2.1.5平面上两点间的距离作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案
苏教版高中数学必修二课件2.1.5平面上两点间的距离
小结
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面上任意两点． 1．平面内两点间距离公式． AB＝ 2．中点坐标公式． 设线段AB的中点是P(x0，y0)， x0＝ 则： y0＝
作业
课本94页习题2．1(3)第1，2，4．
B
O A C
x
数学应用
例1．(1)求(－1，3)，(2，5)两点间的距离； (2)若(0，10)，(a，－5)两点间的距离是，求实数a的值．
(1)已知(a，0)到(5，12)的距离为13，则a＝________． (2)若x轴上的点M到原点及到点(5，－3)的距离相等，则M的坐标为 ______．
Q1
N1 M2
y轴上两点Q1(0，y1)，Q2(0，y2)的距离．
|Q1Q2|＝|y2－y1|． 推广：
M1 P1 O
P2
x
M1(x1，a)，M2(x2，a)的距离|M1M2|＝|x2－x1|． N1(0，y1)，N2(0，y2)的距离|N1N2|＝|y2－y1|．
Q2
N2
数学建构
平面内任意两点间的距离． 平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝ y
数学应用
已知点A(1，2)，B(2，)，试在x轴上求一点P，使PA＝PB，并求此时PA的值 ．
Hale Waihona Puke 数学应用已知A，B两点都在直线y＝2x＋1上，且A，B两点的横坐标之差为，A， B两点之间的距离为__________．
数学应用
例4．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的坐标 系，证明：AM＝BC．
数学应用
例2．已知A(－1，3)，B(3，－2)，C(6，－1)，D(2，4)，证明：四边形 ABCD为平行四边形？ y D A M
最新苏教版高中数学必修二《空间两点间的距离》课时同步练习及解析.docx
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二2.3.2 空间两点间的距离【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2＝_________________________________________________________________． 特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：OA ＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)， 则P 1P 2＝__________________________________________________________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)， 则P 1P 2＝________________．一、填空题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为________．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为________．3．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足的关系式为____________．4．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则△ABC 的形状为____________三角形． 5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当AB 取最小值时，x 的值为________． 6．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 的集合为____________________________．7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A 与到B的距离相等，则M的坐标是________．二、解答题10．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝3，AA1＝2，点M在A1C1上，MC1＝2A1M，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．3．2 空间两点间的距离 答案知识梳理 1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 3．|x 1－x 2| 作业设计 1．5 解析 AB ＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．2．29解析 由已知求得C 1(0,2,3)，∴AC 1＝29．3．x ＋y ＋z ＝0解析 AC ＝BC ⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．4．直角 解析 AB ＝2，BC ＝3，AC ＝1，∴AB 2＋AC 2＝BC 2．故构成直角三角形．5．87解析 AB ＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，AB 最小．6．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2，PC ＝3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由MA ＝MB 得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0， ∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)． 10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上， ∴可设M (x,1－x,0)． ∴MN ＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，(MN )min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)， 设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1． ∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)，∴AD ＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6．12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ， ∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连结NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ， ∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ，∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B —xyz ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22a ，22a ，0． (1)MN＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，MN 最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵DD 1＝CC 1＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。
新苏教版高中数学必修二同步练习：2.1.5《平面上两点间的距离》(含答案)
随堂练习：平面上两点间的距离1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且AB＝5，则b＝________.2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形为__________三角形．3．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得MA＋MB最短，则点M的坐标是________．4．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______．5．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为______________．6．设A，B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为____________．7．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B 的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．8．已知直线l过点P(3,1)且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．答案1．0或82．等腰3．(1,0) 4.175．(2,10)或(－10,10)6．x ＋y －5＝07．解 设A 关于∠B 的平分线的对称点为A′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋32－4×y 0－12＋10＝0，y 0＋1x 0－3×14＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝7. 即A′(1,7)．设B 的坐标为(4a －10，a)，所以AB 的中点⎝⎛⎭⎫4a －72，a －12在直线6x ＋10y －59＝0上，所以6×4a －72＋10×a －12－59＝0，所以a ＝5，即B(10,5)．由直线的两点式方程可得直线BC 的方程为2x ＋9y －65＝0.8．解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与直线l 1，l 2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)， 截得的线段AB 的长为AB ＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1，分别与直线l 1，l 2的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－＋1x ＋y ＋1＝0， 解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，1－4k k ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－＋1x ＋y ＋6＝0， 解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，1－9k k ＋1， 由两点间的距离公式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k k ＋1－1－9k k ＋12＝25，解得k ＝0，即所求直线方程为y ＝1.综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.方法二 设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0，两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25② 联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°，故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.。
苏教版数学必修2第二章2.1.5平面上两点间的距离课件(共21张PPT)
变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
l
：证明：设MN中点为O，由中点坐标公式得O（3,0）,
M
Байду номын сангаас
（3,0）在直线l上,所以MN被l平分；
O
所以：
N
所以点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
例3、求证：点M(1,1)与点N(5,-1),关于直线l:2x-y-6=0对称
变式：求点M(1,1)关于直线l:2x-y-6=0对称点。
分析
：
l M
O
N
所以点M关于直线l的对称点N为（1,1）
本课小结：
1、平面上P1（x1,y1）,P2（x2,y2）两点间的距离：
2、平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,线段P1P2的中点是M（x0,y0）
3、数学思想：从特殊到一般的数学思想， 方程的思想
问题情境
已知A（-1,3），B（3，-2），C（6，-1），D（2,4）， 四边形ABCD是否是平行四边形？
证明对角线互相平分
证明两条对边平行 证明两条对边相等
……
M
A1
M1
C1
由A1M1=M1C1，得
所以线段AC的中点M坐标为 同理可得线段BD中点的坐标也为
一般地：对于平面上的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）, 线段P1P2的中点是M（x0,y0），则
例2：已知△ABC 的顶点坐标为A（-1,5），B（-2，-1）， C（4,7），求BC边上的中线AM的长。
解：设M（x,y）
由两点间距离公式得：
即M（1，3）
会求点A关于点 B的对称点D吗？
2.1.5平面上两点间的距离(2)(2014年人教A版数学必修二导学案)
2． 一般地， 已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0 ， l1 : Ax By C2 0 ( C1 C2 ) 之间的距离为
| C1 C 2 | A2 B 2
．
说明：公式成立的前提需把直线 l 方程写成一般式．
【课堂研讨】
例 1.用两种方法求两条平行直线 2 x 3 y 4 0 与 2 x 3 y 9 0 之间的距离．
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课题：2.1.5 平面上两点间的距离检测案
班级： 姓名： 学号： 第 学习小组
【课堂检测】 1．直线 3x 4 y 7 0 与直线 6 x 8 y 3 0 之间的距离是 2．直角坐标系中第一象限内的点 P( x, y) 到 x 轴， y 轴及直线 x y 2 0 的距离
例 4.已知两直线 l1 : 3x 4 y 7 0 ，l 2 : 3x 4 y m 0 被直线 l 截得的线段长为 2 ，
l 过点 (2,1) ，且这样的直线有两条，求 m 的范围．
/ /
例 2.求与直线 3x 4 y 5 0 平行且与其距离为 2 的直线方程．
例 3.建立适当的直角坐标系， 证明： 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于 一腰上的高．
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6．正方形的中心在 C (1,0) ，一条边所在直线的方程是 x 3 y 5 0 ，求其它三边 所在的直线方程．
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4．直线 l1 过点 A(5,0) ， l 2 过点 B(0,1) ， l1 // l 2 且 l1 与 l 2 间距离等于 5 ， 求 l1 与 l 2 的方程．
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苏教版高一数学下册平面上两点之间的距离作业答案
平面上两点间的距离练习解析 1.已知点P (3，2)，Q (－1，2)，则P ，Q 两点之间的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】由平面上两点间的距离公式得4.2.已知点A (x ，5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．17B.17 C ．18D ．32 【答案】B【解析】根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ， 解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4，1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝（4－0）2＋（1－0）2＝17.3.在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使点P 到点A (2，3)的距离为13，则P 点坐标是( )A ．(5，5)B ．(－1，1)C ．(5，5)或(－1，1)D ．(5，5)或(1，－1) 【答案】C【解析】设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由P A ＝13得(x －2)2＋2)3352(-+x ＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，所以P 点坐标为(－1，1)或(5，5),选C.4.已知点A （－2，－1），B （a,3），且AB ＝5，则a 的值为（ ）A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或5【答案】C【解析】由|AB |＝5，可知（a ＋2）2＝9．∴a ＝1或－5． 5.已知△ABC 的顶点坐标为A (－1,5)，B (－2，－1)，C (2,3)，则BC 边上的中线长为_____．【答案】 17【解析】 BC 的中点坐标为(0,1)，则BC 的中线长为－1－02＋5－12＝17.22(2)(31)a +++6.已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B (0,22)，那么这两点之间距离的最小值是________． 【答案】12【解析】d ＝22)2()22(x x -+-＝41)423(22+-x ≥12.即最小值为12. 7.已知点A (1，2)，B (3，4)，C (5，0)，求证：△ABC 为等腰三角形.【解析】证明：因为三角形三个顶点的坐标分别为A (1,2),B (3,4),C (5,0)， 所以，所以，即△ABC 为等腰三角形.8.在△ABC 中，点A(1,1)，B(3,1)，若△ABC 是等边三角形，求点C 的坐标.【解析】设点C 的坐标为(x ，y)，因为△ABC 为等边三角形，所AC ＝BC ， 即＝.①又AC ＝AB ＝.② 由①得x ＝2，代入=2②，得y ＝1±. 故所求点C 的坐标为(2,1＋)或(2,1－).||AB =||AC ==||BC =||||AC BC =。
2021高中数学北师大版必修二课时分层作业：2.1.5 第1课时 两点间的距离公式含解析
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课时分层作业二十两点间的距离公式一、选择题(每小题5分，共30分)1.(2018·安庆高二检测)设A，B是x轴上的两点，点P横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程是( )A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2y-x-4=0D.2x+y-7=0【解析】选A.由已知，点P在直线x=2上，直线PA与PB关于直线x=2对称，又PA斜率为1，所以PB斜率为-1，由x-y+1=0与x=2解得y=3，即P(2，3)，所以PB方程为y-3=-(x-2)，即x+y-5=0.2.已知A(2，1)，B(-1，b)，|AB|=5，则b等于( )A.-3B.5C.-3或5D.-1或-3【解析】选C.|AB|==5.解得b=-3或b=5.3.若x轴正半轴上的点M到原点的距离等于点(5，-3)到原点的距离，则点M的坐标为 ( )A.(-2，0)B.(1，0)C.，0D.(，0)【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(-3)2，解得x=±，又因为点M在x轴得正半轴，所以点M的坐标为(，0).4.已知A(-1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为( )A. B. C.3 D.2【解析】选D.由两点间的距离公式得|AC|==4，|CB|==2，故==2.5.已知△ABC的三个顶点分别是A(-1，0)，B(1，0)，C，则△ABC为 ( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.因为|AB|=|1-(-1)|=2，|BC|==1，|AC|==，所以|AC|2+|BC|2=|AB|2，所以△ABC是直角三角形.6.x轴上任一点到定点(0，2)，(1，1)距离之和的最小值是( )A. B.2+ C. D.+1【解析】选C.设点(0，2)关于x轴对称的点为A，则A(0，-2)，两点(0，-2)与(1，1)之间的距离即为所求值，即=.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点是B(-2，-3)，则点P(x，y)到原点的距离是.【解析】由题意知解得所以d==.答案：8.(2018·上海高二检测)已知A(2，3)，B(1，0)，动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为_________.【解题指南】求出点B关于y轴的对称点B′，当点P，A，B′位于同一条直线AB′上时，|PA|+|PB|取最小值.【解析】由已知，点B(1，0)关于y轴的对称点为B′(-1，0)，又点A(2，3)，所以直线AB′方程为y=x+1，与x=0联立得，y=1，所以P(0，1).答案：(0，1)三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知矩形相邻的顶点为A(-1，3)，B(-2，4)，若矩形对角线交点在x轴上，求另两个顶点C，D的坐标.【解析】设矩形对角线交点坐标为M(x，0)，因为|MA|=|MB|，所以=，解得x=-5，即对角线交点为M(-5，0).又设矩形另外两顶点为C(x1，y1)，D(x2，y2)，因为M是对角线中点，所以=-5，=0，解得x1=-9，y1=-3，所以C点的坐标为(-9，-3).同理可求得D点的坐标为(-8，-4).10.(2018·深圳高一检测)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若B点的坐标为(1，2).(1)求直线AC的方程.(2)求A，C两点间的距离.【解析】(1)由所以A(-1，0)又k AB==1，所以x轴为∠A的平分线，故k AC=-1，所以直线AC的方程为y=-(x+1)，即直线AC的方程为x+y+1=0.(2)因为BC边上的高的方程为x-2y+1=0，所以k BC=-2，所以直线BC 的方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0，由解得C(5，-6)，所以|AC|==6.一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2018·荆州高二检测)已知直线l1：ax-y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A(0，1)，B(-1，0)，给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(-1，0)；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|+|MB|的最小值是1；其中，正确的结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①正确；②正确；③错误，当a=1时，直线l1：x-y+1=0，l2：x+y+1=0，不关于直线x+y=0对称；④错误，|MA|+|MB|的最小值是|AB|=，所以正确的结论个数是2.2.过点A(4，a)和B(5，b)的直线与y=x+m平行，则|AB|的值为( )A.6B.C.2D.不确定【解析】选B.由k AB==1，得b-a=1，即|AB|==.3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，-3)到原点的距离相等，则点M的坐标为( )A.(-2，0)B.(1，0)C. D.(，0)【解析】选D.设点M的坐标为(x，0)，根据题意得x2=52+(-3)2，解得x=±.又点M在x轴的正半轴上，所以点M的坐标为(，0). 【补偿训练】已知点A(1，2)，B(3，1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5【解题指南】先设出动点的坐标，再利用条件到A，B两点距离相等建立等式，进而求出点的坐标满足的条件.【解析】选B.设到A，B距离相等的点P(x，y)，则由|PA|=|PB|得，4x-2y=5.4.在西气东输工程中，有一段煤气管道所在的直线方程为l：x+2y-10=0，最近的两座城市在同一直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(5，0)，现要在管道l边上建一煤气调度中心M，使其到两城市A，B 的距离之和最短，则点M的坐标为 ( )A.(6，2)B.C.(4，3)D.【解析】选C.点B关于直线l：x+2y-10=0的对称点为C(7，4)，则直线AC的方程为x-3y+5=0，联立AC与l两直线方程得M(4，3).5.若P(-1，-6)，Q(3，0)，延长QP到A，使|AP|=|PQ|，那么A的坐标为 ( )A.-，-8B.0，C.，-2D.-，2【解题指南】设出点A的坐标，再利用条件P，Q，A三点共线，|AP|=|PQ|建立坐标的关系式.【解析】选A.设A(a，b)，因为P，Q，A三点共线，所以=，即得=，化简得3a-2b-9=0.又由|AP|=|PQ|得=，即为=，化简得a2+b2+2a+12b+37=，结合3a-2b-9=0可得a=-，b=-8，故点A为-，-8.二、填空题(每小题5分，共20分)6.(2018·静海高一检测)一只虫子从点O(0，0)出发，先爬行到直线l：x-y+1=0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_________.【解析】设A(1，1)关于直线l的对称点为B(a，b)，|OB|即为虫子爬行的最短路程，由已知，解得B(0，2)，所以|OB|=2，即虫子爬行的最短路程为2.答案：27.平面内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|，称为线段AB的范数.平面内两点C(1，5)，D(2，3)，线段CD的范数为_________.【解析】||CD||=|2-1|+|3-5|=3.答案：38.等腰△ABC的顶点是A(3，0)，底边长|BC|=4，BC边的中点是D(5，4)，则此三角形的腰长为.【解析】|BD|=|BC|=2，|AD|==2.在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|=)2=2.答案：29.(2018·扬州高二检测)已知A(4，0)，B(1，0)，动点P满足PA=2PB.设点P到点C(-3，0)的距离为d，则d的取值范围为_________. 【解析】设P(x，y)，由已知，PA2=4PB2，即(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2，化简得y2=4-x2≥0，所以0≤x2≤4，-2≤x≤2，又因为d2=PC2=(x+3)2+y2=6x+13，所以1≤d2≤25，又因为d≥0，所以d的取值范围为[1，5].答案：[1，5]三、解答题(每小题10分，共30分)10.(1)已知A(-3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.(2)已知点M(x，-4)与N(2，3)间的距离为7，求x的值.【解析】(1)设点P为(x，0)，则有，|PA|==，|PB|==.由|PA|=|PB|得x2+6x+25=x2-4x+7，解得x=-.即所求点P为-，0且|PA|==.(2)由|MN|=7，又|MN|==7，得x2-4x-45=0，解得x1=9或x2=-5，故所求x值为9或-5.11.(2018·重庆高二检测)已知点A(1，1)，B(2，2)，C(4，0)，D，点P在线段CD垂直平分线上，求(1)线段CD垂直平分线方程.(2)使|PA|2+|PB|2取得最小值时，P点的坐标.【解析】(1)线段CD中点为M，k CD=-2，所以线段CD垂直平分线的斜率为，所以线段CD垂直平分线方程为y-=，即x-2y=0.(2)设P(2t，t)，则|PA|2+|PB|2=(2t-1)2+(t-1)2+(2t-2)2+(t-2)2=10t2-18t+10，当t=时，|PA|2+|PB|2取得最小值，即P.12.(2018·重庆高二检测)已知直线l与两条平行直线3x+y-6=0和3x+y+3=0分别相交于M，N两点，且直线l过点A(1，0).(1)若|MN|=3，求直线l的方程.(2)求证：的值为定值.【解析】(1)①若l的斜率不存在，方程为x=1，则M(1，3)，N(1，-6)，|MN|=9，与题意不符；②若l的斜率存在，则设l的方程为y=k(x-1)，由可得M，同理N，因为|MN|=3，所以+=9，k=0或k=，所以l的方程为3x-4y-3=0或y=0.(2)由(1)知，斜率不存在时，==；斜率存在时，===，综上，的值为定值.【补偿训练】(1)在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大.(2)在直线l：3x-y-1=0上求一点Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.【解析】(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，直线l的斜率为k1，则k1·k BB′=-1.即3·=-1.所以a+3b-12=0.①又由于线段BB′的中点坐标为，，且在直线l上，所以3×--1=0.即3a-b-6=0.②解①②得a=3，b=3，所以B′(3，3).于是AB′的方程为=，即2x+y-9=0.解得即l与AB′的交点坐标为P(2，5).(2)如图设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为，.所以AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0，AC′和l交点坐标为，，故Q点坐标为，.【拓展延伸】解决对称问题的方法(1)解决点关于直线对称问题要把握两点：点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.(3)若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：①若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；②若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.关闭Word文档返回原板块。
苏教高中数学必修二培优新方案课时跟踪检测十九 平面上两点之间的距离 含解析
课时跟踪检测（十九） 平面上两点之间的距离层级一 学业水平达标1．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( )A ．6B ．2C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a 1＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝ (5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 解析：选A AC ＝(－9－1)2＋(－9－5)2＝274， BC ＝(－9－5)2＋(－9－1)2＝274， AB ＝(1－5)2＋(5－1)2＝4 2故BC ＝AC ，△ABC 为等腰三角形．3．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( )A ．2B ．4C ．5D ．17解析：选D 根据中点坐标公式得到x －22＝1且5－32＝y ，解得x ＝4，y ＝1，所以点P 的坐标为(4,1)，则点P (x ，y )到原点的距离d ＝(4－0)2＋(1－0)2＝17. 4．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭⎫22，0，则AB 的最小值为( ) A ．3B ．13C ．2D ．12 解析：选D ∵AB ＝⎝⎛⎭⎫x －222＋()2－x －02＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12. 5．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段P Q 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．－23B ．23C ．32D ．－32解析：选A 设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于P Q 中点是(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，∴k l ＝－3－14＋2＝－23. 6．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________.解析：设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝2 5.答案：2 57．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________．解析：由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝08．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.答案：(2,10)或(－10,10)9．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．解：由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0. 层级二 应试能力达标1．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．3＋2 3C ．6＋3 2D ．6＋10 解析：选C AB ＝(2＋1)2＋32＝32，BC ＝(2＋1)2＋0＝3，AC ＝(2－2)2＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.2．已知点A (1,3)，B (5，－2)，点P 在x 轴上，则使AP －BP 取最大值的点P 的坐标是( )A ．(4,0)B ．(13,0)C ．(5,0)D ．(1,0)解析：选B 点A (1,3)关于x 轴的对称点为A ′(1，－3)，连结A ′B并延长交x 轴于点P ，即为所求．直线A ′B 的方程是y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134.令y ＝0，得x ＝13. 3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则AB 的值为( )A.895B.175C.135D.115 解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0过定点B ⎝⎛⎭⎫－1，25，由两点间的距离公式，得AB ＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求一点P ，使点P 到A (2,3)的距离为13，则点P 的坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)解析：选C 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由PA ＝13，得(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋53－32＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1，1)或(5,5)．5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________．解析：如图：A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 的坐标为(1,0)．答案：(1,0)6．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．解析：点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－(－2)＝－1，整理得m ＋n ＝13. 答案：137．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．解：设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0.解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.8．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．解：原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x ，0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得PA ＋PB 最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A ′B ，故PA ＋PB 的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。
苏教版高中数学必修二第二章学生同步练习第课时平面上两点间的距离
平面上两点间的距离分层训练1. 若(4,2)64126A B C --、（，）、（，）、D 212（，），则下面四个结论： ①//AB CD ；②AB CD ⊥；③AC BD =；④AC BD ⊥．其中，正确的个数是 ( )(A)１个. (B) 2个. (C)3个. (D) 4个.2. 点(2,3)P -关于点(4,1)M 的对称点Q 的坐标是 ( ) (A) (3,1)- (B) (1,2) (C) (6,5) (D) (2,4)3. 若过点(0,2)B 的直线交x 轴于点A 点，且||4AB =，则直线AB 的方程为 （ ）(A)12y +=(B) 12y=(C)1122y y +=+=(D)1122y y +=+=－ 4.直线34y x =-关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程是 （ ） (A) 310y x =- (B) 318y x =- (C) 34y x =+ (D) 43y x =+. 5.如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么 （ ） (A) 1,63a b ==- (B) 1,63a b == (C) 3,2a b ==- (D) 3,6a b ==.6. 若直线l 在y 轴上的截距为－2，l 上横坐标分别是3，－4的两点的线段长为14，则直线l 的方程为 ．7. 已知ABC ∆的三个顶点(2,8)A ，(4,0)B -，(6,0)C ，则AB 边上的中线CD 所在直线的方程为 ． 8.若直线l 过点(3,2)P ，且被坐标轴截得的线段的中点恰为P ，则直线l 的方程是 ．9. 若点P Q 、的横坐标分别为12,x x ,直线PQ 的斜率为k ，则PQ = ． 10.已知直线:26l y x =-+和点(1,1)A -，过点A 作直线1l 与直线l 相交于B 点，且5AB =，求直线1l 的方程．11. 过点(3,0)P 作直线l ，使它被直线1:230l x y --=和2:30l x y ++=所截得的线段恰好被P 平分，求直线l 的方程．.拓展延伸12.(1)已知点(1,3)A ，(3,1)B -，在x 轴上求一点P ，使得PA PB +最小；(2) 已知点(1,3)M ，(5,2)N -，在x 轴上求一点P ，使得||PM PN -最大，并求最大值．13.求函数y =的最小值及相应的x 值．本节学习疑点：。
空间两点间的距离 作业 高中数学 必修二 苏教版 含答案
课后训练千里之行 始于足下1．已知两点A (1，－2,3)，B (2,1，x )，且AB ＝5，则x 的值等于__________．2. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体-ABCD A B C D ''''，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为__________．3．已知三角形的三个顶点A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (－5,0,2)，则过点A 的中线的长为__________．4．已知A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的正射影的长度为__________．5．已知点A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (x,0,1)，且∠BAC ＝90°，则x ＝__________.6．对于任意实数x 、y 、z __________．7．(1)在yOz 平面上，求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)和C (0,5,1)等距离的点．(2)已知A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，求△ABC 的面积．8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD ＝，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．百尺竿头 更进一步如图所示，建立空间直角坐标系D -xyz ，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上．(1)当点P 是对角线A 1B 的中点，点Q 在对角线B 1C 上运动时，求PQ 的最小值；(2)当点Q 是对角线B 1C 的中点，点P 在对角线A 1B 上运动时，求PQ 的最小值；(3)当点P 在对角线A 1B 上运动，点Q 在对角线B 1C 上运动时，求PQ 的最小值．参考答案与解析千里之行 始于足下1．3∵AB ＝5，5=，(x －3)2＝15，3x =由已知得：F ,,02a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，E ,,222a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2EF a = 3．7 线段BC 的中点坐标为M (－1,1，－2)，则中线AM 的长为7+)=.求线段AB 在坐标平面yOz 上的射影长，可先求A ，B 两点在yOz 上的射影，然后再用两点间距离公式求解．A (3,5，－7)在yOz 上的射影是A ′(0,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz上的射影是B ′(0,4,3)，故A B ''==5．2 由题意知，BC 2＝AB 2＋AC 2，即(x －1)2＋1＋(1－2)2＝(2－1)2＋(1－1)2＋(1－2)2＋(x －2)2＋(0－1)2＋(1－1)2，解得x ＝2.P (x ，y ，z )到O (0,0,0)的距离与到点M (－1,2,1)的距离之和，因而最小值就是两点间的线段OM 的长，OM =7．解：(1)设点M (0，y ，z )为在yOz 平面上的点，则由空间两点间的距离公式知，MA =MB =，MC =又知点M (0，y ，z )到A ，B ，C 三点的距离相等，∴MA ＝MC ，MB ＝MC .即2222222222220312005104220051y z y z y z y z ⎧(-)+(-)+(-)=(-)+(-)+(-)⎪⎨(-)+(+)+(+)=(-)+(-)+(-)⎪⎩ 整理，得4607310y z y z --=⎧⎨+-=⎩解得12.y z =⎧⎨=-⎩ 即所求点M 的坐标为(0,1，－2)．(2)∵AB ==AC ===BC ===∴BC 2＋AC 2＝AB 2.∴△ABC 为直角三角形，且AC 、BC 是直角边．∴11·22ABC S AC BC === 8．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ， 则12FM FN ＝＝，故点F 坐标为11,,022⎛⎫ ⎪⎝⎭；点G 在y 轴上，又34GD =， 故点G 坐标为30,,04⎛⎫ ⎪⎝⎭； 过H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故18HK=，12CK＝.故H坐标为71 0,,82⎛⎫ ⎪⎝⎭.百尺竿头更进一步解：如题图所示，由题意，知点A1(1,0,1)，点B1(1,1,1)，点B(1,1,0)，点C(0,1,0)．(1)当点P是对角线A1B的中点时，则由射影的概念知点P111,,22⎛⎫⎪⎝⎭，Q在对角线B1C上运动，设点Q(a,1，a)，a∈[0,1]，由空间两点间的距离公式，得PQ＝==，当34a=时，PQQ33,1,44⎛⎫⎪⎝⎭.(2)当点Q是对角线B1C的中点时，则由射影的概念，知点Q11,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，P在对角线A1B上运动，设点P(1，a,1－a)，a∈[0,1]，由空间两点间的距离公式，得PQ＝PQ===当34a=时，PQ此时点P311,,44⎛⎫⎪⎝⎭.(3)当点P在对角线A1B上运动，点Q在对角线B1C上运动时，设点P(1，a,1－a)，Q(b,1，b)，a，b∈[0,1]，由空间两点间的距离公式，得PQ ===， 将23b =，代入102b a -=＋得23a ＝， 即当23a b ＝＝时，PQ取得最小值3.。
数学苏教版必修二同步课堂精练-2.1.5 平面上两点间的距离 Word版含答案
．△的顶点()，(，－)，(－)，则边上中线的长为．
．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点()与点(－)重合，若点()与点(，)重合，则＋的值为．
．点(－)关于直线＋－＝的对称点的坐标是．
．已知定点()，点在直线＋＝上运动，当线段最短时，点的坐标为．
．已知，两点的坐标分别为()，()，点在轴上，则＋的最小值为，此时点的坐标为．．()已知两点()，(，－)，在轴上找一点，使线段的长等于线段的长，则点坐标为．()已知()，()，点在直线上，则＋取最小值时的点坐标为．
．已知三角形的顶点为(－)，(，－)，()，求边上的中线的长和所在的直线方程．
．()等边三角形的两个顶点坐标分别为(，－)，(－，－)，求另一顶点的坐标．
()已知正方形的相对顶点(，－)，()，求顶点和的坐标(设、、、按逆时针顺序)．
参考答案
.∵为中点，∴，即.
∴.
．点()与点(－)的垂直平分线为折叠线，直线必与直线平行，即＝，
∴，整理得＋＝.
.设(－)关于＋－＝的对称点为′(′，′)．
则
解得
.设点的坐标为(，－)，
则.
当时，最短，
即.
．如图所示，点关于轴的对称点′的坐标为(，－)，连′，则′与轴的交点即为所求点，
∵只有当′，，三点共线时，＋最小，
∴
由两点式可得′方程为，
即－－＝，令＝，得.
∴点坐标为.
．()()()设()，依题意，利用距离公式，则有
，解得，故.
()设，则
.。
【必修2】高中数学2.1.5平面上两点间的距离课时作业苏教版
2.1.5 平面上两点间的距离【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为 P 1P 2＝______________．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离为 OP ＝____________．3．平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝ ，y 0＝ .一、填空题1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且AB ＝5，则b ＝________．2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为__________三角形． 3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________． 4．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________． 5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________． 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为____________．7．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________． 8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长BC ＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________． 二、解答题10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋1－y2＋1－x2＋y2＋1－x2＋1－y2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．2．1．5 平面上两点间的距离 答案知识梳理 1．x 2－x 12＋y 2－y 12x 2＋y 23．x 1＋x 22 y 1＋y 22 作业设计 1．0或8 解析 由－32＋4－b2＝5，解得b ＝0或8．2．等腰 3．2 5解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝25． 4．4x －2y ＝5解析 设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )， 则由PA ＝PB 得，4x －2y ＝5． 5．(1,0)解析 (如图) A 关于x 轴对称点为 A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ， 求得M 坐标为(1,0)． 6．x ＋y －5＝0解析 由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由PA ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴d ＝42＋12＝17． 8．(2,10)或(－10,10) 解析 设M (x ，y )， 则|y |＝x ＋42＋y －22＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10.9．2 6解析 BD ＝12BC ＝2， AD ＝5－32＋4－02＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长AB ＝22＋252＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)． 由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5． 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1， 当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0． 综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0． 11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则AB ＝c ， 又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以DE ＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以DE ＝12AB ．即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．原式可化为y＝x－42＋0－22＋x－02＋0－12．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得PA＋PB最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，故PA＋PB的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得A′B＝42＋－2－12＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝OA＋AD＋AB＋AC，∵OA＋AC≥OC＝2，AB＋AD≥BD＝2，∴OA＋AD＋AB＋AC≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。
苏教版高中数学必修二同步课堂精练-2.1.5平面上两点间的距离.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1．△ABC的顶点A(2,1)，B(4，－2)，C(－6,3)，则BC边上中线AM的长为__________．2．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A(2,0)与点B(－2,4)重合，若点C(5,8)与点D(m，n)重合，则m＋n的值为__________．3．点A(－1,2)关于直线2x＋y－1＝0的对称点的坐标是__________．4．已知定点A(0,1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为__________．5．已知A，B两点的坐标分别为(1,1)，(4,3)，点P在x轴上，则P A＋PB的最小值为__________，此时点P的坐标为__________．6．(1)已知两点A(2,2)，B(5，－2)，在x轴上找一点P，使线段P A的长等于线段PB的长，则P 点坐标为__________．(2)已知A(1,1)，B(2,2)，点P在直线12y x＝上，则P A2＋PB2取最小值时的P点坐标为__________．7．已知三角形ABD的顶点为A(－1,3)，B(3，－2)，D(2,4)，求BD边上的中线AM的长和AM 所在的直线方程．8．(1)等边三角形的两个顶点坐标分别为A(4，－6)，B(－2，－6)，求另一顶点C的坐标．(2)已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)，C(2,5)，求顶点B和D的坐标(设A、B、C、D按逆时针顺序)．参考答案 1.372 ∵M 为BC 中点，∴M 4623,22--+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即M 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ∴22137322AM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 2．13 点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ， ∴8041522n m --==---(-)，整理得m ＋n ＝13. 3.112,55⎛⎫- ⎪⎝⎭设A (－1,2)关于2x ＋y －1＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)． 则12210222112x y y x ''-++⎧⨯+-=⎪⎪⎨'-⎪=⎪'+⎩ 解得1512.5x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩4.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设B 点的坐标为(x ，－x )， 则2221221AB x x x x =+(+)=++. 当21222x =-=-⨯时，AB 最短， 即B 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5．5 7,04⎛⎫⎪⎝⎭ 如图所示，A 点关于x 轴的对称点A ′的坐标为(1，－1)，连A ′B ，则A ′B 与x 轴的交点即为所求P 点，∵只有当A ′，P ，B 三点共线时，P A ＋PB 最小，∴22min ()41315PA PB PA PB A B ='='=(-)+(+)=＋＋由两点式可得A ′B 方程为113141y x +-=+-， 即4x －3y －7＝0，令y ＝0，得74x =. ∴P 点坐标为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭. 6．(1)7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)99,510⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)设P (x,0)，依题意，利用距离公式，则有222454x x (-)+=(-)+，解得72x =，故P 7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设P 001,2x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 22222220000005(1)1(2)2910222x x PA PB x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＝－＋＋－＋－＋. 当095x =时，P A 2＋PB 2取到最小值，此时0910y =. 7．解：设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 是线段BD 的中点，所以32522x +==,2412y -+==，即M 点的坐标为5,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.由两点间的距离公式得 2256513122AM ⎛⎫=--+(-)= ⎪⎝⎭. 因此，BC 边上的中线AM 的长为652；由两点式得中线AM 所在的直线方程为3151312y x -+=-+，即4x ＋7y －17＝0.8．解：(1)设C (x ，y )，则AB ＝AC ＝BC ，又2224[66]366AB =(--)+--(-)==， 22224[6]46AC x y x y =(-)+-(-)=(-)+(+)， 2222[2][6]26BC x y x y =-(-)+-(-)=(+)+(+). ∴2222466266x y x y ⎧(-)+(+)=⎪⎨(+)+(+)=⎪⎩ 解此方程组，得1336x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或133 6.x y =⎧⎪⎨=--⎪⎩故C 点坐标是(1,336)-或(1,336)--．(2)如图，设B (x ，y )，由正方形的性质，M 为AC 中点，∴M 的坐标为(1,2)．又BM ⊥AC ， ∴2511120y x --(-)⋅=---，即x ＝7－3y .① ∵2220[51]210AC =(-)+-(-)=， ∴1102BM AC =＝，即221210x y (-)+(-)=. ∴(x －1)2＋(y －2)2＝10.②①代入②得(7－3y －1)2＋(y －2)2＝10.∴14y x =⎧⎨=⎩或32y x =⎧⎨=-⎩ (舍去第二组)． ∴B (4,1)．∴D (－2,3)．。
苏教版高中数学必修二第17课时——空间两点间的距离(配套练习).docx
& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 第17课 空间两点间的距离分层训练1．空间两点(2,5,4),(2,3,5)A B -之间的距离等于 （ ） ()A 21 ()B ()C ()D 2．空间两点(1,3,),(2,1,4)P z Q -，且PQ =z 等于 （ ）()A 4 ()B 2 ()C 6 ()D 2或63．已知空间两点(2,3,1),(4,5,3)M N --，线段MN 的中点为P ，则坐标原点O 到P 点的距离为 （ ） ()A ()B 1 ()C 5 ()D4．以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是 （ ）()A 等腰三角形 ()B 等边三角形 ()C 直角三角形 ()D 等腰直角三角形5．y 轴上到点(3,4,5)A的点的坐标为 ．6．与点(1,2,4)M -距离等于3的点(,,)x y z 的坐标满足的条件是 ．7．三角形的三个顶点(2,1,4)A -、(3,2,6)B -、(5,0,2)C -，则过A 点的中线长为 ． 8．设P 是x 轴上的点，它到点1P 的距离为到点2(0,1,1)P -的距离的两倍，求点P 的坐标．拓展延伸9．如图，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为1，,P Q 分别是,A B BC ''边的中点，求线段PQ 的长．10．若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心．（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为(3,3,1)A 、(1,0,5)B 、(1,3,3)C --，求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）ABC ∆的顶点坐标分别为(31,1,2)A x z +，(1,2,3)B y z --，(,2,0)C x ，重心G 的坐标为(2,1,4)-，求,,x y z 的值．本节学习疑点： A A ' BB 'C ' CQ P。
高中数学苏教版必修2：课下能力提升(十九) 平面上两点间的距离
课下能力提升(十九) 平面上两点间的距离1．已知A (－3,2)，B (7，－8)，C (m ，n )，若C 为AB 的中点，则m ＋n 等于________．2．已知点A (－1,4)，B (2,5)，点C 在x 轴上，且|AC |＝|BC |，则点C 的坐标为________．3．直线l 与直线y ＝1和x －y －7＝0分别相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则直线l 的斜率为________．4．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点A (2,0)与点B (－2,4)重合，若点C (5,8)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值为________．5．已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明AB 2＋AC 2＝2(AO 2＋OC 2)．6．已知一条直线过点P (2，－3)，与直线2x －y －1＝0和直线x ＋2y －4＝0分别相交于点A 和点B ，且P 为线段AB 的中点，求这条直线的方程．7．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使AB ＝5，求直线l 的方程．★★答案★★1．解析：m ＝7－32＝2，n ＝2－82＝－3， 即m ＋n ＝2－3＝－1.★★答案★★：－12．解析：设C (x,0)，则由|AC |＝|BC |得(x ＋1)2＋42＝(x －2)2＋52，解得x ＝2，所以C (2,0)．★★答案★★：(2,0)3．解析：设P (a,1)，Q (x 0，y 0)，由于PQ 中点是(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x 0＝2，1＋y 0＝－2，，∴Q (2－a ，－3)，将其代入x －y －7＝0. 得a ＝－2，∴P (－2,1)，Q (4，－3)，∴k l ＝－3－14＋2＝－23. ★★答案★★：－234．解析：点A (2,0)与点B (－2,4)的垂直平分线为折叠线，直线AB 必与直线CD 平行，即k AB ＝k CD ，∴n －8m －5＝0－42－(－2)＝－1，整理得m ＋n ＝13. ★★答案★★：135．证明：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .设点A (a ，b )，B (－c,0)，C (c,0)，由两点间距离公式得AB ＝ (a ＋c )2＋b 2，AC ＝(a －c )2＋b 2，AO ＝a 2＋b 2，OC ＝c ， 所以AB 2＋AC 2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，AO 2＋OC 2＝a 2＋b 2＋c 2. 所以AB 2＋AC 2＝2(AO 2＋OC 2)．6．解：设点A 的坐标为(t,2t －1)，因为点P (2，－3)是线段AB 的中点，所以点B 的坐标为(4－t ，－5－2t )．因为点B 在直线x ＋2y －4＝0上，所以4－t ＋2(－5－2t )－4＝0.解得t ＝－2，于是点A 的坐标为(－2，－5)．所以所求直线的方程为y ＋3－5＋3＝x －2－2－2， 即x －2y －8＝0.7．解：若l 与y 轴平行，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.得B 点坐标(1,4)，此时AB ＝5， ∴x ＝1为所求；当l 不与y 轴平行时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1)， 得交点B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)(k ≠－2)． 由已知 (k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝5， 解得k ＝－34. ∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.。
苏教数学必修二课时分层作业 平面上两点间的距离 点到直线的距离 含解析
课时分层作业(十八)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．到A (1，3)，B (－5，1)的距离相等的动点P 满足的方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，则（x －1）2＋（y －3）2＝（x ＋5）2＋（y －1）2，即3x ＋y ＋4＝0.]2．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53 C ．1D.22B [d ＝|3×（－1）－2|02＋32＝53.]3．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020 C.104D.71020 D [∵3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020.] 4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2)B ．(2，4)C ．(0，－2)或(2，4)D ．(1，1)C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|22＋（－1）2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)．]5．若两条平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11，0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)C [y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0，由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5，且k ＋2≠－4，即k ≠－6，得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.] 二、填空题6．△ABC 三个顶点的坐标A (－3，2)，B (3，2)，C (4，0)，则AB 边的中线CD 的长为________．25 [AB 的中点坐标为D (0，2)，∴CD ＝42＋22＝2 5.]7．过点P (2，3)，且与原点距离最大的直线的方程为__________．2x ＋3y －13＝0 [此直线为过P (2，3)且与OP 垂直的直线，k OP ＝32，故直线方程为y －3＝－23(x －2)，即2x ＋3y －13＝0.]8．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使P A ＋PB 取最小值，则P 点坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 [∵点A (3，－1)关于x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，A ′B 的直线方程为：x －4y －13＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －4y －13＝0，x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，得点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.]三、解答题9．两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条平行直线的方程． [解](1)如图，当两条平行直线与AB 垂直时，两平行直线间的距离最大，为d ＝AB ＝（6＋3）2＋（2＋1）2＝310，当两条平行线各自绕点B ，A 逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0<d ≤310，即所求的d 的变化范围是(0，310]．(2)当d 取最大值310时，两条平行线都垂直于AB ，所以k ＝－1k AB＝－12－（－1）6－（－3）＝－3，故所求的平行直线方程分别为y －2＝－3(x －6)和y ＋1＝－3(x ＋3)，即3x ＋y －20＝0和3x ＋y ＋10＝0.10．直线l 过点P (1，0)，且被两条平行线l 1：3x ＋y －6＝0，l 2：3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，求l 的方程．[解] 若l 的斜率不存在，则方程为x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y －6＝0，得A (1，3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋y ＋3＝0，得B (1，－6)． ∴|AB |＝9，符合要求．若l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y －6＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x ＋y ＋3＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋6k ＋3－k －3k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3k k ＋3－－6k k ＋32 ＝91＋k 2（k ＋3）2.由|AB |＝9，得1＋k 2（k ＋3）2＝1，∴k ＝－43.∴l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0. 综上所述，l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.[等级过关练]1．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34D [点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.]2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( )A.423B.823 C ．4 2D ．2 2B [∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －2）－3＝0，2a －6（a －2）≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋（－1）2＝823.]3．已知平行四边形两条对角线的交点为(1，1)，一条边所在直线的方程为3x －4y ＝12，则这条边的对边所在的直线方程为____________________．3x －4y ＋14＝0 [设所求直线方程为3x －4y ＋m ＝0， 由题意可得|－1＋m |32＋（－4）2＝|3－4－12|32＋（－4）2，解得m ＝14或m ＝－12(舍)，所以所求的直线方程为3x －4y ＋14＝0.]4．与直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点P (1，1)对称的直线方程为________． 4x ＋3y －12＝0 [在所求直线上任取一点Q (x ，y )，则点Q 关于点P 对称的点Q ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎨⎧x ＋x ′2＝1，y ＋y ′2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2－x ，y ′＝2－y ，把它们代入直线l 的方程，得4(2－x )＋3(2－y )－2＝0得4x ＋3y －12＝0.]5．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1，0)，B (0，1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．[解]由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间距离公式，设Q (－2，－2)， 又P (a ，b ) 则PQ ＝（a ＋2）2＋（b ＋2）2，于是问题转化为PQ 的最大、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，PQ 取得最大值： （－2－1）2＋（－2－0）2＝13.当PQ ⊥AB 时，PQ 取得最小值，此时PQ 为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2＋（－2）－1|12＋12＝52＝522，∴(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，13.。
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2.1.5 平面上两点间的距离
【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．
1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为
P 1P 2＝______________．
特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离为 OP ＝____________．
3．平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点是M (x 0，y 0)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝ ，
y 0＝ .
一、填空题
1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且AB ＝5，则b ＝________．
2．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形的形状为__________三角形． 3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则AB ＝________． 4．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是__________． 5．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得MA ＋MB 最短，则点M 的坐标是________．
6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且P A ＝PB ，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为____________．
7．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________．
8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 9．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长BC ＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．
二、解答题
10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且AB ＝5，求直线l 1的方程．
11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
能力提升
12．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．
13．求证：x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥22．
1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．
2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．
2．1．5 平面上两点间的距离 答案
知识梳理
1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 2 3．x 1＋x 22 y 1＋y 22
作业设计 1．0或8
解析 由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8． 2．等腰 3．2 5
解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b
2
＝－1，
解得a ＝4，b ＝－2，∴AB ＝25． 4．4x －2y ＝5
解析 设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )， 则由P A ＝PB 得，4x －2y ＝5． 5．(1,0)
解析 (如图)
A 关于x 轴对称点为 A ′(－3，－8)，
则A ′B 与x 轴的交点即为M ， 求得M 坐标为(1,0)． 6．x ＋y －5＝0
解析 由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由P A ＝PB ，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0． 7．17
解析 由题意知⎩⎨⎧
1＝x －22
，y ＝5－3
2，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝1.
∴d ＝42＋12＝17．
8．(2,10)或(－10,10) 解析 设M (x ，y )，
则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－10，y ＝10.
9．2 6
解析 BD ＝1
2
BC ＝2，
AD ＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中， 由勾股定理得腰长AB ＝22＋(25)2＝26．
10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)． 由AB 2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5． 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，
当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．
综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0． 11．证明
如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．
设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则AB ＝c ， 又由中点坐标公式，
可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以DE ＝c ＋m 2－m 2＝c
2
，
所以DE ＝1
2
AB ．
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 12．解
原式可化为
y ＝(x －4)2＋(0－2)2 ＋(x －0)2＋(0－1)2．
考虑两点间的距离公式，如图所示， 令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，
则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)， 使得P A ＋PB 最小．
作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出
P A ＋PB ＝P A ′＋PB ≥A ′B ，
故P A ＋PB 的最小值为A ′B 的长度． 由两点间的距离公式可得 A ′B ＝42＋(－2－1)2＝5，
所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5． 13．
证明 如图所示，设点O (0,0)，A (x ，y )，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则原不等式左边＝OA ＋AD ＋AB ＋AC ，∵OA ＋AC ≥OC ＝2，
AB ＋AD ≥BD ＝2，
∴OA ＋AD ＋AB ＋AC ≥22(当且仅当A 是OC 与BD 的交点时等号成立)，故原不等式成立．。