第2章 连续系统的数学模型总结
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第2章 连续系统的数学模型
10
单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
R(s) L{δ(t)} 1
R(s)
C(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
C(s) G(s)
1
系统G(s) G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{C(s)} L1{G(s)} 脉冲响应是系统的数学模型!
s3 5s2 8s 6 (s 3)(s 1 j)(s 1 j)
多应用于根轨迹法中
13
3．时间常数形式
m
K ( i s 1)
G(s)
i 1 nv
sv (Ti s 1)
i 1
多应用于频域分析法中
14
2.3.3 线性系统的典型环节
无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到 的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划 分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统 的一种重要方法。
建立数学模型的方法
分析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
4
表达形式
时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
传递函数
)
an c(t )
d mr(t) d m1r(t)
dc(t )
b0 dt m b1 dt m1 L bm1 dt bmr(t)
其中，ai 、bj (i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。
单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
R(s) L{δ(t)} 1
R(s)
C(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
C(s) G(s)
1
系统G(s) G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{C(s)} L1{G(s)} 脉冲响应是系统的数学模型!
s3 5s2 8s 6 (s 3)(s 1 j)(s 1 j)
多应用于根轨迹法中
13
3．时间常数形式
m
K ( i s 1)
G(s)
i 1 nv
sv (Ti s 1)
i 1
多应用于频域分析法中
14
2.3.3 线性系统的典型环节
无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到 的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划 分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统 的一种重要方法。
建立数学模型的方法
分析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
4
表达形式
时域：微分方程、差分方程、状态方程 复域：传递函数、动态结构图 频域：频率特性
线性系统
传递函数
)
an c(t )
d mr(t) d m1r(t)
dc(t )
b0 dt m b1 dt m1 L bm1 dt bmr(t)
其中，ai 、bj (i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由系统本身的结构参数所决定。
机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-3
2.3 传递函数
例 图中的RC电路，当开关K突然接通后，试求出 电容电压uc(t)的变化规律。 R C
ur
uc
解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。由基尔霍夫 电压定律写出电路微分方程：
du c RC uc ur dt
2.3 传递函数
du c RC uc ur dt
电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换
2.3 传递函数
1 1 1 U c (s) u c 0 s s 1 s 1 RC RC 对上式进行拉氏逆变换，得uc (t)的解为：
u c (t ) u 0 (1 e
1 t RC
) u c 0e
1 t RC
式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是 当电容初始状态uc(0) =0 时的响应，故称零状态响应。
2.3 传递函数
传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图 直观的表示： Ur(s) G(s) Uc(s) Uc(s) = G(s) Ur(s)
传递函数的定义： 在零初始条件下，系统（环节/元件）输出量的拉 氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（环 节/元件）的传递函数。通常用G(s)或Φ(s)表示。
RC[sUc (s) u c (0)] Uc (s) Ur (s)
1 RC U c (s) U r (s) u c (0) RCs 1 RCs 1
当输入为单位阶跃电压时，ur (t) = 1， Ur (s) = 1/s， 得
1 1 1 U c (s) u c 0 s s 1 s 1 RC RC
2 2 2 2 2 2
比例 环节
1 1 1 2 2 K (1s 1) ( 2s 2 2s 1) 2 2 s T1s 1 T2 s 2 2s 1
连续系统模型
举例：具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统
（1）确定输入、输出量为F 、y （2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F Fs F f d2y a 2 dt Fs ky dy F f f dt
（3）消去中间变量，可得微分方程
d2y dy m 2 f ky F dt dt
ai (i 0,1, , n 1), b j ( j 0,1, , m)为微分方程的常系数。 其中： 对应的初始条件为：
( y (t0 ) y0 , y(t0 ) y0 , , y ( n ) (t0 ) y0n ) ( u (t0 ) u0 , u (t0 ) u0 , , u ( m ) (t0 ) u0m )
则得到 s nY ( s ) an 1s n 1Y ( s ) a1sY ( s ) a0Y ( s )
bm s U ( s ) bm 1s U ( s ) b1sU ( s ) b0U ( s )
m
m 1
（3.1）
式（3.1）中，Y(s)=L[y(t)]，U(s)=L[u(t)]，故系 统的传递函数G(s)为
X (t ) AX (t ) Bu(t ) y (t ) CX (t ) Du (t )
状态方程
输出方程
（4.1）
（4.2）
Biblioteka 状态空间表达式的两种标准型
X AX Bu y CX
X AX Bu y CX
Laplace变量s可视为微分算子，1/s视为积分算子。
对方程（2.1）两边取Laplace变换，并假设y(t)和u(t)及各阶 导数的初值均为零，即
第2章 连续系统的数学模型
第 2 章 连续系统的数学模型 13
自动控制原理
列写系统微分方程的一般步骤：
（1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程； （4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输 出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将 系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。
例2：列写如图所示RC网络的微分方程。给定输入电压 ur(t)为系统的输入量，电容上的电压uc(t)为系统的输出量。
R1 ur(t)
C1 R2 C2 uc(t)
设R1上的电流为i1，R2的电流为i2，C1上的电压为uc1 ， 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程：
i1R1 uc1 ur
i 2R2 uc uc1
因为该建模方法只依赖于系统的输入输出关系，即使对 系统内部机理不了解，也可以建立模型，所以常称为“黑箱” 建模方法。 由于系统辨识是基于建模对象的实验数据或者正常运行 数据，所以，建模对象必须已经存在，并能够进行实验。而 且，辨识得到的模型只反映系统输入输出的特性，不能反映 系统的内在信息，难以描述系统的本质。
第 2 章 连续系统的数学模型 4
自动控制原理
2.输入输出描述模型与内部描述模型
描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出 描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之 间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而 且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深 入地揭示了系统的动态特性。
系统仿真技术_第2章+经典的连续系统仿真建模方法学
准则是：
绝对误差准则： ey (tn ) yˆ(tn ) y(tn )
相对误差准则：
ey (tn )
yˆ(tn ) y(tn )
yˆ(tn )
其中 规定精度的误差量。
对仿真建模方法三个基本要求(续)
（3）快速性：若第n步计算对应的系统时间间隔 为 hn tn1 tn ,计算机由计算需要的时间为Tn，若
欧拉法
y1 y(t1 ) y0 t f (t0，y0 )
对任意时刻tn+1 yn1 y(tn1) yn (tn1 tn ) f (tn，yn )
截断误差正比于 h2
f(t,y)
f(t0,yo)
t0 t t1
t
数值积分算法（续）
梯形法: yn1
y(tn1 )
h 2
，yn
h 2
k
2
)
k4 f (tn h，yn hk3 )
2.2.2龙格--库塔法的特点
1.形式多样性
例：a1，a2，b1，b2 非唯一解，可以得到许多
种龙格--库塔公式：yn1 yn k2h (中点公式)
其中 k1 f (tn , yn )
k2
f (tn
h 2
di (i 0,1,2, m)
需要m+1个独立方程。该m+1个方程可由以下
等式导出：
ym
(t
)
y m
(t)
ynk j ynk j
m i0
di
tnk
自动控制原理第2章
y(t)
L1
Tv Ts
1
t
ve T
对比例4结果，知全响应应为零输入响应和零状态响应之和。
2.1.5 全响应与零输入响应和零状态响应的关系 前面是对一个特定的例子证明了全响应为零输入响应和零状态 响应之和。下面从一般的形式来证明。
数学模型表达式：
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n1
例7
G(s) 1
Ts 1
r(t) t 求输出。
Y(s) G(s)R(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s2 s2 s Ts 1
t
y(t) (t T ) Te T
第一项是稳态分量，对应于输入函数极点；第二项是暂态分量， 对应于传递函数极点。
2.2 脉冲响应函数（书30页）
第二章 线性连续系统的数学模型
2.1 线性常系数微分方程的建立和它的解 2.1.1 建立常系数微分方程
例1
u0 (t)
1 C
i(t)
d
t
i(t) C du0 (t) dt
LC
d
2u0 (t) d 2t
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
例2
m:质量；x：位移；F：外力；F1：摩擦力； F2：弹簧拉力；f：摩擦系数；K：弹性系数
R(s)有 l 个互异的极点 s j
n
l
n
则
y(t) Aiesit B j esjt Ciesit
i1
j 1
i1
当零输入时， R(s) 0
n
y(t) Ciesit
i1
当零状态时， M 0 (s) 0
n
l
y(t) Aiesit B j esjt
第2章 连续系统的数学模型
1 j f (t ) L F ( s) F ( s)e st ds , t 0 j 2j
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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27
第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
1
L－1为拉氏反变换的符号。
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第二章 数学模型
几种典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1(t)
f(t)
1
0 1(t ) 1
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15
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
a R +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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1
第二章 数学模型 数学模型的基本概念
数学模型
连续系统的数学模型…实现问题…从系统结构图向
u
-
F1
+
K1
1K2
图2-1 系统的结构图
2.2 实现问题
1. 可控标准型
G(s)
sn
1 an1sn1
a1s a0
bn1sn1
bn 2 s n 2
b1s b0
Z(s) U (s)
Y (s) Z (s)
将
Z (s) U (s)
sn
an1s n1
1
a1s a0
和
（2-22）
有n个互异特征值 1, 2, , n将传递函数 G(s)展开成部分
分式的形式
G(s) c1 c2 cn
s 1 s 2
s n
（2-29）
式中ci
lim (s
si
i )G(s)
i 1, 2, , n
设
x1(s) u(s)
sLeabharlann 1 λ1，，xn (s) u(s)
s
1
n
（2-30）
（2-34）
其中
1 1
1 1
A
1
1 r 1
0
0 第r行
n
B [0 0 0 1 1 1]T 第r行
C [c11 c12 c1r cr1 cn ]
2.3 从系统结构图向状态方程的转换
1. 系统模拟结构图转换为状态方程
所谓模拟结构图，就是将整个系统的动态环节全部用积分环节及比 例环节来表示。采用这种方法，首先要将结构图变换成模拟结构图的形 式，然后根据积分环节选择状态变量。积分环节的个数便为状态方程的 阶数，由各环节连接关系可方便地得到和输出方程。
设1为r重特征值，其余 (n r)个特征值互异，则 G(s)的部分分式为
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统的数学模型可以由多个方程组成,以下是一些常见的连续系统模型:
1. 牛顿第二定律方程:这是一个描述物体运动的方程,它表达了物体的位置和速度随时间的演化,通常写成以下形式:
$dX/dt = -ax$
其中,$X$ 表示物体的位置,$a$ 表示物体的加速度,$t$ 表示物体运动的时间。
2. 热力学方程:热力学方程描述了系统的热力学性质,包括温度的演化和热传导等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} =
-kAfrac{mathrm{d}X}{mathrm{d}t}$
其中,$T$ 表示系统的温度,$A$ 表示系统的面积,$k$ 表示热导率,$X$ 表示物体的位置。
3. 电磁学方程:电磁学方程描述了电荷、电流和磁感应等电磁现象的数学模型,可以描述电磁波的传播、电路中电荷的分布等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t} = -frac{partial V}{partial t}$
其中,$E$ 表示电场强度,$V$ 表示电场的电荷密度,$t$ 表示时间。
4. 波动方程:波动方程描述了声波或波动现象的数学模型,可以描述声波的传播、波动的产生等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}^2X}{mathrm{d}t^2} +
frac{mathrm{d}^2theta}{mathrm{d}t^2} = r^2sintheta$
其中,$X$ 表示物体的位置,$theta$ 表示物体的极角,$r$ 表示物体的距离,$t$ 表示时间。
这些方程只是连续系统模型中的一部分,还有很多其他的方程可以用来描述不同的连续系统现象。
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-5
-b1 a1 x1 x2 a2 x3 a3 x4 -b4 -b2 a4 x5 -b3 a5 x6 a6 x7
节点可分为以下三种： （1）源节点：只有输出支路的节点，它代表系统的 输入变量（控制信号），如图中x1 。 （2）汇节点：只有输入支路的节点，它代表系统的 输出变量（被控制信号），如图中x7 。 （3）混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节 点，如图中x2、x3 、x4 、x5 、x6 。
2.5 信号流程图
例 求图示系统的信号流图x0至x8的总传递函数G。 g e f c h a d b
x0 i j m
解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道
k
x8
=1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk T1 = abcdefgh 1 = 1
自动控制原理
第二章 线性连续系统的数学模型
2.5 信号流程图
2.5 信号流程图
一、信号流程图的概念与常用术语 信号流程图，是一种由节点和支路组成的信号传递 网络，表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。 例 某一线性系统，它由下述方程式描述： x2 = a12 x1 式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)； a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入 变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”， x2为“果”。这种（信号传递/函数运算/变量因果） 关系，可用下图表示。 a12 x2 x1
方框
输出端
信号流图：输入节点
支路
输出节点
2.5 信号流程图
例 画出下图所示系统的信号流图。
R(s)
节点可分为以下三种： （1）源节点：只有输出支路的节点，它代表系统的 输入变量（控制信号），如图中x1 。 （2）汇节点：只有输入支路的节点，它代表系统的 输出变量（被控制信号），如图中x7 。 （3）混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节 点，如图中x2、x3 、x4 、x5 、x6 。
2.5 信号流程图
例 求图示系统的信号流图x0至x8的总传递函数G。 g e f c h a d b
x0 i j m
解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道
k
x8
=1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) bidjfk T1 = abcdefgh 1 = 1
自动控制原理
第二章 线性连续系统的数学模型
2.5 信号流程图
2.5 信号流程图
一、信号流程图的概念与常用术语 信号流程图，是一种由节点和支路组成的信号传递 网络，表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。 例 某一线性系统，它由下述方程式描述： x2 = a12 x1 式中， x1为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)； a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入 变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”， x2为“果”。这种（信号传递/函数运算/变量因果） 关系，可用下图表示。 a12 x2 x1
方框
输出端
信号流图：输入节点
支路
输出节点
2.5 信号流程图
例 画出下图所示系统的信号流图。
R(s)
连续系统模型描述
• 将上述n个一阶微分方 程写成矩阵形式可得
1 0 0 1 x 0 0 1 x 2 = x 0 0 0 xn a a an2 n1 n
y = 1 0 0 0x
外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿 真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最 小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能控 且完全能观测。
n1
则有
dny d n1 y d n2 y xn n a1 n1 a2 n2 an y u(t ) dt dt dt
a1xn a2 xn1 an x1 u(t )
0 x1 0 0 x2 0 u 1 xn 1 a1
x1 a0 y c0u
（8） （9） （10） （11）
• 证明： • 将（8）两边分别进行微分n次，可得：
•
• 其中p为微分算子符号。对（9）式两边分别进行nj(j=1,2,…,n-1)次微分，可得： • （13） pn j 1x j pn j x j 1 a j pn j y c j pn ju • 对（10）式也引入微分算子：
假设一连续系统
•
dny d n 1 y a1 n 1 an y u(t ) n dt dt
（a0=1）
今引进n个状态变量：
2 dy d y x x x1 y 2 1 2 2 x3 x • ， dt ， dt ，……
d y n1 n1 xn x dt
仅4个积分器即可实现 ,试画出其控制系统图
2、系统状态初始值变换 如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换 到内部内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转 变为相应的状态变量的初始值。 • 若系统是由如下一般形式的n阶微分方程来描述：
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统是指一类以时间为连续变量的系统，其状态和输出在任意给定时间都是连续变化的。
数学上，为了描述和分析这种连续系统的行为，我们使用了一种被称为微分方程的数学模型。
微分方程是用于描述连续系统中变量之间关系的方程。
它涉及到导数的概念，因为导数可以表示一个变量相对于时间的变化率。
连续系统的数学模型通常采用微分方程的形式来表示。
一种常见的连续系统的数学模型是一阶线性常微分方程。
这类方程描述了一个系统中一个变量的变化速率与其他变量之间的线性关系。
一阶线性常微分方程的一般形式可以表示为：
dy/dt = a*y + b*u
其中，y是系统的输出变量，t是时间变量，u是系统的输入变量，a 和b是常数。
这个方程表示了输出变量y的导数与输入变量u之间的线性关系。
除了一阶线性常微分方程，高阶线性常微分方程和非线性微分方程也被用来描述连续系统的数学模型。
高阶线性常微分方程涉及多个导数，可以表示更复杂的系统行为。
非线性微分方程则允许描述非线性系统
的行为，其中系统的变量之间的关系不再是线性的。
通过建立连续系统的数学模型，我们可以利用数学方法来分析和预测系统在不同条件下的行为。
这对于工程师和科学家来说是非常有用的，因为它们可以帮助我们设计和优化控制系统、了解系统的稳定性和响应特性，并预测系统的性能。
总之，连续系统的数学模型是通过微分方程来描述的。
这些方程可以是一阶或高阶的，线性或非线性的，它们允许我们分析和预测连续系统的行为，并为实际应用提供有用的指导。
孙炳达版 《自动控制原理》第2章 线性连续系统的数学模型-1
自动控制原理
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
第二章 线性连续系统的数学模型 2.1 动态微分方程的编写
2.1 动态微分方程的编写
分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建 立系统的数学模型。 控制系统的数学模型，就是描述系统输入、输 出以及内部变量之间动态关系的数学表达式，也 称为动态数学模型。 常用的动态数学模型有： 微分方程 传递函数 动态结构图 信号流图
2.1 动态微分方程的编写
例 建立直流调速系统的微分方程
2.1 动态微分方程的编写
（1）确定输入量为控制电压Ug； 输出量为电动机转速n。
（2）编写各环节的微分方程。根据系统框图，把 系统划分为4个环节，分别为： 比较和电压放大器环节； 功率放大环节； 直流电动机环节； 反馈环节。
R R
ui
i1
C
i2
C
uo
消除中间变量, 可以解得：
d uo duo ( RC ) 3RC uo ui 2 dt dt
2
2
2.1 动态微分方程的编写
方法二：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo RC uo uo1 dt
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程
duo1 RC uo1 ui dt
其中
K k1k s
为正向通道电压放大系数
k1k s a Kk 为系统开环放大系数 Ce
2.1 动态微分方程的编写
三、负载效应与系统（或环节）的相似性
在建立系统微分方程时，若在部件（环节）划 分时没有考虑负载效应，即部件（环节）间存在 的耦合关系，将不能得到系统正确的微分方程。 例 建立电容、电阻网络的微分方程，其中u i 为 输入电压，欲求以电容两端电压 uo 为输出的微分 方程。
自动控制原理(王万良)第二章
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r(t) c(t)
0τ
24
2.4 结构图
2.4.1 结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式； 结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互
2
2.1 系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
F(t)
m
f
X(t)
d 2 X (t) m
+
f
dX (t)
+ kX (t)
=
F (t)
dt 2
dt
＋ ur(t) －
ห้องสมุดไป่ตู้
±
Q(s)
1/G (s)
C(s) = [R(s) ± Q(s) ]G(s) G(s)
30
◆ 比较点后移：
R(s)
±
C(s) G (s)
Q(s) C (s) = [R(s) ± Q(s)]G(s)
R(s) G (s)
Q(s) G (s)
C(s)
±
C (s) = R(s)G (s) ± Q(s)G (s)
G1(s)
U1
+
C(s)
+
G2(s) U2
思考：多个环节并联？
? R(s)
C(s) G1(s)+G2(s)
结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
27
第2章系统的数学模型02精选全文完整版
的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
第二章 连续时间系统的时域分析 知识要点
分方程在整个时间范围内成立了。
（2）由于定义了
δ (t) = d u(t) ，δ ' (t) = d δ (t)，L
d
d
这表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函数项。因此，如果由于激励信号
的加入，在微分方程右端出现了冲激函数项 aδ (t) ， bδ ' (t) 等，则方程左端也应
有对应的冲激函数项。匹配就是使方程左端产生这样一些对应相等的冲激函数，
原方程
初始条件 r (k ) (0+ ) 零状态响应 rzs (t ) 的定解条件是：
原方程
零状态响应的初始条件 rz(sk ) (0+ ) （即：跳变量 rz(sk ) (0+ ) ）
零状态响应的函数形式与完全响应的函数形式相同。
零输入响应 rzi (t ) 的定解条件是：
原方程的齐次方程
起始状态 r (k ) (0− )
（3）当系统已经用微分方程表示时，系统从 0− 状态到 0+ 状态有没有跳变取
决于微分方程右端自由项是否包含δ (t) 及其各阶导数项。如果包含有δ (t) 及其各
阶导数，说明响应的 0− 到 0+ 状态发生了跳变，即 r(0+ ) ≠ r(0− ) 或 r ' (0+ ) ≠ r ' (0− ) 等 等。初始条件 r (k ) (0+ ) 与起始状态 r (k ) (0− ) 之差，称为跳变量，记为 rz(sk) (0+ ) 。跳变
会有δ 函数。这表明响应在起始点连续，没有跳变，即
r
(0+
)
=
r
(0−
)
=
3 2
代入完全响应 r (t )
第二章1线性连续系统的数学模型
一、绘制工作原理框图 二、列写出每个方框的数学表达 三、线性方程组的标准化
四、消去中间变量得数学模型
一、绘制工作原理框图
例1：角位置跟踪系统（随动系统）
A θr _ E + θc B
A： 输 入 电 位 器 B： 联 结 在 输 出 轴 上 的 检 测 电 位 器
u1
u2
电压 功率 ue 放 大 ut 放 大 u M a + Kv Kw _
y(kT ) ;
状态方程（连续、离散）
x1 x1 ( kT ) x ; x ( kT ) 2 2
☆复数域：传递函数
结构图
☆频率域： 频率特性
例：电气系统三元件
1.在时域的表达
i(t)
电阻
i(t)
R
u(t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t ) dt C di (t ) u (t ) L dt
1.电位器桥
A θr _ E + u1
+ E _
L
x
u1
u1
E
max
r
E u1 x L
A θr _ E +
u1 u2
B θc u2 ue + E _ L u1 x1 u2 x2
u1
E
max
E
r K1 r c K1c
max
E u1 x1 K1 x1 L E u2 x2 K2 x2 L
写成：（输出量）=（系统函数)(输入量）
输出量 输入量
bm s m bm1s m1 b1s b0 Y ( s) R( s ) n n 1 an s an1s a1s a0
四、消去中间变量得数学模型
一、绘制工作原理框图
例1：角位置跟踪系统（随动系统）
A θr _ E + θc B
A： 输 入 电 位 器 B： 联 结 在 输 出 轴 上 的 检 测 电 位 器
u1
u2
电压 功率 ue 放 大 ut 放 大 u M a + Kv Kw _
y(kT ) ;
状态方程（连续、离散）
x1 x1 ( kT ) x ; x ( kT ) 2 2
☆复数域：传递函数
结构图
☆频率域： 频率特性
例：电气系统三元件
1.在时域的表达
i(t)
电阻
i(t)
R
u(t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t ) dt C di (t ) u (t ) L dt
1.电位器桥
A θr _ E + u1
+ E _
L
x
u1
u1
E
max
r
E u1 x L
A θr _ E +
u1 u2
B θc u2 ue + E _ L u1 x1 u2 x2
u1
E
max
E
r K1 r c K1c
max
E u1 x1 K1 x1 L E u2 x2 K2 x2 L
写成：（输出量）=（系统函数)(输入量）
输出量 输入量
bm s m bm1s m1 b1s b0 Y ( s) R( s ) n n 1 an s an1s a1s a0
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传递函数的一般形式
（考虑时间滞后情况）
G( s)
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
e s
考虑时间滞后时（存在输送带）：
拉氏变换的应用：求解微分方程
《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 21
有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 22
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 23
2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
数学预备知识：拉氏变换
典型信号的拉氏变换（1）
《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 16
典型信号的拉氏变换（2）
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拉氏变换的性质
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系统
g(t)
传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
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第2章
2.2
连续系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
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2.2
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
U(s)
系统
y(t)
系统G(s)
Y(s)
Y ( s) G ( s)U ( s)
y(t ) L1{Y (s)} L1{G(s)U (s)}
系统微分方程与传递 函数可以直接转换!
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
G( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
微分环节： s 惯性环节：
1 Ts 1
1
振荡环节： T 2 s 2 2Ts 1
一阶微分环节： s 1 二阶微分环节： 2 s 2 2 s 1 滞后环节（纯时滞环节）： e s
一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不 能单独存在的。
2.3.1
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
u(t)
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s) L{δ (t )} 1
U(s)
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 Y(s) G(s) 1 系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{Y(s)} L1{G(s)}
δ(t )
G(s)
脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型! 思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
i1 i2 C1 duc1 dt
i1 C1
duc1 dt
C2
duc dt
i2 C 2
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
一阶RC网络系统
duc dt
iC
u1 iR
u1 u c u r
duc RC uc u r dt
T
duc uc u r dt
T RC
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例2.2
二阶RC网络系统
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
2．零极点形式
k G (s)
(s z )
i i 1 n i i 1
m
(s p )
2( s 1)(s 2) G(s) 3 2 s 5s 8s 6 ( s 3)(s 1 j )(s 1 j )
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 26
系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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例2.1
2s 2 2s 4
2．零极点形式
G (s)
20( s 1) ( s 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网 络的串联？为什么？ 一阶有源网络系统
R1
ur
C
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
ur(t)
m
f X(t)
－
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
d 2 X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
应用拉氏变换的终值定理求 y ( )
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY (s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
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几个拉氏变换定理的证明
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i
R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 传递函数模型 结构框图模型
2.6
频率特性模型
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《自动控制原理》嘉兴学院重点课程 机电工程学院传动与控制工程研究所 6
传递函数的一般形式
（考虑时间滞后情况）
G( s)
bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
e s
考虑时间滞后时（存在输送带）：
拉氏变换的应用：求解微分方程
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有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
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有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法； 实验建模方法，通常称为系统辨识。
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
数学预备知识：拉氏变换
典型信号的拉氏变换（1）
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典型信号的拉氏变换（2）
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拉氏变换的性质
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系统
g(t)
传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
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第2章
2.2
连续系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的 微分方程称为微分方程模型
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2.2
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
U(s)
系统
y(t)
系统G(s)
Y(s)
Y ( s) G ( s)U ( s)
y(t ) L1{Y (s)} L1{G(s)U (s)}
系统微分方程与传递 函数可以直接转换!
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 U (s) an s n an1s n1 a1s a0
G( s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 a n s n a n1 s n1 a1 s a0
微分环节： s 惯性环节：
1 Ts 1
1
振荡环节： T 2 s 2 2Ts 1
一阶微分环节： s 1 二阶微分环节： 2 s 2 2 s 1 滞后环节（纯时滞环节）： e s
一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不 能单独存在的。
2.3.1
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a0 y bm u (m) b1u b0 u a n y (n) a n1 y (n1) a1 y
u(t)
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s) L{δ (t )} 1
U(s)
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为 Y(s) G(s) 1 系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{Y(s)} L1{G(s)}
δ(t )
G(s)
脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型! 思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
i1 i2 C1 duc1 dt
i1 C1
duc1 dt
C2
duc dt
i2 C 2
duc dt
duc R1C1 R1C2 uc1 ur dt dt du R2C2 c uc uc1 dt
duc1
R1C1 R2 C 2
d 2uc dt 2
T1T2
( R1C1 R1C 2 R2 C 2 )
一阶RC网络系统
duc dt
iC
u1 iR
u1 u c u r
duc RC uc u r dt
T
duc uc u r dt
T RC
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例2.2
二阶RC网络系统
i1R1 uc1 ur
i2 R2 uc uc1
2．零极点形式
k G (s)
(s z )
i i 1 n i i 1
m
(s p )
2( s 1)(s 2) G(s) 3 2 s 5s 8s 6 ( s 3)(s 1 j )(s 1 j )
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 结构图 信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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例2.1
2s 2 2s 4
2．零极点形式
G (s)
20( s 1) ( s 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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2．零极点形式
G( s) 1 ( s 2)( s 2 j 2)( s 2 j 2)
？
串联
T1T2 d 2uc dt
2
duc (T1 T12 T2 ) uc ur dt
T12=0
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思考： 能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网 络的串联？为什么？ 一阶有源网络系统
R1
ur
C
＋
F(t)
＋ i uc(t) －
ur(t)
m
f X(t)
－
d 2U c (t ) dUc (t ) LC RC U c (t ) U r (t ) 2 dt dt
d 2 X (t ) dX (t ) m f kX (t ) F (t ) 2 dt dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
应用拉氏变换的终值定理求 y ( )
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY (s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
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几个拉氏变换定理的证明
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i
R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章
2.1
连续控制系统的数学模型
控制系统数学模型的概念
2.2
2.3 2.4 2.5
微分方程描述
传递函数 传递函数模型 结构框图模型
2.6
频率特性模型
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