称轴是________，•顶点坐标是_______．8．已知抛物线y=－2(x+1)2－3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_ _____.9．抛物线y=－3(2x2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____.10．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为．11．将抛物线向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _____．12．抛物线的顶点为C，已知的图象经过点C，则这个一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．三、解答题13．已知抛物线的顶点（-1，-2），且图象经过（1，10），求抛物线的解析式．14. 已知抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到抛物线；（1）求出a，h，k的值；（2）在同一直角坐标系中，画出与的图象；（3）观察的图象，当________时，y随x的增大而增大；当________时，函数y有最________值，最________值是________；（4）观察的图象，你能说出对于一切的值，函数y的取值范围吗？15．已知抛物线的顶点为A，原点为O，该抛物线交y轴正半轴于点B，且，求：(1)此抛物线所对应的函数关系式；(2)x为何值时，y随x增大而减小?一、选择题1.【答案】D；【解析】由顶点式可求顶点，由得，此时，．2.【答案】D；【解析】通过配方即可得到结论.3.【答案】A；【解析】抛物线y=x2向左平移3个单位得到y=(x+3)2，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是y=(x+3)2－2.4.【答案】B【解析】通过配方即可得到结论.5.【答案】C；【解析】可画草图进行判断.6.【答案】C；【解析】A中的符号不吻合，B中抛物线开口不正确．D中直线与y轴交点不正确.二、填空题7.【答案】下；直线x=-3 ；（-3，-5）；【解析】由二次函数的图象性质可得结论.8.【答案】x≥－1；【解析】由解析式可得抛物线的开口向下，对称轴是x=-1，对称轴的右边是y随x的增大而减小，故x≥－1.9.【答案】向下，y轴；10.【答案】；【解析】设过点（1，－14）得，所以.11.【答案】；【解析】先化一般式为顶点式，再根据平移规律求解.12.【答案】1；【解析】C(2，-6)，可求与x轴交于，与y轴交于(0，3)，∴.三、解答题13.【答案与解析】∵抛物线的顶点为（-1，-2）∴设其解析式为，又图象经过点（1，10），∴，∴，∴解析式为．14.【答案与解析】（1）由向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得到的抛物线是．∴，，．（2）函数与的图象如图所示．（3）观察的图象，当时，随x的增大而增大；当时，函数有最大值，最大值是．（4）由图象知，对于一切的值，总有函数值．15.【答案与解析】（1）由题意知A(2，1)，令，则，所以．由得，所以，因此抛物线的解析式为．（2）当时，y随x增大而减小．类型三：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质类型一、二次函数的图象与性质1．求抛物线的对称轴和顶点坐标．【变式】把一般式化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.2．如图所示，抛物线的对称轴是x＝1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(，0)，则点A的坐标是_______．类型二、二次函数的最值3．求二次函数的最小值.类型三、二次函数性质的综合应用4．已知二次函数的图象过点P(2，1)．（1）求证：；（2）求bc的最大值．【答案与解析】（1）∵的图象过点P(2，1)，∴1=4+2b+c+1，∴c=-2b-4．（2）．∴当时，bc有最大值．最大值为2．课堂巩固一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1 C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则b、c的值为（）．A．b=2，c=2B．b=2，c=0C．b= -2，c= -1 D．b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B.等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__ __.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14．如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15．已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x 的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法及步骤，将化成含的完全平方式为，所以．【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；2.【答案】D；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】(1)∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x ＝-3时，．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. (1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图象的解方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解方程没有实数解类型一、函数与方程4．已知抛物线与x 轴没有交点．①求c 的取值范围； ②试确定直线经过的象限，并说明理由．【变式1】无论x为何实数，二次函数的图象永远在x轴的下方的条件是( )A．B．C．D．【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A．1 B．2 C．0 D．不能确定要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数：m＝162-3x．(1)写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?【答案与解析】(1)∵每件商品利润为(x-30)元．∴销售m件商品利润为m(x-30)元，又∵m＝162-3x，∴每天利润y＝(162-3x)(x-30)．即y＝-3x2+252x-4860．(2)∵y＝-3x2+252x-4860＝-3(x-42)2+432，又∵a＝-3＜0，∴当x＝42时，＝432(元)．。
二次函数的育人功能
二次函数的育人功能
1. 几何意义，二次函数的图像是一个抛物线，抛物线是几何中
的重要曲线之一。
通过学习二次函数，学生可以了解抛物线的性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等，这有助于培养学生的几何直觉
和空间想象能力。
2. 物理应用，二次函数在描述抛体运动、弹簧振动等物理现象
时有着广泛的应用。
学生通过学习二次函数，可以理解抛体的轨迹、弹簧的变形规律等，从而将数学知识与物理现象相结合，培养跨学
科的综合能力。
3. 经济学意义，在经济学中，二次函数常常用来描述成本、收益、利润等与产量、销量等变量之间的关系。
学生通过学习二次函数，可以理解这些经济学概念之间的数学模型，从而培养他们的经
济分析能力和决策能力。
4. 工程应用，在工程领域，二次函数常常用来描述波动、震动、曲线等变化规律，如声波的传播、机械振动等。
学生通过学习二次
函数，可以理解这些工程现象背后的数学模型，培养他们的工程实
践能力和问题解决能力。
综上所述，二次函数在育人中有着重要的作用，它不仅可以培养学生的数学思维能力，还可以帮助他们理解和应用数学知识于现实生活和各个学科领域。
二次函数考点归纳
A．0
B．1
C．2
D．3
12、（2014 云南双柏县）在同一坐标系中一次函数 y ax b 和二次函数 y ax2 bx 的图象可能为（ ）
13、（2013 济宁）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结
论中正确的是（ ）
A．a＞0
B．当﹣1＜x＜3 时，y＞0
C．c＜0
图 9 所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程 ax2 bx c 0 的两个根．（2 分） （2）写出不等式 ax2 bx c 0 的解集．（2 分）
（3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围．（2 分）
（4）若方程 ax2 bx c k 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．（4 分）
；b 和 a 同号，对称轴在 y 轴 侧；
b 和 a 异号，对称轴在 y 轴 侧；
c 与 y 轴交点：c=0，交点是 ；c>0，交点在 y 轴的 半轴上；c<0，交点在 y 轴
的 半轴上；
b2 4ac 与 x 轴交点个数： b2 4ac 0 ，与 x 轴有
个交点； b2 4ac 0 ，
与 x 轴有
知识点 2：1、双曲线
2（1）上 x b 减小 增大 低 b 4ac b2
2a
2a 4a
（2）下 x b 增大 减小 高 b
2a
2a
一 没有 （4）左加右减 上加下减 知识点 3、一般式 顶点式 交点式
4ac b2 4a
（3）y 轴 左 右 原点 正 负 两
知识点 4、（1）两个 一个 没有 （2） ax2 bx c 0
B. ＜x＜
C. ＜x＜
D. ＜x＜
剖析二次函数的实际意义
剖析二次函数的实际意义二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学、物理等诸多领域中都具有广泛的应用。
本文将从几个具体实例出发，深入剖析二次函数的实际意义。
一、二次函数在物理世界中的应用1. 抛物线的轨迹：抛体在自由落体运动中的轨迹是一个抛物线，而可以用二次函数来描述其运动规律。
例如，将一个物体从地面上抛出，并忽略空气阻力，其高度与时间的关系可用二次函数表示。
这样，我们可以通过二次函数提供的数学模型，预测抛体的高度随时间变化的规律。
2. 自然界的现象：二次函数也可以用来描述自然界中的一些现象。
例如，落叶下落的轨迹可以用二次函数进行近似；喷泉的水柱高度随时间变化也可以用二次函数表示。
这些现象通常在物理学或工程学的研究中得到广泛应用。
二、二次函数在经济学中的应用1. 成本函数：在经济学中，二次函数经常被用来描述成本函数。
例如，生产某种商品的成本可能与生产的数量成二次关系。
通过分析二次函数的相关特性，我们可以确定最优生产数量，帮助企业实现成本最小化。
2. 物价变动：二次函数还可以用来描述物价的变动。
例如，某种商品的需求量或供给量与价格的关系可能是二次函数。
通过研究二次函数的顶点、开口方向等特性，我们可以对市场供求关系进行准确的分析和预测。
三、二次函数在工程学中的应用1. 经典力学：在机械工程学中，二次函数经常用于描述物体的运动轨迹。
例如，弹簧振子的运动可以由二次函数进行模拟；摆锤的摆动规律也可以用二次函数表示。
通过分析二次函数的参数，我们可以了解物体的运动特性，从而进行工程设计与优化。
2. 信号处理：二次函数在信号处理中也有广泛应用。
例如，音频和视频信号的压缩算法中，使用了二次函数进行信号的逼近。
此外，滤波器的设计与实现也常涉及到二次函数模型的使用。
总结起来，二次函数在物理学、经济学和工程学等领域中有着广泛的应用。
通过研究二次函数的实际意义，我们可以更好地理解和应用数学知识，从而推动科学和技术的发展。
二次函数重点归纳
二次函数一、考试要点二、知识点整理1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.6.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121三、针对性训练1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小。
二次函数的定义
二次函数的定义定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c 若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a ≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：（a，h，k是常数，a≠0）（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。
二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。
二次函数的最大值和最小值二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时。
二次函数性质总结
二次函数性质总结二次函数的概念：二次函数二次函数的图象与性质，掌握二次函数的概念。
概念：一般地，由实际意义或几何意义所确定的函数f(x)=ax2，称为二次函数。
在二次函数中，二次项的系数不同于常数，而是具有实际意义的代数式。
例如，已知二次函数的解析式，只要将二次项的系数换成它的最简整数次幂的积，便得到这个一次函数。
二次函数是轴对称图形。
因为它对称轴为直线x=-b，只有当k=0时，对称轴才在y轴上。
概念，理解并掌握其图象和性质。
1、二次函数的概念及其图象：当自变量x从某一点移动到另一点时，因变量y随着x的变化而变化，当二者的对应关系建立起来以后，我们就说这个变量的对应法则是二次函数。
当自变量x从左侧（右侧）无限趋近于某一点时，函数值y随着x的增大而减小，函数值也逐渐减小。
2、二次函数的性质： (1)单调性：如果二次函数在x轴上方单调递增，那么在y轴上方单调递减。
如果二次函数在x轴下方单调递增，那么在y轴下方单调递减。
(2)奇偶性：二次函数在x轴上方为奇函数，在下方为偶函数。
(3)周期性：如果二次函数在x轴上方周期性为0，那么它必定在y轴上方周期性为0。
(4)对称性：如果二次函数对称轴为y=0，那么函数y=ax2对称轴为-b。
(5)增减性：二次函数自变量的增减性与自变量的绝对值无关，而与x的取值有关。
1、概念：如果y=ax2，则称为y的二次函数。
3、几何意义：当，它的图像关于y轴对称，图像经过的每一个点都表示实数。
它是正比例函数，正比例函数的图像是一条直线，并且图像经过原点。
对于一元二次方程ax2+bx=c，如果两根都是实数，则a平方加b平方等于c。
若实数a， b不等于0，那么就称a， b 是c的根。
如果二次函数中， a+b=c，称为二次函数的图像与x轴有两个交点；如果a-b=c，称为二次函数的图像与x轴只有一个交点。
4、性质，其实一般性的规律是：如果二次函数是单调递增，递减或单调递增，递减，那么他的图像是向上凸的曲线。
二次函数根性质解析
二次函数根性质解析二次函数是高中数学中非常重要的一部分内容，学好二次函数的性质和解析方法对于学习和理解更高级的数学知识具有重要意义。
本文将从二次函数的定义、性质和解析方法等方面进行详细介绍，并结合一些例子进行解析。
一、二次函数的定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，并且a≠0。
其中，a控制着二次函数的开口方向和开口的大小，b控制着二次函数的对称轴位置，c表示二次函数的纵坐标偏移。
二次函数的图像一般呈现出抛物线或倒抛物线的形状。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点即为二次方程ax²+bx+c=0的根。
二次函数的零点有时也称为二次函数的根或者解，是指函数曲线与横坐标轴相交的点。
求二次函数的零点可以通过因式分解、配方法、求解一元二次方程等方法得到。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是二次函数图像上最高点（对于开口向下的抛物线）或最低点（对于开口向上的抛物线）所在的竖直线。
对称轴的方程一般为x=-b/2a。
3. 零点个数和判别式：对于一元二次方程ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac，根据判别式的值可以判断方程的根的情况。
当Δ>0时，方程存在两个不同实根；当Δ=0时，方程存在两个相等实根；当Δ<0时，方程没有实根。
4. 函数的最值：当二次函数的系数a>0时，函数的最小值即为函数的最值；当二次函数的系数a<0时，函数的最大值即为函数的最值。
5. 单调性：对于二次函数y=ax²+bx+c来说，当a>0时，函数图像开口向上，函数递增；当a<0时，函数图像开口向下，函数递减。
三、二次函数的解析方法1. 因式分解法：当二次函数的系数是恰好是一个平方时，可以采用因式分解法直接求得二次函数的零点。
例如，对于函数y=x²-2x，可以写成y=(x-1)²-1，因此，该函数的零点为x=1。
二次函数的意义共20页文档
y=ax2+bx+c的图像，则一次函数y=ax+bc的图像不经过
(B ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(2003年·南通市)已知反比例函数y=k/xkx的图像如图34-3所示，则二次函数y=2kx2-x+k2的图像大致为( B)
4.(2003年·山西省)二次函数y=x2+bx+c的图像如图3-4-4 所示，则函数值y＜0时，对应的x取值范围是 -3＜x＜1 .
45、自己的饭量自己知道。——苏联
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
3. 如图3-4-11所示，函数y=kx2+k与y=k/2(k≠0)在同一坐 标系中的图像可能是下图中的( )D
4.如图3-4-12所示，函数y=ax2与y=ax+a(a＜0＝在同一 直角坐标系中的图像大致是( B )
5.如图3-4-13所示，二次函数y=x2-4x+3的图像交x轴于 A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为( C )
c 0,交点在原点
(3)c决定抛物线与y轴交点位置 c 0,交点在y轴的负半轴上
3.抛物线与x轴交点个数的判定.
(1)b2-4ac＞0 2个交点. (2)b2-4ac=0 1个交点. (3)b2-4ac＜0 0个.
c 0,交点在y轴交点位置 c 0,交点在原点 c 0,交点在y轴的负半轴上
➢ 课前热身
A.6 B.4 C.3 D.1
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
二次函数
二次函数一基本定义编辑一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic二次函数及其图像function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
二次函数图像是轴对称图形。
对称轴为直线[1]，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点和的抛物线），与x轴的交点坐标是和。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。
[2-3]2函数性质编辑1.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。
开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。
抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。
对称轴为直线。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）。
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。
当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0, c6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。
时，抛物线与x轴有1个交点。
当时，抛物线与x轴没有交点。
当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。
二次函数一次项系数的意义
二次函数一次项系数的意义
二次函数指的是形如y= ax^2 + bx + c的函数，其中a，b，c分别为一次项系数，二次项系数，常数项系数。
本文就主要介绍一次项系数a带给我们的意义。
一次项系数a是二次函数的重要参数，它会影响整个函数的性质，从而影响解的特性。
当a>0的时候，该函数从解的定理可知，此函数是抛物线，大致呈现出升高的趋势，而当a<0的时候，此函数的解定理表明，这是一个抛物线，但它大致呈现出下降的趋势。
此外，a的值也会影响抛物线的凹凸程度，a的绝对值越大，即|a|越大，抛物线凹凸越明显，如果|a|接近于0，将会十分接近一条直线，也就是说，如果a=0，那么这个抛物线就会变成一条直线。
除此之外，二次函数的一次项系数a还会影响抛物线的顶点，只要娴熟的求顶点的方法，用其中一个高等代数中的知识，可以得知a会影响顶点的坐标，有利于我们解出问题。
总而言之，一次项系数a可以说是二次函数整体形状的关键，很容易解释它的作用。
它对对数学了解中一个重要的概念有深远的影响，是学习二次函数及其参数的重要组成部分。
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(2)y＝x(x－5) (4) y＝ x ＋2x －1 (6) y＝
4 2
1 (5)y＝ 2 3x 2 x 1
x xm2－7 (1) m 取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m 取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m 取什么值时,此函数是二次函数? 例 3、用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，场地 面积 S(m²)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什 么？是函数关系吗？是哪一种函数？
2
(a、b、、c 是常数，a≠0)的函数叫做 x
的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．
注意：1、其中，x 是自变量，ax 是二次项，a 是二次向系数 bx 是一次项，b 是一次项系数、c 是常数项。 2、函数的右边最高次数为 2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项. 2 二次函数的一般形式:y=ax +bx+c (a、b、c 为常数,a≠0) 3、二次函数的特殊形式： 2 当 b＝0 时， y＝ax ＋c 2 当 c＝0 时， y＝ax ＋bx 2 当 b＝0，c＝0 时， y＝ax
三、巩固与运用
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？ 例 1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数 a.b.c 的值. (1) y＝ax ＋bx＋c (3) y＝3x(2－x)＋ 3x
课题 课时 主备老师
知识与能力
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数 的自变量的取值范围。
教学目标
过程与方法 情感态度价值观
注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的
教学重点 教学难点 教法 学法 教学准备
学习习惯 能够根据实际问题， 熟练地列出二次函数关系式， 并求出函数的自变量的取值范围。
四、巩固练习 课堂练习 1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数? (1)y=5x＋1 (3)y=2x －3x
3 2
(2)y=4x －1 (4)y=5x －3x＋1
4
2
2．P3 练习第 1，2 题。 3.幻灯片 12、13、 五、小结 1．请叙述二次函数的定义． 2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函 数应用题，并写出函数关系式。 六、作业：略
(1)函数关系式(1)和(2) (3)的自变量各有几个? (各有 1 个) (2)多项式 y=6x 和、 (分别是二次多项式) (3)函数关系式(1)和(2) (3)有什么共同特点? (都是用自变量的二次多项式来表示的) 2．二次函数定义：形如 y=ax ＋bx＋c
2
2
2
、y=20x +40x+20 分别是几次多项式?
教学过程：
一、试一试 1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，显然对于
教学过程
x 的每一个值，y 都有一个对应值，即 y 是 x 的函数，他们的具体关系是可以表示为什 么？ 2、多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？ 3、某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上 一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系应怎样表示？ 二、、观察；概括 1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2) (3)，提出以下问题让学生思考回答；
教学反思