中考数学 专题16 函数动点问题中三角形存在性(解析版)

专题16 函数动点问题中三角形存在性

模型一、等腰三角形存在性问题

以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.

模型二、直角三角形存在性问题

以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”.

【例1】

（2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3

2

x+c经过点A(－1,0),B(4,0)，

与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4），

将点（0，－2）代入上式，得：a=1

2

，

即抛物线的解析式为：y=1

2

x2－

3

2

x－2；

（2）由y=1

2

x2－

3

2

x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC

由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1

2

x－2，

设P（m，1

2

m2－

3

2

m－2），则Q(m，

1

2

m－2)，

过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB，

∴

CQ QM

BC AB =

,4

m =，

∴CQ ,

PQ =－12m 2+2m , PC

①当CQ =PQ 时，

=－1

2

m 2+2m ，解得：m =0（舍）或m =4； ②当CQ =PC 时，

= m =0（舍）或m =2或m =4（舍）； ③当PQ =PC 时，

－12m 2+2m = m =0（舍）或m =32；

综上所述，存在点P ，使△CPQ 是等腰三角形，点P 的横坐标为：42或3

2

.

【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L ：y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，已知点B (3,0)，抛物线的对称轴为x =1.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），求h 的取值范围；

（3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P 的坐标，若不能，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：由题意得：129330

b a

a b ⎧

-=⎪

⎨⎪++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+2x +3.

（2）在y =－x 2+2x +3中，当x =0时，y =3，即C (0,3), 由B (3,0)，C (0,3)得直线BC 的解析式为：y =－x +3, 在y =－x 2+2x +3中，当x =1时，y =4， 在y =－x +3中，当x =1时，y =2，

若将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），则2≤h ≤4.

（3）①当P 在x 轴上方时，

过点P 作PD ⊥l 于M ，PN ⊥x 轴于N ，由△PBQ 为等腰直角三角形可知，△PBN ≌△PQM ，

则PN =MQ ，

设P （m ，y ），则PN =PM =y ，而PM =m +3， ∴y =m +3，

－m 2+2m +3= m +3，解得：m =0或m =1， 即P (0,3)或（1,4）；

②当P 点在x 轴下方时，同理可得：

－m 2+2m +3=－m －3，解得：m

或m

即P

)或

)，

综上所述，△PBQ 能成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，点P 的坐标为：(0,3)或（1,4）或

92+-

)或

(32

，92

--). 【例2】（2019·省实验四模）如图，已知抛物线经过点A (－1,0)，B (4,0),C (0,2)三点，点D 与点C

关于

x轴对称，点P是线段AB上一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x－4），

将点C(0,2)代入上式得：a=

1

2 -，

即抛物线的解析式为：y=

1

2

-（x+1）（x－4）=

1

2

-x2+

3

2

x+2.

（2）存在；由题意知，∠QMB≠90°，分两种情况讨论：

①当∠MQB=90°时，此时点Q与点P重合于点A，即Q(－1,0)；

②当∠QBM=90°时，△BPQ∽△MPB，

∴BP2=PM·PQ，

∵点D与点C关于x轴对称，

∴D(－2,0)，

由B(4,0)，D(0, －2)得直线BD的解析式为:y=1

2

x－2，

设P（m，0），则M(m，1

2

m－2)，Q(m，

1

2

-m2+

3

2

m+2)，

∴BP=4－m，PM=2－1

2

m，PQ=

1

2

-m2+

3

2

m+2，

∴（4－m）2=（2－1

2

m）（

1

2

-m2+

3

2

m+2），

解得：m=3或m=4（舍），

即Q(3，2);

综上所述，点Q的坐标为：(－1,0)，(3，2).